基于新巴塞尔协议监管下保险公司的均值-方差最优投资-再保险问题.pdf 15页

'˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn基于新巴塞尔协议监管下保险公司的均值-方差最优投资-再保险问题毕俊娜，李旻瀚华东师范大学统计学院，上海　200241摘要：在本文中，我们研究了在均值方差标准下，保险公司的最优投资和最优再保险问题。对于保险公司的风险过程，我们用一个复合泊松过程模型来拟合，保险公司可以投资无风险资产和价格服从跳跃扩散过程的风险资产。此外保险公司还可以购买新的业务（如再保险）。本文限制的限制条件为投资和再保险策略的组合不能产生亏损，其中可能产生亏损的原因为新业务的亏损或者风险资产卖空。除此之外，本文还引入了新巴塞尔协议对风险资产进行监管，使用随机二次线性（LQ）控制理论推导出最优值和最优策略。对应的哈密顿雅克比贝尔曼（HJB）方程不再有古典解。在粘性解的框架下，我们给出了一种新的验证定理，于是可以明确推出有效策略（最优投资策略和最优再保险策略）和有效边界。关键词：精算学;均值-方差投资组合选择;最优投资;新巴塞尔协议;HJB方程中图分类号：91B30;93E20Optimalmean-varianceinvestment-reinsuranceproblemwithconstrainedcontrolsbythenewbaselregulationsforaninsurerBIJun-Na,LIMin-HanDepartmentofStatistics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai200241Abstract:Inthispaper,westudytheoptimalinvestmentandoptimalreinsuranceproblemforaninsurerunderthecriterionofmean-variance.Theinsurer’sriskprocessismodeledbyacompoundPoissonprocessandtheinsurercaninvestinarisk-freeassetandariskyassetwhosepricefollowsajump-diffusionprocess.Inaddition,theinsurercanpurchasenewbusiness(suchasreinsurance).Thecontrols(investmentandreinsurancestrategies)areconstrainedtotakenonnegativevaluesduetononnegativenewbusinessandno-shortingconstraintoftheriskyasset.WecontroltheriskbythenewBaselregulationandusethestochasticlinear-quadratic(LQ)controltheorytoderivetheoptimalvalueandtheoptimalstrategy.ThecorrespondingHamilton-Jacobi-Bellman(HJB)equationnolongerhasaclassicalsolution.Withtheframeworkofviscositysolution,wegiveanewverificationtheorem,andthentheefficientstrategy(optimalinvestmentstrategyandoptimalreinsurance基金项目：教育部博士点基金新教师类(20130076120008)。作者简介：毕俊娜（1983-），女，副教授，主要研究方向：随机最优控制理论及其在金融保险中的应用。-1- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cnstrategy)andtheefficientfrontierarederivedexplicitly.Keywords:Actuarialscience;mean-varianceportfolioselection;optimalinvestment;thenewBaselregulation;HJBequation.0引言如今在金融领域，保险公司的规模和影响力正在日益增长。