固体物理学习题解答(完整版).doc 33页

'《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a那么，==1.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：正方a=ba^b=90°六方a=ba^b=120°矩形a≠ba^b=90°带心矩形a=ba^b=90°平行四边形a≠ba^b≠90°1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此………(1)33 由于a3=–（a1+a2）把（1）式的关系代入，即得根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），→，→，→，（100）→，（010）→，→1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：边长为a的立方晶胞中堆积比率为假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：θ==（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么：θ==（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：θ==33 （4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此θ==（5）对于金刚石结构Z=8那么=.1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积===27*10-30(m3)原胞的体积===13.5*10-30(m3)1.7六方晶胞的基失为：，，求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积Ω=a·（b*c）=那么，倒格子的基矢为，，其第一布里渊区如图所示：1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a333 上的截距分别为，，。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到故1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下序号12345θ/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式得同法得33 应用立方晶系面间距公式可得晶格常数把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为用正交关系式求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设由得到下面四个方程式（1）（2）（3）（4）由（1）式可得：由（2）式可得：33 由（3）式可得：由（4）式可得：于是得出倒易点阵基矢33 第三章习题答案3.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m－1解：一维单原子链的解为据周期边界条件，此处N=5,代入上式即得所以＝2（为整数）由于格波波矢取值范围：。则故可取－2，－1，0，1，2这五个值相应波矢：,,0,,由于，代入，m及q值则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×10133.2求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N解：对一维单原子链，所以（1）由色散关系求得（2）而，则由（1）式可得由于，则总的振动模数为33 令，则积分限为0到，故3.2设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为解：由书上（3－69）式可得（1）由（3－71）可得由此可得，代入（1）式得3.3对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求（1）光学波的最高频率和最低频率和；（2）声学波的最高频率；（3）相应的声子能量（以eV为单位）；（4）在300K可以激发频率为，和的声子的数目；（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解：（1）（2）（3）33 ，，（4）光速，3.5设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10，且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，β10ββ10βmx2n-1x2nx2n+1x2n+2原子的运动方程应是即求格波解，令，代入运动方程，可导出线性方程组为：令，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得可解出色散关系见下图时，，，33 时，，，3.6．在一维双原子链中，如，求证[证]由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支，由近似式，得，对，由于，33 3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。[证]由（3－18）第一式得，当时且对声学支，代入上式即得：，故A＝0，轻原子静止再由（3－18）第二式得，当时且对光学支，，代入上式即得故B＝0，重原子静止3.8设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率，其中M是原子质量。[解]当质量为M的原子以频率及等于原子间距的10％的振幅振动时，其振动能为：在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为，于是有，由此得33 3.7按德拜近似，试证明高温时晶格热容证明：由书（3.73）式可知在高温时，，则在整个积分范围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为将上式代入的表达式，得3.8设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能解：由（3－69）式知，状态密度则3.9在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于证明：此题可推广到任意维m，由于33 而德拜模型中，故令，则上式变为在低温时则积分为一个于T无关的常数故对三维m＝3对本题研究的二维m＝2对一维m＝13.7设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为，b为待定常数，平衡间距，求线膨胀系数。解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数其中：，由平衡条件，由于，33 3.7已知三维晶体在附近一支光学波的色散关系为，试求格波的频谱密度解：则这是q空间的一个椭球面，其体积为，而，，q空间内的状态密度，故椭球内的总状态数N为故33 第四章4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式可得=5.682*10-124.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。答：由公式可得=2*1015*0.02=4*10134.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。答：（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数由此而引起晶体熵的增量为33 设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变（1）热平衡时，，并应用斯特令公式，从（1）式得因为实际上N»n，于是得n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是式中a为离子最近邻距离。因为为晶体原有的体积，有上式可得4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：T/K8781007117612531322D/m2·s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16试确定常数Do和扩散激活能EA.答：由公式，可得当T=878，D=1.6*10-20时，D01=4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。