微积分 (龚德恩 范培华 著) 高等出版社 课后答案 362页

'课后答案网：www.hackshp.cn课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第一章函数习题一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：２（１）（x－２）＞９；　　　　　（２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．２解　（１）由（x－２）＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３　或x－２＜－３由此得x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为课后答案网：www.hackshp.cn（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证　（１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．1若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：２（１）y＝x与y＝x；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；２２（３）y＝１与y＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；２（５）y＝ｌｎ（x－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；２（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．２解　（１）因y＝x＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为Df＝［－２，１］，故此二函数相同．２２（３）因ｓｉｎx＋ｃｏｓx≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．２（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓx＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因２y＝ｌｎ（x－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为Df＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为Df＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因２y＝ｌｎ（１０－３x－x）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为Df＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：２（１）y＝x＋x－２；　　　　　　　　（２）y＝ｓｉｎ（x）；课后答案网：www.hackshp.cn２２１x－９x（２）y＝９－x＋；（４）y＝ｌｎ；ｌｎ（１－x）１０１x＋１０（x－１）（x－３）（５）y＝；（６）y＝．x－３x－１０x－３解　（１）使该函数有定义的x应满足条件：２x＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为Df＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：2若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx≥０　且ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为∞２２Df＝∪［（２kπ），（２k＋１）π］．k＝０（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：２９－x≥０，　１－x＞０，　１－x≠１解得　｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为Df＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：２x－９x≥１１０２由此得x－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为Df＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x＋１０x－３≠０，　x－１０≠０，　≥０x－１０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为Df＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：（x－１）（x－２）x－３≠０，　≥０x－３即（x－１）（x－２）≥０　且x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０　且x－３＜０痴１≤x≤２课后答案网：www.hackshp.cn因此，该函数定义域为Df＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数２q－x，｜x｜≤３f（x）＝２x－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３，　　　3若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２f（±３）＝９－（±３）＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以２f（±４）＝（±４）－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，２f（２＋a）＝q－（２＋a）＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，２f（２＋a）＝（２＋a）－９＝（a－１）（a＋５）（１－a）（５＋a），－５≤a≤１所以f（２＋a）＝（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：２｜x｜（１）y＝１＋６x－x；　　　　　　（２）y＝ｅ．解　（１）易知该函数定义域为Df＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６），　x１＜x２则２２f（x１）－f（x２）＝６x１－x１－６x２－x２２２（６x１－x１）－（６x２－x２）＝２２６x１－x１＋６x２－x２２２６（x１－x２）－（x１－x２）＝２２６x１－x１＋６x２－x２［６－（x１＋x２）］（x１－x２）＝２２６x１－x１＋６x２－x２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．课后答案网：www.hackshp.cn２２２２另解，因６x－x＝９－（x－３），所以y＝１＋６x－x是圆（x－３）＋２２（y－１）＝３的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因x｜x｜ｅ，x≥０y＝ｅ＝－xｅ，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：4若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x－x２（１）y＝２；　　　　　（２）y＝ｅ；１＋x１１（３）y＝ｓｉｎ；（４）y＝．x１－x解　（１）因为２x１｜y｜＝２＝１－２≤１１＋x１＋x所以，该函数有界．（２）因为－x２１１｜y｜＝ｅ＝x２≤０＝１ｅｅ所以，该函数有界．１（３）因为ｓｉｎ≤１（x≠０），所以，该函数有界．x１（４）对任意给定的正数M＞０，令x０＝１－≠１，则２M１｜y（x０）｜＝１＝２M＞M１－１－２M此式表明，对任意给定的M＞０，存在点x０∈Df，使｜y（x０）｜＞M．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：５３（１）f（x）＝xｓｉｎx＋ｃｏｓx；　　　　（２）y＝x－x－３；２（３）f（x）＝ｌｎ（x＋１－x）；１－x，x＜０，（４）f（x）＝１，x＝０，１＋x，x＞０．解　（１）课后答案网：www.hackshp.cn因为f（－x）＝（－x）ｓｉｎ（－x）＋ｃｏｓ（－x）＝xｓｉｎx＋ｃｏｓx＝f（x），x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为５３f（－x）＝－x＋x－３≠f（x）或－f（x）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为２２２（１＋x）－xf（－x）＝ｌｎ（－x＋１＋x）＝ｌｎ２x＋１＋x5若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２＝－ｌｎ（x＋１＋x）＝－f（x），　x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时，　f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时，　f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以１－x，x＜０f（－x）＝１，x＝０＝f（x）１＋x，x＞０因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx；　　　　（２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解　（１）因为πf（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋４所以ππf（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋＝２ｓｉｎx＋＝f（x）４４因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）课后答案网：www.hackshp.cn所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：１－x１x－x（１）y＝；　　　　　　　　（２）y＝（ｅ－ｅ）；１＋x２５（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝３x－５；xππ（５）y＝２ｓｉｎ，　x∈－，；３２２２x－１，０＜x≤１（６）y＝２２－（x－２），１＜x≤２．6若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１－x解　（１）由y＝解出x，得１＋x１－yx＝１＋y因此，反函数为１－xy＝１＋x其定义域为－１D（f）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）x（２）由所给函数解出ｅ，得x２２ｅ＝y±１＋y＝y＋１＋yx（因为ｅ＞０，所以舍去“－”号）由此得２x＝ｌｎ（y＋１＋y）因此反函数为２y＝ｌｎ（x＋１＋x）其定义域为－１D（f）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得y－１x＝１＋ｅ，故反函数为x－１y＝１＋ｅ其定义域为－１D（f）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为课后答案网：www.hackshp.cnD（f）＝（－∞，＋∞），　Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得１５x＝（y＋５），　y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）３所以，反函数为１５y＝（x＋５）３其定义域为－１D（f）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）7若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（５）由所给函数解出x，得yx＝３ａｒｃｓｉｎ２所以，反函数为xy＝３ａｒｃｓｉｎ２其定义域为－１D（f）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；２当１＜x≤２时，y＝２－（x－２），y∈（１，２］；由此解出x，得１（１＋y），－１＜y≤１x＝２２－２－y，１＜y≤２　（舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为１（１＋x），－１＜x≤１y＝２２－２－x，１＜x≤２其定义域为－１D（f）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：２２２（１）y＝ｌｏｇax；　　　　　　（２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ（a＋x）］；２x／（１－x２）２２（３）y＝ｅ；（４）y＝ｃｏｓx－x－１．解　（１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇau与幂函数u＝x复合而成；２（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v、正切函数v＝ｔａｎw２２和多项式函数课后答案网：www.hackshp.cnw＝a＋x复合而成；u２x（３）所给函数由指数函数y＝ｅ和有理分式函数u＝２复合而成；１＋x２（４）所给函数由幂函数y＝u、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式２函数w＝x－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解设总收入函数为２R（x）＝ax＋bx＋c（a≠０）8若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn已知R（０）＝０所以c＝０又知R（１０）＝８００，　R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００，　４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０，　２０a＋b＝６０由此解得a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为２R（x）＝１００x－２x＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：２３p＋Qd＋５Qd－１０２＝０２p－２Qs＋３Qs＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格pe和均衡数量Qe．解供需均衡的条件为Qd＝Qs＝Qe，对应均衡价格为pe，于是有２３p３＋Qe＋５Q－１０２＝０２pe－２Qe＋３Qe＋７１＝０由其中第二个方程得课后答案网：www.hackshp.cn２pe＝２Qe－３Q３－７１　（倡）将上式代入第一个方程，得２７Qe－４Qe－３１５＝０由此解得Qe＝７（舍去负根）．将Qe＝７代入（倡）得pe＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格pe＝６，均衡数量Qe＝７．（B）１．填空题：9若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅ）的定义域为，１１函数fx－＋fx＋的定义域为；４４２（２）已知函数f（x）＝x１＋x，则f（ｓｉｎx）＝；x（３）已知函数f（x）＝，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝１－x；２（４）已知f（３x－２）＝x，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Qd＝１００－２p，　Qs＝－２０＋１０p，则均衡价格pe＝，均衡数量Qe＝；１３答　（１）（－∞，０］，，；　　　　　　（２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；４４xx１２（３），；（４）（x＋２）；１－２x１－３x９（５）１０，８０．x解　（１）由０＜ｅ≤１得x∈（－∞，０］，１１１３由０＜x－≤１且０＜x＋≤１，得x∈，；４４４４２２（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎx＝ｓｉｎxｃｏｓx＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；f（x）x（３）f［f（x）］＝＝，１－f（x）１－２xf［f（x）］xf｛f［f（x）］｝＝＝；１－f［f（x）］１－３x１（４）令t＝３x－２，则x＝（t＋２），于是３２２１１２f（t）＝f（３x－２）＝x＝（t＋２）＝（t＋２）课后答案网：www.hackshp.cn３９所以１２f（x）＝（x＋２）９（５）由Qd＝Qs＝Qe，得１００－２pe＝－２０＋１０pe解得pe＝１０，从而Qe＝８０．２．单项选择题：２（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）表示相同的函数，则它们的定义域为10若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn．（Ａ）（－∞，＋∞）；　　　　　　　　（Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．１，｜x｜＜１，（２）设f（x）＝则f｛f［f（x）］｝＝．０，｜x｜＞１，（Ａ）０；（Ｂ）１１，｜x｜＜１，１，｜x｜≥１，（Ｃ）（Ｄ）０，｜x｜≥１；０，｜x｜＜１．１（３）y＝ｓｉｎ在定义域内是．x（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．２（Ａ）y＝｜f（x）｜；（Ｂ）y＝［f（x）］；２（Ｃ）y＝－f（－x）；（Ｄ）y＝f（x）ｃｏｓx．（５）设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，且f（x＋π）＝f（x）＋ｓｉｎx，则f（x）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答　（１）Ｃ；　（２）Ｃ；　（３）Ｄ；　（４）Ｄ；　（５）Ｂ．２解　（１）由（x＋２）＝｜x＋２｜＝x＋２≥０可知x≥－２，故选（Ｃ）．（２）因课后答案网：www.hackshp.cn１，｜f（x）｜＜１f［f（x）］＝０，｜f（x）｜≥１１，｜x｜≥１＝０，｜x｜＜１１，｜f［f（x）］｜＜１f｛f［f（x）］｝＝０，｜f［f（x）］｜≥１１，｜x｜＜１＝０，｜x｜≥１故选（Ｃ）．11若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１（３）因ｓｉｎ≤１，橙x≠０，故选（Ｄ）．x２２（４）因f（（－x））ｃｏｓ（－x）＝f（x）ｃｏｓx，故选（Ｄ）．（５）因f（x＋２π）＝f（x＋π）＋ｓｉｎ（x＋π）＝f（x）＋ｓｉｎx－ｓｉｎx＝f（x）故f（x）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．２x＋１１３．设f－f（x）＝x，求f（x）．２x－２２２x＋１２t＋１解令t＝，则x＝，代入所给方程，得２x－２２t－２１２t＋１２t＋１f（t）－f＝２２t－２２t－２其中，由所给方程有２t＋１１f＝t＋f（t）２t－２２于是得１１２t＋１f（t）－t＋f（t）＝２２２t－２由此得２２t＋t＋１f（t）＝３t－１因此２２x＋x＋１f（x）＝．３x－１４．证明下列各题：（）若函数f（x），g（x）在D上单调增加（或单调减少），则函数h（x）＝f（x）＋g（x）在D上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f（x）在区间［a，b］，［b，c］上单调增加（或单调减少），则f（x）在区间［a，c］上单调增加课后答案网：www.hackshp.cn（或单调减少）．证　（１）对任意的x１，x２∈D，且x１＜x２，因f（x），g（x）单调增加（减少），故有f（x１）＜f（x２）　（f（x１）＞f（x２））g（x１）＜g（x２）　（g（x１）＞g（x２））于是h（x１）＝f（x１）＋g（x１）＜f（x２）＋g（x２）＝h（x２）（h（x１）＞h（x２））所以，h（x）＝f（x）＋g（x）在D上单调增加（减少）．12若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２）　（或f（x１）＞f（x２））若a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２）　（或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D上也有界．证因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１，　｜g（x）｜＜M２，　橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令πx０＝＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）２（［M］为M的整数部分），则有ππ｜f（x０）｜＝＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎ＋２（１＋［M］）π２２课后答案网：www.hackshp.cnππ＝＋２（１＋［M］）πｓｉｎ２２π＝＋２（１＋［M］）π＞M２于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程１caf（x）＋bf＝，x≠０xx其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．13若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn求f（x），并讨论f（x）的奇偶性．解由所给方程有１af＋bf（x）＝cxx于是，解方程组１caf（x）＋bf＝xx１af＋bf（x）＝cxx可得２ac－bcxf（x）＝２２（a－b）x因为２２ac－bc（－x）ac－bcxf（－x）＝２２＝－２２＝－f（x）（a－b）（－x）（a－b）x所以，f（x）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解设R（x）为销售总收入，x为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x≤７００时，售价p＝１３０（元／吨）；当７００＜x≤１０００时，超过部分（x－７００）的售价为p＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为１３０x，　０≤x≤７００R（x）＝１３０×７００＋１１７×（x－７００），　７００＜x≤１０００１３０x，０≤x≤７００＝课后答案网：www.hackshp.cn１１７x＋９１００，７００＜x≤１０００可见销售总收入R（x）为销售量x的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解设每天生产x只手表，则每天总成本为C（x）＝１５x＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x（元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x≥１５x＋２０００14若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２，　b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．课后答案网：www.hackshp.cn15若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxsinx０alna－alna·cosx　　（８）原式型＝lim２０x→０３sinx·cosxxsinxlna１a－acosx０＝lim·lim２型３x→０cosxx→０sinx０xxlnaa－acosx＝lim２（x→０时，sinx～x）３x→０xlnaxcosx１２＝·lima２（x→０时，１－cosx～x）３x→０x２２lnaxlna＝lim２＝６x→０x６１２．求下列极限：lnxlnsinx（１）limn（n＞０）；　　（２）lim；x→＋∞xx→０＋lnsin５xxxee－x（３）lim；（４）lim．x→＋∞lnxx→＋∞ex＋x解本题用洛必达法则求解：∞１（１）原式型＝limn＝０；∞x→＋∞nx∞cosxsin５x（２）原式型＝lim·∞x→０＋sinx５cos５x１sin５xsin５xx＝lim＝lim·＝１；５x→０＋sinxx→０＋５xsinx∞exx（３）原式型＝lim＝limxe＝＋∞；∞x→＋∞１／xx→＋∞x∞e－１∞（４）原式型＝limx型∞x→＋∞e＋１∞xe＝limx＝１．