管理类联考初数《整除》详解.docx 22页

'http://www.hengshor.com管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b能整除a，记作b∣a。　　　　当b∣a时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。　　　　　0能被任何整数整除，1能整除任何整数。整除的性质：1、传递性：若a∣b，b∣c，则a∣c2、可加可减性：若a∣b，a∣c，则a∣（b±c）3、可乘性，若a∣b，则a∣m×b4、可拆性：若ab∣c，则a∣c，b∣c5、★互质可除性：若a∣mb，且（a，m）=1，则a∣b（注：（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）例1：若a∣b，b∣c，则当m=（）时，m∣c。（A）（B）（C）（D）（E）解析：令例2：是一个整数。 http://www.hengshor.com（1）是一个整数，且也是一个整数；（2）是一个整数，且也是一个整数。解析：利用整除性质做题条件（一）是一个整数，14∣3n，由于（14，3）=1，所以14∣n条件（二）是一个整数，n∣7，根据整除性质无法推出n∣14。所以选（A）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。例3：数A能被11整除。（1）A是形如abcabc的数（a是1~9的整数，b、c均为0~9的整数）；（2）A=解析：直接利用整除特征做题条件（1），利用末三位法，abc－abc=0，11∣0，所以abcabc是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31 http://www.hengshor.com－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数（）（A）一定是4的倍数（B）不一定是4的倍数（C）一定不是4的倍数（D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（E）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。例5：若是一个大于100的整数，则一定有约数（）（A）5（B）6（C）7（D）8（E）以上均不正确解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。=，有定理：连续个数的乘积一定能被整除。所以既能被2整除，又能被3整除，故选B。练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（）个。（A）64（B）48（C）56（D）46（E）55 http://www.hengshor.com2.如果是3的倍数，是2的倍数，那么必然是（　　）的倍数。（A）4（B）5（C）6（D）7（E）93.。（1）且；（2）且。4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（）（A）858（B）855（C）852（D）849（E）8685.是整数。（1）若（p，q是互质的正整数），是一个整数；（2）若（p，q是互质的正整数），是一个整数。6、若，则（）（A）必然是2的倍数（B）必然是3的倍数（C）必然至少是6的倍数（D）必然不能被任何数整除（E）不一定是某个数的倍数7、有（）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。（A）10（B）7（C）8（D）5（E）6 http://www.hengshor.com8、下面说法中有（）是正确的。（1）0可以被任何整数整除；（2）如果则；（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么必然也是7的倍数。（是正整数）（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4练习题讲评：1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C）2、显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D）4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A）5、条件（1），当时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当时，显然结论不成立。条件（1）（2）联合起来，既是14的倍数，又是16的倍数，既是9的约数又是7的约数，可见=1，是112的倍数。显然是28的倍数。选（C）6、显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选（B）。7、 http://www.hengshor.com奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E）1、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当时，显然不成立。所以整除的可拆性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C）。2.奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如－2，0，2，4，6，…奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如－1，1，3，23，…显然有：。奇数与偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数；在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。一般设2n是偶数，设（2n－1）或（2n+1）是奇数。（n∈Z）两个相邻的数必定一奇一偶。，当n是奇数时，x可以为任意实数；当n是偶数时，x只能是非负数。体验奇偶数“交叉排列”的含义*。 http://www.hengshor.com基本做题思路：例1：有偶数位来宾。（根据12年第20题改编）（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。（2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。例2：m为偶数（1）设n为整数，m=n（n+1）（2）在1，2，3，……1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是m。例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线进行，那么经过n次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。（1）n=3（2）n=4例4：如果有理数m<0，则（）（A）当n为偶数时， http://www.hengshor.com（B）当n为奇数时，（C）当n为任意自然数时，（D）当n为任意自然数时，（E）当n为偶数时，练习题：1.已知m，n是正整数，则m是偶数。（12年第18题）（1）3m+2n是偶数。（2）3m2+2n2是偶数。2.m为偶数。（1）一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m。