第十九章《四边形》单元总复习题(含答案).doc 14页

'第十九章《四边形》提要：本章重点是四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.本章难点在于四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面学习三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思不容易理解，所以是难点.习题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n个图形中有白色地面砖块．图19-2图19-13．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________．4．在正方形ABCD所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD为菱形,∠A=60°,对角线BD长度为10cm，则此菱形的周长cm．6．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是__________cm2．7．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm，则△AOC的周长为_______．8．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________,∠B=__________．9．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，两底分别是15cm和49cm，则等腰梯形的腰长为______．10．用一块面积为450cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条cm．11．已知在平行四边形ABCE中,AB=14,BC=16,则此平行四边形的周长为.12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明-14- （只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD的对线AC、BD相交于点O.那么图中共有个等腰ABCDO图19-3直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成;（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.15．矩形的两条对角线的夹角为,较短的边长为12,则对角线长为.16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为和.17．平行四边形的周长为24,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________.11图19-4ABCDO图19-518．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为.19．已知菱形的两条对角线长为12和6,那么这个菱形的面积为.20．如图19-5,是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:（1）AB∥CD;（2）AB=CD;（3）ABBC;（4）AO=OC.其中正确的结论是.（把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形（腰与底边不相等）；④等边三角形；⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（）A．②③B．②③④C．①③④⑤D．①②③④⑤22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）ABCD图19-6-14- 23．四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3，则这个四边形是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形24．要从一张长40cm，宽20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片则最多能剪出（）A．1张B．2张C．3张D．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE︰EF︰FB为（　　　　）ADCBFE图19-7·　A．1︰2︰3　　　B．2︰1︰3C．3︰2︰1D．3︰1︰226．下列说法中错误的是（　　　　）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B．两条对角线相等的四边形是矩形；C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D．两条对角线相等的菱形是正方形．27．下列说法正确的是（）A．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A、B、C、D在同一平面内，从①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（　　）A．①②　　　B．②③C．①③D．③④29．已知ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB=CDB．AC=BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=90°时，它是矩形30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A．大于2，B．小于14C．大于2且小于14D．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（）A．4种B．5种C．7种D．8种32．下列说法中,错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是（）-14- A．矩形B．菱形C．正方形D．菱形、矩形或正方形35．如图19-8,直线∥,A是直线上的一个定点,线段BC在直线上移动,那么在移动过程中的面积（）A．变大B．变小C．不变D．无法确定ABC图19-9图19-10图19-1136．如图19-10,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则等于（）A．B．C．D．37．如图19-11,在中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是（）A．5B．10C．15D．2038．已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（3）如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（）A．（1）（2）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（3）（4）三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD//BA,四边形AEBC是平行四边形．请说明：∠ABD＝∠ABE．DAEBC图19-1240．如图19-13，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC,　设MN-14- 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）说明EO＝FO；AEBCFONMD图19-13（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明你的结论．AEBDCF1图19-142O41．如图19-14，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．42．如图19-15，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．图19-15ABNMCDO图19-16AFBCED43．如图19-16，等腰梯形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AB于F，如果AB=6，EF-14- =5，求梯形ABCD的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求；②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）图19-1745．如图19-18,在正方形ABCD中,M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．DABCMEN图19-18试说明：MD=MN．ABCD46．如图19-19,中,DB=CD,,AE⊥BD于E.试求的度数.-14- 图19-19ABCD图19-2047．如图19-20,中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,.（1）试说明DF=BG;（2）试求的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH;（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:;（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:.（图①）（图②）（图③）（图④）图19-21-14- 49．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC的长．图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数。图19-2351．如图19-24，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，P在BC上，且AP=PC+CD，求证：AQ平分∠DAP。图19-23-14- 52．已知四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形,并说明理由.53．