流行病建模——回顾与展望.pdf 0页

'中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn#流行病建模--回顾与展望**王玉，陈姗姗，傅新楚（上海大学理学院，上海200444）5摘要：传染病是人类社会一直面临的重大问题，用数学模型研究传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为人们共同关注的课题。目前传染病建模方法主要有两类：均匀混合传染病动力学模型和网络动力学模型。本文将从这两个方面作一个综述性介绍。其中均匀混合传染病动力学模型的部分包含了时滞、年龄结构、随机扰动等多个方面；网络动力学模型包10含元胞自动机、平均场等方面的理论。本文旨在为读者提供一个传染病模型方面的大致脉络，并对今后的研究热点作一展望。关键词：传播动力学；传染病模型；复杂网络中图分类号：O2915Epidemicmodeling--RetrospectandProspectWangYu,ChenShanshan,FuXinchu(ShanghaiUniversity,CollegeofSciences,Shanghai200444)Abstract:Infectiousdiseaseisamajorprobleminhumansociety.Ithasbecomeacommonconcernofpeopletostudythetransmissionmechanismofinfectiousdiseasesandtopredictthe20epidemictrendofinfectiousdiseases.Sofar,theresearchinthisareaisdividedintotwomethods:uniformmixedepidemicdynamicsmodelandnetworkdynamicsmodel.Thisarticlewillmakeasummaryintroductionfromthistwoaspects.Thepartofuniformmixedepidemicdynamicsmodelincludesmanyaspects,suchastimedelay,agestructure,randomdisturbance,andsoon;Thenetworkdynamicsmodelincludesthetheoryofcellularautomata,meanfieldandsoon.The25purposeofthispaperistoprovidethereaderforanoverviewofinfectiousdiseasemodel,anddiscussthefutureresearchhotspots.Keywords:transmissiondynamics;basicreproductionnumber;networkmodel0引言传染病自古以来就是威胁人类人身和财产安全的一大问题。据历史记载，大规模传染病30的爆发曾经一次次给人类社会带来巨大的灾难。公元541年在埃及爆发的鼠疫，肆虐半个世[1]纪之久，1/4的东罗马帝国人口死亡，公元600年，在欧洲爆发的黑死病导致半数人口死[2]亡。公元1519~1530年间，墨西哥麻疹的爆发使得该地的印第安人死亡人数达到90%。还有很多至如此类的案例，比如天花，麻风病，脊髓灰质炎等等。这些疾病都曾经给人类带来巨大的灾难。35一直以来，人类不断的与各类传染病作斗争，并且取得了巨大成果。近年来，随着科技的发展和人类对传染病防控意识的增强，很多曾经肆虐的传染病如今已经得有效的控制，如天花，麻风病等。然而在人类不断攻克各类传染病的同时，传染病本身也在发生着变异。各类新的传染病不断涌现。其中疯牛病最早于1986年在英国被发现。死亡人数以每年30%左右的速度逐年上升，迄今为止死于此疫的人数为69人。1985年艾滋病在我国首次被发现，40其感染人数在各国程逐年上升趋势，截至2015年10月我国存活的HIV感染人数近60万，[3]而且到目前为止仍然找不到根治的方法。2001年，英国爆发口蹄疫，集中宰杀、焚烧了近700万头感染口蹄疫的牲畜。尤其是近些年，诸如“非典”，禽流感，埃博拉等疾病多次大规基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20123108110002）；国家自然科学基金（11572181）作者简介：王玉（1991-），男，硕士，复杂网络通信联系人：傅新楚（1961-），男，教授，动力系统与复杂网络.E-mail:xcfu@shu.edu.cn-1- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn模爆发，威胁着人类的生命安全。