时变时滞多智能体系统的鲁棒一致性控制.pdf 14页

'中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn#时变时滞多智能体系统的鲁棒一致性控制**李平，秦开宇（电子科技大学航空航天学院，成都611731）5摘要：本文研究具有时变时滞、外部扰动和参数不确定性的多智能体系统的鲁棒一致性控制问题。首先，设计了一个基于邻居状态反馈的分布式控制协议。通过一种解耦方法，多智能体系统鲁棒一致性控制问题转换成解耦子系统的鲁棒H∞控制问题。然后基于解耦子系统，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法和线性矩阵不等式的凸性，推导出较低复杂度的时滞相10关鲁棒一致性的充分条件。基于此条件，利用一种圆锥补线性化算法和一种迭代算法，提出了鲁棒H∞一致性控制器的综合规则和算法。最后，通过数值仿真验证所获得理论成果的正确性和算法的有效性。关键词：多智能体系统；一致性；鲁棒控制；时滞；不确定性。中图分类号：TP1315RobustConsensusforMulti-agentSystemswithTime-varyingDelayLIPing,QINKaiyu(SchoolofAstronauticsandAeronautics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyof20China,Chengdu611731)Abstract:Inthispaper,robustconsensuscontrolproblemsareinvestigatedformulti-agentsystemswithparameteruncertainties,externaldisturbancesandtime-varyingdelay.Firstly,adistributedcontrolprotocolbasedonstatefeedbackofneighborsisdesigned.Byadecouplingmothod,robustconsensuscontrolproblemofmulti-agentsystemsistransformedintorobustH∞controlproblemsofthese25decouplingsubsystems.Then,basedonthesedecouplingsubsystems,byusingLyapunov-KrasovskiifunctionalandtheconvexpropertyofLinearmatrixinequalities(LMIs),asufficientdelay-dependentconditionoflowercomplexityisderivedtoachieverobustconsensusforsuchmulti-agentsystems.Basedonthiscondition,byusingaconecomplementaritylinearizationalgorithmandaniterativealgorithm,synthesiscriterionandalgorithmforrobustcontrollerareproposed.Finally,simulation30resultsareprovidedtoillustratetheeffectivenessofourtheoreticalresultsandalgorithms.Keywords:multi-agentsystems;consensus;robustcontrol;time-delay;uncertainty.0引言35在实际应用中，多智能体系统作为一种分布式网络化的系统，不可避免的受到时滞、外部扰动和参数不确定性等因素的影响，而这些因素可能影响到多智能体系统的稳定性。而多智能体系统的鲁棒一致性控制就是研究这些因素对多智能体系统一致性的影响。最近十年，多智能体系统的鲁棒一致性控制问题吸引越来越多学者的关注，也取得一些研究成果[1-13]。Lin等人在文献[1]和[2]中分别研究了具有固定时滞和不确定性的一阶和二阶多智能体系统40鲁棒一致性控制问题，利用Lyapunov方法，推导出了此类系统实现鲁棒一致性控制的充分条件。Li等人在文献[3]中研究了多智能体系统的鲁棒和一致性，利用矩阵工具，推导出实现鲁棒一致性控制的充要条件。Liu等人在文献[4]中研究了具有通信时滞和不基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金：20130185110023作者简介：李平（1985年-），男，博士研究生，主要研究方向：多智能体系统协调控制通信联系人：秦开宇（1967年-），男，教授，博导，主要研究方向：复杂电子系统仿真、测试、验证与评估技术，空间复杂电子系统.E-mail:kyqin@uestc.edu.cn-1- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn确定性的多智能体系统的鲁棒一致性问题，给出实现鲁棒一致性的充分条件。