线性系统理论习题答案.pdf 23页

'《线性系统理论》作业参考答案1-1证明：由矩阵é010L0ùêú001L0êúA=ê000L0úêúêMMMOMúê-a-a-aL-aúënn-1n-21û则A的特征多项式为l-10L0l-10L00l-1L00l-1L0n+1n-1lI-A=00lL0=l00lL0+(-1)a(-1)nMMMOMMMMOMaaaLl+aaaaLl+ann-1n-21n-1n-2n-31l-10L00l-1L02nn-2=l00lL0+l(-1)a(-1)+a=Ln-1nMMMOMaaaLl+an-2n-3n-41nn-1=l+al+L+a1n若l是A的特征值，则iéli-10L0ùé1ùé0ùêúêúêú0l-1L0l0êiúêiúêú2(lI-A)u=ê00lL0úêlú=ê0ú=0iiiiêúêúêúêMMMOMúêMúêMúêaaaLl+aúêln-1úêln+aln-1+L+aúënn-1n-2i1ûëiûëi1inû2n-1T这表明[1llLl]是l所对应的特征向量。iiii1-2根据矩阵函数的不同定义有如下两种证法：¥k证法1：一元函数f(li)展开成幂级数：f(li)=åcklik=0¥k矩阵函数f(A)幂级数表示为：f(A)=åckAk=0kk由于l为A的特征值，所以l为A的特征值，k=1,2,Lii设l对应的特征向量为g，则ii ¥¥¥kkkf(A)gi=åckAgi=åckligi=(åckli)gi=f(li)gik=0k=0k=0所以f(l)是f(A)的一个特征值。i证法2：根据矩阵函数定义，设p(l)是函数f(z)在l(A)上的Hermite插值多项式，则-1f(A)=p(A)=Pdiag(p(J),Lp(J))P，1s因为p(l)=f(l)，所以p(J)=f(J),i=1,2,L,s。ii其中é1¢1(ni-1)ùp(l)p(l)Lp(l)êi1!i(n-1)!iúiêúp(l)OMp(J)=êiúiê1úOp¢(l)ê1!iúêëp(l)úûini´nié1¢1(ni-1)ùf(l)f(l)Lf(l)êi1!i(n-1)!iúiêúf(l)OMf(J)=êiúiê1úOf¢(l)ê1!iúêëf(l)úûini´ni-1f(A)=p(A)=Pdiag(f(J),Lf(J))P。1s可以看出，f(l)是f(A)的一个特征值。i441-3解：(1)特征多项式为D(l)=(l-l)，最小多项式为Y(l)=(l-l)；111124(2)特征多项式为D(l)=(l-l)(l-l)(l-l)=(l-l)，111112最小多项式为Y(l)=(l-l)；11224(3)特征多项式为D(l)=(l-l)(l-l)=(l-l)，11112最小多项式为Y(l)=(l-l)。11 é110ùé111ùé11i-1ùêú2êúiêú1-4解：由矩阵A=001,A=001，根据数学归纳法，设A=001，êúêúêúêë001úûêë001úûêë001úûé11i-1ùé110ùé11iùé11100ùi+1iêúêúêú101êú则A=AA=001001=001也成立，所以A=001；êúêúêúêúêë001úûêë001úûêë001úûêë001úûT又有A存在特征值l=l=1,l=0，当l=l=1时，基础解系为[011]只有一个，12312és-1-10ùêú可以用求逆矩阵法，(sI-A)=0s-1，êúêë00s-1úûé111ùês-1s(s-1)s(s-1)2úés(s-1)s-11ùêú(sI-A)-1=adj(sI-A)=1ê0(s-1)2s-1ú=ê011údet(sI-A)s(s-1)2êúêss(s-1)úêë00s(s-1)úûê1úê00úës-1ûttttéee-11-e+teùAt-1-1êtú所以e=L[(sI-A)]=ê01e-1ú。