保险公司从投保人处收取一定数目金额的保费，并且在发生了灾害之后，偿付给被保险人相应的费用。保险公司日常经营的收益就来源于这笔收取的保费与赔付给被保险人的费用之间的差额，这种做法既降低了被保险人承担的风险，又能帮助公司自身赚取收益。然而，保险公司的这种经营方式汇聚了大量的来自于被保险人的风险，为了维持公司的稳定经营，降低突发事件造成公司的倒闭或者破产等情况出现的可能性，保险公司必须通过购买再保险的形式来分散风险。虽然这种做法能够降低保险公司所面临的风险，但是保险公司的保费收入也会因为所支付的这部分再保险费用而降低。因此，如何衡量保险公司的风险和收益，这就引发了对最优再保险策略的探索。与此同时，由于保险公司汇聚了大量来自于投保人的资金，因此无论是出于资金保值的考虑，还是保险公司希望追求更多的收益，都会促使公司将部分收益用于投资资本市场，获取更多的来自于资本市场的收益，这样也会引进资本市场的收益风险。因此，如何权衡投资于资本市场部分的资产的收益与风险，选择最优的投资比例，也是一个需要考虑的最优化问题。新巴塞尔协议的出台，为银行业的风险管理提供了一定的规范。考虑到当今金融市场的混业发展趋势，以及保险公司在其他行业投资业务的开展，若能使得保险公司的风险管理系统能够充分适应自身新的金融业务，就能在自身的风险管理体系中吸收其他金融企业长久以来探索出的先进的风险管理经验和技术。因此本文考虑了保险企业的风险划分，借鉴银行业的新巴塞尔协议的风险管理的模式，对保险公司部分能纳入新巴塞尔协议的风险管理体系的风险部分加入风险监管，以期望在今后的模型中能充分吸取新巴塞尔协议在银行业风险管理模式下的先进管理技术，以提升保险公司的风险管理水平，增加风险收益。大部分金融文献都假定股票价格遵循一个扩散型过程，特别是几何布朗运动（GBM）。例如，著名的Black-Scholes-Merton金融市场就是基于几何布朗运动来得到的标的证券价格的动态变化。但在金融市场中，不确定性随时会发生，导致股票价格会产生跳跃性变化。在股票价格模型中，研究这种跳跃性的一个经典方法称之为跳跃扩散，它来源于[1]。在一个跳跃扩散模型中，股票的价格可能会跳到一个新的水平，然后继续进行几何布朗运动。[2]和[3]记载了其他跳跃扩散模型。近年来，由于保险公司有机会在金融市场上融资，金融市场的最优投资问题受到了越来越多的保险公司的关注。对保险公司而言，最优投资问题的最重要的工具见[4]，其中风险过程由带漂移的布朗运动来近似，股票价格过程用几何布朗运动来模拟。从最终财富出发的预期不变的绝对厌恶（CARA）的效用达到最大化。在[5]中，风险过程是由经典的Cramer-Lundberg模型来描述的，保险公司可以以最小化破产概率投资于风险资产。后来，有一些文献在不同的优化标准和不同的风险模型下，考虑了最优投资问题，如[6,7]。-2- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn风险管理是保险公司需要解决的的一个重要问题。在实践中，新的业务（如再保险）对保险公司而言是一个分担风险的重要工具。许多金融和保险精算文献对最优再保险问题产生了浓厚的兴趣，可见[8,9,10]。他们认为风险过程是一个复合泊松过程或带漂移的布朗运动，其中的变量，例如再保险、新业务、投资均是动态调整的。不同标准下的最优再保险策略有很大不同。[11]关于均值-方差投资组合问题的研究已经成为现代金融理论的一个重要的基础。均值-方差投资组合选择问题是为了寻求各种证券的最优分配方案，从而在一个固定的时间内，实现投资的预期收益与风险之间的最优权衡。[11]为在一个时期内的投资组合的建立提供了基础，在[11]中，投资组合的风险由收益的方差来衡量，收益由预期回报来衡量。Markowitz已经给出如何在期望值给定时，使得投资组合的方差问题最小化的计算方法，这样一个最优的组合称为方差最小化组合。如果它还达到了所有投资组合中的最高预期收益率，那么它将是一种有效的策略（有效率的投资组合），在方差和预期收益的二维条件下产生的所有有效组合的点称为有效前沿。在那之后，它就成了一个来衡量金融理论中的风险的比较流行的标准，见[12,13,14,15]。在2000年之前，在离散时间下的大部分均值-方差问题都已经完成，直到随机线性二次（LQ）控制的出现。