基于特殊纯态的受控隐形传态控制力分析.pdf 12页

'˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn基于特殊纯态的受控隐形传态控制力分析莫智文，刘军四川师范大学数学与软件科学学院,成都610068摘要：研究了含参数三粒子纯态为信道的受控隐形传态,以无控保真度和最小控制力两种方法分析了协议中控制方的权威作用.针对单参数三粒子纯态,结论表明此类量子态不适宜用作任意单粒子受控隐形传态的量子信道.但是,对于满足一定条件的单粒子量子态,存在合适的单参数量子态信道,甚至是任意的单参数量子态信道,能够保证控制方的权威.对于含多参数三粒子纯态,得到了控制力有意义时的参数条件,并给出了满足条件的几类特殊三粒子纯态表达式.关键词：受控隐形传态;控制力;保真度中图分类号：O29ControlpowerofthecontrolledteleportationwithpeculiarpurestatesMOZhi-wen,LIUJunCollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu,610068Abstract:Thecontrolpowerofcontrolledteleportationwiththree-qubitpurestateswhichhaveparametersaremainlystudied.Usingtwomethods:non-conditioneddelityandminimalcontrolpower,theauthorityofcontrollerisanalyzed.Itisveriedthatthesingle-parameterthree-qubitpurestatesusedasquantumchannelarenotappropriate.However,whenthesingleparticlequbitislimitedinacertainscope,thereexistsomesingle-parameterthree-qubitpurestates,evenanysingle-parameterthree-qubitpurestatesarecandidatesforquantumchannel.Formulti-parameterthree-qubitpurestates,weobtaintherangeofparameterswhichmakescontrolpowerbemeaningful.Atlast,someexpressionsofthree-qubitpurestatessatisfyingsomeconditionsarederived.Keywords:controlledteleportation;controlpower;delity0引言量子物理中,纠缠是最为奇特和令人困惑的现象.在量子信息处理中,纠缠往往起着至关重要的作用.量子隐形传态[1](Quantumteleportation)被认为是量子纠缠(Quantumentanglement)最为重要的应用之一.Bennett等人于1993年利用纠缠性质和经典通信实现了离物传态.随后,量子隐形传态在理论和实验方面得到了广泛研究[25].标准的单粒子基金项目：国家自然科学基金(11671284),高等学校博士点基金(20135134110003).作者简介：莫智文,男,教授,主要研究方向:量子信息与量子计算,不确定性理论及应用,e-mail:mozhiwen@263.net;刘军,男,博士研究生,主要研究方向:量子信息与计算,e-mail:liujun8476@163.com.-1- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn隐形传态方案只包含两方:发送方Alice,接收方Bob.他们预先共享一个最大纠缠的两粒子Bell态(Alice和Bob分别各自持有其中一个粒子).Alice首先对要传送的任意单粒子和她拥有的处于最大纠缠Bell态中的那个粒子做Bell基测量.然后,她将测量结果通过经典信道发送给Bob.最后,Bob根据测量结果,对自己拥有的粒子(处于最大纠缠Bell态中的那个粒子)做适当的酉操作,就能恢复出要传送粒子的量子态.