习题答案_邹庭荣_李仁所_张洪谦.doc 67页

'习题11-1．计算下列行列式解一由三阶行列式定义得解二.（2）解.（3）.解（4）.解67 .（5）.解.（6）.解.1-2．计算行列式.解1-3．计算阶行列式（1）.67 解.（2）.解.（3）．解,按第一列展开成两个行列式得67 .1-4．证明：（1）.证（2）.证（3）.证67 （4）.证1-5．计算行列式.解记,当时，;当时，按第1列展开得67 .1-6．计算4阶行列式（1）.解.（2）.解.1-7．如果行列式，试用表示行列式的值．解.67 1-8．证明：.证.1-9.利用克莱姆法则解线性方程组.解方程组的系数行列式，由克莱姆法则知，方程组有惟一解.进一步计算，有，，，,方程组的解为.1-10.问取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？解方程组的系数行列式,当或时，，方程组可能有非零解．补充题B1-1．计算行列式.67 解.B1-2．计算行列式.解.B1-3．计算行列式.解.B1-4．计算行列式.67 解.B1-5．计算行列式.解见1-3（3）.B1-6．证明：,.证B1-7．证明：.证,按第列展开得67 又，所以有.习题22-1．设，，，求：（1）；（2）．解（1）.解（2）.2-2．设，,（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交.解（1）,.解（2）由于,所以向量正交.2-3．计算：（1）；（2）.解（1）.解（2）.2-4．计算下列乘积：（1）解.（2）67 解.（3）.解.（4）.解.（5）.解2-5．已知，,求和．解..2-6．如果，证明当且仅当时成立．67 证必要性.已知,且,有,即,化简得.充分性.由得,又,代入得,化简得.证毕.2-7．设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量．证明对任意一个维列向量，都有．证因,故对任意一个维列向量有,,从而有故有，证毕.2-8．对于任意的方阵，证明：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1）由,所以是对称矩阵；,所以是反对称矩阵.证（2）.2-9．证明：如果都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是与是可交换的．证必要性.因，且,有,所以与是可交换的.充分性.由，及，得，67 所以是对称矩阵.2-10．设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一个反对称矩阵．证由，得，所以是一个反对称矩阵．2-11．设是个线性无关的向量，，其中全不为零．证明中任意个向量线性无关．证从向量组中任取个向量，设有一组常数使得（*）当时，线性无关，结论成立；当时，将代入（*）式得整理得,由于是个线性无关的向量，所以，由于全不为零，所以，则向量组线性无关，故中任意个向量线性无关．2-12．设向量组线性相关，向量组线性无关，（1）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1）能由线性表示.因线性相关，必有一组不全为零的常数，使得，下面只要证明即可.若，则不全为0，于是有，即线性相关；又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各67 ，即能由线性表示.解（2）不能由线性表示.如，，，，显然，线性相关，线性无关，但是不能由线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）.解，所以矩阵的轶为2.（2）解，所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）；解用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩3，所以向量组线性无关.（2）解用所给的3个向量作为列构造矩阵67 ，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解,因此.67 （2）解,因此.2-16．求解矩阵方程：（1）解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.构造,所以.（2）.67 解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.,因此，从而有.2-17．已知，,试用初等行变换求．解依据可得所以.2-18．用分块法求：（1）.解；67 （2）解.2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解,因则.（2）.解,因，，所以.2-20．把下列向量组正交化：（1），，.67 解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．（2），，．解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．2-21．已知，，，（1）求与的夹角；（2）求；（3）求一个与等价的标准正交向量组．解（1）因为，，，所以.（2）因，所以.（3）先将向量组正交化67 ，，，，，则是正交向量组.