x→＋∞e１３．求下列极限：２２１／x１／x（１）limxe；（２）limx（e－１）；x→０x→∞π课后答案网：www.hackshp.cnxx１（３）lim（x－１）tan；（４）lim－；x→１２x→１x－１lnx１（５）limcotx－；（６）lim（secx－tanx）；x→０xx→π／２sinx２／（１＋lnx）（７）lim（tanx）；（８）lim（sinx）；＋＋x→０x→０１／xln（１＋x）１１／x（９）limx；（１０）lim（１＋x）；＋x→０ex→０１／lnxπ２１／x（１１）lim－arctanx；（１２）lim（１＋x）；x→＋∞２x→∞sinx１／（１－lnx）１（１３）lim（lnx）；（１４）lim．x→e＋xx→００∞解本题各小题先转换为或型未定式，然先再用洛必达法则求解：０∞１（１）原式为０·∞型未定式．令u＝２，则x→０时，u→＋∞，于是x若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnue∞u原式＝lim型＝lime＝＋∞u→＋∞u∞u→＋∞１（２）原式为０·∞型未定式．令u＝，则x→∞时，u→０．于是xue－１０u原式＝lim型＝lime＝１．u→０u０u→０x－１０（３）原式（０·∞型）＝lim型x→１πx０cot２１＝limx→１π２πx－csc２２２２πx２＝－limsin＝－πx→１２πxlnx－（x－１）０（４）原式（∞－∞型）＝lim型x→１（x－１）lnx０lnx＋１－１xlnx０＝lim＝lim型x→１lnx＋（x－１）／xx→１xlnx＋x－１０lnx＋１１lim＝x→１lnx＋２２xcosx－sinx０（５）原式（∞－∞型）＝lim型x→０xsinx０－xsinx０＝lim型x→０sinx＋xcosx０sinx＋xcosxlim＝０x→０２cosx－xxinx１－sinx０（６）原式（∞－∞型）＝lim型x→π／２cosx０－cosx＝lim＝０x→π／２－sinx０sinxlntanx（７）原式（０型）＝lime＋x→０linsinxlntanx＝ex→０＋其中课后答案网：www.hackshp.cnlntanx∞limsinxlntanx（０·∞型）＝lim型＋＋cscx∞x→０x→０２secx１＝lim·x→０tanx－cscx·cotxsinx＝－lim２＝０x→０＋cosx所以０原式＝e＝１２lnsinxlin０１＋lnx（８）原式（０型）＝ex→０＋其中２lnsinx∞xcosxlim型＝２lim＝２x→０＋１＋lnx∞x→０＋sinx所以若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２原式＝elinln（１＋x）·lnx０（９）原式（０型）＝ex→０＋其中＋limln（１＋x）·lnx（０·∞型）＝limxlnx（∵x→０时，ln（１＋x）～x）＋＋x→０x→０lnx∞lim型＋１／x∞x→０１２lim·（－x）＝０＋xx→０所以０原式＝e＝１１１linln（１＋x）－１∞xx（１０）原式（１型）＝ex→０其中１１ln（１＋x）－x０limln（１＋x）－１＝lim２型x→０xxx→０x０１－１１＋x＝limx→０２x１１１＝－lim＝－２x→０１＋x２所以－１／２１原式＝e＝eπ（１１）因为arctanx＋arccotx＝，所以２π－arctanx＝arccotx２于是lnarccotxlin原式＝lim（arccotx）１／lnx＝ex→＋∞lnxx→＋∞其中课后答案网：www.hackshp.cnlnarccotx∞－xlim型＝lim２x→＋∞lnx∞x→＋∞（１＋x）arcotx２－x１／x＝lim２·limx→＋∞１＋xx→＋∞arccotx１／x０＝－lim型x→＋∞arccotx０２－１／x＝－lim２x→＋∞－１／（１＋x）２１＋x＝－lim２＝－１x→＋∞x所以－１原式＝e２ln（１＋x）lin０x（１２）原式（∞型）＝ex→∞若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn其中２ln（１＋x）∞２xlim型＝lim２＝０x→＋∞x∞x→∞１＋x所以０原式＝e＝１lnlnxlin∞１－lnx（１３）原式（１型）＝ex→e其中lnlnx０１１lim型＝lim·x→e１－lnx０x→exlnx－１／x１＝－lim＝－１x→elnx所以－１原式＝elin（－sinx·lnx）linsinx·lnx０（１４）原式（∞型）＝ex→０＋＝ex→０＋其中lnx∞limsinx·lnx＝lim型＋＋cscx∞x→０x→０１１＝lim·x→０＋xcscx·cotx２sinx＝－lim＝０＋xcosxx→０所以－０原式＝e＝１f（x）－x１４．设函数f（x）二阶连续可导，且f（０）＝０，f′（０）＝１，求lim２．x→０x０解原式为型未定式，所以０f（x）－xf′（x）－１lim２＝lim课后答案网：www.hackshp.cnx→０xx→０２x１f′（x）－f′（０）１＝lim＝f′（０）．＋１５．确定下列２x→０x２函数的单调区间：２２１（１）f（x）＝x－３x－４５x＋１；（２）f（x）＝x＋；x２／３２（３）f（x）＝（x－１）x；（４）f（x）＝２x－lnx．解（１）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．３f′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）由此可知x∈（－∞，－３）∪（５，＋∞）时，f′（x）＞０x∈（－３，５）时，f′（x）＜０因此，（－∞，－３）或（５，＋∞）为f（x）的单调增加区间，（－３，５）为f（x）的单调减少区间．若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，０）∪（０，＋∞）．１１f′（x）＝１－２＝２（x－１）（x＋１）xx由此可知x∈（－∞，－１）∪（１，＋∞）时，f′（x）＞０x∈（－１，０）∪（０，１），f′（x）＜０因此，（－∞，－１）或（１，＋∞）为f（x）的单调增加区间；（－１，０）或（０，１）为f（x）的单调减少区间．（３）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．２／３２－１／３１－１／３f′（x）＝x＋（x－１）x＝（５x－２）x３３２由此可知，驻点为x１＝，导数不存在的点为x２＝０．５２因为x∈（－∞，０）∪，＋∞时，f′（x）＞０５２x∈０，时，f′（x）＜０．５２２所以，（－∞，０）或，＋∞为f（x）的单调增加区间，０，为f（x）的单调减少区间．５５（４）该函数的定义域为：D（f）＝（０，＋∞）．１１f′（x）＝４x－＝（２x－１）（２x＋１）xx由此可知１x∈，＋∞时，f′（x）＞０２１x∈０，时，f′（x）＜０２１１因此，０，为f（x）的单调减少区间；，＋∞为f（x）的单调增加区间．２２１６．利用函数的单调性，证明下列不等式：x－１１（１）＜lnx，x＞１；x＋１２２x课后答案网：www.hackshp.cnπ（２）＜sinx＜x，０＜x＜；π２１３（３）x－x＜arctanx＜x，x＞０；３１（４）ln（１＋x）＞arctanx，x＞０；１＋x１１（５）ln１＋＞，x＞０．x１＋x证x－１１（１）令f（x）＝－lnx，则x＋１２２（x＋１）－（x－１）１（x－１）f′（x）＝２－＝－２＜０，x＞１．（x＋１）２x２x（１＋x）因此，f（x）在（１，＋∞）内单调减少．因此，f（x）＜f（１）＝０，x＞１．若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由此得x－１１＜lnx，x＞１．x＋１２（２）待证不等式等价于不等式：２sinxπ＜＜１，０＜x＜πx２sinx令f（x）＝，则xxcosx－sinxcosxf′（x）＝２＝２（x－tanx）xx再令g（x）＝x－tanx，则２２πg′（x）＝１－secx＝－tanx＜０，０＜x＜２痴g（x）＜g（０）＝０π于是，f′（x）＜０，０＜x＜．２π因此，f（x）在０，内单调减少，从而２２f（x）＞limf（x）＝－πx→（π／２）f（x）＜limf（x）＝１＋x→０即有２sinxπ＜＜１，０＜x＜πx２亦即２xπ＜sinx＜x，０＜x＜．π２（３）令f（x）＝x－arctanx，则２xf′（x）＝２＞０，x＞０１＋x因此，f（x）单调增加，于是有课后答案网：www.hackshp.cnf（x）＝x－arctanx＞f（０）＝０痴arctanx＜x，x＞０．１３再令g（x）＝x－x－arctanx，则３４２１xg′（x）＝１－x－２＝－２＜０，x＞０１＋x１＋x因此，g（x）单调减少，于是有g（x）＜g（０）＝０１３痴　x－x＜arctanx，x＞０３综上所述，得１３x－x＜arctanx＜x，x＞０３若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（４）令f（x）＝（１＋x）ln（１＋x）－arctanx，则１f′（x）＝ln（１＋x）＋１－２１＋x２x＝ln（１＋x）＋２＞０，x＞０１＋x因此，x＞０，f（x）单调增加．于是f（x）＞limf（x）＝f（０）＝０＋x→０从而（１＋x）ln（１＋x）＞arctanx，x＞０即有１arctanx＜ln（１＋x），x＞０１＋x１１１（５）令f（x）＝ln１＋－＝ln（１＋x）－lnx－，则x１＋x１＋x１１１１f′（x）＝－＋２＝２＜０，x＞０１＋xx（１＋x）（１＋x）因此，x＞０时，f（x）单调减少．于是f（x）＞limf（x）＝０，x＞０x→＋∞即有１１ln１＋，x＞０１＋xx１７．求下列函数的极值：３２（１）y＝x－３x－４５x＋７５；（２）y＝x＋１－x；２－x（３）y＝x－ln（１＋x）；（４）y＝xe；２x３２／３（５）y＝；（６）y＝x－（x－２）．１＋x２解（１）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．由２课后答案网：www.hackshp.cnf′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）＝０得驻点x１＝－３，x２＝５．因为x＜－３时，f′（x）＞０，－３＜x＜５时，f′（x）＜０，x＞５时，f′（x）＞０．所以x１＝－３为极大值点，极大值为f（－３）＝１５６，x２＝５为极小值点，极小值为f（５）＝－１００．（２）该函数的定义域为，（－∞，１］．由１f′（x）＝１－＝０２１－x３得驻点x０＝．因为４若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３x＜时，f′（x）＞０，４３＜x＜１时，f′（x）＜０．４３３５所以，x０＝为极大值点，极大值为f＝．４４４（３）该函数的定义域为：（－１，＋∞）．由１xf′（x）＝１－＝＝０１＋x１＋x得驻点x０＝０．因为－１＜x＜０时，f′（x）＜０，x＞０时，f′（x）＞０．所以，x０＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０．（４）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．由－x２－x－xf′（x）＝２xe－xe＝x（２－x）e＝０得驻点x１＝０，x２＝２．因为x＜０时，f′（x）＜００＜x＜２时，f′（x）＞０x＞２时，f′（x）＜０所以x１＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０；－２x２＝２为极大值点，极大值为f（２）＝４e．（５）该函数的定义域为：（－∞，１）∪（－１，＋∞）．由２２x（１＋x）－xx（２＋x）f′（x）＝２＝２＝０（１＋x）（１＋x）得驻点x１＝－２，x２＝０．因为x＜－２时，f′（x）＞０，－２＜x＜１或－１＜x＜０时，f′（x）＜０，课后答案网：www.hackshp.cnx＞０时，f′（x）＞０．所以x１＝－２为极大值点，极大值为f（－２）＝－４，x２＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０．（６）该函数定义域为：（－∞，＋∞）．由－１／３f′（x）＝１－（x－２）＝０得驻点x１＝３，另有导数不存在的点x２＝２．因为x＜２时，f′（x）＞０２＜x＜３时，f′（x）＜０x＜３时，f′（x）＞０所以３x１＝３为极小值点，极小值为f（３）＝，２若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx２＝２为极大值点，极大值为f（２）＝２．１８．求下列函数在给定区间上的最值：３２（１）y＝x－３x－４５x＋７５，［０，６］；x（２）y＝x，（０，＋∞）；２１６（３）y＝x＋，（０，＋∞）xα（４）y＝xlnx（α＞０），（０，＋∞）解２（１）由f′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）＝０，得驻点x０＝５∈［０，６］（x＝－３∈／［０，６］，舍去）．因f″（５）＝２４＞０所以，x０＝５为f（x）的极小值点，亦即最小值点，最小值为fmin＝f（５）＝－１００因f（０）＝７５，f（６）＝－８７，故该函数的最大值为fmax＝f（０）＝７５（２）最对数并求导，得xy′＝y（lnx＋１）＝x（lnx＋１）１由y′＝０，得驻点x０＝＞０．因为e１０＜x＜时，f′（x）＜０e１x＞时，f′（x）＞０e１x所以，x０＝为y＝f（x）＝x的极小值点，亦即最小值点，最小值为e１／e１ymin＝e因为xxlimx＝１，limx＝＋∞＋x→＋∞课后答案网：www.hackshp.cnx→０所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．（３）由１６２３y′＝２x－２＝２（x－８）＝０xx得驻点x０＝２．因３２y″x＝２＝２＋３＝６＞００xx＝２０故x０＝２为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为ymin＝y｜x＝２＝１２因为limf（x）＝＋∞，limf（x）＝＋∞＋x→＋∞x→０所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（４）由α－１α－１α－１f′（x）＝αxlnx＋x＝x（αlnx＋１）＝０－１／α得驻点x０＝e．因为－１／α０＜x＜x０＝e时，f′（x）＜０－１／αx＞x时，f′（x）＞０－１／α所以，x０＝e为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为－１／α－１／αα－１／αymin＝f（e）＝（e）ln（e）１＝－αe因为αlnxlimxlnx（０，∞型）＝lim－αx→０＋x→０＋x１１－１α＝lim·－（α＋１）＝limx＝０x→０＋x－αxαx→０αlimxlnx＝＋∞x→＋∞所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．１９．利用函数的最值证明下列不等式：α（１）x≤１－α＋αx，０＜α＜１，x∈（０，＋∞）；２（２）２xarctanx≥ln（１＋x）．证α（１）设f（x）＝x－αx－（１－α），则由α－１α－１f′（x）＝αx－α＝α（x－１）＝０得驻点x０＝１．因为０＜x＜１时，f′（x）＞０　（因为０＜α＜１）x＞１时，f′（x）＜０所以，x０＝１为该函数的极大值点，亦即最大值点，最大值为ymax＝f（１）＝０因此课后答案网：www.hackshp.cnαf（x）＝x－αx－（１－α）≤f（１）＝０，x∈（０，＋∞）由此得αx≤αx＋１－α，x∈（０，＋∞）２（２）令f（x）＝２xarctanx－ln（１＋x），则由２x２xf′（x）＝２arctanx＋２－２１＋x１＋x＝２arctanx＝０得驻点x０＝０．因为x＜０时，f′（x）＜０x＞０时，f′（x）＞０所以，x０＝０为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为ymin＝f（０）＝０若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn因此２f（x）＝２xarctanx－ln（１＋x）≥f（０）＝０由此得２xarctanx≥ln（１＋x２）２０．将边长为２a的正方形纸板的四角各剪支一个边长相等的小正方形，然后将其做成一个无盖的纸盒．问剪去的小正方形边长为多少时，纸盒容积最大？解设剪去的小正方形边长为x（０＜x＜a），则无盖纸盒的容积为２２V＝（２a－２x）·x＝４x（a－x），０＜x＜a由V′＝４（a－x）（a－３x）＝０a得驻点x０＝（～x＝a∈／（０，a），舍去）．因为３V″｜x＝x＝８（３x－２a）｜x＝x＝－８a＜０００aa所以，x０＝为V的极大值点，亦即最大值点．即当剪去的小正方形边长为时，纸盒的容积最大．３３２１．设某企业的总利润函数为２L（x）＝１０＋２x－０．１x求使总利润最大时的产量x，以及最大总利润．０解由L′（x）＝２－０．２x＝０，得驻点x＝１０．又由L″（１０）＝－０．２＜０可知，产量为x０＝１０时，总利润取最大值，最大总利润为Lmax＝L（１０）＝２０．２２．设某工厂生产某种产品的总成本函数为２C（x）＝０畅５x＋３６x＋９８００（元）求平均成本最小时的产量x，以及最小平均成本．解平均成本函数为C（x）９８００C＝＝０畅５x＋３６＋xx由课后答案网：www.hackshp.cn９８００C′（x）＝０畅５－２＝０x得驻点x０＝１４０（舍去负根）．因为１９６００C″＝３＞０（x＞０）x所以，x０＝１４０为C（x）的最小值点，即每天生产１４０个单位的产品，平均成本最小，最小平均成本为１７６（元）．２３．常数a取何值时，函数１f（x）＝asinx＋sin３x３π在x＝处取极值？是怎样的极值？并求出该极值的值．３解因为f′（x）＝acosx＋cos３x若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ所以，x＝为极值点时，应有３ππaf′＝acos＋cosπ＝－１＝０３３２由此得a＝２．于是，由πf″＝（－２sinx－３sin３x）｜x＝π＝－３＜０３３π可知，a＝２时，x＝为f（x）的极大值点，极大值为３ππ１fmax＝f＝２sin＋sinπ＝３３３３２４．求下列曲线的凸性区间及拐点：３５／３（１）y＝x；（２）y＝（x－３）；－xx（３）y＝xe；（４）y＝２．（x＋１）解（１）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．２y′＝３x，y″＝６x令y″＝０，得x０＝０．因为x＜０时，y″＜０x＞０时，y″＞０因此，（－∞，０）为该曲线的凸区间；（０，＋∞）为该曲线的下凹区间；（０，０）为该曲线的拐点．（２）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．５２／３１０－１／３y′＝（x－３），y″＝（x－２）３９显然，x０＝３时，y″不存在．因为x＜３时，y″＜０x＞３时，y″＞０所以，（－∞，３）为该曲线的凸区间；（３，＋∞）为该曲线的凹区间；（３，０）为该曲线的拐点．（３）定义域为：（－∞，＋∞）．课后答案网：www.hackshp.cn－x－x－xy′＝e－xe＝（１－x）e－x－x－xy″＝－e－（１－x）e＝（x－２）e令y″＝０，得x０＝２．因为x＜２时，y″＜０x＞２时，y″＞０２所以，（－∞，２）为凸区间，（２，＋∞）为凹区间，２，２为拐点．e（４）定义域为：（－∞，－１）∪（－１，＋∞）．２（x＋１）－２x（x＋１）１－xy′＝４＝３（x＋１）（x＋１）３２－（x＋１）－３（１－x）（x＋１）２x－４y″＝６＝４（x＋１）（x＋１）令y″＝０，得x０＝２；x＝－１时，y″不存在．因为若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx＜－１时，y″＜０－１＜x＜２时，y″＜０２＜x＜＋∞时，y″＞０２所以，（－∞，－１）和（－１，２）为凸区间，（２，＋∞）为凹区间，２，为拐点．９２５．求下列曲线的渐近线：１２（１）y＝x＋；（２）y＝１＋x；x１－１／x（３）y＝ln（１＋x）；（４）y＝xex解　（１）因为１limx＋＝∞x→∞x１limx＋＝∞x→０xy１a＝lim＝lim１＋２＝１x→∞xx→∞x１b＝lim（y－ax）＝limx＋－x＝０x→∞x→∞x所以，该曲线无水平渐近线，有一条垂直渐近线：x＝０，还有一条斜渐近线：y＝x．（２）因为２lim１＋x＝∞x→０２２lim１＋x＝１＋x０≠∞（x０为任意实数）x→x０２y１＋x１a１＝lim＝lin＝lin２＋１＝１x→＋∞xx→＋∞xx→＋∞x２１b１＝lin（y－a１x）＝lin（１＋x－x）＝lin＝０x→＋∞x→＋∞x→＋∞２１＋x＋x２y１＋x１a２＝lin课后答案网：www.hackshp.cn＝lin＝lin－２＋１＝－１x→＋∞xx→－∞xx→－∞x２１b２＝lin（y－a２x）＝lin（１＋x＋x）＝lin＝０x→－∞x→－∞x→－∞２１＋x－x所以，该曲线无水平渐近线，也无垂直渐近线；但有二条斜渐近线：y＝x（x→＋∞时）y＝－x（x→－∞）（３）定义域为：（－１，０）∪（０，＋∞）．因为ln（１＋x）∞１liny＝lin型＝lin＝０x→＋∞x→＋∞x∞x→＋∞１＋xln（１＋x）liny＝lin＝＋∞＋＋xx→（－１）x→（－１）yln（１＋x）１lin＝lin２＝lin＝０x→＋∞xx→＋∞xx→＋∞２x（１＋x）若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以，该曲线无斜渐近线，但有一条水平渐近线：y＝０（x→＋∞）还有一条垂直渐近线：x＝－１．（４）定义域为：（－∞，０）∪（０，＋∞）．因为－１／xliny＝linxe＝∞x→＋∞x→∞１u＝－uu－１／xxeelimy＝limxelin＝lin＝－∞x→０－x→＋∞－uu→＋∞１x→０y－１／xa＝lim＝line＝１x→∞xx→∞－１／xb＝lin（y－ax）＝lin（xe－x）x→∞x→∞１u＝－u－１／xxe－１＝linx（e－１）linx→∞u→０－uu＝－lime＝－１u→０所以，该曲线无水平渐近线，有垂直渐近线：－x＝０（x→０）和斜渐近线：y＝x－１（x→∞）２６．作下列函数的图形：２１３２x（１）y＝x－x－３x＋１；（２）y＝．３x＋１解（１）定义域为：（－∞，＋∞）２y′＝x－２x－３＝（x＋１）（x－３）y″＝２x－２＝２（x－１）令y′＝０，得x１＝－１，x２＝３；令y″＝０，得x３＝１．以x＝－１，１，３为分界点，划分定义域D（f），并列表如表４．１：课后答案网：www.hackshp.cn表4畅1x（－∞，－１）－１（－１，１）１（１，３）３（３，＋∞）y′＋－－＋y″－－＋＋８８y眱∩极大值眰∩拐点１，－眰∪极小值－８眱∪３３该曲线无渐近线．几个特殊点的坐标：（０，１）８极大值点－１，３极小值点（３，－８）若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn８拐点１，－３图形如图４畅１所示．（２）定义域为：（－∞，－１）∪（－１，＋∞）．２２x（x＋１）－xx（x＋２）y′＝２＝２（x＋１）（x＋１）２（x＋１）－２x（x＋２）（x＋１）２y″＝４＝３（x＋１）（x＋１）令y′＝０，得x１＝０，x２＝－２；x３＝－１时，y′和y″均不存在．以x＝－２，－１，０为分界点划分定义域，并列表如表４．２：表4．2x（－∞，－２）－２（－２，１）－１（－１，０）０（０，＋∞）y′＋－－＋y″－－＋＋眱∪y眱∩极大值－４眰∩眰∪极小值０因为２xliny＝lin＝∞x→∞x→∞x＋１２xlimy＝lim＝∞x→（－１）x→（－１）x＋１２yxxa＝lin＝lin＝lin＝１x→∞xx→∞x（x＋１）x→∞x＋１２x－xb＝lin（y－ax）＝lin－x＝lin＝－１x→∞x→∞x＋１x→∞x＋１所以，无水平渐近线，有垂直渐近线：x＝１斜渐近线：y＝x－１课后答案网：www.hackshp.cn几个特殊点如下：极大值点：（－２，－４）极小值点：（０，０）曲线图形如图４畅２所示．（B）１．填空题：３（１）函数f（x）＝x在区间［０，４］上满足拉格朗日中值定理条件，则定理中的ξ＝；３２（２）函数f（x）＝x，g（x）＝x在区间［０，３］上满足柯西中值定理条件，则定理中的ξ＝；１１（３）函数f（x）＝ln１＋－在区间（０，＋∞）内是单调的；x１＋x｜x－３｜（４）设f（x）＝e，则f（x）在区间［－５，５］上的最大值＝，最小值＝；２２（５）设f（x）＝（x＋１），则f（x）在x＝处取得极值；若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３（６）函数y＝x－３x的极大值点是x＝，极小值点是x＝．８答　（１）３；（２）２；（３）增加；（４）e，１；（５）０，小；（６）－１，１．２f（３）－f（０）２解　（１）f′（ξ）＝３ξ＝＝３痴ξ＝３．３－０２f′（ξ）３ξf（３）－f（０）（２）＝＝＝３痴ξ＝２．g′（ξ）２ξg（３）－g（０）１＋２x（３）f′（x）＝－２＜０，x＞０痴f（x）单调减少．x（１－x）x－３e，３≤x≤５（４）f（x）＝３－xe，－５≤x≤３f（x）在x＝３处连续，但不可导，该函数在（－５，５）内无驻点．因f（x）在闭区间［－５，５］上连续，故在［－５，５］上取得最大值和最小值．因为３－x－５＜x＜３时，f′（x）＝－e＜０x－３３＜x＜５时，f′（x）＝e＞０所以，f（x）的不可导点x＝３为极小值点，亦即最小值点，最小值为０fmin＝f（３）＝e＝１２８最大值必在区间［－５，５］的端点取得：f（５）＝e，f（－５）＝e．因此，最大值为８fmax＝f（－５）＝e（５）f′（x）＝４x（１＋x２）＝０痴x＝０（惟一驻点）；x＜０时，f′（x）＜０；x＞０时，f′（x）＞０痴f（x）在x＝０取极小值．