高级微观经济理论 第二版 (杰弗瑞·A.杰里 菲利普·J.瑞尼 著) 上海财经大学出版社 课后答案 108页

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u(x,x)+(xx)也为r次齐次的。1,21,2)（b）证明：如果u(x,x)与(xx)是拟凹的，那么，m(xx）1,21,2)1,x2minu(x,x),(xx)}也是拟凹的。1,21,2)证明：（a）u(x,x)与(xx)是r次齐次的。1,21,2)rrku(x,x)=u(kx，kx），kv(x，x）=v(kx，kx）1,2121212s(kx，kx）u(kx，kx）+v(kx，kx）121212rr=ku(x,x)+kv(x，x）1,212r=ks(xx）1,2得证。12t12（b）x,x,t(0,1),x=tx+(1t)xu,v是拟凹的。t12t12u(x）min[u(x），u(x）]，(x）min[v(x），v(x）]m(xx）意味着x与x中取最小值。1,x212ttt同时，m(x）=min[u(x），(x）]12不防设u(x)u(x),则，t2t12u(x)u(x)m(x)min[m(x),m(x)]t12同理有：v(x)min(m(x),m(x))t12m(x）min[m(x),m(x)]m()也是拟凹的。得证。1.131112221212（a）对于两异点xxxxxx==(12,,)(12,)，总有xxxx1122¹,或，¹则必有12211221xxxx或，但绝无xxxx和同时成立，故其无差异曲线退化为2 单个点。（b）不能，因为偏好本身就不连续。mm=+骣骣珑11鼢萎m1?骣1?例如，xx珑珑桫桫1,鼢鼢,mN,故，()11，x1,，而()11，??桫1，??m2221.14证明：设u（·）可表示。则"xxx12,,uu()()1驰x2xx12（1）"xx12,,,挝XuuR()()xx12。故总有uuuu()()()()xxxx1221吵或那么，或成立，完全性得证xxxx1221（2）"?xxx123,,，X并且假定xxxx12,23所以，由题意知uuuu()()()xxxx12吵,23()成立。那么，蕹uu()xxxx13()?13。传递性得证¥mm0（3）设{}x蘗()xyXyx={}萎ギ,,且并且当m时xxm=10下面证x蝁()x¥mmm"mx，{}x蘗蕹()u()xxu()x蕹limu()u()xmm=10m即，uu(xx)=?(lim)u()xm00所以，xx。则x蝁()x，即Y()x是闭集。连续性得证。1.15n证明：（1）当yB==00时，{xp?R+x}={}0,显然是紧凸集1212当y>0时，设xx,ÎB，则有px＃y,pyxt12令xx=+-tt(1)x则，t轾1212px=+Pt犏臌xxxx(1-=+t)tp(1-?-=tp)ty(1tyy)t所以，xÎBB,故是凸集mmm0（2）设xx??B且则limx,pyxm3 m0由于px是连续函数，则limpx£y，即px£y。所以，B是闭集。m由于p0,则p>0(1＃in)i禳镲镲镲yyy令R=>max睚,,...,0镲镲ppp镲铪12n则"?xBRRRxB,有(),,...,.即是有界集。nn综上，由BÌR+，并且为有界闭集，所以可得B是R+上的紧集。1.16证明：由1.15题证明可知，预算集B为凸紧集。由Weierstrass定理（即定理A1.10）：该定理保证在非空凸紧集B上的连续实值效用函数u(x)存在极值。根据假设1.2，效用函数u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。12ni假设极大值不唯一，即：存在x,x…,x∈B，对于所有x∈B，x（i=1,2,…nn）均为最优选择，由题，B={x︱x∈R+，px≤y}，由于偏好关系严格单调，n12n12个极大值x,x…,x必满足等式预算条件，即：p·x=y;p·x=y;…p·xn=y;12n则：x=x=…=x=x*=y/p也就是说，x*∈B,且对于所有x∈B,x*≥x亦即：x为唯一极大值，且满足y=p·x*的条件。1.17①若偏好关系是严格凸的假设存在xh(p,u)，x"h(p,u)，xx"，且u(x)u"(x)u取（0，1），令x"x(1)x"则px"p[x(1)x"]px(1)px"pxpx"又偏好关系是严格凸的，所以x"x"；u(x")u(x")，这与x"h(p,u)相矛盾故h(p,u)是单值，即唯一解。②若偏好关系是凸的设xh(p,u)，x"h(p,u)4 则pxpx"，u(x)u，u(x")u取（0，1），令x"x(1)x"则同上px"p[x(1)x"]px(1)px"pxpx"∵偏爱关系是凸的∴u(x")u[x(1)x"]u(x)(1)u(x")u(1)uu即x"h(p,u)亦即h(p,u)是凸集，不必是唯一解。1.18**（1）X1>0且X2=0是消费者问题的解的条件为：偏好关系是连续的，两物品间的边际替代率不变，并且MRS1，2（X）>P1/P2（2）图：x2y/p2x1*y/p1=x1如上图：消费者问题的解的特征是角点解。两物品的边际替代率不变，因而无差异曲线U（X）是一条向下倾斜的直线，与预算约束线相交于X轴上，且α>β。其中，预算约束线与横轴相交的锐角为β，无差异曲线与横轴相交的锐角为α。1.19n证明：已知是R上得一个偏好关系，u(x)是一个代表此偏好关系的效用函n121212数。在R中取两点x,x，令xx，u(x)u(x)。又f:R在u所12确定的值集上是严格递增的，f(u(x))f(u(x)),v(x)f(u(x))，12v(x)v(x)v(x)也代表偏好关系。1.201假定偏好可以由Cobb-Douglas效用函数uxx(,)Axx表示，其中1112010和A，假定一个内点解可以解决效用极大化问题，求出Marshall需求。解Luxx(,)(ypxpx)p0y01111225 1Axx()ypxpx121122L1因此Axxp0121x1L1(1)Axxp0122x2Lypxpx01122y(1)yxx12pp121.21解：拉格朗日函数为:L(x,x,)lnAlnx(1)lnx(ypxpx)12121122因为只有一个内点解，库恩塔克条件正好和普通的拉格朗日一阶条件一致，所以得到以下方程：Lp0（1）1xx11L1p0（2）2xx22Lypxpx0（3）1122由（2）除以（1），得xp22x（4）1(1)p1ypxpx（5）1122将（4）代入（5），得(1)yx（6）2p2将（6）代入（5），得yx（7）1p1马歇尔需求函数为：6 y(1)yx，x12pp12由于效用函数对于正的单调转换不变，所求得的结果与第20题的结果相同。1.23n证明：如果uR:R可以表示偏好关系，则有（1）u()是严格递增的，当且仅当是严格单调的。（2）u()是拟凹的，当且仅当是凸的。（3）u()是严格拟凹的，当且仅当是严格递凸的。证：（1）121212x,xX，如果xx，依据u()是严格单调的，则有ux()()ux，再1212121221依据代表性xx，如果xx，则有ux()()ux，有xx且xx（若211221xx，则ux()()ux矛盾），由上文xx可知，u()是严格单调的，因此可推出是严格单调的。122112x,xX，如果xx，则由偏好是严格单调的，xx，由代表性12121221可知ux()()ux，如果xx，则由偏好的严格单调可知xx，但xx，121212故ux()()ux，但ux()()ux，知ux()()ux，因此此时u()是严格单调的。综合以上，u()与的严格单调性可以互推。(2)1212t12xxXx,,,.x设xtx(1txt).,[0,1]1212由xx知，ux()()ux，再由u()是拟凹的，t122t2ux()min{(),()}()uxuxux故xx。12t12xxXxtx,,.(1txt).,[0,1]1221由“”的完备性，xxx,x两者中必有一个成立。t2不失一般性，设“”的凸性，xx7 t212因为由代表性ux()()min{(),()}uxuxux所以u()是拟凹的。（3）1212t12xxxxxt,,.x(1txt),(0,1)t122t2u()是严格拟凹的，ux()min{(),()}()uxuxux，故xx。12t12xx，下证ux()min{(),()},(0,1)uxuxt1212tt2212xx，令xx，则xxu()()min{(),()}xuxuxux1.243（a）因为f1x在R上严格单调，依据偏好的正单调变换不变性可知3f()xuxux()()可以表示偏好“”。（b）不行。比如x,xX且ux()3()2ux1212而fx()6()2fx1212（c）不行。uxx(,)min(,)xxxx(1,5)(2,2)12121212ux()1(ux)2则ux()()ux而fx()1157fx()2226f()()xfx12121.25一个具有凸的、单调偏好的消费者非负数量的x和x。121（a）如果uxx(,)xx2代表其偏好，那么，对参数值的取值有什么限制？1212请解释。（b）给定那些约束，计算马歇尔需求函数。解：（a）由于偏好是凸的，则u()应该是拟凹的，满足uxz()0的向量z可T使得zHxz()011uu1221ux()(,)(xx,()xx)1212xx2128 1112122(1)xx,()xx12212z1(,)zz12130111221z2()xx,()()xx1212222221化简得：()()xz()0xz（1）21122又因为偏好是单调的，则u()关于x,x的偏导数非负，即1211u12u1xx0，且()xx201212xx2121所以021并且在此条件下，（1）是成立的，故综上所述，的取值范围为[0,]。2（b）略。1.26解：利用K-T条件，Lu(xx)(ypxpx)=x(ypxpx)12112211122L*1p0......(1)1x1x*(1p*)011L***p20......(2)x2(p2)0......(3)x2***(ypxp)0......(4)L112**yp1x1p2x2x2**由（2）可知0。再由（1）可知0**y由（3）知，x0，进而由（4）得x21p11.27消费者在正的收入和价格下，面对的效用函数xx12,max,maxax12inxx12,，其中0<<1求马歇尔需求函数。解：无论如何消费，最终x，x的关系不外乎是xxxxxx，，三种12121212情况：（1）当xx时，uxx,xx，可求出在p0，y0时的需求1212129 L*p0**x1xp1101L*xp**1010p22（I）2x2***Lgpxpx11220**gpxpx01122***显然0（否则不满足（I）），故ypxpx1122***y若xx0，则x121p1******若xx0，则pp，x,x满足pxxy121212212（2）当xx时，uxx,1x12121L*(1)(pp)0**12xp(1)(p)0x1112（Ⅱ）**Lyppx()0*yppx()0122122*y故：x1pp12（3）当xx时，uxx,xx121221***yy有：0,xxx时,vpy,122pp22**y0,xxppvpy122时,1,p2p1*y*故，当0时，yy，得x，x012pppp2121p1****y当时，x,x满足xx1212pp22p11****y当时，x,x满足xx1221pp21p11**y当时，x0，x12pp2210 1.28解：本题中消费者效用最大化问题为maxux()s.t.xi1i0构造拉格朗日函数：Lx(,)ux()[xi1]i0为求极值，将Lx(,)分别关于,,,xxx……求偏导，并分别令其等于0120：Lxi10①i0L10②xx00L0③xx112L0④xx22……iL0xxii……i由第2，3，4，……个式子可解得x，代入到第一个式子得：ii1()0i011i11即：11.0（01），解得i011i故：她每期的最优消费水平为x，i0,1,2,......i11.290020(1)记Fyv(,)(,)ppRvppyv(,,)121211 000任取(,)(,)ppFyv，设在(,)0,ppy的条件下，x(,)py解决了上述效1212用极大化的问题。0对于vppyv(,,)，两边关于p,p全微分1212vpy(,)vpy(,)dd0pp12pp12vvdvppyxp211Roy互等式10dvpvvxp122py2所以价格无差异曲线的斜率为负。122211(2)当pp，令vppyv,,，vppyv,,12212111设x是在价格价格p，收入y的条件下解决了效用最大化问题。111则有ypx且uxv，12现在价格下降到p，121则至少可节约yppx维持原有的效用，故有：22vvpyyvpyv12,,因此，价格无差异曲线沿着东北方向效用减少。(3)我们知道越往东北方面的效用越低，由vpy(,)拟凸知，I(){(,)(,)}vpyvpyv是凸集，则知价格无差异曲线凸向原点，但我们要记得vpy(,)在(,)py上是拟凸函数。由于同一无差异曲线上价格相同，我们只需要12t12选择不同的p，而固定y，选择(,)py，(,)pyB。ptp(1tp)。由vpy(,)t12是拟凹函数知：(,))(,)(pytpy1)(,)tpyBt所以vpyv(,)12t由p,(ppvp,yv),可得：ppvpyv(,)则知：pvpyv(,)为凸集，故价格无差异曲线凸向原点。