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'《固体物理学》习题解答(仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月 第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。解：+－氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na和一个Cl组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：⎧aa=(jk+)⎪12⎪⎪a⎨a=(k+i)2⎪2⎪aa=(i+j)⎪3⎩2相应的晶胞基矢都为：⎧a=ai,⎪⎨b=aj,⎪⎩c=ak.2.六角密集结构可取四个原胞基矢aaa,,与a,如图所示。试写出1234OAA′、AABB、ABBA、1313312255AAAAAA这四个晶面所属晶面族的123456晶面指数(hklm)。解：(1)．对于OAA′面，其在四个原胞基矢131上的截矩分别为：１，１，−，１。所以，2其晶面指数为(1121)。1(2)．对于AABB面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，−，∞。13312所以，其晶面指数为(1120)。1 (3)．对于ABBA面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，−1，∞，∞。2255所以，其晶面指数为(1100)。(4)．对于AAAAAA面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。123456所以，其晶面指数为(0001)。3.如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：π3π2π2π简立方：；体心立方：；面心立方：；六角密集：；金刚石：68663π。16证明：由于晶格常数为a，所以：a(1)．构成简立方时，最大球半径为R=，每个原胞中占有一个原子，m234⎛⎞aπ3∴V=π⎜⎟=am3⎝⎠26Vπm∴=3a6(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4R=3a，m每个晶胞中占有两个原子，34⎛3⎞3π3∴2V=×2π⎜a⎟=am3⎜4⎟8⎝⎠2V3πm∴=3a8(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4R=2a，m每个晶胞占有４个原子，34⎛2⎞2π3∴4V=×4π⎜a⎟=am3⎜4⎟6⎝⎠4V2πm∴=3a6(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知2 46c=R。原胞底面边长为2R。每个晶胞占有两个原子，mm34383∴2V=×2πR=πR，mmm332o463原胞的体积为：V=(2R)sin60gR=82Rmmm32Vπ2πm∴==V3261(5)．构成金刚石结构时，的体对角线长度等于两个最大球半径，即：432R=a，每个晶胞包含8个原子，m434⎛3⎞3π3∴8V=×8π⎜a⎟=am3⎜8⎟16⎝⎠8V3πm∴=3a164.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分o析的方法证明这一夹角为10928′。证明：如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶uuuvuuuv格常数为１。选择体对角线AB和CD，用坐标表示为{1,1,1}−和{1,1,1}−。所以,其夹角的余弦为：uuuvuuuvABCDg1cosθ=uuuvuuuv=−ABCD31o∴θ=arccos(−)10928=′35.试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。解：如图所示，面ABCD即(110)面，面CDE即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则3 在(110)面内选取只包含一个原子的面222AFGD，其面积为aga=a，所以其原子22数面密度为：12=222aa2在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG，22π32其面积为：(a)sin=a，234所以其原子数面密度为：1432=a332a46.若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：118×++××132=5（个）827.底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：1底心立方：×=81811侧心立方：×+×=843824 11边心立方：×+×812=484c88.试证六角密集结构中==1.63a3解：如图所示，ABC分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，Ｄ表示底面中心的原子。DABC构成一个正四面体，为长为a。DO⊥面ABC，则cDO=23133QDE=aOE,=ga=a，且DO⊥OE232622⎛3⎞⎛3⎞6则由勾股定理得，OD=⎜a⎟−⎜a⎟=a，⎜⎝2⎟⎠⎜⎝6⎟⎠326c268∴c=2OD=a，==≈1.633a335 第二章晶体中的衍射1.试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。