多智能体线性系统含输入饱和的输出调节.pdf 9页

'中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn多智能体线性系统含输入饱和的输出调节**文凤，周洪涛（华中科技大学自动化学院，武汉430074）5摘要：围绕有向拓扑图下多智能体的一致性问题，考虑一个多智能体线性离散系统的输出调节问题，其中每一个跟随者的动力学方程是一般的线性系统且带有外部扰动和输入饱和限制，此外这个外部扰动个体可看成是多智能体一致性问题中的领导者，构建了带有饱和限制控制输入的输出调节模型。模型中设计了一个带有低增益状态反馈矩阵的输入，并构造一个合适的李亚普洛夫函数判断了系统的稳定性，因而使得跟随者的输出可以跟踪到外部的扰动（领10导者）。此外，给出了一些数值仿真验证理论的正确性。关键词：输出调节；低增益反馈；输入饱和；多智能体线性系统中图分类号：O2315Outputregulationformulti-agentlinearsystemsofinputwithsaturationWenFeng,ZhouHongtao20(Huazhonguniversityofscienceandtechnologyinstituteofautomation，Wuhan430074)Abstract:Aroundtheconsensusproblemofmulti-agentsystemsunderadirectedtopologygraph,theleader-followingoutputregulationproblemofmulti-agentlineardiscrete-timesystemisconsidered.Inthissystem,eachfollowerisdepictedbyagenerallinearsystemwithexternaldisturbanceandactuatorsaturation,what’smoretheexternaldisturbancesystemcantreatedasaleaderinconsensusproblem,and25alowgainfeedbackmatrixisdesignedtobeapartoftheinput.Furthermore,aLyapunovfunctionisconstructedtodeterminethestabilityofthesystems,inthiswaythefollower’soutputcantracetheoutputoftheleader.Inaddition,somenumericalsimulationexamplesaregiventoprovethevalidityofthetheory.Keywords:outputregulation;lowgainfeedback;inputsaturation;multi-agentlinearsystem300引言近些年来，由于多智能体线性系统的分布式一致性算法的广泛研究，一致性算法受到了[1-2][3-4][5]广泛关注。一致性算法广泛运用于移动机器人，无人驾驶飞行器，水下自动机器等。如果一个算法用到了系统的全局信息，那么这个算法不是一个分布式算法。分布式算法在各[6-11]35个领域也得到了广泛研究，包括一致性、蜂拥、队形控制等。[12-13]目前多智能体线性系统的输出调节问题已有一些研究成果。在文献中只考虑了最基本的线性系统的输出调节问题，并没有考虑输入饱和的情况。然而输入饱和在实际情况中是[14-15]一个常见的问题。在文献中仅仅只考虑了单个线性系统的输出调节问题，它并没有将单[16]个个体扩展到多个个体。在文献中研究的是连续时间下多智能体线性系统输出调节问题，[17]40提出了两个理论研究输出调节问题，但文章研究的拓扑图是无向图。在文献中研究了有向图下多智能体线性系统的输出调节问题，提出了单独分析每一个个体轨迹实现输出一致。以上文献研究的都是多智能体线性连续系统的输出调节问题，但关于离散线性系统输出作者简介：文凤（1991-），女，主要研究方向：多智能体系统的一致性和输出调节通信联系人：周洪涛(1969-)，男，副教授，主要研究方向：复杂社会经济系统建模与仿真、多智能体系统.E-mail:shsying1118@sina.cn 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn[18-20]调节问题的研究较少。在文献中研究了离散时间下单个个体的线性系统的输出调节问题，45然而这些文献都只是研究了单个离散系统的情况，其并没有将单个离散系统的输出调节问题扩展到多智能线性离散系统的输出调节问题。这篇文章研究的是线性离散系统的输出调节问题，其中系统中每一个个体的输入都带有饱和限制，整个系统拓扑结构是有向图。其中外部的扰动系统可以看成是领导者，而其余的个体则可以看成是跟随者。本文解决的问题是当所有个体初始的状态条件在一个给定的有界50集合(可以任意大)中，设计控制输入和状态反馈矩阵，使得系统中每一个跟随者的输出都可[21]以跟踪到外部扰动的输出。离散线性系统的输出调节问题通过离散代数黎卡提方程和M[22]矩阵方法可以解决。