量子隐形传态的一种变形-受控隐形传态于1998年由Karlsson等人[6]首次提出.在原方案中,三方(发送方Alice,控制方Bob,接收方Cli)共享一个三粒子最大纠缠GHZ态.隐形传态过程由控制方监督,在仅有控制方参与的情况下,才能使发送方到接收方成功实现量子隐形传态.随后,受控隐形传态也得到了进一步的发展,详细的可以参看文献[7-16].在受控隐形传态中,保持隐形传态的成功率和保真度的同时,确保控制方的权威是非常重要和必要的.在没有控制方参与的情形下,若受控隐形传态仍然能够获得较高的保真度,而控制方的身份又是极为重要的话,显然这样的受控隐形传态方案是非常不安全的,控制方的作用是无效的.之前关于受控隐形传态的研究大多关注方案的成功率和保真度,并未考虑控制方的权威性(Authority)或者控制力(Controlpower).其难点在于:如何度量权威性或者控制力,应该具有怎样的合理要求,如何方便地计算等等.正如纠缠一样,对一般情形的量子态并不像一些简单情形那样,容易度量和计算.2014年,Li和Ghose[17]首次对该问题进行了初步的研究,仅对量子信道中某一特定的一个粒子作为控制方进行具体的讨论.以三粒子部分纠缠态为信道,给出了一个基于无控保真度的控制力度量方法,讨论了其受控隐形传态的控制能力.其后,推广到了N方多粒子受控隐形传态方案中[18].2016年,Jeong,Kim和Lee[19]通过考虑量子信道中任何一个粒子作为控制方,推广了Li和Ghose的结果,给出的新定义刻画了用作受控隐形传态的量子信道整体的最小控制力.并计算了广义GHZ态,W类态以及N粒子标准GHZ态和W态的最小控制力.自然地会问:什么样的量子态适用作为受控隐形传态的量子信道,控制方能起着真正的控制作用呢?然而,一般情形下,无法完全给出适合的量子信道,仅能对给出的量子态进行判断其是否适用.因此,本文以一类单参数三粒子纯态[20]以及其推广形式(多参数三粒子纯态)作为受控隐形传态的量子信道进行研究.单参数三粒子纯态是由Nepal等人在文献[20]中首次发现的一类特殊的量子态.对拥有相同量子关联量的三粒子纯态,在多方稠密编码(Multiportdensecoding)容量方面,单参数三粒子纯态比其它任何三粒子纯态更有量子优势.因此,单参数三粒子纯态也称为最大可稠密编码量子态.2016年,Pandya等人在文献[21]中证明了这类态也是最大地违背Bell不等式[22]的一类态.对于3-tangle纠缠测量[23],单参数三粒子纯态的约化两粒子态展现了最大的Bell不等式违背性质.因此,此类态又被称为最大地Bell不等式违背态.单参数三粒子纯态具体形式如下:j000i+m(j010i+j101i)+j111iji=p;(1)2+2m2其中:m2[0;1].根据文献[24]可知,ji是真正的三粒子纠缠纯态.显然,单参数三粒子纯态-2- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn2不同于[17,19]中所用的量子态,这里采用3tangle[23]度量三粒子间的纠缠:=14m.(1+m2)2当m2[0;1),ji属于GHZ类态;当m=1,此时是W类态.本文利用文献[17]中的无控保真度方法和文献[19]中最小控制能力的方法来讨论含参数三粒子纯态作为量子信道时的控制力问题,并确定控制有意义时参数的取值范围.1单参数三粒子纯态受控隐形传态的控制力分析假设三方共享的单参数三粒子纯态ji123(表达式如(1))作为量子信道.其中:粒子1,2,3分别分配给Alice,Cli和Bob.假定Alice作为发送方,欲将任意单量子比特jiX=j0i+j1i(其中:;2C,而且满足jj2+jj2=1)发送给接收方Bob.Cli作为信道控制方,采用j0i;j1i基态对自己的粒子进行测量.从而j0i2(j00i+mj11i)13+j1i2(mj00i+j11i)13ji123=p:(2)2+2m2无论Cli的测量结果是j0i还是j1i,Alice和Bob的两量子态经过酉操作后均可以转换为:j00i+mj11ip.在Cli参与通信并将测量结果向Alice和Bob公布的情况下,Alice和Bob之间能够1+m22以2jmj的成功概率实现保真度为1的概率隐形传态[25].(1+jmj2)2j000i+j010i+j101i+j111i当m=1时,ji=,Alice和Bob之间能够成功实现保真度为1的隐形传22态.