应用随机LQ控制理论，很多学者透彻地研究了连续时间的Markowitz模型，并且在大多数情况下，得到了明确的解决方案。[16,17]是随机控制理论的丰硕成果，为解决更复杂的情况提供了可能。[17]介绍了连续时间马尔科夫过程下的最优随机控制理论以及HJB方程的粘性解理论。最近有学者指出，在保险申请中也对均值-方差问题感兴趣。在均值方差准则下，他们利用鞅方法考虑了最优投资问题。同时也对均值-方差最优投资问题做了其他工作。在本文中，我们使用的随机线性二次（LQ）控制为框架，研究最佳的均值-方差投资和再保险问题。保险公司可以投资于无风险资产（债券）和风险资产（股票）。我们加入风险资产价格的跳跃机制，那么金融市场就服从跳跃扩散模型，这比文献中已有的模型更接近于金融市场。为了简单起见，我们假设金融市场上只有一种风险资产。如果有多个风险资产，计算过程是类似的，只是符号更复杂。保险人可以购买新的业务（如再保险）。我们假设股票的卖空是不允许的。在本文中，均值方差最优化问题首先被当作一个随机LQ控制问题来计算。然而，由于价值的的非负性，非负的新业务（如再保险）和不允许卖空股票这两个条件的约束，使得这个问题有区别于传统的LQ问题。因此基础的Riccati方程和鞅方法无法应用，所以我们需要采用到HJB方程的方法来解决这个LQ问题。在研究我们的LQ问题中有些困难：（1）由于投资策略中不允许卖空的约束和再保险策略的非负约束，相应的HJB方程不再有古典解。然后，经典的验证定理不能被应用。（2）即使可以通过[18]的扩散模型找到HJB方程的一个粘性解，最优值和最优策略仍不能通过已知的验证定理推出。为了解决这些困难，我们构建了一个HJB方程的粘性解。在粘性解的框架下，我们给出了一个新的验证定理，并给出了有效的策略（最优投资策略和最优再保险策略）明确的有效边界。-3- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn1基于新巴塞尔协议的监管机制下保险企业风险划分新巴塞尔协议，以下简称为协议，是由国际清算银行下的巴塞尔银行监理委员会出台的资本协定，该委员会在十九世纪八十年代末就已出台过一项资本协议，自协议出台以后，相关人员就对银行的金融风险做出了明确的辨认和度量，科学地划分了银行所面临的风险，成为了国际银行业的行业规则和惯例，要求银行业必须达到一定的资本充足率，长期以来都为银行业金融风险的监管和国际金融风险的防范做出了重要的贡献。目前关于保险类企业的风险划分方法，无论是理论还是实务的角度，都还没能达成一个统一的共识，划分的方式并不唯一。目前主要的分类方式有三类。第一类是依据各国的保险监管机构从保险企业的资本充足率角度出发，要求其必须具有一定偿付能力额度的风险管理模型体系；第二类是具有丰富的风险管理技术的大型保险企业依据自身企业实务提出的风险分类模型体系；第三类是保险行业的学术研究人员在研究保险企业的风险管理时提出的风险分类模型体系。我们将保险公司面临的风险分为四大类：业务风险、战略风险、操作风险和声誉风险，其中业务风险又细分为资产流动性风险、保险风险、信用风险和市场风险。最终我们对操作风险以及业务风险中的信用风险和市场风险采用新巴塞尔协议的风险监管政策。2均值-方差最优投资-再保险模型建立2.1投资-再保险模型令(Ω,F,P)表示概率空间，其中fFtg包含以下所有定义参数。我们考虑金融市场中的资产在有限的时间段[0,T]之内连续，包含了一个无风险债券和一支股票，债券的价格方程如下dB(t)=r(t)B(t)dt,t2[0,T],B(0)=1,其中r(t)(>0)表示债券的利率。股票的价格由以下的跳跃-扩散过程给出N∑1(t)dS(t)=S(t)b(t)dt+σ(t)dW(t)+dM,t2[0,T],ii=1(2.1)S(0)=s0,其中S(0)为给定初始价格，b(t)(>r(t))为漂移系数，σ(t)>0为波动系数。我们定义a(t):=b(t)r(t)>0。fW(t)gt0为标准fFtgt0适应布朗运动，并且假定r(t)，b(t)以及σ(t)在[0,T]上确定、有界且Borel可测。fN1(t)gt0是服从参数为λ1的泊松过程。跳跃fMi,i1g为一组独立同分布随机变量，且第i次跳跃发生在Ti。Mi同分布于几何随机变量M，若令FM(
