复变函数与积分变换 (赵建从 黄文亮 著) 华东理工大学出版社 课后答案 64页

'课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业（第1册）第一次作业教学内容：1.1复数及其运算1.2平面点集的一般概念khaw.com1．填空题：1（1）的实部___________虚部共轭复数32i模辐角解课后答案网：www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！821（2）i4ii的实部___________虚部共轭复数模辐角解khaw.comxi1(3y)（3）x_______,y___________时，1i。课后答案网53i解：www.hackshp.cn比较等式两端的实、虚部，得khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。(1)1i3;解：khaw.com2(cos5isin5)(2).3(cos3isin3)解：z13．求复数的实部与虚部z1课后答案网z1(z1)(z)1(z1)(z)1解：w2z1(z1)(z)1|z|1(zzzzwww.hackshp.cn)1zz12Imzi222|z|1|z|1|z|1zz12Imz所以，Rew，Imw22|z|1|z|134.求方程z80的所有的根.即原方程有如下三个解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！5.证明:zzzz12122解：zzz()z()zz121212zzzzzzzz1121122222＝zzz2Re(z)122122zzz2z12122()zzkhaw.com126.设zz是两个复数，试证明.,122222zzzz2(zz).121212并说明此等式的几何意义.证左式=(z1z2)(z1z2)+(z1z2)(z1z2)=(z1z2)(z1z2)+(z1z2)(z1z2)=z1z1z2z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z1z2=2(课后答案网z1z2z2z2)=2(z12z22)几何意义：平行四边形对角线平方的和等于其四个边平方的和7．求下列各式的值:(1)(3)i5;www.hackshp.cn1(2)1(i)3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！khaw.com6（3）求1。课后答案网n1(i)8．化简n21(i)www.hackshp.cnnn21i2in11(i)2ie2i1i9．指出下列各题中点z的存在范围。作图,并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。(1)zzzz;12垂直与连接点z与z的线段，且过此线段中点的直线;无界，开集，连通。1222(2）Reza(a为实常数）khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！222222令zxiy，Re(z)Re(xx2yiy)xya222当a0时，为等轴双曲线xya;当a0时，为一对直线。无界，开集，单连通za(3)1;1zaza1az22za1azkhaw.com2222zaazaz1zaazaz2222za1za222210zaza22(1az)(1)0az1,1,单位圆外部，无界，多连通az1,1,单位圆内部，有界，单连通az＝，不存在。1(4)arg(z2i)且z.26课后答案网2z2(ixy2)iy2tanxy2arg(zi2)arctanwww.hackshp.cnxy2x0,arctan62xyy223xy0,0,arctan62xx3y2xy0,0,arctan62x2222且有zxy24xy以2i为顶点，两边分别与正实轴成角度与的角形域内部，且以原点为圆62心，半径为的圆外部分.无界，开，单连通。2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！第二次作业教学内容：1.3复变函数2.1.1解析函数概念1．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。i(1)zt;tkhaw.comitit(2)zaebe12．函数w将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么z曲线(zxiy;wuiv)?22(1)xy4;课后答案网www.hackshp.cn(2)x13．试证argz(argz)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！处的连续性显然。4．填空：khaw.com(1)函数f(z)zRez的导数f(z)z0时导数不存在，z0时，导数为.0n（2)函数f(z)z的导数f(z)z3（3）函数的奇点为22(1zz)(1)课后答案网x1,xi.解：12,35．指出下列函数f(z)的解析性区域，并求出其导数；5（1）(z)1；www.hackshp.cn1（2）2z1知f(z)在除去点z=±1外的z平面上处处可导。处处解析，z=±1是f(z)的奇点。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！6.复变函数的可导性与解析性有什么不同？khaw.com7．判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果f(z)在z点连续，那么f(z)存在。（）00（2）如果f(z)存在，那么f(z)在z点解析。（）00课后答案网（3）如果z是f(z)的奇点，那么f(z)在z不可导。（）00www.hackshp.cnf(z)（4）如果z是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z也是f(z)g(z)和的奇点00g(z)（）。