（2）一个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为n，再将n所有数位上的数字相加，得m。3.一个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。（1）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。（2）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。4、m是偶数。（1）若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m； http://www.hengshor.com（1）若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。3.质数和合数概念与知识点质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质数。合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。100以内的质数（25个，记住30以内的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、2931、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97质数与合数判别法：对于一个不很大的自然数N（N>1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2>N时，无需再试，N为质数。例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为（）（A）21B）27（C）33（D）39（E）51解析：考察30以内的具体质数最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。 http://www.hengshor.com例2：已知三个质数，满足，那么（）（A）36（B）38（C）39（D）40（E）72解析：利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b可以为2，所以原式=36+2=38。选（B）。例3：已知三个质数满足，那么的值等于（）。（A）30（B）31（C）32（D）33（E）34解析：连续利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是a=2。原式=2+b+c+2bc=99，可以看出b、c应该是一奇一偶，不妨设b=2，可以求出c=19。选（E）。例4：有几个质数（素数）的乘积为770，则他们的和为（）（14年第9题）（A）85（B）84（C）28（D）26（E）25解析：利用分解质因数做题将770分解质因数，得770=2×5×7×11，可知这几个数分别是2、5、7、11。所以选E例5：m是质数，满足m=n2+4n－5（n为正整数），则m+n=（）（A）7（B）9（C）10（D）11（E）15 http://www.hengshor.com解析：利用质数m仅能表示成m=1×m解题。M=n2+4n－5=（n－1）（n+5）两个式子中，必有一个为1，另一个为m，显然只能是为1，则，选B。练习题：1.在20以内的质数中挑出6个数，使其两个一组分成三组，且每组两个数之和相等。则这6个数之和为（）（A）42（B）51（C）66（D）72（E）812.三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（）（A）11（B）12（C）13（D）14（E）153.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是m，最大是n，则n－m等于（）（A）360（B）345（C）330（D）375（E）3904.如果两数和为64，两数积可以整除4875，那么这两数的差为（　　　）（A）12（B）13（C）14（D）15（E）175.有一个两位质数，其个位数、十位数都是质数，且前后颠倒后仍是个两位质数，则这两个两位质数的和是（）（A）55（B）88（C）66（D）99（E）1106.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，满足要求最小的质数A的值为m，则m2+m+1为（）（A）55（B）13（C）21（D）43（E）317.甲乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的各个数位数字之和是13，甲比乙也刚好大13岁，那么甲乙两人的岁数之积是（） http://www.hengshor.com（A）900（B）1000（C）1080（D）1280（E）15006.把60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能地小，那么最大的质数是m。（1）大于的负整数有m个；（2）m=7。9.三个人的年龄之积为1771，他们中最小的也已经上了小学。那么三人年龄和是（）（A）41（B）51（C）61（D）71（E）8110.若x，y是质数，则1000x+4y=2012。（1）xy是偶数；（2）xy是6的倍数。11、有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数中最大的与最小的之差为（）。（A）101（B）599（C）367（D）891（E）921练习题讲评：1.前20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19，找出其中和相等的三组分别为5+19,7+17,11+14。则和为72，选（D）。2.，显然三个数中有一个为5，不妨设，原式可化为，，显然只有为2,7时才能成立。选（D）3.显然这个三位数个位是5，另两位是2、3、7中的两个。要保证能被3整除，剩下的两个必须是3和7。所以最大的三位数是735，最小的是375，差了360，选（A）。4.先将4875分解质因数：4875=5×5×5×3×13，其中小于64的约数有1、3、5、13、15、25、39，其中相加为64的是25和39，差为14，选（C）。5.显然这样的两位数可以是37和73。选（E）6.尝试可知A最小是5。选（E） http://www.hengshor.com7.将数位之和为13的两位数都列出来，其中满足是质数的只有67，再通过甲比乙大13岁，求出甲、乙分别是40和27岁。选（C）。8.首先对结论进行分析，求出m的具体值。既然要求最大的质数尽可能小，则这十个质数应该尽可能地接近。根据平均数为6可知最小的应为5，最大的应为7，此时60=5+5+5+5+5+7+7+7+7+7，所以m=7。条件（1）符合条件的只有三个，不充分。条件（2）显然充分。选（B）9.将1771分解质因数：1771=11×7×23，根据最小的已经上了小学，所以三人年龄只能是7岁、11岁、23岁。选（A）10.条件（1）说明中至少有一个为2，不充分；条件（2）说明一个为2，另一个为3，也不充分。联合起来等同于条件（2）。选（E）11.显然这三个数字必有两个为1，一个为质数。这样的三位数最大为711，最小为112。选（B）4.最小公倍数、最大公约数最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫这几个数的最大公约数，整数a、b的最大公约数用符号表示为（a，b）。最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫这几个数的最小公倍数，整数a、b的最小公倍数用符号表示为[a，b]。