（６）f′（x）＝３（x２－１）＝０痴x＝±１（驻点）x＜－１时，f′（x）＞０x＝－１为极大值点－１＜x＜１时，f′（x）＜０x＝１为极小值点．x＞１时，f′（x）＞０２．单项选择题：（１）设函数f（x）在开区间（a，b）内可导，x１，x２（x１＜x２）是（a，b）内任意两点，则至少存在一点ξ，使得下式成立课后答案网：www.hackshp.cn．（A）f（b）－f（a）－f′（ξ）（b－a），ξ∈（a，b）；（B）f（b）－f（x１）＝f′（ξ）（b－x１），ξ∈（x１，b）；（C）f（x２）－f（x１）＝f′（ξ）（x２－x１），ξ∈（x１，x２）；（D）f（x２）－f（a）＝f′（ξ）（x２－a），ξ∈（a，x２）．f（x）－cosx（２）设函数f（x）一阶连续可导，且f（０）＝f′（０）＝１，同lim＝．x→０lnf（x）（A）１；（B）－１；（C）０；（D）∞．（３）设函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内均可导，且g（x）＞０，f′g（x）－f（x）g′（x）＜０，则当x∈（a，b）时，有．（A）f（x）g（a）＞f（a）g（x）；（B）f（x）g（a）＜f（a）g（x）；（C）f（x）g（x）＞f（a）g（a）；（D）f（x）g（x）＜f（b）g（b）．２（４）函数f（x）＝２x－lnx的单调增加区间是．若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１（A）（０，＋∞）；（B）０，；（C），＋∞；（D）－，０．２２２（５）函数f（x）＝x－x－１在区间［１，＋∞］上是．（A）单调增加；（B）单调减少；（C）有极大值；（D）有极小值．２b（６）设f（x）＝ax＋bx＋c（a≠０），则f－．２a（A）是f（x）的极大值；（B）是f（x）的极小值；（C）不是f（x）的极值；（D）可能是极大值，也可能是极小值．３２（７）函数f（x）＝x＋ax＋１２x＋１无极值的条件是．（A）a＜６；（B）｜a｜＜６；（C）a＞－６；（D）｜a｜＞６．３x（８）函数y＝２共有渐近线．（x－１）（A）一条；（B）二条；（C）三条；（D）０条．答　（１）C；（２）A；（３）B；（４）C；（５）B；（６）D；（７）B；（８）B．解（１）因为（C）满足拉格朗日中值定理的所有条件，而（A）、（B）和（D）不满足拉格朗日中值定理中在闭区间上连续的条件．因此，应选（C）．０（２）由题中假设可知题中极限为型未定式，故由０f′＋sinnf（x）sinx原式＝lim·f（n）＝limf（x）＋＝１x→０f′（n）x→０f′（x）可知，应选（A）．f（x）（３）令F（x）＝，则g（x）f′（x）g（x）－f（x）g（x）F′（x）＝２＜０，x∈（a，b）［g（x）］于是，F（x）在（a，b）内单调减少，故有课后答案网：www.hackshp.cnF（x）＜F（a），x∈（a，b）即有f（x）g（a）＜f（a）g（x）故应选（B）．（４）题设函数的定义域为（０，＋∞），而由１１f′（x）＝４x－＝（２x＋１）（２x－１）＞０xx１得x＞．故应选（C）．２（５）题设函数的定义域为［１，＋∞）．因１１f′（x）＝－２x２x－１１＝－＜０，x∈［１，＋∞）２xx－１（x＋x－１）若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn故f（x）在［１，＋∞）上单调减少，应选（B）．b（６）由f′（x）＝２ax＋b＝０，得驻点x０＝－；而２af″（x）＝２a≠０bb可见a＞０时，f－为极小值；a＜０时，f－为极大值．故应选（D）．２a２a２（７）由f′（x）＝３x＋２ax＋１２＝０，得１２２x＝（－２a±４a－１２）６１２２＝（－a±a－６）３２２f（x）无极值时，上式不能为实数，故有a－６＜０，即有｜a｜＜６．故应选（B）．（８）因３３xxlin２＝∞，lim２＝∞x→∞（x－１）x→０（x－１）２yxa＝lim＝lin２＝１x→∞xx→＋∞（x－１）３xb＝lin（y－ax）＝lin２－x＝２x→＋∞x→＋∞（x－１）故有垂直渐近线x＝１和斜渐近线y＝x＋２，而无水平渐近线．故应选（B）．a１an３．已知a０＋＋…＋＝０．证明方程２n＋１na０＋a１x＋…＋anx＝０在（０，１）内必有实根．证令a１２ann＋１f（x）＝a０x＋x＋…x２n＋１则f（x）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内可导，且f（０）＝f（１）＝０即f（x）满足罗尔定理条件课后答案网：www.hackshp.cn，故至少存在一点ξ∈（０，１），使得nf′（ξ）＝a０＋a１ξ＋…＋anξ＝０若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第二章极限与连续习题二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：５n－３１（１）un＝；　　　　　（２）un＝ｃｏｓnπ；nnn１n（３）un＝２＋－；（４）un＝１＋（－２）；２２n－１n（５）un＝；（６）un＝a（a为常数）．n解　（１）将该数列具体写出来为７１７２２３２，，４，，，…，５－，…２４５n观察可知un→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为１１n１un＝ｃｏｓnπ＝（－１）＝→０（n→∞）nnn所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为n１１课后答案网：www.hackshp.cnun－２＝－＝n→０（n→∞）２２所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知un→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为３８１５２４０，，，，，…２３４５16若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn观察可知un→∞（n→∞）．所以，该数列发散．n（６）当a＜１时，un＝a→０（n→∞）；n当a＞１时，un＝a→∞（n→∞）；当a＝１时，un＝１→１（n→∞）；n当a＝－１时，un＝（－１），发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：n２１n＋１（１）ｌｉｍ－＝０；　　　　　（２）ｌｉｍ２＝１；n→∞３n→∞n－１２２１n＋a（３）ｌｉｍ＝０；（４）ｌｉｍ＝１（a为常数）．n→∞n＋１n→∞n证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使n１un－０＝＜ε３只需１１n＞ｌｏｇ３　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３＞０）εε１１取正整数N＝１＋ｌｏｇ３＞ｌｏｇ３，则当n＞N时，恒有εεn１－－０＜ε３因此n１ｌｉｍ－＝０．n→∞３（２）对任意给定的ε＞０，要使课后答案网：www.hackshp.cn２n＋１２２１１un－１＝２－１＝２＝·≤＜εn－１n－１n＋１n－１n－１１只需n＞１＋．ε１取正整数N＝１＋，则当n＞N时，恒有ε２n＋１２－１＜εn－１由此可知17若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２n＋１ｌｉｍ２＝１．n→∞n－１（３）对任意给定的ε＞０，要使１１１un－０＝－０＝＜＜εn＋１n＋１n１只需n＞２．ε１１取正整数N＝２＋１，则当n＞N＞２时，恒有εε１－０＜ε．n＋１由此可知１ｌｉｍ＝０．n→∞n＋１（４）对任意给定的ε＞０，要使２２２n＋aaun－１＝－１＝n２２n（n＋a＋n）２a＜２＜ε２na只需n＞．２εaa取正整数N＝＋１，则当n＞N＞时，恒有２ε２ε２２n＋a－１＜εn因此２２n＋aｌｉｍ＝１．课后答案网：www.hackshp.cnn→∞n３．求下列数列的极限：３n＋５（１）ｌｉｍ；　　　　　　　（２）ｌｉｍ（n＋３－n）；n→∞２n→∞n＋n＋４nnnnn１／n（－１）＋２（３）ｌｉｍ（１＋２＋３＋４）；（４）ｌｉｍn＋１n＋１；n→∞n→∞（－１）＋２１１１１＋＋２＋…＋n１１１２２２（５）ｌｉｍ１＋＋２＋…＋n；（６）ｌｉｍ．n→∞２２２n→∞１１１１＋＋２＋…＋n４４４18若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解　（１）因为５３＋３n＋５n＝→３（n→∞）２n＋n＋４１４１＋＋２nn所以３n＋５ｌｉｍ＝３．n→∞２n＋n＋４（２）因为３n＋３－n＝→０（n→∞）n＋３＋n所以ｌｉｍ（n＋３－n）＝０．n→∞（３）因为nnn１／nnnn１／n１２３（１＋２＋３＋４）＝４＋＋＋１→４（n→∞）４４４所以nnn１／nｌｉｍ（１＋２＋３＋４）＝４．n→∞（４）因为n１nn－＋１（－１）＋２１２１n＋１n＋１＝·n＋１→（n→∞）（－１）＋２２１２－＋１２所以nn（－１）＋２１ｌｉｍn＋１n＋１＝．n→∞（－１）＋２２（５）因为课后答案网：www.hackshp.cn１１－n＋１１１１２　　　　１＋＋２＋…＋n＝２２２１１－２n＋１１＝２１－→２（n→∞）２所以１１１ｌｉｍ１＋＋２＋…＋n＝２．n→∞２２２19若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（６）因为n＋１１１１１１＋＋２＋…＋n＝２１－，２２２２n－１１１－n＋１１１１４４１１＋＋２＋…＋n＝＝１－４４４１３４１－４于是n＋１１１１１１＋＋２＋…＋n１－２２２３２３＝·n＋１→（n→∞）１１１２１２１＋＋２＋…＋n１－４４４４所以１１１１＋＋２＋…＋n２２２３ｌｉｍ＝．n→∞１１１２１＋＋２＋…＋n４４４４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍ（２x－１）＝５；　　　　　（２）ｌｉｍx－２＝０；x→３x→２＋２x－４（３）ｌｉｍ＝４；（４）ｌｉｍ（１－１－x）＝１．x→２x－２x→１－证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x－１）－５＝２x－３＜εε只需取δ＝＞０，则当０＜x－３＜δ时，恒有２（２x－１）－５＝２x－３＜２δ＝ε因此ｌｉｍ（２x－１）＝５．课后答案网：www.hackshp.cnx→３（２）对任意给定的ε＞０，要使x－２－０＝x－２＜ε２只零取δ＝ε＞０，则当０＜x－２＜δ时，恒有x－２－０＝x－２＜δ＝ε所以ｌｉｍx－２＝０．x→２＋（３）对任意给定的ε＞０，要使（x≠２）20若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x－４－４＝（x＋２）－４＝x－２＜εx－２只需取δ＝ε＞０，则当０＜x－２＜δ时，恒有２x－４－４＝x－２＜δ＝εx－２因此２x－４ｌｉｍ＝４．x→２x－２（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x）－１＝１－x＜ε２只需０＜１－x＜ε２取δ＝ε＞０，则当０＜１－x＜δ时，恒有（１－１－x）－１＝１－x＜δ＝ε因此ｌｉｍ（１－１－x）＝１．x→１－５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：１－１－x，x＜１，在x＝１处；（１）f（x）＝x－１，x＞０２x＋１，x≤１，２（２）f（x）＝x－x＋３，１＜x≤２，在x＝１与x＝２处．３x－１，２＜x，解　（１）因为f（１－０）＝ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍ（１－１－x）＝１x→１－x→１－f（１＋０）＝ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍ（x－１）＝０x→１＋x→１＋这表明f（１－０）≠f（１＋０）．因此，ｌｉｍf（x）不存在．课后答案网：www.hackshp.cnx→１（２）在x＝１处，有f（１－０）＝ｌｉｍ（２x＋１）＝３．x→１－２f（１＋０）＝ｌｉｍ（x－x＋３）＝３．x→１＋因f（１－０）＝f（１＋０）＝３，所以，ｌｉｍf（x）＝３（存在）；x→１在x＝２处，有２f（２－０）＝ｌｉｍ（x－x＋３）＝５x→２－３f（２＋０）＝ｌｉｍ（x－１）＝７x→２＋21若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍf（x）不存在．x→２６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：x－２（１）f（x）＝２；　　　　　（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；x＋２１－x１（３）f（x）＝ｅ；（４）f（x）＝．ｌｎ（４－x）解　（１）因为x－２当x→２或x→∞时，２→０x＋２x－２因此，x→２或x→∞时，２为无穷小．x＋２（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为１－xｅ当x→＋∞时，ｅ＝x→０，ｅ１－x因此，x→＋∞时，ｅ为无穷小．（４）因为－１当x→４或x→－∞时，→０ｌｎ（４－x）－１因此，x→４或x→－∞时，为无穷小．ｌｎ（４－x）７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：２x＋１（１）f（x）＝２；　　　　（２）f（x）＝ｌｎ１－x；x－４－１／x１（３）f（x）＝课后答案网：www.hackshp.cnｅ；（４）f（x）＝．x－５解　（１）因为２x－４当x→±２时，２→０x＋１因此２x＋１当x→±２时，２→∞x－４２x＋１所以，x→±２时，２为无穷大．x－４22若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）因为＋当x→１时，１－x→０当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为１ｌｉｍ－＝＋∞n→０－x所以－１／xｌｉｍｅ＝＋∞x→０－－－１／x由此可知，x→０时，ｅ为无穷大．（４）因为ｌｉｍx－５＝０x→５＋所以１ｌｉｍ＝＋∞x→５＋x－５＋１由此可知，x→５时，为无穷大．x－５８．求下列函数的极限：３２４（１）ｌｉｍ（３x－２x－x＋２）；　　　　（２）ｌｉｍ５＋；x→３x→０２－x２２x－５x＋４（x＋a）－a（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ（a为常数）；x→１６x－１６x→０x２２x＋a－a（５）ｌｉｍ课后答案网：www.hackshp.cn（a，b为正的常数）；x→０２２x＋b－b２nx＋x＋…＋x－n（６）ｌｉｍx→１x－１２n２n（提示：x＋x＋…＋x－n＝（x－１）＋（x－１）＋…＋（x－１））解　（１）由极限的线性性质，得３２原式＝３ｌｉｍx－２ｌｉｍx－ｌｉｍx＋２x→３x→３x→３３２＝３x３－２×３－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍ（２－x）＝２≠０，所以x→０23若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn４４原式＝５＋ｌｉｍ＝５＋x→０２－xｌｉｍ（２－x）x→０４＝５＋＝７．２（３）因为x－５x＋４＝（x－４）（x－１），x－１６＝（x－４）（x＋４）．所以（x－４）（x－１）x－１３原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝．x→１６（x－４）（x＋４）x→１６x＋４８２２（４）因为（x＋a）－a＝x（x＋２a），所以x（x＋２a）原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（x＋２a）＝２a．x→０xx→０２２２２２２（x＋a－a）（x＋a＋a）（x＋a＋b）（５）原式＝ｌｉｍx→０２２２２２２（x＋b－b）（x＋b＋b）（x＋a＋a）２２２x（x＋b＋b）＝ｌｉｍx→０２２２x（x＋a＋a）２２x＋b＋bb＝ｌｉｍ＝x→０２２ax＋a＋a（６）因为２n２nx＋x＋…＋x－n＝（x－１）＋（x－１）＋…＋（x－１）n－１n－２＝（x－１）［１＋（x＋１）＋…＋（x＋x＋…＋１）］所以n－１n－２（x－１）［１＋（x＋１）＋…＋（x＋x＋…＋１）］原式＝ｌｉｍx→１x－１n－１n－２＝ｌｉｍ［１＋（x＋１）＋…＋（x＋x＋…＋１）］课后答案网：www.hackshp.cnx→１１＝１＋２＋…＋n＝n（n＋１）．２９．求下列函数的极限：１０１０２２（x－１）（３x－１）（１）ｌｉｍ［x＋１－x－１］；　　（２）ｌｉｍ２０；x→∞x→∞（x＋１）３２３５x＋３x＋４３（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ（x＋１－x）；x→＋∞６x→∞x＋１２xx（５）ｌｉｍx（３x－９x－６）；（６）ｌｉｍ（a＋９）－a＋４（a＞０）．x→＋∞x→＋∞24若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２解　（１）原式＝ｌｉｍ＝０．x→∞２２x＋１＋x－１１０１０１１１－３－xx１０（２）原式＝ｌｉｍ２０＝３x→∞１１＋x３５＋（３／x）＋（４／x）（３）原式＝ｌｉｍ３＝５．x→＋∞１＋（１／x）（４）因为３３３３３２３３２３３３（x＋１－x）［x－x１－x＋（１－x）］＝x－（１－x）＝１所以１原式＝ｌｉｍ３３＝０．x→∞２３３２x－x１－x＋（１－x）（５）因为２２２x（３x－９x－６）（３x＋９x－６）x（３x－９x－６）＝２３x＋９x－６２２x［９x－（９x－６）］６x＝＝２２３x＋９x－６３x＋９x－６所以６x６原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１x→＋∞２x→＋∞２３x＋９x－６３＋９－（６／x）５（６）原式＝ｌｉｍx→＋∞xxa＋９＋a＋４１，０＜a＜１＝１０－５，a＝１．０，a＞１１０．求下列各题中的常数课后答案网：www.hackshp.cna和b：x－３（１）已知ｌｉｍ２＝１；x→３x＋ax＋b２（２）已知ｌｉｍ（x＋x＋１－ax－b）＝k（已知常数）．x→＋∞解　（１）由于分子的极限ｌｉｍ（x－３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原x→３式＝０≠１），即有２ｌｉｍ（x＋ax＋b）＝９＋３a＋b＝０x→３２另一方面，因分子＝x－３，故分母x＋ax＋b＝（x－３）（x－c），于是25若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx－３１１原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝＝１x→３（x－３）（x－c）x→３x－c３－c由此得c＝２．于是得２２x＋ax＋b＝（x－３）（x－２）＝x－５x＋６由此得a＝－５，b＝６（２）原式可变形为２２［x＋x＋１－（ax＋b）］［x＋x＋１＋（ax＋b）］原式＝ｌｉｍx→＋∞２x＋x＋１＋ax＋b２２２（１－a）x＋（１－２ab）x＋（１－b）＝ｌｉｍx→＋∞２x＋x＋１＋ax＋b２显然应有１－a＝０，即有a＝±１．于是２（１－２ab）x＋（１－b）原式＝ｌｉｍx→＋∞２x＋x＋１＋ax＋b２１－２ab＋（１－b）／x＝ｌｉｍx→＋∞２１＋（１／x）＋（１／x）＋a＋（b／x）１－２ab＝＝k（a≠－１）１＋a由上式可知，a≠－１，于是a＝１，从而有１－２b１＝k痴b＝－k．２２（１－x）／（１－x）２＋x１１．已知f（x）＝１＋x（１）ｌｉｍf（x）；　　（２）ｌｉｍf（x）；　　（３）ｌｉｍf（x）．x→０x→１x→∞２＋x１－x解令g（x）＝，h（x）＝．１＋x１－x（１）因为课后答案网：www.hackshp.cnｌｉｍg（x）＝２，ｌｉｍh（x）＝１x→０x→０所以h（x）１ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍg（x）＝２＝２．x→０x→０（２）因为３ｌｉｍg（x）＝＞０x→１２（１－x）（１＋x）１１ｌｉｍh（x）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝x→１x→１x→１２（１－x）（１＋x）１＋x26若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以１３２h（x）ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍg（x）＝x→１x→１２（３）因为１＋（２／x）ｌｉｍg（x）＝ｌｉｍ＝１＞０x→∞x→∞１＋（１／x）（１／x）－（１－x）ｌｉｍh（x）＝ｌｉｍ＝０x→∞x→∞（１／x）－１所以h（x）０ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍg（x）＝１＝１．x→∞x→∞１２．求下列极限：ｓｉｎ３xｔａｎ５x（１）ｌｉｍ；　　　　　　（２）ｌｉｍ；x→０ｓｉｎ２xx→０ｓｉｎ２xａｒｃｔａｎ４x１（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍxｓｉｎ；x→０ａｒｃｓｉｎ２xx→∞x２ｓｉｎ（２x）ｔａｎ３x－ｓｉｎ２x（５）ｌｉｍ２；（６）ｌｉｍ；x→０xx→０x１－ｃｏｓxax－ｓｉｎbx（７）ｌｉｍ；（８）ｌｉｍ（a，b，k＞０）．x→０xｓｉｎxx→０ｔａｎkxｓｉｎ３x２x３３解　（１）原式＝ｌｉｍ··＝．x→０３xｓｉｎ２x２２ｔａｎ５x２x５５（２）原式＝ｌｉｍ··＝．x→０５xｓｉｎ２x２２ａｒｃｔａｎ４x２x４（３）原式＝ｌｉｍ··＝２．x→０４xａｒｃｓｉｎ２x２１（４）令u＝，则x→∞时u→０．于是x课后答案网：www.hackshp.cnｓｉｎu原式＝ｌｉｍ＝１．u→０u２２ｓｉｎ（２x）ｓｉｎ２x（５）原式＝ｌｉｍ２·４＝４ｌｉｍ＝４．x→０（２x）x→０２xｔａｎ３xｓｉｎ２x（６）原式＝３ｌｉｍ－２ｌｉｍ＝３－２＝１x→０３xx→０２x１２（７）因为１－ｃｏｓx～x（x→０），所以２２１x１x１原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２x→０xｓｉｎx２x→０ｓｉｎx２27若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnakxbｓｉｎbxkx（８）原式＝ｌｉｍ·－··x→０kｔａｎkxkbxｔａｎkxaba－b＝－＝．kkk１３．求下列极限：xx１５（１）ｌｉｍ１－；　　　　（２）ｌｉｍ１＋；x→∞xx→∞x１／x１／x（３）ｌｉｍ（１－ｓｉｎx）；（４）ｌｉｍ（１＋３x）；x→０x→０２／xxxx－２（５）ｌｉｍ１－；（６）ｌｉｍ．x→０２x→∞x＋２解－x－１１１（１）原式＝ｌｉｍ１＋＝．x→∞－xｅx／５５１５（２）原式＝ｌｉｍ１＋＝ｅ．x→∞x／５（３）令u＝ｓｉｎx，则x→０时，u→０．于是１／uu／ａｒｃｓｉｎ（－u）－１原式＝ｌｉｍ（１＋u）＝ｅ．u→０１／（３x）３３（４）原式＝ｌｉｍ［（１＋３x）］＝ｅx→０－２／x－１x－１（５）原式＝ｌｉｍ１－＝ｅx→０２x４（６）原式＝ｌｉｍ１－x→∞x＋２－（x＋２）／４－４x／（x＋２）４－４＝ｌｉｍ１－＝ｅx→∞x＋２x＋２另解，令u＝－，则x＝－４u－２，且u→∞（x→∞时），于是４－４u－２u－４－２１１１－４原式＝ｌｉｍ１＋＝ｌｉｍ１＋·ｌｉｍ１＋＝ｅ．u→∞uu→∞uu→∞u１４．求下列极限课后答案网：www.hackshp.cn：１／（１－ｃｏｓx）２ｃｏｔ２x（１）ｌｉｍ（ｃｏｓx）；　　　　（２）ｌｉｍ（ｓｅｃx）；x→０x→０５ｓｅｃxｓｉｎx－ｔａｎx（３）ｌｉｍ（１＋ｃｏｓx）；（４）ｌｉｍ３；x→π／２x→０ｓｉｎx３（ｓｉｎx）ｔａｎx１－２ｓｉｎx（５）ｌｉｍ２；（６）ｌｉｍ；x→０１－ｃｏｓxx→π／６ｓｉｎ（x－π／６）π（７）ｌｉｍ（ｔａｎ２x）ｔａｎ－x．x→π／４４解28若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（１）令u＝１－ｃｏｓx，则ｃｏｓx＝１－u，且u→０（x→０时），因此１／u－１原式＝ｌｉｍ（１－u）＝ｅ．u→０２２１１（２）令u＝ｃｏｔx，则ｓｅｃx＝１＋２＝１＋，且x→０时，u→＋∞．因此ｃｏｔxuu１原式＝ｌｉｍ１＋＝ｅu→＋∞u１π（３）令u＝ｃｏｓx，则ｓｅｃx＝，且x→时，u→０．因此u２５／u１／u５５原式＝ｌｉｍ（１＋u）＝ｌｉｍ（１＋u）＝ｅ．u→０u→０（４）因为２３３xx→０时，ｓｉｎx～x，ｓｉｎx～x，ｃｏｓx－１～－２所以ｓｉｎx（ｃｏｓx－１）原式＝ｌｉｍ３x→０ｃｏｓx·ｓｉｎx２x·（－x／２）１１１＝ｌｉｍ３＝－ｌｉｍ＝－．x→０xｃｏｓx２x→０ｃｏｓx２（５）因为３３２１２２x→０时，ｓｉｎx～x，ｔａｎx～x，１－ｃｏｓx～（x），所以２３x·x原式＝ｌｉｍ４＝２x→０x／２ππ（６）令u＝x－，则x→时，u→０，且有６６π１ｓｉｎx＝ｓｉｎu＋＝（３ｓｉｎu＋ｃｏｓu）６２于是有１－（３ｓｉｎu＋ｃｏｓu）原式＝ｌｉｍ课后答案网：www.hackshp.cnu→０ｓｉｎu２１－ｃｏｓuu／２＝ｌｉｍ－３＝ｌｉｍ－３＝－３．