ê00etúëû-1p´p1-5证明：因为D存在，所以由DÎR-1-1éABùéI-BDùéABùéABDC-0ùA-1detêú=detêúêú=detêú=detDdet(ABDC-)ëCDûë0IDûëCDûëCDûp´qq´p1-6证明：由AÎR,BÎR得éAIpùéBIqùéIp+AB0ùéBA+IqBù令C=êú,D=êú，则CD=êú,DC=êú，I0I-ABI0Iëqûëpûëqûëpû所以detCD=detDC，即det(I+AB)=det(I+BA)。pq-té0eù1-7(3)解：由x&=êúx，取x(t0)=I，则ë00û -t-tìx&=ex,x(t)=1ìx&=ex,x(t)=011211101222120í，íx&=0,x(t)=0x&=0,x(t)=1î21210î22220解得ìx=1ìx=-e-t+e-t0é1-e-t+e-t0ù1112í，í即x=êúîx21=0îx21=1ë01ûé1-e-t+e-t0ùé1-e-t+e-t0ù-1Y(t)=x=êú，F(t,t0)=Y(t)Y(t0)=êúë01ûë01û1-8证1：QAB=BA¥¥¥¥At1kk1kk1kk1kkAtBe=BåAt=åBAt=åABt=(åAt)B=eBk=0k!k=0k!k=0k!k=0k!x&=e-AtBeAtx=e-AteAtBx=BxF(t,t)=eB(t-t0)0A+BABBA而QAB=BAe=e×e=e×ee-Ate(A+B)(t-t0)eAt0=e-AteA(t-t0)eB(t-t0)eAt0=e-AteAte-At0eB(t-t0)eAt0=e-At0eB(t-t0)eAt0=e-At0eAt0eB(t-t0)=eB(t-t0)=F(t,t)0证毕。At-At证2：取x=ex=T(t)xx=ex-At-At-At两边求导得x&=-Aex+ex&=eBx即x&=(A+B)x其状态转移矩阵为F(t,t)=e(A+B)(t-t0)0根据相似矩阵性质得F(t,t)=T-1(t)F(t,t)T(t)=e-Ate(A+B)(t-t0)eAt00001-9解：由题可得A，B，C的值，则é1-1sùês+3(s+1)(s+3)(s+1)(s+2)(s+3)úêú(sI-A)-1=ê011úês+1(s+1)(s+2)úê1úê00úës+2û传递函数阵为2és+4s+2-2ùêúG(s)=C(sI-A)-1B=(s+1)(s+2)(s+3)(s+1)(s+2)(s+3)êúê11úêës+2s+2úû 脉冲响应阵为é1-(t-t)-2(t-t)1-3(t-t)-(t-t)-2(t-t)-3(t-t)ùG(t-t)=L-1[G(s)]=ê-e+2e-e-e+2e-eú22ê-2(t-t)-2(t-t)úëeeû22é(s+1)(2s+1)(s+1)ù1-10解：最小公分母为g(s)=s(s+1)，N(s)=G(s)g(s)=êúës(s+1)2s+1û21其行列式因子为D(s)=1，D(s)=(s+1)(s-1)(s+)122D2(s)21则其不变因子为d(s)=1，d(s)==(s+1)(s-1)(s+)12D(s)21é10ù其Smith标准型为S(s)=ê2ú，ë0(s+1)(s-1)(s+1/2)ûé1ù0S(s)ês(s+1)2ú所以McMillan标准型为GM(s)==êúg(s)ê0(s-1)(s+1/2)úêësúû1则传递函数阵地零点为z=1，z=-，极点为p=p=0，p=p=-1。1212342é100ùé0ùê2úêú1-11解：P(s)=0s(s+1)s(s+2)，Q(s）=s，R(s)=[00-1]，W(s)=0êúêúêë00s+2úûêë-1úû2系统的特征方程为detP(s)=s(s+1)(s+2)=0，则系统的极点为0，0，-1，-2。-11系统的传递函数阵为G(s)=R(s)P(s)Q(s)+W(s)=，故传递函数阵的极点s+2为-2，无零点。21s(s+1)G(s)==，即系统的零点为0，0，-1。2s+2s(s+1)(s+2)kk1-12证：QCAB=CAB111222¥¥A1(t-t)1kk1kkC1eB1=C1(åA1(t-t))B1=åC1A1B1(t-t)k=0k!k=0k!¥¥1kk1kkA2(t-t)=åC2A2B2(t-t)=C2(åA2(t-t))B2=C2eB2k=0k!k=0k!