Chen等人在文献[5]中研究了具有时变时滞的二阶多智能体系统的鲁棒一致性问题。Popov等人在45文献[6]中研究了具有通信时滞的多智能体系统的鲁棒一致性问题。Han等人在文献[7]中研究了具有多项式不确定性多智能体系统的鲁棒一致性控制。Hu等人在文献[8]中研究了多智能体系统鲁棒一致性控制器综合问题。Lv等人在文献[9]中研究具有外部扰动和有向拓扑结构的多智能体系统的鲁棒一致性问题，提出了一种分布式自适应鲁棒一致性协议。然而，上述研究均为考虑同时具有时变时滞、外部扰动和参数不确定性的多智能体系统，50比如：文献[1,2,4]没有考虑时变时滞；文献[5,10]没有考虑外部扰动；文献[8,11]没考虑参数不确定性；文献[7,12]没有考虑时变时滞和外部扰动；文献[6,13]没有考虑外部扰动和参数不确定性；文献[3,9]没有考虑时变时滞和参数不确定性。本文将考虑同时具有时变时滞、外部扰动和参数不确定性对多智能体系统，分析这些因素对一致性的影响，并提出合适的鲁棒控制算法，使多智能体系统实现一致性并满足期望的鲁棒性能指标。551预备知识下面介绍一些与本文直接相关的图论基础知识。令指标集，表示具有个节点的简单有向图（即没有重边和自环的有向图），其中，表示图的节点集，表示表示图的边集，表示图60的邻接矩阵。本文如果没有特别说明，所提到的图都是指简单图。如果存在一条从节点到节点的有向边，则，否则，其中，节点称为边的始点，节点称为边的终点。由于图是简单图，无自身到自身的边，即对任意，。若对任意都有，则称图为无向图。若，则节点称为节点的邻居。节点的所有邻居所组成的集合称为节点的邻集，记为，即。对任意节点65的入度和出度分别定义为和。若对任意节点的入度和出度都相等，则称图为平衡图。定义图的出度矩阵，则图的Laplacian矩阵。2问题描述70考虑一个由个高阶智能体组成的多智能系统，对应拓扑结构用一个无向图表示。每个智能体被当成无向图的一个节点；每一条边代表智能体和可用的信息通道。假定每一个智能体的动态方程如下：(1)其中，表示第个智能体的状态变量；75表示第个智能体的控制输入（或者称控制协议）；表示第个智能体的外部扰动，（）；，和是适合维数的常数矩阵；是一个时变函数矩阵，代表智能体的参数不确定性，且，其中，和是适合维数已知的常数-2- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn矩阵，而当时不确定函数矩阵满足。80令则多智能体系统的动态方程如下：(2)定义1：如果多智能体系统(2)对均有85(3)则称多智能体系统(2)达到一致性。为了进一步研究多智能体系统(2)一致性的鲁棒性能，我们定义一个向量函数，其中，测量第个智能体状态与所有智能体平均状态（即系统的一致状态分量）的差值，它的计算方式如下：90(4)若能被满足，则对均有，即多智能体系统(2)达到一致性。这就暗示能够定量地反映多智能体系统非一致状态分量的变化且的模可以反映一致性的性能。因此，为了进一步分析一致性的行为，可以定义为多智能体系统(2)的输出函数。进而，多智能体系统(2)的动态方程可以改写成如下形式：95(5)其中，，，。根据鲁棒控制理论，多智能体系统(5)对外部扰动的抑制能力可以用外部扰动到输出函数的传递函数矩阵的范数来定量测量。因此，我们给出如下定义。定义2：若多智能体系统(5)达到一致性，且对给定常数，满足100(6)则称多智能体系统(5)达到一致性并满足鲁棒性能指标，本文简称多智能体系统实现鲁棒一致性。本章的目标就是设计合适的分布式控制协议使多智能体系统实现鲁棒一致性，并进一步设计控制协议参数的优化算法。1053分布式控制协议设计为了实现多智能体系统的鲁棒一致性，基于智能体邻居的状态信息，我们设计了如下分布式控制协议：(7)其中，待定的反馈矩阵，是智能体与之间的连接权重参数，表示被测110量和通信等因素引起的时变时滞，它满足条件：-3- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn(8)将分布式控制协议代入多智能体系统的动态方程(5)，我们可以推导出多智能体系统(5)的闭环动态方程如下：(9)115其中，是图的Laplacian矩阵。到目前为止，我们虽然已经有了分布式控制协议，但是协议中的反馈矩阵仍然待定，下面的部分我们将推导出反馈矩阵应该满足的条件和计算方法。4鲁棒一致性性能分析4.1一些必要的引理[14]120引理1（系统解耦）：假设无向图是连通图，对给定常数，多智能体系统(9)实现鲁棒一致性，如果下列个解耦子系统同时渐进稳定并满足（）：(10)其中，是Laplacian矩阵的正特征值，。[15]125引理2（Schur补公式）：若给定实对称矩阵，其中，，，。则的充要条件是且，或者且。4.2时滞相关有界实条件为了后续讨论的方便，考虑如下时变时滞系统：130(11)利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法、Jensen不等式和Newton-Leibniz公式等工具推导出关于系统(11)的时滞相关有界实（BoundedRealLemma,BRL）条件。