本文的主要工作是将单个离散系统的输出调节问题扩展到多智能体离散系统的状态输出调节问题，同时加入了输入饱和、有向拓扑图的限制。1图论基础和相关引理551.1图论相关知识在这一部分，介绍一些关于图论的基本知识。对于一个多智能体系统，假设其包含N个智能体。一般用图G=(v,)来表示整个系统的拓扑图结构，其中vn{1,2,,}代表系统nnn中每个节点，vv代表系统的连边集合。拉普拉斯矩阵和邻接矩阵是研究多智能系统nnnnnn一致性问题中两个基本的概念。定义AaR,LlR分别是一个多智能系统的ijij60邻接矩阵和拉普拉矩阵。其中对于邻接矩阵中的每一个元素a，如果有边(,)vv则有ijijna1，否则a0。在整个系统中假设不存在回环，即a0。拉普拉斯矩阵是与邻接矩阵ijijiiN相关的，其中有lijaiij(jl),iiaij。由拉普拉斯矩阵的定义可知拉普拉斯矩阵的每一行j1T行和为零，有特征值为零且对应特征向量为1(1,1,,1)。对于无向图，其邻接矩阵和拉普n拉斯矩阵都是对称矩阵，即aa。对于有向图，其邻接矩阵和拉普拉斯矩是非对称矩阵，ijji65即aa。ijji在这篇文章中所考虑的多智能系统是含有N个跟随者，并分别给它们标号为1,2,,N，同时还有一个外部扰动，这个个体可以看成一个领导者，并标号为0。本文考虑整个系统的拓扑图为有向图，因为整个拓扑图为无向图是有向图的一种特殊情况。定义一个对角矩阵Adiag{aa,,,a}，其中如果个体和外部的扰动有联系，则有a1，否则有a0。01020N0i0i070定义矩阵HLA表示整个系统中的各个个体之间的联系。由矩阵HA,,1的形式有等式00nHA11。nn0-2- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn1.2假设及引理假设1：矩阵对(A,B)是镇定的，且矩阵A的所有特征值均在单位圆内或单位圆上。假设2：对于矩阵A中的元素有a0，即至少对于一个跟随者是成立的。0i075假设矩阵H的特征值分别为,,,，在假设2的条件下可以得到下面的不等式12N012N定义1：矩阵A是一个非奇异的实矩阵，如果矩阵A的非对角线上的元素都是非正数，且其所有的特征值均有正实部，那么矩阵A就是M矩阵。引理1：假设矩阵nn[22]。AR其非对角线元素都是非正数。那么下面的两条是等价的80(1)矩阵A是M矩阵。T(2)存在着一个正定的对角矩阵diag{,,,}使得AA0。12n引理2：假设矩阵对(,)AB是镇定的，且矩阵A所有的特征值均是在单位圆内或单位圆上。那么对于所有的(0,1]，都存在着一个唯一的正定矩阵P()是下面的离散代数黎卡提[21]方程（DARE）的解。TTTT85P()AP()AAP()(BBP()BIBP)()AI此外，当0时P()0。2一级标题2.1模型介绍在这一部分考虑的系统中的跟随者所受到的外部扰动是不相同的，考虑如下的两个子系90统：(1)系统中第i个智能体的动力学方程为：xAxBsatu()Ewi,1,2,...,NiiiiyCx(1)ii(2)系统中外部扰动系统的动力学方程如下：95wSwyQw(2)其中矩阵ABCSQ,,,,均为常矩阵，矩阵E的值随跟随者而变化，且这些矩阵是维数相i容的矩阵。2.2算法设计100算法设计的目标是：对于输出调节问题，最终需要达到的目标是lim()ek0。那么首先ik从误差的形式入手，可知limeCxQw0。如果矩阵CQ,满足一定的条件，假设iik-3- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnCQ0成立，则limelimCxQwlim(Cxw)0成立。如果证明了变量iiikkklim(xw)0，那么等式lim()ek0必然成立。iikk2.3控制输入的设计105由上面的分析可知，如果要系统中的误差变量lim()ek0，系统中的每一个个体的状态ik值都需要和w一致。由于w代表就是扰动，那么采用分布式设计，控制输入设计如下：NuikF[axij(ixj)ai00(xiw)]aiiw(3)j1T定义向量[,,,]，其中向量满足H1。定义正定矩阵12nnHLA,diag{1,1,,1}。由矩阵HLA，由定义1可知矩阵H是M矩阵。012n0TT110记矩阵HH的最小的特征值为1，记矩阵HH的特征值记为ˆi，由引理1可知矩阵THH的最小特征值是大于零的，同时0成立。max结合引理1，设计反馈矩阵和反馈系数如下：TT1F(BP()BI)BP()A2kmax{1,}(4)ii1152.4稳定性分析l定理：考虑给系统(1)、(2)和给定的紧集WR，多智能体的半全局的线性状态调节输0出问题可以得到解决，如果满足下面的条件：(1)假设1、2是成立的。(2)系统的控制输入满足式子(4)。120(3)矩阵ABCQ,,,,,,SE满足下面的条件：iiSAaBEi,1,,Ni0iiCQ0(5)(4)存在着0,K0，使得aw1成立。ii0,k对定理证明如下：125定义变量为：ixw(6)ii将式子(1)、(2)带入到式子(6)可得为式(7)所示：i-4- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnxwiiAxBsatu()EwSwiiiN130AxiBsatkF[axij(ixj)ai0(xiw)ai0iw]Ew(AaBi0iEwi)(7)j1由于整个饱和函数是和反馈矩阵F和w有关，且有0,()P0，则不等式i()HF总是可以成立的。