1.3012 1解：在例题1.2中，CES效用函数为：uxx(,)(xx)，121211uxx(,)1211uxx(,)1211xxx(),xxx()。112212xx12uxx(,)1201，则当xx0,0时，0，意味着uxx(,)对于x0是连11121x1续且严格递增的。同理可证明uxx(,)对于x0是连续且严格递增的。即1222uxx(,)在R是连续且严格递增的。12由定理1.6：间接效用函数的性质。得出间接效用函数1rrrvpy(,)(ypp)(r)关于(,)py是拟凸的。1211.31在定理1.6的阐述中，我们提出了ux()必严格递增的要求，当我们简单地去掉对偏好的这种要求，性质1至性质6的命题会发生如下变化：性质1的命题不会发生改变。因为性质1是由最大化定理推出，最大化定理告诉我们：如果目标函数与约束条件关于参数是连续的，并且如果定义域是一个紧集，那么，M()a与x()a是参数a的连续函数。因此，性质1与ux()是否严格递增没有关系，因此去掉对偏好的要求后，性质1的命题不会发生变化。性质2的命题不会发生改变。因为在性质2的命题证明过程中，我们可以看到对于所有的t0，(p,y)=(tp,ty)，但(tp,ty)=[maxu(x),受约束于tpxty]，这等价于[maxu(x),受约束于pxy]。由于在不影响满足它的消费束集合的条件下，我们用t0去除约束条件两边，故得到(tp,ty)=[maxu(x),受约束于pxy]=(p,y)。因此，可以得到性质2与ux()是否严格递增没有关系。性质3的命题会发生改变。在性质3的证明中，当u(x)严格递增时，vpy(,)max()ux受约束于pxy＝------(P.1)nxR对于(P.1)式的拉格朗日函数是：Lx(,)()ux(px)y……(P.2)。现在，对于(p,y)>>0，令x(xpy,)为(P.1)的解。依附加的假设x0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论：13 ***Lx(,)ux()*xxpi0,in1,...,ii**由于根据u(x)是严格递增的，可以得到p与ux()/x是正的，故0。ii依据包络定理，定理A2.21，即最大值函数vpy(,)关于y的偏导数等于拉格朗**日函数关于y的偏导数，即它在(,)x处取值，**vpy(,)Lx(,)0，因此，vpy(,)关于y0是递增的，由yy于v是连续的，因此，它关于y0是严格递增的。但是当取消ux()严格递增的*条件时，ux()/x的符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，i故不能判断vpy(,)关于y0是递增还是递减的。性质4的命题会发生变化。与性质3的证明类似，对于(P.1)式的拉格朗日函数是：Lx(,)()ux(px)y……(P.2)。现在，对于(p,y)>>0，令x(xpy,)为(P.1)的解。依附加的假设x0，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论：***Lx(,)ux()*xxpi0,in1,...,ii**由于根据u(x)是严格递增的，可以得到p与ux()/x是正的，故0。ii依据包络定理，定理A2.21，即最大值函数vpy(,)关于p的偏导数等于拉格朗**日函数关于p的偏导数，即它在(,)x处取值，**vpy(,)Lx(,)x*，因此，当取消ux()严格递增的条件时，*ppux()/xi的符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断vpy(,)关于p是否为递减的。12t11性质5的命题不会变化。设BBB与是价格与收入分别为(,)py、22ttt12(,)py与(,)py时的可利用预算集。这里ptp(1tp)与t12yyt(1)y。那么：14 111222tttB{}xpxyB{}xpxyB{}xpxyt12我们假设消费者在B上获得的效用水平将不会大于在B和B两种效用水平中最大的一个。即vpy(,)关于(,)py是拟凸的。现在假设这些情况不存在。t121那么，我们可发现存在t(0,1)及一些xB，使得xB与xB。如果xB21122与xB，则：pxy并且pxy，由于t(0,1)，我们能给第一个不等11式乘t，给第二个不等式乘(1t)，并保护这些不等式以便获得：tpxty和22(1tpx)(1ty)，将它们相加，我们得到1212tt((tp1))tpxty(1)ty或者pxyt最后一个不等式表明xB，这同我们先前的假设相矛盾。因此，我们得到：如果oo112vpyp(,)/Lx(,)***ixxxxRvpyuxpvpyp(,)()(,)/xxpy(,)xiivpyy(,)/iip12，那么，对于所有t0,1，xBxB或。依照我们先前的讨论，我们能得到，vpy(,)关于(,)py是拟凸的。从证明过程中可以看到，性质5命题与ux()严格递增的条件没有关系，因此当取消ux()严格递增的要求时，性质5不会发生改变。性质6不会发生改变。罗伊等式说明：消费者对物品I的马歇尔需求只是间接效用函数关于p的偏导数与其关于y的偏导数的比率—只不过改变了符i号。我们可以设x(xpy,)是(P.1)的严格为正的解，此时必存在满足(P.3)的。应用包络定理去估算vpyp(,)/，从而给出：i**vpy(,)Lx(,)*ppx，因此可变换为：vpy(,)/pixxp(,)yvpy(,)/yii，因此可以得到性质6的得出与ux()是否严格递增没有关系，因此该命题不会发生变化。o1o1下面用两物品情形说明我的论断。在原公理4下，如果xx，那么xx。15 o1o12若不要求，则说当xx，有xx存在。考虑两种物品的极端条件，在R中对所有组合的偏好是一致的，则此时无论y与p如何变化，vpy(,)总是不变的。1.32设vxy(,)是一些行为者的间接效用函数。表明，需求行为对vxy(,)的任意的、正单调转换不变。计算这种间接效用的任何转换本身可当作行为者的间接效用函数。证明：根据定理1.2，效用函数对正单调转换具有不变性，即对于每个x，当且仅当vx()fux(())，在由u所确定的值集上是严格递增的，那么，vx()也代表偏好关系。设vxy(,)fuxy[(,)]，那么因为效用函数uxy(,)是单调、严格拟凹的，所以存11在反函数，即uxy(,)fvxy[(,)]，即可视f[(,)]vxy为vxy(,)的转换，设wxy(,)fuxy[(,)]，则，wxy(,)为效用函数uxy(,)的正单调转换，也可以表1示偏好关系，则wxy(,)ffvxy{[(,)]}(,)vxy，可得间接转化本身可当作行为者的间接效用函数。1.33证明：由于u(x)是连续且严格递增的，并且p>>0，则约束条件必定是束紧的。11因为如果u(x)u，则存在一个t(0,1)充分地接近于1，使得u(tx)u。此外，11111uu(0)蕴含着u(x)u(0),使得x0。因此p(tx)p.x。因为p.x0，因而当约束条件未束紧时，存在一个严格廉价的消费束也满足约束。故在最优点，预算约束必为束紧的，支出函数可定义为：e(p,u)minp.x受约束于u(x)＝u（1）nxR此问题的拉格朗日函数为：L（x,）p.x[uu(x)]（2）*h现在对于p>>0与uu(0)，有xx(p,u)0为（1）的解。因此依据拉格朗日定理，必存在一个，使得：***L(x,)*u(x)xipixi0,i1,...,n（3）16 *u(x)其中，由于pi与xi为正值，从而>0。根据包络定理，最小值函数e(p,u)关于u的偏导数等于拉格朗日函数关于*u的偏导数，在（x,)处取值。因此：**e(p,u)L(x,)uu0（4）上式表明对一切p>>0，e(p,u)关于u是严格递增的。由于u(x)是连续且严格递增的，因此对于任意u1，必存在u2u1。且由于e(p,u)关于u是严格递增的，故有e(p,u)e(p,u)21因此e(p,u)在u上无上界。1.34由证明性质5完成定理1.7的证明。hh证明：因为epu(,)pxpu(,)，则etpu(,)tpxtpu(,)h考虑Hicks需求x(,)tpu为满足效用u条件下支出函数最小化问题的解。而p,p12是同比例（t）变动的，，所以预算线束的斜率未变，为p/p，根据图1.15，12hhhh可得x(,)tpu=x(,)pu，所以etpu(,)tpxtpu(,)tpxpu(,)tepu(,)。QED1.35000（a）vppx(,)max()Ux，受约束于pxpx，因此x也在可行集内nxR0000max()UxUx()vppx(,)nxR0000即vppx(,)(,vppx)00000（b）因为p0，vppx(,)(,vppx)，所以f()p在pp处最小化。（c）其梯度值必定为0。0（d）f()p在pp处梯度值为0，即dfvv0x0dppyy()ypxpx01和A01222p217 即罗伊公式成立。1.36完成下列步骤，提供对谢泼得引理的另一种证明。000h0（a）利用e的定义，证明：如果p0，并且xxpu(,)，那么，对于所0000有的p0，epu(,)px，并且当pp时，该不等式以等式成立。00n（b）得出这样的结论，即在pp时，f()(,)pepupx在上实现了最小化。00（c）假设在p处f是可微的，在p处，其梯度取什么值？（d）设epu(,)关于p是可微的，利用（a）至（c）部分证明谢泼德引理。证明：h（a）根据e的定义，有epu(,)minpx，约束条件为uxu()，如果x(,)pu为nxRh该问题的解，那么在价格为p时获得效用u的最小支出为epu(,)pxpu(,)。000h000由题目条件可知，如果p0，并且xxpu(,)，因为x为效用为u0000000时的最小支出，所以有epu(,)px。当pp时，epu(,)px。得证。00000（b）由（a）的结论可知，当pp时，epu(,)px，所以00000fp()(,)epupx0n因此在上实现了最小化。0000fp()epu(,)0（c）因为f在p处可微，其梯度为x00pp（d）由（a）、（b）、（c）可知，因为epu(,)关于p是可微的，所以有epu(,)hx(,)pu，即谢泼德引理得证。p1.37rr1/r证明：支出函数：e(p,u)u(pp)，(r/(1))12①当u取最小值，即u=0时，显然有e(p，0)=0。②对定义域上任意一点(p,u)，由于0018 rr1/rrr1/rlime(p,u)=limu(pp)u(pp)e(p,u)120102000(p,u)(p0,u0)(p,u)(p0,u0)因此e(p，u)在定义域上连续。e(p,u)rr1/r③(pp)012u因此，p0，e(p，u)严格递增且关于u无上界。e(p,u)1rr1/r1r1rr1/r1r1④u(pp)rp=u(pp)p0,(i=1，pr12i12ii2)。因此e(p，u)关于p是递增的。⑤对于任一正数,rr1/rrr1/re(p,u)u[(p)(p)]u(pp)e(p,u)1212因此e(p，u)关于p是一次齐次的。12t12⑥设p,p为任意两个正价格向量，t[0，1]，且ptp(1t)p.ii且设x最小化了价格为p时获得效用u的支出(i=1，2)，x最小化了价t格为p时获得u的支出。这样，对于任何其他可获得效用u的消费束x，由支出函数的定义，必有：111222pxpx,pxpx.111222同理有：pxpx,pxpx.111222由此：tpxtpx,(1t)px(1t)px.112212ttpx(1t)pxtpx(1t)pxpx.12t即有：te(p,u)(1t)e(p,u)e(p,u),t[0,1].⑦由④：1e(p,u)rr1r1u(pp)rp，(i=1，2)12ipi刚好是与该效用函数对应的希克斯需求函数。1.38在是完备、传递、连续、严格递增、严格凸的情形下，证明：hx(,)(,(,))puxpepu19 hh证明：记xx(,)pu解决了在价格p下，达到效用u的最小支出问题，令hyepu(,)，下面证明x还解决了在py,约束下效用极大化问题。依以上假设hhh有ux()u，ypx，且有vpyu(,)，倘若vpyuux(,)()，根据vpy(,)关于y连续，且严格递增，0，使得vpy(,)u，这说明，只要y的h钱就足以达到效用水平u，这与yepu(,)相矛盾，故只有vpyu(,)，因此x解决了p,y约束下消费者效用最大化的问题，而是严格凸的，即u是严格拟凹h的，解决效用最大化问题的解只有一个，那么x(,)(,(,))puxpepu。1.39证明：要证xpy,关于价格与收入是零阶齐次得，即要证明ixiitpty,,xpyvpy,/pi由罗伊等式：xpy,ivpy,/yvtpty,/pi则：xtpt,yivtpty,/ytvtpty,/pi＝tvtpty,/yvtpty,/pi＝vtpty,/yftxk1fx由定理A2.6有：t（其中fx为k阶齐次）xx1又根据定理1.6知，vpy,是0阶齐次得，故有：vtpty,,1vpytppiivtpty,,1vpytyyvtpty,/pi所以：xtpt,yivtpty,/y20 1tvtpty,/pi＝1tvtpty,/yvpy,/pi＝vpy,/y＝xpy,i证毕。