方法1：面心立方：aa=(jk+)12aa=(k+i)（1）22aa=(i+j)32由正格子和倒格子的转换关系uruuruurb=2(πa×a)/Ω123uuruururb=2(πa×a)/Ωur2uruur31（2）b=2(πa×a)/Ω312uruuruur其中：Ω=a1•(a2×a3)得：ur2πrrrb=(−++ijk)1auur2πrrrb=(i−+jk)2（3）aur2πrrrb=(i+−jk)3a在体心立方中urarrra=(−++ijk)12uurarrra=(i−+jk)22（4）urarrrb=(i+−jk)32由（2）式可得6 ur2πrrb=(jk+)1auur2πrra=(ki+)2a（5）uur2πrra=(i+j)3a比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：uruur1ij=,a•b=2πδδ={ijijij0ij≠our2πrrrb=(−++ijk)1auur2πrrr由此可得面心立方的倒格子基矢：b2=(i−+jk)aur2πrrrb=(i+−jk)3aur2πrrb=(jk+)1auur2πrra=(ki+)同理可得体心立方的倒格子基矢：2auur2πrra=(i+j)3a比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。rrr2.abc,,为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（hkl）的晶面间距为222−1/2d=[(/)ha+(/)kb+(/)]lchklrrrrrurrrr解：a=aib,=bjc,=ck,Γ=•a(bc×)=abc由p19(2.2.7)知uurrr*a=2(πbc×)/Γuurrr*b=2(πca×)/Γuurrr*c=2(πab×)/Γ7 可得：uurr*2πa=iauurr*2πb=jbuurr*2πc=kcuuruuruuruurrrr***2π2π2π∴kh=ha+kb+lc=hi+kj+lkabcuuruur再由p22中kh和dhkl的关系：kh=2/πdhkl可得：=2π=2π=⎡h2+k2+l2⎤dhkluur222⎣()a()b()c⎦k()h+()k+()lhabc得证。3.六角密集结构如取如下原胞基矢urar3ruurar3rrra=i+aja,=−i+ajc,=ck122222试写出其倒格子基矢。uruurrarr⎡ar3rr⎤32方法一：Ω=a•(a×c)=(i+3)j•−⎢(i+j)×ck⎥=ac122⎣22⎦2uruurr2πrr∴b=2(πa×c)/Ω=(3i+3)j123auurrur2πrrb2=2(πca×1)/Ω=(3−+i3)j解得。3aururuurr"2πc=2(πa×a)/Ω=k12curuur方法二：由正格子和倒格子之间的关系：ai•bj=2πδij可得：2π23πb=,b=,b=0111213a3a8 2π23πb=−,b=,b=0212123a3a"""2πc=0,c=0,c=313233curuurr2πrr∴b=2(πa×c)/Ω=(3i+3)j123auurrur2πrrb=2(πca×)/Ω=(3−+i3)j213aururuurr"2πc=2(πa×a)/Ω=k12c224.如X射线沿简立方原胞的Oz负方向入射，求证当λ/a=2/(lk+l)和2222cosβ=(l−k)/(l+k)时，衍射光线在yz平面上，β为衍射线和Oz轴的夹角。证明：简立方的原胞的正格子基矢为：urra=ai1uurra=aj32Ω=auurra=ak3其倒格矢为：ur2πrb=i1auur2πrb=j2aur2πrb=k,3auur2πr2πr2πr∴k=hi+kj+lkhaaa由图可知：2β1cos+βlsinθ=cos==2222l+k9 2λ2ll将=，sinθ=代入2222ak+ll+kuur2πmk=2gsinθ得：hλ2π2221/22πlm（h+k+l）=2gg221/2aλ(l+k)2221/2221/2m(h+k+l)=(k+l)2当m=1，h=0时，上式可以成立uuruurruurrkrrrr当h=0时，h只有kj,分量，即k0只有k分量，而k−k0=kh,k亦只有y，z分量，即衍射光线在yz平面上。5.设在氯化钠晶体中，位于立方晶胞的（000），（1/21/20），（1/2−01/2）与（01/21/2）诸点；而Cl位于（1/21/21/2），（001/2），（01/20）与（1/200）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。解：p中的（2.4.11）可知：252⎡⎤Imh,mk,ml∞⎢∑fjcos2(πmhuj+mkvj+mlwj)⎥+⎣j⎦2⎡⎤⎢∑fjsin2(πmhuj+mkvj+mlwj)⎥⎣j⎦对于氯化钠晶胞：I∞⎡f+fcos(πmk+mh)+fcos(πmk+ml)+fcos(πmhml+)++⎤mh,mk,ml++++⎣NaNaNaNa⎦+f−cos(πmk+mhml+)+f−cosπml+f−cosπmk+f−cosπmhclclclcl2（1）当衍射面指数全为偶数时，I∞16(f++f−)衍射强度最大，Nacl−+2（2）当衍射面指数全为奇数时，I∞16(f+−f−)由于cl与Na具有不同的散Nacl射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。6.试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为f。10 解：几何结构因子rruururrrrikr•jFk()=∑fej其中rj=uavbwcj+j+jjuurruuruuruuruuruuruur***K=−kk=Khkl"""=mKhkl=mha(+kb+lc)0uurrruurrruurrr***a=2(πbc×)/,Γb=2(πca×)/,Γc=2(πab×)/,ΓrrrΓ=•a(bc×)为晶胞的体积。urrrrrj=uavbwcj+j+j。