线性代数(经济数学2)_习题集(含答案).doc 26页

'《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。一、计算题11.设三阶行列式为求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13．2.用范德蒙行列式计算4阶行列式　　　　3.求解下列线性方程组：　　　　　　　　其中第26页共26页 4.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？5.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？二、计算题26.计算的值。7.计算行列式的值。8.计算的值。9.计算行列式的值。10.计算的值。11.求满足下列等式的矩阵X。　　　　　第26页共26页 12.A为任一方阵，证明，均为对称阵。13.设矩阵　　　　　　　　求AB．14.已知　　　　　　　　求和15.用初等变换法解矩阵方程AX=B其中　　　16.设矩阵　　　　求17.求的逆。18.设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求。19.求矩阵第26页共26页 的逆。20.求矩阵的逆。三、计算题321.设矩阵　　　　　　　求矩阵A的秩R(A)。22.求向量组的秩。其中，，，，。23.设向量组，，可由向量组，，线性表示。　　试将向量，，由，，线性表示。24.问a取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T,a3=(1,-1,a)T.25.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:a1=(1,2,-1,4)T,a2=(9,100,10,4)T,a3=(-2,-4,2,-8)T。四、计算题426.求线性方和组的解第26页共26页 　　　　27.求解下列线性方程组　　　　28.当a、b为何值时，线性方程组有解，当其有解时，求出其全部解。29.求解齐次线性方程组30.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:31.试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．　　　　32.设矩阵求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。33.求一个正交变换将二次型f=2x12+3x22+3x33+4x2x3化成标准形。34.求一个正交变换将二次型f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4化成标准形。第26页共26页 35.试求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵。五、计算题5（略）……答案一、计算题11.解：　　　，（3分），（6分），（8分）2.解：　对照范德蒙行列式，此处　　　　　a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5（3分）　　　所以有　　　　（5分）=10368（8分）3.解：写出系数行列式D第26页共26页 　　　　（3分）　　　D为n阶范德蒙行列式，据题设　　　（5分）　　　由克莱姆法则知方程组有唯一解。易知　　　　　　　　　　（8分）4.解系数行列式为.（4分）令D=0,得m=0或l=1.（6分）于是,当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.（8分）5.解系数行列式为（4分）=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3+l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.（6分）令D=0,得l=0,l=2或l=3.于是,当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.（8分）二、计算题26.解：第26页共26页 　　　　（4分）　　　（8分）　　　　　（10分）7.解　　　　　（2分）　　　　　　（4分）　　　　　　（6分）　　　　　　（8分）　　　　　　=-60（10分）8.解：　　　　　（5分）第26页共26页 　　　　　（10分）9.解：对于行列式，使用性质进行计算。有　（第3列减第2列）（3分）（第2列减第1列）（6分）（由于2，3列对应相等）（8分）=0（10分）10.解（5分）.（10分）11.解　将上述等式看成（2分）　　　　　　由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得　　　　　　　　　　　　∴（4分）　　　　　　　　=（6分）第26页共26页 　　　　　　　　=（8分）　　　　　　　　=（10分）12.证：对称阵：（20分）　　　　（4分）　　　　∴是对称阵.（6分）　　　　（8分）　　　　∴是对称阵（10分）13.解AB　　　　　（2分）　　　　　（6分）　　　　　（8分）　　　　（10分）14.解　　　（3分）　　　∴（6分）第26页共26页 　　　而　　　　（10分）15.解　　　（1分）　　　　　（3分）　　　　　（5分）　　　　　（7分）　　　　　　　　　　（9分）第26页共26页 　　　∴X=A-1B　　　　　（10分）16.解：（2分）　　（4分）　　　　　（6分）　　　　　　（8分）　　　于是　　　　（10分）17.解：　　　（3分）　　　（7分）第26页共26页 　　　∴（10分）18.证：因为A可逆，所以|A|≠0，（1分）　　　且　　　于是有A*=|A|A-1（3分）　　　对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得　　　|A*|=||A|A-1|=|A|n|A-1|（5分）又因　　　|A-1|≠0（∵A可逆，由定义知A-1可逆）　　　∴|A*|≠0　　所以A*是可逆的．