引理3(BRL)：给定常数，如果存在适合维数的正定矩阵，，，和矩阵，，，使得如下线性矩阵不等式（LMI）成立：135(12)则系统(11)渐进稳定并满足，其中，-4- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn证明：对于系统(11)，定义Lyapunov-Krasovskii泛函如下：(13)140其中，计算可得，(14)其中，（）如下：145(15)(16)(17)(18)对于任意合适维数的矩阵，，和，利用Newton-Leibniz公式，我们可以构150造如下公式：(19)对于任意向量和任意正定矩阵，有如下平方不等式：(20)根据平方不等式(20)，我们可以构造如下不等式：155(21)-5- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn根据Jensen不等式和，我们可得(22)因此，从不等式(21)和不等式(22)，可得160(23)相似地，我们可得(24)将公式(19)的加到等式(18)的右边，再用不等式(23)和不等式(24)代替对应项，我们可得165(25)定义一个增广状态变量。将在公式(15)、(16)、(17)和(25)中计算得到的代入公式(14)。我们可以得到(26)170其中，(27)-6- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn综上所述，若成立，则有175一方面，当时，对任意，均有。因此，根据Lyapunov稳定性理论，可以确保系统(11)在无外部扰动时是全局渐进稳定。另一方面，将不等式两边同时进行0到正无穷的积分可得(28)由于和，因此可得180最后，利用引理2（Schur补公式）处理不等式可以得到不等式(12)。证明完毕。■4.3时滞相关鲁棒一致性条件下面部分我将在上文引理3基础上进步推导出多智能体系统(9)实现鲁棒一致性的条件。定理1（鲁棒一致性条件）：假设无向图是连通图，对给定扰动抑制指标，如果存在正定185矩阵，矩阵和正数，使得对于和，如下线性矩阵不等式（LMI）均成立：(29)则利用分布式控制协议(7)，多智能体系统(5)可以实现鲁棒一致性。其中，190证明：根据引理3(BRL)，解耦后的子系统(10)渐进稳定并满足（）的充分条件是：存在正定矩阵和矩阵，使得如下矩阵不等式成立：(30)其中，-7- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn195注意到，我们可以定义如下矩阵：然后可得(31)200其中，注意到，根据平方不等式(20)，因此如果存在一个正数使得如下矩阵不等式成立：(32)205则保证不等式(30)成立。然后利用引理2处理不等式(32)，可得不等式（见不等式(29)。由于线性矩阵不等式的凸性，只需要最小特征值和最大特征值对应的和同时成立，就能保证对任意不等式均成立。基于上面的分析，当和同时成立时，对任意不等式均成立。再根据引理3，对任意，解耦后的子系统(10)渐进稳210定并满足。最后根据引理1，多智能体系统(9)实现鲁棒一致性。也就是说，利用分布式控制协议(7)，多智能体系统(5)实现鲁棒一致性。证明完毕。■5时滞相关鲁棒一致性控制器综合5.1控制器综合规则虽然定理1已经给出了多智能体系统(5)实现鲁棒一致性的条件，但是还不没有给出分215布式控制协议中的未定状态反馈矩阵的直接计算方法。下面的部分将进一步控制协议参数的计算方法。定理2：假设无向图是连通图，对给定扰动抑制指标，如果存在正定矩阵，矩阵，和正数，使得对于和，如下矩阵不等式均成立：220(33)其中，-8- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn则利用分布式控制协议(7)，多智能体系统(5)可以实现鲁棒一致性，并且控制协议中的反馈矩阵。225证明：根据引理3，解耦后的子系统(10)渐进稳定并满足（）的充分条件是：存在正定矩阵和矩阵，使得如下矩阵不等式成立：(34)其中，230由于线性矩阵不等式的凸性，只需要最小特征值和最大特征值对应和同时成立，就能保证对任意不等式均成立。将矩阵不等式(34)的两边同时左乘和右乘正定块对角矩阵，再利用变量代换：，，，，235，，和，则矩阵不等式被等价转化为(35)其中，-9- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn240注意到可以分解成如下两部分之和的形式：(36)其中，一方面，可以被改写成，其中，245另一方面，根据平方不等式(20)，可以构造如下不等式：(37)其中，是任意正定矩阵。因此，如果如下矩阵不等式成立：(38)250则有成立。然后，定义，利用引理2（Schur补公式）处理矩阵不等式(38)，可得如下矩阵不等式：(39)其中，-10- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn255注意到，我们可以定义如下矩阵：(40)然后可得(41)260其中是将中的用替换后得到的矩阵。