金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（000），（1/21/21/2），（1/201/2），（01/21/2），（1/41/41/4），（3/43/41/4），（3/41/43/4），（1/43/43/4）且八个原子为同种原子，∴金刚石型结构的几何结构因子为：uur111imπ(h+k+l)imhkπ(+)imhlπ(+)imlkπ(+)222FK()=f+fe+fe+fe+fe331313133imπ(h+k+l)imπ(h+k+l)imπ(h+k+l)+fe222+fe222+fe222uruura=0.125nma=0.250nma与ao7.设一二维格子的基矢1,2,12夹角a=120，试画出uruurbb,第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢12与正格子基矢间有如下关系：uruur1ij=,ba•=2πδδ,={ijijij0ij≠o解：a=0.125nma;=0.250nm12ururruurrr令a1=a,则a1=aia2=−ai+3ajuruurQb•a=2πδijijur2πr2πruur2πr∴b=i+jb，=j12a3a3a11 2π令=b。则3arrrb1=（3+）bijrrb2=bj中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。8.铜靶发射λ=0.154nm的X射线入射铝单晶，如铝（111）面一级布拉格o反射角θ=19.2，试据此计算铝（111）面族的间距d与铝的晶格常数。解：uurruurruurr*2π*2π*2πa=ib，=j，c=kaaah=k==l1，m=1uur2πr2πr2πruur2πk=i+j+kk，=3hhaaaa2dsinθ=λhklλd=≈0.234nmhkl02sin19.2uur2πk=hdhkl2π2π3=adhkla=3d=0.405nmhkl12 第三章晶体的结合1.试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。证明：设相邻原子间的距离为r，一个原子的最近邻、次近邻……原子均有2个，该晶体的马德隆常数为：222M=2−+−+……234111=2(1−+−……）234∞n−11=2[∑(1)−]n=1n=2ln2∴得证2.由实验测得NaCl晶体的密度为2.16g/cm3,它的弹性模量为2.14×1010UN/m2，试求NaCl晶体的每对离子内聚能c。（已知马德隆常数M=1.7476,NNa和Cl的原子量分别为23和35.45）解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0晶胞基矢长为2r，一个晶胞中含有四对正负离子对0∴一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：−63m(2335.45)10+×v=2r==023ρN2.166.0210××∴NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为：−8r=2.8210×cm=0.282nm0由晶体体积弹性模量的公式：2(n−1)MeB=，m436πεβr00并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数β=2，故由上式可得：436πεβr00n=+1B2mMe12−94363.148.8510×××××2(0.28210)×10=1+×2.4110×−1921.7476(1.610××)=7.8213 由平衡时离子晶体的内聚能公式：2NMe1U=−(1−)，c4πεrn00将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：2UMe1c=−(1−)N4πεrn00−1921.7476(1.610××)1=−−12−19(1−)43.148.8510××××0.28210×7.82−18=−1.2410×J3.LiF晶体具有NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离r=0.2014nm(10摩尔的内聚能U＝1012.8kJ/mol,以孤立离子系统的内能为能量的零点)。试c102计算该晶体的体积弹性模量B，并与它的实验植6.7110×Nm/进行比较。m2NMe1解：由平衡时离子晶体的内聚能公式：U=−(1−)，其中M=1.784c4πεrn00计算1mol的内聚能时，N=Na=6.02×1023，且r=0.2014，计算得：04πε00rUc−1n=(1+)2NMe−19−9343.148.8510××××0.201410××−(1012.810)×=[1+]23−1926.0210××1.748(1.610××)=6.332(n−1)Me∴Bm=436πεβr00LiF晶体具有NaCl结构，将β=2，n=6.33,r=0.2014代入上式得：晶体的弹0性模量为:2(n−1)MeB==7.242×1010(N/m2)m436πεβr007.2426.71−相对误差为：×100%=7.9%6.714.试说明为什么当正负离子半径比rr/>1.37时不能形成氯化铯结构，当−+rr/>2.41时不能形成氯化钠结构，当rr/>2.41时，将形成什么结构？−+−+14 已知：RbCl,AgBr,BeS的正负离子半径分别为：r（nm）r(nm)+−RbCl,0.1490.181AgBr,0.1130.196BeS0.0340.174若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。解：（1）要形成氯化铯的体心立方结构，正负离子的直径必须小于立方体的边长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。