因此只需要满足aw1，即定理中的条件4是可,kii0.k以满足的。因此由上面的分析(7)式可以进一步简化为式(8)N135iAxiBkF[axij(ixj)ai0(xiw)ai0iw]Ewi(AaBi0iEwi)j1NAxikBF[aij((xiw)(xjw))ai00(xiw)]aBwiiEwi()AaBi0iEwij1NAikBF[aij(ij)ai0i)](8)j1将式(8)写成矩阵形式有：(IA)kI(BH)(F)(9)NN140构造如下的李亚普洛夫函数：TVP()(10)对(10)式的李亚普洛夫函数求差分可得：TTV(k1)(P)(k1)(P)TTT[(IA)kI(BH)(F)](P)[(IA)kI(BH)(F)](P)NNNNTTTTTTTT145(APA)k(HFBPA)k(HAPBF)2TTTTk(IFBPBF)(P)(11)NTTT将式子(4)可分别带入矩阵FBPAAPBF,可得：TTTT1TTFBPAAP()((BBP()BI))BP()ATTT1TAPBFAP()((BBP()BI)BP()A(12)150同时对于矩阵是一个对称的矩阵，由式子(12)则可以得到：TTTFBPAAPBF(13)TT1对实对称矩阵HH，存在矩阵T使得式子TH()HT成立，其中矩阵是T对角矩阵，其特征值和矩阵HH的特征值相同。由是对称矩阵的特点可知，矩阵T是-5- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnT1一个正交矩阵，即有TT，令ˆ()TI。N155将等式(13)带入到式子(11)中可以得到：TTTTTTTTV(APA)k(HFBPA)k(HAPBF)2TTTTTk(HHFBPBF)(P)TTTTTT(APA)k((HH)FBPA)2TTTTTk(HHFBPBF)(P)N1()ˆTAPATˆkˆTFBPAˆk2ˆˆTFBPBFTTˆTPˆ160ii1iiiiiiiiii1N1(ˆTAPATˆ2ˆTFBPATTˆk2ˆˆTFBPBFTTˆˆTPˆ)iiiiiiiiiiii1N1ˆT(APAT2FBPAkTT2ˆFBPBFTTP)ˆiiiiii1N1ˆT(APAT2FBPAFBPBFTTTTP)ˆ(k21)ˆTFBPBFTTˆiiiiiiii11ˆT(I(FFTI))ˆkk(21)ˆT(IFFT)ˆN2iiNi1651ˆTT[I(1kk(2ˆ1))FFI]ˆN2iii1ˆT()IIˆNi0在李亚普洛夫的证明过程中kBPT()B，选取合适的参数使其满足1kk(2ˆ)0，11ii即1kk(2ˆ)0成立。由前面的证明可知V0。由李亚普洛夫函数可以得到2maxmax170lim()ˆklim(TI)()k。0进一步有lim()k0，且矩阵Q,满足等式CQ0，则1Nkkk有lim()eklim(CxQw)lim(Cxw)limC()k0。iiiikkkk依据理论，设计分布式的状态调节器的步骤如下：第一步：设计状态反馈矩阵F和参数k，选择矩阵和参数依据理论有：TT12F(BP()BI)BP(),Akmax{1,}imax175第二步：求出方程(5)的解,,QE,。iinl第三步：选择初始的集合RW,R，选择合适的参数使其满足理论的条件。00注意：在方程组的求解过程中，由于是两个方程组需要解三个未知数，那么在求解过程-6- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn中可以首先假定其中的一个矩阵的值，然后再求解其余的两个矩阵的值。由方程组的形式可以看到，当跟随者和外部扰动无联系时，方程组对应的就只需要解两个参数了。在解方程的180过程中也需要选取合适的参数，并不是所有的参数都是满足要求的。3仿真结果这一部分，给出仿真结果验证算法设计的有效性和合理性。在这个例子中选取4个智能体，系统的拓扑图如图1所示，由拓扑图1可以知道系统中只有智能体1、2和领导者之间有联系，剩余的两个智能体则与领导者无直接联系。185在这个仿真用例中对于系统中的矩阵选取如下：010A,B,C010.40.311-101=，S101010.51.4,21.40.3,340010101E,,EEE12340.52.41.51.70.11.4190由用例中矩阵的取值带入到式子(5)中，可以验证矩阵是满足式子(5)。对于系统中的所有智能体和外部扰动者的初始条件选取如下：1.62.24.36.50.015xw(0),(0)0.51.70.31.30.015用离散代数黎卡提方程求解矩阵P()，其中选择参数0.01可以求得矩阵P()为：0.01480.0059P()0.00590.0309195由拓扑图1可知，矩阵AH，的形式如下010000100Adiag{1,1,0,0},H001101001对于每一个体都考虑了两维信息，因此对于每一个体的每一维的基于领导者的输出分别在图2和图3中给出了，同时给出了在时间间隔[0,20]上每个个体的输入的变化形式如图3-7所示。由图2和图3可以看出经过一段时间后，最终的状态误差都达到了0。