又QD=DG(t-t)=G(t-t)1212 所以两个系统零状态响应等价。1-16解1：QF&(t,t)=A(t)F(t,t)，F(0)=I00F&(0)=AF(0)=Aé1-t3t1-t3tù(-e+3e)(e+3e)ê24úé11ù即A=F&(0)=ê1ú=êúêe-t+3e3t(-e-t+3e3t)úë41ûë2ût=0At-1-1解2：QF(t)=e=L[(sI-A)]és-11ù-1ê(s+1)(s-3)(s+1)(s-3)ú(sI-A)=êú4s-1êúêë(s+1)(s-3)(s+1)(s-3)úûés-1-1ùé11ù(sI-A)=êúA=êúë-4s-1ûë41û1-19b)证1：Qtr(A)=0¹2=tr(A)12A与A不相似，两系统不可能等价。12证2：由D¹D知两系统不等价。122-3解：∵系统在t时刻可控0t1TT∴格兰姆矩阵W(t,t)=F(t,t)B(t)B(t)F(t,t)dt非奇异c01ò00t0对于任给的初始状态x(t)，构造如下容许控制输入0TT-11u(t)=-B(t)F(t,t)W(t,t)(x(t)-F(t,t)x)，则0c01001t1x(t)=F(t,t)[x(t)+F(t,t)B(t)u(t)dt]1100ò0t0t1TT-11=F(t,t)[x(t)-F(t,t)B(t)B(t)F(t,t)W(t,t)(x(t)-F(t,t)x)dt]100òt00c010010-11=F(t,t)[x(t)-W(t,t)W(t,t)(x(t)-F(t,t)x)]100c01c010011=x1∴可以将系统状态转移到x¹0。111若要使系统状态保持在x，即x&=A(t)x+B(t)u=0，即B(t)u=-A(t)x有解， 1由于x¹0，所以这个很难保证。é1a+bùéCùé10ù2-7(1)解：由题意得rank[BAB]=rankêú=2,rankêú=rankêú=2ë1c+dûëCAûëabû∴使a+b¹c+d，系统完全可控；使b¹0，系统完全可观。é0110ùêú2-8解：rank(B)=2，rank[BAB]=1000=3=n，所以可控性指数m=2；êúêë0030úûé101ùêúéCù010rank(C)=2，rankêú=êú=3=n，所以可观性指数为n=2。ëCAûê04-1úêúë001û2-13解1：存在。因为(A,b)可控，将它化成可控标准形，得(A,b)，变换阵为T。若令cc1可控标准形的输出矩阵c=[10L0]，则系统(A,c)可观。令c=cT，则系统cccc1(A,c)可观。-1解2：由(A,b)可控可得，(sI-A)b行线性独立。T-1T-1T-1T取c=b[(sI-A)](sI-A)，则c(sI-A)=b[(sI-A)]列线性独立，即(A,c)可观。é10-2ùé1ùTêúêúT注意：不能直接取c=b，反例：A=020，b=1，c=b=[111]êúêúêë003úûêë1úûé1-1-7ùé111ùêúêú此时rankU=rank124=3，rankV=rank121=2，系统可控不可êúêúêë139úûêë141úû观。2-15证明：充分性：∵(A-bk,b)对所有k可控，∴当k=0时，(A,b)可控。必要性：∵(A,b)可控，则rank[sI-A,b]=n 又∵[sI-(A-bk),b]与[sI-A,b]相抵（列初等变换）则rank[sI-(A-bk),b]=rank[sI-A,b]=n根据PBH秩判据，(A-bk,b)对所有k可控。3-1解：(1)首先验证该系统可控可观。é2-44ùé-0.502ù2êú-1êúU=[bAbAb]=01-2，U=-1-12êúêúêë1-11úûêë-0.5-11úûTépnùé-0.5-11ùêTúêúT=pA=0.52-1，1ênúêúêpTA2úê-0.5-32úënûëû如此得可控标准形为é010ùé0ù-1êúêú-1A=TAT=001，b=Tb=0，c=cT=[-132]c11êúc1êúc1êë-1-3-3úûêë1úû22s+3s-1由此可得，系统的传递函数阵为g(s)=32s+3s+3s+1由于系统是可观可控的，根据传递函数阵可直接得到可观标准形é00-1ùé-1ùêúêúA=10-3，b=3，c=[001]oêúoêúoêë01-3úûêë2úû(2)首先验证该系统可观可控。