复变函数与积分变换 (赵建丛 黄文亮 著) 华东理工大学出版社 课后答案 37页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 华东理工大学复变函数与积分变换作业（第1册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第一次作业教学内容：1.1复数及其运算1.2平面点集的一般概念khdaw.com1．填空题：1（1）的实部___________虚部共轭复数32i课后答案网模www.hackshp.cn辐角解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 821（2）i4ii的实部___________虚部共轭复数模辐角解khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnxi1(3y)（3）x_______,y___________时，1i。53i解：比较等式两端的实、虚部，得khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。(1)1i3;解：2khdaw.com(cos5isin5)(2).3(cos3isin3)解：课后答案网www.hackshp.cnz13．求复数的实部与虚部z1z1(z1)(z)1(z1)(z)1解：w2z1(z1)(z)1|z|1(zzzz)1zz12Imzi222|z|1|z|1|z|1zz12Imz所以，Rew，Imw22|z|1|z|134.求方程z80的所有的根.即原方程有如下三个解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 5.证明:zzzz12122解：zzz()z()zz121212zzzzzzzz1121122222＝zzz2Re(z)122122zzz2z12122()zz126.设zz是两个复数，试证明.khdaw.com,122222zzzz2(zz).121212并说明此等式的几何意义.课后答案网证左式=(z1z2)(z1z2)+(z1z2)(z1z2)=(www.hackshp.cnz1z2)(z1z2)+(z1z2)(z1z2)=z1z1z2z2z1z2z1z2z1z1z2z2z1z2z1z222=2(z1z2z2z2)=2(z1z2)几何意义：平行四边形对角线平方的和等于其四个边平方的和7．求下列各式的值:5(1)(3)i;1(2)1(i)3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com6（3）求1。课后答案网www.hackshp.cnn1(i)8．化简n21(i)nn21i2in11(i)2ie2i1i9．指出下列各题中点z的存在范围。作图,并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。(1)zzzz;12垂直与连接点z与z的线段，且过此线段中点的直线;无界，开集，连通。1222(2）Reza(a为实常数）khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 222222令zxiy，Re(z)Re(xx2yiy)xya222当a0时，为等轴双曲线xya;当a0时，为一对直线。无界，开集，单连通za(3)1;1zaza1az22za1az2222zaazaz1zaazazkhdaw.com2222za1za222210zaza22(1az)(1)0az1,1,单位圆外部，无界，多连通课后答案网az1,1,单位圆内部，有界，单连通www.hackshp.cnaz＝，不存在。1(4)arg(z2i)且z.262z2(ixy2)iy2tanxy2arg(zi2)arctanxy2x0,arctan62xyy223xy0,0,arctan62xx3y2xy0,0,arctan62x2222且有zxy24xy以2i为顶点，两边分别与正实轴成角度与的角形域内部，且以原点为圆62心，半径为的圆外部分.无界，开，单连通。2khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 第二次作业教学内容：1.3复变函数2.1.1解析函数概念1．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。i(1)zt;titit(2)khdaw.comzaebe12．函数w将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么z课后答案网曲线(zxiy;wuiv)?22(1)xywww.hackshp.cn4;(2)x13．试证argz(argz)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 处的连续性显然。4．填空：(1)函数khdaw.comf(z)zRez的导数f(z)z0时导数不存在，z0时，导数为.0n（2)函数f(z)z的导数课后答案网f(z)www.hackshp.cnz3（3）函数的奇点为22(1zz)(1)x1,xi.解：12,35．指出下列函数f(z)的解析性区域，并求出其导数；5（1）(z)1；1（2）2z1知f(z)在除去点z=±1外的z平面上处处可导。处处解析，z=±1是f(z)的奇点。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 6.复变函数的可导性与解析性有什么不同？khdaw.com7．判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果f(z)在z点连续，那么f(z)存在。（）00课后答案网（2）如果f(z)存在，那么f(z)在z点解析。（）00www.hackshp.cn（3）如果z是f(z)的奇点，那么f(z)在z不可导。（）00f(z)（4）如果z是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z也是f(z)g(z)和的奇点00g(z)（）。khdaw.com9若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第2册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第三次作业教学内容：2.1.2柯西—黎曼方程1．判断函数的解析性有那些方法、。解：1)利用解析的定义；2）利用解析的充要条件。2.设函数khdaw.comf(z)uiv在区域D内解析，如果f(z)满足下列（）条件，那么它在D内为常数.2(1)vu;(2)f(z)为实数或纯虚数.