khdaw.com9若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第2册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第三次作业教学内容：2.1.2柯西—黎曼方程1．判断函数的解析性有那些方法、。解：1)利用解析的定义；khaw.com2）利用解析的充要条件。2.设函数f(z)uiv在区域D内解析，如果f(z)满足下列（）条件，那么它在D内为常数.2(1)vu;(2)f(z)为实数或纯虚数.（3）f(z)解析；(4)f(z)在D内是一个常数.解：（1）（2）（3）（4）。3．判断下述命题的真假，并举例说明（1）如果u(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在），那么f(z)uiv亦可导.2解：命题假。如函数课后答案网f(z)=zRez=x+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，故f(z)仅在点z=0处可导。（2）设f(z)uiv在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么www.hackshp.cnf(z)在整个D内是常数.解：命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f(z)在整个D内是常数；32324.设函数f(z)mynxyi(xlxy)是全平面内的解析函数，求l,m,n的值?un2xy222解：x；umy3ynx；vxlx3y；vly2xyuvuv,xyyx。22nl222233mynxxlylmn3,1,3故5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是；khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！u1vv1u,.rrrrkhaw.com课后答案网第四次作业教学内容：2.2初等函数及其解析性2.3解析函数与调和函数的关系1.判断下列等式是否正确，并说明原因。www.hackshp.cnzz（1）ee解：错，因为2）coszcosz解：对，2（3）Lnz2Lnz解：错，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1（4）LnzLnz2解：错，2.计算下列各函数值：ii（1）(e)；iiiieln(12k)解：(e)＝e＝e(2)khaw.comln()ie；iln()ie＝lneiiearg()＝1解：2(3)Ln1(i)；1Ln1(i)＝ln2Arg(1i)＝ln2(2)ikk0,1,2,解：24i(4)1(i);ik(ln2(2))2kiln2iiiln(1)44解：1(i)＝eee＝2kln2ln2课后答案网ei4(cossin)22k0,1,2,（5）sin(12i)www.hackshp.cnii(12)ii(12)ee12222解：sin(12i)＝＝[(ee)sin1i(ee)cos12i23.解下列方程：z（1）1e0；解：（2）sinzcosz0。解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！4.证明下列各式：(1)khaw.comcosizcoshziiziizzzeeee解：cosizcoshz。2222(2)coshzsinhz1;zzzz22ee22ee解：coshzzsinh()()1。225．判断下列命题是否正确：uu（1）设u为区域D内的调和函数及fi，则f是D内的解析函数。（对）xy（2）函数vxy是课后答案网uxy的共轭调和函数.（错）（3）设u和v都是调和函数，如果是vu的共轭调和函数，那么u也是的共轭调和函数。v（错）（4）一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。（对）6．由下列各已知调和函数求解析函数www.hackshp.cnf(z)=u+iv：22（1）u=(x−y)(x+4xy+y)；解：y（2）varctan,x0；xkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！（3）u=f(ax+by),a与b为常数；解：22xy（4）u。222(xy)xrcoscos2vu2cos2解：故u由C-R方程极坐标形式得：r；22yrsinrrrv1vdsin2()r；2rkhaw.comv1sin2()r3rr2xyv222()xy22xyx2yfz()i222222()()xyxypx7.设u(x,y)esiny，求p的值使v(x,y)为调和函数，并求出解析函数f(z)uiv。22uupxpxuu2pxpx解：peysin,ecos,ypeysin,eysin,22xyxy由拉普拉斯方程知课后答案网p1当p1时，xuxye(,)sinywww.hackshp.cnvuxeysinyxxxveysindyeygcos()xvugxC()xyxxf()zeyieyCsin(cos)当p1时，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！xuxye(,)sinyvuxeysinyxxxveysindyeycosg()xvugxC()xyxxf()zesinyie(cosyC)khaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com6若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第3册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第五次作业教学内容：3.1复变函数积分概念3.2柯西积分定理3+i21.沿下列路线计算积分∫zdz。