)表示M的-4- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn累计密度函数，我们假设E(M)=µ0，E(M2)=µ。fW(t)g，fN(t)g和fM,i1112t01t0i1g之间相互独立。式(2.1)中的扩散部分表示由于经济情况的自然增长和其他信息造成的股价正常波动，跳跃部分描述了重要信息带来的股价大幅度波动。根据随机微分方程理论，式(2.1)存在特解。保险公司的风险fR(t)gt0表示如下N∑2(t)dR(t)=cdtdYi,R(0)=R0,(2.2)i=1其中R0为已确定的保险公司的初始准备金，c为保费率。fN2(t)gt0是服从参数为λ2>0的泊松过程，并且与fN1(t)gt0相互独立。fN2(t)gt0表示在时间段[0,t]之内发生赔付的次数。Yi表示第i次的赔付额，并且fYi,i1g为独立同分布随机变量。fYi,i1g与fN2(t)gt0之间相∑N2(t)互独立。因此复合泊松过程i=1Yi表示[0,t]时间段内的累计赔付额。第i次赔付发生的时间记为Tbi。Yi,i1同分布于几何随机变量Y，若令FY(
)表示Y的累计密度函数，我们假设Y的均值为EY=µ>0，Y的二阶矩为E(Y2)=µ>0。综上所述，fW(t)g，fN(t),g，2122t01t0fMi,i1g，fN2(t)gt0，fYi,i1g之间相互独立。从保险公司的角度来看，式(2.2)是一个保险合同支付履行的过程。我们假定保险公司可以将资产投资于金融市场。令ξ(t)和η(t)分别表示保险公司在t时刻投资于债券和股票上的资产价值，并且ξ(t)+η(t)=X(t)，X(t)表示保险公司在t时刻所持有的总资产。本文的一个重要约束条件就是股票不允许卖空，即η(t)0，但对于债券部分ξ(t)不做此约束。我们假设保险公司可以通过购买再保险的形式来分担风险，并且令q(t)(0)表示t时刻保险公司自身留存的保险水平。这表明保险公司需要为在t时刻发生的索赔支付q(t)Y，剩余的(1q(t))Y部分由再保险公司支付。这份再保险合同要求保险公司提前向再保险公司支付一定赔率的金额(1q(t))c1，并且q(t)2[0,1]表明该保险公司购买了再保险，q(t)>1表示该保险公司承担了来自于其他保险公司的再保险。若(η(t),q(t))为Ft可预测过程，并且∫t∫t在t0时满足η(t)0,q(t)0，E[η(s)2ds]<1以及E[q(s)2ds]<1，我们则称策0i0略π(t)=(η(t),q(t))是容许的。假定所有可容许的策略集合为Π，则保险公司的资产价值过程X(t)为dX(t)=[r(t)X(t)+a(t)η(t)+cc1+c1q(t)]dt+η(t)σ(t)dW(t)N∑1(t)N∑2(t)+η(t)dMidq(Tbi)Yi(2.3)i=1i=1X(0)=X0.对于给定的容许策略π(
)和初始值X0，必然存在一个特解X(
)满足式(2.3)。在上一节中，我们将保险公司所持有的总资产划分为债券（无风险资产），股票以及赔付款三部分。根据第二章的描述，股票部分具有市场风险，可以加入新巴塞尔协议的监管机制，而赔付款部分为保险风险，不能引入新巴塞尔协议。-5- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn根据新巴塞尔协议的有关规定，以及[19]中的相关描述，保险公司每投资一单位资产，就需要无条件地持有nVaR数量的合格资产，其中n在3到4之间取决于过去在风险价值评估模型中的表现。因此，保险公司将可用的每一单位资产分成两部分，其中(1nVaR)的部分投资于风险资产，并且无条件持有nVaR作为新巴塞尔协议要求持有的合格资本。为了简化公式计算，记α=1nVaR。保险公司能从合格资产中获取的利益为r，其中r比无风险利率r要小，这是由于投资限制和隐含保费的影响。rr的差值反映了维持合格资产的成本，这种成本可以看做是由运营成本、税收以及其它任何来源的成本所造成的损失。因此，对于这部分合格资产的处理，我们可以看做是利率为r的无风险资产。在考虑了新巴塞尔协议的监管条件以后，保险公司的资产价值过程X(t)为dX(t)=[r(t)X(t)+(1α)η(t)(r(t)r(t))+αa(t)η(t)+cc1+c1q(t)]dtN∑1(t)N∑2(t)(2.4)+αη(t)σ(t)dW(t)+αη(t)dMidq(Tbi)Yii=1i=1X(0)=X0.考虑到后续证明过程的严谨性，同时实例中α的取值不会太小、r(t)也不会比r(t)小太多，于是我们在假设满足αa(t)+(1α)(r(t)r(t))>0的基础上进行后续计算。2.2均值方差最优投资理论令X(T)表示可容许策略π(