d2即：2r1.37时，不能形成氯化铯结构。−+要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。即：2r2.41时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构。−+r0.184−（2）RbCl,==1.2151.37<为氯化铯结构r0.149+晶格常数为：22a=(r+r)=×(0.1810.149)+=0.381nm+−33r0.196−AgBr,==1.731.37>为氯化钠结构r0.113+晶格常数为：a=2(r+r)=×2(0.1960.113)+=0.618nm+−r0.174−BeS：==5.118>2.41为闪锌矿结构r0.034+晶格常数为：88a=(r+r)=×(0.0340.174)+=0.34nm+−3315 5.由气体分子的实验测得惰性气体Xe的伦纳德——琼斯势参数ε=0.02eV,σ=0.398nm在低温下Xe元素形成面心立方的晶体，试求Xe晶Uc体的晶格常数a,每个原子的内聚能及体积弹性模量Bm。若对Xe晶体施N82加压力P=×610Nm/。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算Uc这些晶体的晶格常数a将变为多少？并求这时的内聚能将变为多少？N解：原子间的平衡间距为：r≈1.09σ=1.090.398×nm=0.434nm02r0因结构为立方晶体，则晶格常数为：a==0.614nm2Uc每个原子的内聚能为：≈−8.6ε=−8.60.02×=−0.172eVN−3−9−3−19体积弹性模量：Bm≈75εσ=750.02(0.39810)××××1.610×=3.81×109N/m2∂P由体积弹性模量的定义式可知：Bm=−V()T∂VVdVV3∴P=−Bm∫=−Bmln因为：V=NrβVVV00r故P=−3Bmlnr08P610×−−9∴r=reBm=0.434×e33.8110××=0.412nm0/r∴晶格常数a=2r=0.583nmσ=1.092/Ur()ABm•σc6内聚能=−ε≈−8.6×=−0.149N2A75126.原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一，请证明由sp3杂化后的未ϕϕϕϕ配对电子轨道1,2,3,4也相互正交归一：*ϕϕτd=δ(,ij=1,2,3,4)∫ijij如已知在球面极坐标中，轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz可写成：12s=Rr()g22π132p=Rr()gsincosθϕx22π16 132p=Rr()gsinsinθϕy22π132p=Rr()gcosθz22πϕϕϕϕ请求出杂化轨道1,2,3,4在球面坐标中的表达式并由此求出杂化轨道具有最大值的方向。解：（1）Q原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz相互正交、归一1且ϕ=(2s+2p+2p+2p)1xyz21ϕ=(2s−2p−2p+2p)2xyz21ϕ=(2s−2p+2p−2p)3xyz21ϕ=(2s+2p−2p−2p)4xyz21**∴ϕϕτd=(2s+2p+2p+2p)(2s−2p−2p+2pd)τ∫12∫xyzxyz41****=[22ssdτ−2p2pdτ−2p2pdτ+2p2pdτ]∫∫xx∫yy∫zz41=(1111)−−+4=0其余同理可证，波函数ϕϕϕϕ相互正交。1,2,3,41**∴ϕϕτd=(2s+2p+2p+2p)(2s+2p+2p+2pd)τ∫11∫xyzxyz41*=(2s+2p+2p+2p)(2s+2p+2p+2pd)τ∫xyzxyz41****=[22ssdτ+2p2pdτ+2p2pdτ+2p2pdτ]∫∫xx∫yy∫zz41=(1111)+++4=1其余同理可证，波函数ϕϕϕϕ归一。1,2,3,4∴*亦可以证明ϕϕτd=δ(,ij=1,2,3,4)∫ijij（2）ϕϕϕϕ在球面坐标中的表达式为：1,2,3,417 1ϕ=Rr()g(1+3sincosθϕ+3sinsinθϕ+3cos)θ124π1ϕ=Rr()g(1−3sincosθϕ−3sinsinθϕ+3cos)θ224π1ϕ=Rr()g(1−3sincosθϕ+3sinsinθϕ−3cos)θ324π1ϕ=Rr()g(1+3sincosθϕ−3sinsinθϕ−3cos)θ424π∂ϕ∂ϕ1,1,（3）ϕ具有最大值时=0,=0,1,∂θ∂ϕ2(sinϕ+cos)cosϕθ=sinθsinϕ=±2sinϕ=cosϕtanθ=±2∂ϕ∂ϕ2,2,ϕ具有最大值时=0,=0,2,∂θ∂ϕ2−(sinϕ+cos)cosϕθ=sinθsinϕ=±2sinϕ=cosϕtanθ=m2∂ϕ∂ϕ3,3,ϕ具有最大值时=0,=0,3,∂θ∂ϕ2(cosϕ−sin)tanϕ=θsinϕ=±2sinϕ+cosϕ=0tanθ=m2∂ϕ∂ϕ4,4,ϕ具有最大值时=0,=0,4,∂θ∂ϕ2(sinϕ−cos)tanϕ=θsinϕ=±2sinϕ+cosϕ=0tanθ=±2轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值：P*2Q=ϕϕ=ϕii∴对ϕ1,2∂ϕ1=00∂θθ1=54.7320∂ϕ1ϕ1=45=0∂ϕ同理可得：18 000θ=54.73θ=144.73θ=144.73234000ϕ=225ϕ=135ϕ=31523411137.sp2杂化轨道可写成ϕ=(2s+22gp)，ϕ=(2s−g2p+g2p)，1x2xy3322113ϕ=(2s−g2p−g2p)在球面系中写出轨道表达式，并求杂化轨道最大3xy322值的方向。