0（khaw.com1）自原点到3+i的直线段；（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；解：课后答案网www.hackshp.cn（3）自原点沿虚轴至，再由ii沿水平方向右至3+i。解：2．设f(z)在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问∫Re[]f(z)dz=∫Im[f(z)]dz=0cckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。证:3.观察得出下列积分的值，并说明理由。z2（1）∫e(z+)1dz;z=5.1khaw.com解：0。3z+5（2）dz;∫z=5.1z2+2z+3解：0。dz4.沿下列指定曲线的正向计算积分值：∫Cz(z2+)11(1)Cz:=;2解：2πi3(2)Cz:=;2解：0课后答案网5．设f(z)在单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，判断积f′(z)分∫dz是否为零？说明理由。Cf(z)www.hackshp.cn解：等于零。因f(z)在D内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而f"(z)在D内也解析，又因在D内f(z)≠0，故在D内解析，从而在C上及C的内f′(z)部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，∫dz＝0。Cf(z)z=16.设区域D为右半平面，z为D内的圆周上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与z，证明：khdaw.com2若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！⎡zdξ⎤πRe⎢∫⎥=⎣01+ξ2⎦4⎡zdξ⎤π故Re⎢∫⎥=⎣01+ξ2⎦47.计算下列积分：khaw.comπi2（1）sinzdz；∫−πi解：iln(z+1)∫dz1(1z+)(2).2−1ππ2i解：(++3ln2)ln2848课后答案网第六次作业教学内容：3.3复合闭路定理3.4柯西积分公式1．沿指定曲线的正向计算下列各积分。ze（1）∫dz,Cwww.hackshp.cn:z−2=1；Cz−2解：ize3（2）dz,C:z−2i=；∫Cz2+12解：dz（3）,C:z−a=a；∫Cz2−a2khdaw.com3若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！dz3（4）dz,C:z=；∫C(z2+（)4z2+1）2解：因被积函数的奇点在C的内部，z=±2i在C的外部，故由复合闭路定理及khaw.comCauchy积分公式有：sinz（5）∫dz,C:z=1；Cz解：课后答案网sinz（6）∫dz,C:z=2。Cπ2(z−)2解：www.hackshp.cn12.证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，dz=0。∫2zC证：当原点在曲线C内部时1当原点在曲线C外部时，1/z2在C内解析，故dz=0∫2zCkhdaw.com4若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！zz3.积分∫dz和积分∫dz的值是否相等？说明理由。zzz=2z=4解：故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从1）的值得到，因不是一个解析函数4.设f(z)在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在D内但不在C上f′(z)f(z)的任意一点z，等式：dz=dz成立。khaw.com0∫C∫Cz−zz−z00课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com5若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第4册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第七次作业教学内容：4.1复数项级数4.2幂级数1.判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n→∞.1+ni(1)α=;n1+n解khaw.com：故α收敛nni(2)α=−+(1);nn+1n解：由于α的实部(1)−发散，故α发散nn−n⎛⎞i(3)α=+⎜⎟1.n⎝⎠2课后答案网解：2.判别下列级数的收敛情况www.hackshp.cn:∞ni(1)∑;n=1n解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！∞n6(+5i)(2)∑;nn=18解：∞cosin（3）∑。nn=12解：khaw.com3.求下列幂级数的收敛半径：∞n!n(1)∑nz；n=1n解：∞1n(2)∑z;nn=1(lnin)课后答案网解：www.hackshp.cn∞nn(3)∑1(+i)z;n=1解：∞nz（4）∑;pn=1n解：khdaw.com2若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！∞πinn（5）∑ez.n=1解：4.把下列函数展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径:1(1)；22(1+z)解：khaw.com课后答案网2z2(2)esinz；解：www.hackshp.cn1(3)sin。1−z解：khdaw.com3若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！khaw.com第八次作业教学内容：4.3解析函数的泰勒展开4.4洛朗级数1．