此时,=14m=0,即ji为W类态.(1+m2)2j000i+j111i4m2当m=0时,ji=p,=1(1+m2)2=1,即ji为GHZ态.采用文献[6]中的方案,2Alice和Bob之间也能够成功实现保真度为1的隐形传态,只是Cli所做的测量基不同.若Cli不参与通信,或者Alice和Bob没有得到Cli同意而进行隐形传态的情况下,考虑文献[17]中的无控保真度方法.此时,由ji和ji构成的复合量子系统=jiji按照Bell基展开:1=(j0i+j1i)Xp[j000i+m(j010i+j101i)+j111i]1232+2m21+=p[jiX1(j00i+mj10i+mj01i+j11i)2321+m2(3)+jiX1(j00i+mj10imj01ij11i)23++jiX1(mj01i+j11i+j00i+mj10i)23+jiX1(mj01i+j11ij00imj10i)23]:首先对粒子(X,1)进行局域Bell测量,粒子(2,3)的量子态记为23,然后对粒子2取偏迹得到粒子3的密度矩阵记为3.通过计算发现,无论Bell测量得到哪种结果,对粒子3做适当的酉操作后,粒子3均可以变成=1[jj2(1+m2)j0ih0j+2mj0ih1j31+m2+2mj1ih0j+jj2(1+m2)j1ih1j]:(4)-3- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn此时,隐形传态的无控保真度为:1422242f=[jj(1+m)+4jjjjm+jj(1+m)]:(5)1+m2显然,此保真度与要传的量子态有关.为了得到此信道的平均保真度,假设待传输的单粒子量子态是等可能地选取的.因此,令=cos;=ei"sin,则平均保真度22Z2Z1f=d"fsind:(6)400从而2(1+m+m2)f=:(7)3(1+m2)当m=0;f=2,即退化[6]的情形.3当m=1;f=1,Bob无需Cli的帮助就能成功恢复出要传的量子态,表明控制方完全不起控制作用.当m2(0;1),Bob得到量子态的平均无控保真度总是大于2.因为两方仅通过经典通信方式3传递量子态能达到的最优保真度为2-即经典保真度[26;27].3受控隐形传态方案加入控制方的目的应该是:在没有控制方参与的情形下,发送方与接收方传递量子态的保真度不能优于经典保真度.显然,此类单参数三粒子纯态不适宜用作任意单粒子受控隐形传态的量子信道.然而此类量子态可以作为一些特殊量子态的受控隐形传态,例如:赤道态ji=p1(j0i+ei"j1i).X2经过Bell测量和取偏迹后,粒子3的密度矩阵均可以转化为:12i"i"23=[(1+m)j0ih0j+2emj0ih1j+2emj1ih0j+(1+m)j1ih1j]:2+2m2此时,无控保真度为:1mf=+:(8)21+m2p为了保证控制方的权威,则需要使得f2成立,即0m322.3更进一步地,对于单粒子量子态j"i=j0i+j1i,令x=jj2或jj2,则44121jj+jj=2(x)+:(9)22pp当jj2;jj22[13;1+3],可得jj4+jj42.从而,必然存在合适的参数m,使得无控保26263真度f2.3下面考虑单参数三粒子纯态的最小控制力首先给出隐形传态保真度与完全纠缠分数[28;29]的概念及其之间的关系.标准的单粒子隐形传态保真度定义如下:ZF()=dhj(jihj)ji;(10)-4- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn其中:ji为隐形传态的输入初态,(jihj)是以两粒子态为量子信道的输出态,积分是对所有单量子比特纯态的均匀分布d进行的.量子态的完全纠缠分数(fullyentangledfraction)定义为:f()=maxhejjei;(11)e其中jei为任意的两量子比特最大纠缠态.对于给定的两量子比特态,可取得的最大隐形传态保真度F()与完全纠缠分数f()之间存在如下关系:2f()+1F()=F()=:(12)3因为经典隐形传态保真度F最优为2(或者完全纠缠分数至多为1),所以量子态(作为信32道)对隐形传态是有用的当且仅当F()>2或者f()>1.32下面给出文献[19]中关于任意单粒子的受控隐形传态(简称:CT)最小控制力的概念.令