1解：在球坐标系中：由2s=Rr()g22π132p=Rr()gsincosθϕx22π132p=Rr()gsinsinθϕy22π132p=Rr()gcosθz22π可得：Rr()2ϕ=(1+6sincos)θϕ123πRr()332ϕ=(1−sincosθϕ+sinsin)θϕ223π22Rr()332ϕ=(1−sincosθϕ−sinsin)θϕ323π22∂ϕ∂ϕϕ1,1,具有最大值时=0,=0,1,∂θ∂ϕcosθ=0sinθ=0coscosθϕ=0或cosϕ=±1sinϕ=±1sinsinθϕ=0∂ϕ∂ϕϕ2,2,具有最大值时=0,=0,2,∂θ∂ϕ33−coscosθϕ+cossinθϕ=02233sinsinθϕ+sincosθϕ=02219 cosθ=0sinθ=0π或πsin(ϕ−)=±1cos(ϕ−)=±166∂ϕ∂ϕϕ3,3,具有最大值时=0,=0,3,∂θ∂ϕ33sinsinθϕ−sincosθϕ=02233−coscosθϕ−cossinθϕ=022cosθ=0sinθ=0π或πsin(ϕ+)=±1cos(ϕ+)=±16622∂ϕ∂ϕii利用=0,=0（i=1,2,3）可得：∂θ∂ϕ000θ=90θ=90θ=90123，，000ϕ=0ϕ=120ϕ=24012320 第四章晶格振动和晶体的热学性质1.一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。解：设第n个原子的势能函数为∞12U=∑βm(xn−xnm+)2m=−∞(m≠0)其中，β为与第n个原子的相距ma的原子间的恢复力常数，a为晶格常数。则，m第n个原子的受力为∂UF=n∂xn∞=∑βm(xnm+−xn)m=−∞(m≠0)∞=∑[βm(xnm+−xn)+β−m(xnm−−xn)]m=1∞=∑βm(xnm++xnm−−2)xnm=1其中，利用了β=β。第n个原子的运动方程为m−mMx&&=Fnn∞=∑βm(xnm++xnm−−2)xnm=1令其试解为iqna[−ωt]x=Aen代入运动方程得∞2iqma−iqma−Mω=∑βm(e+e−2)m=1∞=∑2βm[cos(qma)1−]m=1∞2qma=−∑4βmsin()m=12故，∞212qmaω=∑4βmsin()Mm=1221 2.聚乙烯链L−CH=CH−CH=CH−L的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为M，但每个原子与左右的力常数分别为β1和β，原子链的周期为a。证明振动频率为21⎡⎤⎢⎛2qa⎞2⎥4ββsin2β1+β2⎢⎜122⎟⎥ω=1+⎜1−⎟M⎢⎜β+β2⎟⎥(12)⎢⎥⎝⎠⎢⎣⎥⎦解：单键及双键的长分别为b和b，而12a=b+b12β2β1β2β1L−CH=CH−CH=CH−CH=L(n−1,2)b1(,1)nb2(,2)n(n+1,1)原子(,1)n与(,2)n的运动方程分别为Mun&&(,1)=β1⎡⎣un(−1,2)−un(,1)⎤⎦−β2⎡⎣un(,1)−un(,2)⎤⎦Mun&&(,2)=β2⎡⎣un(,1)−un(,2)⎤⎦−β1⎡⎣un(,2)−un(+1,1)⎤⎦令这两个方程的试解为iqna(−ωt)un(,1)=Aeun(,2)=Beiqnab[(+2)−ωt]把试解代入运动方程得−Mω2A=β⎡Be−iqb1−A⎤−β⎡ABe−iqb2⎤1⎣⎦2⎣⎦−Mω2B=β⎡Ae−iqb2−B⎤−β⎡B−Aeiqb1⎤2⎣⎦1⎣⎦有非零解的条件为β+β−Mω2−βe−iqb1−βeiqb21212=0−βe−iqb2−βeiqb1β+β−Mω22112解得222222(Mω)−2(β1+β2)(Mω)+(β1+β2)−⎡⎣β1+β2+2ββ12cos(qb1+b2)⎤⎦=0利用b+b=a，方程的解为121⎡⎤⎢⎛2qa⎞2⎥4ββsin2β1+β2⎢⎜122⎟⎥ω=1±⎜1−⎟±⎢2⎥M⎜(β1+β2)⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎣⎥⎦22 3.求一维单原子链的振动模式密度g(ω)，若格波的色散可以忽略，其g(ω)具有什么形式，比较这两者的g(ω)曲线。解:(1)一维单原子链的晶格振动的色散关系为qaβω=ωsin其中，ω=2mm2M此函数为偶函数，只考虑q≥0的情况，下式右边乘2。ω:ω+dω区间振动模式数目为l1g()ωdω=×2dω2πgradω1dωaqaa222其中，gradω==ωcos=(ω−ω)mmdq222故色散关系为12l22−2g(ω)=(ωm−ω)πa12N22−2=(ωm−ω)π其中，l为单链总长，a为晶格常数，因此，N为原子个数。(2)若格波没有色散，既只有一个ωE（爱因斯坦模型）。而且振动模式密度函g(ω)数满足下面关系∫g(ωω)d=N故，g(ω)为δ函数g(ω)=Nδωω(−E)(12)()色散关系的曲线图如下：22-1/2g(ω)=2N(ω−ω)/πmg(ω)g(ω)=Nδ(ω−ω)Eω23 122−34.金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为10Nm⋅，密度ρ=3.5gcm⋅。试估算它的德拜温度Θ=?D解：德拜温度为hωDΘ=DkB123⎛6πN⎞Y将ω=⎜⎟V，V=，代入上式Dss⎝V⎠ρ123hY⎛6πN⎞Θ=⋅⎜⎟DkBρ⎝V⎠123hY⎛6πρ⎞=⋅⎜⎟kBρ⎝N⎠1−34122331.054610×10⎛63.14××3.510×⎞=⋅⎜⎟K−233−271.380710×3.510×⎝121.660510××⎠≈2817K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。123⎛6πN⎞解：在德拜模型中，纵波与横波的最大振动频率均为ω=⎜⎟V，其中Ds⎝V⎠11⎛12⎞=⎜+⎟。