u→０ｓｉｎuu→０ｓｉｎu（７）因为ｓｉｎ２xｓｉｎ２xｔａｎ２x＝＝２２ｃｏｓ２xｃｏｓx－ｓｉｎxπｓｉｎ－xπ４ｃｏｓx－ｓｉｎxｔａｎ－x＝＝４πｃｏｓx＋ｓｉｎxｃｏｓ－x４29若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以πｓｉｎ２xｃｏｓx－ｓｉｎxｓｉｎ２xｔａｎ２xｔａｎ－x＝２２·＝２４ｃｏｓx－ｓｉｎxｃｏｓx＋ｓｉｎx（ｃｏｓx＋ｓｉｎx）从而ｓｉｎ２x１１原式＝ｌｉｍ２＝２＝．x→π／４（ｃｏｓx＋ｓｉｎx）２２２＋２２１５．讨论下列函数的连续性：x，x＜０，（１）f（x）＝１－１－xx＋２，x≥０；１／xｅ，x＜０，０，x＝０，（２）f（x）＝１２ｌｎ（１＋x），x＞０．x解　（１）由题设知f（０）＝２，且xx（１＋１－x）f（０－０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２x→０－１－１－xx→０－xf（０＋０）＝ｌｉｍ（x＋２）＝２x→０＋可见ｌｉｍf（x）＝２＝f（０）．所以，该函数在x＝０处连续．x→０x另一方面，在（－∞，０）内为初等函数，连续；１－１－xx＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f（０）＝０，且１／xf（０－０）＝ｌｉｍｅ＝０，课后答案网：www.hackshp.cnx→０－１２２１／x２f（０＋０）＝ｌｉｍｌｎ（１＋x）＝ｌｉｍxｌｎ（１＋x）＝０·１＝０x→０＋xx→０＋所以ｌｉｍf（x）＝０＝f（０）．因此，该函数在x＝０处连续．x→０１／x１２另一方面，ｅ在（－∞，０）内连续，ｌｎ（１＋x）在（０，＋∞）内连续．x综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：30若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１－x，x≠－１，（１）f（x）＝１＋x０，x＝－１；２x，x≤０，（２）f（x）＝ｌｎx，x＞０；x１（３）f（x）＝；　　　（４）f（x）＝xｓｉｎ．xx解　（１）由题设知f（－１）＝０，而２１－xｌｉｍf（x）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（１－x）＝２≠f（０）x→－１x→－１１＋xx→－１所以，x＝－１为该函数的可去间断点．令f（－１）＝２，则２１－x～，x≠－１f（x）＝１＋x２，x＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f（x）的图形如图２．１所示．课后答案网：www.hackshp.cn图２．１图２．２（２）由题设有f（０）＝０，而２f（０－０）＝ｌｉｍx＝０，x→０－f（０＋０）＝ｌｉｍｌｎx＝－∞x→０＋所以，x＝０为该函数的无穷间断点．f（x）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x＝０处无定义，而31若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxxf（０－０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝－１，x→０－xx→０－－xxxf（０＋０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１．x→０＋xx→０＋x因为左、右极限均存在但不相等，所以，x＝０为该函数的跳跃间断点．f（x）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x＝０处无定义．１因ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍxｓｉｎ＝０，故x＝０为该x→０x→０x函数的可去间断点．若令f（０）＝０，则函数１～xｓｉｎ，x≠０f（x）＝x０，x＝０图２．３在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a，b，使函数在定义域内连续：１ｓｉｎx，x＜０，x（１）f（x）＝a，x＝０，１xｓｉｎ＋b，x＞０；xax＋１，x≤１，（２）f（x）＝２x＋x＋b，x＞１；２４３１－x，－＜x＜，（３）f（x）＝５５a＋bx，其他．解　（１）Df＝（－∞，＋∞）．因f（x）在Df的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f（x）在课后答案网：www.hackshp.cn（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f（x）在分界点x＝０处的连续性．已知f（０）＝a，而且ｓｉｎxf（０－０）＝ｌｉｍ＝１，x→０－x１f（０＋０）＝ｌｉｍxｓｉｎ＋b＝bx→０＋x当f（０－０）＝f（０＋０）＝f（０）时，即当a＝b＝１32若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn时，f（x）在x＝０处连续．综上所述，当a＝b＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）Df＝（－∞，＋∞）．因为f（－１）＝１－a，且２f（－１－０）＝ｌｉｍ（x＋x＋b）＝bx→（－１）－f（－１＋０）＝ｌｉｍ（ax＋１）＝１－ax→（－１）＋所以，当a＋b＝１时，f（x）在x＝－１处连续．又因f（１）＝１＋a，且f（１－０）＝ｌｉｍ（ax＋１）＝a＋１x→１－２f（１＋０）＝ｌｉｍ（x＋x＋b）＝２＋bx→１＋所以，当a＋１＝２＋b，即a－b＝１时，f（x）在x＝１处连续．综上所述，当a＋b＝１且a－b＝１，即a＝１，b＝０时，f（x）在x＝－１和x＝１处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）Df＝（－∞，＋∞）．４４因f－＝a－b，且５５４４f－－０＝ｌｉｍ（ax＋b）＝a－b５４－５x→－５４２３f－＋０＝ｌｉｍ１－x＝５４＋５x→－５４３４所以，当a－b＝，即５a－４b＝３时，f（x）在点x＝－处连续．５５５３３又因f＝a＋b，且５５课后答案网：www.hackshp.cn３２４f－０＝ｌｉｍ１－x＝５３－５x→５３３f＋０＝ｌｉｍ（a＋bx）＝a＋b５３＋５x→５３４３所以，当a＋b＝，即５a＋３b＝４时，f（x）在点x＝处连续．５５５综上所述，当５a－４b＝３且５a＋３b＝４，即５１a＝，b＝７７33若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn４３时，f（x）在x＝－与x＝处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．５５（B）１．填空题：１１１（１）ｌｉｍ２＋２＋…＋２＝　　　　；n→∞n（n＋１）（２n）ｌｎ（x＋a）－ｌｎa（２）ｌｉｍ（a＞０）＝　　　　；x→０xx－a＋x－a（３）ｌｉｍ（a＞０）＝　　　　；x→a＋２２x－ax（４）若ｌｉｍn＋１n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝　　　　，k＝　　x→＋∞x－（x－１）　　；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；１（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ，则x＝０是f（x）的间断点；xx（７）设f（x）＝，则x＝０是f（x）的间断点；x１（８）函数f（x）＝的连续区间是　　　　．２x－５x＋６１１答　（１）０；　　（２）；　　（３）；a２a１（４）２００８，；　　（５）等价；２００８（６）可去；　　（７）跳跃；　　（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为课后答案网：www.hackshp.cn１１１１１≤２＋２＋…＋２≤４nn（n＋１）（２n）n１１且ｌｉｍ＝０，ｌｉｍ＝０．n→∞４nn→∞n所以，由夹逼定理可知，原式＝０．１／xx（２）原式＝ｌｉｍｌｎ１＋x→０aa／x１x＝ｌｉｍｌｎ１＋ax→０a34若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cna／x１x１１＝ｌｎｌｉｍ１＋＝ｌｎｅ＝．ax→０aaa（３）因为x－a＋x－ax－a１＝＋２２x－ax＋a（x＋a）x＋a且x－a１１ｌｉｍ＝０，ｌｉｍ＝x→a＋x＋a（x＋a）x→a＋x＋a２a１所以，原式＝．２a（４）因为n＋１n＋１nn－１n－１nx－（x－１）＝［x－（x－１）］［x＋x（x－１）＋…＋x（x－１）＋（x－１）］n－１nn１１１＝x１＋１－＋…＋１－＋１－xxx所以，由题设有２００８－nx原式＝ｌｉｍn－１n＝k≠０x→＋∞１１１１＋１－＋…＋１－＋１－xxx显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而１１原式＝ｌｉｍn－１n＝＝kx→＋∞１１１n１＋１－＋…＋１－１－xxx１１所以，k＝＝．n２００８（５）因为课后答案网：www.hackshp.cn１＋x－１－x２ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１x→０xx→０１＋x＋１－x所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为１ｓｉｎx１ｌｉｍｓｉｎx·ｓｉｎ＝ｌｉｍ·ｌｉｍxｓｉｎ＝１×０＝０．x→０xx→０xx→０x所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为35若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－xxf（０－０）＝ｌｉｍ＝－１，f（０＋０）＝ｌｉｍ＝１x→０－xx→０＋x左、右极限存在，但不相等，故x＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是２x－５x＋６＝（x－２）（x－３）＞０由此得x＜２或x＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f（x）在点x０处有定义，是极限ｌｉｍf（x）存在的　　　　．x→x０（Ａ）必要条件；　　　　　　　（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是　　　　．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．１，x≠１，（３）设函数f（x）＝则ｌｉｍf（x）＝　　　　．０，x＝１，x→１（Ａ）０；　　（Ｂ）１；　　（Ｃ）不存在；　　（Ｄ）∞．２x＋ax＋b（４）若ｌｉｍ２＝－１，则　　　　．x→２x－３x＋２（Ａ）a＝－５，b＝６；　　　　（Ｂ）a＝－５，b＝－６；（Ｃ）a＝５，b＝６；（Ｄ）a＝５，b＝－６．１－x３（５）设f（x）＝，g（x）＝１－x，则当x→１时，　　　　．１＋x（Ａ）f（x）与g（x）为等价无穷小；（Ｂ）f（x）课后答案网：www.hackshp.cn是比g（x）高阶的无穷小；（Ｃ）f（x）是比g（x）低阶的无穷小；（Ｄ）f（x）与g（x）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是　　　　．１ｃｏｓx，x≤０，，x＞０，（Ａ）f（x）＝　　　（Ｂ）f（x）＝xｓｉｎx，x＞０；x，x≤０；－１／x２x＋１，x≤０，１－ｅ，x≠０，（Ｃ）f（x）＝（Ｄ）f（x）＝x－１，x＞０；１，x＝０．36若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是　　　　．２２（Ａ）f（x）＝x＋２x－３；　　　　（Ｂ）f（x）＝x－２x－３；２２（Ｃ）f（x）＝x－４x＋３；（Ｄ）f（x）＝x＋４x＋３．（８）若f（x）在区间上连续，则f（x）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a，b）；　　（Ｂ）［a，b］；　　（Ｃ）［a，b）；　　（Ｄ）（a，b］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍf（x）是否存在与f（x）在点x０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．x→x０（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n→∞时nｓｉｎn是无界变量，而不是无穷大；２n→∞时，nｓｉｎn是无界变量，n是无穷大，而n·nｓｉｎn＝nｓｉｎn是无界变量，不是无穷大；n→∞时，n与－n都是无穷大，但n＋（－n）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu０＝∞，　ｌｉｍvn＝∞u→∞u→∞则对任意给定的M＞０，存在正整数N１，N２，使当n＝N１，n＞N２时，恒有un＞M，vn＞M取N＝ｍａｘ｛N１，N２｝，则当n＞N时，恒有２unvn＝un·vn＞M·M＝M这表明ｌｉｍunvn＝∞．n→∞（３）易知f（１－０）＝f（１＋０）＝１，从而ｌｉｍf（x）＝１，故应选（Ｂ）．x→１２（４）因为ｌｉｍ（x－３x＋２）＝ｌｉｍ（x－２）（x－１）＝０，因此，分子的极限也应为x→２x→２０，即应有２２x＋ax＋b＝（x－２）（x－c）＝x－（２＋c）x＋２c课后答案网：www.hackshp.cn由此得a＝－（２＋c），b＝２c于是，由题设有２x＋ax＋b（x－２）（x－c）ｌｉｍ２＝ｌｉｍx→２x－３x＋２x→２（x－２）（x－１）x－c＝ｌｉｍ＝２－c＝－１x→２x－１由此得c＝３，从而得a＝－５，b＝６．故应选（Ａ）．（５）因为37若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf（x）１－x１ｌｉｍ＝ｌｉｍ·３x→１g（x）x→１１＋x１－x３３３２（１－x）（１＋x＋x）＝ｌｉｍ３x→１（１＋x）（１－x）３３２１＋x＋x３＝ｌｉｍ＝≠１x→１１＋x２所以，应选（Ｄ）．（６）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）均在x＝０处不连续．因为（Ａ）f（０－０）＝１≠f（０＋０）＝０；（Ｂ）f（０－０）＝０，f（０＋０）＝＋∞；（Ｃ）f（０－０）＝１≠f（０＋０）＝－１；因为－１／x２１ｌｉｍ（１－ｅ）＝ｌｉｍ１－１／x２＝１－０＝１＝f（０）x→０x→０ｅ故（Ｄ）中f（x）在x＝０处连续；在x≠０处为初等函数，连续．因此，在定义域（－∞，＋∞）内连续．故应选（Ｄ）．（７）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）均不符合要求．因为２（Ａ）应有x＋２x－３＝（x－１）（x＋３）≥０痴x≤－３或x≥１；２（Ｂ）应有x－２x－３＝（x＋１）（x－３）≥０痴x≤－１或x≥３；２（Ｃ）应有x－４x＋３＝（x－１）（x－３）≥０痴x≤１或x≥３；２（Ｄ）应有x＋４x＋３＝（x＋１）（x＋３）≥０痴x≤－３或x≥－１．由此可知，应选（Ｃ）．（８）选（Ｂ）．３．证明：若ｌｉｍf（x）＝a，则ｌｉｍf（x）＝a；举例说明，反之不一定成立．x→xx→x００证因ｌｉｍf（x）＝a，所以对任意给定的ε＞０，存在δ＞０，使当０＜x－x０x→x０＜δ时，恒有课后答案网：www.hackshp.cnf（x）－a＜ε于是有｜｜f（x）｜－｜a｜｜≤｜f（x）－a｜＜ε因此有ｌｉｍ｜f（x）｜＝｜a｜x→x０反之不一定成立．例如，设－１，x＜０f（x）＝１x＞０38若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn则ｌｉｍ｜f（x）｜＝ｌｉｍ１＝１x→０x→０而ｌｉｍf（x）＝－１，ｌｉｍf（x）＝１，左、右极限存在，但不相等，故ｌｉｍf（x）不存在．x→０－x→０＋x→０４畅求下列极限：３５２n＋１（１）ｌｉｍ２２＋２２＋…＋２２；n→∞１·２２·３n（n＋１）１２n（２）ｌｉｍ２＋２＋…＋２；n→∞n＋n＋１n·n＋２n＋n＋nn１／nnx（３）ｌｉｍ（１＋２）；　　（４）ｌｉｍ３ｓｉｎn．n→∞n→∞３解　（１）因为２n＋１１１２２＝２－２，n＝１，２，３，…n（n＋１）n（n＋１）所以１１１１１１原式＝ｌｉｍ２－２＋２－２＋…＋２－２n→∞１２２３n（n＋１）１＝ｌｉｍ１－２＝１n→∞（n＋１）（２）因为１２n１＋２＋…＋nn＋１２＋２＋…＋２＝２＝n＋n＋nn＋n＋nn＋n＋nn＋２n２（n＋２）１２n＜２１＋１＋２＋…＋２n＋nn＋n＋２n＋n＋n１２n１＋２＋…＋nn（n＋１）＜２＋２＋…＋２＝２＝２n＋n＋１n＋n＋１n＋n＋１n＋n＋１２（n＋n＋１）而n＋１１n＋１１ｌｉｍ＝，　ｌｉｍ２＝n→∞２（n＋２）２n→∞２（n＋n＋１）２所以，由夹逼定理得课后答案网：www.hackshp.cn１原式＝２１／nn１（３）原式＝ｌｉｍ２１＋nn→∞２１／n１０＝２ｌｉｍ１＋n＝２×１＝２n→∞２１x（４）原式＝ｌｉｍ·ｓｉｎn·x＝x．n→∞x３n３39若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxn－１５畅设x１＝１，xn＝１＋（n＝２，３，…）．求ｌｉｍxn．１＋xn－１n→∞解显然，０＜xn＜２（n＝１，２，…），即xn有界．另一方面，显然有x１＜x２，设xn－１＜xn，则xnxn－１xn－xn－１xn＋１－xn＝１＋－１＋＝＞０１＋xn１＋xn－１（１＋xn）（１＋xn－１）即xn＜xn＋１．因此，xn单调增加．由于xn单调有界，故极限存在．设ｌｉｍxn＝an→∞xn－１则由xn＝１＋两边同时取极限，得１＋xn－１aa＝１－１＋a由此解得１ｌｉｍxn＝a＝（１＋５）　（舍去负值）．n→∞２６畅求下列极限：１（１）ｌｉｍｌｎ１＋８x；x→０xxxa－a０（２）ｌｉｍ（０＜a≠１）；x→x０x－x０２９x＋x－８－１（３）ｌｉｍ；x→∞２x＋ｓｉｎx２２ｌｎ（ｃｏｓx＋１－x）２／x（４）ｌｉｍ＋（１＋x）；xx→０ｅ＋ｓｉｎx１２n（５）ｌｉｍｓｉｎx＋ｓｉｎ＋…＋ｓｉｎx－n；x→π／２ｓｉｎx－１课后答案网：www.hackshp.cnx５（６）ｌｉｍ１－；x→∞xx３２（７）ｌｉｍ１＋＋２；x→∞xxx１１（８）ｌｉｍｓｉｎ＋ｃｏｓ；x→∞xx１（９）ｌｉｍｌｎ（１＋x）－ｌｎx；x→＋∞x１／x１／x（１０）ｌｉｍxa－b　（a＞０，b＞０）x→＋∞40若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解１（１）原式＝４ｌｉｍｌｎ（１＋８x）x→０８x１／８x＝４ｌｉｍｌｎ（１＋８x）＝４×１＝４．x→０（２）令u＝x－x０，则x→x０时，u→０，于是u＋xxu００a－axa－１原式＝ｌｉｍ＝a０ｌｉｍu→０uu→０uu由式（２畅２４）知，a－１～uｌｎa．从而有xuｌｎax原式＝a０ｌｉｍ＝a０ｌｎa．u→０u１８｜x｜q＋－２－１xx（３）原式＝ｌｉｍx→∞２｜x｜１＋（ｓｉｎx）／x１１１q＋－２－xx｜x｜３＝ｌｉｍ＝＝３x→∞２１１＋（ｓｉｎx）／x（４）因为２２２２ｌｉｍｌｎ（ｃｏｓx＋１－x）＝ｌｎｌｉｍ（ｃｏｓx＋１－x）＝ｌｎ２，x→０x→０xｌｉｍxｌｉｍ（ｅ＋ｓｉｎx）＝ｅx→０＋ｌｉｍｓｉｎx＝１≠０，x→０x→０２／x１／x２２ｌｉｍ（１＋x）＝ｌｉｍ（１＋x）＝ｅ．x→０x→０所以２２ｌｉｍｌｎ（ｃｏｓx＋１－x）x→０２／x原式＝x＋ｌｉｍ（１＋x）ｌｉｍ（ｅ＋ｓｉｎx）x→０x→０ｌｎ２２２＝＋ｅ＝ｌｎ２＋ｅ１（５）因为课后答案网：www.hackshp.cn２n２nｓｉｎx＋ｓｉｎx＋…＋ｓｉｎx－n＝（ｓｉｎx－１）＋（ｓｉｎx－１）＋…＋（ｓｉｎx－１）n－１＝（ｓｉｎx－１）［１＋（ｓｉｎx＋１）＋＋（ｓｉｎx＋…＋ｓｉｎx＋１）］所以n－１原式＝ｌｉｍ［１＋（ｓｉｎx＋１）＋…＋（ｓｉｎx＋…＋ｓｉｎx＋１）］x→π／２１＝１＋２＋…＋n＝n（n＋１）２（－５／x）－５５－５（６）原式＝ｌｉｍ１＋－＝ｅx→∞x41若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx３x＋２（７）原式＝ｌｉｍ１＋２x→∞xx２／（３x＋２）（３x＋２）／x３x＋２＝ｌｉｍ１＋２x→∞x３＝ｅ１（８）令u＝，则x→∞时，u→０．于是x１／u２１／２u原式＝ｌｉｍ（ｓｉｎu＋ｃｏｓu）＝ｌｉｍ（ｓｉｎu＋ｃｏｓu）u→０u→０１／２u１／ｓｉｎ２uｓｉｎ２u／２u＝ｌｉｍ（１＋ｓｉｎ２u）＝ｌｉｍ［（１＋ｓｉｎ２u）］u→０u→０１＝ｅ＝ｅ．１／x１／x１１（９）原式＝ｌｉｍｌｎ１＋＝ｌｎｌｉｍ１＋x→＋∞xx→＋∞x＝ｌｎ１＝０１＋（１０）令u＝，则x→＋∞时，u→０．于是xuuuua－b（a－１）－（b－１）原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍu→０＋uu→０＋uuｌｎa－uｌｎba＝ｌｉｍ＝ｌｎa－ｌｎb＝ｌｎu→０＋ub１uu７畅设f（x）＝ｌｉｍｌｎ（ｅ＋x），（x＞０）：u→＋∞u（１）求f（x）；（２）讨论f（x）的连续性．解（１）x＝ｅ时，１u１f（ｅ）＝ｌｉｍｌｎ（２ｅ）＝ｌｉｍ（ｌｎ２＋u）＝１；u→＋∞uu→＋∞u０＜x＜ｅ时，uu１ux１xf（x）＝ｌｉｍｌｎｅ１＋＝１＋ｌｉｍｌｎ１＋＝１u→＋∞uｅu→＋∞uｅ课后答案网：www.hackshp.cnx＞ｅ时，u１uｅf（x）＝ｌｉｍｌｎx１＋u→＋∞uxu１ｅ＝ｌｉｍｌｎx＋ｌｎ１＋＝ｌｎxu→＋∞ux所以１，０＜x≤ｅf（x）＝ｌｎx，x＞ｅ（２）因为42若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf（ｅ－０）＝１，f（ｅ＋０）＝ｌｉｍｌｎx＝１，f（ｅ）＝１x＞ｅ＋可见f（x）在x＝ｅ处连续．又因在（０，ｅ）内f（x）≡１，连续；在（ｅ，＋∞）内f（x）＝ｌｎx，连续．综上所述，f（x）在（０，＋∞）内连续．８畅证明下列方程在给定区间内至少存在的一个根：x（１）x·３＝１，x∈［０，１］；３（２）x＋px＋q＝０（p＞０），x∈（－∞，＋∞）；（３）x＝aｓｉｎx＋b（a＞０，b＞０），x∈［０，a＋b］．证　（１）令xf（x）＝x·３－１则f（x）为初等函数，在［０，１］上连续，且f（０）＝－１＜０，f（１）＝２＞０所以，由零值定理可知，方程xf（x）＝x·３－１＝０在（０，１）内至少有一实根，即存在ξ∈（０，１），使得ξf（ξ）＝０，即ξ·３＝１（２）令３f（x）＝x＋px＋８因为ｌｉｍf（x）＝－∞，所以，存在x１∈（－∞，０），使得x→－∞f（x１）＜０类似地，因为ｌｉｍf（x）＝＋∞，故存x２∈（０，＋∞），使得x→＋∞f（x２）＞０因f（x）为多项式函数，在闭区间［x１，x２］上连续，故由零值定理可知，f（x）＝３x＋px＋q＝０在（x１，x２）炒（－∞，＋∞）内至少有一个实根．（３）令课后答案网：www.hackshp.cnf（x）＝aｓｉｎx＋b－x则f（x）在［０，a＋b］上连续，且有f（０）＝b＞０，f（a＋b）＝aｓｉｎ（a＋b）＋b－（a＋b）＝a［ｓｉｎ（a＋b）－１］若ｓｉｎ（a＋b）＝１，则f（a＋b）＝０，x＝a＋b为所求，若ｓｉｎ（a＋b）＜１，则f（a＋b）＜０，f（x）＝０在（０，a＋b）内至少有一实根．43若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第三章导数与微分习题三（A）１畅用定义求下列函数的导数：１（１）y＝x；　　　　（２）y＝；x２（３）y＝x＋３x－２；（４）y＝ｃｏｓx．解（１）∵Δ＝x＋Δx－xΔyx＋Δx－x∴y′（x）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍΔx→０ΔxΔx→０ΔxΔx＝ｌｉｍΔx→０Δxx＋Δx＋x）１１＝ｌｉｍ＝．Δx→０x＋Δx＋x２x１１Δx（２）∵Δy＝－＝－x＋Δxxx（x＋Δx）Δy１１∴y′（x）＝ｌｉｍ＝－ｌｉｍ＝－２．Δx→０ΔxΔx→０x（x＋Δx）x２２（３）∵Δy＝［（x＋Δx）＋３（x＋Δx）－２］－（x＋３x－２）２２课后答案网：www.hackshp.cn＝（x＋Δx）－x＋３Δx＝（２x＋３＋Δx）ΔxΔy∴y′（x）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（２x＋３＋Δx）＝２x＋３．Δx→０ΔxΔx→０ΔxΔx（４）∵Δy＝ｃｏｓ（x＋Δx）－ｃｏｓx＝－２ｓｉｎx＋ｓｉｎ２２１Δxｓｉｎx＋ΔxｓｉｎΔy２２∴y′＝ｌｉｍ＝－２ｌｉｍΔx→０ΔxΔx→０ΔxΔxｓｉｎ（Δx／２）＝ｌｉｍｓｉｎx＋·ｌｉｍΔx→０２Δx→０（Δx／２）44若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由此得２bxｄy＝－２ｄxay（４）对方程两端求导，得（ｄyｓｉｎx＋yｃｏｓxｄx）－（ｓｉｎyｄx＋xｃｏｓyｄy）＝０合并同类项得（ｓｉｎx－xｃｏｓy）ｄy＋（yｃｏｓx－ｓｉｎy）ｄx＝０由此得ｓｉｎy－yｃｏｓxｄy＝ｄx．ｓｉｎx－xｃｏｓy１６．求下列各数的近似值：１．００１（１）２；　　　　（２）ｌｎ１．００２；３（３）ｓｉｎ２９°；（４）７６．解xx（１）令f（x）＝２，ｄf＝（２ｌｎ２）Δx．取x０＝１，Δx－０．００１，则１．００１　　　２≈f（１）＋ｄf｜x＝１，Δx＝０．００１０１１＝２＋２×ｌｎ２×０．００１＝２＋０．００２×ｌｎ２≈２．００１３８６（ｌｎ２≈０．６９３１）．（２）令f（x）＝ｌｎx，x０＝１，Δx＝０．００２，则ｌｎ（１．００２）≈f（１）＋ｄfx＝１，Δx＝０．００２０１＝ｌｎ１＋×Δxx０１＝０＋×０．００２＝０．