证明希克斯需求函数关于价格是零次齐次的1.4011证明：有希克斯需求函数xhrpu,upprrpr1i1,2ii12对于任何t>0有，11hrrrr1xtpuut,ptptpi12i11rrrrrr11r=utptptp12i1111=utrrrrpprtpr11r12i11=ut11rrrpprtrrp112i11=upprrrpr112i11xhrpu,upprrpr1i1,2关于价格p是零次齐次的。ii121.41h根据定理1.9可得关系式x(,)puxpepu(,(,))，对该式的两边求关于p的微iiih*x(,)pyxpu(,)xpy(,)iii分得：xpy(,)i,j=1,2,…,nippyii①h*xpu(,)i根据定理1.12：0i=1,2…n②pi命题1：“一种正常品其自身价格的下降将会引致其需求量的增加”xpy(,)i证明：若商品是正常品，则：0③y21 xpy(,)i由①②③可得：0，即价格的下降将导致需求量的增加，从而得证。pi命题2：“若一种商品其自身价格的下降将引致其需求量的下降，这个物品必为低档品”xpy(,)i证明：已知0④pixpy(,)i由①②④及xpy(,)0可得0，即该商品的消费量随收入的增加而下iy降，从而该商品为低档品，得证。命题3：如果价格下降导致需求量增加则该商品为正常品xpy(,)i证明：已知0yh*x(,)pyxpu(,)xpy(,)iii根据公式①可知：xpy(,)⑤iyppii因为⑤右边两项均小于零，且各自大小未知，故无法判断等式左边的正负。所x(,)pyi以可能为正也可能为负，即：该商品不一定为正常品，所以原命题不y成立。命题4：“一种低档品其自身价格的下降将会引致其需求量的下降”xpy(,)i证明：已知：0⑥yx(,)pyi根据公式①②可知等式①的右边无法判断正负，即的正负无法确定。pi所以改种商品价格的下降有可能导致需求量的下降也有可能导致需求量的上升，所以原命题不成立。1.42h2xpu(,)epu(,)i证明：∵2ppii又∵支出函数是凹的∴其二阶导数0∴h2xpu(,)epu(,)i02ppii即其自身价格的替代效应是非正的。22 1.43nx1(,)py证明：假设x1、x2，x1是低档品。则＜0，yx11(,)pypx1yx22(,)pypx2y则+=1yyx1yyx2x2(,)pyx11(,)pypx1yp2x2y＝（1－）/>0yyyx1yx2故商品2是正常品1.44s0s00斯卢茨基补偿需求函数x(,)px，依据定义有，x(,)(,pxxppx)由定理1.11得知，希克斯需求有以下一个性质：hxpu(,)xpy(,)xpy(,)iiix(,)py（1）jyjjs00根据已知条件，x(,)(,pxxppx)，将方程两边对P求导得000因px为消费者在x点的支出，因此令ypx，根据链式法则，方程两边求导得，sss0xpx(,)xpy(,)xpy(,)0x（2）y00000由定理知，将p、y代入x(,)py即，xxpy(,)代入（1），jhxpui(,)xpy(,)xpy(,)0则x（3）yj因此，斯卢茨基补偿需求函数与希克斯需求相等。1.45n证明：iji0,in1,2,3j1证明：根据upy(,)的零次齐次性有xtpty(,)(,)xpyt0进而x(,)(,),1,2,3tptyxpyin23 两边对t求导xxiipy0pyxxii即pyj0i1pyxxiipjy两边再同除以xi有0j1pxjiyxin即iji0,in1,2,3j11.46证明：（1）依题意，ux是线性齐次效用函数，则utx()tux()t000epu(,)minpxst..uxu()00当u0时，epu(,)00(,1)ep0当u0时，10xxepu(,)min()pst..u()1000uuuxminpxst..ux()110epu(,)(,1)ep0u00即epu(,)uep(,1)00当u0时，epu(,)00(,1)ep，综上，epuuep(,)(,1)（2）24 vpy(,)max()uxst..pxyx1x改写为：vpy(,)ymaxux()st..p1xyyxx即：vpy(,)ymax()ust..p1xyy即：vpy(,)ymax()uxst..px1xvpy(,)yvp(,1)vpy(,)vp(,1)y即偏导数只与p有关，与y无关。1.47因为：e(p,u)k(u)g(p)ye(p,v(p,y))k(v(p,y))g(p)dyg(p)dk(v(p,y))dk(v(p,y))1dyg(p)he(p,u)px(p,u)iihe(p,u)k(u)g(p)x(p,u)ipphk(v(p,y))g(p)x(p,y)x(p,v(p,y))iipx(p,y)yi根据需求收入弹性：yx25 g(p)dk(v(p,y))k(v(p,y))g(p)ppdyk(v(p,y))g(p)g(p)dk(v(p,y))dy1g(p)g(p)11.4826 证明：两种物品的开支相同px(p,y)px(p,y)......................(1)1122两边对求导：p1x(p,y)x(p,y)12x(p,y)pp112pp11两边同除以x(p,y)：1px(p,y)px(p,y)11221x(p,y)px(p,y)p1111商品对的价格弹性为：21x(p,y)p21px(p,y)12pp12由式可得：(1)x(p,y)x(p,y)21x(p,y)p21px(p,y)12x(p,y)p22px(p,y)11px(p,y)111x(p,y)p1121.49证明：1）根据罗伊恒等式知v(p,y)/px(p,y)，而v(p,y)/pG"(.)A"(P)G"(.)(x(p,y))；v(p,y)/y1"yy""v(p,y)/yG(.)()G(.)yy1"G(.)(x(p,y))x(p,y)yx(p,y)pyy故，x(p,y)1"G(.)yyypypy"由于G(.)是正得单调函数，因此G(.)01其收入弹性为：x(p,y).yy.yx11yx(p,y)pyy/py命题得证。27 12）由于G(.)是正的单调函数，因此v(p,y)与(A(P)yy)具有相同的偏好关系，1令"""yyyy,x的价格由p变为p,且pp,则消费者效用的变动可表示为：A(p)(A(P))1100"ppp"A(p)A(p)x(,y)dx(,y)dx(,y)d0p"pp""ppy"(由于x(,y)dy(ln(p)ln(p))0)pp此结果说明消费者效用(满足预算约束的最大化效用)随着消费品的价格升高而减小。11u(x,x)(x)2(x)21.50考虑效用函数1212（a）计算需求函数xi(p1,p2,y)（b）计算斯卢茨基方程中的替代项（c）将x与x化分成总的补偿或替代项1211解：（a）构造拉格朗日函数L(x,x,)(x)2(x)2(ypxpx)12121122pypy21得x(p,p,y)x(p,p,y)112212p(pp)p(pp)112212hx(p,y)x(p,u)x(p,y)111（b）－x(p,y)2ppy22hx(p,u)x(p,y)x(p,y)111x(p,y)2ppy22p(pp)yppypyp112121222p1(p1p2)p2(p1p2)p1(p1p2)2y2(pp)12h2y（c）x(p,u)012(pp)12x,x是替代的1228 1.51xpy(,)yi证明：，yx(,)pyixpy(,)1i有yyx(,)pyyixpyi(,)10对不等式两边求由y到y的积分，yyx(,)pyiyyy0左边为dylny0(lnylny)lny0yyy0yx(,)py1yxpy(,)ii右边为0yxln(,)ipyy0ln0yyxpy(,)xpy(,)iiyx(,)pyyx(,)pyiilnln，即有00yxpy(,)yxpy(,)0i0ixpyi(,)10对不等式两边求由y到y的积分，yxpyy(,)iyx(,)py1xpy(,)ii左边为ylny0yxpy(,)xpy(,)0iiyy0y右边为dylny0(lnylny)lny0yyy0xpy(,)yxpy(,)yiilnln，即有00x(,)pyyx(,)pyyi0i0yxpy(,)yi0yx(,)pyy00i1.52效用函数对正的单调转换是不变的。(a)两个行为者可观察的市场行为是相同的。题中，无非是说，对于相同的商品组合，A和B的效用相差一倍。(b)也是相同的。ABe=k(u)g(p)，e=2k(u)g(p)。如果假定k(u)=u，那么结果与(a)是完全一样的。29 1.53n解：(a)L(,)=Aai+(y–pi1x1–p2x2–．．．–pnxn)i1LAxxx121n＝112n－p1=0x1LAxx121xn＝112n－p2=0x2............LAxx12xn1＝nn12－pn=0xny–p1x1–p2x2–．．．–pnxn=0p1ixi=x1(i=2,3,....,n)pi1y＝pp12p1n1...np11x1x1＋p2x１＋．．．＋pｎxｎ＝p1x1（）＝p21pn111依此类推可得:aix(p,y)yi(i1,2,3....,n)pi(b)nvpyuxpy(,)((,))A(12yy)(12)...(niy)niAy()pp12pnii1p(c)niivpy(,)Ay()i1piniivpepu(,(,))Aepu(,)()i1pi又vpepu(,(,))unuiiepu(,)()Api1i30 hi()dxp(,)uxp(,(,));(,)epuxpyyiiipinxpepu(,(,))iiepu(,)u()iiippiiAi1pinhiiuixpui(,)()pAiii1p1.54设：nuxfxiii1"它是严格拟凹的，且对于所有i，fx0。消费者面临固定价格p0，并ii且有收入y0。设xpy,0。（a）表明：如果一种物品在xpy,处表现为递增的边际效用，所有其他商品在那里必须呈现递减的边际效用。（b）证明：在xpy,处，一种物品表现为边际效用递增的而其他所有商品编写为边际效用递减的，那么，这个物品是正常品，则另一些物品则为低档品。（c）表明：如果一切物品在xpy,处呈现边际效用递减的，那么，所有物品是正常品。nu"ui""证明：（a）uxfxii令ufiixiufiiixii1xixiuiu0（ji），则ux的海赛矩阵为ijxj"f001"00fHx()2"00fn由于ux是严格凹的，z满足uxz()0。必有n"2zHxz()fxziii()0i131 ""2设第r种商品的边际效用递增，即fr0，则fxziii()0ir***又由一阶微分条件可知，在x处，ux()p（包络定理）**因此uxz()0pz0pz0n1zzzzzR(,,,,,)，zR使得pzz(,)0rr11r1nrrr"f1f"因此，由fxz"2()0，可知Hx()r1负定iii"irfr1"fn"f0()iri（b）假定u0，u0（irin,1）。rrii"由瓦尔拉斯原则，所有的钱都要花光，当收入由y上升到y时，至少有一种商品会增加购买。我们知道，在收入水平y时，各物品每单位价格的边际效用相"等，现如今收入提高到y，则理性人必先增加对边际效用递增的物品，故商品r必定增加，故其为正常品。ux()由包络定理可知，在价格不变下，*(,)pyxrpr*xxpy(,)"**"当y上升到y时，（u0），则(,)pyp(,)yr而（ir）时，根据ux()**"ux()pypy()()iixxiix(,)pyxpy(,)""由u0（ir），则x(,)pyxpy(,)，i为次品，故其他n1种产品为次品。iiii（c）假设至少有一种产品为次品，无妨设第r种为次品。"**"当价格p不变，收入由y上升到y时，则有x(,)pyxpy(,)rr32 ux()而由包络定理可知*(,)pyxrpr*xxpy(,)**"由于u0，则(,)pyp(,)yrr**"x(,)pyxpy(,)（ir）ii**"故in1,2,,，x(,)pyxpy(,)ii*""piixpyyy(,)，与假设矛盾，因此所有物品都是正常品。1.55如果下面每个式子是一个合理的间接效用函数，对、f(y)、w（p,p）y与z(p,p)应施加什么限制？i1212v(p,p,p,y)f(y)p0p2p3（a）123123(b)v(p1,p2,y)w(p1,p2)z(p1,p2)/y一个合理的间接效用函数应满足：n1、在RR上连续2、关于（p,y）是零次齐次性的3、关于y是严格递增的4、关于p是递减的5、关于（p，y）是拟凸的解：(a)应满足f(y)连续；v(tp,tp,tp,ty)f(ty)pt0pt2pt3f(y)p0p2p3123123123对所有t>0，有f(ty)=f(y)；/f(y)>0,<0。i（b）应满足w(p,p)连续，z(p,p）连续1212v(tp,tp,ty)w(tp,tp)z(tp,tp)/tyw(p,p)z(p,p)/y121212121233 w(tp,tp)＝w(p,p)1212z(tp,tp)/ty＝z(p,p)/y1212wzz(p1,p2)<0，0,0ppii1.56（a）依题意构造拉格朗日函数nnbL(X,)pxu(xa)iiiiii1i1Lpb(xa)b11(xa)b2...(xa)bn0111122nnx1Lpb(xa)b1(xa)b21...(xa)bn0221122nnx2...Lpb(xa)b1(xa)b2...