（6分）　　因为　　　（8分）　　可知　　　（10分）19.解：令，（2分）于是　　　　　则（4分）　　　　　用伴随矩阵极易写出（6分）　　　　　　（8分）第26页共26页 　　　　（10分）20.解.|A|=2¹0,故A-1存在.（2分）因为,（6分）所以.（10分）三、计算题321.解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有　　　（2分）　　　　（4分）　　　　（6分）第26页共26页 　　　　　（8分）　　　最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3（12分）22.解：把排成的矩阵A（2分）　　　（8分）　　　这是一个"下三角形"矩阵　　　　（12分）23.解：由上视为的线性方程组，解出来。　　　（2分）　（6分）　（10分）第26页共26页 所以　（12分）24.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.（2分）由（8分）知,当a=-1、0、1时,R(A)<3,此时向量组线性相关.（12分）25.解　由,（7分）知R(a1,a2,a3)=2.因为向量a1与a2的分量不成比例,故a1,a2线性无关,所以a1,a2是一个最大无关组.（12分）四、计算题426.解：　　　　（3分）　　　　　（6分）第26页共26页 　　　　　（9分）　　　　方程有解　　　　　（12分）　　　视x3为自由未知量，方程组有无数多个解（即解不唯一）（15分）27.解：　　　（3分）　　　（6分）　　　到此，,导出组基础解系含5－2=3个基础解向量．导出组有2个自由未知量．由最后的矩阵看取为自由未知量．（8分）　　　写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端（等号右端自由未知量以表示）得：　　　　（12分）第26页共26页 　　　即　（15分）28.解：　　（3分）　　　（5分）时　方程组有解（无穷多解）。（7分）　　（10分）　　得一般解：　　　　　　　　　　　补齐　　　　　　　　　　　　　　　　用解向量形式表出为：第26页共26页 　　　　（15分）29.解（第1行乘-2，-5分别加到第2，3行）（1分）（第2行乘-6加到第3行）（2分）（第2行与第3行交换）（3分）（第2行乘3加到第3行）（4分）（第3行乘）（5分）　　（第3行乘17加到第2行）（6分）（第2行乘-2加到第1行）（7分）（第3行乘5加到第1行）（8分）第26页共26页 （9分）因为，，且左上角化成了三阶单位方阵，所以基础解系中应含有一个解向量．（10分）与原方程同解的方程组有（12分）即（15分）30.解对增广矩阵进行初等行变换,有.（3分）与所给方程组同解的方程为.（6分）当x3=0时,得所给方程组的一个解h=(-8,13,0,2)T.（9分）与对应的齐次方程组同解的方程为.（12分）当x3=1时,得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1,1,1,0)T.（15分）31.解　　　　（2分）　　　　（4分）第26页共26页 　　　　（6分）　　　　　　　　　　　　（8分）　　对应的特征向量　　　，，（10分）　　标准化　　　，，（12分）　　∴正交变换阵为　　　　　　CTAC　　　　　　　　　（15分）32.第26页共26页 解　　（1）　　　　　　　　　　　　　　∴A的特征值是．（2分）　　　得A的正交相似的对角阵　　　　（4分）　　（2）对于，由　　　　　　　得基础解系　　　　（6分）　　　对于，由　　　　　　　得基础解系　　　　　（8分）　　　对于，由　　　　　　　得基础解系　　　　（10分）　　　（3）由于属于A的3个不同特征值第26页共26页 的特征向量，它们必正交．将其标准化，得　　　　　　　　　　　　（12分）　　　（4）写出正交变换阵　　　　　　　　　　　（14分）　　　（5）有　　　　（15分）33.解二次型的矩阵为.由,得A的特征值为l1=2,l2=5,l3=1.（3分）当l1=2时,解方程(A-2E)x=0,由第26页共26页 ,得特征向量(1,0,0)T.取p1=(1,0,0)T.（6分）当l2=5时,解方程(A-5E)x=0,由,得特征向量(0,1,1)T.取.（9分）当l3=1时,解方程(A-E)x=0,由,得特征向量(0,-1,1)T.取.（12分）于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3)和正交变换x=Ty,使f=2y12+5y22+y32.（15分）34.解二次型矩阵为.由,（3分）得A的特征值为l1=-1,l2=3,l3=l4=1.当l1=-1时,可得单位特征向量.（6分）当l2=3时,可得单位特征向量.（9分）当l3=l4=1时,可得线性无关的单位特征向量第26页共26页 ,.（12分）于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3,p4)和正交变换x=Ty,使f=-y12+3y22+y32+y42.（15分）35.解:将所给矩阵记为A.由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵A的特征值为l1=-2,l2=1,l3=4.（3分）对于l1=-2,解方程(A+2E)x=0,即,得特征向量(1,2,2)T,单位化得.（6分）对于l2=1,解方程(A-E)x=0,即,得特征向量(2,1,-2)T,单位化得.（9分）对于l3=4,解方程(A-4E)x=0,即,得特征向量(2,-2,1)T,单位化得.（12分）于是有正交阵P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(-2,1,4).（15分）五、计算题5（略）……第26页共26页 第26页共26页'