００２１（３）令f（x）＝ｓｉｎx，则ｄf＝ｃｏｓx·Δx课后答案网：www.hackshp.cnππππ因ｓｉｎ２９°＝ｓｉｎ－，故取x０＝，Δx＝－，６１８０６１８０则πππππｓｉｎ２９°＝ｓｉｎ－≈ｓｉｎ＋ｃｏｓ×－６１８０６６１８０１３π＝－×≈０．４８４９２２１８０３３３（４）因７６＝４．２＋１．９１２，故设１／３３f（x）＝x，x０＝４．２，Δx＝１．９１２，则由61若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１－２／３ｄf＝xΔx３得３７６≈f（x０）＋ｄfx＝４．２３，Δx＝１．９１２０３３１３－２／３＝４．２＋×（４．２）×１．９１２３１１＝４．２＋×３×１．９１２３４．２≈４．２３６１．１７．已知某产品的总成本函数和总收益函数分别为：５xC（x）＝５＋２x，R（x）＝，x＋２其中x为该产品的销售量．求该产品的边际成本、边际收益和边际利润．解边际成本为１C′（x）＝，x边际收益为５（x＋２－x）１０R′（x）＝２＝２，（x＋２）（x＋２）于是，边际利润为１０１L′（x）＝［R（x）－C（x）］′＝R′（x）－C′（x）＝２－．（x＋２）x１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为：p＝１０００－２x，C（x）＝５０００＋２０x其中x为销售量，P为价格．求边际利润课后答案网：www.hackshp.cn，并计算x＝２４０，２４５和２５０时的边际利润，解释其经济意义．解利润函数为L（x）＝R（x）－C（x）＝px－C（x）＝（１０００－２x）x－（５０００＋２０x）２＝－２x＋９８０x－５０００则边际利润为L′（x）＝－４x＋９８０由此计算得L′（２４０）＝２０，L′（２４５）＝０，L′（２５０）＝－２０62若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnL′（２４０）＝２０的经济意义是，当销售量为２４０个单位时，再多销售１个单位产品，利润将增加２０个单位；而L′（２５０）＝－２０，则表明，当销售量为２５０个单位时，再多销售１个单位产品，利润将减少２０个单位；L′（２４５）＝０表明，当销售量达到２４５个单位时，利润达到最大值，再增加或减少销售量，利润均会减少．１９．求下列需求函数的需求价格弹性，并讨论其何时为高弹性或低弹性？（其中a，b为正的常数）：（１）x＝a－bp；　　　　　（２）p＝a－bx解　（１）依定义有pｄxbpεp＝＝－xｄp２（a－bp）２a由x＞０，得p＜．令｜εp｜＝１，即b２bp２a＝１痴p＝２（a－bp）３b于是２２a当０＜p＜时，｜εp｜＜１，为低弹性；３b２２２aa当＜p＜时，｜εp｜＞１，为高弹性．３bb１２（２）首先，由p＝a－bx得x＝（a－p），b于是２pｄxbp２p２pεp＝＝２－＝２xｄpa－pbp－a其次，由x＞０，得p＜a．令２２pa｜εp｜＝１，即２＝１痴p＝课后答案网：www.hackshp.cna－p３因此a当０＜p＜时，｜εp｜＜１，为低弹性，３a当＜p＜a时，｜εp｜＞１，为高弹性．３２０．求下列函数的弹性（其中A、α为正的常数）：ααx（１）y＝Ax；　　　　（２）y＝Aｅ解　（１）依定义有63若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnEyxｄyxα－１＝＝αAαxExyｄxAx即幂函数的弹性为常数α．（２）依定义有Eyxｄyxαx＝＝αxαAｅ＝αxExyｄxAｅ即指数函数的弹性为线性函数．（B）１．填空题：４x（１）y＝ｌｎ，则y′＝；２２a＋x３x－１２（２）已知y＝f，f′（x）＝ａｒｃｔａｎx，则y′（０）＝；３x＋２ｄ（ａｒｃｓｉｎx）（３）＝；ｄ（ａｒｃｃｏｓx）１（４）曲线y＝２在点（－１，１）的切线方程为；xn（５）设y＝f（x）＝x在点（１，１）处的切线与x轴的交点为（θn，０），则ｌｉｍn→∞f（θn）＝；xx＋t（６）设f（t）＝ｌｉｍt，则f′（t）＝；n→∞x－t（７）设x＋y＝ｔｎａy，则ｄy＝；１－x（n）（８）设f（x）＝，则f（x）＝；１＋x４x３π答　（１）－２２；　　　　　　（２）；　　　　　（３）－１；xa＋x４－１２t（４）２课后答案网：www.hackshp.cnx＋３；（５）ｅ；（６）（１＋２t）ｅ；ｄxｄxｄx（７）２＝２＝２；ｓｅｃy－１ｔａｎy（x＋y）n２（－１）n！（８）n＋１．（１＋x）１２２解　（１）将y变形，得y＝４ｌｎ｜x｜－ｌｎ（a＋x），所以２４xy′＝－２２xa＋x（２）此题应先求出y，为此引入中间变量64若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３x－２u＝３x＋２则由复合函数求导法则，有３x－２′y′＝f′（u）３x＋２２２１２１２３x－２＝ａｒｃｔａｎu·２＝２ａｒｃｔａｎ（３x＋２）（３x＋２）３x＋２于是π３πy′（０）＝３×ａｒｃｔａｎ１＝３×＝４４２－１／２（ａｒｃｓｉｎx）′ｄx（１－x）ｄx（３）原式＝＝２－１／２＝－１．（ａｒｃｃｏｓx）′ｄx－（１－x）ｄx－２（４）函数y＝x在点（－１，１）处的切线斜率为－３k＝y′｜x＝－１＝－２x｜x＝－１＝２所以，切线方程为y－１＝２（x＋１），或y＝２x＋３．n（５）函数y＝f（x）＝x在点（１，１）处的切线斜率为n－１k＝y′｜x＝１＝nx｜x＝１＝n因此，切线方程为y－１＝n（x－１）　或y＝nx＋（１－n）切线与x轴的交点（θn，０）满足６条件：n－１０＝nθn－（n－１）痴θn＝n于是nnn－１１－１ｌｉｍf（θn）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ１－＝ｅ．n→∞n→∞nn→∞n（６）先求出f（t）：xx课后答案网：www.hackshp.cnx＋t２tf（t）＝tｌｉｍ＝tｌｉｍ１＋x→∞x－tt→∞x－tx－t２＋x２t２tx－t＝tｌｉｍ１＋x→∞x－t２t＝tｅ所以２t２t２tf′（t）＝ｅ＋２tｅ＝（１＋２t）ｅ（７）对方程两端求微分，得２ｄx＋ｄy＝ｓｅｃyｄy65若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由此得１１１ｄy＝２ｄx＝２ｄx＝２ｄxｓｅｃy－１ｔａｎy（x＋y）（８）因为－（１＋x）－（１－x）－２f′（x）＝２＝（－２）（１＋x）（１＋x）于是－２２－３f″（x）＝（－２）［（１＋x）］′＝（－２）（１＋x）２－４f碶（x）＝（－２）（－３）（１＋x）３－（３＋１）＝２×（－１）×３！×（１＋x）一般地（n）n－（n＋１）f（x）＝２×（＋１）·n！（１＋x）n２×（－１）n！＝n＋１，n＝１，２，…（１＋x）２．单项选择题：（１）设ａｒｃｔａｎx，｜x｜≤１f（x）＝ππxx－１ｓｉｎ＋，｜x｜＞１４２２则f（x）在x＝１处．（Ａ）连续，但左、右导数不存在；（Ｂ）连续，左、右导数存在但不相等；（Ｃ）不连续；（Ｄ）连续且导数存在．（２）设１－x２（１－ｅ），x≠０f（x）＝x课后答案网：www.hackshp.cn０，０则f′（０）＝．１（Ａ）０；　　　　　（Ｂ）；　　　　　（Ｃ）１；　　　　　（Ｄ）－１．２xf（x）－af（x）（３）设f′（a）存在，则ｌｉｍ＝．x→ax－a（Ａ）af′（a）；　　　　（Ｂ）f（a）－af′（a）；　　　　（Ｃ）－af′（a）；　　　　（Ｄ）af′（a）－f（a）．（４）设66若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１＋x，x＜０２f（x）＝a，x＝０xa（a－１）xｅ＋１，x＞０则下列“结论”中不正确的是．（Ａ）a为任意值时，ｌｉｍf（x）存在；x→０（Ｂ）a＝－１或a＝１时，f（x）在x＝０处连续；（Ｃ）a＝１时，f（x）在x＝０处可导；（Ｄ）a＝－１时，f（x）在x＝０处可导．３２（５）设曲线y＝x＋ax与曲线y＝bx＋１在点（－１，０）处相切，则．（Ａ）a＝b＝－１；　　　　　　　　（Ｂ）a＝－１，b＝１；（Ｃ）a＝B＝１；（Ｄ）a＝１，b＝－１．（６）设对任意x，皆有f（１＋x）＝２f（x），且f（０）＝１，f′（０）＝a（常数），则．（Ａ）f′（１）＝０＇（Ｂ）f′（１）＝a；（Ｃ）f′（１）不存在；（Ｄ）f′（１）＝２a．（７）已知f（x）＝（x－a）（x－b）（x－c）（x－d），且f′（x０）＝（c－a）（c－b）（c－d），则必有．（Ａ）x０＝a；（Ｂ）x０＝b；（Ｃ）x０＝c；（Ｄ）x０＝d．x（８）设y＝x，则y″＝．x２x（Ａ）（１＋ｌｎx）x；（Ｂ）（１＋ｌｎx）x；xx－１２xx－１（Ｃ）（１＋ｌｎx）x＋x；（Ｄ）（１＋ｌｎx）x＋x．答　（１）Ｄ；（２）Ｃ；（３）Ｂ；（４）Ｄ；（５）Ａ；（６）Ｄ；（７）Ｃ；（８）Ｄ．解　（１）因为πf（１）＝ａｒｃｔａｎ１＝４课后答案网：www.hackshp.cnπf（１－０）＝ｌｉｍａｒｃｔａｎx＝ａｒｃｔａｎ｜＝x→１－４ππxx－１πf（１＋０）＝ｌｉｍｓｉｎ＋＝x→１＋４２２４所以f（１－０）＝f（１＋０）＝f（１），从而f（x）在x＝１处连续．x－１另一方面，令u＝，则２－－＋＋x→１时，u→０；x→１时，u→０．ａｒｃｔａｎx－ａｒｃｔａｎ１f′－（１）＝ｌｉｍx→１－x－１67若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１ａｒｃｔａｎu１＝ｌｉｍａｒｃｔａｎ＝ｌｉｍ＝；x→１－x－１２u→０－u２ππxx－１πｓｉｎ＋－４２２４πxf′＋（１）＝ｌｉｍ　（其中ｓｉｎ＝ｃｏｓπu）x→１＋x－１２１π１－ｃｉｓπu＋１２＝ｌｉｍ１－×　（u→０时，１－ｃｏｓπu～（πu））２u→０＋４u２２１ππ１＝－×ｌｉｍu＝２８２u→０＋２１１因f′－（１）＝f′＋（１）＝，故f（x）在x＝１处可导，且f′（１）＝．２２因此，应选（Ｄ）（２）f（x）－f（x）f′（０）＝ｌｉｍx→０x１－x２＝ｌｉｍ２（１－ｅ）x→０x２u令u＝－xｅ－１uｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１．u→０uu→０uu（因为u→０时，ｅ－１～u）．因此，应选（Ｃ）．xf（a）－af（x）f（a）（x－a）－a［f（x）－f（a）］（３）ｌｉｍ＝ｌｉｍx→ax－ax→ax－a＝f（a）－af′（a）因此，应选（Ｂ）．（４）因为２f（０－０）＝ｌｉｍ（１＋x）＝１，t→０－xf（０＋０）＝ｌｉｍ［a（a－１）xｅ＋１］＝１x→０＋所以，ｌｉｍf（０）＝１，（Ａ）正确．x→０课后答案网：www.hackshp.cna＝±１时，f（０）＝１＝ｌｉｍf（x），故f（x）在x＝０处连续，故（Ｂ）正确．x→０a＝１时，２１＋x，x＜０f（x）＝１，x＝０１，x＞０于是２（１＋x）－１f′－（０）＝ｌｉｍ＝０x→０－x68若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１－１f′＋（０）＝ｌｉｍ＝０x→０＋x可见，f′（０）＝０，（Ｃ）正确．a＝－１时，１＋x２，x＜０f（x）＝１，x＝０x２xｅ＋１，x＞０于是x（２xｅ＋１）－１xf′－（０）＝０，f′＋（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（２ｅ）＝２．x→０＋xx→０＋因f′－（０）≠f′＋（０），故f′（０）不存在，即（Ｄ）不正确．综上所述，应选（Ｄ）．（５）二曲线在点（－１，０）处的切线斜率应相等，因为２y′x＝－１＝（３x＋a）x＝－１＝３＋ay′x＝－１＝（２bx）x＝－１＝－２b故有a＋３＝－２b．①二曲线在点（－１，０）相交，应有－１－a＝b＋１，即a＋b＝－２②由①、②解得a＝b＝－１．因此，应选（Ａ）．（６）令x＝０，由f（１＋x）＝２f（x），f（０）＝１，得f（１）＝２f（０）＝２于是f（１＋Δx）－f（１）２f（Δx）－２f′（１）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍΔx→０ΔxΔx→０Δxf（Δx）－f（０）＝２ｌｉｍ＝２f′（０）＝２a课后答案网：www.hackshp.cnΔx→０Δx所以，应选（Ｄ）．（７）因为f′（x）＝（x－b）（x－c）（x－d）＋（x－a）（x－c）（x－d）＋（x－a）（x－b）（x－d）＋（x－a）（x－b）（x－c）且f′（x０）＝（c－a）（c－b）（c－d）可知x０＝c．所以，应选（Ｃ）．（８）取对数，得ｌｎy＝xｌｎx，对此式求导，得69若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cny′＝（１＋ｌｎx）y再对上式求导，得y１２y″＝＋（１＋ｌｎx）y′＝y＋（１＋ｌｎx）yxx１２＝＋（１＋ｌｎx）yxx－１２＝x＋（１＋ｌｎx）x所以，应选（Ｄ）．３．证明下列各题：（１）可导的偶函数，其导函数为奇函数；（２）可导的奇函数，其导函数为偶函数；（３）可导的周期函数，其导函数为周期相同的周期函数．证　（１）因f（－x）＝f（x），所以，由导数定义，有f（－x＋Δx）－f（－x）f′（－x）＝ｌｉｍΔx→０Δxf（x－Δx）－f（x）＝－ｌｉｍ＝－f′（x）Δx→０（－Δx）即f（x）为可导的偶函数时，f′（x）为奇函数；（２）因f（－x）＝－f（x），所以f（－x＋Δx）－f（－x）f′（－x）＝ｌｉｍΔx→０Δx－f（x－Δx）＋f（x）＝ｌｉｍΔx→０Δxf（x－Δx）－f（x）＝ｌｉｍ＝f′（x）Δx→０（－Δx）即f（x）为可导的奇函数时，f（x）为偶函数．（３）设f（x＋T）＝f（x），则两边同时求导，得课后答案网：www.hackshp.cnf′（x＋T）（x＋T）′＝f′（x＋T）＝f′（x）所以，f′（x）为周期为T的周期函数．４．设f（x），g（x）在x＝x０处可导，且f（x０）＝g（x０），令f（x），x≤x０φ（x）＝g（x），x＞x０讨论下述问题：（１）若f′（x０）＝g′（x０），问φ′（x０）是否存在？（２）若φ′（x０）存在，问f′（x０）与g（x０）是否存在？解　（１）分别计算φ′－（x０）与φ′＋（x０）：70若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf（x）－f（x０）φ′－（x０）＝ｌｉｍ＝f′（x０）x→x０－x－x０g（x）－f（x０）φ′＋（x０）＝ｌｉｍ　　（∵f（x０）＝g（x０））x→x０＋x－x０g（x）－g（x０）＝ｌｉｍ＝g′（x０）x→x０＋x－x０因f′（x０）＝g′（x０），故φ′－（x０）＝φ′＋（x０），从而φ′（x０）存在．（２）因φ′（x０）存在，故有φ′－（x０）＝φ′＋（x０）＝φ′（x０）而由（１）有φ′－（x０）＝f′（x０），φ′＋（x０）＝g′（x０）从而有f′（x０）＝g′（x０）＝φ′（x０）所以，若φ′（x０）存在，则f′（x０）与g′（x０）皆存在，且都等于φ′（x０）．５．求下列函数的导数：１（１）y＝；２２１＋x（x＋１＋x）（２）y＝ｓｉｎxｃｏｓxｃｏｓ２xｃｏｓ４x；ｓｉｎxｃｏｓx（３）y＝＋；１＋ｃｏｔx１＋ｔａｎx２４（４）y＝ｌｎ（ｓｉｎｘ＋１＋ｓｉｎx）；１－ｃｏｓ２x（５）y＝ｌｎ２；x３／２xx－２（６）y＝ｌｎｅ；x＋２ｃｏｓ２x（７）y＝课后答案网：www.hackshp.cn；ｓｉｎx＋ｃｏｓx－x－x－x（８）y＝ｌｎ（２＋４＋１６）；２２（９）y＝（ｓｉｎ１－x）；（１０）y＝［ｓｉｎ（ｌｎx）＋ｃｏｓ（ｌｎx）］x；解　（１）将y变形：２x－１＋xxy＝＝１－２２２２１＋x［x－（１＋x）］１＋x于是71若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x１＋x－x·２１＋x１y′＝－２＝－２３／２１＋x（１＋x）亦可用对数求导法求解．（２）因１y＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２xｃｏｓ４x２１１＝ｓｉｎ４xｃｏｓ４x＝ｓｉｎ８x４８故１y′＝ｃｏｓ８x·（８x）′＝ｃｏｓ８x．８（３）将y变形：２２ｓｉｎx·（１－ｃｏｔt）ｃｏｓx·（１－ｔａｎx）y＝２＋２１－ｃｏｔx１－ｔａｎx４４ｓｉｎxｓｉｎx－ｃｏｓxｃｏｓxｃｏｓx－ｓｉｎx＝２２·＋２２·ｓｉｎx－ｃｏｓxｓｉｎxｃｏｓx－ｓｉｎxｃｏｓx３３ｓｉｎxｃｏｓx＝＋ｓｉｎx＋ｃｏｓxｃｏｓx＋ｓｉｎx３３ｓｉｎx＋ｃｏｓx２２＝＝ｓｉｎx－ｓｉｎxｃｏｓx＋ｃｏｓxｓｉｎx＋ｃｏｓx１＝１－ｓｉｎ２x２所以y′＝－ｃｏｓ２x．２２（４）令u＝ｓｉｎx，则y＝ｌｎ（u＋１＋u），于是ｄyｄuy′＝ｄuｄx课后答案网：www.hackshp.cn２１＋u／１＋u＝·２ｓｉｎxｃｏｓx２u＋１＋u１ｓｉｎ２x＝ｓｉｎ２x＝２４１＋u１＋ｓｉｎx１（５）因y＝［ｌｎ（１－ｃｏｓ２x）－２ｌｎx］２所以１２ｓｉｎ２x２ｓｉｎ２x１１y′＝－＝－＝ｃｏｓx－２１－ｃｏｓ２xx１－ｃｏｓ２xxx72若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（６）将y变形，得３y＝x＋［ｌｎ（x－２）－ｌｎ（x＋２）］２所以３１１y′＝１＋－２x－２x＋２２６x＋２＝１＋２＝２．x－４x－４（７）将y变形，得２２ｃｏｓx－ｓｉｎxy＝＝ｃｏｓx－ｓｉｎxｓｉｎx＋ｃｏｓx所以y′＝－ｓｉｎx－ｃｏｓx＝－（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）．（８）将y变形，得－x－２x－４xy＝ｌｎ（２＋２＋２）所以１－x－２x－４xy′＝－x－２x－４x（－２ｌｎ２－２×２ｌｎ２－４×２ｌｎ２）２＋２＋２－x－x－x２＋２×４＋４×１６＝－ｌｎ２×－x－x－x．２＋４＋１６２２（９）y′＝２ｓｉｎ１－x（ｓｉｎ１－x）′２２２＝２ｓｉｎ１－xｃｏｓ１－x（１－x）′２－x＝ｓｉｎ（２１－x）·２１－x２xｓｉｎ（２·１－x）＝－．２１－x课后答案网：www.hackshp.cn１１（１０）y′＝ｓｉｎ（ｌｎx）＋ｃｏｓ（ｌｎx）＋xｃｏｓ（ｌｎx）－ｓｉｎ（ｌｎx）xx＝２ｃｏｓ（ｌｎx）．６．设f（x）可导，求下列的函数的导数：２f（x）（１）y＝f（２）；　　　　　　（２）y＝ｅ；２（３）y＝ｌｎ［１＋f（x）］；（４）y＝ａｒｃｔａｎ［f（x）］＋ａｒｃｃｏｔ［f（x）］；（５）y＝ａｒｃｓｉｎ［f（x）］＋ａｒｃｃｏｓ［f（x）］．解　（１）y′＝２f（x）f′（x）；73若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf（x）（２）y′＝ｅf′（x）；２f（x）f′（x）（３）y′＝２；１＋f（x）f′（x）f′（x）（４）y′＝２－２＝０；１＋f（x）１＋f（x）f′（x）f′（x）（５）y′＝－＝０．２２１－f（x）１－f（x）７．设f（x）在x＝０处连续，且f（x）－１ｌｉｍ＝a（a为常数）x→０x求f（x）和f′（０）．解由极限性质和已知条件，有f（x）－１＝a＋α（x）x其中ｌｉｍα（x）＝０．于是x→０f（x）＝ax＋xα（x）＋１由f（x）在x＝０处连续，得f（０）＝ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍ［ax＋xα（x）＋１］＝１．x→０x→０再由已知条件，得f（x）－１f（x）－f（０）ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝f′（０）＝ax→０xx→０x所以，f（x）在x＝０处可导，且f′（０）＝a．８．设g（x）在x＝０处连续，求f（x）＝g（x）ｓｉｎ２x在x＝０处的导数f′（０）．解易知f（０）＝０．所以f（x）－f（０）g（x）ｓｉｎ２xf′（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍx→０xx→０xｓｉｎ２x课后答案网：www.hackshp.cn＝２ｌｉｍg（x）·ｌｉｍ＝２g（０）x→０x→０２x其中，由g（x）的连续性，有ｌｉｍg（x）＝g（０）．x→０９．设f（０）＝１，f′（０）＝a，求下列极限：xｃｏｓx－f（x）２f（x）－１（１）ｌｉｍ；　　　　　　（２）ｌｉｍ；x→０xx→０f（ｌｎx）－１f（２－x）－１（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ２．x→１１－xx→２x－２x［ｃｏｓx－f（０）］－［f（x）－f（０）］解　（１）原式＝ｌｉｍx→０x74若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｃｏｓx－１f（x）－f（０）＝ｌｉｍ－ｌｉｍx→０xx→０x２－x／２＝ｌｉｍ－f′（０）＝－f′（０）＝－ax→０xx０２f（x）－２f（０）（２）原式＝ｌｉｍx→０xx＝［２f（x）］′x＝０xx＝［２ｌｎ２·f（x）＋２f′（x）］x＝０＝ｌｎ２xf（０）＋f′（０）＝ｌｎ２＋au（３）令u＝ｌｎx，则x＝ｅ，且x→１时，u→０，f（u）－１f（u）－f（０）原式＝ｌｉｍu＝－ｌｉｍuu→０１－ｅu→０ｅ－１f（u）－f（０）＝－ｌｉｍ＝－f′（０）＝－au→０uu（u→０时，ｅ－１～u）（４）令u＝２－x，则x＝２－u，且x→２时，u→０．f（u）－f（０）原式＝ｌｉｍu→０u（２－u）f（u）－f（０）１＝－ｌｉｍ·ｌｉｍu→０uu→０２－u１a＝－f′（０）＝－２２１０．设yｓｉｎ（x＋y）＝xｃｏｓ（x＋y）确定隐函数y＝y（x），求ｄy．解对所给方程两端求微分，得ｄyｓｉｎ（x＋y）＋yｃｏｓ（x＋y）（ｄx＋ｄy）＝ｄxｃｏｓ（x＋y）－xｓｉｎ（x＋y）（ｄx＋ｄy）整理，得课后答案网：www.hackshp.cn［ｓｉｎ（x＋y）＋yｃｏｓ（x＋y）＋xｓｉｎ（x＋y）］ｄy　　　＝［ｃｏｓ（x＋y）－xｓｉｎ（x＋y）－yｃｏｓ（x＋y）］ｄx所以（１－y）ｃｏｓ（x＋y）－xｓｉｎ（x＋y）ｄy＝ｄx（１＋x）ｓｉｎ（x＋y）＋yｃｏｓ（x＋y）注：利用已知方程，上式可化简为２２y－x－yｄy＝２２ｄxx＋x＋y１１．设a＞０，｜b｜与a相比是很小很小的量．证明75若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnnnba＋b≈a＋n－１na１０并计算１０００的近似值．１／n１（１－n）／n解令f（x）＝x，则f′（x）＝x．nn取x０＝a，Δx＝b，因｜b｜很小，故有nna＋b＝f（x０＋Δx）≈f（x０）＋f′（x０）Δxn１／n１n（１－n）／n＝（a）＋（a）bnb＝a＋n－１nannb即a＋b≈a＋n－１．na１０１０１０１０因为１０００＝２－２４，其中｜－２４｜与２相比，很小．故由上述结果，得１０１０１０（－２４）１０００＝２－２４≈２＋９≈１．９９５３１０×２课后答案网：www.hackshp.cn76若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＝－ｓｉｎx另解∵Δy＝ｃｏｓ（x＋Δx）－ｃｏｓx＝ｃｏｓx·ｃｏｓΔx－ｓｉｎx·ｓｉｎΔx－ｃｏｓx＝（ｃｏｓΔx－１）ｃｏｓx－ｓｉｎx·ｓｉｎΔxΔy（ｃｏｓΔx－１）ｃｏｓx－ｓｉｎx·ｓｉｎΔx∴y′＝ｌｉｍ＝ｌｉｍΔx→０ΔxΔx→０Δx１２－（Δx）２ｓｉｎΔx＝ｃｏｓx·ｌｉｍ－ｓｉｎx·ｌｉｍΔx→０ΔxΔx→０Δx＝－ｓｉｎx２畅设函数f（x）在点x０处可导，求下列极限：f（x０－Δx）－f（x０）f（x０＋Δx）－f（x０－Δx）（１）ｌｉｍ；　　（２）ｌｉｍ；Δx→０ΔxΔx→０Δx２f（x０＋３Δx）－f（x０）f［x０－３（Δx）－f（x０）］（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ２Δx→０ΔxΔx→０ｓｉｎΔxf［x０－（－Δx）］－f（x０）解　（１）原式＝－ｌｉｍ＝－f′（x０）；Δx→０（－Δx）f（x０＋Δx）－f（x０）f（x０）－f（x０－Δx）（２）原式＝ｌｉｍ＋Δx→０ΔxΔx＝２f′（x０）f（x０－３Δx）－f（x０）（３）原式＝３ｌｉｍ＝３f′（x０）Δx→０（３Δx）２２f［x０－３（Δx）］－f（x０）－３（Δx）（４）原式＝ｌｉｍ２·Δx→０［－３（Δx）］ｓｉｎΔx＝－３f′（x０）３畅设函数f（x）在x＝０处可导，且f（０）＝０，求处列极限（其中常数a≠０）：f（x）f（ax）（１）ｌｉｍ；　　　　　（２）ｌｉｍ；x→０课后答案网：www.hackshp.cnxx→０xf（ax）f（ax）－f（－ax）（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ．x→０ax→０xf（x）－f（０）解　（１）原式＝ｌｉｍ＝f′（０）；x→０xf（ax）－f（０）（２）原式＝aｌｉｍ＝af′（０）；x→０ax（３）因f′（０）存在，故f（x）在x＝０处连续，于是１１原式＝ｌｉｍf（ax）＝f（０）＝０ax→０a45若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf（ax）－f（０）f（－ax）－f（０）（４）原式＝aｌｉｍ＋aｌｉｍx→０axx→０－ax＝af′（０）＋af′（０）＝２af′（０）３４畅求函数y＝x在点（３，２７）处的切线方程与法线方程．解因为切线斜率为２y′＝（３x）＝２７x＝３x＝３所以，切线方程为y＝２７＝２７（x－３）即切线方程为y＝２７（x－２）法线方程为１y－２７＝－（x－３）２７即法线方程为７３２１y＝－x．２７２７５畅求双曲线xy＝a（a＞０）上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积S．