-7- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn200图1网络拓扑图图2第一维输出误差变化图Fig.1networktopologygraphFig.2thefirstdimensionconvergencegraph图3第二维输出误差变化图图4控制输入变化图205Fig.3theseconddimensionconvergencegraphFig.4inputcontrolgraph由输入变化图4可以看出，由于选择了较小的参数0.01，所以在整个的变化过程中每一个智能体的输入都是在之间变化，即整个输入都在其线性区域中进行变化的。同时由图4可以看出，uu,最后是达到了零，但uu,的波形稳定后是震荡波形。系统中的智能3412体1、2是和外部扰动系统直接有信息交换，而智能体3、4与外部扰动者是没有直接信息交210换，因此整个系统达到一致时由式(3)可知，智能体3、4的控制输入会随k趋近于零，而智能体1、2的输入会随变量Tw而变化。由系统(2)知外部系统是一个自治系统，w的波i形是一个震荡波性，智能体1、2的波形也会是一个震荡波形，并且由于的取值不同，所i以二者的波形不会重合。4结论215将多智能体线性连续系统的输出调节问题和单个个体的输出调节问题相结合，研究了多智能体线性离散系统的输出调节问题，其中控制输入是带有饱和限制的。基于无向图是有向图的一种特殊情况，研究了系统拓扑图为有向图的情况。对于有向图的情况需要选择合适的-8- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn李亚普洛夫函数使得整个函数的处理可以类似于无向图的处理，即需要解决拉普拉斯矩阵不对称的问题。处理输入饱和的问题采用了低增益反馈的方法，同时也用到了离散代数黎卡220提方程处理李亚普洛夫函数。本文虽然研究了基于状态反馈的多智能体线性离散系统的输出调节问题，但是对于基于误差反馈的多智能体线性系统的输出调节问题并没有进行考虑；虽然考虑了拓扑图是有向图的情况，但是没有考虑整个拓扑图切换的情况，这些都是本文考虑不足的地方。[参考文献](References)225[1]RenW,ChaoH,BourgeousW,etal.Experimentalvalidationofconsensusalgorithmsformultivehiclecooperativecontrol[J].IEEETransactionsonControlSystemsTechnology,2008,16(4):745-752.[2]CookJ,HuG.Experimentalverificationandalgorithmofamulti-robotcooperativecontrolmethod[C]//2010IEEE/ASMEInternationalConferenceonAdvancedIntelligentMechatronics.IEEE,2010:109-114.[3]AlighanbariM,HowJP.Decentralizedtaskassignmentforunmannedaerialvehicles[C]//Proceedingsofthe23044thIEEEConferenceonDecisionandControl.IEEE,2005:5668-5673.[4]PackDJ,DeLimaP,ToussaintGJ,etal.CooperativecontrolofUAVsforlocalizationofintermittentlyemittingmobiletargets[J].IEEETransactionsonSystems,Man,andCybernetics,PartB(Cybernetics),2009,39(4):959-970.[5]KleinDJ,BettalePK,TriplettBI,etal.Autonomousunderwatermultivehiclecontrolwithlimited235communication:Theoryandexperiment[J].IFACProceedingsVolumes,2008,41(1):113-118.[6]HongY,HuJ,GaoL.Trackingcontrolformulti-agentconsensuswithanactiveleaderandvariabletopology[J].Automatica,2006,42(7):1177-1182.[7]MeiJ,RenW,MaG.DistributedcoordinatedtrackingwithadynamicleaderformultipleEuler-Lagrangesystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2011,56(6):1415-1421.240[8]GanganathN,ChengCT,ChiKT.Distributedanti-flockingcontrolformobilesurveillancesystems[C]//2015IEEEInternationalSymposiumonCircuitsandSystems(ISCAS).IEEE,2015:1726-1729.