é124ùé-120ù2êú-1êúU=[bAbAb]=112，U=-3-12êúêúêë247úûêë20-1úûTépnùé20-1ùêTúêúT=pA=-1-11，1ênúêúêpTA2úê010úënûëû如此得可控标准形为é010ùé0ù-1êúêú-1A=TAT=001，b=Tb=0，c=cT=[478]c11êúc1êúc1êë111úûêë1úû 28s+7s+4由此可得，系统的传递函数阵为g(s)=32s-s-s-1由于系统是可观可控的，根据传递函数阵可直接得到可观标准形é001ùé4ùêúêúA=101，b=7，c=[001]oêúoêúoêë011úûêë8úûé0100ùé0ùêúêú001003-3解：g(s)的可控标准形实现为：A=êú，b=êú，c=[1001]ê0001úê0úêúêúë-1-30-2ûë1ûécùé1001ùêúêúcA-1-20-2rankêú=rankêú=42êcAúê25-24úê3úêúëcAûë-4-105-10û该系统既可控又可观，故此实现为最小实现。（另可由g(s)无零极点相消判断其为最小实现）é11ùé11ùé10ùês+1s+3úês+1s+3ú3-5(1)解：G(s)=êú+ê11ú，令G¢(s)=ê11úë11ûê--úê--úës+1s+2ûës+1s+2û32方法1：G¢(s)各元的最小公分母为g(s)=s+6s+11s+61æé62ùé54ùé11ù2öG¢(s)=ççêú+êús+êús÷÷g(s)èë-6-3ûë-5-4ûë-1-1ûøé001000ùé00ùêúêú00010000êúêúê000010úê00úG(s)的可控标准形实现为A1=êú，B1=êúê000001úê00úê-60-110-60úê10úêúêúêë0-60-110-6úûêë01úûé625311ùé10ùC=ú，D=ú1ê1êë-6-3-5-4-1-1ûë11û经验证rankV=3，系统不可观测。在V中选取3个线性无关行，另外再选取3个线11 é625311ùêú-6-3-5-4-1-1êúê-6-6-5-9-1-3ú性无关的行，得变换阵T1=êúê100000úê010000úêúêë001000úûé001100ùé11ùêúêú-1.5-2-0.5000-1-1êúêúê-30-4000úê-1-3ú-1则A1=T1A1T1=êú，B1=T1B1=êú，ê000001úê00úê-1-100-10úê00úêúêúêë1.500.5-60-5úûêë00úû-1é100000ùC=CT=111êúë010000ûé001ùé11ùêúêúé100ùé10ù最小实现为：A=ê-1.5-2-0.5ú，B=ê-1-1ú，C=êú，D=êúë010ûë11ûêë-30-4úûêë-1-3úû-1-2-3方法2：（汉克尔阵法）G¢(s)=hs+hs+hs+L，其中123é11ùé-1-3ùé19ùé-1-27ùé181ùh=ú，h=ú，h=ú，h=ú，h=ú1ê2ê3ê4ê5êë-1-1ûë12ûë-1-4ûë18ûë-1-16ûé11-1-319ùêú-1-112-1-4êúê-1-319-1-27ú作汉克尔阵H(a,b)=êú，rankH(a,b)=3，ê12-1-418úê19-1-27181úêúêë-1-418-1-16úû故最小实现维数为3，根据变换阵取法，得é11-3ùé-1-39ùé11ùêú*êúé11-3ùêúF=-1-12，F=12-4，F=ú，F=-1-1êúêú1ê-1-122êúëûêë-1-39úûêë19-27úûêë-1-3úû最小实现为é001ùé11ù*-1êúêú-1é100ùA=FF=-1.5-2-0.5，B=F=-1-1，C=FF=ú，êú2êú1ê010ëûêë-30-4úûêë-1-3úû é10ùD=êú，经验证(A,B,C)完全可控可观测。