以上这些无一不在告诉我们，传染病是人类的重大威胁。而研究传染病的发病机理，传播机制，以及制定防控策略就成了人类的重要而且必要的问题。45本文将主要从均匀混合传染病动力学模型和网络动力学模型两个方面，由浅入深地介绍各类传染病动力学模型。1经典传染病模型回顾传染病在人群以及其他种群中的传播是一个很复杂的过程。从建模的角度来看，传染病从初始状态开始逐步扩散的过程可以通过建立数学模型来进行研究。早在1760年，[4]50D.Bernoulli就开始用数学的方法研究天花的传播。1906年W.Hamer构造离散时间模型研[5]究了麻疹的反复流行过程。1911年R.Ross利用微分方程模型研究了疟疾在蚊子与人类之[6]间的传播并获得Nobel医学奖。1926年Kermack和McKendrick研究了1665~1666年伦敦[7]的黑死病以及1906年孟买的瘟疫的，构建了具有重要意义的SIR仓室模型，1932年他们[8]又提出了SIS模型，并提出了阈值理论。这些早期的经典传染病数学模型为今后的传染病55建模分析奠定了重要的基础，在传染病研究中具有划时代意义。本章主要介绍具有代表性的SIR模型和SIS模型，并以此为基础介绍阈值理论的一些相关知识。1.1两个最基本的传染病模型[7][8]Kermack和McKendrick构建两个仓室模型SIR与SIS模型，是最具代表性的两个模60型。Kermack和McKendrick的模型理论从创立以来，被广泛应用和改进。要了解传染病模型的发展，就必须先从这两个模型说起。很多类型的传染病，如水痘，流感等，其感染者痊愈后体内有了相应的抗体，这一部分人具有免疫力，一般不会再次患病。SIR模型便是针对这一类疾病。SIR模型的基本思想，就是将总人口N分为三个仓室：65S代表易感者(susceptible)，即未感染且不具有免疫力的人，与染病者接触可能会被感染；I代表染病者(infective)，即感染的人，这部分人具有一定的传染力；R代表移出者(removed)，即痊愈的人，这部分人具有免疫力。其中NSIR。t时刻的状态是N(t)S(t)I(t)R(t)。K-M基于三个基本假设，对模型做了简化：70(1)不考虑出生、死亡、人口流动等种群动力学因素。即：N(t)S(t)I(t)R(t)K。(2)人群内的接触是均匀的，并且任意的一个感染者与任意的一个易感者接触致其感染的概率是相等的。(3)单位时间内任何一个染病者痊愈（即从I仓室到R仓室）的概率是相等的。75由此可见单位时间内感染人数应和S(t)与I(t)成正比。设比例系数为。单位时间内痊愈的概率（即恢复率，又称移除率）为。如图1所示：图1SIR仓室模型80Fig.1SIRcompartmentmodel-2- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn这样便可以得到：dSSI,dtdISII,(1.1.1)dtdRI.dt以上为SIR模型。但是还有一些疾病其感染者痊愈以后，不具有免疫力，仍然可以再次感染。针对这种情况，K-M又建立了SIS模型。SIS模型与SIR模型类似，区别在于。I仓85室内的人痊愈后直接进入S仓室。相应的总人口数满足N(t)S(t)I(t)K。如图2所示：图2SIS仓室模型Fig.2SIScompartmentmodel90在类似的假设下，可以得到：dSSII,dt(1.1.2)dISII.dt这两个模型可以粗略的表示所有类型的疾病。后来的很多更复杂的模型便是在这两个模型的基础上优化与发展得到的。1.2阈值理论和防病策略[8]95K-M分析和研究了他们所建立的模型，并提出了阈值理论，阈值理论是研究传染病模型，判断疾病是否流行的重要理论。我们这一节将就前面介绍的SIR模型来阐明阈值理论。dSdR在(1.1.1)中的S与R的变化情况非常明显。由于0,0，考虑他们上下界K和dtdt0，故显然有limS(t)StlimR(t)RKSt100关于I的变化，由(1.1.1)中的前两式得dI1,.(1.2.1)dSS由此可见，是一个临界值。当S(0)S时，I会逐渐减少。当S(0)S时，00I会逐渐增大，但由于S还在减小，当减小到S(t)时，I达到最大值，然后又会逐渐减105小。令-3- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnS10RS，(1.2.2)00则当R01时疾病流行；当R01时疾病不会流行，染病者数量逐渐趋于零。故R0就是区分疾病流行与否的阈值。要只要减小R，使其小于1，控制流行病防止其爆发。从表0110达式来看R亦可以看做是一个染病者在单位时间内感染的人数，故R又叫基本再生数。