333V3VVs⎝lt⎠22VωVωgl(ω)=23,gt(ω)=232πV2πVlt纵波的零点振动能为ωDhωU0l=∫⋅gl(ω)dω022ωDhωVω=⋅dω∫022π2V3lhV4=ω23D16πVl同理，两支横波的零点振动能均为24 ωDhωU0t=∫⋅gt(ω)dω022ωDhωVω=⋅dω∫022π2V3thV4=ω23D16πVt故，总的零点振动能为U=U+2U00l0thV4hV4=ω+2ω23D23D16πV16πVlt23hV1⎛12⎞6πN3=⋅⎜+⎟⋅V⋅ω233sD16π3VVV⎝lt⎠9N=hωD86.一根直径为3mm的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K的温度达到一个锐的极大值，试估计此极大值。（蓝宝石在T=Θ=1000K时，D−13−3−1c=10TJm⋅⋅K）v解：在低温情况下，热导率的表达式为1κ=clνν3−13−3−1其中，c=10TJm⋅⋅K，而且由于直径很小，自由程l≈d=3mm，所以vκ=2.7ν而声速ν由德拜模型求取，在德拜模型中，(N为原胞个数)11122323⎛30πN⎞3⎛30πNM⋅AlO⎞⎛30πρ⎞Θkω=⎜⎟V=⎜23⎟V=⎜⎟V，ω=DBDs⎜⋅⎟s⎜⎟sD⎝V⎠⎝VMAlO23⎠⎝MAlO23⎠h故，1−Θk⎛30πρ2⎞3DB3−1,ρ⋅-3V=⎜⎟≈6.8410×ms⋅(其中=4gcm)s⎜⎟hM⎝AlO23⎠3−1ν=V≈6.8410×ms⋅，代入κ=2.7ν中，得s4−1−1κ=1.8510×Wm⋅⋅K7.Na和Cl的原子量分别为23和37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在[100]25 方向可以看作是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nm。NaCl晶体的杨10−2氏模量为510×Nm⋅，如果全放射的光频率与q=0的光频模频率相等，求对应的光波波长（实验值为61µm）。解：在一维双原子链模型中，q=0时，光频模频率为1⎡⎛11⎞⎤2ω(0)=⎢2β⎜+⎟⎥MM⎣⎝12⎠⎦杨氏模量为L⎛∂F⎞dY=⎜⎟=β2A⎝∂l⎠dT故，β=dY光波波长为2πλ=cT=⋅cω2πc=1⎡⎛11⎞⎤2⎢2β⎜+⎟⎥MM⎣⎝12⎠⎦2πc=1⎡⎛11⎞⎤2⎢2dY⎜+⎟⎥MM⎣⎝12⎠⎦≈54.6µm10−28.立方晶体有三个弹性模量C，C和C。铝的C=10.8210×Nm⋅，1112441110−2C11C=2.8510×Nm⋅，铝沿[100]方向传播的弹性纵波的速度ν=，横44lρC443−3波速度ν=，Al的密度ρ=2.7010×kgm⋅。求德拜模型中铝的振动tρ模式密度g(ω)。解：德拜模型中，振动模式密度为23Vωg(ω)=23,(ω≤ωD)2πVs其中，26 123⎛6πN⎞11⎛12⎞ω=⎜⎟V，=⎜+⎟Ds333⎝V⎠Vs3⎝VlVt⎠CC1144将ν=，ν=代入上式ltρρ11⎛12⎞=⎜+⎟333V3VVs⎝lt⎠33⎡⎤1⎢⎛ρ⎞2⎛ρ⎞2⎥=⎜⎟+2⎜⎟3⎢CC⎥⎝11⎠⎝44⎠⎢⎣⎥⎦−11−33≈2.07510×m⋅s所以，3−1V=3.6410×ms⋅s代入ω中，D123⎛6πN⎞ω=⎜⎟VDs⎝V⎠123⎛6πNM⋅⎞Al=⎜⎟Vs⎝VM⋅⎠Al123⎛6πρ⎞=⎜⎟VsM⎝Al⎠13−1=5.5610×rads⋅故，23Vωg(ω)=232πVs3−122=×2.07510×ωV223014×−122≈3.15710×ωV13−1其中，ω≤ω=5.5610×rads⋅。D27 第六章金属电子论1.导出一维和二维自由电子气的能态密度。解：一维情形由电子的Schrödinger方程：22hdϕ−⋅=Eϕ22mdxLLL2mdE得自由电子波函数解：dz=⋅2dk=dk=2πππh2E22hk且有：E=2m由周期性边界条件：ϕ(xL+)=ϕ()x得：2πk=nL在k=2mE/h到k+dk区间：LLL2mdEdZ=⋅2dk=dk=2πππh2E12m−那么：dZ=LgEE()d，其中：gE()=E2112πh二维情形同上，由电子的Schrödinger方程：2h2−∇ϕ=Eϕ2m1ikr⋅2得自由电子波函数解：ϕ()r=e，S=LS222hkh22且：E()k==(k+k)xy2m2m由周期性边界条件：⎧ϕ(xLy+,)=ϕ(,)xy⎨⎩ϕ(,xy+L)=ϕ(,)xy2π2π得：k=n，k=nxxyyLL在k=2mE/h到k+dk区间：28 22SLmLdZ=⋅2dk=⋅2πkdk=dE222(2π)2ππh那么：dZ=SgEE()d2m其中：gE()=2πh2.若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：⎡⎛2⎞⎤πhnsµ()T=kTlnexp⎢⎜⎟−1⎥BmkT⎣⎝B⎠⎦m解：由前一题已经求得能态密度：gE()=πh电子气体的化学势µ由下式决定：2∞2Lm∞dEN=gELE()d=∫0πh2∫0e(E-µ)/kTB+1N令(E−µ)/kT≡x，并注意到：n=Bs2LkTm∞−1Bxns=2∫(e+1d)xπh−µ/kTBxkTm∞deB=π2∫−µ/kTxx1hBee(+)∞xkTmeB=ln2xπhe+1−µ/kTBkTmBµ/kTB=2ln(e+1)πh那么可以求出µ：⎡⎛2⎞⎤πhnsµ()T=kTlnexp⎢⎜⎟−1⎥BmkT⎣⎝B⎠⎦证毕。3.He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081g／cm3。计算它的费米能EF和费米温度TF。解：He3的数密度：NNMNρn==⋅=ρ⋅=VMVMm29 其中m是单个He3粒子的质量。112323⎛3πρ⎞kF=(3πn)=⎜⎟⎝m⎠可得：222223hkh⎛3πρ⎞FE==⎜⎟F2m2m⎝m⎠－23－4代入数据，可以算得：EF＝6.8577×10J=4.28×10eV.EF则：T=＝4.97K.Fk4.金属钾在低温下的摩尔电子比热的实验值为：ce＝2.08TmJ／mol·K，试用自由电子气模型求它的费米能EF及状态密度g(EF)。