ë11û方法3：és+21ùé11ùG(s)=ês+1s+3ú=ês+1s+3ú+é10ùêss+1úê11úê11úêúê--úëûës+1s+2ûës+1s+2û1é10ù1é00ù1é01ùé10ù=êú+êú+êú+êús+1ë-10ûs+2ë0-1ûs+3ë00ûë11û1é1ù1é0ù1é1ùé10ù=êú[10]+êú[0-1]+êú[01]+êús+1ë-1ûs+2ë1ûs+3ë0ûë11û所以G(s)的Jordan形实现（最小）é-1ùé10ù&êúêú，yé101ùXé10ùuX=ê-2úX+ê0-1úu=êú+êúë-110ûë11ûêë-3úûêë01úû22-11és+4s-42(s-1)ù3-6解：G(s)=C(sI-A)B=2ê22ú(s-1)(s-2)ë2s+s-22(s-1)û在(1)中，G(s)=G(s)；而在(2)中，G(s)¹G(s)，故该实现是(1)的实现，经验证(A,B,C)完全可控可观测，所以此实现为最小实现。-tìx&=ex1-e-t1-e-tï11ìïx1=x1(0)eéx1ùée0ùéx1(0)ù4-1解：í1，解得í，即x=êú=êúêúïx&2=x2ïîx2=x2(0)(t+1)ëx2ûêë0t+1úûëx2(0)ûît+1-t1-e因为e趋于定值，而t+1是发散的，则系统在x=0处不稳定，因而不是一致稳定、渐进稳定、一致渐进稳定的。4-2证明：对于系统x&=A(t)x，F&(t,t)=A(t)F(t,t)00T而l(s)=maxl[A(s)+A(s)]，则md[FT(t,t)F(t,t)]=F&T(t,t)F(t,t)+FT(t,t)F&(t,t)000000dtTT=F(t,t)(A(t)+A(t))F(t,t)00T£l(t)F(t,t)F(t,t)m00 dF(t,t)dF(t,t)00即£l(t)F(t,t)，£l(t)dtm0mdtF(t,t)0t两边求积分得：lnF(t,t)£ldt=-a(t-t)+C，即F(t,t)£eCe-a(t-t0)0òm00t0即存在N=eC>0,a>0，使得对于t³t，有F(t,t)£Ne-a(t-t0)100所以系统是一致渐进稳定的，对于线性系统x&=A(t)x是按指数稳定的。2t4-5证明：由状态方程解得：x=xe，则当t®¥时，x(t)®¥，故系统的解不稳定。02222tttt将等价变换x=ex代入状态方程，的2tex+ex&=2tex，即x&=0变换后的系统是稳定的，因此等价变换不能保证稳定性不变。-14-6证明：原系统平衡状态稳定，则F(t,t)有界，因为T(t),T(t)均有界，则经李雅0-1-1普诺夫变换后，F(t,t)=T(t)F(t,t)T(t)£T(t)F(t,t)T(t)，即F(t,t)0000有界，故稳定性不变；-1原系统渐进稳定，则limF(t,t)=0，则limF(t,t)=limT(t)F(t,t)T(t)=0，000t®¥t®¥t®¥故渐进稳定性亦不变。同理，若原系统不稳定，则变化下的系统也不稳定。2举例：令x=tx，则x=t-1x，代入状态方程得：-t-2x+t-1x&=2x，解得x=xtet，0所以，若原系统不稳定，在李雅普诺夫变换下系统依然不稳定。4-7解：(1)由系统得é1-101.1ùé-10-10ùêúêú01-1.10.111101rankU=rankêú=4,rankV=rankêú=4ê1010úê0-1.1-10úêúêúë0-10-1ûë-1.10.1101û所以系统可控可观测。2D(s)=(s+1)(s-1)(s+1.1s+1.1)，知系统有一个特征值为1，不满足Rel(A)<0，则系统平衡状态不稳定，不是渐近稳定。又由于系统可控可观测，所以BIBS不稳定，BIBO不稳定，总体不稳定。é1ù0(6)将G(s)化为Smith-McMillan形：GM=ês(s+1)(s+2)(s+3)úêúë0s-4û系统传递函数阵的极点为0，-1，-2，-3。