0011从(1.2.2)可以看出，R与、、S三个量成长比。我们可以通过减小、、S来000减小R，使其小于1。其中可以看成任意一个感染者与易感者之间接触并感染的概率（这0里可以看成n，其中n为任意一个感染者在单位时间内与易感者之间接触次数，即接1触率，为易感者与感染者接触后被感染的概率，即有效接触率）；可以采取隔离患病者0115或易感者的方式减少接触率n，并通过一些对应的防疫措施（如对流感可以戴口罩等）来减1少有效接触率，从而减小。是单位时间内的痊愈率，也是平均患病期；我们可以通11过对病人的治疗，并改进医疗手段来减少平均患病时间，减小。S即初始的易感者仓室0的人数；可以通过接种疫苗的手段来减小S。02几类具有代表性的均匀混合传染病模型120近年来，传染病的建模发展迅速，各类模型不断涌现。由于各种疾病的发病机理和传播方式不同，所要更加精确的研究一个疾病的传播过程，就必须根据它的具体特征，建立具体的模型来进行研究。从发病机理来看，需要考虑疾病是否具有潜伏期，痊愈后是否具有免疫力，是否有特定的易感人群等。从传播机制来看，主要考虑分为接触传播，垂直传播，媒介传播（昆虫动物等）等不同的传染方式，以及是否对病人进行隔离免疫，以及人们是否具有125防病意识等。传染病模型的发展过程，从开始假设时间较短，没有种群迁移，生育率与死亡率持平，种群总数基本为常数的单一种群的简单模型，到后来当疾病周期足够长时，需要考虑出生死亡，人口流动，种群间交叉感染，以及时滞，和年龄结构等因素的影响的更为复杂[9]精细的模型。科研人员根据具体疾病的特征逐渐建立和完善了各类新的传染病模型，并对模型的各种特性进行了分析。使得模型和研究的结果和现实的情况越来越接近。130本章先介绍一些简单的扩展，然后重点介绍几个有代表性的发展方向。2.1几类简单的扩展SIR模型与SIS模型只是将人口做了简单的分类，在面对更具体传染病时，还要对这个分类进行改进，比如有些疾病有潜伏期，一些患病周比较长的还要将感染者分为早期晚期等，有些疾病如结核病等其感染者还要分为有传染性和无传染性的，这些分类的本质就是改变传135播机制和仓室分类。下面介绍改变传播机制的例子，以SIR模型为基础，R仓室的个体所具有的免疫力可能是永久的也可能是暂时的，设免疫力丧失的概率为。方程变为以下形式：-4- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cndSSIR,dtdISII,(2.1.1)dtdRIR.dt140下面介绍改变仓室设置的例子，以SIR模型为基础，加入潜伏期（很多疾病如艾滋病等都是具有潜伏期的）的E仓室（感染后先进入潜伏期E仓室，在此仓室无传染能力，并设发病的概率为）。如图3所示：145图3SEIR仓室模型Fig.3SEIRcompartmentmodel方程为：dSSI,dtdESIE,dt(2.1.2)dIEI,dtdRI.dt[10]又如结核病根据结核菌侵染的部位可分为肺结核与肺外结核，一般认为肺结核具有150传染性，而肺外结核不具有传染性。据此可以将I仓室分为肺内、肺外两个，易感者感染后分别以a、b的概率进入肺内与肺外两个仓室，建立简化的结核病模型：dSSI,1dtdI1aSII,111dt(2.1.3)dI2bSII,122dtdRII.1122dt其中仓室I、I分别为肺内、肺外结核病仓室，恢复率分别为、。1212早期的传染病模型往往是将整个流行病的传染过程设定在一个个体数量恒定，并且相对155封闭的环境中，是不考虑任何种群动力学因素的。但现实中，种群中个体的数量往往不是固[11]定的。后来的研究人员逐渐加入出生死亡，有无垂直传染，迁入迁出等因素。如图4所示：-5- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn图4SIS仓室模型变式160Fig.4variantofSIScompartmentmodel以SIS仓室模型为基础，考虑加入出生死亡垂直传染迁入迁出等可构建如下模型：dSSIIbSdSABS,111dt(2.1.4)dISIIbIdIBI.dt222其中b,d,b,d分别是S仓室和I仓室的出生死亡率，A固定的迁入率，B,B分别112212是S仓室和I仓室的迁出率。1652.2具有时滞的传染病模型对于前面介绍的模型，根据其假设可知其患者在某一时刻痊愈的概率是确定的，但在现实中一个病人在某一时刻是否痊愈往往不仅取决于他在当前时刻的状态还要取决于之前的状态，这就是我们通常所说的时滞。[12]生活中某些常见的疾病如感冒淋病等，感染者的患病期往往可以看做一个大致的近170似值。此处以SIS模型(1.1.2)为基础，不考虑种群动力学因素，假设病人的患病期为固定值。