求下列各函数在指定点处的Taylor展开式，并指出它们的收敛半径：z−1(1),z=1；0z+1解：课后答案网www.hackshp.cnz(2),z=2；0(z+1)(z+)2解：khdaw.com4若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！khaw.com1(3),z=−1；20z解：课后答案网1(4),z=1+i;4−3z解：www.hackshp.cnkhdaw.com5若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！π(5)tanz,z=；04解：khaw.com(6)arctanz,z=0.0解：课后答案网www.hackshp.cn2．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数.1（1）0,)级极点，那么z是f′()z的m−1级极点.khaw.com004求下列函数在各有限奇点的留数.2z1−e(1);4z解：课后答案网www.hackshp.cn3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！cosz(2);zi−解：z=i为一级极点coszcoszRes[i],=lim(z−i)=cosi=cosh1khaw.comz−iz→iz−i1(3);23(1+z)解：z=±i为三级极点21=dz−i31]=−3iRes[i],lim[()232231(+z)z→idz1(+z)1621−=dz+i31]=3iRes[,i]lim[()232231(+z)z→−idz1(+z)1621(4)zsin;z解课后答案网1z+5.判断ez.的孤立奇点的类型，并求其留数www.hackshp.cn.1z+解：函数ez有孤立奇点,0∞，而且在0,1y>.0映射为22)2,.0(u−)+v<(v>0,b0);∫0xb22+iazze解：令f(z)=22z+biaxiaz+∞xeze−abkhaw.com∫−∞22dx=2πi[f(z),bi]=2πi22=πiex+b(z+b)′z=biiax+∞xe1−ab所以dx=πe∫0x2+b22+∞cosxdx（5）∫-∞(x2+4x+)5课后答案网www.hackshp.cn第十二次作业教学内容：6.2分式线性映射;6.3几种常见的分式线性映射3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1．填空zi−6(1)把z=,2z=i,z=−;2映射为w=−,1w=i,w=1的分式线性映射为_w=12312332iz−zi++2(2)由三点z=∞,z=i,z=0到w=,0w=i,w=∞的分式线性映射为_w=123123zi+−22求把上半平面Imz>0映射成单位圆域w<1的分式线性映射w=f(z)，并满足条件：π(1)fi)(=,0argf′i)(=−;2iθz−iiθzi解：f(z)=e，则f′(z)=e2z+i(z+i)khaw.comf′i)(=eiθ⋅(−i)=eiθ⋅1e−π2i22π由于argf′i)(=−2ππ所以θ−=−，θ=022z−i所求映射为f(z)=z+i(2)fi)(=,0f(−)1=1;解：因为fi)(=,0则f(−i)=∞,z−i课后答案网f(z)=kz+i−1−i又f(−)1=k=ki=1−1+ik=−1www.hackshp.cnz−i所求映射为f(z)=−iz+i(3)f2(i)=,0argf′2(i)=0;iθz−2if(z)=ez+2iπiθ2iiθ2−if′2(i)=e⋅(−)=e⋅e2994khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！ππθ−=0θ=22z−2i所求映射为f(z)=iz+2i3求把单位圆z<1映射成单位圆w<1的分式线性映射w=f(z)，并满足条件：1(1)f()=,0f(−)1=1;22z−1解：令f(z)=kz−2由f(−)1=1得,k=1khaw.com2z−1故f(z)=z−211π(2)f()=,0argf′()=.2221解：f()=0则f)2(=∞21z−2令f(z)=kz−2kf)1(==1，k=221z−iθ课后答案网2f(z)=2ez−2iθ−314iθ+πif′(z)=2e,f′()=e2(2z−)223πwww.hackshp.cnπθ+π=,所以θ=−221z−22z−1f(z)=−2i=−i.z−2z−25khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业（第7册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第十三次作业教学内容：7.1Fourier积分公式7.2Fourier变换khaw.com1、求下列函数的Fourier积分⎧−1−11解：khaw.com2．求如图所示三角形脉冲函数的频谱函数.ft)(课后答案网2−2O2t第2题www.hackshp.cn2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3求下列函数的Fourier变换，并证明所列的积分等式2−t+∞ω+2π−t（1）f(t)=ecost,证明∫cosωtdω=ecost0ω4+42khaw.com解：课后答案网www.hackshp.cn−βt+∞cosωtπ−βt（2）f(t)=e(β>)0，证明∫dω=e0β2+ω22β3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！解：khaw.com第十四次作业教学内容：7.3δ函数及其课后答案网Fourier变换；7.4Fourier变换的性质1．填空⎧A0≤t≤τA1(−e−iωt)（1）矩形脉冲函数f(t)=⎨的Fourier变换为F(ω)=.www.hackshp.cn⎩0其它iω1(2)函数F(ω)=ωsinωt0的Fourier逆变换为δ′(t−t0)−δ′(t+t0)2(3)函数F(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]的Fourier逆变换为cosω0t2．