(xa)bn10nn1122nnxnnLbiu(xiai)0i1解上式方程组得：nh(,)bi(bi)bixipuaiupii1pi所以支出函数为：nnnhbibie(p,u)pixi(p,u)(biu()aipi)i1i1i1pi间接效用函数为：nyaipii1v(p,y)nbibi()i1pi34 1.57在前一习题的（a）部分你推倒出的斯通－吉瑞支出函数是格尔曼极端形式的特例：e(p,u)a(p)ub(p)该式里a(p)与b(p)均为线性齐次且凹的。表明：对于具备这种支出函数的消费者，其对每种物品的需求的收入弹性随y趋于0而趋于0,并随y趋于无穷而趋于1。bnibi解：由1.56知，e(p,u)u()ipipii1nbb(p)(i)bi得到a(p)ipii1pih由公式xi(p,y)xi(p,v(p,y))得hbibibix(p,u)u()ii因为ppiibnixpy(,)(yp)iipiiii1消费者对每种物品的需求的收入弹性为%xdxyybyiE＝ynn%ydyxbipiipi(yipi)iyipipii1i1bi当y0时，E趋于0，当y时，E趋于1。yym1.58如果epuzpppu(,)(,)m0。为使这个函数成为一个合理的支出函123数，zpp(,)必须满足什么条件？1235 Answer:一个函数成为支出函数，必须满足的性质有7条：1.当u取U中的最低效用水平时，epu(,)0。即uxu()(0)时，epu(,)0。这样因为p0，则zpp(,)0。12n2.在定义域U上连续。m因为p是连续的，且u()也是连续的，那么要使epu(,)也连续，必然有3zpp(,)也连续。123．对于所有p0，支出函数严格递增且关于u无上界。m因为p(0m)是严格递增的，且u()也是严格递增的，那么zpp(,)也必312须严格递增。4.关于p是递增的。epu(,)zpp(,)12m因为pui1,2。则要使epu(,)关于p是递增的，必3ppii须zpp(,)关于p,p是递增的。12125.关于p是一次齐次的。mm要使：etpu(,)(,)()ztptptputzpppu(,)tepu(,)123123mmm1m即：tztptppu(,)tzpppu(,)，则有：ztptp(,)tzpp(,)，即要求：1231231212zpp(,)关于p,p是1－m次齐次的。12126.关于p是凹的。m因为pm0，是凸函数，u()严格拟凹的，则zpp(,)必须是凹函数。？3127．如果u()是严格拟凹的，我们便有Shephard引理：00epu(,)h00x(pu,)i1,...,nipi**epu(,)Lx(,)*h根据包络定理：xxpu(,)。这样zpp(,)满足这ii12ppii36 样的性质。综合：zpp(,)要求大于0，连续，严格递增，关于p是1－m次齐次，且12为凹函数时epu(,)才能成为一个合理的支出函数。001.59设x(,)py与x(,)py在(,)py处有相等的收入弹性，请表明：在1200x12x(,)py处，则有。pp2100证明：由于x(,)py与x(,)py在(,)py处有相等的收入弹性，有：12xyyxxx1212xx21yxyxyy1200由斯卢茨基方程和定理1.14对称性替代项在(,)py有：hhxxxxxx111222xx21ppypyp22111.60表明斯卢茨基关系可以用弹性形式表示：hsijijjih这里是x的希克斯需求关于p的弹性，所有其他项由定义1.6界定。ijijxpuhphi(,)j证明：ijhpxpu(,)jipxpy(,)xpy(,)yxpy(,)xpy(,)jjiijspjijyyxpy(,)yxpy(,)ii37 xpuh(,)pxxpy(,)(,)pyhiijjspijjihjpx(,)puyx(,)pyjiixpy(,)xpy(,)pxpy(,)xpy(,)iijjixpy(,)pjjhpyx(,)puyx(,)pyjiixxxiiippxjjjxphhjjpxyxyxjiiixxiipjpxjjxixphjjpxyxyxjiiixipjhijpxji1.61依据希克斯第三定理：nhΣ∂xi(p,u)/∂pj·pj=0i=1,…,nj=1或等价于如下的弹性形式：nhΣεij=0i=1,…,nj=1证明此式。证明：根据定义，x的希克斯需求关于p的弹性为ijhphxi(p,u)jijhpx(p,u)ji对该式关于j=1，2，…n求和得nnhphxi(p,u)jijhj1j1pjxi(p,u)nxh(p,u)ipjj1pjhx(p,u)ih因为xi(p,u)≥0，这就证明了题中两等式是等价的。1.62在价格为处8,p，效用最大化消费者的需求方才组的替代矩阵是：38 ab212找出a、b与p。解：在效用极大化条件下，替代矩阵的对称性，有b2xh1ap1(8,)phx1在依据替代矩阵的定义有2p2(8,)phx12p22(8,)p又由希克斯第三定理有hhxx1180ppp12hhxx2280ppp12a8解得p321.63（a）正确。xxiii()常数ij,与无关,y则exexe与无关y，ininjnxxjjexniexnjxi11xj对y求导，0,即，yyyxyxijxyyxij，ijyxyxij则有1sssiiii（b）正确。39 nni,(i常数，则有)ssiii1ii11（c）错误。vpy(,)max()uxst..pxyx1x改写为：vpy(,)ymaxux()st..p1xyyxx即：vpy(,)ymax()ust..p1xyy即：vpy(,)ymax()uxst..px1xvpy(,)yvp(,1)vpy(,)vp(,1)y即偏导数只与p有关，与y无关。1.64证明：(1)充分性：根据间接效用函数的定义可知：vpy(,)max()uxs..tpxy构造其对应的拉格朗日函数：Lx(,)ux()(ypx)因为x(,)()(,1)pyyxp，这里x(,1)1/pp，()yy，所以Lu((,))xpyx(,1)px(,1)p()(,1)yxppy()pxp(,1)pp(a)1(uxpy(,))=-2px(,1)pLu((,))()xpyy()yypy()yyy()y(b)uxpy((,))=()y40 LL因为/(xpy,)，由(a)(b)有py2uxpy((,))uxpy((,))px0(c)()yx(,1)p又效用函数可微，则由(a)(b)(c)及约束条件可得：uxpy((,))()yuxpy((,))(,1)xpduxpy(((,)))()yyx(,1)ppuxpy((,))uxpy((,))1y()yx(,1)pp00uxpy((,))根据Euler定理可知效用函数uxpy((,))具有零阶齐次性。(2)必要性：因为效用函数零阶齐次，所以vpy(,)vpy(,)py0pyvpy(,)vpy(,)联合罗伊等式/(xpy,)，可得：pyx(,)pyyp/显然，需求函数乘法可分且具有x(,)()(,1)pyyxp的形式(根据效用最大的约束条件可知x(,1)1/pp)。1.65证明：(1)根据支出函数一阶齐次性可得：1110pp0000epu(,)(epu,)epu(,)00pp又根据支出函数关于p递增的性质可知：101000当pppxpx,，即生活成本增加时，41 1000epu(,)(,)epu01010Ippu(,,)pp/1010同理可证当生活成本降低时，Ippu(,,)1。11yp(2)当I时，有00yp1111ypxp10xx0000ypxp根据效用函数的严格递增性，可得：10ux()()ux，即消费者的福利增加。1y同理可证当I时，消费者的福利减少。0y1.66解：(a)maxxx12s.t.pxpxy1122Lxx(ypxpx)121122Lx12xp0111Lx1p012ypxpx01122解方程组可得：22x1*p24p122x*y2-p8p221当y10,p1,p2时12U(x*,x*)5.512当p(2,1)时x*1161x*y2132242 U(x*,x*)14y21325.512y10.5625I1.5625(b)0当基准效用变为u时：220x*x*p2py2p8pu12212100当p(2,1)时,y2u110当p(1,2)时,y2u71602u1I02u7160因此I会随着u的改变而改变1.67证明：lne(p,u*)lne(p,u*)ppe(p,u*)iilnplnppe(p,u*)piiiie(p,u*)e(p,u*)y且xipipxii原式y43 高级微观经济学作业2.1证x(,)py的预算平衡性与齐次性是不相关的如果x(,)py是消费者的马歇尔需求函数，预算平衡性则说明在每个价格和收入集上，预算约束必须以等式成立，或者nypxpyii(,)i1对于所有的p与y，这个等式成立。我们知道如果任何单个价格或消费者的收入发生变化，那么，在变化前后，等式必须成立。对价格与收入变化的所有消费者的需求反应应当被加总，即用一种能在变化后保持预算约束的等式的方式加总。由于我们知道间接效用函数是零次奇次的，使得vpy(,)(,)vtpty对所有t0这等价于uxpy((,))uxtpty((,))对所有t0由于在(,)py与(,)tpty处的预算集是相同的，当其他的消费束被选择时，x(,)py与x(,)tpty中的每个均是可行的。因此，先前的等式与u的严格拟凹性就说明：x(,)(,)pyxtpty对所有t0因此，这表明x(,)py的预算平衡性与奇次性在它们彼此并不隐含对方的意义上是互不关联的条件。nn2.2xpyR,satisfiesbudgetbalancednessandhomogeneityonR, nxpy(,)nxpy(,)jjpxjj(,),pypj＝1,xtpty,(xpy,)j1＝pjj1yx(,)pyxpy(,)Theijiteminiispy(,)isxpy(,)jpyjnx(,)pyxpy(,)iispyp(,).中的项为pxjj[(p,y)]j1pyj/xpyii(,)xpy(,)令f()txtpty(,)forallt>0,ft()|p.y0iiit1jpyjnnnxpy(,)xpy(,)ii而ypxpyjj(,)，ppjjxj(,)py0j1＝jj11pyjnxpy(,)xpy(,)ii所以pxjj[(p,y)]0j1pyjn1即对所有(,)pyRspyp,(,).02.3vpy(,)ypp(0,0)12令yv1,(,1)ppp(0,0)12uxx(,)minppstpxpx..112121122Lpp(1pxpx),最优解pp需满足的一阶条件为：,12112212（－1）（－1）pp－xx0,pp－0,1pxpx02112121122 11pp,12xx(1)(1)12uxx(,)pp1212xx()122.4证明：(a)令ftetpu()(,)t0则nnnetpu(,)111f()tpiixtpetpu(,(,))pi()(,(,))tpxpetpuiietpu(,)ft()ii11ptii1ttcc,(0)使得fttc()epu(,)f(1)cfttepu()(,)etpu(,)tepu(,)(b)epu(,)关于p一次齐次，p0，则x(,)py在(,)py上零次齐次，te0,(,)tpute(,)puetpu(,)txtpetpu(,(,))txtptepu(,(,))iipietpu(,)((,))tetpuepu(,)而ttx(,(,))pepu。ipppiii2.5（a） epu(,)uppp123123epvpy(,(,))vpyppp(,)123123又因为对于任意pyepvpy,,(,(,))yvpyppp(,)123y123vpy(,)yyp12pp3ppp123123123vpy(,)py11xpy(,)1vpy(,)p1yvpy(,)py22x(py,)2vpy(,)p1yvpy(,)py33xpy(,)3vpy(,)p1y所以Roys"identity成立。（b）max{up0|xe(,)}pupxmaxuu0|ppp123123pxmaxuu0|minppp123123＝minyp12pp3st.pxy1232.6p1p2p1p2p1p211e()UV()e()y()yp1p2p1p2p1p2p1p2ByRoy’sidentity: Vp2yp2yp1p1x1p1Eq.1)Vp1p2likewiseEq.2)x2p1p2yp2x1FromEquations1)and2)wewillgetEq.3)p1x2p2x1p1x2yFromequation1)p1p2yyx1x1x1x2x1yUseequation3)againp1p2=p1p1x2x1x21x1yyp11orp1Eq.4)x2x1x2x1x2x1x1yp1p1Eq.5)x2x1x2x12.71uxx(,)Axx(01)1212uxx(,)1211uxx(,)12Axx,(Ax1)x2112xx12uxx(,)12x1pxx112(,),uxx(,)uxx(,)x()12xx()121xx1212uxx(,)12x12pxx(,)112()uxx(,)12xx()uxx(,)12x2xx12122SubstitutetheseintoVaboveUx1x2 ii2.8Theconsumerbuysbundlexatpricesp,i=0,1.Separatelyforparts(a)to(d),statewhethertheseindicatedchoicessatisfyWARP:0011(a)p=(1,3),x=(4,2);p=(3,5),x=(3,1)01xx0p1061p22140100pxpx=610Yes,satisfiesWARP.1011px>px=2214Yes,satisfiesWARP.0011(b)p=(1,6),x=(10,5);p=(3,5),x=(8,4)01xx0p40321p55440100pxpx=3240Yes,satisfiesWARP.1011px>px=5544Yes,satisfiesWARP.0011(c)p=(1,2),x=(3,1);p=(2,2),x=(1,2)01xx0p551p860100pxpx=55Yes,satisfiesWARP.1011px>px=86Yes,satisfiesWARP. 