aa解依题设y＝，则过曲线上任意一点x０，的切线斜率为xx０a′ak＝＝－２xx＝x０x０a于是，过点x０，的切线方程为x０aay－＝－２（x－x０）x０x０课后答案网：www.hackshp.cn即２aay＝－２xx０x０该切线与x轴、y轴的交点分别为２a（２x０，０），０，x０a于是，过点x０，的切线与两坐标轴形成的三角形的面积（如图３畅１阴影x０部分所示）为46若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图３畅１１２aS＝·（２x０）２x０＝２a６畅讨论下列函数在x＝０处的连续性与可导性；若可导，求出f′（０）：１＋x，x＜０，（１）f（x）＝x｜x｜；　　　　　　（２）f（x）＝１－x，x≥０；１５２１x，x≤０，xｓｉｎ，x≠０，（３）f（x）＝５（４）f（x）＝xx，x＞０；０，x＝０．解　（１）依题计f（０）＝０，且２２f（０－０）＝ｌｉｍ（－x）＝０，f（０＋０）＝ｌｉｍx＝０x→０－x→０＋因为f（０－０）＝f（０＋０）＝f（０）＝０，所以该函数在x＝０处连续．２－x－０课后答案网：www.hackshp.cnf′－（０）＝ｌｉｍ＝－ｌｉｍx＝０x→０－xx→０－２x－０f′＋（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍx＝０x→０＋xx→０＋因为f′－（０）＝f′＋（０）＝０，所以该函数在x＝０处可导，且f′（０）＝０．（２）依题设f（０）＝１，且f（０－０）＝ｌｉｍ（１＋x）＝１x→０－f（０＋０）＝ｌｉｍ（１－x）＝１x→０＋47若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn因为f（０－０）＝f（０＋０）＝１＝f（０），所以该函数在x＝０处连续．（１＋x）－１f′－（０）＝ｌｉｍ＝１x→０－x（１－x）－１f′＋（０）＝ｌｉｍ＝－１x→０＋x因为f′－（０）≠f′＋（０）．所以该函数在x＝０处不可导．（３）依题设f（０）＝０，且１５f（０－０）＝ｌｉｍx＝０，f（０＋０）＝ｌｉｍx＝０x→０－５x→０＋因f（０－０）＝f（０＋０）＝０＝f（０），故该函数在x＝０处连续．１５x－０５１４f′－（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍx＝０．x→０－x５x→０－x－０f′＋（０）＝ｌｉｍ＝１．x→０＋x因f′－（０）≠f′＋（０），故该函数在x＝０处不可导．（４）依题设f（０）＝０，且２１ｌｉｍf（x）＝ｌｉｍxｓｉｎ＝０＝f（０）x→０x→０x所以该函数在x＝０处连续．２１xｓｉｎ－０x１f′－（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍxｓｉｎ＝０x→０－x－０x→０－x２１xｓｉｎ－０x１f′＋（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍxｓｉｎ＝０x→０＋x－０x→０＋x因f′－（０）＝f′＋（０），故该函数在x＝０处可导，且f′（０）＝０．７畅确定常数课后答案网：www.hackshp.cna，b，使函数ax＋bx，x＞１f（x）＝２x，x≤１在x＝１处可导，并求f′（１）．解f（x）在x＝１处可导的必要条件是，f（x）在x＝１处连续，因f（１）＝１，且２f（１－０）＝ｌｉｍx＝１，f（１＋０）＝ｌｉｍ（ax＋bx）＝a＋bx→１－x→１＋于是，由f（１－０）＝f（１＋０）＝f（０）＝１，得a＋b＝１48若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn另一方面，由２f（x）－f（１）x－１f′－（１）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍx→１－x－１x→１－x－１＝ｌｉｍ（x＋１）＝２x→１－ax＋bx－１ax＋（１－a）x－１f′＋（１）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍx→１＋x－１x→１＋x－１ax－ax＋x－１＝ｌｉｍx→１＋（x－１）（x＋１）（x－１）（ax＋１）＝ｌｉｍx→１＋（x－１）（x＋１）ax＋１a＋１＝ｌｉｍ＝x→１＋x＋１２可知，f（x）在x＝２处可导，应满足条件：１２＝（a＋１）２由此得a＝３，从而b＝１－a＝－２，而f′（１）＝２．８畅求下列函数的导数（其中a，b，c等为非零常数）：１５１３b（１）y＝x－x＋x－９；　　（２）y＝（ax）；５３３１a－x（３）y＝２x－＋５；（４）y＝；xx１１２２（５）y＝（x＋３）－５；（６）y＝x－２＋xxx；x２x１１ba（７）y＝＋；（８）y＝（１＋ax）（１＋bx）；１＋x１－x２x－１１（９）y＝２；（１０）y＝２；x课后答案网：www.hackshp.cn＋１ax＋bx＋c２x＋x＋１１２１（１１）y＝２；（１２）y＝x－x－２；x－x＋１xx（１３）y＝φｓｉｎφ＋ｃｏｓφ；（１４）y＝xｓｅｃx＋ｃｓｃx；２１－ｓｉｎx（１５）y＝xｓｅｃx－ｔａｎx；（１６）y＝；１＋ｃｏｓxｃｏｓx－xｓｉｎxｔａｎx－１（１７）y＝；（１８）y＝；ｓｉｎx＋xｃｏｓxｔａｎx＋１２（１９）y＝xｌｎx；（２０）y＝ｌｏｇax　（０＜a≠１）；49若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx－ｌｎxxx（２１）y＝；（２２）y＝（aｅ）－x＋ｌｎxｌｎx１（２３）y＝；（２４）y＝xｓｉｎx·ｌｎx；ｃｓｃx＋ｃｏｔxxx（２５）y＝（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｅ；（２６）y＝ｅａｒｃｔａｎx．解１５１３（１）y′＝（x）′－（x）′＋x′－（９）′．５３４２＝x－x＋１．bbbb－１b－１（２）y′＝a（x）′＝a·bx＝ab（ax）．１－１１１（３）y′＝２（xx）′－（x）′＋（５）′＝＋．２xx３１－５／２a－３／２５３／２a＋５x（４）y′＝a（x２）′－（x）′＝－x－x＝－．２２３２x－１／２１／２（５）因为y＝３x－５x－１４，所以－１／２１／２３－３／２５－１／２３＋５xy′＝３（x）′－５（x）′＝－x－x＝－２２３２x１２－２７／４（６）因为y＝x－２x＋x，所以２１２－２７／４）４７３／４y′＝（x）′－２（x）′＋（x）′＝x＋３＋x２x４２２（７）因为y＝＝，所以（１＋x）（１－x）１－x２（１－x）′２y′＝－２＝２（１－x）（１－x）baa＋b（８）因为y＝１＋ax＋bx＋abx，所以b－１a－１a＋b－１y′＝abx＋abx＋ab（a＋b）c课后答案网：www.hackshp.cnbaa＋b＝ab［x＋x＋（a＋b）x］／x．２２２２（x－１）′（x＋１）－（x－１）－（x＋１）′４x（９）y′＝２＝２（x＋１）２（x＋１）２２（ax＋bx＋c）′２ax＋b（１０）y′＝－２＝－２２（axbx＋c）２（ax＋bx＋c）２２（２x＋１）（x－x＋１）－（x＋x＋１）（２x－１）（１１）y′＝２（x－x＋１）２２２（１－x）＝２（x－x＋１）２50若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３－１－３（１２）因为y＝x－x－x＋x，所以２１３y′＝３x－１＋２－４．xx（１３）y′＝ｓｉｎφ＋φｃｏｓφ－ｓｉｎφ＝φｃｏｓφ（注意，本题自变量为φ）（１４）y′＝ｓｅｃx＋x·ｓｅｃxｔａｎx－ｃｓｃxｃｏｔx＝（１＋xｔａｎx）ｓｅｃx－ｃｓｃxｃｏｔx．２２（１５）y′＝ｓｅｃx＋２xｓｅｃx·ｓｅｃxｔａｎx－ｓｅｃx２＝２xｓｅｃx·ｔａｎx－ｃｏｓx（１＋ｃｏｓx）＋ｓｉｎx（１－ｓｉｎx）（１６）y′＝２（１＋ｃｏｓx）ｓｉｎx－ｃｏｓx－１x１２x＝２＝ｔａｎ－ｓｅｃ（１＋ｃｏｓx）２２２（１７）y′＝（ｃｏｓx－xｓｉｎx）′（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）－（ｃｏｓx－xｓｉｎx）（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）′２（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）其中分子＝（－ｓｉｎx－ｓｉｎx－xｃｏｓx）（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）－（ｃｏｓx－xｓｉｎx）（ｃｏｓx＋ｃｏｓx－xｓｉｎx）２＝－（２＋x）所以２－（２＋x）y′＝２（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）２２ｓｅｃx（ｔａｎx＋１）－（ｔａｎx－１）ｓｅｃx（１８）y′＝２（ｔａｎx＋１）２２ｓｅｃx２＝２＝２（ｔａｎx＋１）（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｓｉｎx－ｃｏｓx（注：也可将课后答案网：www.hackshp.cny变形为y＝，然后再求导）．ｓｉｎx＋ｃｏｓx２２（１９）y′＝（x）′ｌｎx＋x（ｌｎx）′＝２xｌｎx＋x＝x（２ｌｎx＋１）．１（２０）因为y＝ｌｏｇax，所以２１１１y′＝＝．２xｌｎa２xｌｎa（x－ｌｎx）′（x＋ｌｎx）－（x－ｌｎx）（x＋ｌｎx）′（２１）y′＝２（x＋ｌｎx）51若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１－（x＋ｌｎx）－（x－ｌｎx）１＋xx＝２（x＋ｌｎx）２（ｌｎx－１）＝２（x＋ｌｎx）xx′（２２）y′＝［（aｅ）］′－ｌｎxxｌｎx－１＝（aｅ）ｌｎ（aｅ）－２ｌｎxx１１＝（aｅ）（１＋ｌｎa）－＋２ｌｎxｌｎx２（ｃｓｃx＋ｃｏｔx）′－ｃｓｃx·ｃｏｔx－ｃｓｃx（２３）y′＝－２＝－２（ｃｓｃx＋ｃｏｔx）（ｃｓｃx＋ｃｏｔx）（ｃｓｃx＋ｃｏｔx）ｃｓｃx＝２（ｃｓｃx＋ｃｏｔx）ｃｓｃx１＝＝ｃｓｃx＋ｃｏｔx１＋ｃｏｓx１（２４）y′＝xｓｉｎxｌｎx′２１＝（ｓｉｎxｌｎx＋xｃｏｓxｌｎx＋ｓｉｎx）２１＝（ｓｉｎx＋xｃｏｓx）ｌｎx＋ｓｉｎx．２xx（２５）y′＝（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）′ｅ＋（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）（ｅ）′x＝（ｃｏｓx－ｓｉｎx＋ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｅx２ｅｃｏｓxxx（２６）y′＝ｅａｒｃｔａｎx＋ｅ（ａｒｃｔａｎx）′x１＝ｅ（ａｒｃｔａｎx＋２）１＋x课后答案网：www.hackshp.cn９畅求下列函数的导数：x－xｅ－ｅ５３２（１）y＝x－x；　　　　　　　　（２）y＝（x－x＋１）；ｅ＋ｅ３xx（３）y＝２；（４）y＝；（１－x）２１－x３１－x（５）y＝２；（６）y＝ｌｎｌｎｌｎx；１＋xa＋x（７）y＝ｌｎｔａｎx（８）y＝ｌｎ；a－x52若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２－x２（９）y＝１＋ｌｎx；（１０）y＝ｅ；ｌｎx２３x（１１）y＝３；（１２）y＝ｓｅｃ（ｅ）；１＋x１＋x１＋x（１３）y＝ａｒｃｔａｎ；（１４）y＝ａｒｃｔａｎ＋ａｒｃｃｏｔ；１－x１－x１－x２１ｃｏｓx（１５）y＝x－x＋ａｒｃｓｉｎx；（１６）y＝ｌｎｔａｎx－２；２ｓｉｎx２１２２a２２（１７）y＝xa＋x＋ｌｎ（x＋a＋x）；２２１－x２（１８）y＝ｌｎ；（１９）y＝ｌｎ（１＋x＋２x＋x）；１＋xx２x（２０）y＝ｌｎ（ｅ＋１＋ｅ）．解１x－xx－xx－xx－x（１）y′＝x－x２（ｅ－ｅ）′（ｅ＋ｅ）－（ｅ－ｅ）（ｅ＋ｅ）′（ｅ＋ｅ）１x－x２x－x２＝x－x２（ｅ＋ｅ）－（ｅ－ｅ）（ｅ＋ｅ）４＝x－x２．（ｅ＋ｅ）５３５３（２）y′＝２（x－x＋１）（x－x＋１）′５３４２＝２（x－x＋１）（５x－３x）２２５３＝２x（５x－３）（x－x＋１）．１３２３２（３）y′＝４［（x）′（１－x）－x（（１－x））′］（１－x）１２２３＝４［３x（１－x）－２x（１－x）（１－x）′］（１－x）２x２＝４［３（１－x）＋２x（１－x）］（１－x）课后答案网：www.hackshp.cn２x（３－x）＝３．（１－x）２－１／２（４）y′＝［x（１－x）］′２－１／２１２－３／２２＝（１－x）－x（１－x）（１－x）′２２－１／２２２－３／２１＝（１－x）＋x（１－x）＝．２３（１－x）２１－x１－x′（５）y′＝３２２１＋x１＋x53若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２１－x－（１＋x）－２x（１－x）＝３２·２２１＋x（１＋x）２２３（１－x）（x－２x－１）＝２４（１＋x）１（６）y′＝（ｌｎｌｎx）′ｌｎｌｎx１１１＝·（ｌｎx）′＝．ｌｎｌｎxｌｎxx（ｌｎx）ｌｎｌｎx２１ｓｅｃx（７）y′＝（ｔａｎx）′＝ｔａｎxｔａｎx１２＝＝＝２ｃｓｃ２xｓｉｎx·ｃｏｓxｓｉｎ２xa－xa＋x′（８）y′＝a＋xa－xa－xa－x＋a＋x２a＝·２＝２２a＋x（a－x）a－x１２ｌｎx（９）y′＝（１＋ｌｎx）′＝２２２１＋ｌｎxx１＋ｌｎx－x２２－x２（１０）y′＝ｅ（－x）′＝－２xｅｌｎxｌｎ３（１１）y′＝３（ｌｎ３）（ｌｎx）′＝·３ｌｎxx３x３x（１２）y′＝２ｓｅｃ（ｅ）·［ｓｅｃ（ｅ）］′３x３x３x３x＝２ｓｅｃ（ｅ）·ｓｅｃ（ｅ）·ｔａｎ（ｅ）·（ｅ）′２３x３x３x＝２ｓｅｃ（ｅ）·ｔａｎ（ｅ）·３ｅ３x２３x３x＝６ｅ·ｓｅｃ（ｅ）·ｔａｎ（ｅ）．１１＋x′（１３）y′＝２１＋x１－x１＋１－x课后答案网：www.hackshp.cn２（１－x）（１－x）＋（１＋x）１＝２２·２＝２（１－x）＋（１＋x）（１－x）１＋x１１－′２２１＋x（１４）y′＝１＋x１＋x＝０１＋１＋１－x１－x１－x１２１（１５）y′＝（x－x）′＋（x）′２２x－x１＋x１－２x１＝＋２２x－x２x１－x54若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２（１－x）１－x１－x＝＝＝（０＜x＜１）２２x２x－xx－x３２１x－ｓｉｎx－２ｓｉｎxｃｏｓx１（ｔａｎ）′－４（１６）y′＝x２ｓｉｎx２ｔａｎ２２２１２x１ｓｉｎx＋２ｃｏｓx１ｓｅｃ·＋３＝x２２ｓｉｎx２ｔａｎ２２１１＋ｃｏｓx１＋３＝xxｓｉｎx２２ｓｉｎｃｏｓ２２１２１３＝３＝３＝ｃｏｓx２ｓｉｎxｓｉｎx２２１a２＋x２＋xa１２２（１７）y′＝２２＋x＋a＋x′２a＋x２２２x＋a＋x２２２x２x＋aa１＝＋·１＋２２２２２２２a＋x２a＋xx＋a＋x２２２２x＋aa２２＝＋＝a＋x２２２２２a＋x２a＋x１１－x１１＋x１－x′（１８）y′＝ｌｎ′＝２１＋x２１－x１＋x１＋x－（１＋x）－（１－x）１＝·２＝２２（１－x）（＋x）x－１１２（１９）y′＝１＋x＋２x＋x′２１＋x＋２x＋x１２＋２x＝１＋２２２２x＋x１＋x＋２x＋x课后答案网：www.hackshp.cn１＝２２x＋x１x２x（２０）y′＝ｅ＋１＋ｅ′x２xｅ＋１＋ｅ２x１xｅ＝ｅ＋２xx２x１＋ｅｅ＋１＋ｅxx２x１ｅ（ｅ＋１＋ｅ）＝·x２x２xｅ＋１＋ｅ１－ｅ55若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxｅ１＝＝２x－２x１＋ｅ１＋ｅ１０畅用对数求导法求下列函数的导数：x－１x（１）y＝；　　　　　（２）y＝x；（x＋１）（x＋２）x１ｃｏｓx（３）y＝１＋；（４）y＝（ｓｉｎx）x解　（１）对给定函数两端取对数，得１ｌｎy＝［ｌｎ（x－１）－ｌｎ（x＋１）－ｌｎ（x＋２）］２对上式两端求导，得１１１１１y′＝－－y２x－１x＋１x＋２因此y１１１y′＝－－２x－１x＋１x＋２１１１１x－１＝－－２x－１x＋１x＋２（x＋１）（x＋２）（２）取对数，得ｌｎy＝xｌｎx对上式两端求导，得１y′＝ｌｎx＋１y所以xy′＝y（１＋ｌｎx）＝x（１－ｌｎx）（３）取对数，得１ｌｎy＝xｌｎ１＋＝x［ｌｎ（１＋x）－ｌｎx］课后答案网：www.hackshp.cnx对上式两端求导，得１１１y′＝ｌｎ（１＋x）－ｌｎx＋－y１＋xx１１＝ｌｎ１＋－x１＋x所以x１１１１１y′＝yｌｎ１＋－＝１＋ｌｎ１＋－．x１＋xxx１＋x（４）取对数，得56若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｌｎy＝ｃｏｓx·ｌｎｓｉｎx对上式两端求导，得１ｃｏｓxy′＝－ｓｉｎxｌｎｓｉｎx＋·ｃｏｓxyｓｉｎx２ｃｏｓx＝－ｓｉｎx·ｌｎｓｉｎxｓｉｎx所以２ｃｏｓxy′＝y－ｓｉｎxｌｎｓｉｎxｓｉｎx２ｃｏｓxｃｏｓx＝（ｓｉｎx）－ｓｉｎxｌｎｓｉｎxｓｉｎx１＋ｃｏｓx２＝（ｓｉｎx）（ｃｏｔx－ｌｎｓｉｎx）１１畅求由下列方程确定的稳函数y＝y（x）的导数：（１）y＋x＝a（a＞０）；１３１５（２）y＋y－x－x＝０；３５y２２（３）ｓｉｎ（xy）＝x；（４）ａｒｃｔａｎ＝ｌｎx＋y．x解　（１）对方程两端求导，得１１y′＋＝０２y２x由此得ya－xay′＝－＝－＝１－．xxx（２）对方程两端求导，得２４yy′＋y′－１－x＝０由此得课后答案网：www.hackshp.cn４１＋xy′＝２．１＋y（３）对方程两端求导，得ｃｏｓ（xy）（xy）′＝ｃｏｓ（xy）（y＋xy′）＝１由此得１１１y′＝－y＝［ｓｅｃ（xy）－y］．xｃｏｓ（xy）x（４）对方程两端求导，得57若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１y１１２２２′＝·２２（x＋y）′yx２x＋y１＋x由此得２xxy′－yx＋yy′２２·２＝２２x＋yxx＋y化简得xy′－y＝x＋yy′解得x＋yy′＝．x－y１２．求下列函数的二阶导数：２２１（１）y＝ｌｎ（a－x）；　　　　（２）y＝２２；a＋x２x（３）y＝ｌｎ（x＋１＋x）；（４）y－ｅｃｏｓx．解２x２x（１）y′＝－２２＝２２a－xx－a２２２２２（x－a）－２x２（x＋a）y″＝２·２２２＝－２２２（x－a）（x－a）－２x（２）y′＝２２２（x＋a）２２２２２（x＋a）－２x（x＋a）×２xy″＝－２·２２４（x＋a）２２２２２x＋a－４x２（３x－a）　＝－２·２２３＝２２３（x＋a）（x＋a）１x１（３）y′＝１＋＝２２１＋x２１＋x＋x１＋x课后答案网：www.hackshp.cn１２－３／２xy″＝－（１＋x）·２x＝－２２３（１＋x）xxx（４）y′＝（ｅ）′ｃｏｓx＋ｅ（ｃｏｓx）′＝ｅ（ｃｏｓx－ｓｉｎx）xxy″＝ｅ（ｃｏｓx－ｓｉｎx）＋ｅ（－ｓｉｎx－ｃｏｓx）x＝－２ｅｓｉｎx１３．求下列函数的n阶导数：x（１）y＝ｃｏｓx；　　　　（２）y＝xｅ；２１（３）y＝ｓｉｎx；（４）y＝（ab≠０）．ax＋b58若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解π（１）y′＝－ｓｉｎx＝ｃｏｓx＋２ππy″＝－ｓｉｎx＋＝ｃｏｓx＋２×２２一般地（由归纳法可证）：（n）nπy＝ｃｏｓx＋，n－１，２，…．２xxx（２）y′＝ｅ＋xｅ＝（１＋x）ｅxxxy″＝ｅ＋（１＋x）ｅ＝（２＋x）ｅ一般有（n）xy＝（n＋x）ｅ，n＝１，２，…．（３）y′＝２ｓｉｎxｃｏｓx＝ｓｉｎ２xπy″＝２ｃｏｓ２x＝２ｓｉｎ２x＋２２π２２πy碶＝２ｃｏｓ２x＋＝２ｓｉｎ２x＋２２一般有（n）n－１（n－１）πy＝２ｓｉｎ２x＋，n＝１，２，…２－１（４）y＝（ax＋b）－２y′＝（－１）a（ax＋b）２－３２２－３y″＝（－１）（－２）a（ax＋b）＝（－１）２！a（ax＋b）一般地n（n）n－（n＋１）（－a）·n！y＝（－a）·n！（ax＋b）＝n＋１，n＝１，２，…（ax＋b）１４．求下列函数的微分：３１－课后答案网：www.hackshp.cnxx－x２（１）y＝３；　　　　　　（２）y＝（ｅ＋ｅ）；１＋x２２２x（３）y＝ｌｎ１－x；（４）y＝xｅ；x２（５）y＝ａｒｃｔａｎｅ；（６）y＝ａｒｃｃｏｓ１－x．解３１－x′（１）ｄy＝３ｄx１＋x２３３２２－３x（１＋x）－（１－x）（３x）－６x＝３２ｄx＝３２ｄx．（１＋x）（１＋x）59若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx－x（２）ｄy＝［（ｅ＋ｅ）］′ｄxx－xx－x２x－２x＝２（ｅ＋ｅ）（ｅ－ｅ）ｄx＝２（ｅ－ｅ）ｄx２１２（３）ｄy＝（ｌｎ１－x）′ｄx＝ｌｎ（１－x）′ｄx２１１x＝·２·（－２x）ｄx＝２ｄx２１－xx－１２２x２x２２x（４）ｄy＝（xｅ）′ｄx＝（２xｅ＋２xｅ）ｄx２x＝２x（１＋x）ｅｄxx（５）ｄy＝（ａｒｃｔａｎｅ）′ｄxxｅ＝２xｄx１＋ｅ２（６）ｄy＝（ａｒｃｃｏｓ１－x）′ｄx１２＝－（１－x）′ｄx２２１－（１－x）１－２xx＝－·ｄx＝ｄx２２２x２１－x｜x｜１－x１５．求由下列方程确定的隐函数的微分：y（１）y＝xｅ；　　　　　　　　　　（２）y＝x＋ａｒｃｃｏｓy；２２xy（３）２＋２＝１；（４）yｓｉｎx－xｓｉｎy＝a．ab解（１）对所给方程两端求微分，得yyｄy＝ｄxｅ＋xｅｄy由此解出ｄy，得yｅ１ｄy＝yｄx＝－yｄx１－xｅｅ－x（２）对方程两端求微分课后答案网：www.hackshp.cn，得１ｄy＝ｄx＝ｄy２１－y由此得２１－yｄy＝ｄx２１＋１－y（３）对方程两端求微分，得２x２y２ｄx＋２ｄy＝０ab60若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第四章中值定理与导数的应用习题四（A）１．判断下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理条件？若不满足，说明其理由；若满足，求出定理中的点ξ：２１＋x（１）f（x）＝，［－３，３］；x（２）f（x）＝｜x｜，［－１，１］；２（３）f（x）＝x，［－５，５］；（４）f（x）＝x６－x；［０，６］；（５）f（x）＝｜x｜ｓｉｎ｜x｜；［－π，π］．２１＋x解　（１）因f（x）＝在x＝０（０∈［－３，３］）处无定义，故f（x）在闭区间x１０１０［－３，３］上不是处处连续的；另一方面，f（－３）＝－≠＝f（３）．因此，f（x）不３３满足罗尔定理条件．（２）因f（x）＝｜x｜在x＝０（０∈（－１，１））处不可导，故f（x）在开区间（－１，１）内不是处处可导的．因此，f（x）不满足罗尔定理条件．２（３）f（x）＝课后答案网：www.hackshp.cnx为初等函数，在定义区间［－５，５］上连续，在（－５，５）内可导，且有f（－５）＝f（５）＝２５．因此，f（x）满足罗尔定理全部条件，故存在ξ∈（－５，５），使得f′（ξ）＝２ξ＝０痴ξ＝０∈（－５，５）（４）f（x）＝x６－x在定义区间［０，６］上为初等函数，连续，在开区间（０，６）内可导，且f（０）＝f（６）＝０．因此，f（x）满足罗尔定理全部条件，故存在ξ∈（０，６），使得xf′（ξ）＝６－x－x＝ξ２６－x77若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２－３ξ＝＝０２６－ξ解得ξ＝４∈（０，６）．（５）因为（－x）ｓｉｎ（－x），x＜０f（x）＝｜x｜ｓｉｎ｜x｜＝＝xｓｉｎxxｓｉｎx，x≥０而f（x）＝xｓｉｎx在［－π，π］上连续，在（－π，π）内可导，且f（－π）＝f（π）＝πｓｉｎπ＝０所以，f（x）满足罗尔定理全部条件．故存在ξ∈（－π，π），使得ｆ′（ξ）＝ｓｉｎξ＋ξｃｏｓξ＝０由此得ξ＝０∈（－π，π）．２．设f（x）＝x（x－１）（x－２）（x－３），不用求出f′（x），说明方程f′（x）＝０有几个实根，并指出各实根所在的区间．解显然，f（x）在区间［０，１］，［１，２］，［２，３］上均满足罗尔定理的全部条件．因此，f′（x）＝０至少有三个实根，分别在开区间（０，１），（１，２），（２，３）之内．３３．证明方程x＋２x＋１＝０在（－１，０）内存在唯一的实根．３证先证存在性．设f（x）＝x＋２x＋１，则f（x）在闭区间［－１，０］上连续，且f（－１）＝－２＜０，f（０）＝１＞１．因此，由零值定理知，存在x１∈（－１，０），使得３f（x１）＝x１＋２x１＝０，存在性得证．再证唯一性．若不然，存在x２∈（－１，０），且x２≠x１，使得f（x２）＝０．则f（x）在［x１，x２］或［x２，x１］上满足罗尔定理全部条件．于是，存在ξ∈（x１，x２）或ξ∈２（x２，x１），使得f′（ξ）＝３ξ＋２＝０，这是不可能的．因此，存在唯一的x１∈（－１，０），使得f（x１）＝０，唯一性得证．x４．验证函数f（x）＝ｅ在区间［a，b］（a＜b）上满足拉格朗日中值定理条件，并求出定理中的点ξ．x解因f（x）＝ｅ为基本初等函数，其在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，故课后答案网：www.hackshp.cnf（x）满足拉格朗日中值定理条件．因此，至少存在一点ξ∈（a，b），使得baξf（b）－f（a）ｅ－ｅf′（ξ）＝ｅ＝＝b－ab－a由此得bab－aｅ－ｅｅ－１ξ＝ｌｎ＝a＋ｌｎ∈（a，b）．b－ab－a５．设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，试证：至少存在一点ξ∈（a，b），使得78若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnnnn－１bf（b）－af（a）［nf（ξ）＋ξf′（ξ）］ξ＝（n≥１）b－a证由待证等式右端发现，可令辅助函数为nF（x）＝xf（x）显然，F（x）满足拉格朗日中值定理条件．因此，至少存在一点ξ∈（a，b），使得nnF（b）－F（a）bf（b）－af（a）F′（ξ）＝＝b－ab－a而n－１nF′（x）x＝ξ＝nxf（x）＋xf′（x）x＝ξn－１＝［nf（ξ）＋ξf′（ξ）］ξ代入上式，即得nnn－１bf（b）－af（a）［nf（ξ）＋ξf′（ξ）］ξ＝．