解：考虑费米球模型，在费米面以内的粒子吸收能量跃出费米面的数目期望是：∞1/29kTN=c∫3EdE=NEF−kT4E2F这些粒子共吸收能量：3N⋅kT22227kTBE==⋅N4EF则相应的热容量为：2∂E27kTBC==⋅=λTve∂T4EF227kB其中：λ=⋅4EF由题设数据，代入上式，可求出E及g(EF)：F227kNBA－3E=＝2.235×10eVF43nVN3NA45gE(F)===2.425×102E2EFF－65.银是一价金属，在T＝295K时，银的电阻率ρ＝1.61×10Ω·cm，在T＝－820K时，电阻率ρ＝0.038×10Ω·cm。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为107.87，密度为10.5g／cm3。解：由30 1mVFρ==2σnel可得：mVFl=2neρ又：NNMNNρ⋅NA0An==⋅=ρ⋅⋅=0VMVNMMAs其中N为阿伏加德罗常数，M为Ag的原子量，ρ为Ag的密度。将As0上式代入l的表达式，并代入数据可得：－4当T＝295K时，l=3.7×10m,当T＝20K时，l=1.6m.6在计算过程中，已取VF=10m.6.HunterS.C.和F.R.N.Nabarro曾计算铜中每厘米位错线引起的电阻率如下：－20刃型位错∆＝0.59×10Ω·cmρE－20螺型位错∆ρ＝0.18×10Ω·cmS2假定刃型位错和螺型位错有相同的密度（位错密度为1cm有多少条位错线）。－8已知位错产生的电阻率∆ρ＝2×10Ω·cm，问铜中的位错密度是多少？解：设密度为x，由题意可以列出方程：(∆ρE+∆ρS)⋅=∆xρ∆ρ12x=＝2.6×10(∆ρE+∆ρS)－103－17.在室温下金属铍的霍尔系数为2.44×10m·C，求铍中空穴密度。1解：由霍尔系数定义R=得：Hpe128－3p=＝2.56×10meR⋅H8.试计算Cs在T＝1000K时热电子发射的电流密度。解：电子热发射的电流密度函数为：31 φ23−j=4πemkT(()/h)ekT由教材表6-3可查得Cs的功函数为1.81eV。代入数据到上式中可以算得：2－2j＝9.2×10A·m9.Al等离子体能量hω的实验值为15.3eV，按照自由电子气模型的电子密度p22－3为n＝18.06×10m，求hω的理论值。p解：由等离子体振荡频率关系式：22neω=pεm0故：nhω=he＝15.7eV.pεm032 第七章周期场中的电子态1.一维周期场中电子的波函数ψ(x)应满足布洛赫定理。若晶体常数是a,电子k的波函数为x(i)ψk(x)=sinπ;a3x(ii)ψk(x)=icosπ;a∞(iii)ψk(x)=∑fxla(−)(f是某个确定的函数)，l=−∞试求电子在这些状态的波矢。解：ruurTψ=eikR•lψlπiπika(i)ψk(xa+)=sin(xa+)=eψk(x)=eψk(x)aπ∴ka=π,∴=ka3πiπika(ii)ψk(xa+)=icos(xa+)=eψk(x)=eψk(x)aπ∴ka=π,∴=ka∞∞(iii)ψk(xa+)=∑fxala(+−)=∑fx(−(l−1)a)l=−∞l=−∞∞"=∑fxla(−)=ψk(x)l=−∞∴ka=∴=0,k02.电子在周期场中的势能1222mω⎡b−(xna−)⎤,当nab−≤x≤nab+V（X）=2⎣⎦0,当(n-1)ab+≤x≤nab−且a=4b,ω是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：势能曲线为：33 aa111222V=2Vxdx()=4mω⎡b−(xna−)⎤dx∫a∫a⎣⎦a−a−22422mωa=963.用近自由电子模型处理上题，并求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。解：2π2πinxinxVx()=∑Vea=V+∑"Vean0nnn为简单计算，令V=00a2π1−ixV=2Vxe()adx1∫aa−222mωa=34πa4π1−ixV=2Vxe()adx2∫aa−222mωa=232π22mωa∴第一个禁带宽度为：2V=132π22mωa第一个禁带宽度为：2V=2216π2h⎛71⎞4.已知一维晶体的电子能带可写成Ek()=⎜−coska+cos2ka⎟,式中a2ma⎝88⎠是晶格常数。试求：（i）能带的宽度；（ii）电子在波矢k的状态时的速度；（iii）能带底部和顶部电子的有效质量。解：34 2h⎛71⎞(iEk)()=⎜−coska+cos2ka⎟,2ma⎝88⎠2h⎡121⎤=(coska−2)−2⎢⎥ma⎣44⎦当k=0时，E=0,min2π2h当k=时，E=;max2ama22h∆=EE−E=maxmin2ma22h∴能带的宽度为：2mar1r(iiv)=∇kEk()hh∴=−v(sin2ka−4sinka)4ma(iii)在能带底部，将Ek()在k=0附近用泰勒级数展开，可得：22hkE=E+min4m22hk=E+min∗2m∗∴m=2mf0ππ在能带顶部，将Ek()在k=附近用泰勒级数展开，令k=+k可得：δaa23h2E=Emax−(δk)4m22h(δk)=E+max∗2m∗2∴m=−mp035.如图所示平面正六方晶格是复式格子，若原胞中的原子属于同一元素，试求此晶体的结构因子。解：如图所示：由于红色和紫色的原子不等价，阴影部分为一个原胞。原胞中包含两个原子。35 uurr设a=k,由图可得：3ur3r3ruur3r3ra=ai+aj,=-aai+aj,则：122222uruur332原胞面积A=Ω=a×a=aC122uuruurur2π(a2×a3)2π⎛3r1r⎞b==⎜i+j⎟1Ωa⎜33⎟⎝⎠uururuur2π(a3×a1)2π⎛3r1r⎞b==⎜−i+j⎟2Ωa⎜33⎟⎝⎠uururuur4πrk=b+b=jh123a原胞中两个原子相对于原胞顶点的位矢分别为：uur1ur1uurrd=a+a=aj11233uur2ur2uurrd=a+a=2aj21233晶体的结构因子为uur2uuruur4πrr4πrr−ikh•dj−ijaj•−ij•2ajSk()=∑e=e3a+e3a=−1hj=1uury6.