再将单位化，，，，则即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解（1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.67 （2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性.（4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在维线性空间中，分量满足下列条件的全体向量能否构成的子空间？(1)；(2)．解（1）设，且满足；又，满足，，而满足故此条件下能构成的子空间.解（2）设，且满足，而，有，，故此条件下不能构成的子空间.2-24*．假设是线性空间中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成的子空间．这个子空间叫做由生成的子空间，记做．证设有两组系数构成的两个线性组合，分别为，，且,其中是线性空间的非空子集；（i）；（ii）是任意数，有，故构成的子空间.2-25*．设和是线性空间的两组向量，证明生成子空间和相等的充分必要条件是和等价．67 证必要性.已知，则必有是的子空间，可由线性表示，同时是的子空间，从而可由线性表示，故和等价.充分性.已知和等价，则可由线性表示，有是的子空间，同时可由线性表示，从而是的子空间，故和相等.2-26*．试证在中，由，生成的子空间与由，生成的子空间相等．证记，，，的两个生成子空间和,由于且，所以向量组和等价，故生成子空间和相等.2-27*．在中，求向量在基下的坐标．解构造矩阵，故向量在基下的坐标为．2-28*．设是线性空间的子空间，证明，若的维数等于的维数，则=．证明由是线性空间的子空间且的维数等于，则存在个线性无关的向量是的一组基，故；又由是线性空间的子空间，则是的一组基，故67 ，所以=．2-29*．设、是线性空间的两个子空间，证明的非空子集=构成的子空间．这个子空间叫做与的和子空间，记做+．证由的构成可知，它是线性空间的非空子集，下证构成的子空间:设有，满足，则，其中，，所以；又任取数，有故构成的子空间．2-30．判断下列向量组的线性相关性：（1）；（2）；（3）．解（1）设有一组常数使得，即，得方程组，据克莱姆法则知该方程组只有零解，故线性无关．解（2）法一（依内容进度）：显然，即有一组不全为零的常数，使成立，所以线性相关．解（2）法二：设有一组常数使得，即，得方程组，因，67 故方程组有非零解，所以线性相关．解（3）法一（依内容进度）：显然它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1）），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），线性无关.解（3）法二：设有一组常数使得，得方程组，该方程组只有零解，故线性无关．2-31．求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）；（2）；（3）解（1）用所给向量组构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，所以向量组线性相关.解（2）用所给向量组构造矩阵,对矩阵A施行行初等变换：,矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，向量组线性相关.解（3）用所给向量组构造矩阵67 ，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩是3，故矩阵A的秩是3，向量组线性无关.2-32．利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．（2）．解因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．（3）.67 解因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以（4）.解因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．2-33．（1）若，证明可逆，并求；（2）若，证明可逆，并求.证（1）由，即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.证（2）由，67 即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.2-34．设矩阵满足关系式，且，求矩阵.解由关系式，整理得，再由矩阵的分配律得，即，又由，则有,求其逆矩阵得，故矩阵.2-35．将下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）.解.（2）.解67 .补充题B2-1．如果，则称阶矩阵为幂等阵．设是幂等阵，证明：（1）如果也是幂等阵，则；（2）如果是可交换的，则是幂等阵．证（1）若是幂等阵，则必满足,展开得，又由是幂等阵，即，则上式简化得，证毕.证（2）已知，且是可交换的，即，则有,故是幂等阵.B2-2．证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵．证把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得其中，矩阵为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任取两个主对角线元素全为1的上三角形矩阵，分别记作，，其中为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则，由矩阵乘法定义，可知为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕.B2-3．设是可逆矩阵．证明：如果是可交换的，则也是可交换的．67 证已知是可交换的，即满足；又由是可逆矩阵，则有,所以是可交换的.B2-4．设为阶矩阵，且可逆．证明：对矩阵施行初等行变换，当把矩阵变为单位矩阵时，即变为．证由初等变换的性质，对矩阵施行初等行变换，相当于在矩阵的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵，使得题目叙述的运算过程即为：,则有,即，从而,即对矩阵施行初等行变换把矩阵变为单位矩阵时，即变为．B2-5．设维向量组线性无关，和均正交，证明线性相关．证设有一组数使得①则由，得，因与均正交，上式简化为，从而有．（1）若时，则必线性相关；（2）若时，由①可得，即线性无关，由定理8推论3知n+1个n维向量和线性相关，再由定理4知，可由唯一线性表示，记②任取，由正交性，代入②式展开化简得即，所以②式化简为，得线性相关，证毕.B2-6．（1）设，求67 的逆矩阵．解设，则有，即，由条件，有可逆，从而，又，所以.（2）设，求的逆矩阵．解67 记，由条件，上式矩阵可进一步化简得所以所求逆矩阵为,其中.B2-7．如果向量可由向量组线性表示，证明：表示法是惟一的充分必要条件是线性无关．证必要性．因向量可由向量组线性表示，且表示法惟一，则存在惟一一组数，使得①假设线性相关，则存在一组不全为零的数使得,不妨设则有②将②代入①可得的新的线性表示式，这与线性表示式惟一矛盾，故67 线性无关．充分性．已知向量可由向量组线性表示，且线性无关，假设向量的线性表示式不惟一，存在两组不同的数与使得，及，两式相减得，此时由系数不全为零，得线性相关，矛盾，故向量的线性表示式惟一．B2-8．证明：任意个维向量必线性相关．证设维向量组，构成矩阵，则矩阵的秩，即向量组的秩小于向量个数，必线性相关．B2-9．证明：对于任意实数，向量组,,线性相关．证由向量组构成矩阵，由的秩为2，则向量组的秩为2,小于向量个数3，故对任意实数，向量组必线性相关．B2-10．设是任意的4维向量，，，，若可由向量线性表示，则线性相关．证由，则向量组的秩为2，又由向量的任意性，则向量组秩不超过3，线性相关；又由可由向量线性表示，则向量组的秩不超过向量组的秩，所以向量组的秩不超过3，线性相关．B2-11．设均为维向量，试证：线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示．证由维向量组线性无关，则它是维向量空间67 的一组基，则中的任一维向量都可由它们线性表示．B2-12．设均为维向量，若维线性无关的向量组可由它们线性表示，证明：线性无关．证由均为维向量，则其秩不超过；又由维线性无关的向量组可由它们线性表示，所以向量组的秩不低于；因此，的秩为，线性无关．B2-13．设可由线性表示，但不能由线性表示，则可由线性表示．证由可由线性表示，则存在一组系数，使得①又由不能由线性表示，故系数；由①式得，故可由线性表示．B2-14．设线性无关，任取实数，令，L，，．试证：也线性无关．证由条件，L，，，构造矩阵形式得,简记作，由于矩阵可逆，则与有相同的秩；又线性无关，故，所以线性无关．B2-15．设，，L，，证明：与等价．证由条件可知，可由线性表示，构成矩阵形式得67 简记作；又由，所以的秩为，可逆，故有，从而向量组可由线性表示，因此与等价．习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：解对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，得到方程组的一个基础解系,所以，方程组的通解为为任意常数．（2）.解对系数矩阵施行行初等变换，得67 ，与原方程组同解的齐次线性方程组为，即（其中是自由未知量），令，，得到方程组的一个基础解系，，所以，方程组的通解为，为任意常数．（3）．解对系数矩阵施行行初等变换，得，与原方程组同解的齐次线性方程组为67 ，即（其中是自由未知量），令，，得到方程组的一个基础解系，，所以，方程组的通解为，为任意常数．3-2．当取何值时，方程组有非零解？解原方程组等价于,上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，即，从而当和时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）.解对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换，与原方程组同解的齐次线性方程组为67 ,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系，,方程组的通解为，其中为任意常数．（2）.解对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组有解，继续施行行初等变换，与原方程组同解的齐次线性方程组为,即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解,对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系67 ，，方程组的通解为,其中为任意常数．