n是n量子比特态,J是f1;2;


;ng的n2元子集,FJ是对子系统J测量后剩余子12CT系统kl的两量子比特态可取得的最大隐形传态保真度.n22X1JytFCT=maxhtjUJJUJjtiF(kl);(13)t=0其中:J=fj1;j2;


;jn2gf1;2;


;ng,UJ=Uj1Uj2


Ujn2,J=j1j2


jn2;fk;lg=f1;2;


;ngnJ.最大值是在所有的22酉算子Uj1;Uj2;


;Ujn2中取得.t是局域测量子系统J后当测量结果是t时剩余子系统kl的量子态.kl对所有Jf1;2;


;ng,jJj=n2,可类似定义fJ.对所有的J,CT2fJ+1JCTFCT=:(14)3n量子比特态12


n的控制力P定义如下:JJJtP12


n:=minfP12


ng;其中:P12


n:=FCTF(kl):(15)J对于量子态,最小控制力P是有意义的当且仅当FJ>2;F(t)62,对所有的J;k;l,12


nCT3kl3且J[fk;lg=f1;2;


;ng.对于三粒子纯态,最大的隐形传态保真度Fj与部分tangle-[30]有如下关系:jklCTklj2+klF=;(16)CT3p其中:C是Wootters等人定义的Concurrence[31],=+C2;C()=C(tr),klklkljjkl=C2C2C2;C2=C2().k(lj)klkjk(lj)k(jl)另一方面,F(t)与关联矩阵T有如下关系[32]:kl3+kTjk1F(kl)=;(17)6-5- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn其中:j;k;l2f1;2;3g;Tj是33的实矩阵,其矩阵元素(m;n)是tr[()],klmnpm为Pauli矩阵.k
k1是迹范数,即:kMk1=trMyM,对任意矩阵M.因此,对于三粒子纯态,最小控制力P是有意义的当且仅当每个部分tangle是严格正的,每个kTjk是不大于1.即:1jkl>0;kTk11;对所有不同的j;k;l2f1;2;3g:(18)22(1m)对于单参数三粒子纯态ji;=(1+m2)2,其约化密度矩阵如下:011m00BC1Bmm200C12=BBCC;(19)2+2m2@00m2mA00m10110m0BC1B0m20mC23=BBCC;(20)2+2m2@m0m20A0m01011+m2002mBC1B0000C13=BBCC:(21)2+2m2@0000A2m001+m2对应的Concurrence为:C()=C()=0;C()=2m.1223131+m22部分tangle为:==1m;=1.12231+m213关联矩阵Tj如下:01000BCT3=B000C;(22)@A2001m1+m201000BCT1=B000C;(23)@A2001m1+m2012m00B1+m2CT2=B02m0C:(24)@1+m2A001-6- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn从而1m24m312kTk1=kTk1=;kTk1=1+:(25)1+m21+m2111m2114mF(12)=F(23)=+();F(13)=+(1+):(26)261+m2266(1+m2)因此最小控制力P为:12mP(")=(1):(27)31+m2最小控制力P有意义当且仅当m=0时,FJ>2;F(t)62,此时P()=1.CT3kl332多参数三粒子纯态受控隐形传态的控制力分析为进一步寻找出适合受控隐形传态的量子信道,本节将单参数量子态推广到更一般的情形:ji123=1j000i+2j010i+3j101i+4j111i;(28)P4其中:2=1;2R;i=1;2;3;4;=4()2.i=1ii1423假设如上三粒子纯态ji123作为量子信道,其中粒子1,2,3分别分配给Alice,Cli和Bob.假定Alice作为发送方,欲将任意单量子态发送给接收方Bob.Cli作为信道控制方,采用j0i;j1i基态对自己的粒子进行测量.从而ji=j0i(1j00i+3j11i)+j1i(2j00i+4j11i):(29)无论Cli的测量结果是j0i还是j1i,在Cli参与通信并将测量结果向Alice和Bob公布的情况下,Alice和Bob之间能够以一定的概率成功实现保真度为1的受控隐形传态[25].当=;=时,Alice和Bob之间能够成功实现保真度为1的隐形传态.此时,1324=0;ji为W类态.若Cli不参与通信,或者Alice和Bob没有得到Cli同意而进行隐形传态的情况下,采用文献[17]中的无控保真度方法.此时,由X和ji123构成的复合量子系统对粒子(X,1)进行局域Bell测量,对粒子2取偏迹得到粒子3的密度矩阵记为3.通过计算发现,此信道的无控平均保真度为:2f=(1+j13+24j);(30)3显然f2.因此,在没有控制方Cli参与的情形下,受控隐形传态方案若要保证控制方的3权威,则需要13+24=0成立.即从发送方Alice到接收方Bob传递量子态的保真度不超过经-7- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn典保真度,否则此类三粒子纯态就不适宜用作任意单粒子受控隐形传态的量子信道.当然也存在满足条件的量子态,例如:ji123=(j000i+j111i)+(j010ij101i).下面我们对此类三粒子纯态的最小控制力进行分析.对于三粒子纯态ji;=4()2,其约化密度矩阵如下:123142301200112BCB200C=B122C;(31)12B2C@00334A00234401200112BCB020C=B334C;(32)23B2C@12020A002344012+200+121324BCB0000C13=BBCC:(33)@0000A+002+2132434对应的Concurrence为:C(12)=C(23)=0;C(13)=2(13+24).p部分tangle为:==2jj;=2(2+2)(2+2).12231423131234关联矩阵Tj如下:01000BCT3=B000C;(34)@A2()02+2(2+2)1234142301002(1234)BCT1=B000C;(35)@A002+2(2+2)1423012(13+24)00BCT2=B02(+)0C:(36)@1324A001从而-8- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cnqkT3k=kT1k=[(2+2)(2+2)]2+4()2;(37)11142312342kTk1=1+4j13+24j:(38)最小控制力P有意义时当且仅当13+24=0成立.