b－a６．证明下列恒等式：π（１）ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｃｏｔx＝，x∈（－∞，＋∞）；２２x（２）２ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｓｉｎ２＝π，x∈［１，＋∞）．１＋x证（１）令f（x）＝ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｃｏｔx，则１１f′（x）＝２－２＝０，x∈（－∞，＋∞）１＋x１＋x于是，由推论４．１可知f（x）≡C（常数），x∈（－∞，＋∞）课后答案网：www.hackshp.cn又因为ππf（０）＝ａｒｃｔａｎ０＋ａｒｃｃｏｔ０＝０＋＝，２２所以πf（x）＝ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｃｏｔx＝，x∈（－∞，＋∞）２２x（２）令f（x）＝２ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｓｉｎ２，则１＋x79若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２１２（１－x）f′（x）＝２＋·２２１＋x２（１＋x）２x１－２１＋x２２２（１－x）＝２＋１＋x２２２（１＋x）（１－x）２２２其中（１－x）＝x－１，x＞１时．因此２２f′（x）＝２－２＝０，x＞１时．１＋x１＋x于是，由推论４．１，得f（x）≡C（常数），x＞１ππ另一方面，f（１）＝２ａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｓｉｎ１＝２×＋＝π．４２而函数f（x）在x＝１处连续，故有ｌｉｍf（x）＝C＝f（１）＝π．x→１＋综上所述：２x２ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｓｉｎ２＝π，x∈［１，＋∞］．１＋x７．证明下列不等式：（１）｜ａｒｃｔａｎx１－ａｒｃｔａｎx２｜≤｜x１－x２｜；b－abb－a（２）≤ｌｎ≤（０＜a＜b）；baax（３）ｅx≤ｅ（x≥１）；nnn－１b－an－１（４）na＜＜nb（n＞１，０＜a＜b）．b－a证　（１）x１＝x２时，不等式显然成立，下设x１≠x２．令f（x）＝ａｒｃｔａｎx，则f（x）在［x１，x２］（或［x２，x１］）上满足拉格朗日中值定理条件．于是，存在ξ∈（x１，x２）（（x２，x１）），使得课后答案网：www.hackshp.cnf（x２）－f（x１）f′（ξ）＝x２－x１即１ａｒｃｔａｎx２－ａｒｃｔａｎx１２＝１＋ξx２－x１由此得｜x１－x２｜｜ａｒｃｔａｎx１－ａｒｃｔａｎx２｜＝２≤｜x１－x２｜．１＋ξ（２）令f（x）＝ｌｎx，则f（x）在［a，b］上满足拉格朗日中值定理条件．于是，存80若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn在ξ∈（a，b），使得１f（b）－f（a）ｌｎb－ｌｎa＝f′（ξ）＝＝ξb－ab－a由于０＜a＜ξ＜b，所以b－ab－abb－a＜＝ｌｎ＜．bξaax（３）令f（x）＝ｅ，则对任意取定的x珓＞１，f（x）在［１，珓x］上满足拉格朗日中值定理条件．于是，存在ξ∈（１，珓x），使得x珓ξf（珓x）－f（１）ｅ－ｅｅ＝f′（ξ）＝＝x珓－１x珓－１即有x珓ξｅ＝（珓x－１）ｅ＋ｅ，ξ∈（１，珓x）ξ因ξ∈（１，珓x）时，ｅ＞ｅ，珓x－１＞０，所以x珓ｅ＞（珓x－１）ｅ＋ｅ＝珓xｅ由x珓＞１的任意性，即得xｅ≥ｅx，x≥１．n（４）令f（x）＝x，则f（x）在［a，b］上满足拉格朗日中值定理条件．于是，存在ξ∈（a，b），使得nnn－１b－af′（ξ）＝nξ＝b－a因a＜ξ＜b，所以nnn－１b－an－１na＜＜nb．b－a８．试证：f（x）为x的线性函数的充分必要条件为：f′（x）≡C（常数），x∈（－∞，＋∞）证必要性设f（x）＝cx＋b，则必有f′（x）＝c，x∈（－∞，＋∞）充分性课后答案网：www.hackshp.cn设f′（x）≡c，x∈（－∞，∞），则对任意的实数a和x珓（a＜珓x），f（x）在［a，珓x］上满足拉格朗日中值定理条件．于是，存在ξ∈（a，珓x），使得f（珓x）－f（a）c＝f′（ξ）＝x珓－a即有f（珓x＝c（珓x－a）＋f（a）＝cx珓＋［f（a）－ca］由x珓的任意性知，f（x）＝cx＋［f（a）－ca］为线性函数．９．验证函数f（x）＝ｌｎ（１＋x），g（x）＝ａｒｃｔａｎx在区间［０，１］上满足柯西中81若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn值定理条件，并求出定理中的点ξ．解显然，f（x），g（x）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且１g′（x）＝２＞０１＋x因此，f（x）、g（x）在［０，１］上满足柯西中值定理条件．于是，至少存在一点ξ∈（０，１），使得f′（ξ）f（１）－f（０）＝g′（ξ）g（１）－g（０）即２１＋ξｌｎ２－ｌｎ１４ｌｎ２＝＝１＋ξａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０π由此得２ξ－Aξ＋（１－A）＝０　　　（倡）其中４ｌｎ２A＝≈０．８８２５π于是，由（倡）式解得１２０．７１９２ξ＝［A±A－４（１－A）］≈２０．１６３３即在（０，１）内存在两个点ξ＝０．７１９２、０．１６３３，均满足柯西中值定理结论．１０．设０＜a＜b，函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导．试证：至少存在一点ξ∈（a，b），使得bf（b）－f（a）＝ξf′（ξ）ｌｎ．a证令g（x）＝ｌｎx，则f（x），g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且课后答案网：www.hackshp.cn１g′（x）＝≠０，x∈（a，b）炒（０，＋∞）x即f（x），g（x）满足柯西中值定理的条件．于是，至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）f（b）－f（a）＝ξf′（ξ）＝g′（ξ）ｌｎb－ｌｎa由此得bf（b）－f（a）＝ξf′（ξ）ｌｎ．a82若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１．求下列极限：ααxxx－x０a－b（１）ｌｉｍββ（β≠０，x０＞０）；　　　　　（２）ｌｉｍ（a、b＞０）；x→x０x－xx→０x０x－ｓｉｎxｃｏｓx－１＋x（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ；x→０x－ｔａｎxx→０xxx－xｅ＋ｓｉｎx－１ｅ－ｅ－２x（５）ｌｉｍ；（６）ｌｉｍ；x→０ｌｎ（１＋x）x→０x－ｓｉｎxxｌｎｃｏｓxa－aｓｉｎx（７）ｌｉｍ２；（８）ｌｉｍ３（０＜a≠１）．x→０xx→０ｓｉｎx解本题用洛必达法则求解：α－１０αxαα－βαα－β（１）原式型＝ｌｉｍβ－１＝ｌｉｍx＝x０；０x→x０βxβx→x０βxx０aｌｎa－bｌｎba（２）原式型＝ｌｉｍ＝ｌｎ；０x→０１b０１－ｃｏｓx０（３）原式型＝ｌｉｍ２型０x→０１－ｓｅｃx０ｓｉｎx＝ｌｉｍ２x→０－２ｓｅｃx·ｔａｎx１２１＝－ｌｉｍｃｏｓx＝－；２x→０２２１－ｃｏｓxｃｏｓx１另解，原式＝ｌｉｍ２＝－ｌｉｍ＝－；x→０１－ｓｅｃxx→０１＋ｃｏｓx２０－ｓｉｎx－１／２１＋x（４）原式型＝ｌｉｍ０x→０１２１＋xｓｉｎx＋１１＝－ｌｉｍ＝－；x→０２２１＋xx０ｅ＋ｃｏｓxx（５）原式型＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（ｅ＋ｃｏｓx）（１＋x）＝２；课后答案网：www.hackshp.cn０x→０１／（１＋x）x→０x－x０ｅ＋ｅ－２０（６）原式型＝ｌｉｍ型０x→０１－ｃｏｓx０x－xｅ－ｅ０＝ｌｉｍ型x→０ｓｉｎx０x－xｅ＋ｅ＝ｌｉｍ＝２；x→０ｃｏｓx０－ｓｉｎx１ｓｉｎx１１（７）原式型＝ｌｉｍ＝－ｌｉｍ·＝－；０x→０２xｃｏｓx２x→０xｃｏｓx２83若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxｓｉｎx０aｌｎa－aｌｎa·ｃｏｓx　　（８）原式型＝ｌｉｍ２０x→０３ｓｉｎx·ｃｏｓxxｓｉｎxｌｎa１a－aｃｏｓx０＝ｌｉｍ·ｌｉｍ２型３x→０ｃｏｓxx→０ｓｉｎx０xxｌｎaa－aｃｏｓx＝ｌｉｍ２（x→０时，ｓｉｎx～x）３x→０xｌｎax－ｃｏｓx１２＝·ｌｉｍa２（x→０时，１－ｃｏｓx～x）３x→０x２２ｌｎaxｌｎa＝ｌｉｍ２＝６x→０x６１２．求下列极限：ｌｎxｌｎｓｉｎx（１）ｌｉｍn（n＞０）；　　（２）ｌｉｍ；x→＋∞xx→０＋ｌｎｓｉｎ５xxxｅｅ－x（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ．x→＋∞ｌｎxx→＋∞ｅx＋x解本题用洛必达法则求解：∞１（１）原式型＝ｌｉｍn＝０；∞x→＋∞nx∞ｃｏｓxｓｉｎ５x（２）原式型＝ｌｉｍ·∞x→０＋ｓｉｎx５ｃｏｓ５x１ｓｉｎ５xｓｉｎ５xx＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ·＝１；５x→０＋ｓｉｎxx→０＋５xｓｉｎxx∞ｅx（３）原式型＝ｌｉｍ＝ｌｉｍxｅ＝＋∞；∞x→＋∞１／xx→＋∞x∞ｅ－１∞（４）原式型＝ｌｉｍx型∞x→＋∞ｅ＋１∞xｅ＝ｌｉｍx＝１．x→＋∞ｅ１３．求下列极限课后答案网：www.hackshp.cn：２１／x２１／x（１）ｌｉｍxｅ；（２）ｌｉｍx（ｅ－１）；x→０x→∞πxx１（３）ｌｉｍ（x－１）ｔａｎ；（４）ｌｉｍ－；x→１２x→１x－１ｌｎx１（５）ｌｉｍｃｏｔx－；（６）ｌｉｍ（ｓｅｃx－ｔａｎx）；x→０xx→π／２ｓｉｎx２／（１＋ｌｎx）（７）ｌｉｍ（ｔａｎx）；（８）ｌｉｍ（ｓｉｎx）；x→０＋x→０＋１／xｌｎ（１＋x）１１／x（９）ｌｉｍx；（１０）ｌｉｍ（１＋x）；x→０＋x→０ｅ84若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１／ｌｎxπ２１／x（１１）ｌｉｍ－ａｒｃｔａｎx；（１２）ｌｉｍ（１＋x）；x→＋∞２x→∞ｓｉｎx１／（１－ｌｎx）１（１３）ｌｉｍ（ｌｎx）；（１４）ｌｉｍ．x→ｅx→０＋x０∞解本题各小题先转换为或型未定式，然先再用洛必达法则求解：０∞１（１）原式为０·∞型未定式．令u＝２，则x→０时，u→＋∞，于是xuｅ∞u原式＝ｌｉｍ型＝ｌｉｍｅ＝＋∞u→＋∞u∞u→＋∞１（２）原式为０·∞型未定式．令u＝，则x→∞时，u→０．于是xuｅ－１０u原式＝ｌｉｍ型＝ｌｉｍｅ＝１．u→０u０u→０x－１０（３）原式（０·∞型）＝ｌｉｍ型x→１πx０ｃｏｔ２１＝ｌｉｍx→１π２πx－ｃｓｃ２２２２πx２＝－ｌｉｍｓｉｎ＝－πx→１２πxｌｎx－（x－１）０（４）原式（∞－∞型）＝ｌｉｍ型x→１（x－１）ｌｎx０ｌｎx＋１－１xｌｎx０＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ型x→１ｌｎx＋（x－１）／xx→１xｌｎx＋x－１０ｌｎx＋１１ｌｉｍ＝x→１ｌｎx＋２２xｃｏｓx－ｓｉｎx０（５）原式课后答案网：www.hackshp.cn（∞－∞型）＝ｌｉｍ型x→０xｓｉｎx０－xｓｉｎx０＝ｌｉｍ型x→０ｓｉｎx＋xｃｏｓx０ｓｉｎx＋xｃｏｓx＝－ｌｉｍ＝０x→０２ｃｏｓx－xｓｉｎx１－ｓｉｎx０（６）原式（∞－∞型）＝ｌｉｍ型x→π／２ｃｏｓx０－ｃｏｓx＝ｌｉｍ＝０x→π／２－ｓｉｎx85若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn０ｓｉｎxｌｎｔａｎx（７）原式（０型）＝ｌｉｍｅx→０＋ｌｉｍｓｉｎxｌｎｔａｎx＝ｅx→０＋其中ｌｎｔａｎx∞ｌｉｍｓｉｎxｌｎｔａｎx（０·∞型）＝ｌｉｍ型x→０＋x→０＋ｃｓｃx∞２ｓｅｃx１＝ｌｉｍ·x→０＋ｔａｎx－ｃｓｃx·ｃｏｔxｓｉｎx＝－ｌｉｍ２＝０x→０＋ｃｏｓx所以０原式＝ｅ＝１２ｌｎｓｉｎxｌｉｍ０１＋ｌｎx（８）原式（０型）＝ｅx→０＋其中２ｌｎｓｉｎx∞xｃｏｓxｌｉｍ型＝２ｌｉｍ＝２x→０＋１＋ｌｎx∞x→０＋ｓｉｎx所以２原式＝ｅｌｉｍｌｎ（１＋x）·ｌｎx０（９）原式（０型）＝ｅx→０＋其中＋ｌｉｍｌｎ（１＋x）·ｌｎx（０·∞型）＝ｌｉｍxｌｎx（∵x→０时，ｌｎ（１＋x）～x）x→０＋x→０＋ｌｎx∞＝ｌｉｍ型x→０＋１／x∞１２＝ｌｉｍ·（－x）＝０x→０＋x所以０原式＝ｅ＝１ｌｉｍ１１（１０）原式课后答案网：www.hackshp.cn（１∞型）＝ｅx→０［ｌｎ（１＋x）－１］xx其中１１ｌｎ（１＋x）－x０ｌｉｍｌｎ（１＋x）－１＝ｌｉｍ２型x→０xxx→０x０１－１１＋x＝ｌｉｍx→０２x１１１＝－ｌｉｍ＝－２x→０１＋x２86若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以－１／２１原式＝ｅ＝ｅπ（１１）因为ａｒｃｔａｎx＋ａｒｃｃｏｔx＝，所以２π－ａｒｃｔａｎx＝ａｒｃｃｏｔx２于是ｌｎａｒｃｃｏｔxｌｉｍ１／ｌｎxx→＋∞ｌｎx原式＝ｌｉｍ（ａｒｃｃｏｔx）＝ｅx→＋∞其中ｌｎａｒｃｃｏｔx∞－xｌｉｍ型＝ｌｉｍ２x→＋∞ｌｎx∞x→＋∞（１＋x）ａｒｃｃｏｔx２－x１／x＝ｌｉｍ２·ｌｉｍx→＋∞１＋xx→＋∞ａｒｃｃｏｔx１／x０＝－ｌｉｍ型x→＋∞ａｒｃｃｏｔx０２－１／x＝－ｌｉｍ２x→＋∞－１／（１＋x）２１＋x＝－ｌｉｍ２＝－１x→＋∞x所以－１原式＝ｅｌｎ（１＋x２）ｌｉｍ０xx→∞（１２）原式（∞型）＝ｅ其中２ｌｎ（１＋x）∞２xｌｉｍ型＝ｌｉｍ２＝０x→∞x∞x→∞１＋x所以课后答案网：www.hackshp.cn０原式＝ｅ＝１ｌｎｌｎxｌｉｍ∞１－ｌｎxx→ｅ（１３）原式（１型）＝ｅ其中ｌｎｌｎx０１１ｌｉｍ型＝ｌｉｍ·x→ｅ１－ｌｎx０x→ｅxｌｎx－１／x１＝－ｌｉｍ＝－１x→ｅｌｎx所以87若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－１原式＝ｅｌｉｍ（－ｓｉｎx·ｌｎx）－ｌｉｍｓｉｎx·ｌｎx０（１４）原式（∞型）＝ｅx→０＋＝ｅx→０＋其中ｌｎx∞ｌｉｍｓｉｎx·ｌｎx＝ｌｉｍ型x→０＋x→０＋ｃｓｃx∞１１＝ｌｉｍ·x→０＋x－ｃｓｃx·ｃｏｔx２ｓｉｎx＝－ｌｉｍ＝０x→０＋xｃｏｓx所以－０原式＝ｅ＝１f（x）－x１４．设函数f（x）二阶连续可导，且f（０）＝０，f′（０）＝１，求ｌｉｍ２．x→０x０解原式为型未定式，所以０f（x）－xf′（x）－１ｌｉｍ２＝ｌｉｍx→０xx→０２x１f′（ｘ）－f′（０）１＝ｌｉｍ＝f′（０）．２x→０x２１５．确定下列函数的单调区间：２２１（１）f（x）＝x－３x－４５x＋１；（２）f（x）＝x＋；x２／３２（３）f（x）＝（x－１）x；（４）f（x）＝２x－ｌｎx．解（１）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．２f′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）由此可知x∈（－∞，－３）∪（５，＋∞）课后答案网：www.hackshp.cn时，f′（x）＞０x∈（－３，５）时，f′（x）＜０因此，（－∞，－３）或（５，＋∞）为f（x）的单调增加区间，（－３，５）为f（x）的单调减少区间．（２）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，０）∪（０，＋∞）．１１f′（x）＝１－２＝２（x－１）（x＋１）xx由此可知x∈（－∞，－１）∪（１，＋∞）时，f′（x）＞０88若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx∈（－１，０）∪（０，１）时，f′（x）＜０因此，（－∞，－１）或（１，＋∞）为f（x）的单调增加区间；（－１，０）或（０，１）为f（x）的单调减少区间．（３）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．２／３２－１／３１－１／３f′（x）＝x＋（x－１）x＝（５x－２）x３３２由此可知，驻点为x１＝，导数不存在的点为x２＝０．５２因为x∈（－∞，０）∪，＋∞时，f′（x）＞０５２x∈０，时，f′（x）＜０．５２２所以，（－∞，０）或，＋∞为f（x）的单调增加区间，０，为f（x）的单５５调减少区间．（４）该函数的定义域为：D（f）＝（０，＋∞）．１１f′（x）＝４x－＝（２x－１）（２x＋１）xx由此可知１x∈，＋∞时，f′（x）＞０２１x∈０，时，f′（x）＜０２１１因此，０，为f（x）的单调减少区间；，＋∞为f（x）的单调增加区间．２２１６．利用函数的单调性，证明下列不等式：x－１１（１）＜ｌｎx，x＞１；x＋１２课后答案网：www.hackshp.cn２xπ（２）＜ｓｉｎx＜x，０＜x＜；π２１３（３）x－x＜ａｒｃｔａｎx＜x，x＞０；３１（４）ｌｎ（１＋x）＞ａｒｃｔａｎx，x＞０；１＋x１１（５）ｌｎ１＋＞，x＞０．x１＋x89若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn证x－１１（１）令f（x）＝－ｌｎx，则x＋１２２（x＋１）－（x－１）１（x－１）f′（x）＝２－＝－２＜０，x＞１．（x＋１）２x２x（１＋x）因此，f（x）在（１，＋∞）内单调减少．因此，f（x）＜f（１）＝０，x＞１．由此得x－１１＜ｌｎx，x＞１．x＋１２（２）待证不等式等价于不等式：２ｓｉｎxπ＜＜１，０＜x＜πx２ｓｉｎx令f（x）＝，则xxｃｏｓx－ｓｉｎxｃｏｓxf′（x）＝２＝２（x－ｔａｎx）xx再令g（x）＝x－ｔａｎx，则２２πg′（x）＝１－ｓｅｃx＝－ｔａｎx＜０，０＜x＜２痴g（x）＜g（０）＝０π于是，f′（x）＜０，０＜x＜．２π因此，f（x）在０，内单调减少，从而２２f（x）＞ｌｉｍf（x）＝x→（π／２）－πf（x）＜ｌｉｍf（x）＝１课后答案网：www.hackshp.cnx→０＋即有２ｓｉｎxπ＜＜１，０＜x＜πx２亦即２xπ＜ｓｉｎx＜x，０＜x＜．π２（３）令f（x）＝x－ａｒｃｔａｎx，则２xf′（x）＝２＞０，x＞０１＋x90若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn因此，f（x）单调增加，于是有f（x）＝x－ａｒｃｔａｎx＞f（０）＝０痴ａｒｃｔａｎx＜x，x＞０．１３再令g（x）＝x－x－ａｒｃｔａｎx，则３４２１xg′（x）＝１－x－２＝－２＜０，x＞０１＋x１＋x因此，g（x）单调减少，于是有g（x）＜g（０）＝０１３痴　x－x＜ａｒｃｔａｎx，x＞０３综上所述，得１３x－x＜ａｒｃｔａｎx＜x，x＞０３（４）令f（x）＝（１＋x）ｌｎ（１＋x）－ａｒｃｔａｎx，则１f′（x）＝ｌｎ（１＋x）＋１－２１＋x２x＝ｌｎ（１＋x）＋２＞０，x＞０１＋x因此，x＞０时，f（x）单调增加．于是f（x）＞ｌｉｍf（x）＝f（０）＝０x→０＋从而（１＋x）ｌｎ（１＋x）＞ａｒｃｔａｎx，x＞０即有１ａｒｃｔａｎx＜ｌｎ（１＋x），x＞０１＋x１１１（５）令f（x）＝ｌｎ１＋－＝ｌｎ（１＋x）－ｌｎx－，则课后答案网：www.hackshp.cnx１＋x１＋x１１１１f′（x）＝－＋２＝－２＜０，x＞０１＋xx（１＋x）（１＋x）因此，x＞０时，f（x）单调减少．于是f（x）＞ｌｉｍf（x）＝０，x＞０x→＋∞即有１１＜ｌｎ１＋，x＞０１＋xx１７．求下列函数的极值：91若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３２（１）y＝x－３x－４５x＋７５；（２）y＝x＋１－x；２－x（３）y＝x－ｌｎ（１＋x）；（４）y＝xｅ；２x３２／３（５）y＝；（６）y＝x－（x－２）．１＋x２解（１）该函数的定义域为：D（f）＝（－∞，＋∞）．由２f′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）＝０得驻点x１＝－３，x２＝５．因为x＜－３时，f′（x）＞０，－３＜x＜５时，f′（x）＜０，x＞５时，f′（x）＞０．所以x１＝－３为极大值点，极大值为f（－３）＝１５６，x２＝５为极小值点，极小值为f（５）＝－１００．（２）该函数的定义域为，（－∞，１］．由１f′（x）＝１－＝０２１－x３得驻点x０＝．因为４３x＜时，f′（x）＞０，４３＜x＜１时，f′（x）＜０．４３３５所以，x０＝为极大值点，极大值为f＝．４４４（３）该函数的定义域为：（－１，＋∞）．由课后答案网：www.hackshp.cn１xf′（x）＝１－＝＝０１＋x１＋x得驻点x０＝０．因为－１＜x＜０时，f′（x）＜０，x＞０时，f′（x）＞０．所以，x０＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０．（４）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．由－x２－x－xf′（x）＝２xｅ－xｅ＝x（２－x）ｅ＝０得驻点x１＝０，x２＝２．因为92若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx＜０时，f′（x）＜００＜x＜２时，f′（x）＞０x＞２时，f′（x）＜０所以x１＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０；－２x２＝２为极大值点，极大值为f（２）＝４ｅ．（５）该函数的定义域为：（－∞，－１）∪（－１，＋∞）．由２２x（１＋x）－xx（２＋x）f′（x）＝２＝２＝０（１＋x）（１＋x）得驻点x１＝－２，x２＝０．因为x＜－２时，f′（x）＞０，－２＜x＜－１或－１＜x＜０时，f′（x）＜０，x＞０时，f′（x）＞０．所以x１＝－２为极大值点，极大值为f（－２）＝－４，x２＝０为极小值点，极小值为f（０）＝０．（６）该函数定义域为：（－∞，＋∞）．由－１／３f′（x）＝１－（x－２）＝０得驻点x１＝３，另有导数不存在的点x２＝２．因为x＜２时，f′（x）＞０２＜x＜３时，f′（x）＜０x＞３时，f′（x）＞０所以３x１＝３为极小值点，极小值为f（３）＝，２x２＝２为极大值点，极大值为f（２）＝２．１８．求下列函数在给定区间上的最值课后答案网：www.hackshp.cn：３２（１）y＝x－３x－４５x＋７５，［０，６］；x（２）y＝x，（０，＋∞）；２１６（３）y＝x＋，（０，＋∞）xα（４）y＝xｌｎx（α＞０），（０，＋∞）解２（１）由f′（x）＝３x－６x－４５＝３（x＋３）（x－５）＝０，得驻点x０＝５∈［０，６］（x＝－３［０，６］，舍去）．因93若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnf″（５）＝２４＞０所以，x０＝５为f（x）的极小值点，亦即最小值点，最小值为fｍｉｎ＝f（５）＝－１００因f（０）＝７５，f（６）＝－８７，故该函数的最大值为fｍａｘ＝f（０）＝７５（２）取对数并求导，得xy′＝y（ｌｎx＋１）＝x（ｌｎx＋１）１由y′＝０，得驻点x０＝＞０．因为ｅ１０＜x＜时，f′（x）＜０ｅ１x＞时，f′（x）＞０ｅ１x所以，x０＝为y＝f（x）＝x的极小值点，亦即最小值点，最小值为ｅ１／ｅ１yｍｉｎ＝ｅ因为xxｌｉｍx＝１，ｌｉｍx＝＋∞x→０＋x→＋∞所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．（３）由１６２３y′＝２x－２＝２（x－８）＝０xx得驻点x０＝２．因３２y″x＝２＝２＋３＝６＞００xx＝２０故x０＝２为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为课后答案网：www.hackshp.cnyｍｉｎ＝y｜x＝２＝１２因为ｌｉｍf（x）＝＋∞，ｌｉｍf（x）＝＋∞x→０＋x→＋∞所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．（４）由α－１α－１α－１f′（x）＝αxｌｎx＋x＝x（αｌｎx＋１）＝０－１／α得驻点x０＝ｅ．因为－１／α０＜x＜x０＝ｅ时，f′（x）＜０－１／αx＞x时，f′（x）＞０94若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－１／α所以，x０＝ｅ为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为－１／α－１／αα－１／αyｍｉｎ＝f（ｅ）＝（ｅ）ｌｎ（ｅ）１＝－αｅ因为αｌｎxｌｉｍxｌｎx（０，∞型）＝ｌｉｍ－αx→０＋x→０＋x１１－１α＝ｌｉｍ·－（α＋１）＝ｌｉｍx＝０x→０＋x－αxαx→０＋αｌｉｍxｌｎx＝＋∞x→＋∞所以，该函数在（０，＋∞）内无最大值．１９．利用函数的最值证明下列不等式：α（１）x≤１－α＋αx，０＜α＜１，x∈（０，＋∞）；２（２）２xａｒｃｔａｎx≥ｌｎ（１＋x）．证α（１）设f（x）＝x－αx－（１－α），则由α－１α－１f′（x）＝αx－α＝α（x－１）＝０得驻点x０＝１．因为０＜x＜１时，f′（x）＞０　（因为０＜α＜１）x＞１时，f′（x）＜０所以，x０＝１为该函数的极大值点，亦即最大值点，最大值为yｍａｘ＝f（１）＝０因此αf（x）＝x－αx－（１－α）≤f（１）＝０，x∈（０，＋∞）由此得αx≤αx＋１－α，x∈（０，＋∞）２（２）令f（课后答案网：www.hackshp.cnx）＝２xａｒｃｔａｎx－ｌｎ（１＋x），则由２x２xf′（x）＝２ａｒｃｔａｎx＋２－２１＋x１＋x＝２ａｒｃｔａｎx＝０得驻点x０＝０．