（3）．解对增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．．解方程组的系数行列式为.（1）当时，即时，方程组有惟一解．（2）当时，即时，(i)当时,原方程组为，显然无解．(ii)当时，原方程组为，对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，67 因为，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为，即（其中为自由未知量），令，得到非齐次方程组的一个解，对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，方程组的通解为，其中为任意常数．3-5．写出一个以为通解的齐次线性方程组．解由已知，和是齐次线性方程组的基础解系，即齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，故可设系数矩阵,由可知和满足方程组,即方程组的线性无关的两个解即为,方程组的系数矩阵,该方程组等价于（其中为自由未知量），令，，得到该齐次方程组的一个基础解系，，67 故要求的齐次线性方程组为，其中,即.3-6．设线性方程组，的解都是的解，试证是向量组,,L,的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组,同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和的秩相同，故可由线性表示．3-7．试证明：的充分必要条件是齐次线性方程组的解都是的解．证必要性.因为，只须证与的基础解系相同．与的基础解系都含有个线性无关的解向量．又因为的解都是得解．所以的基础解系也是的基础解系．即与有完全相同的解．所以的解都是的解．充分性.因的解都是的解，而的解都是的解，故与有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故，所以．3-8．证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使．证充分性.若存在列向量及行向量，其中不全为零，，则有,67 显然矩阵的各行元素对应成比例，所以．必要性.若，则经过一系列的初等变换可化为标准形，而矩阵可以表示为，则存在可逆矩阵，使得，从而，其中均可逆，记，　，又因为可逆，则至少有一行元素不全为零，故列向量的分量不全为零，同理，因为可逆，所以行向量的分量不全为零．因此，存在非零列向量及非零行向量，使．补充题B3-1.设是矩阵，是非其次线性方程组所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）.（A）若仅有零解，则有惟一解；（B）若有非零解，则有无穷多个解；（C）若有无穷多个解，则仅有零解；（D）若有无穷多个解，则有非零解．B3-2.设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）；（ⅱ），必有（D）．（A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组有个未知量，个方程组，且，则此方程组（A）．（Ａ）时，有解；　　　（Ｂ）时，有惟一解；（Ｃ）时，有惟一解；　（Ｄ）时，有无穷多解．　B3-4．讨论取何值时，下述方程组有解，并求解：67 ．解（法一）方程组的系数行列式，（1）当时，即时，方程组有惟一解．（2）当时，即时(i)当时,原方程组为，因为，所以方程组有无穷多组解，其通解为,其中为任意常数．(ii)当时，原方程组为，对该方程组的增广矩阵施行行初等变换，因为，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵施行行初等变换　，(1)当时,，方程组有惟一解.67 (2)当时，，方程组有无穷多组解，其通解为,其中为任意常数．(3)当时，由知，，所以方程组无解．B3-5.若是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数使得,则有,因为是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以线性无关，故,该方程组的系数行列式,所以该方程组只有零解．即．即线性无关．又由齐次线性方程组的性质知都是方程组的解．所以构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，，求该方程组的通解．解因为，故原方程组的导出组的基础解系含有个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，均为导出组的解，所以为导出组的解，即,为导出组的解．故原方程组的通解为67 ，为任意常数．B3-7.设是非齐次线性方程组的一个解，是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）线性无关；（2）线性无关．证（１）反证法.设线性相关，由是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知线性无关，故可由线性表示，即是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故线性无关．