由于包含极点0，所以系统不是渐近稳定 的。由于G(s)中有元素的极点中包含0，则系统BIBO不稳定，因而系统BIBS不稳定，总体不稳定。对于系统是否平衡状态稳定，则需要判断系统的特征方程D(s)的根，若D(s)中实部为零的根所对应的初等因子是一次，而其余根均有负实部，则系统平衡状态稳定，否则不稳定。4-8解：x=0是系统唯一的平衡状态。122取V(x,t)=[x+(t+1)x]，则V(x,t)，V&(x,t)对x,t存在且连续，且V(0,t)=0。1221t+1当x¹0时，x£V(x,t)£x，所以V(x,t)正定且有界；22V&(x,t)=1[2xdx1+(t+1)2xdx2+x2]=-1(20t+19)x2£0，当x任意，x=0t1222122dtdt2ìx&1=x2=0时，V&(x,t)=0，除此之外均有V&(x,t)<0。将x=0代入方程ï1，tt2íx&=-x-10xïî2t+112可见除(0,0)点之外，(x,0)不是系统受绕运动的解。1当x®¥时，V(x,t)®¥。所以系统原点平衡状态是大范围渐近稳定的。4-9解：系统的特征方程为：D(s)=det(sI-A)32=s-(a+a+a)s+(aa+aa+aa-a)s-aaa-aa+aa1122331122223311221311223312231322根据劳斯判据，令b=c=-(a+a+a)121112233-aaa-aa+aa+(a+a+a)(aa+aa+aa-a)1122331223132211223311222233112213b=c=231a+a+a112233c-aaa-aa+aa4111223312231322b==3c-(a+a+a)21112233构成许瓦兹矩阵：é010ùêúB=-b01，系统系数阵A与许瓦兹矩阵B具有相同的特征多项式。ê3úê0-b-búë21û é000ùêúT取Q阵为Q=000³0，显然xQx沿任意非零解不恒为0。êú2ê002búë1ûéb1b2b300ùTêúT由李雅普诺夫方程BP+PB=-Q，解得P=0bb0，当P=P>0时，ê12úê00búë1û系统x&=Bx渐进稳定，这时系统x&=Ax也渐近稳定。即当b>0,b>0,b>0时，系123统大范围渐近稳定。TTTTTT4-10解：令V(x)=xPx，V&(x)=x&Px+xPx&=x(AP+PA)x=-xWx，即解李雅éb1b2b300ùTP=ê0bb0ú普诺夫方程AP+PA=-W，得ê12ú。ê00-búë1ûéb1b2b300ùTêú所以，V(x)=x0bb0xê12úê00-búë1ûV(x)正定的条件为b<0,b<0,b>0。1235-1证明：由于det(I+AB)=det(I+BA)-1det(sI-A)-det(sI-A-bc)det(sI-A)-det[(sI-A)(I-(sI-A)bc)]=det(sI-A)det(sI-A)-1-1-1=1-det[I-(sI-A)bc]=1-det[1-c(sI-A)b]=c(sI-A)bé01412ùêú12485-2解：rankU=rankêú=3<4，所以系统是不完全可控的。ê1-11-1úêúë1-11-1ûé0140ùé-2/35/94/90ùêúêú1240-1/34/9-4/90对系统进行可控形分解，取T-1=êú，T=êúê1-110úê1/31/91/90úêúêúë1-111ûë00-11û é00-40ùé1ùêúêú10000可得A=TAT-1=êú，b=êú。可以看出-1为不可控极点，不能ê0130úê0úêúêúë000-1ûë0û进行配置，所以题中可以将极点配置在(-2,-2,-2,-1)和(-2,-2,-1,-1)，但不能配置在(-2,-2,-2,-2)。32对于(-2,-2,-2,-1)，可控部分特征多项式det(sI-A)=s-3s+4，而11332f(s)=(s+2)=s+6s+12s+8，则c-1-1ìéa2a11ùüìé100ùé0-31ùüé001ùï2êúïïêúêúïêúT=í[b11A11b11A11b11]êa110úý=íê010úê-310úý=ê013úïîêë100úûïþïîêë001úûêë100úûïþêë139úûé001ùêúk=kT=[-4-12-9]013=[-9-39-121]，11êúêë139úû所以k=[-9-39-121a]，其中a是任意常数。