如图19-24,直线MN经过线段AC的端点A,点B、Ｄ分别在和的角平分线AE、AF上,BD交AC于点O,如果O是BD的中点,试找出当点O在AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形,并说明理由.图19-2454．如图19-25，李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.ABCD图19-25-14- ABCPFE（E）（A）图19-2655．如图19-26，在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，⑴在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；⑵在△ABC中，增加条件，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；⑶在△ABC中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.图示1ABCPFE（E）（A）图示2图示3图示4图示5-14- 参考解析一、填空题1．A=b（点拨：利用矩形的面积等于长与宽的积．）2．（1）18；（2）4n+2（点拨：每相邻两个大正六边形有两块白色地砖是公共的，因此第n个图形中有白色地面砖4n+2块．）3．正方形（点拨：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．）4．5个点（点拨：正方形的中心O；正方形四个外角角平分线的交点．）5．40（点拨：当∠A=60°时，菱形的边长等于它较短的对角线长．）6．32（点拨：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形．）7．13㎝（点拨：平行四边形的对角线互相平分，则OA+OB=7㎝．）8．110°,110°（点拨：平行四边形的对角相等，邻角互补．）9．34㎝（点拨：过点A作腰的平行线得到等边三角形，则腰长等于两底的差．）10．60（点拨：设对角线长为a，过上底的一个端点作对角线的平行线，与下底及梯形的另一条腰构成等腰直角三角形，则它的面积=a2=450，a=30．）11．60．12．平行四边形;有一组邻边相等．13．8．提示:它们是答图19-114．（1）等腰直角三角形;（2）等腰三角形;（3）直角三角形．15．24．16．135;45．17．3．18．4．（点拨：如图19-1所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1的正方形,所以它的周长为4．19．36．提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半．20．（1）（2）（4）．提示:四边形ABCD是菱形．21．C（点拨：当两块三角板的最小边重合时，可得到平行四边形或腰和底边不相等的等腰三角形；当它们的斜边重合在一起时，可得到矩形．）22．C（点拨：图（B）绕小正方形的中心旋转180°，能与原来的图形重合．）23．C（点拨：四边形的四个内角分别为90°、90°、45°、135°．）24．C（点拨：在矩形的长上依次剪三个12㎝，再在宽上剪18㎝．）25．B（点拨：BE=BC=4，AE=2，BF=3，则EF=BE－BF=1．）26．B（点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．）27．C（点拨：菱形也是中心对称图形，A错；角不是中心对称图形，B错．）28．B（点拨：由①②，①③，③④，②④的组合都能得到平行四边形．）29．B（点拨：平行四边形ABCD不一定是矩形，因而它的对角线不一定相等．）30．C（点拨：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．）31．B．32．D．33．C．34．C．-14- 35．C．（点拨：因为的底边BC的长不变,BC边上的高等于直线之间的距离也不变,所以的面积不变．）36．A（点拨：由于）37．B（点拨：先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC．）38．C．三、解答题39．AD=BC=AE，BD=AC=BE，AB=AB，则△AEB≌△ADB，故∠ABD=∠ABE．40．（1）CE平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE，而MN//BC，得到∠OEC=∠BCE，所以∠ACE=∠OEC，从而EO=OC，同理OC=OF，故EO=FO；（2）当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形．先得到∠ECF=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行识别．答图19-2AFBCGED41．AD⊥EF．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，确定四边形AEDF是菱形，所以AD⊥EF．42．OM⊥ON，OM=ON．先说明△DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．答图19-343．如图19-2，连结AE交BC的延长线于G点，连结BE．先说明△ADE≌△GCE，得到AE=GE，S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=2×15=30．DABCPMEN答图19-444．摆放三套或四套的设计方案如图19-3所示．关键是确定这些圆的圆心位置（圆心分别在等腰三角形和平行四边形的顶点处），另外，设计的示意图要符合比例要求：（1）每个圆的半径为1.5㎝；（2）每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2㎝；（3）设计两圆的圆心的距离不小于3.5㎝．45．如图19-4，将△BMN以∠DMN的角平分线为轴翻折至△PDM的位置，即取AD的中点P，连结PM．从而△MPD≌△NBM，故DM=MN．46．因为BD=CD,所以又因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以因为.47．（1）因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=BG;（2）因为四边形DFBG是平行四边形,所以DF∥GB,所以,同理可得,所以.48．（1）平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;（2）矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.49．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD=BC（平行四边形的对边平行且相等），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又因为AE平分∠DAB，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以DA=DE=2cm（等角对等边）．同理BC=CF=2cm．所以EF=DC—DE—CF=6cm—2cm—2cm=2cm．50．由“四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE＝∠CED＝45°，又∠BDE＝15°，所以∠CDO＝60°，由矩形的特征“对角线互相平分”可知，OD＝OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC＝OD＝CE，∠DCO＝60°，∠OCB＝30°，进而求得∠COE＝75°．答图19-551．如图应9-5，延长AQ交BC的延长线于E．因为四边-14- 形ABCD是正方形，所以AD=CD，AD∥BE．又Q是CD的中点．因此，△ADQ与△ECQ关于点Q成中心对称．则有AD＝CE，∠1＝∠E．又因为AP＝PC＋CD，所以AP＝PC＋CE，于是∠2＝∠E．故∠1＝∠2，即有AQ平分∠DAP．52．下面给出两种参考答案:（1）添加条件AB∥DC,可得出该四边形是矩形;理由:因为AB∥DC,AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为AC=BD,所以四边形ABCD是矩形.（2）添加条件AC垂直平分BD,那么该四边形是正方形.理由:因为AC垂直平分BD,所以AB=AD,BC=CD,又因为AB=DC,所以AB=AD=BC=DC,所以四边形ABCD是菱形,又因为AC垂直BD,所以四边形ABCD是正方形.说明:解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.53．解析：O在AC的中点时,四边形ABCD是矩形.因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,又==,所以四边形ABCD是矩形.54．如图19-6所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.ABCDEFGH答图19-655．⑴　如图19-7方法一：∠B＝90°，中位线EF，如图示2－1.方法二：AB＝AC，中线（或高）AD，如图示2－2.⑵　AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF，如图示3.　⑶　方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF，如图示4－1.方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中线（或高）AD，如图示4－2.⑷　方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－1.方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连结EF，则EF为剪切线.如图示5－2.方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连结AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线.如图示5－2.-14- 答图19-7图示2－1（C）图示2－2图示4－1图示4－2图示5－1图示3图示5－2图示5－3AABEFC（A）P（E）HBDC（A）P（D）ABC（A）P（E）FEABC（A）P（E）FEABC（A）DP（D）ABDGEFCP（F）（C）ABDGEFCP（F）（C）ABDGEFCP（F）-14-'