注意到，根据平方不等式(20)，因此如果存在一个正数使得如下矩阵不等式成立：(42)则有成立。然后，利用引理2（Schur补公式）处理矩阵不等式(42)，并且用变量代换：265，，，，，和，则可以得到矩阵不等式条件（见矩阵不等式(33)）。基于上述分析，如果和同时成立并且，则子系统(10)同时渐进稳定并满足。最后根据引理1，多智能体系统(9)实现鲁棒一致性。也就是说，利用分布式控制协议(7)并且，多智能体系统(5)实现鲁棒一致性。证270明完毕。■5.2控制器综合算法由于存在非线性项，矩阵不等式鲁棒条件(33)还不是一个LMI形式，因此还不能直接用LMI方法求解。但是利用圆锥补线性化算法（Cone-complementaryLinearization[16]Algorithm），不等式(33)求解问题可以转换成LMI优化问题。275首先，定义一个新正定矩阵变量，并且满足。因此可以推导出(43)利用引理2（Schur补公式）处理矩阵不等式(43)，并且用变量代换：，和，不等式(33)可以变换为：(44)280和(45)-11- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn然后，我们可以解决如下优化问题并找到满足的可行解。(46)其中，表示矩阵的迹。285基于上述分析，为了求解矩阵不等式鲁棒条件(33)，我们设计如下算法：算法1：步骤1：对于给定的常数，和，求解LMIs(44)和(45)，得到一个可行解集：，并令计数变量。步骤2：解决如下优化问题290(47)然后令，，，，，。步骤3：如果成立，则保存当前和，然后结束求解；否则，计数变量，返回步骤2继续求解。如果达到预先设置的最大迭代次数还未找到满足的可行解，则无可行解，结束求解。295如果通过上述算法获得一组可行解，对于给定扰动抑制指标，利用分布式控制协议(7)，多智能体系统(5)可以实现鲁棒一致性，并且控制协议中的反馈矩阵。6数值仿真为了验证前文所得到的理论结果正确性和算法的有效性，本部分将进行数值仿真。考虑一个由个高阶智能体组成的多智能体系统，每一个智能体的动态方程如(1)，其中300对应的拓扑结构如图1所示：图1拓扑结构Fig.1Topologicalstructure305假设图1的每个非零边权重，因此对应Laplacian矩阵如下：故最小非零特征值，最大非零特征值。假设外部扰动：-12- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn假设多智能体系统的初始状态。假设扰动抑制指标，时变时滞310（即）。根据定理2和算法1，我们可以计算出反馈矩阵如下：320图2输出函数第一个变量的轨迹图3输出函数第二个变量的轨迹Fig.2TrajectoriesofthefirstvariablesofoutputFig.3Trajectoriesofthesecondvariablesofoutput315functionfunction图4输出函数第三个变量的轨迹325图5输出函数第四个变量的轨迹Fig.4TrajectoriesofthethirdvariablesofoutputFig.5Trajectoriesofthefourthvariablesofoutputfunctionfunction图6外部扰动和测量输出的能量轨迹330Fig.6Energytrajectoriesofoutputfunctionandexternaldisturbance一方面，图2、图3、图4和图5分别显示了所有智能体输出函数-13- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn第一个、第二个、第三个和第四个变量的轨迹，其中（）。图2、图3、图4和图5清晰地显示所有智能体的所有状态渐进到达一致，即多智能体系统实现一致性。335另一方面，图6显示外部扰动和测量输出的能量轨迹。图6清晰地显示出成立，也就是说，达到了预先设定的鲁棒性能指标。综上所述，利用分布式协议(7)，并且根据定理2和算法1计算出控制协议中的反馈矩阵，多智能体系统可以实现期望的鲁棒一致性，因此验证定理2的正确性以及算法1的有340效性。7结论本文研究具有时变时滞、外部扰动和参数不确定性的多智能体系统的鲁棒一致性控制问题，主要贡献如下：1）同时考虑了时变时滞、外部扰动和参数不确定性对多智能体系统一致性的影响；2）推导出一个较低复杂度的时滞相关鲁棒一致性条件；3）提出了一种较低计345算复杂度的鲁棒一致性控制器的综合规则和算法。