)对应的最终财富，则均值-方差投资组合选择问题就要使得当π(
)2Π时，E[X(T)]最大且Var[X(T)]最小。这是一个具有两个冲突标准的多目标优化问题。当不存在π2Π使得E[X(T)]E[X(T)]andVar[X(T)]Var[X(T)]至少一个不等式严格成立时，策略π2Π就是均值方差有效的。(Var[X(T)],E[X(T)])2R2为有效点，其集合为有效前沿。均值方差最优投资策略可以表示为以下多目标优化问题min(J1(π(
)),J2(π(
))):=(Var[X(T)],E[X(T)])π2Π(2.5)s.t.(X(
),π(
))满足(2.3).当不存在J1(π(
))J1(π(
)),J2(π(
))J2(π(
))至少一个严格成立时，这个容许的投资组合π(
)就被称为一个有效的投资组合。此时(J(π(
)),J(π(
)))2R2被称为有效点，其集合为有效前沿。12-6- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn我们先找一个容许的投资政策使得EX(T)=k，其中k为常数，接下来要使得衡量最终财富的风险{}Var[X(T)]=EfX(T)E[X(T)]g2=E[X(T)k]2降到最低。上述方差最小问题可以表示为如下优化问题2minVar[X(T)]=E[X(T)k]EX(T)=k(2.6)s.t.π2Π(X(
),π(
))满足(2.3).对于固定的k，这个问题的最优投资组合叫做方差最小投资组合。若Var[X(T)]为式(2.6)的最优值，则(Var[X(T)],k)为方差最小前沿。假设最终财富的期望k满足∫T∫∫TTr(s)dsr(s)dskX0e0+(cc1)evdv.(2.7)0这一假设认为投资股票市场能获得比投资证券以及q(t)=0情况下更多的财富。这一假设也意味着投资者必须承担风险来满足他的投资目标，显然这是一个合理的假设。一个有效的投资组合是指不存在另一个投资组合具有更高的均值而无更高的方差，或者是具有更小的方差而无更小的均值。换句话而言，一个有效的投资组合是一个帕累托最优。由式(2.5)和式(2.6)可知，有效前沿是方差最小化前沿的子集，下面我们先讨论方差最小化的投资策略。由于式(2.6)是一个凸优化问题，等式约束可以通过引入拉格朗日乘子β2R处理。因此对于每个固定的β，问题(2.6)可以通过以下最优随机控制问题来解决{}2minE[X(T)k]+2β[EX(T)k],π2Π(2.8)s.t.(X(
),π(
))满足(2.3),其中β之前的系数2只是为了方便后续计算。在解决了问题(2.8)之后，为了得到问题(2.6)的最优值和最优策略，我们需要根据拉格朗日对偶定理得到问题(2.8)在β2R上的最大值。显然，这个问题相当于{}2minE[X(T)(kβ)],π2Π(2.9)s.t.(X(
),π(
))满足(2.3),对于固定的β值而言，这两个问题具有完全相同的最优控制。为了下文表示的简略，我们将省略X(
)的上标π。-7- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn3均值-方差最优投资-再保险模型求解3.1辅助随机LQ问题的解我们先考虑一个辅助LQ问题，对于下面的线性控制随机微分方程dx(t)=[r(t)x(t)+(1α)η(t)(r(t)r(t))+αa(t)η(t)+c(t)+c1q(t)]dtN∑1(t)N∑2(t)(3.1)+αη(t)σ(t)dW(t)+αη(t)dMidq(Tbi)Yii=1i=1x(0)=x0.以及问题{}12minE[x(T)],2(3.2)π2Πs.t.(x(
),π(
))满足(3.1).若在式(3.1)中假设x(t)=X(t)(kβ)，（则X(t)=x(t)+(kβ)），X(0)=x(0)+(kβ))以及c(t)=cc1+(kβ)r(t)。我们就可以由(3.1)得到(2.3)。因此我们可以先解决(3.1)-(3.2)的问题。我们先定义一个相关的最优值函数为{}1J(t,x)=infE[x(T)]2x(t)=x.22这是一个随机LQ问题，由于两个约束条件都要求取非负值，因此我们不能采用随机最大值原理或鞅方法，可以采用HJB方程来解决。问题(3.1)-(3.2)对应的HJB方程为以下偏微分方程{infV(t,x)[r(t)x+αa(t)η+(1α)η(r(t)r(t))+c(t)+cq]x11+V(t,x)σ(t)2α2η2+V(t,x)xxt2(3.3)}+λ1E[V(t,x+αηM)V(t,x)]+λ2E[V(t,xqY)V(t,x)]=01V(T,x)=x2.2其中Vt(t,x)和Vx(t,x)为V(t,x)的偏微分。若最优值函数J(