0011(d)p=(2,6),x=(20,10);p=(3,5),x=(18,4)01xx0p100601p110740100pxpx=60100Yes,satisfiesWARP.1011px>px=11074Yes,satisfiesWARP.2.9pxpy.(,)yxpy(,)零次齐次的，要证明spy(,)是对称的。因为x(,)py零次齐次，则有xtptyxpy(,)(,)xtpty(,)xtpty(,)对有xpp11112pp12pxpypxpy(,)(,)y1122xpy(,)xpy(,)12xpyp(,)p0112pp11xpy(,)xpy(,)11pp112yyxx1xx1111xppx2222pyppy2221xxxx2222(0.1)ppxx2211ppypy2111xxxx2222ppxx2211ppypy211(0.2) 151121270011222.10PXPXPX19112211271121100在P时选择X，PX0042PX0148PX0240PXPX202202所以X显示偏好于X11在P时选择X，PX1136PX1033PX0148PXPX101110所以X显示偏好于X(2)22在P时选择X，PX2250PX2148PX1240PX113621所以X显示偏好于X(3)由(1)(2)(3)得到不可传送性。2.11(a)nx(,)pyR关于(,)py零次齐次证明：WARP在（p,y）上被满足WARP在(p,1):pR "n"则（p,y）（p,y）R分别选择（p,y）x，（p,y）x+""""若p.(,)xpypxpy.(,)且x(,)(,)pyxpy""""要证p.(,)xpypxpy.(,)""由p.(,)xpypxpy.(,)"""pp""ppppp.(,)xpypxpy.(,).(,)xpy.(,)xpy.(,1)xx.(,1)"yyyyyy"ppxx(,1)(,1)"yyn由(,1):ppR上WARP""""pppp""pp""""xx(,1)(,1)px(,1)px(,1)pxpy(,)pxpy(,)""""yyyyyy(b)x(,)py满足其次预算平衡10101T当p与p不成比例时，(.pspyp）(,).0就有x(,)py满足WARP(充要条件)x(,)py满足齐次，预算平衡，连续可微Tx(,)py满足WARP<＝>().(,)dpspydp0对于任何从""(,)py到(,)py的补偿性价格变化有"""(),ppp（x(yx)(p,y)""x(,)(,)pyxpy不等式严格成立px.0，dxxdpxdyspy(,)py1010T1p与p不成比例，总有().(,)pSpyp010110TT12000当p与p成比例，pk，().(,)pSpypkpSpyp()(,) 2.12解：投保g不投保g12被偷（p）D-I0不被偷（1-p）D-IDg=(D-I,1)1g=(0,p;D,1-p)22.13解：ngs(,;ap11;,)|appnni0,pi1i1n当n2时，满足pi1的pi有无穷多个，因此g中的元素也有无穷多个。i12.14解：如果aa,,无法根据偏好进行排序，必定以下两种可能：1n（1）无法比较a与a的大小（ij且1,ijn）ij（2）aa,,产生了顺序循环，即1naaaaaaijk,,(,且1ijkn,,)ijjkki（1）可由完备性排除；（2）可由传递性排除。因此，aa,,可根据偏好进行排序，一定存在最不被偏好的元素和最受偏1n好的元素。2.15解：当1时，gaa(,,,1)a矛盾131当0时，gaa(,,,1)a矛盾13s 因此，必严格取0与1之间的值。2.16解：考虑两个赌局：gap(,;,1)apga11221其中，a表示赢得1000元，a表示死亡；(1p)是一个很小的正数。12对于一个探险者而言，gg，而这违背了G4。122.17解：假设gapa(,;,1（）p）且gapa(,;,1（）p），11n112n2即有(,;,1apa（）p）(,;,1apa（）p）11n112n2不妨设pp12根据G4，有(,;,1apa（）p）(,;,1apa（）p）矛盾11n112n2因此，pp122.18证明：设p(,pa,)pa，qqaqa(,,)，rrara(,,)。11nn11nn11nn由公理G5可知，rrr(,(1))pqp,则(,(1)r)(q,(1)r)由公理G6得到((p(1))ra,,(p(1))ra)((q(1))ra,,(q(1))ra)111nnn111nnn证毕。2.19解：""uW()RW()a"uW()若消费者是风险规避的，则RW()0a"uW()0（效用函数的单调性）""uW()0对于所有的W成立 因此效用函数是严格凹的。2.20解：设ggGAaa,,,,,a1212n根据连续性：gap(,;,1ap（））111n1ga(,;,1pap（））212n2p与p可由比较大小，不妨设pp1212根据单调性，gg12因此任意的ggG,都可以进行比较，证明了G1。122.21解：设vg()ug()121212vg()vg()((ug))((ug))ug()ug()232323vg()vg()((ug))((ug))ug()ug()2.23"a)u(w)b2cw"u(w)2c"风险规避则u(w)是严格凹，可推出u(w)0,即c0 "b)u(w)0bb2cw0w2c11c)E(g)(wh)(wh)w221212u(CE)u(g)ab(wh)c(wh)ab(wh)c(wh)22222abwc(wh)abwcwu(w)(因c0)u(CE)u(w)"又因u(w)0,所以CEw(E(g))"u(w)2cd)R(w)a"u(w)b2cwRa(w)2c2()0wb2cw因此不可能表现出绝对风险规避程度递减。2.242u(w)(bw)严格增要求：u"(w)2(bw)0即bw;严格凹要求：u"(w)w0即w0;u"(w)wRa(w)-u"(w)2(bw)Ra(w)b2w2(bw)bw且w0，b0Ra(w)0w因此u(w)表现出绝对风险规避程度递增2.25"2""u(w)/w1u(w),u(w)R(w)2a"wwu(w)/wwRa(w)102ww因此满足绝对风险规避程度递减。2.26 u(x,x)的海塞矩阵为12102xH(x)1,易证H(x)为负定，因此u(x,x)是凹函数，表现出风险规避11202x22.27先证充分性g(p,x;p,x...p,x)1122nnnnnu(g)piu(xi)u(CE),E(g)pixi,u(E(g))u(pix)i1i1i1CEE(g)u(CE)u(E(g))u(g)u(E(g))以上步步可逆，因此必要性也得证。2.28当u(w)abw时，设g(p,w;p,w)1122则E(g)pwpw1122u(g)pu(w)pu(w)p(abw)p(abw)ab(pwpw)u(E(g))112211221122因此是风险中立的因为u(CE)u(g)，所以CEE(g)PE(g)CE0以上证明了(a)(b)(c)三个条件是等价的，且由(a）可推出消费者是风险中立的若消费者是风险偏好者，则满足以下三个条件：（1）VNM效用函数严格凸；（2）CEE(g);(3)P02.29"""""2u(w)Ra(w)u(w)u(w)(u(w))R(w)0a""2u(w)w(u(w))"2""""2""(u(w))则u(w)u(w)(u(w))0u(w)0"u(w)""因此u(w)0是DARA的必要但非充分条件。2.30u()解：R()0au()两边求积分，得： cc111ln()ucu()eue()c12u()2.31解：RR()()ru()u()u()ln()ucln1uc()11uc()c1212.32证明：设总资产为，其中用于风险资产投资，在第i种情况下的收益为：(1rr)iin期望效用为：puii().rst.0i1nmaxpuii().rst.0i1n一阶条件：puii()rri0i1n2二阶条件：puii()0rrii1n*piiur()rdi1nd2piiur()rii1由于消费者是绝对风险规避递减，*当r0时，R()Rr()ii*当r0时，R()Rr()，ii *Rr()Rr()0ii*Rr()(rR)riiiur()*irR()r*iiur()i**ur()(rRr)()uriiiinn*两边取期望，得：puii()(rriR)()puiirri0ii11*d所以0d*当财富增加时，减少，因此是劣质品。2.33ijijFromthecontextofpage108:RRaa()ww()CECE.thereisanothermethodtodemonstrateit:wemaydefineh(.):u(x)=h(v(x))(uisapositivetransformationofv),sofunctionhisexisted)Differentiating“u(x)=h(v(x))”withrespecttoxonbothsides,wehave:u’(x)=h’(v(x))v’(x),soh’>0U’’(x)=h’’(v(x))v’(x)^2+h’(v(x))v’’(x)Multiplyingthesecondequalityby“1/v’(x)”:ijhvx""(())RRaa()xvx"()()xhvx"(())hvx""(())jivx"()RRaa()x()x0hvx"(())Meanwhilev’(x)>0andh’>0h""0Soh(.)isanincreasingandstrictlyconcavefunction.Hence,anygamblegisacceptedbyconsumeri,theconsumerjwillacceptitaswell.thatis,thechoicesetofconsumeriissmallerthanthatofj.Aboveall,wecanconcludethatthemoreriskaversiontheindividual,thesmallerthesetofgambleshewillaccept.2.34（a）表示消费者对远期消费的贴现（b） tt1Lux()tt()(yxt)tt001rLtt"1ux()()0txr1t(c)"ux()t(1r)ux"()t1(d)(e)tL1()0yrtt01"ux()t11(f)当＝时，ux"()1r＋t1u"(.)xx又因为是单调递增函数，所以tt1，每期的消费都2.35(a)22MaxV=u(x0)+bu(x1)=-½(x0–2)-b(½)(x1–2)s.t.x0+x1/1+r=y0+y1/1+r=1+1/1+r,sincey0=y1=1SetuptheLagrangianfunctionandfinddL/δx0=0anddL/δx1=0(NotedListhepartialderivativeoftheLangrangianfunction.Iusedherebecausethetraditionaldeltaisnotavailableonmysoftware).Youwillfindthatlambda=f=(x0–2)=(x1–2)(Iusefbecausetheletterllookslikethenumber1)x0=x1=xbar xbar(1+1/1+r)=1+1/1+r(i.e.inter-temporalbudgetconstraint)xbar=1Iunitisconsumedineachperiod(b)Incomeinthesecondperiody1isuncertain.Recall:x0+x1/1+r=y0+y1/1+r=1+y1/1+rOrx1=y1+(1+r)(1-x0)But½probabilityy1=½,and½probabilityy1=1.5E(V)=½{u(x0)+bu[½+(1+r)(1-x0)]}+½{u(x0)+bu[1.5+(1+r)(1-x0)]}2OrE(V)=-½(x0–2)–b{½[½+(1+r)(1-x0)]+½[1.5+(1+2r)(1-x0)-2}NowdL/dx0=0x0=1(Rememberthisisthepartialnotthefullderivative)Sincex1=y1+(1+r)(1-x0)=y1,x1=½withprobability½and=1.5withprobability½(c)Thereasonofthesimilarityinthechoiceofx0isthattheexpectedincomeintheuncertaintycaseequals1,whichistheincomeinthecertaintycase.Whenitisnot,weexpectrisk-averseagentstosavemoreandconsumeless(i.e.x0<1);however,thisisnotalwaysthecase.Therearesomemodelsinwhichtheincreaseduncertaintyaboutthefuturemightincreaseconsumption–seeSandmo,A(1970)“TheEffectofUncertaintyonSavingsDecisions.”ReviewofEconomicStudiesVolume37,pages353-60. 