则方程为dSS(t)I(t)S(t)I(t),dt(2.2.1)dIS(t)I(t)S(t)I(t).dt这个模型是一个具有确定时滞（离散时滞）的方程组。实际上大多数的传染病的患病期175并不是固定的，但往往有某种分布规律。设一个病人患病后经历了一段时间，此时康复的概率为P()。显然有P(0)0,P()1。设时间段后康复的概率分布函数为f()P"()。可以得到方程dSS(t)I(t)S(t)I(t)f()d,dt0(2.2.2)dIS(t)I(t)S(t)I(t)f()d.dt0这样我们就得到了一个具有分布时滞（亦称连续时滞）的模型。1802.3具有年龄结构的传染病模型由于年龄结构对于种群中疾病的传播规律既有很大的影响。一般来说不同年龄段的个体抗病能力，传播能力和康复能力往往不同，甚至出生死亡等种群动力学因素也会因年龄的不同而改变。对某些传染病而言，为了使模型更加接近实际，必须就个体的年龄段加以区分。[13-15]人们对年龄结构模型已经做了非常多的研究，这里进行简要的介绍。-6- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn185首先考虑离散的划分。将个体的最大寿命分为n个相等的年龄区间（每个区间长度为），每个。再将时间t从起始时刻t开始划分为长度为的区间。将第j个时间段内，年0龄处于第i个年龄段内的个体数记为N。设第i个年龄段能活到第i个年龄段的概率为p。iji则有N1j1B1N1jB2N2jBnNnjN2j1(2.3.1)Nnj1190这就得到了一个具有离散年龄结构的种群模型（成为Leslie模型）。对于连续的年龄结构模型。设f(a,t)为t时刻的年龄分布函数，(a)是a年龄的个体在当时死亡的概率，个体生育数随年龄的分布为B(a)，初始年龄分布函数为f(a,0)f(a)。则0ftfa(a)f0,f(0,t)B(a)f(a,t)da,(2.3.2)0f(a,0)f0(a).195这就得到了一个具有连续分布的年龄结构的种群模型。以年龄结构模型为基础并加以改进，就可以构建相应的具有年龄结构的传染病模型的。还是以SIR仓室模型为基础，在(2.3.2)的基础上得到一下方程：StSa(a)SS,ItIaS(a)II,(2.3.3)MMI(a)R.ta其中f(a,t)SIR,,分别是S,I向下一仓室转移的概率。初边值条件可由200(2.3.2)得到。2.4多个种群的传染病模型以上模型是研究同一种群，但事实上很多传染病是在不同种群之间传播的，这些种群之间往往是有某些联系的，比如寄生关系，共生关系，捕食与被捕食关系，竞争关系或没有相互作用仅仅具有接触等。这些种群间的密切接触往往会影响疾病的传播，所以在一些特定的[16-24]205疾病研究过程中，只研究单一种群是不够的。需要研究多种群的传染病模型。[17][16]现以文献为例对这一类模型进行简要介绍。文献中研究了疾病在两个种群中直接传播且可交叉感染的关系。模型如下：-7- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cndH1H1rH(1)Y,1111dtK1dY1XYXYY,1111121211dt(2.4.1)dHH2rH(12)Y,2222dtK2dY2XYXYY.dt2222212122其中H(i1,2)为种群i的总量X和Y分别为种群i中易感者与染病者数量，r为种群1iii210i的增长率，K为环境容纳量，为因病死亡率，为恢复率，自然死亡率因病死亡率之iii和，为有效接触率。ii3网络动力学传染病模型早期传染病模型，往往将一个种群抽象成一群相同的个体来研究，也有一些根据空间，物种等因素将研究对象划分为多个种群。但是现实世界里不同的人或动物在疾病传播过程中215表现出的特性是不同的，这种不同的，在一定程度上影响了疾病的传播。所以要想建立更加精确的模型必须考虑种群的异质性。随着网络动力学研究的兴起，网络上的传染病模型的研究，为体现种群异质性提供了可能，比较典型的几类网络模型主要有：元胞自动机，人工神[25]经网络，无标度网络等。复杂网络是近年来系统科学的研究热点。研究复杂网络上的传染病模型可以很好地体现种群的异质性，使得研究结果更贴近现实。220本章我们将对网络的基本概念进行简要介绍，并简要介绍以规则网络为基础的元胞自动机模型，然后以平均场方法为基础，介绍几类代表性的网络模型。3.1复网络的基本概念复杂网络研究始于18世纪的“七桥问题”，20世纪60年代，Erods和Renyi创建了随机[26]图理论为网络科协的研究奠定了基础。此后随机图一直是人们研究的重点。后来随着计225算机技术的发展，1998年Watts和Strogatz提出的小世界网络(small-worldnetwork，简称[27]WS网络)和Barabasi和Albert在1999年提出的无标度网络(scale-freenetwork，简称BA[28]网络)，这标志着网络科学的研究进入新时代。