（3）f(z)解析；(4)课后答案网f(z)在D内是一个常数.解：（1）（2）（3）（4）。3．判断下述命题的真假，并举例说明（1）如果uwww.hackshp.cn(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在），那么f(z)uiv亦可导.2解：命题假。如函数f(z)=zRez=x+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，故f(z)仅在点z=0处可导。（2）设f(z)uiv在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f(z)在整个D内是常数.解：命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f(z)在整个D内是常数；32324.设函数f(z)mynxyi(xlxy)是全平面内的解析函数，求l,m,n的值?un2xy222解：x；umy3ynx；vxlx3y；vly2xyuvuv,xyyx。22nl222233mynxxlylmn3,1,3故5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是；khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com u1vv1u,.rrrrkhdaw.com课后答案网www.hackshp.cn第四次作业教学内容：2.2初等函数及其解析性2.3解析函数与调和函数的关系1.判断下列等式是否正确，并说明原因。zz（1）ee解：错，因为2）coszcosz解：对，2（3）Lnz2Lnz解：错，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1（4）LnzLnz2解：错，2.计算下列各函数值：ii（1）(e)；iiiieln(12k)解：(e)＝e＝e(2)ln()ie；khdaw.comiln()ie＝lneiiearg()＝1解：2(3)Ln1(i)；1Ln1(i)＝ln2Arg(1i)＝ln2(2)ikk0,1,2,解：课后答案网24i(4)1(i);ik(ln2(2))2kiln2iwww.hackshp.cneeiiln(1)44e＝解：1(i)＝2kln2ln2ei4(cossin)22k0,1,2,（5）sin(12i)ii(12)ii(12)ee12222解：sin(12i)＝＝[(ee)sin1i(ee)cos12i23.解下列方程：z（1）1e0；解：（2）sinzcosz0。解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 4.证明下列各式：(1)cosizcoshzkhdaw.comeeeeiiziizzz解：cosizcoshz。2222(2)coshzsinhz1;zzzz22ee22ee解：coshzzsinh课后答案网()()1。225．判断下列命题是否正确：www.hackshp.cnuu（1）设u为区域D内的调和函数及fi，则f是D内的解析函数。（对）xy（2）函数vxy是uxy的共轭调和函数.（错）（3）设u和v都是调和函数，如果是vu的共轭调和函数，那么u也是的共轭调和函数。v（错）（4）一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。（对）6．由下列各已知调和函数求解析函数f(z)=u+iv：22（1）u=(x−y)(x+4xy+y)；解：y（2）varctan,x0；xkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com （3）u=f(ax+by),a与b为常数；解：22xy（4）u。222(xy)xrcoscos2vu2cos2解：故u由C-R方程极坐标形式得：r；22yrsinrrrv1vdsin2()r；2rv1sin2()r3khdaw.comrr2xyv222()xy22xyx2yfz()i222222()()xyx课后答案网ypx7.设u(x,y)esiny，求p的值使v(x,y)为调和函数，并求出解析函数f(z)uiv。22uuwww.hackshp.cnpxpxuu2pxpx解：peysin,ecos,ypeysin,eysin,22xyxy由拉普拉斯方程知p1当p1时，xuxye(,)sinyvuxeysinyxxxveysindyeygcos()xvugxC()xyxxf()zeyieyCsin(cos)当p1时，khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com xuxye(,)sinyvuxeysinyxxxveysindyeycosg()xvugxC()xyxxf()zesinyie(cosyC)khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com6若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第3册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第五次作业教学内容：3.1复变函数积分概念3.2柯西积分定理3+i21.沿下列路线计算积分∫zdz。0（khdaw.com1）自原点到3+i的直线段；课后答案网www.hackshp.cn（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；解：（3）自原点沿虚轴至，再由ii沿水平方向右至3+i。解：2．设f(z)在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问∫Re[]f(z)dz=∫Im[f(z)]dz=0cckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。证:3.观察得出下列积分的值，并说明理由。z2（1）∫e(z+)1dz;z=5.1解：0。khdaw.com3z+5（2）dz;∫z=5.1z2+2z+3解：0。dz4.沿下列指定曲线的正向计算积分值：∫Cz(z2+)11课后答案网(1)Cz:=;2解：2πiwww.hackshp.cn3(2)Cz:=;2解：05．设f(z)在单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，判断积f′(z)分∫dz是否为零？说明理由。Cf(z)解：等于零。