3.1：平均产品弹性被定义为((APx))x((xAPx))，我们知道iiiiAPx()fx()/x，代入原式((APx))x((xAPx))中求导，可得iiiiiixfxfxx()()ii，由于ufx()/()xfx，因此，我们可得iiixfx()i((APx))x((xAPx))1u。iiiii又有uMPxA()/Px()，因此平均产品弹性为MPxAPxAPx()()/()，iiiiii这表明了当边际产品大于、等于或小于平均产品时，平均产品是递增、不变或递减的。3.2：由于yfxx(,)是一个规模报酬不变的生产函数，根据规模弹性12n的定义可知投入的规模弹性与产出弹性有如下关系：ux()uxi()，i1因此，此题中uxux()()()ux＝112即xfxxfxfxx()()(,)，当x的平均产出正在上升时，由于总的1122121产出f(,)xx不变，因此，x的边际产出应为负的。1223.3：由全局性规模报酬的定义知：对于一个生产函数f()x，如果它是一次奇次，即f()txtfx()，那么对所有t0和所有x，这个生产函数具有规模报酬不变的性质。nfii()xxi1在点x处的规模弹性定义为：ux()，当规模报酬不变时，fx()nux()1，因此可得：f()xfii()xx，由于fii()xMPx()，因此，i1nf()xMPii()xx。i13.9： 11dxxdxdxln(/)lnlndxdx212121xx211fAxxx1122lnlnlnlnlnxlnx121fAxxx2121f111ddlnxdx21fxx221dxxln(/)21112dffln(/)123.11：11dxxdxdxln(/)lnlndxdxjijijixxjin11Ax()0iiiixfxiii1i1ilnlnln()ln(1)(lnxlnx)ijfxn1jj1jjAx()0iijjxi1f11iddln(1)(xdx)21fxxj21dxxln(ji/)112dffln(/)1iji的投入产出弹性为n11Axx()iiiixiMPx()xiii1iinnAPxi()1Ax()xiiiii1i1nniixi1()xini1iixi113.12：yk(1xx)12 xjdlnx根据替代弹性定义，iijf(x)idlnf(x)j生产函数对x，x求偏导，得1212f(x)kxx(1xx)⑴1121212f(x)kxx(1xx)⑵21212f(x)x⑴、⑵两式相除，得12f(x)x21x211dlndxdx⑶21xxx121f1(x)x211dlndlndxdx⑷21f(x)xxx2121⑶、⑷两式相除，得1ij3.13：根据位似性的定义，f(x)是位似的：f(x)是一个一次齐次函数"的正单调变换。即，f(x)g(h(x))，g()0，h(x)是一次齐次函数。设f(x,x)g(h(x,x))1212xjdlnxi根据替代弹性定义，ijf(x)idlnf(x)j生产函数对x，x求偏导，得12"h"hf(x)g(h(x,x))f(x)g(h(x,x))112212xx12位似生产函数的替代弹性为：dln(x/x)dln(x/x)2121ijdln(f1(x)/f2(x))dln((h)/(h))xx12线性齐次函数h(x,x)的替代弹性为：12 dln(x/x)21ijdln(h(x)/h(x))12因此，位似生产函数的替代弹性等于其线性齐次j部分的替代弹性。n113.14：y(ixi)=(ixijxj)i1ij生产函数对投入i,j分别求导，得11fx，fxiiijjj1fxxiiidln()dln()(1)dln()1fxxjjjdln(xx)对于所有的jiij，=1(1)ij(1)dln(xx)ij3.15：nnaxiilnXiailnXiii11n1ln(axii)nnni1ln(axii)axiiailimyelimlnylimeii11limelimeei1（a）证：00000naXiilnneai1xiii13.16：（a）证：cwy(,)minwx,受约束于f()xyf是严格递增的，约束将总是解处束紧，因此有cwy(,)minwx,受约束于。f()xy，其解存在，设为x（b）证：假设其解不唯一，12x和x都是其解，21xx，根据拉格朗日方程有 fx()wixifx()wixi1fx()wixi2fx()wixi12f()xf()xxxii12f()xf()xf(x)严格拟凹，则有12x=x，与假设矛盾，所以其解是唯一的。3.17：(1)证：cwy(,)(,())cwfx，f()x严格递增，f(0)0，cwy(,)(,()),(0)0cwfxfcwy(,)wxcw,(,0)w00（2）其连续性由最大化定理推出（3）证：f是严格递增的，约束将总是解处束紧，因此有cwy(,)minwx,受约束于f()xy，建立拉格朗日方程(,)xf()xf()xwx((yfx)，有w0,w>0,>0,因此iixxx>0(,)xc(,)wy又根据包络定理有>0,因此c关于y递增。yy设c有上界M,则有c(w,y))=M,y是连续的，存在M,设有c(w,y,,yy，c关于y是单调递增的，cwy(,)(,)cwyM，与假设矛盾，所以c关于y无上界。 （4）证：根据包络定理有cwy(,)(,)xx0ww因此c关于w递增.3.18：(1),(2)证明与上同（3）证：cwy(,)minwx,受约束于f()xyf是严格递增的，约束将总是解处束紧，因此有cwy(,)minwx,受约束于f()xy11112222则有cwy(,)minwxfx,()y和cwy(,)minwxfx,()y21令y>y,2121则有f()(),xfxxx,2211则有cwy(,)minwxcwy(,)minwx因此c关于y是单调递增的（4）证：令12ww则有1122cwy(,)minwxcwy(,)minwx因此c关于w递增.3.19:柯布—道格拉斯形式的生产函数：cWy(,)Awwy12。生产函数具有定理3.2给出的几个性质。(1)生产函数分别关于W和y是递增的，ccc则：0,0,0wwy12 即A0,0,0。(2)生产函数关于W是一次齐次的。则ctWy(,)(,)tcWy。由于ctWy(,)()()AtwtwyAtwwy；1212tcWy(,)tAwwy。12所以1。由(1)和(2)得到：0,1同时1。上述条件可以保证cWy(,)关于W的海赛矩阵是半负定。即cWy(,)关于W是凹的。3.201：由于cWy(,)关于W是一次齐次。那么于cWy(,)关于W的偏导数是零次齐次的。即ctWy(,)(,)cWyt0。wwiictWy(,)由谢泼德引理：x(,)tWy；iwicWy(,)x(,)Wy。iwi所以x(,)(,)tWyxWy。X(,)(,)tWyXWy。ii即X(,)Wy关于W是零次齐次的。cWy(,)2：因为x(,)Wy，则iwi2xWy(,)cWy(,)iwwwjij 替代矩阵可以表示为：22cWy(,)cWy(,)2www11n*(,)Wy22cWy(,)cWy(,)ww2wnn1已知cWy(,)关于W是凹的。那么cWy(,)关于W的海赛矩阵是对称且负半定的。2xWy(,)cWy(,)i是海赛矩阵的主对角元2wwii素。由于海赛矩阵是负半定的，它的主对角元素小于或等于零。3.21111设cWy(,)minWXfX()y，X是其最优解，则1111cWy(,)WXfX()y。222同理设cWy(,)minWXfX()y，X是其最优解，则2222cWy(,)WXfX()y。那么对于满足式子f()Xy任意的X，有1111cWy(,)WXWX，2222cWy(,)WXWX设t12WWW设tttcWy(,)minWXfX()y，X是其最 优解，则ttttcWy(,)WXfX()y。由于tX使约束条件等号成立，有以上的推导知道：1111tcWy(,)WXWX，2222tcWy(,)WXWX所以ttttt12112212cWyWXWXWXWXWXcWycWy(,)(,)(,)即：每个成本函数关于投入价格也是超加性的。2122设WWWW0，那么WW。由于成本函数关于投入价格是超加性的，有211cWy(,)(cWWy,)(,)(,)cWycWy，因为cWy(,)0，21则cWy(,)(,)cWy。即成本函数关于投入价格是非递减的。3.22：由于cwy(,)minwxs.t.f()xy则对应的拉格朗日函数为：L(x,)wx(yf(x))cL*由包络定理有：mcwy(,)，即该命题是正确的。(*,*)wyycL**3.23：（1）证明：由3.22题知：mcwy(,)，下求。(*,*)wyy由cwy(,)minwxs.t.f()xy其对应的拉格朗日函数为：L(x,)wx(yf(x)) 将L(x,)关于x求偏导，令其等于零，得：Lwf(x)0iixi解得：*wiwi，f(x)MPiiw即得：imc(w,y)MPi3.28：2111证明：(a)c(,)WycWycWy(2,)(,)(由定理3.2,c关于W是一次齐次的）,2所以，两家厂商的成本函数相同，在完全竞争条件下，P是相同的，所以，xpW(,)(,)与ypW将是相同的。21（b）cWycWy(,)(,2)minWX受约束于fXy()投入需求函数x(,)pW是利润最大化条件下，投入的最有数量，依存于P和W。(,)pWx(,)pW，而不是条件投入需求x(p,y)依存于y.iiwi所以在完全竞争条件下，两家厂商的产品价格P相同。由于两家厂商的W相同，所以，xpW(,)(,)与ypW将是相同的。3.30：证明：C(y)AC(y)y对上式两边对y求导，有：MC(y)AC(y)yAC(y)所以有： MC(y)AC(y)AC(y)yMC(y)AC(y)从上式，当AC(y)大于（小于、等于）0时，平均成本y递增（递减、不变），且边际成本大于（小于、等于）平均成本。3.31：柯布-道格拉斯成本函数：c(w,y)Awwy12则有谢泼德引理，条件投入需求分别为：c(w,y)c(w,y)x(w,y)1ww11c(w,y)c(w,y)x(w,y)2ww22由此，投入份额swx(w,y)/c(w,y)为：iiis,s12所以：[lnAlnwlnwlny]12ln[c(w,y)]/ln(w)s11lnw1[lnAlnwlnwlny]12ln[c(w,y)]/ln(w)s22lnw23.32：已知超对数成本函数：nnln(c)a0ailn(wi)ijln(wi)ln(wj)ln(y)i11i（1）nijji，ij0i1（a）为确保齐次性要求，对参数ai的限制是：ai1证明 齐次性意味着：nnln(tc)a0ailn(twi)ijln(twi)ln(twj)ln(y)i11i（2）nnln(c)ln(t)a0ailn(wi)ijln(wi)ln(wj)ln(y)i11iln(t)2nnln(t)nnln(t)aiijijlnwilnwj2i11j2i11jln(t)2nnln(t)nnln(c)ln(t)alnwlnwiijijij2i11j2i11j（3）为使方程(2)左右两边相等,要求ln(t)2nnln(t)nnln(t)ln(t)alnwlnwiijijij2i11j2i11j（4）ai1因此，可得：nnij0i11j（5）(b)当a0，且0时，超对数成本函数简化为C-D形式：iijln(c)a0ailn(wi)ln(y)（6）nCea0ywaii（7）i1(c)表明：超对数成本函数中的投入份额关于投入品价格与产出的对数是线性的对（1）式关于w求微分，并应用Shephard引理，得到i ni(w,y)wixi/C(w,y)aiijlnwj,i1,2,3.....,n（8）j1从（8）式可见，投入份额关于投入品价格的对数是线性的in3.33：因为f(tx)ai(txi)tf(x)，所以f(x)为一次齐次的。