下面简要介绍网络的基本概念。从图论的角度来看，网络是是由一些节点和之间的连边构成的，用G=(V,E)来表示，其中V(G)表示节点集合，E(G)表示边的集合，E(G)中的每一230条边都对应V(G)中的一个节点对。其中复杂网络是具有小世界、无标度、自组织、自相似、吸引子中部分或全部性质的网络称为复杂网络。复杂网络有多种分类方式。其中包括有向网络和无向网络，加权网络和无权网络等。下面介绍网络的一些基本统计特征：度与度分布：节点的度代表它的连边数。度分布也就是节点度的分布情况（度为k的节Nk235点N占总节点数N的比例）可以用分布函数来P(k)来表示。kN度相关：如果两个节点之间是否有边相连与这两个节点的度值无关，也就是说网络中随机选则一条边的两个端点的度值是完全随机的。那么称网络具有度不相关性，否则称网络具-8- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn有度相关性。聚类系数：网络中节点i的聚类系数C指的是，在节点i的所有邻居节点中随机选取两i240个，他们之间有边相连的概率。网络的聚类系数C是所有节点的聚类系数的平均值。距离与平均路径长度：两个节点之间的距离d指的是两个节点之间最短的路径所要经ij过的边数。其最大值称为网络的直径D，平均值成为平均路径长度L。2dijijDmaxd，L(3.1.1)ijN(N1)介数：节点i的介数表示所有最短路径中经过节点i的个数B，它可以体现节点i的影i245响力。典型的复杂网络只要有以下几种：规则网络：常见的规则网络主要包括全耦合网络（Globallycouplednetwork），最近邻耦合网络（Nearest_neighborcouplednetwork）和星型耦合网络（Starcouplednetwork）。其中应用较为广泛的元胞自动机模型我们将在下一章简要介绍。250随机网络：随机网络最为经典的模型是由Erdos和Renyi于1959年提出的。有以下两种定义形式：一是给定N个节点，任意两个节点以固定概率p连边；二是给定N个节点，随机选取其中M个不同的节点对相连。小世界网络：小世界网络是watts和strogtz于1998年提出的。其模型是先构建一个N条边的近邻耦合的环状网络，其中每个结点都与它左右相邻的各K个结点相连；以概率p255随机的对每一条边进行重连，重连时将网络的每一条边的一个端点不变，另一个端点以概率p选择网络中的一个结点，同时避免自连和重连。无标度网络：BA无标度网络是Barabasi和Albert于1999年提出的。首先给定一个具有m个节点的网络，网络出始的边数至少是一条。然后逐个加入新的节点，连接到已有的0节点上。每次加入的节点与已有的节点i之间连边概率满足：iki260(3.1.2)ikjj其中k表示节点j的度。j3.2元胞自动机模型20世纪50年代，现代计算机的创始人之一冯诺依曼，提出了元胞自动机的概念。直到20世纪80年代，随着计算机技术的发展，S.Wolfram才对元胞自动机进行了全面的研究。265Ahmed等定义了一类基于元胞自动机的传染病模型，讨论了传播强度的影响及传播结果的[29,30]分类。元胞自动机（CellularAutomata,简称CA），也译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动机，它是一种离散（时间和空间都离散）的动力模型，其基本思想就是每一[31]个元胞下一个时刻的状态只由自身和相邻元胞决定。270元胞自动机由一个元胞空间和定义于该空间的变换函数所组成。元胞自动机用形式语言的方式来描述，可以用一个四元组表示：A(L,S,N,f)d-9- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn其中L表示一个规则划分的网格型空间，每一个网格单元就是一个元胞。S是一个离d散有限集合，用来表示元胞的状态空间。N代表元胞的邻居集合（包括该元胞自身）。f表275示状态转换函数，用来表示通过邻居集合所有元胞t时刻的状态来确定该元胞t1时刻的状态。下面我们通过一个具体模型简要介绍元胞自动机模型的概念。为了简单明了，我们将采用一个简化的模型，此处还是以SIS模型为基础，考虑一个二维网格，每个格点(i,j)处有一个人，x记为此人t时刻的状态，其中x0表示易(i,j,t)(i,j,t)感状态，x1代表患病状态。采用VonNeumann邻居，定义元胞自动机模型如下：(i,j,t)280xf(x,x,x,x,x)(3.2.1)(i,j,t1)(i,j,t)(i1,j,t)(i1,j,t)(i,j1,t)(i,j1,t)设接触传染率为，康复率为。