用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出其能带为：r⎡kaxkaykaykazkaxkaz⎤Ek()=E0−A−4J⎢coscos+coscos+coscos⎥，⎣222222⎦并求能带底部电子的有效质量。36a2 解：面心立方的每个格点有12个最近邻，如晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这12个最近邻的坐标为：⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎜,−,0;⎟⎜,,0;⎟⎜−,,0;⎟⎜−,−,0;⎟⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎜0,−,−⎟⎜;0,,−⎟⎜;0,,⎟⎜;0,−,⎟;⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎛aa⎞⎜,0,−⎟⎜;,0,⎟⎜;−,0,⎟⎜;−,0,−⎟;⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠⎝22⎠rruurEk()=Es+C−J∑eikR•llr⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞⎡ik•⎜i−j⎟ik•⎜i+j⎟ik•−⎜i+j⎟ik•−⎜i−j⎟ik•−⎜j−k⎟ik•⎜j−k⎟⎤e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠s⎢⎥=E+C−J⎢r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞r⎛arar⎞⎥ik•⎜j+k⎟ik•−⎜j+k⎟ik•⎜i−k⎟ik•⎜i+k⎟ik•−⎜i+k⎟ik•−⎜i−k⎟⎢⎣+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠+e⎝22⎠⎥⎦s⎡kaxkaykaykazkaxkaz⎤=E+C−4J⎢coscos+coscos+coscos⎥⎣222222⎦对于上式表示的能带，其最小值位于倒空间的原点，sE=E+C−12JminE=E,令A=−12J，则0minr⎡kaxkaykaykazkaxkaz⎤Ek()=E0−A−4J⎢coscos+coscos+coscos⎥⎣222222⎦将上式中三角函数在k=0附近展开，可得：r2222Ek()=Emin+Ja(kx+ky+kz)22hk=E+min∗2m2∗hm=f022Ja7.二维正方晶格的周期性势场可表示为：⎛2π⎞⎛2π⎞V(x,y)=−4cosU⎜x⎟cos⎜y⎟⎝a⎠⎝a⎠⎛ππ⎞a为晶格常数，试由自由电子近似计算布里渊区边界点⎜,⎟处的能隙。⎝aa⎠解：37 2π2πimxinyVx,y()=∑Veaeamnmn,2π2πimxiny=V+∑"Veaea00mnmn,为简单计算，令V=0，00aa2π2π1−imx−inyV=22Vx,y()eaeadxdymn2∫∫aaa−−22⎛ππ⎞在边界点⎜,⎟处，m=1,n=1⎝aa⎠aa2π2π1−ix−iyV=22Vx,y()eaeadxdy112∫∫aaa−−22aa12π2π=22Vx,y()cosxcosydxdy2∫∫aaa−−aa22=−U⎛ππ⎞∴在边界点⎜,⎟处的能隙为2V=2U11⎝aa⎠8.图为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a，只计入最近邻相互作用，试用rr紧束缚近似计算其s电子能带Ek()、带中电子的速度vk()以及能带极值附∗近的有效质量m。解：三角形晶格的每个格点有6个最近邻，晶格常数为a，取某格点为坐标原点，则这6个最近邻的坐标为：38 ⎛a3⎞⎛a3⎞⎛a3⎞⎛a3⎞(a,0;)⎜,a⎟⎜;−,a⎟;(−a,0;)⎜−,−a⎟⎜;,−a⎟.⎜⎝22⎟⎜⎠⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎜⎠⎝22⎟⎠rruurEk()=Es+C−J∑eikR•ll⎡rrr⎛ar3r⎞r⎛ar3r⎞rrr⎛ar3r⎞r⎛ar3r⎞⎤ik•⎜i+aj⎟ik•−⎜i+aj⎟ik•−⎜i−aj⎟ik•⎜i−aj⎟s⎢ikai•⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠ik•−(ai)⎜⎝22⎟⎠⎜⎝22⎟⎠⎥=E+C−Je+e+e+e+e+e⎢⎥⎣⎦⎛ka3ka⎞sxy=E+C−J⎜2coska+4coscos⎟x⎜22⎟⎝⎠rr1rvk()=∇kEk()h2Ja⎡⎛ka3ka⎞uur⎛ka3ka⎞uur⎤xyxy=⎢⎜sinka+sincos⎟e+⎜3cossin⎟e⎥xxyh⎢⎜22⎟⎜22⎟⎥⎣⎝⎠⎝⎠⎦能带的极小值位于倒空间的原点，sE=E+C−6Jmin⎛4π⎞⎛2π2π⎞极大值位于倒空间的⎜,0⎟,⎜,⎟两点，⎝3a⎠⎝3a3a⎠sE=E+C+3Jmaxrr在能带极小值，将Ek()中的三角函数在k=0附近用泰勒级数展开可得：r3222Ek()=Emin+Ja(kx+ky)222hk=E+min∗2m2∗hm=f023Ja⎛4π⎞r4π在能带极大值，如⎜,0⎟附近将Ek()中的三角函数用泰勒级数展开，令k=x+k,δx⎝3a⎠3ak=k,δ可得：yyr322Ek()=E−Ja2⎡(δk)+(δk)⎤max4⎢⎣xy⎥⎦22h(δk)=E+min∗2m2∗2hm=−p023Ja39'