证（2）反证法.设线性相关，则存在不全为零的数，使得,即,由（１）知，线性无关，则，，，．．．，,从而，这与不全为零矛盾,故线性无关．B3-8．设线性方程组，的系数矩阵的秩等于矩阵的秩，试证这个方程组有解．证令,,67 ,因为比多一列，比多一行，故,而由题设，所以，所以原方程组有解．B-9．设是阶方阵，是的伴随矩阵，证明：.证若，因为，而，，故．若，因为，所以，又因为，而，所以；又因为，所以至少有一个代数余子式，从而，故．若，则的任一个代数余子式，故，所以．B3-10．设是阶方阵，证明：，且，则．证因为，所以，又因为，所以方程组只有零解，即，所以．习题44-1.设有一个特征值2，求的一个特征值．解若的特征值为，则的特征值为，计算得.4-2.设是3阶方阵，已知方阵，，都不可逆，求的全部特征值．解由，，都不可逆，知，即，,得的特征值为．4-3.已知矩阵的特征值为，，求．解由特征值的性质知，即，所以．4-4.求下列矩阵的特征值及对应的线性无关的特征向量．若可以对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵：67 （1）．解由特征方程,解得矩阵的特征值.对于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系67 ，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为．有3个线性无关的特征向量，，，所以可以对角化．令，则可逆，且有．（2）解由特征方程,解得矩阵的特征值．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为．对于特征值，解方程组，67 即，得基础解系，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．只有2个线性无关的特征向量，所以不可对角化．（3）．解由特征方程,解得矩阵的特征值．对应于特征值，解方程组，即，得基础解系，，所以矩阵的对应于特征值的线性无关的特征向量为，.对于特征值，解方程组，即，得基础解系67 ，所以矩阵对应于特征值的线性无关的特征向量为．有3个线性无关的特征向量，所以可以对角化，令，则可逆，且有．4-5.判断下列矩阵是否为正交矩阵：（1）．解令，由于，所以不是正交矩阵．（2）．解因为，故是正交矩阵．4-6.求正交矩阵，使为对角形矩阵：（1）．解由特征方程为67 ，得的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个极大线性无关特征向量组，,将正交化，得，，将标准化，得，，令，则为正交矩阵，且有．67 （2）．解由特征方程为，得的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的线性无关的特征向量为，已正交只须将单位化，得，；对于，解方程组，即，得属于特征值的线性无关特征向量，将单位化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的线性无关特征向量67 ，将单位化，得，令，则为正交矩阵，且有.4-7.用正交变换化下列二次型为标准形式：（1）.解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即67 ，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.（2）.解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．67 对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即67 ，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.（3）．解二次型的系数矩阵为，矩阵的特征方程为，故的特征值为．对于，解方程组，67 即,得属于特征值的线性无关的特征向量为，，，将正交化，得，，，将正交化，得，，.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.令，则通过正交变换即可将二次型化为标准形式.4-8.试证：如果为正定矩阵，则也是正定矩阵．67 证因为为正定矩阵，则为是实对称矩阵，而，所以也是对称矩阵.设的特征值为，则的特征值为因为为正定矩阵，所以，故，从而知也是正定矩阵.4-9.判别下列二次型是否正定或负定：（1）.解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是正定的.（2）.解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是负定的.（3）.解二次型的系数矩阵为，二次型的四个顺序主子式所以二次型是不定的.67 （4）.解二次型的系数矩阵为，二次型的四个顺序主子式,,所以二次型正定的.（5）．解二次型的系数矩阵为，二次型的三个顺序主子式，所以二次型是负定的.4-10．求的值，使二次型是正定的．解二次型的系数矩阵为，二次型正定的充要条件是它的四个顺序主子式都大于零，即,解联立不等式,67 得，即当时，正定.4-11．写出下列二次型的矩阵形式，并求该二次型的秩.（1）.解二次型的系数矩阵为,因为，所以该二次型的秩等于2．（2）.解二次型的系数矩阵为,因为，所以该二次型的秩等于４．