,
)二次连续可导，则满足式(3.3)。然而大多数情况下都不满足，因此我们考虑式(3.3)的粘性解，先给出粘性解的定义。定义3.1.令V表示连续函数，-8- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn(1)若对于任意φ2C1;2([0,T]R)，{infφt(t,¯x¯)+φx(t,¯x¯)[r(t¯)¯x+αa(t¯)η+(1α)η(r(t¯)r(t¯))+c(t¯)+c1q]0;q01222+φxx(t,¯x¯)σ(t¯)αη+λ1E[φ(t,¯x¯+αηM)φ(t,¯x¯)]2}+λ2E[φ(t,¯x¯qY)φ(t,¯x¯)]0在Vφ属于[0,T]R的每个满足V(t,¯x¯)=φ(t,¯x¯)的局部极大值点(t,¯x¯)2[0,T]R上都成立，则V是式(3.3)在(t,x)2[0,T]R上的粘性下解。(2)若对于任意φ2C1;2([0,T]R)，{infφt(t,¯x¯)+φx(t,¯x¯)[r(t¯)¯x+αa(t¯)η+(1α)η(r(t¯)r(t¯))+c(t¯)+c1q]0;q01222+φxx(t,¯x¯)σ(t¯)αη+λ1E[φ(t,¯x¯+αηM)φ(t,¯x¯)]2}+λ2E[φ(t,¯x¯qY)φ(t,¯x¯)]0在Vφ属于[0,T]R的每个满足V(t,¯x¯)=φ(t,¯x¯)的局部极小值点(t,¯x¯)2[0,T]R上都成立，则V是式(3.3)在(t,x)2[0,T]R上的粘性上解。(3)若对于式(3.3)中的(t,x)2[0,T]R，V既是粘性上解又是粘性下解，则V是式(3.3)中(t,x)2[0,T]R的粘性解。我们将在以下定理中给出式(3.3)的连续可微粘性解。定理3.1.HJB方程(3.3)的粘性解为[]∫T[a(s)+111+(1)(r(s)r(s))]2(c1221)21+dst2[(s)2+112]222e2{∫T}2∫∫Tr(s)dsTr(z)dzxet+c(s)esdst∫∫T∫TTr(s)dsr(z)dzV(t,x)=ifx+etc(s)esds<0,(3.4)t{∫∫T∫}21Tr(s)dsTr(z)dzxet+c(s)esds,2t∫∫T∫Tr(s)dsTr(z)dzifx+etc(s)esds0.t-9- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn式(3.3)中第一个式子等号左边的最小值将在π(t,x)=(η(t,x),q(t,x))处取得，其中αa(t)+αλµ+(1α)(r(t)r(t))111α2[σ(t)2+λ1µ12][∫]∫T∫TTx+etr(s)dsc(s)esr(z)dzdstη(t,x)=∫(3.5)∫TT∫Tifx+etr(s)dsc(s)esr(z)dzds<0,t∫T∫∫TTr(s)dsr(z)dz0,ifx+etc(s)esds0.t[∫T]∫∫c1λ2µ21Tr(s)dsTr(z)dzx+etc(s)esds,λ2µ22t∫∫T∫Tr(s)dsTr(z)dzq(t,x)=ifx+etc(s)esds<0,(3.6)t∫∫T∫Tr(s)dsTr(z)dz0,ifx+etc(s)esds0.t证明：由于篇幅所限，我们省略证明过程。3.2验证定理由于式(3.4)给出的函数是式(3.3)粘性意义的解，因此经典的验证定理不再适用，同时[18]给出的验证定理适用于对应的HJB方程是二次微分方程的扩散模型。因此，它们的结果都不适用于我们的跳跃扩散模型。接下来受到[10]的启发，我们给出在粘性解V的框架下的验证定理。由于篇幅所限，我们省略证明过程。定理3.2.如果初始的资产x满足∫T∫∫TTr(s)dsr(z)dzx+etc(s)esds0t则对于初始时间t，问题(3.1)-(3.2)的最优投资和再保险策略为π(s)=(η(s,x(s)),q(s,x(s)))=(0,0),ts