答：由公式可得：对于铜对于硅33 4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。答：4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿方向滑移、位错线和平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。答：如图所示：4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是。晶向上原子间距为a，因此，4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。第六章6.1一维周期场中电子的波函数应满足布洛赫定理，若晶格常数为，电子的波函数为（1）33 （2）（3）（f是某个确定的函数）试求电子在这些状态的波矢解：布洛赫函数为（1），，（2）同理，，，（3）此处，，6.2已知一维晶格中电子的能带可写成，式中是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底的电子的有效质量解：能带宽度为，由极值条件，得上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为当k＝0时，取极小值，且有当时，取极大值，且有33 由以上的可得能带宽度为（2）电子的平均速度为（3）带顶和带底电子的有效质量分别为6.2一维周期势场为，其中，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为，其中是周期势场傅立叶级数的系数，该系数为：求得，第一禁带宽度为第二禁带宽度为33 6.2用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出，与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。解：根据紧束缚近似，对一维，最近邻则为余弦函数（图省）有效质量的图也省在原点附近，很小，在布里渊区边界，，，6.3某晶体电子的等能面是椭球面，坐标轴1，2，3互相垂直。求能态密度。33 解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为将上式与椭球公式比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积由上式可得能量区间内电子的状态数目是晶体体积，电子的能态密度6.2已知能带为：其中，，为晶格常数，试求（1）能带宽度（2）电子在波矢状态下的速度（3）能带底附近电子的能态密度解：（1），，，33 可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值故，能带宽度（2）其中在时（3）能带底n为偶数，可取为零，故，，均很小据有用和6.5题相同的方法，其中，，，则：33 6.2用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。解：对二维正三角晶格（如图），yx6个最近邻的坐标为，，，，，代入上式并化简得：电子速度：，其中由于33 6.2用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带（1）证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。（2）画出[100]与[111]方向的曲线。（3）画出平面内能量的等值线。解：（1）面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在将这些Rs代入上式并简化可得：在k＝0附近，，，，均很小，利用，（x<<1,则得故由于其余（2）在[100]方向，，则即可按此函数作图（图省）在[111]方向，33 可据上函数作图（图省）（1）在平面内，等值线即（C为常数）6.2对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。解：s态电子能带可表示为对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：，，化简后即得：故由于，可看出时，为极大值，即而，。即时，为极小值，即故带宽在带底附近，由于，用，则33 这显然是一个球形有效质量，所以在带顶附近，可写为，很小则这显然也是个球形而，6.2金属铋的导带底部有效质量倒数张量为求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质解：的逆矩阵即为矩阵，用矩阵计算方法，可求得，，，，其余为0为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项），并假定能带底E＝0，在能带底一阶导数为0，即，且＝33 故有显然等能面是一个椭球面固体物理第七章答案7.3（1）先决定导带底及价带顶的极值位置导带极小值的能量价带极大值的能量禁带宽度Eg为（2）导带底电子有效质量价带顶电子有效质量（3）33 7.4重空穴能量比轻空穴小7.57.6（1）利用类氢模型，InSb中施主杂质的电离能为（2）施主杂质的玻尔半径（3）锑化铟为fcc结构，晶体的总体积一个施主杂质所波及的体积为因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为：每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为：33 7.7运动方程B平行于Z轴，载流子是电子时，稳态时，时间导数为0，其中，，称为回旋频率，解得其中，v同理，当载流子是空穴时：总电流33 令jy=0求得：代入jx表达式，并由霍耳系数定义式得：略去得7.8由7.42可得7.9在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时，导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。其中，称为有效能级密度，当施主电离很弱时，，可略去右边分母中的1。33 若要使则7.10通过p-n结的电流与偏压的关系为当T=300K，V=0.15V时，1eV/kBT=5.8，因此，反向电流实质上便是I0，故正向电流为第九章9.1Sn在零磁场时Tc为3.7K，在绝对零度时的临界磁场Hc（0）为24*103A/m。求当T为2K时的临界磁场Hc。如果2K时半径为0.1cm的Sn线通过电流，问：在超导线表明的磁场强度H等于Hc（2K）时的临界电流为多少安培？答：由公式可得=16.988*103（A/m）9.2已知Hg和Pb的德拜温度分别为70K和96K，临界温度Tc分别为4.16K和7.22K，低温电子比热分别为1.79和2.98，求Hg和Pb的有效吸引能VPb/VHg之值。9.3试推证穿透深度的表示式。答：将London方程（1）两边求导得33 （2）再由Maxwell方程得到代入（2）得到（3）由于j=nqv，n为载流子密度，且。则与（3）式比较，得所以9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体？答：超导体按磁化特性可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场Hc，其。很明显在超导态，磁化行为满足M/H=-1，具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外，其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场，即下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2，当外磁场H0小于Hc1时，同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外，此时，第二类超导体处于迈斯纳状态，体内没有磁通线通过。当外场增加至Hc1和Hc2之间时，第二类超导体处于混合态，也称涡旋态，这时体内有部分磁通穿过，体内既有超导态部分，又有正常态部分，磁通只是部分被排出。9.5用直径为1mm的铅丝围成一个直径为10cm的环。该铅环处于超导态。已经有100A的电流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1uA。试估算铅在超导态时的电阻率为多少？9.6设均匀磁场Ho沿y轴，超导薄板与z轴垂直。薄板的上下两个平面为z=±d。求证超导体内部的磁通密度为答：考虑以厚度为δ33 的无限平面超导平板，外加的均匀磁场沿Z轴方向。在超导体外，磁场强度为B=Bak；在体内B=B（x）k；在表面处B连续，B（±δ/2）=Ba。在一维的情况下，穿透方程变成它的通解为：，应用边界条件B（±δ/2）=Ba，可解得a=b==33'