那么一个易感者x下一时刻被感染的概率为：(i,j,t)pxxxx.(3.2.2)(i,j,t)(i1,j,t)(i_1,j,t)(i,j1,t)(i,j1,t)局部演化规则如下：如果x0，则(i,j,t)0,以概率1-p;(i,j,t)285x(i,j,t1)(3.2.3)1,以概率p.(i,j,t)如果x1，则(i,j,t)0,以概率;x(i,j,t1)(3.2.4)1,以概率1-.上面这个模型是没有考虑个体的移动的，而在实际应用中，一般都要考虑个体的移动。在相关文献中的一般设定为：种群在空间的初始分布是随机的（一般不是占满所有元胞）；290元胞中的个体会以一定的概率转移到邻居元胞。除此之外还可以加入出生死亡，时滞等因素，使得模型与实际情况更接近。3.3异质平均场近似模型简介复杂网络上的传染病动力学模型的构建方式有很多，其中最具代表性的有以下几种：[32,33,34]2001年由Pastor-Satorras和Vespignani提出的平均场模型；2002年由Newman提出[35]295的渗流模型以及相关的分支过程方法和概率生成函数方法；2003年由Wang等人提出的[36][37][38]离散概率模型；2006年的对逼近方法；2010年的效度方法等。我们这里主要介绍平均场模型。平均场模型的基本思想是将所有节点按度的大小进行分类，度相同的节点视为一类，其动力学性态用平均值代替。下面我们以SIS仓室模型为基础建立平均场模型。300设度为k节点连接一个度为i节点的概率为P(ik)，如果该网络是度不相关的则应该有iNiP(i)NiP(i)iP(ik)(3.3.1)kNkNk其中P(i)仍表示度分布，N为总节点数，k为平均度，设度为k的节点在t时刻的感染密度为(t)，那么单独看度为k的节点在t时刻的其中一条边，则这条边的指向了一个k染病节点的概率应为-10- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn305k(t)P(ik)i(t)(3.3.2)i假设一条边与染病节点相连时的感染概率为，那么S仓室的一个度为k的节点被感染进入I仓室的概率为iikiik1Ck(k)(1k)(1)1(1k)kk(3.3.3)i根据(1.1.2)和(3.3.3)不失一般性设恢复率为1，我们可以建立模型：d(t)k310(t)k(t)[1(t)].(3.3.4)kkkdt3.4媒介传播的网络模型第二章中曾经介绍说过，很多传染病的传播往往不仅仅在单个群体内部而是在多个种群之间，通过媒介传播的疾病（比如乙型脑炎，鼠疫等）就是其中一类。这一类疾病的传播过程中媒介（蚊子，跳蚤等）往往对疾病的传播起到推动作用，所以仅仅研究人与人之间传播[39]315是不够的。本节将要介绍的就是加入媒介的传染病网络模型。首先我们以SIS仓室模型为基础给出该模型的具体描述。由于人类的接触居于较为明显的异质性，所以我将人类群体看做一个网络；相对而言媒介（如蚊子，跳蚤等）往往不具有非常明显的异质性，所以这里我们将其看做均匀的。传播过程如下：在人类网络内类似于上一节中的传播规律，我们将回复率设为接触1320感染率为。媒介内部分为易感媒介和感染媒介，特殊的是媒介内部往往不会相互感染，但媒介自身也有回复率，设恢复率为。媒介与人类之间互相感染，其中易感者与感染媒介2接触感染率为，易感媒介与感染者接触感染率为。沿用上一节中的符号，用v表示感12染媒介，那么人类网络与媒介之间的交叉感染项很容易表示。由媒介传染到人：(1(t))v(t)；1k325由人传染到媒介：(t)(1v(t))；2由此可得：dk(t)(t)k(t)[1(t)](1(t))v(t),1kkk1kdt(3.4.1)dv(t)v(t)(1v(t))(t).dt223.5耦合网络上的传染病模型这一节我们同样考虑多的种群之间传播的疾病，上一节中讨论的通过媒介传播的疾病只330是其中一类。在现实世界中的传染病网络中，一个种群网络往往是与其它种群网络相互作用并相互依赖，所以一个大型疾病网路系统往往是由具有不同拓扑结构或传播特性多层网络所[40]构成，这些子网络的异质性往往是不容忽视的。探索多维系统及耦合网络之间的交互影响和作用是近年来网络科学的一大热点，耦合传染病网络模型可以更加合理的研究多个种群的传染病网络。335下面我们以双层耦合网络为例介绍此类模型。我们首先建立一个相互依赖的网络，由两个相互依赖的子网络A和B所构成，每个子网由一个种群或群体（节点）)以及它们的连接（边）所构成。有两种连接方式，子网内的个体要连接，不同一子网之间的个体也要连接。-11- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn相应的每个节点都对应两个度（内部的与交叉的）。