[参考文献](References)[1]P.Lin,Y.Jia,L.Li.DistributedrobustH∞consensuscontrolindirectednetworksofagentswithtime-delay.Systems&ControlLetters[J],2008,57(8):643-653[2]P.LinandY.Jia.RobustH∞consensusanalysisofaclassofsecond-ordermulti-agentsystemswith350uncertainty[J].IETofControlTheory&Applications,2010,4(3):487-498[3]Z.Li,Z.Duan,G.Chen.OnH∞andH2performanceregionsofmulti-agentsystems[J].Automatica,2011,47(4):797-803[4]Y.LiuandY.Jia.RobustH∞consensuscontrolofuncertainmulti-agentsystemswithtimedelays.InternationalJournalofControlAutomationandSystems,2011,9(6):1086-1094355[5]G.Chen,F.L.Lewis.Robustconsensusofmultipleinertialagentswithcouplingdelaysandvariabletopologies.InternationalJournalofRobustandNonlinearControl,2011,21(6):666-685[6]A.Popov,H.Werner.Robuststabilityofamulti-agentsystemunderarbitraryandtime-varyingcommunicationtopologiesandcommunicationdelays[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2012,57(9):2343-2347[7]D.Han,G.Chesi,Y.S.Hung.Robustconsensusforaclassofuncertainmulti-agentdynamicalsystems[J].360IEEETransactionsonIndustrialInformatics,2013,9(1):306-312[8]Y.Hu,P.Li,J.Lam.OnthesynthesisofH∞consensusformulti-agentsystems[J].IMAJournalofMathematicalControlandInformation,2015,32(3):591-607[9]Y.Lv,Z.Li,Z.Duan.Noveldistributedrobustadaptiveconsensusprotocolsforlinearmulti-agentsystemswithdirectedgraphsandexternaldisturbances[J].InternationalJournalofControl,2017,90(2):153-163365[10]D.Lee.Robustconsensusoflinearsystemsondirectedgraphwithnon-uniformdelay[J].IETControlTheryandApplications,2016,10(18):2574-2579[11]H.Yang,L.Guo,H.Zou.Robustconsensusofmulti-agentsystemswithtime-delaysandexogenousdisturbances[J].InternationalJournalofControlAutomationandSystems,2012,10(4):797-805[12]Z.Wang,W.Wang,H.Zhang.Robustconsensusforlinearmulti-agentsystemswithnoises[J].IETControl370TheryandApplications,2016,10(17):2348-2356[13]Z.Li,Z.Duan,L.Xie,etal.Distributedrobustcontroloflinearmulti-agentsystemswithparameteruncertainties.InternationalJournalofControl,2012,85(8):1039-1050[14]Y.LiuandY.Jia.consensuscontrolformulti-agentsystemswithlinearcouplingdynamicsandcommunicationdelays[J].InternationalJournalofSystemsScience,2012,43(1):50-62375[15]B.Boyd,L.E.Ghaoui,E.Feron,etal.Linearmatrixinequalitiesinsystemandcontroltheory[M],Philadelphia,PA:SIAM,1994.[16]L.ElGhaoui,F.Oustry,M.AitRami.Aconecomplementaritylinearizationalgorithmforstaticoutput-feedbackandrelatedproblems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1997,42(8):1171–1176-14-'