因此，f(x)i1是位似函数；又因f(x)满足假设3.1，即连续、严格递增并且严格拟凹，f(0)0；因此，在上述条件下，根据定理3.4，成本函数及条件投入需求函数分别是1/ac(w,y)yc(w,1)其中，一次齐次性意味着a11/ax(w,y)yx(w,1)nc(w,y)c(w,1)aixii1因此，nx(w,y)x(w,1)aixii13.34：（1）求短期成本函数SC：根据题意设生产函数为：1yfxx(,)kxx12121现固定投入x为x，则生产函数为yfxxk(,)xx221212由于成本函数在w0时对y是严格递增的，设xyx,为约束条12件f(,)xxy下，成本最小化时的可变投入，则有121111xyxkyx,1221111根据定理3.6有：SCwwyx,,;wkyxwx1221222（2）证明AC=MC由于在长期x与x投入均可变，故设生产函数121yfxxk(,)xx1212 由约束条件1f(,)xxkxxy得到在成本最小化时121211xkyx1112111故成本函数为：cwwy(,,)wxwxwxwk111yx121122112111c1wwky11()x1121x11111w2xky()1w11111111w211xky()ky2w111w2ky()w1111ww12cwwy(,,)wxwxk()y121122111ww12ACk()111ww12MCk()1AC=MC(3)证明SAC=LAC对于每种水平的固定投入，在短期平均成本最低水平上有：1w2xky()，代入题（1）中SC方程中得到：2w11111sc11SACwkyxwxy11222y 1111111ww221wkyk()yk()yy1ww111111ww12ky()LAC13.39证明：充分性：已知生产函数满足假设3.1，并且是规模报酬不1变的，即它是线性齐次函数，根据定理3.4，cwy(,)ycw(,1)，其中1,令cw(,1)()w，所以cwy(,)yw()。必要性：已知cwy(,)yw()是线性的，则ct(,)wtytyt()(,)wtcwytyw()，即()w是零次齐次的。令ctwty(,)tcwy(,)yfwy(,)，f(,)twtytfwy(,)ty，所以生产函数是一()tw()w次齐次的，即规模报酬不变的。3.41：因为企业的短期投入决策被施以更多的限制，所以使得成本增加，即scwwyx(,,;)(,,)cwwy。设既定价格水平下，使产出的短期成本最小化的最优固定投入是x()y，则有：cwwy(,,)scwwyxy(,,;())，即对于与一定固定投入水平相关的的短期成本函数，短期与长期成本相dcwwy(,,)scwwyxy(,,;())等；对之求微分可得：，说明二者的斜率相dyy等。所以长期总成本曲线是整个短期总成本曲线族的下包络。图见3.6.3.42：己知：生产函数是yxx，利润函数满足：12maxpywxwxstxx..y112212设有一内点解，约束条件以等式成立，则上式变为maxpxxwxwx121122分别对x和x求一阶导数得：12 1pxxw（1）1211pxxw（2）122由1、2式得1111111111xp；xp12wwww1212111ww令112Ap，则xA，xA12ww1211111111将11xp；xp12wwww1212代入(,,)pxwpxxwxwx121122得利润函数(,,)1pxwA1111即(,,)1pxwpww12由于0且A0，所以1#3.43：己知生产函数fxxgxhx，且投入需求xpwxpw,,,1,21212关于w是1/2次齐次的。由maxpgxphxwxwx求一阶导数得121122ww1，2gx1hx2ppw1w1，得1令gxawxpw,xpw,。。。。。。（1）111111pawp1w因为1xptw,,txpw代入（1）中，awwxpw;,11111111p3ww2所以：11gxxpwc,c1112pp 3ww2同理可得22hxxpw,cc2222pp3.44：例题3-5中：利润函数：1/1rr/1r/1pw,1pw12w1/111供给函数：yp1ww12投入需求函数：/111/111xpwwii,p1w12w证明定理3.7如下:1、关于P是递增的。11rr/1r/1pww121p11/1r/1rrpww120其中r。12、关于W是递减的。r1/1pw1/1rrwr1wr1/11121w1r1pw1/1rrwr1wr1/10121r1/1pw1/1rrwr1wr1/11122w同理2r1pw1/1rrwr1wr1/101223、关于（P，W）是一次齐次的。 1/11/1rrrr/1r/1tptw,1tptw12tw1r111r/1rr/1r/1tpw12w11/1rr/1r/1tpw12w1tpw,4、关于（P，W）是凸的。ttptp121;tpwtw121tw1/1/1/1tpwt11,1p1w11/1/1/11,1tp22wtpw2211/1/11/1/1/1tpw11,1tpwt22,p1w11tp2w21tt1/1rrrr/1r/1pw,1tp12tptw11tw21ttp,,wtpw111tpw22,5、霍特林引理：由1的证明可知，yppw,由2的证明可知，xipw,wi证明定理3.8:1/1111ytptw,tp1tw12w1、ypw,11/11111/11111xtptwtwii,tp1tw12w/1101/111twip1w12wxpwi, 1/111ypw,p1w12w1/1ypw,12112、pw112wp11ypw,0p/111/111xpwwii,p1w12w21xpw,12111i1111wp111ww2w1w1111211211111112wpww11121w111,xpwi,0w13、替代矩阵是对称且负半定。3.51证明：要证明连续可微非负函数xi(p,w)(i=1,2,…n);与y(p,w)在满足零齐次性，替代矩阵为对称阵，正半定性的情况下，由递增，拟凹生产函数y=f(x)生成，只需证明xi(p,w)和y(p,w)是maxpy-wxs.t.f(x)≥y的唯一解。假定π(p,w)=maxpywxs.t.f(x)≥y((x,y)0)根据利润函数的霍特林引理，可得：(p,w)y(p,w)p (p,w)x(p,w)（i=1,2….n）（1）iwi要证明（1）成立，只需要证明①maxpy–wxs.t.f(x)≥y该式有解；②证明π(p,w)是满足定理3.7五条性质的利润函数。①证明π(p,w)=maxpy–wxs.t.f(x)≥y有解如果等式（1）成立，则根据xi(p,w)(i=1,2,…n);与y(p,w)为连续可微，知π(p,w)在其定义域内也连续可微。对π(p,w)=maxpywxs.t.f(x)≥y两边求二阶微分，得：((x,y)0)y(p,w)y(p,w)y(p,w)...pww1n2(p,w)x1(p,w)x1(p,w)...x1(p,w)pwwpw1ni.........x(p,w)x(p,w)x(p,w)nnn...pw1wn上式右边为替代矩阵，由已知，替代矩阵为对称矩阵，根据杨格定理，其左边关于p,wi对称，因此，上式解存在，即存在π(p,w)，使等式两边相等。又由于该替代矩阵为正半定的，π(p,w)为凸函数。而生产函数f(x)为拟凹函数，因此该式解唯一。②证明π(p,w)是满足定理3.7五条性质的利润函数。A：π(p,w)关于p递增对π(p,w)=maxpywxs.t.f(x)≥y两边求关于p的微分，((x,y)0)得：(p,w)n1y(p,w)≥0（因为y(p,w)为定义在上的非负函数。）p 所以，π(p,w)关于p递增。B：π(p,w)关于w递减对π(p,w)=maxpywxs.t.f(x)≥y两边求关于w的微分，((x,y)0)由于f(x)为递增函数，在y=f(x)处取极值，得：(p,w)n1x(p,w)≤0（i=1,2….n）（xi(p,w)为定义在上的iwi非负函数）所以π(p,w)关于w递减。C：π(p,w)关于(p,w)一次齐次(tp,tw)(tp,tw)给定t>0,=t=t·y(tp,tw)=t·y(p,w)(y(p,w)pp在定义域上满足零齐次性)(tp,tw)(tp,tw)给定t>0,=t=t·xi(tp,tw)=t·xi(p,w)wwii(xi(p,w)在定义域上满足零齐次性)π(p,w)关于(p,w)一次齐次，得证。 4.3由斯拉斯基方程hxiipy,,,xpyxpyipippyiihxpyi,xpyi,xpyi,0总是成立，同时商品i为正常商品，则0，则0。pypii4.4设市场上有n名消费者，都认为x与y是相互替代的，有：jdx0dpydxdxidi市场对x的总需求xxi，0。idpyyidp4.5maxpfklrkwl(,)"kpfkr0rp*"fk*"pf"w0wpflll长期均衡时的厂商数量为J，均衡条件为****pfkl(,)rkwl0**dJfkl(,)q()p在一般情况下，由以上方程组可以解出J，但在规模报酬不变的情况下""""fkflfkl(,)pfkpflpfkl(,)，即rkwlpfkl(,)，则方程组1式为恒等klkl式，用2式解不出J来。4.6（a）当厂商j实现利润最大化时*papmcabqq2jjj2bj因此对于不同的厂商，产出不同。pa（b）若b0，当pa,每个厂商产出为0；当pa，产出为。j2bj4.71 2（a）()qqaqbqjjjjj由于所有厂商都一样，qJjjqjaqjJb2aspd2ba总供给为：Jq；总需求为：q；价格为：pJb2Jb24.81*()abqbqqcqqabqc121111212*()abqbqqcqqabqc12222212*ac12bcabq11b2aabbcbc*12联立得到：pq*ac21bcab1b221b**ccqq21122212()ac12bcab()ac21bcab22(1bb)(1)(1bb)(1)(2acccc)()12211b*由q0，有acbcab0；112*由q0，有acbcab0。22112两式相加，20acc，有0。124.9（a）1为领导者，2为跟随者22*[100(qqqqq)]250.25q1222211*(100qqqq)101211(100qq250.25)q10q1111**170656512得到qqp,,,1275,234.712362（b）2为领导者，1跟随者1*[100(qqqqq)]10450.5q1211112 2*2(100qqqq)21222(100qq450.5)qq2222**2155527512得到qqp,,,1284,985.412636（c）由此，2愿意为领导者，1愿意为跟随者（d）在古若模型下1*[100(qqqqq)]10450.5q12111222*[100(qqqqq)]250.25q122221**26011033012可得qqp,,,1379.6,493.9。127774.10（a）1为领导者，2为跟随者2*ac[(aqqqc)]qq0.5q1222212b1**ac*ac[()abqqqcqq],q12111224bb12()abac(5)()abac(9),81bb612ac2(ac5)99c两家公司是同质的，成为领导者获得更大利润，因此都愿意成为领导者。**ac（b）都认为自己是领导者时，qq122bacacacacabbc0122222bbbbica双方取得0利润，边际利润为0qac2iqi2b因此，此时的产量非均衡，两家公司降低产出，直到实现古若均衡。4.11j**（a）()abqqkbqjjjbqabqcjj0jj所有厂商是同质的，qJjjqj2**acaJcj()acqpj,,abqj2kbJ(1)jJ1bJ12j()acac（b）长期中，kJ012bJ1bk3 4.20xpy(,)y1yx(,)py1ycsdp7ln44pyy()1csycvye(1)214.21q(p,y0)MChq(p,v0)EP1ABP0DCq1q0考虑消费者需求曲线上的价格产量组(p0,q0)。把价格从p0提高到p1，为了是消费者效用保持不变，需要给他补偿A+B表示的收入；价格—产量变动将对生产者的利润受到影响。在价格低于竞争性价格——产量组合的情况下，生产者获得负利润。厂商利润变动为：q1q0q0(pqmcdq)(pqmcdq)(pqpq)mcdq1100110000q1AC(BEC)ABE因此，在上述变动情况下，如果将厂商增加的收益A+B+C中拿出A+B给消费者，厂商仍然能获得C的新增收益，而消费者的效用也保持不变。结果，由(p0,q0)开始，经过再分配可利用的资源，厂商获得了严格的改善，并且消费者并未因此受损，实现了帕累托改进。因此，初始情形是帕累托有效的。4.224 (a)max(qqCqF)qqC0q*Cq2**1pqC()22*2114CCF224(b):1pC()2C23(C)Wcsps2()qCdq08当价格为,产量为时()最大pqWqq2Wq()(qCdq)qqCq02C1当时qW,()qC()2(c):C当qc时,p,此时,()Wq达到最大()qF所以这种价格是不可维持的.4.23qmaxW=(()pqCdq)0st()qPq()CqF0qLp(())qCdqP(()qCqF)0*"**foc(1)()(1pq)Cpqq()0*"**pq()Cpqq()1****pq()(1)p(1)4.24在完全竞争市场:P=MC5 qWCSPS(()pmcd())0Wpqmcq()()0q2Wp()qmc()q2qqqpq()需求曲线右下倾斜,0qmcq()MC曲线向上倾斜,0q2W0,满足最大化问题的二阶条件.2q4.25271722（）1(pxcp1)(6p)5107pp;11111111pp88811172322272pp0166340(4pp)(16pp4)0p4;11211111pp811722107pp5;1118p1112pxc(1p)491xp21p22222222882412904pp;91pp216;,采用第二种计划。2222221p982（2）如图所示：PAB4CDEX1MC=1XX2生产者选择第一种设计时，CS=C+D+E,PS=B;总的剩余=B+C+D+E6 生产者选择第二种设计时，CS=C+D,PS=A+B;总的剩余是=A+B+C+D两种方案优劣的关键是判断A和E的大小关系。