类似于上一节，我们仍然以SIS模型为基础进行建模。传播方式有两种，内部传播与交340叉传播。分别是子网A（B）的一个易感节点通过一条边与内部的一个感染节点相连，以11（）的概率被感染，变为染病节点；或是子网A（B）的一个易感节点通过一条边与另22一个子网的一个感染节点相连，以（）的概率被感染，变为染病节点。1221仍然使用平均场近似，由于每个节点都对应两个度，所以这里应该根据两个度来分类，A两个度都相同视为一类。设表示子网A上度为(i,j)的感染节点数比例，子网B上的类i,jAAAB345似。设（）子网A上度为(i,j)的节点连接子网A（B）上的任意一条边指向一个i,ji,j染病节点的概率，子网B的类似。类似于前面可以得到微分法方程模型为：Ad(t)(i,j)AAAAABA1(i,j)(t)i11i,j(t)[1(i,j)(t)]j12i,j(t)[1(i,j)(t)],dt(3.4.1)bd(k,l)(t)BBABBBA(t)k(t)[1(t)]l(t)[1(t)].2(k,l)11k,l(k,l)21k,l(k,l)dtAA下面给出的表达式，其他类似。类比上一节，假设该网络是度不相关的，在子网Ai,jAA内设度为(k,l)节点连接内部一个度为(i,j)节点的概率为P(i,jk,l)，则iNAAAAAAi,jiP(i,j)NiP(i,j)350P(i,jk,l),(3.4.2)AAAAAAAAkNkNkAAA其中P(i,j)仍为度分布，N为子网A内的总节点数，N为子网A内度为(i,j)的i,jAA节点数，k为子网A内的节点对内部节点的平均度。那么由此可得：AAAAA(t)P(i,jk,l)(t).(3.4.3)k,l(i,j)(i,j)类似可得：AAAAAk,l(t)P(i,jk,l)(i,j)(t),(i,j)ABABBk,l(t)P(i,jk,l)(i,j)(t),(i,j)355(3.4.4)BABAAk,l(t)P(i,jk,l)(i,j)(t),(i,j)BB(t)PBB(i,jk,l)B(t).k,l(i,j)(i,j)其中：-12- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnAAAiP(i,j)P(i,jk,l)AA,kjNAAAABi,jjP(i,j)NP(i,jk,l),kBANBkBANB(3.4.5)iNBBBBAi,jiP(i,j)NP(i,jk,l),ABAABAkNkNjPB(i,j)BBP(i,jk,l).BBk3.6加权网络模型现实中的许多大型的传染病网络其拓扑结构一般是非均匀的，异质性不仅表现为连边的[41]360数量不同，同时也体现在权重上的差异，节点和连边都可以具有不同的权重。而前面介绍的模型有一个共同点就是假设染病者的感染力都相同或者部分相同，这样就无法体现权重的不同。为了体现权重的不同，并研究权重对传染病的扩散的音响，就必须引入加权的传染[42]病网络模型。本节我们就来简要介绍一种自适应权重网络模型。一个染病者成功感染一个易感者的概率，往往与两者的度有一定关系，这里设度为j的365感染者与度为i的易感者之间，接触感染率为(t)。为了统一，沿用3,3节中的符号，并i,j稍微做一些改变。令(t)表示度为k的节点在t时刻的其中一条边指向了一个染病节点并k被感染的概率。依然以SIS模型为基础。很容易得出类似于(3.3.4)式的微分方程模型：d(t)k(t)k(t)[1(t)].(3.6.1)kkkdtP(ik)仍然可用(3.3.1)表示，唯一不同的是(t)，类似于(3.3.2)有k370k(t)P(ik)k,ii(t)(3.6.2)i[42]根据实际情况(t)有很多种取法，下面以文章中的为例。一般情况下，度为i的节i,j点与度为j的节点之间的连边权重是一个关于(i,j)的函数，此处设为一个一般形式：[43](i,j)g(i)g(j)。由此计算节点权重，设表示度为k的节点权重，表示与他相连的k边权重之和，那么假设网络是度不相关的容易得出kg(k)kg(k)375kP(ik)(i,k)(3.6.3)kik[43]文章中设定度为i的节点有一个固定的传播率，这个节点通过一条边传到度为k的i节点的传播就相当于这条边占这个节点权重的总份额，据此可得(i,k)g(k)ki(3.6.4)i,kikg(k)i[42]在文章中以此为基础介绍了一种自适应权重。随着疾病流行的加剧，个体将会越来380越注意，从而使得权重逐渐变小，特别的，如果一个个体有很多条连边，比如医生或公众人物等，那么他会更注意，对应的权重衰减得更快，因此文中设定权重的演化形式为-13- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cng"(k,t)g(k)exp(h(k)I(t))(3.6.5)其中h(k)是k的一个增函数。