补充题B4-1．设方阵满足，证明：的特征值只能是或1．证因为方阵满足，即，所以的特征值满足，即，所以，的特征值为或．B4-2．证明：对称的正交矩阵的特征值为1或．证因为是正交矩阵，所以．又因为是对称矩阵，所以.所以满足，即，从而的特征值满足，故的特征值为1或．B4-3．设方阵与方阵=相似，求的特征值．解因为方阵与方阵相似，所以方阵与方阵有相同的特征值，所以只须求方阵的特征值即可．由的特征方程，得的特征值为，．B4-4．设与相似，求．解因为与相似，所以67 ,即，解得．B4-5．设，其中为阶单位矩阵，为维列向量，且，试证：（1）为对称矩阵；（2）为正交矩阵．证（1）设，则,显然，是对称矩阵．从而，所以为对称矩阵．证（2）因为为对称矩阵，且，所以，所以为正交矩阵．B4-6．如果是满秩矩阵，则是正定矩阵．证设元二次型，则,因为是满秩矩阵，则对于任意非零向量，都有，设，则，所以是正定二次型，即是正定矩阵．B4-7．如果是正定矩阵，则存在满秩矩阵，使．证若是正定矩阵，则存在满秩矩阵，使合同与，即,所以，，令，则，其中满秩．67 B4-8．设为满秩矩阵，为对称矩阵．证明：如果为正定矩阵，则是正定矩阵．证若为满秩矩阵，为对称矩阵，则,即也是对称矩阵．如果为正定矩阵，则二次型对任意非零向量，有，考虑二次型，因为是满秩矩阵，则对于任意非零向量，都有，即对于任意非零向量，由是正定二次型知，所以是正定二次型，从而是正定矩阵．B4-9．如果为正定矩阵，证明都是正定矩阵．证为正定矩阵，从而是实称矩阵，即，则故都是实对称矩阵．不妨设的特征值为，则的特征值为，的特征值为因为为正定矩阵，所以，且，从而，，所以都是正定矩阵．B4-10．设阶实对称矩阵为正定的，为任意个非零的实数，则是正定的．证是阶实对称矩阵，所以，则，即也是实对称矩阵．因为为正定矩阵，则对任意非零向量，有二次型．设向量，而为任意个非零的实数，所以对于向量，有,即二次型为正定二次型，所以是正定的．67 B4-11．设是表示元素全为1的阶方阵，设是实系数多项式，令,求的全部特征值和特征向量．解由的特征方程，故的特征值为．对特征值，解方程组即，得特征向量，，．．．，．对特征值，解方程组即，得特征向量．而，若的特征值为，从而的特征值为，即，，所以的对应于特征值的特征向量为，，．．．，，的对应于特征值的特征向量为．B4-12．设与为同阶方阵，（1）若与相似，证明：与有相同的特征值；（2）举例说明，上述命题的逆命题不成立；（3）若与均为实对称矩阵，则（1）的逆命题成立．证（1）若与相似，则存在可逆矩阵，有，所以,即与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．解（2）例如，，与有相同的特征值，但与67 不相似，因为与相似的矩阵只有自身．证（3）若与均为实对称矩阵，且有相同的特征值，则与都相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，有，存在可逆矩阵，有，所以，则，即，故存在可逆矩阵，有，即与相似．B4-13．若阶方阵满足：．（1）证明：对任意实数，可逆；（2）求的逆矩阵．证（1）由，整理得,即，整理得因为对任意实数，，所以，因此，存在矩阵，使得，即对任意实数，可逆，且的逆矩阵为．解（2）由（１）知的逆矩阵为．B4-14．设矩阵，，已知线性方程组有解，但不惟一，试求：(1)的值；(2)正交矩阵，使为对角阵．解（1）对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，因为线性方程组有解，但不惟一，知，所以且，可得．67 解（2）由(１)知，矩阵由特征方程，得的特征值为．对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得.对于，解方程组，即，得属于特征值的一个特征向量，将标准化，得67 .所以存在正交矩阵，使．B4-15．设阶实对称阵的特征值为，且是的属于特征值的一个特征向量，记，为阶单位矩阵．(1)验证是的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(2)求矩阵．解（1）因为，所以的特征值为，其中为的特征值．又因为的特征值为，所以的特征值为（重根）．因为是的属于特征值的一个特征向量，所以是的属于特征值的特征向量.下面先求的属于特征值的特征向量，因为是实对称矩阵，的属于不同特征值的特征向量是正交的，不妨设的属于特征值的特征向量为，则有,即,解得，,所以分别为的属于特征值的特征向量，从而也是的属于特征值的特征向量．综上可知，的属于的特征向量是，属于的特征向量是，．解（2）因为有３个正交的特征向量，所以存在正交矩阵，使,67 从而．易得，所以.B4-16.设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵．求对角阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵．解由的特征方程，得特征值.记对角矩阵，因为是实对称矩阵，故存在正交矩阵，使得，所以，于是，由此可得.显然，当且时，的全部特征值均为正数，这时为正定矩阵.B4-17.设为阶实对称阵，秩，是中的代数余子式，二次型．记，把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为．解因为二次型，所以的系数矩阵为，即67 ,又因为为阶实对称阵，，所以，故上式为，所以，即二次型的矩阵为．67'