4.26(d)atat对生产者征收一个总量税（因税收收益总量与前相同），导致边际成本曲线提高2b2bat42aabat单位，即为2Q+，此时市场均衡价格为，而对每个厂商征收每单位产22b(2b)2abt出为的从量税后，消费者面临的价格为。2b242aabat2abt当ab时，，因而消费者更偏好从量税；2(2b)2b242aabat2abt当ab时，，消费者更偏好总量税。2(2b)2b(e)2abt向消费者征收总量税，可得到同前面一样的税收收益，此时均衡价格为2b842aabat。2(2b)2当abb0，消费者更偏好对生产者征收从量税；2当abb0，消费者更偏好对自己征收总量税。4.27设垄断者的不变平均成本为c，征税前价格为p1，征税后价格为p2；征税前生产数量为q1，征税后生产数量为q2。令征税前的利润为0，则有下面式子成立：ppcp0111（1）征税后，垄断者将提高价格使征税后的利润大于征税前的利润0，于是有：ppcptp02222（2）由（1）式解得c=p1，代入（2）式；因为p20，故（2）两边除以p2后方向不变，整理（2）式得：7 ppt21因为p1>0，两边除以p1后方向不变，得下式：ppt21pp（3）11结论：不等式（3）的左边是征税前后的价格变动率，不等式的右边是单位税率，不等式表明垄断者将会以高于单位税率的幅度提高价格。证毕。4.28（a）充分性：厂商是风险中性的，则mm()gE=()()g。又mm()gE==邋pii()pii,m()()gm(pp)，所以当最大化m()g时，有mm()Eg()=(åpipi)。效用函数是增函数，此式等价于最大化åpipi。（b）必要性：如果厂商是风险厌恶者，则mm()gE<()()g。**mm()()gC=E（CE是确定性等价物），所以最大化m()g时有mm(g)=()CE。*****又mm()CE<(E()g)，效用函数递增，所以CE()()g，mm()gg>(E())。****又mm(g)=()CE，所以CE>E(g)。悖论。故：考察上述两种情况后，可知厂商是风险中性的。8 高级微观经济学第五章答案5.2充分性：vppevppe(,)(",")p"p证：(ii)p""epepepe11iinnpepe(")ppe11nniiipxpx(")ppx11nniiipx"(")ppxpx"iiivppevppe(,)(",")所以必要性：证：L()ex0iipivppe(,)max()ux又=所以当价格上升时，效用V上升。_jjxx(0,...,1,...,0)5.3设_jju()ux()()ux因为为强递函数，所以juxj而x为WEA，则()最大，显然上式矛盾。5.4证明：2*1x221122zpxpyxpy()(,)(,)1222rr11pppp21221rrrrpppp1212所以有：PZP()pzp()pzp()11221 rr11rr11pppppppp11222122pppppprr11rr121rrrr2pppppppp12121212rr()pppp()1212pprr12pp1205.5**解：由例题5.1知，在均衡时pp，因此有：12*1*r1*pp1112*1x，x1**rr1pp2212*1*r1*pp2112*1x，x2**rr2pp2212如图所示，E点（1/2，1/2）为瓦尔拉均衡配置，核为契约曲线上的cc线。2xO2Cc1/2EcC5.61x1O1/2Lemma5.1*p是一个瓦尔拉均衡，***i*ii所以Z(p)=0，Zk(pp)=-邋xk(,0pee)=iI挝iIi**ii邋xk(pp,ee)=iI挝iI禳镲镲ii又Fx()e==睚邋xe镲镲铪iI挝iI2 **所以在x(p)是一个WEA时，有xF(p)Î()e。Lemma5.2骣（1）反设ii()>iiçç÷÷且pii£puxuxçç÷÷xxç桫÷骣pii£p，u是严格递增函数，所以ii()£iiçç÷÷xxuxuxçç÷÷ç桫÷骣这与假设相矛盾，所以假设不成立，ii()>?iiçç÷÷pipi得证。uxuxçç÷÷xxç桫÷骣（2）反设ii()?iiçç÷÷且pipiuxuxçç÷÷xxç桫÷iii">e0充分小，II是n维单位向量，xx?iiii>uxuxuxçç÷÷()()ç桫÷骣而根据假设应有iiii>³iiçç÷÷uxuxux()()çç÷÷ç桫÷骣所以假设不成立，ii()侈iiçç÷÷pi?pi得证。uxuxçç÷÷xxç桫÷1Ix(,...,xx)5.6设是WEA，如果经济资源有剩余，则所剩余的源泉给予任何一1Ix(,...,xx)个消费者都将使该消费者的效用水平得到提高，而这与是WEA相矛盾，因此经济资源必定全部消费。^^iiiiiiiuxux()()pxpxpe设，且矛盾^^iiiiiiuxux()()pxpx因此，。5.7n(a)对于一切(p,p)0,按照定理5.2假说，条件1成立,z(p)在实数域R上12连续;pz(p)(p,p)(1,p/p)0,条件2成立;12123 mpp,,p0设p(0,p),)z(p)z(p)(1,02mz(p)1,有上界。因此，条件3不成立。1(b)因为，对于一切(p,p)0,超额需求为z(p)(1,pp)(0,0)121/2因此，定理5.3结论不成立5.8m以两种物品情况为例：pp，p0,0,mN,pp,mN1，111mN,pp,mN2222mpp11令NMAX(N,N),mN时，12mpp22mmmpepepe1122mmmmmpepepepepepepepepepe1122112211112222mmeppepp111222ee，mN12mm因此，pepe,pe收敛，因而有界。5.9*iii设xp是一个帕累托有效配置，xpeeRiz()用反证法证，令xp不是一个WEA，则存在xˆp是一个WEA，有iiiiuxp()()ˆuxpiz()*由walraslaw，有：xˆpxpep①4 iiiiii由lemma5.2有：uxp()()ˆuxp，必有xˆpxpi*i即xˆpxpepc①与②矛盾，因此在p,F下，xˆx即x是一个WEA。5.10（a）ijiijjjxarcmaxux()，s.t.uxux()()ij12xxee①1111ij12xxee②2222ij合并上面两式得到：xxeee③12jxex④jijjjjuxuxuex()()()⑤ijiijmaxux()在x有解时，由i的任意性，xex也最大化了u（b）在n种物品，两个消费者，禀赋为e的情况下，在不使任意的j的效用不减少的情况下，最大化任意的i的效用的配置，就是一个帕雷托有效配置。5.11（a）在Edgeworth盒中，帕累托有效配置处于无差异曲线的切线上，因此1122x12,,,xxx12必然满足可行条件和相切条件，即：12可行条件：xx183211112xx46102212xx22相切条件：12x2x11（b）由于核配置要满足上述条件，并且要满足个人理性，因此核分配的满足的条件为：5 11xx721222lnxx122lnln108*（c）当市场出清时，相对价格为p14，所有这些价格的WEA为*11p258,,,582652411411（d）将（c）部得出的结果代入（b）中的条件检验得到：115858xx76.457212411222652lnxx2lnln2lnln145.26ln10812411两个条件都得到满足，故（c）部得出的结果是一个WEA。5.12(1)假设p=121y30p1消费者1对商品1的马歇尔需求为：x1()py,==p++11p11消费者2对商品1的马歇尔需求为：-1/222抖v()py,/p1y/4p1p2y10()py,====x12抖v()py,/yp+12pp11130p101商品1的市场出清条件是：+=?30p0.5pp+1111所以，（0.5,1）是一个瓦尔拉均衡。1212此时：xxxx1122()py,====10,()py,20;()py,10,()py,10。所以（（10,10）,（20,10））是WEA。12（2）运用与（1）相似的方法可求得e=(5,0),e=(0,20)时的瓦尔拉均衡和WEA,比较即可得结果。5.13同上题。即假设其中一种物品价格为1，从支出函数中求出马歇尔需求函数，然后运用市场出清条件求得结果。6 5.145.155.1612(a)epu,1；epu,1；p2当p2p时：1221111111epu,1ppuxpxp121122xx123p12p222221epu,1ppuxpxp121122x12xp12p111222x(,)xx12xxx12,.当p2p时：121211111epupuxpxp,11122x10,x2p2221xx12p12pp2当p时：121111111epupuxpxp,11122x20,x1p1221xx12p12p(b)p2当p2p时：12212121111epu,2ppuxpxp11122xx123pp21222221epu,1ppuxpxp121122x12xp12p7 当p2p时：121211112epupuxpxp,21122x10,x2p2222221epu,1ppuxpxp121122x12xp12pp2当p时：121111112epupuxpxp,21122x20,x1p1222221epu,1ppuxpxp121122x12xp12p5.17121uxxuxxxx12,,12121212xx10;xx1011221212maxuxxstpxpxpee12,.1122111pee22210pp12一阶条件得:u11xxp0121x1u10xx12p2x2xp21可得:1xp12p1当xx时,12p1212禀赋点ee,即在埃奇渥斯盒里不在xx直线上的均可.128 5.23iiijj在经济(u,,,)eY中,商品k的总超额需求是:iIjJ,iiiiZk()pxkk(,())pmpy()pekiIjJiIN性质(1)Z()在是连续.iiNji由定理5.12可知,x(,())pmp在关于价格P是连续的.由题目已知,Y满足假设5.2,则ypk()jJNN在关于P是连续.因此得知,Z()p在是连续.k性质(2)对于一切P0,PZ()piiiiiiijjmaxu()x受约束于Pxmpmp(),()Pe()piNxiIi由于u是强递增的每个消费者的预算约束是以等式成立,即,niiiijjpxpmpkk(,())Pe()piIjjj()pyymaxPP()P代入上式ijyY加总个人的总超额需求,则nnniiiijjpxpmpkk(,())PPkeyP)kkiiiipxpkk(,())mpypek()kjJiI即ppkZk()m性质(3)严格为正的价格向量的数列P,0它收敛于P,并且对一些商品k,Pk0,那么,对于一些商品k,在P0,条件下这些商品的k的超额市场需求的相关序列Z(pm)kk则没有上界.i从书中的证明我们已知,至少存在一个消费者在价格为P时,(其收入mP是严格为正的).immm由反证法假设需求向量的序列是有界的那么需求的序列将收敛于x即x,,,(pp,m())xmimmm设对于每个m,xx(,()ppm),mii并且x最大化了u由于u是强严格递增的,预算约束必定是以等,式成立.则有mmmmppxm(),当m,取极限得,PxmP()0i设xxˆ(0,这里1出现在第k项,u是强严格递增则iiuu()xxˆˆ(),x由于P则0,Pm()0Pk存在t(o,1)使得,iimmu()txˆˆux(),()(),PtxmP由于pPx,x对于充分大的m,则有,iimmmmuu()txˆˆ(),xp()txm()pmm这与事实x为价格为时消费者最大化问题的解相矛盾.因此,消费者i的需求p向量的序列必定是无界的.9 5.24（a）效用最大化问题是：MaxUhy(),=hyst..py+=+ppph24p(),pyhhyh利润最大化问题是：Maxp(p,ppp)=-hhyhyh2pppyyyF...OC==p,,hy=h222h4pphh2pyp=4ph2py24p+2h4ppyyh所以，消费者对休闲的需求为：xh()py,1===2+22ppp8hhh23py市场出清条件：h+=xh24,即=?12p42p8pyhh（b）略，参见例5.2（c）每天工作8小时。5.27（a）在没有交换时：11111u=+=+-lnxxx121lnlnln10(x1)1u110--x1x¶11111FOC.01==11?xx125,=5,u=2ln5¶x1xx11()10-222同理：==12.5,=2ln12.5xx12u（b）引入交换必然意味着两个消费者效用的帕雷托改进。两个消费者的预算约束分别为：10 11ppp10=+xx1211222p20+=+ppp5xx121212112212假设p=1，则xx12=-10p，xx12=+20p(5-)。分别代入u和u1221111111u=+=+-lnxxx122lnlnln(10pxx22)?5/p，x1=5222222轾22102u=+=++-?lnxxx122lnlnln20犏pp()5xx22+=2.5,x110+2.5臌2p221由于较之无交换时福利改善，所以x2=侈?5/p5p1222210xx21+=+++2.5102.5p侈３25pp1或4p2222故：p£1，0/1