此时,最小控制力p2j1423j(ji123)P==:(39)33下面讨论参数的几种特殊情形,并得到相应的ji123的表达式.(1)当2+2=2+2时,可令1234pp221=sin;2=cos;22pp223=sin;4=cos;22代入等式可得cos()=0.从而,1=4;2=3或者1=4;2=3.由3;4的值可交换,则有1=3;2=4或者1=3;2=4.即量子信道为ji123为:ji=(j000i+j111i)+(j010ij101i);ji=(j000ij111i)+(j010i+j101i);ji=(j000i+j101i)+(j010ij111i);ji=(j000ij101i)+(j010i+j111i):(2)当2+2=2+2时,同理可得=;=或者=;=.或132412341234者1=4;2=3或者1=4;2=3.即量子信道为ji123为:ji=(j000i+j010i)+(j101ij111i);ji=(j000ij010i)+(j101i+j111i):(3)当2+2=2+2时,同理可得,所得结果与(1),(2)重复,不再罗列.14233小结为了信息安全,在协议中加入控制方,能有效地监督和控制发送方与接收方之间的信息传递.本文以无控保真度和最小控制力两种方法讨论了单参数和多参数三粒子纯态为信道的控制力问题.要得到对任意单粒子受控隐形传态有效的多参数三粒子纯态表达式,一般情形下是比较困难的,仅给出了几种特殊情形时的表达式.可以看出:无控保真度方法对某一特定粒子作为控制方能够给出定量刻画,做出判断.对于多粒子量子信道,最小控制力需要进行最值运算,一般情况下计算都是比较麻烦的.另外,本章以p含参三粒子纯态ji123作为量子信道,其纠(ji123)缠(ji123)与最小控制力P具有这样的关系:P=.对于其它量子态为信道时,纠缠与3最小控制力关系是怎样的呢?这是需要进一步研究的课题.-9- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn参考文献（References）[1]BennettCH,BrassardG,CrepeauC,etal.TeleportinganunknownquantumstateviadualclassicalandEinstein-Podolsky-Rosenchannels[J].Physicalreviewletters,1993,70(13):1895.[2]BouwmeesterD,PanJW,MattleK,etal.Experimentalquantumteleportation[J].Nature,1997,390(6660):575-579.[3]FurusawaA,S?rensenJL,BraunsteinSL,etal.Unconditionalquantumteleportation[J].Science,1998,282(5389):706-709.[4]BoschiD,BrancaS,DeMartiniF,etal.Experimentalrealizationofteleportinganun-knownpurequantumstateviadualclassicalandEinstein-Podolsky-Rosenchannels[J].PhysicalReviewLetters,1998,80(6):1121.[5]KimYH,KulikSP,ShihY.QuantumteleportationofapolarizationstatewithacompleteBellstatemeasurement[J].PhysicalReviewLetters,2001,86(7):1370.[6]KarlssonA,BourennaneM.Quantumteleportationusingthree-particleentanglement[J].PhysicalReviewA,1998,58(6):4394.[7]TingG,Feng-LiY,Zhi-XiW.Controlledquantumteleportationandsecuredirectcom-munication[J].ChinesePhysics,2005,14(5):893.[8]GaoT,YanFL,LiYC.Optimalcontrolledteleportation[J].EPL(EurophysicsLetters),2008,84(5):50001.[9]YanF,WangD.Probabilisticandcontrolledteleportationofunknownquantumstates[J].PhysicsLettersA,2003,316(5):297-303.[10]Xi-HanL,Fu-GuoD,Hong-YuZ.Controlledteleportationofanarbitrarymulti-quditstateinageneralformwithd-dimensionalGreenberger{Horne{Zeilingerstates[J].ChinesePhysicsLetters,2007,24(5):1151.[11]YangCP,ChuSI,HanS.Ecientmany-partycontrolledteleportationofmultiqubitquantuminformationviaentanglement[J].PhysicalReviewA,2004,70(2):022329.[12]DengFG,LiCY,LiYS,etal.Symmetricmultiparty-controlledteleportationofanarbitrarytwo-particleentanglement[J].PhysicalReviewA,2005,72(2):022338.[13]ZhouP,LiXH,DengFG,etal.Multiparty-controlledteleportationofanarbitrarym-quditstatewithapureentangledquantumchannel[J].JournalofPhysicsA:MathematicalandTheoretical,2007,40(43):13121.-10- 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