此时对应的(t)变为i,jg(k)kexp(h(k)I(t))i"(t)(3.6.6)i,kkg(k)exp(h(k)I(t))3854其他类型的传染病模型现实生活中的传染病多种多样，其特点各不相同，我们要研究的具体问题也是非常之多。仅前面几张介绍的模型虽然范围很广，但并不能涵盖所有类型。本章将介绍几类不同于前文的模型，这几类模型都有其独特的侧重点，可以用于研究从一些独特的角度研究某些传染病问题，以此作为补充。3904.1加入随机扰动的传染病模型随机传染病模型早在20世纪就已经被人们关注。最早人集中关注离散随机模型特别是链二项式模型。随后，人们对连续随机传染病模型的研究逐渐发展起来。近些年来，一些学者利用布朗运动这种随机驱动力作为随机因素加入到传染病模型中建立随机传染病模型，利[44-48]用随机微分方程理论研究随机传染病模型，并得出很多有价值的结论。395首先介绍一些随机微分方程方面的基础知识。定义4.1（Brown运动）设w:tR是m维随机过程，若他满足以下条件：t（1）w00mm（2）正态增量性：若0st，则wtws~N(0,(ts)),[kl]R是正定矩阵。400（3）独立增量性：若0st，ww独立于w。tss则称wt是一个m维Brown运动，当I（单位矩阵）时称称wt是一个m维标准Brown运动。定义4.2（白噪声）设是一个平稳序列。如果对于任何s,tN，i2,ts,Ei,cov(t,s)0,ts,2405就称是一个白噪声，记为WN(,)。i仍然以SIS模型为基础，加入环境白噪声的影响很容易得到得到下面随机模型：dS(t)[S(t)I(t)]dt1S(t)dB1(t),(4.1.1)dI(t)[S(t)I(t)I(t)]dtS(t)dB(t).22其中，B(t)是独立标准布朗运动，0为常数表示布朗运动的强度(i1,2,3)。ii4.2空间扩散传染病模型410在很多的传染病动力学模型中，往往忽略了空间因素对疾病传播的影响。但实际情况中空间因素对疾病的传播也有一定作用。为了从空间角度进行分析，探究空间的复杂性对疾病传播的影响就必须对模型加入空间因素。近年来已经有很多这方面的理论方法，前面介绍的元胞自动机模型就是其中一种。-14- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn[49-51]我们这一节将要介绍的是基于空间扩散的传染病模型，这里使用的是2007年靳祯、[49-51]415刘权兴、孙桂全等人文章中的建模思想。下面介绍一些预备知识。反应扩散方程可以写成如下形式：2UDf(U,V)tUU(4.2.1)2VDg(U,V)tVV2其中UU(r,t),VV(r,t)是空间变化浓度，D,D是扩散系数。是拉普拉斯算VU子。420我们仍以经典的SIS模型为基础，引入空间扩散的到如下模型：S(,t)2S(,t)I(,t)I(,t)dS(,t),1tI(,t)2S(,t)I(,t)I(,t)d2I(,t),(4.2.2)tS(,0)S0,I(,0)I0.00其中d,d为扩散系数。125结论传染病自古以来都是人类社会的重大威胁。用数学模型的方法研究传染病的传播始于42518世纪，直到20世纪Kremack和McKendrick提出仓室模型和阈值理论，传染病动力学的模型建模与研究才开始蓬勃发展，各种类型的模型不断涌现。决定性模型的变化主要包括不同的仓室设置、不同传播机制、不同的感染率设置以及加入出生死亡、迁移、时滞、随机扰动等因素。随着计算机技术的发展和网络科学的兴起，网络动力学模型开始发展并成为人们的研究热点。其中包括元胞自动机，平均场理论等方面的理论。目前为止复杂网络的研究仍430然是人们共同关注的热点问题，新的理论和成果仍然不断涌现，仍然有很多新的问题等待人们探索。下面我们介绍一些今后可能的方向。多层网络模型的是值得我们研究的问题之一，现实中的疾病网络往往是多层的，我们前面所介绍的耦合网络只是一个初步探究，还有更多层次更复杂的的网络模型等待我们发掘与研究。另外加权网络也是值得探究的方向之一，现实的435疾病网络中的权重是十分复杂的，包括距离，接触强度，接触频率，传染力，预防力度等多个方面，前面我们介绍的权重设置还不能涵盖所有方面，在权重设置的方面还有很多工作要做。致谢本论文作者要感谢课题组的同仁们，特别是徐忠朴的热心帮助和大力支持，使得我们得440以克服一个个困难和疑惑，直至论文顺利完成。本研究得到高等学校博士学科点专项科研基金（课题编号：20123108110002）和国家自然科学基金（项目批准号：11572181）的共同资助。-15- 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