互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。两个相邻的正整数必定互质（n和n+1互质）。求最大公约数/最小公倍数的方法：A、依次分别写出a、b的约数/倍数，从两组数中找出最大/最小的相同的数，即是最大公约数/最小公倍数。 http://www.hengshor.comA、将a、b分别因式分解，最大公约数是取每个质因数在所有数中出现的最低次后，再把这些最低次质因数相乘求积。最小公倍数是取每个质因数在所有数中出现的最高次后，再把这些最高次质因数相乘所得的积。如：C、辗转相除法求两数的最大公约数时，可以保留其中较小数，将大数去掉，改成大数除以小数的余数，此时求出来的最大公约数不变。如此可以反复辗转相除，直到一数是另一数的倍数。（适用于数比较大时）如：（72，84）=（72，12）=12（24，34）=（24，10）=（4，10）=（4，2）=2求出最大公约数后，再利用后面所讲的公式求出最小公倍数。说明：实际做题过程中，往往是“看”出来的。比如求（180，108），一眼看出两数有公因数9，则（180，108）=9×（20，12）；又看出来20和12有公因数4，此时原式=9×4×（5，3），而5和3显然是互质的，所以（180，108）=9×4=36。性质：A、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数；两个自然数的最小公倍数分别除以这两个数，所得的商是互质数。B、两个数的公约数一定是它们最大公约数的约数；两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。C、两个数的和或差是它们最大公因数的倍数。D、两个数如果有倍数关系，则它们的最小公倍数为较大数，最大公约数为较小数。E、重要公式：（a，b）×[a，b]=a×b http://www.hengshor.com比较：集合公式：A∪B=A+B-A∩B重要方法：对于两个数a，b，如果设（a，b）=p的话，那么可设a=m×p，b=n×p，（m，n互质），则[a，b]=m×n×p基本做题思路例1：已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，符合条件的两个数有（）组。（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5解析：利用重要方法解题。设两个数分别为15m，15n，（m，n）=1，则15m+15n=165，m+n=11显然，满足要求的只有（1，10）（2，9）（3，8）（4，7）（5，6）五组。选（E）例2：有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是k，则k的各个数位上的数之和为（）（A）2（B）3（C）4（D）5（E）6解析：利用重要方法做题选（A）例3：今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同，那么最多可以分（）堆。（A）10（B）12（C）14（D）15（E）20 http://www.hengshor.com解析：利用最大公约数解题。如果分成了x堆，显然42、112、70都是x的倍数，x是这三个数的公约数，要想让x最大，即是求三个数的最大公约数。选（C）。例4：今天小明、小玲和小红同时来到图书馆看书，其实三个人的看书时间非常有规律，小明是每12天去一次图书錧，小玲每15天去一次，小红每20天一次。那么，下次三个人再同时出现在图书馆应该是再过（）天。（A）30（B）40（C）50（D）60（E）180解析：利用最小倍数做题。假设再过x天三人同时来到图书馆，显然x必须是12、15、20的倍数，“最近一次”即求三者的最小公倍数。选（D）练习题1.教师节到了，校工会买了320个苹果，240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工，请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？（A）10（B）15（C）18（D）20（E）401.显然是求三个数的最大公约数。选（E）2.（m，n）=23（1）m－n=23，且23|n；（2）[m，n]=138，且m，n都是两位数。2.条件（1）可知，，充分；条件（2）可知，，由于138=2×3×23，所以两数只能是23、2×23、3×23，其中最小公倍数为138的只能是2×23和3×23，显然二者的最大公约数为23，充分。选（D） http://www.hengshor.com3.已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为372，满足上述条件的数一共有多少组（不考虑次序）？（A）12（B）15（C）20（D）30（E）313.利用重要方法，设两个数分别为A、B，且互质），则，由于62=2×31，所以，不能是2或31的倍数（否则就不互质）。将1到31中去掉偶数，去掉31，还剩下15个数。选（B）4.加工某种零件时，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件；第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个零件。要使三道工序生产均衡，三道工序总共最少分配（）名工人。（A）15（B）16（C）19（D）20（E）254.要使生产均衡，各道工序生产的零件总数应该相等，并分别是3、10、5的倍数。要使工人最少，则是求零件总数的最小公倍数[3,10,5]=30，则第一道工序需要10名工人，第二道工序需要3名工人，第三道工序需要6名工人。共需要19名，选（C）5.两个正整数中，甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是m，则m的各个数位之和为（　　　　）（A）2（B）3（C）4（D）5（E）65.利用重要公式求出。选（B）6.两个正数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对（E）4对6.利用重要方法设则，又因为互质，所以只能是1和15、3和5。选（C）7.某赛车跑道上， http://www.hengshor.comA车一分钟可跑2圈，B车一分钟可跑3圈，C车一分钟可跑4圈，现在三车从同一地点出发，则（）分钟后，三车第一次并排出现在起跑线上。（A）1/2（B）1（C）6（D）12（E）166.此题要注意是“一分钟跑2圈”，而不是“2分钟跑一圈”，谨防误求2、3、4的最小公倍数。实际求的是的最小公倍数。对于分数的最小公倍数我们没有专门讲解，可以按照最基本的思路分别将三个数的2倍、3倍、4倍、……列出来，找到大家公有最小的倍数即为最小公倍数。此题比较简单，可以直接看出来是一分钟。选（B）3.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（）（A）10（B）12（C）15（D）20（E）308.设两个数分别是其中互质且，为两个数的最大公约数。则，尝试中得，此时。选（B）9.9.已知两个正整数的和不超过50，差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差也为30，符合条件的两个数有（）组。（A）4（B）5（C）6（D）7（E）810.已知两个自然数的最大公约数是4，最小公倍数是120，则这两个数之和为m。（1）绝对值不大于11.1的整数有m个；（2）绝对值不大于21.1的整数有m个。5.余数与同余余数：x除以A余r，记作：x÷A=m…r则有①A|（x—r）;②r