因f(z)在D内解析，故f(z)具有各阶导数且仍为解析函数，从而f"(z)在D内也解析，又因在D内f(z)≠0，故在D内解析，从而在C上及C的内f′(z)部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，∫dz＝0。Cf(z)z=16.设区域D为右半平面，z为D内的圆周上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与z，证明：khdaw.com2若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎡zdξ⎤πRe⎢∫⎥=⎣01+ξ2⎦4⎡zdξ⎤π故Re⎢∫⎥=⎣01+ξ2⎦47.计算下列积分：πi2（1）sinzdz；khdaw.com∫−πi解：iln(z+1)∫dz1(1z+)(2).课后答案网2−1ππ2i解：(++3ln2)ln284www.hackshp.cn8第六次作业教学内容：3.3复合闭路定理3.4柯西积分公式1．沿指定曲线的正向计算下列各积分。ze（1）∫dz,C:z−2=1；Cz−2解：ize3（2）dz,C:z−2i=；∫Cz2+12解：dz（3）,C:z−a=a；∫Cz2−a2khdaw.com3若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com dz3（4）dz,C:z=；∫C(z2+（)4z2+1）2解：因被积函数的奇点在C的内部，z=±2i在C的外部，故由复合闭路定理及Cauchy积分公式有：khdaw.com课后答案网sinz（5）∫dz,C:z=1；Czwww.hackshp.cn解：sinz（6）∫dz,C:z=2。Cπ2(z−)2解：12.证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，dz=0。∫2zC证：当原点在曲线C内部时1当原点在曲线C外部时，1/z2在C内解析，故dz=0∫2zCkhdaw.com4若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com zz3.积分∫dz和积分∫dz的值是否相等？说明理由。zzz=2z=4解：故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从1）的值得到，因不是一个解析函数4.设f(z)在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在D内但不在C上f′(z)f(z)的任意一点z，等式：dz=dz成立。0∫C∫Cz−zz−zkhdaw.com00课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com5若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 华东理工大学复变函数与积分变换作业本（第4册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第七次作业教学内容：4.1复数项级数4.2幂级数1.判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n→∞.1+ni(1)α=;n1+n解khdaw.com：故α收敛nni课后答案网(2)α=−+(1);nn+1n解：由于α的实部(1)−发散，故α发散nwww.hackshp.cnn−n⎛⎞i(3)α=+⎜⎟1.n⎝⎠2解：2.判别下列级数的收敛情况:∞ni(1)∑;n=1n解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ∞n6(+5i)(2)∑;nn=18解：∞cosin（3）∑。nn=12解：khdaw.com3.求下列幂级数的收敛半径：∞n!n(1)∑nz；n=1n解：课后答案网www.hackshp.cn∞1n(2)∑z;nn=1(lnin)解：∞nn(3)∑1(+i)z;n=1解：∞nz（4）∑;pn=1n解：khdaw.com2若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ∞πinn（5）∑ez.n=1解：4.把下列函数展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径:1(1)；22(1+z)解：khdaw.com课后答案网www.hackshp.cn2z2(2)esinz；解：1(3)sin。1−z解：khdaw.com3若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com第八次作业教学内容：4.3解析函数的泰勒展开4.4洛朗级数1．求下列各函数在指定点处的Taylor展开式，并指出它们的收敛半径：z−1(1),z=1；0z+1课后答案网解：www.hackshp.cnz(2),z=2；0(z+1)(z+)2解：khdaw.com4若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com1(3),z=−1；20z课后答案网解：www.hackshp.cn1(4),z=1+i;4−3z解：khdaw.com5若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com π(5)tanz,z=；04解：khdaw.com课后答案网(6)arctanz,z=0.0解：www.hackshp.cn2．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数.1（1）0,)级极点，那么z是f′()z的m−1级极点.khdaw.com004求下列函数在各有限奇点的留数课后答案网.2z1−e(1);4zwww.hackshp.cn解：3khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com cosz(2);zi−解：z=i为一级极点coszcoszRes[i],=lim(z−i)=cosi=cosh1z−iz→iz−i1(3);khdaw.com23(1+z)解：z=±i为三级极点21=dz−i31]=−3iRes[i],lim[()232231(+z)z→idz1(+z)16课后答案网21−=dz+i31]=3iRes[,i]lim[()232231(+z)z→−idz1(+z)1621(4)zsinwww.hackshp.cn;z解1z+5.判断ez.的孤立奇点的类型，并求其留数.1z+解：函数ez有孤立奇点,0∞，而且在0