[9]RenW.Consensusstrategiesforcooperativecontrolofvehicleformations[J].IETControlTheory&Applications,2007,1(2):505-512.[10]LiuS,XieL,ZhangH.Distributedconsensusformulti-agentsystemswithdelaysandnoisesin245transmissionchannels[J].Automatica,2011,47(5):920-934.[11]RenW.Consensusstrategiesforcooperativecontrolofvehicleformations[J].IETControlTheory&Applications,2007,1(2):505-512.[12]XuWT,HaoXH,ZhangP.Performancecomparativistofoutputregulationonlinearsystemindifferentsyntheticallyway[C]//2007InternationalConferenceonWaveletAnalysisandPatternRecognition.IEEE,2007,2:250948-951.[13]BymesCI,LaukóIG,GilliamDS,etal.Outputregulationforlineardistributedparametersystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2000,45(12):2236-2252.[14]LinX,LanW.OutputfeedbackCNFcontrolforoutputregulationproblemoflinearsystemwithinputsaturation[C]//201325thChineseControlandDecisionConference(CCDC).IEEE,2013:5159-5164.255[15]LinZ,StoorvogelAA,SaberiA.Outputregulationforlinearsystemssubjecttoinputsaturation[C]//DecisionandControl,1994.,Proceedingsofthe33rdIEEEConferenceon.IEEE,1994,3:2362-2367.[16]WangX,NiW,YangJ.Distributedoutputregulationofswitchingmulti-agentsystemssubjecttoinputsaturation[J].IETControlTheory&Applications,2013,7(2):202-209.[17]ZhaoZ,HongY,LinZ.Semi-globaloutputconsensusoflinearagentswithexternaldisturbancesand260actuatorsaturation:Anoutputregulationapproach[C]//ControlConference(CCC),201433rdChinese.IEEE,2014:5727-5732.[18]ChiangTS,ChiuCS,LiuP.Outputregulationfordiscrete-timenonlineartime-varyingdelaysystems:AnLMIapproach[C]//FuzzySystems,2004.Proceedings.2004IEEEInternationalConferenceon.IEEE,2004,3:1269-1273.265[19]MantriR,SaberiA,LinZ,etal.Outputregulationforlineardiscrete-timesystemssubjecttoinputsaturation[C]//DecisionandControl,1995.,Proceedingsofthe34thIEEEConferenceon.IEEE,1995,1:957-962.[20]ChuX,LanW.Transientperformanceimprovementforoutputregulationproblemoflineardiscrete-timesystemswithinputsaturation[C]//201310thIEEEInternationalConferenceonControlandAutomation(ICCA).IEEE,2013:1748-1753.270[21]LinZ,LinZ.Lowgainfeedback[M].London:springer,1999.[22]WenG,DuanZ,YuW,etal.Consensusinmulti‐agentsystemswithcommunicationconstraints[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl,2012,22(2):170-182.-9-'