若F(ω)=ℱ[]f(t)，证明()cos1()();ℱ[]ftωt=[]Fω−ω+Fω+ω00024khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！()sin1()().ℱ[]ftωt=[]Fω−ω−Fω+ω0002ikhaw.com课后答案网3．求下列函数的Fourier变换（1）ft)(=sintcostwww.hackshp.cn2it（2）f(t)=esint解：因为ℱ[sint]=iπ[δ(ω+)1−δ(ω−)1，由位移性质得5khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2itℱ[esint]=iπ[δ(ω−)1−δ(ω−3)]2（3）f(t)=sint2111解：ℱ[sin]t=ℱ[1(−cos2t)]=ℱ]1[−ℱ[cos2t]222π=2πδ(ω)−[δ(ω+)2+δ(ω−2)]2（4）f(t)=eiω0tu(t)解：khaw.com−βt（5）f(t)=eut)(⋅cosωt0解：课后答案网www.hackshp.cn5设ℱ[]f(t)=F(ω)，a为非零常数，试证明ω1ω−it0（1）ℱ[]f(at−t)=F()ea0aaω1ω−it0（2）ℱ[]f(t−at)=F(−)ea0aa证明：（1）由定义有6khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！ω+∞−iωt1ω−it0ℱ[]f(at−t)=f(at−t)edtF()ea0∫0−∞aau+t0+∞−iω1(令at−t=u,且a>)0=f(u)eadu0∫−∞aωω1−it0+∞−it（u换为t）=ea∫ft)(eadta−∞ω1ω−it0=F()eaaakhaw.com当a<0时，ℱ[f(at−t0)]=−1F(ω)e−iωat0aaω1ω−it0因此ℱ[]f(at−t)=F()ea0aa注：也可以由位移性质和相似性质加以证明。例如令g（t)=f(at)由位移性质得t0⎡t0⎤⎡t0⎤⎡−iω⎤ℱ[]f(at−t)=ℱf[a(t−)]=ℱg(t−)=ℱgt)(ea0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣a⎦⎣t⎦⎢⎣⎥⎦t0ω⎡−iω⎤1ω−it0=ℱf(at)ea=F()ea（相似性质）⎢⎥⎢⎣课后答案网⎥⎦aa（2）在结论（1）中取a,t分别为−a,−t即得。00注;此题也可由定义出发证明，或利用位移性质和相似性质证明。6已知F(ω)=ℱ[]ft)(，利用www.hackshp.cnFourier变换的性质求下列函数的Fourier变换（1）tft)(1解：由像函数的微分性质，有ℱ[tf(t)]=−F′(ω)i（2）(t−)2f(t)解：由线性性质及像函数的微分性质1ℱ[(t−)2f(t)]=ℱ[tf(t)]−2ℱ[f(t)]=−F′(ω)−2F(ω)i7khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！（3）ft′(t)解：由微分性质ℱ[f′(t)]=iωF(ω)，再由像函数的微分性质，有1dℱ[ft′(t)]=−[iωF(ω)]=−F(ω)−ωF′(ω).idω（4）f1(−t)解：由相似性质ℱ[f(−t)]=F(−ω)khaw.com再由位移性质−iωℱ[f1(−t)]=eF(−ω)π7.求函数ft)(=sin(5t+)的Fourier变换.3课后答案网www.hackshp.cnπ13解二：由于ft)(=sin(5t+)=sin5t+cos5t322iπ3所以ℱ[f(t)]=[δ(ω+)5−δ(ω−5)]+π[δ(ω+)5+δ(ω−5)]228khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！华东理工大学复变函数与积分变换作业（第8册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第十五次作业教学内容：7.5Fourier的卷积性质；8.1拉普拉斯变换的概念8.2拉普拉斯变换的性质。khaw.com⎧⎧π⎪0t<0⎪sint0≤t≤1．若f1(t)=⎨−t,f2(t)=⎨2求f1(t)∗f2(t)⎪et≥0⎪⎩0其它⎩课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com1若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！khaw.com课后答案网www.hackshp.cn2．已知f(t)=cosωt⋅u(t)，求ℱ[ft)(].01解：已知ℱ[u(t)]=πδ(ω)+又iωf(t)=cosωt⋅u(t)=1[eiω0tu(t)+e−iω0tu(t)]02由位移性质有111ℱ[f(t)]=[πδ(ω−ω)++πδ(ω+ω)+]002i(ω−ω)i(ω+ω)00πω=[δ(ω−ω)+δ(ω+ω)]−200ω2ω2−0khdaw.com2若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3．填空⎧20≤t<2⎪1−2t−4t(1)f(t)=⎨−32≤t<4的Laplace变换为F(s)=3(−4e+e)⎪s⎩0t≥42t5s−9)2(f(t)=e+5δ(t)的Laplace变换为_F(s)=s−22s(3)ft)(=cost⋅δ(t)−sint⋅ut)(的Laplace变换为F(s)=2s+1t11khaw.com)4(f(t)=1−te的Laplace变换为F(s)=−2s(s−)13132(5)f(t)=t−2t+1的Laplace变换为F(s)=(s−2s+)64s−2ts+2(6)f(t)=ecos6t的Laplace变换为F(s)=2(s+)2+364.求下列周期函数的Laplace变换ft)(=t0,≤t