232对于(-2,-2,-1,-1)，f(s)=(s+2)(s+1)=s+5s+8s+4，则cé001ùk=[0-8-8]ê013ú=[-8-32-96]1êúêë139úû所以k=[-8-32-96b]，其中b是任意常数。5-4解：由g(s)可得系统的可控标准形实现为é010ùé0ùêúêúx&=001x+0u，y=[-211]x。êúêúêë65-2úûêë1úû由于系统可控，可以利用状态反馈改变极点，但不能改变零点。因此可以将极点配置在(-2,-2,-3)，以形成零极点对消，故希望的特征多项式为232f(s)=(s+2)(s+3)=s+7s+16s+12c从而得反馈阵K=[-6-12-5-162-7]=[-18-21-5]。 é00001125ùêú0011255115-6(2)解1：rankU=rankêú=4，所以系统完全可控。ê11255111227úêúë01001147û432闭环系统希望的特征多项式为f(s)=s+7s+18s+22s+12，构造状态反馈阵é0010ùêúê0120úé0000ù-1é0000ùK，取W=，S=ú，则K=SW=ú1ê1êê1251úë0010ûë1000ûêúë0011û432所以det(sI-A-BK)=s-2s-s-s-91构造变换阵-1ìéa3a2a11ùüïêúïï[23]êa2a110úïT=íb1(A+BK1)b1(A+BK1)b1(A+BK1)b1ýêa100úï1ïêúïîë1000ûïþé-1/3001/3ùêú1000=êúê0100úêúë0010ûé[-21-23-19-9]Tùé-16-19-9-7ùK=ú=ú2êêë0000ûë0000ûé-16-19-9-7ùK=K+K=ú。12êë1000ûé0012ùêú0125解2：rank[bAbA2bA3b]=rankêú=41111ê12512úêúë0014û由于(A,b)可控，K可省去。11432闭环系统希望的特征多项式为f(s)=s+7s+18s+22s+12。432det(sI-A)=s-2s-s-6，构造变换阵 -1ìéa3a2a11ùüé-1/2001/2ùïêúïêúï[23]êa2a110úïê1000úT=íb1Ab1Ab1Ab1ý=êa100úê0100úï1ïêúêúïîë1000ûïþë0010ûé[-18-22-19-9]Tùé-13-19-9-9ùK=K=ú=ú2êêë0000ûë0000ûé0100ùé00ùêúêú001000解3：Qm=3,m=1，系统x&=êúx+êúu为龙伯格第二可控形。12ê-3123úê11úêúêúë2100ûë01û32f(s)=(s+3)(s+1-j)(s+1+j)=s+5s+8s+6，f(s)=s+212ék11k12k13k14ù设计状态反馈阵K=êú，使得kkkkë21222324ûA+BK=é0100ùé0100ùêúêú00100010êú=êúê-3+k+k1+k+k2+k+k3+k+kúê-6-8-50ú1121122213231424êúêúë2+k211+k22k23k24ûë000-2ûé-1-8-7-1ù解得K=K=êúë-2-10-2ûé101010ùêú5-7(3)解：rankU=rank010-204=2<3，所以系统不完全可控。êúêë000000úûé100ù-1êú对系统进行可控性分解，得A=TAT=0-21，可见系统的不可控极点在êúêë00-2úû左半平面，所以系统可用状态反馈实现镇定。é100ùêúrankV=rank100=1<3，所以系统不完全可观测。êúêë100úû é100ù-1êú对系统进行可观测性分解，得A=TAT=0-21，可见系统的不可观测极êúêë00-2úû点在左半平面，所以系统是可检测的。 '