因为x＜０时，f′（x）＜０x＞０时，f′（x）＞０所以，x０＝０为该函数的极小值点，亦即最小值点，最小值为yｍｉｎ＝f（０）＝０95若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn因此２f（x）＝２xａｒｃｔａｎx－ｌｎ（１＋x）≥f（０）＝０由此得２２xａｒｃｔａｎx≥ｌｎ（１＋x）２０．将边长为２a的正方形纸板的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后将其做成一个无盖的纸盒．问剪去的小正方形边长为多少时，纸盒容积最大？解设剪去的小正方形边长为x（０＜x＜a），则无盖纸盒的容积为２２V＝（２a－２x）·x＝４x（a－x），０＜x＜a由V′＝４（a－x）（a－３x）＝０a得驻点x０＝（～x＝a（０，a），舍去）．因为３V″x＝x＝８（３x－２a）x＝x＝－８a＜０００aa所以，x０＝为V的极大值点，亦即最大值点．即当剪去的小正方形边长为时，３３纸盒的容积最大．２１．设某企业的总利润函数为２L（x）＝１０＋２x－０．１x求使总利润最大时的产量x，以及最大总利润．解由L′（x）＝２－０．２x＝０，得驻点x０＝１０．又由L″（１０）＝－０．２＜０可知，产量为x０＝１０时，总利润取最大值，最大总利润为Lｍａｘ＝L（１０）＝２０．２２．设某工厂生产某种产品的总成本函数为２C（x）＝０畅５x＋３６x＋９８００（元）求平均成本最小时的产量x，以及最小平均成本．解平均成本函数为课后答案网：www.hackshp.cnC（x）９８００C＝＝０畅５x＋３６＋xx由９８００C′（x）＝０畅５－２＝０x得驻点x０＝１４０（舍去负根）．因为１９６００C″（x）＝３＞０（x＞０）x所以，x０＝１４０为C（x）的最小值点，即每天生产１４０个单位的产品，平均成本最96若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn小，最小平均成本为１７６（元）．２３．常数a取何值时，函数１f（x）＝aｓｉｎx＋ｓｉｎ３x３π在x＝处取极值？是怎样的极值？并求出该极值的值．３解因为f′（x）＝aｃｏｓx＋ｃｏｓ３xπ所以，x＝为极值点时，应有３ππaf′＝aｃｏｓ＋ｃｏｓπ＝－１＝０３３２由此得a＝２．于是，由πf″＝（－２ｓｉｎx－３ｓｉｎ３x）x＝π＝－３＜０３３π可知，a＝２时，x＝为f（x）的极大值点，极大值为３ππ１fｍａｘ＝f＝２ｓｉｎ＋ｓｉｎπ＝３３３３２４．求下列曲线的凸性区间及拐点：３５／３（１）y＝x；（２）y＝（x－３）；－xx（３）y＝xｅ；（４）y＝２．（x＋１）解（１）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．２y′＝３x，y″＝６x令y″＝０，得x０＝０．因为x＜０时，y″＜０课后答案网：www.hackshp.cnx＞０时，y″＞０因此，（－∞，０）为该曲线的凸区间；（０，＋∞）为该曲线的下凹区间；（０，０）为该曲线的拐点．（２）该函数的定义域为：（－∞，＋∞）．５２／３１０－１／３y′＝（x－３），y″＝（x－３）３９显然，x０＝３时，y″不存在．因为x＜３时，y″＜０x＞３时，y″＞０97若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以，（－∞，３）为该曲线的凸区间；（３，＋∞）为该曲线的凹区间；（３，０）为该曲线的拐点．（３）定义域为：（－∞，＋∞）．－x－x－xy′＝ｅ－xｅ＝（１－x）ｅ－x－x－xy″＝－ｅ－（１－x）ｅ＝（x－２）ｅ令y″＝０，得x０＝２．因为x＜２时，y″＜０x＞２时，y″＞０２所以，（－∞，２）为凸区间，（２，＋∞）为凹区间，２，２为拐点．ｅ（４）定义域为：（－∞，－１）∪（－１，＋∞）．２（x＋１）－２x（x＋１）１－xy′＝４＝３（x＋１）（x＋１）３２－（x＋１）－３（１－x）（x＋１）２x－４y″＝６＝４（x＋１）（x＋１）令y″＝０，得x０＝２；x＝－１时，y″不存在．因为x＜－１时，y″＜０－１＜x＜２时，y″＜０２＜x＜＋∞时，y″＞０２所以，（－∞，－１）和（－１，２）为凸区间，（２，＋∞）为凹区间，２，为拐点．９２５．求下列曲线的渐近线：１２（１）y＝x＋；（２）y＝１＋x；x１－１／x（３）y＝ｌｎ（１＋x）；（４）y＝xｅx解　（１）因为课后答案网：www.hackshp.cn１ｌｉｍx＋＝∞x→∞x１ｌｉｍx＋＝∞x→０xy１a＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ１＋２＝１x→∞xx→∞x１b＝ｌｉｍ（y－ax）＝ｌｉｍx＋－x＝０x→∞x→∞x所以，该曲线无水平渐近线，有一条垂直渐近线：x＝０，还有一条斜渐近线：y＝x．（２）因为98若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２ｌｉｍ１＋x＝∞x→∞２２ｌｉｍ１＋x＝１＋x０≠∞（x０为任意实数）x→x０２y１＋x１a１＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ２＋１＝１x→＋∞xx→＋∞xx→＋∞x２１b１＝ｌｉｍ（y－a１x）＝ｌｉｍ（１＋x－x）＝ｌｉｍ＝０x→＋∞x→＋∞x→＋∞２１＋x＋x２y１＋x１a２＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ－２＋１＝－１x→－∞xx→－∞xx→－∞x２１b２＝ｌｉｍ（y－a２x）＝ｌｉｍ（１＋x＋x）＝ｌｉｍ＝０x→－∞x→－∞x→－∞２１＋x－x所以，该曲线无水平渐近线，也无垂直渐近线；但有二条斜渐近线：y＝x（x→＋∞时）y＝－x（x→－∞时）（３）定义域为：（－１，０）∪（０，＋∞）．因为ｌｎ（１＋x）∞１ｌｉｍy＝ｌｉｍ型＝ｌｉｍ＝０x→＋∞x→＋∞x∞x→＋∞１＋xｌｎ（１＋x）ｌｉｍy＝ｌｉｍ＝＋∞x→（－１）＋x→（－１）＋xyｌｎ（１＋x）１ｌｉｍ＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝０x→＋∞xx→＋∞xx→＋∞２x（１＋x）所以，该曲线无斜渐近线，但有一条水平渐近线：y＝０（x→＋∞）还有一条垂直渐近线：x＝－１．（４）定义域为：（－∞，０）∪（０，＋∞）．因为－１／xｌｉｍy＝ｌｉｍxｅ＝∞x→＋∞x→∞课后答案网：www.hackshp.cn１u＝－uu－１／xxｅｅｌｉｍy＝ｌｉｍxｅｌｉｍ＝－ｌｉｍ＝－∞x→０x→０－u→＋∞－uu→＋∞１y－１／xa＝ｌｉｍ＝ｌｉｍｅ＝１x→∞xx→∞－１／xb＝ｌｉｍ（y－ax）＝ｌｉｍ（xｅ－x）x→∞x→∞１u＝－u－１／xxｅ－１＝ｌｉｍx（ｅ－１）ｌｉｍx→∞u→０－uu＝－ｌｉｍｅ＝－１u→０99若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以，该曲线无水平渐近线，有垂直渐近线：－x＝０（x→０）和斜渐近线：y＝x－１（x→∞）２６．作下列函数的图形：２１３２x（１）y＝x－x－３x＋１；（２）y＝．３x＋１解（１）定义域为：（－∞，＋∞）２y′＝x－２x－３＝（x＋１）（x－３）y″＝２x－２＝２（x－１）令y′＝０，得x１＝－１，x２＝３；令y″＝０，得x３＝１．以x＝－１，１，３为分界点，划分定义域D（f），并列表如表４．１：表4畅1x（－∞，－１）－１（－１，１）１（１，３）３（３，＋∞）y′＋－－＋y″－－＋＋８８y眱∩极大值诚∩拐点１，－诚∪极小值－８眱∪３３该曲线无渐近线．几个特殊点的坐标：（０，１）８极大值点－１，３极小值点（３，－８）课后答案网：www.hackshp.cn８拐点１，－３图形如图４畅１所示．（２）定义域为：（－∞，－１）∪（－１，＋∞）．２２x（x＋１）－xx（x＋２）y′＝２＝２（x＋１）（x＋１）３２（x＋１）－２x（x＋２）（x＋１）２y″＝４＝３（x＋１）（x＋１）令y′＝０，得x１＝０，x２＝－２；x３＝－１时，y′和y″均不存在．100若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图４畅１以x＝－２，－１，０为分界点划分定义域，并列表如表４．２：表4．2x（－∞，－２）－２（－２，－１）－１（－１，０）０（０，＋∞）y′＋－－＋y″－－＋＋y眱∩极大值－４诚∩诚∪极小值０眱∪因为课后答案网：www.hackshp.cn２xｌｉｍy＝ｌｉｍ＝∞x→∞x→∞x＋１２xｌｉｍy＝ｌｉｍ＝∞x→（－１）x→（－１）x＋１２yxxa＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１x→∞xx→∞x（x＋１）x→∞x＋１２x－xb＝ｌｉｍ（y－ax）＝ｌｉｍ－x＝ｌｉｍ＝－１x→∞x→∞x＋１x→∞x＋１所以，无水平渐近线，有101若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn垂直渐近线：x＝－１斜渐近线：y＝x－１几个特殊点如下：极大值点：（－２，－４）极小值点：（０，０）曲线图形如图４畅２所示．图４畅２（B）１．填空题：３（１）函数f（x）＝x在区间［０，４］上满足拉格朗日中值定理条件，则定理中的ξ＝；３２（２）函数课后答案网：www.hackshp.cnf（x）＝x，g（x）＝x在区间［０，３］上满足柯西中值定理条件，则定理中的ξ＝；１１（３）函数f（x）＝ｌｎ１＋－在区间（０，＋∞）内是单调的；x１＋x｜x－３｜（４）设f（x）＝ｅ，则f（x）在区间［－５，５］上的最大值＝，最小值＝；２２（５）设f（x）＝（x＋１），则f（x）在x＝处取得极值；３（６）函数y＝x－３x的极大值点是x＝，极小值点是x＝．８答　（１）３；（２）２；（３）增加；（４）ｅ，１；（５）０，小；（６）－１，１．102若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２f（３）－f（０）２解　（１）f′（ξ）＝３ξ＝＝３痴ξ＝３．３－０２f′（ξ）３ξf（３）－f（０）（２）＝＝＝３痴ξ＝２．g′（ξ）２ξg（３）－g（０）１＋２x（３）f′（x）＝－２＜０，x＞０痴f（x）单调减少．x（１－x）x－３ｅ，３≤x≤５（４）f（x）＝３－xｅ，－５≤x≤３f（x）在x＝３处连续，但不可导，该函数在（－５，５）内无驻点．因f（x）在闭区间［－５，５］上连续，故在［－５，５］上取得最大值和最小值．因为３－x－５＜x＜３时，f′（x）＝－ｅ＜０x－３３＜x＜５时，f′（x）＝ｅ＞０所以，f（x）的不可导点x＝３为极小值点，亦即最小值点，最小值为０fｍｉｎ＝f（３）＝ｅ＝１２８最大值必在区间［－５，５］的端点取得：f（５）＝ｅ，f（－５）＝ｅ．因此，最大值为８fｍａｘ＝f（－５）＝ｅ２（５）f′（x）＝４x（１＋x）＝０痴x＝０（惟一驻点）；x＜０时，f′（x）＜０；x＞０时，f′（x）＞０痴f（x）在x＝０取极小值．２（６）f′（x）＝３（xＸ－１）＝０痴x＝±１（驻点）x＜－１时，f′（x）＞０痴x＝－１为极大值点－１＜x＜１时，f′（x）＜０痴x＝１为极小值点．x＞１时，f′（x）＞０　　２．单项选择题课后答案网：www.hackshp.cn：（１）设函数f（x）在开区间（a，b）内可导，x１，x２（x１＜x２）是（a，b）内任意两点，则至少存在一点ξ，使得下式成立．（Ａ）f（b）－f（a）－f′（ξ）（b－a），ξ∈（a，b）；（Ｂ）f（b）－f（x１）＝f′（ξ）（b－x１），ξ∈（x１，b）；（Ｃ）f（x２）－f（x１）＝f′（ξ）（x２－x１），ξ∈（x１，x２）；（Ｄ）f（x２）－f（a）＝f′（ξ）（x２－a），ξ∈（a，x２）．f（x）－ｃｏｓx（２）设函数f（x）一阶连续可导，且f（０）＝f′（０）＝１，同ｌｉｍ＝x→０ｌｎf（x）103若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn．（Ａ）１；（Ｂ）－１；（Ｃ）０；（Ｄ）∞．（３）设函数f（x）和g（x）在区间（a，b）内均可导，且g（x）＞０，f′（x）g（x）－f（x）g′（x）＜０，则当x∈（a，b）时，有．（Ａ）f（x）g（a）＞f（a）g（x）；（Ｂ）f（x）g（a）＜f（a）g（x）；（Ｃ）f（x）g（x）＞f（a）g（a）；（Ｄ）f（x）g（x）＜f（b）g（b）．２（４）函数f（x）＝２x－ｌｎx的单调增加区间是．１１１（Ａ）（０，＋∞）；（Ｂ）０，；（Ｃ），＋∞；（Ｄ）－，０．２２２（５）函数f（x）＝x－x－１在区间［１，＋∞］上是．（Ａ）单调增加；（Ｂ）单调减少；（Ｃ）有极大值；（Ｄ）有极小值．２b（６）设f（x）＝ax＋bx＋c（a≠０），则f－．２a（Ａ）是f（x）的极大值；（Ｂ）是f（x）的极小值；（Ｃ）不是f（x）的极值；（Ｄ）可能是极大值，也可能是极小值．３２（７）函数f（x）＝x＋ax＋１２x＋１无极值的条件是．（Ａ）a＜６；（Ｂ）｜a｜＜６；（Ｃ）a＞－６；（Ｄ）｜a｜＞６．３x（８）函数y＝２共有渐近线．（x－１）（Ａ）一条；（Ｂ）二条；（Ｃ）三条；（Ｄ）０条．答　（１）Ｃ；（２）Ａ；（３）Ｂ；（４）Ｃ；（５）Ｂ；（６）Ｄ；（７）Ｂ；（８）Ｂ．解（１）因为（Ｃ）满足拉格朗日中值定理的所有条件，而（Ａ）、（Ｂ）和（Ｄ）不满足拉格朗日中值定理中在闭区间上连续的条件．因此，应选（Ｃ）．０（２）由题中假设可知课后答案网：www.hackshp.cn，题中极限为型未定式，故由０f′＋ｓｉｎ（x）f（x）ｓｉｎx原式＝ｌｉｍ·f（x）＝ｌｉｍf（x）＋＝１x→０f′（x）x→０f′（x）可知，应选（Ａ）．f（x）（３）令F（x）＝，则g（x）f′（x）g（x）－f（x）g（x）F′（x）＝２＜０，x∈（a，b）［g（x）］于是，F（x）在（a，b）内单调减少，故有104若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnF（x）＜F（a），x∈（a，b）即有f（x）g（a）＜f（a）g（x）故应选（Ｂ）．（４）题设函数的定义域为（０，＋∞），而由１１f′（x）＝４x－＝（２x＋１）（２x－１）＞０xx１得x＞．故应选（Ｃ）．２（５）题设函数的定义域为［１，＋∞）．因１１f′（x）＝－２x２x－１１＝－＜０，x∈［１，＋∞）２xx－１（x＋x－１）故f（x）在［１，＋∞）上单调减少，应选（Ｂ）．b（６）由f′（x）＝２ax＋b＝０，得驻点x０＝－；而２af″（x）＝２a≠０bb可见a＞０时，f－为极小值；a＜０时，f－为极大值．故应选（Ｄ）．２a２a２（７）由f′（x）＝３x＋２ax＋１２＝０，得１２２x＝（－２a±４a－１２）６１２２＝（－a±a－６）３２２f（x）无极值时，上式不能为实数，故有a－６＜０，即有｜a｜＜６．故应选（Ｂ）．（８）因３３xxｌｉｍ２＝∞，ｌｉｍ２＝∞课后答案网：www.hackshp.cnx→∞（x－１）x→１（x－１）２yxa＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ２＝１x→∞xx→∞（x－１）３xb＝ｌｉｍ（y－ax）＝ｌｉｍ２－x＝２x→∞x→∞（x－１）故有垂直渐近线x＝１和斜渐近线y＝x＋２，而无水平渐近线．故应选（Ｂ）．a１an３．已知a０＋＋…＋＝０．证明方程２n＋１na０＋a１x＋…＋anx＝０105若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn在（０，１）内必有实根．证令a１２ann＋１f（x）＝a０x＋x＋…＋x２n＋１则f（x）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内可导，且f（０）＝f（１）＝０即f（x）满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈（０，１），使得nf′（ξ）＝a０＋a１ξ＋…＋anξ＝０这表明，方程na０＋a１x＋…＋anx＝０在（０，１）内必有实根．４．证明：１２１３（１）方程１－x＋x－x＝０只有一个实根；２３１２１４１４（２）方程１－x＋x－x＋x＝０无实根．２３４证１２１３（１）令f（x）＝１－x＋x－x．２３先证方程f（x）＝０有实根．由于１２１３５f（２）＝１－２＋×２－×２＝－＜０２３３f（０）＝１＞０且f（x）在闭区间［０，２］上连续．因此，函数f（x）在［０，２］上满足零值定理条件．于是，方程１２１３f（x）＝１－x＋x－x＝０２３在（０，２）内至少有一个实根课后答案网：www.hackshp.cn．再证f（x）＝０根的唯一性．因为２f′（x）＝－１＋x－x２１３３＝－x－＋≤－＜０２４４所以，函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调减少．于是，方程f（x）＝０至多只能有一个实根，唯一性得证．１２１３１４（２）令f（x）＝１－x＋x－x＋x．则由２３４106若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２３２f′（x）＝－１＋x－x＋x＝（１＋x）（x－１）＝０得惟一驻点x０＝１．而２f″（１）＝（１－２x＋３x）x＝１＝２＞０所以，x＝１为f（x）的极小值点，亦即最小值点，于是５f（x）≥f（１）＝＞０１２１２１３１４因此，f（x）＝１－x＋x－x＋x＝０无实根．２３４５．设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）＝０．证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝f（ξ）．－ξ证将f′（ξ）＝f（ξ）两边同乘以ｅ，可得－ξ－x［f′（ξ）－f（ξ）］ｅ＝［f（x）ｅ］′x＝ξ＝０因此，设辅助函数为－xF（x）＝f（x）ｅ则F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）上可导，且－a－bF（a）＝f（a）ｅ＝０，F（b）＝f（b）ｅ＝０因此，F（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件．于是，至少存在一点ξ∈（a，b），使得－ξf′（ξ）＝［f′（ξ）－f（ξ）］ｅ＝０－ξ因ｅ＞０，故得f′（ξ）－f（ξ）＝０　或f′（ξ）＝f（ξ），ξ∈（a，b）６．设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二阶可导，且f（a）＝f（b）＝０，f（c）＞０（a＜c＜b）．试证：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f″（ξ）＜０．证由题设可知，函数f（x）分别在闭区间［a，c］与［c，b］上满足拉格朗日中值定理条件．因此f（c）－f（a）f（c）愁ξ１∈（a，c），使得f′（ξ１）＝＝＞０c－ac－a课后答案网：www.hackshp.cnf（b）－f（c）f（c）愁ξ２∈（c，b），使得f′（ξ２）＝＝－＜０b－cb－c因f（x）二阶可导，故f′（x）在闭区间［ξ１，ξ２］炒（a，b）上连续，在（ξ１，ξ２）内可导，即f′（x）在［ξ１，ξ２］上满足拉格朗日中值定理条件．因此，至少存在一点ξ∈（ξ１，ξ２）炒（a，b），使得f′（ξ２）－f′（ξ１）f″（ξ）＝ξ２－ξ１因f′（ξ１）＞０，f′（ξ２）＜０，ξ２－ξ１＞０，所以f″（ξ）＜０107若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn７．设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二阶可导，且f″（x）≠０，x∈（a，b）．试证：存在唯一的ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）f′（ξ）＝①b－a证因f（x）满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点ξ∈（a，b），使得①式成立，存在性得证．下面证唯一性．假设存在ξ１，ξ２∈（a，b），ξ１＜ξ２，使得①式成立，即有f（b）－f（a）f′（ξ０）＝，i＝１，２b－a则函数F（x）＝f′（x）在［ξ１，ξ２］上连续，在（ξ１，ξ２）内可导，即F（x）在［ξ１，ξ２］上满足拉格朗日中值定理条件，故存在ξ∈（ξ１，ξ２），使得F（ξ２）－F（ξ１）f′（ξ２）－f′（ξ１）f″（ξ）＝f′（ξ）＝＝＝０ξ２－ξ１ξ２－ξ１此与f″（x）≠０（x∈（a，b））的假设矛盾．唯一性得证．８．设函数f（x）在点a的某邻域内二阶连续可导，且f′（a）≠０．求１１ｌｉｍ－x→af′（a）（x－a）f（x）－f（a）解待求极限为∞－∞型未定式．f（x）－f（a）－f′（a）（x－a）０原式＝ｌｉｍ型x→af′（a）（x－a）［f（x）－f（a）］０１f′（x）－f′（a）０＝ｌｉｍ型f′（a）x→af（x）－f（a）＋（x－a）f′（x）０１f″（x）＝ｌｉｍf′（a）x→af′（x）＋f′（x）＋（x－a）f″（x）f″（a）＝２２［f′（a）］课后答案网：www.hackshp.cn３２９．确定三次函数f（x）＝ax＋bx＋cx＋d（a≠０）中参数a，b，c应满足的条件，使得（１）f（x）单调增加；（２）f（x）有极值．解　（１）因为f（x）单调增加时，f（x）＞０．由２f′（x）＝３ax＋２bx＋c２bc＝３ax＋２×x＋３a３a２２bcb＝３ax＋＋－＞０３a３a３a108若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn可得２cba＞０　且－≥０３a３a由此得２a＞０　且　３ac－b≥０（２）由２２bcbf′（x）＝３ax＋＋－＝０３a３a３a可知，f（x）取极值时，应满足条件２cb２－≤０，或　３ac－b≤０３a３a于是，得驻点２bbcx０＝－±－３a３a３ab１２＝－±b－３ac３a３｜a｜２２因f″（x０）＝６ax０＋２b＝±２b－３ac，故f（x）有极值的条件是b－３ac≥０．１０．做一个容积为V的圆柱形容器．已知其上、下底面材料的价格为a（元／单位面积），侧面材料价格为b（元／单位面积）．问：底面直径与侧面高的比例为多少时，造价最省？证设底面半径为R，侧面高为h，则依题设有２VV＝πRh痴h＝２πR设容器的造价为y，则２y＝２πR·a＋２πR·h·b２V＝２πaR＋２πR·２·b课后答案网：www.hackshp.cnπR２２bV＝２πaR＋　（０＜R＜＋∞）R求y的最值：由ｄy２bV＝４πaR－２＝０ｄRR３bV得驻点R０＝．由２aπ２ｄy４bV２＝４aπ＋３＞０　（０＜R＜＋∞）ｄRR109若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn可知，R０为y的唯一极小值点，亦即最小值点．对应于R０的高为３２V４aVh０＝２＝２πR０πb因此，底面直径（２R）与侧面高（h）的比例为１／３２１／３bV４aV２R∶h０＝２∶２＝b∶a２aππb时，该容器的造价最省．１１．设某种商品的需求函数为aQ＝－c，（a，b，c＞０且a＞bc）p＋b其中p为价格，Q为需求量．求最大收益．解设收益为R，则apR＝pQ＝－cpp＋b２ｄRa（p＋b）－apab－c（p＋b）＝２－c＝２ｄp（p＋b）（p＋b）ｄR令＝０，得驻点（含去负值）：ｄpabbp０＝－b＋＝（a－bc）ccba－bc＝＞０ca＋bc因为ｄR　０＜p＜p０时，＞０，ｄpｄRp０＜p时，＜０．课后答案网：www.hackshp.cnｄp所以，p０为R的唯一极大值点，亦即最大值点，R的最大值为ap０aRｍａｘ＝R（p０）＝－cp０＝－cp０p０＋bp０＋bacab＝－c－bbc２＝（a－bc）１２．设某厂生产的某种产品的销售收益为R（x）＝３x110若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn而成本函数为１２C（x）＝１＋x３６求使总利润最大时的产量x和最大总利润．解总利润为１２L（x）＝R（x）－C（x）＝３x－x－１　（x＞０）３６则由３xL′（x）＝－＝０２x１８得驻点x０＝９．因为３－３／２１L″（x）＝－x－＜０４１８所以，x０＝９为L（x）的唯一极大值点，亦即最大值点．最大利润为１２２３Lｍａｘ＝L（９）＝３×９－×９－１＝．３６４课后答案网：www.hackshp.cn111若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第五章不定积分习题五（A）１．求函数f（x），使f′（x）＝（２x－３）（３x＋２），且f（２）＝２．２解f′（x）＝６x－５x－６，积分得２２f（x）＝∫（６x－５x－６）ｄx＝∫６xｄx－∫５xｄx－∫６ｄx３５２＝２x－x－６x＋c．２由f（２）＝１６－１０－１２＋C＝２，得C＝８所以３５２f（x）＝２x－x－６x＋８．２１x２．已知曲线y＝f（x）过点（０，２），且其上任意点的斜率为x＋３ｅ，求曲线２方程．１x解由题意知，曲线的导数f′（x）＝x＋３ｅ，故有２课后答案网：www.hackshp.cn１２xf（x）＝x＋３ｅ＋C．４又曲线过点（０，２），所以f（０）＝０＋３＋C＝２由此可得C＝－１从而１２xf（x）＝x＋３ｅ－１４112若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２　　（６）∫xａｒｃｔａｎxｄx＝∫ａｒｃｔａｎxｄx２１２２＝xａｒｃｔａｎx－∫xｄａｒｃｔａｎx２２１２x＝xａｒｃｔａｎx－∫２ｄx２１＋x１２＝［xａｒｃｔａｎx－x＋ａｒｃｔａｎx］＋C．２xx－tt２t（７）ｅｄxｅｄt＝２tｅｄt∫２∫∫x＝tttt＝２∫tｄｅ＝２tｅ－２∫ｅｄttt＝２tｅ－２ｅ＋Cxx＝２xｅ－２ｅ＋Cx＝２（x－１）ｅ＋C　　（８）∫ａｒｃｓｉｎ１－xｄx＝x·ａｒｃｓｉｎ１－x－∫xｄａｒｃｓｉｎ１－x１－１＝xａｒｃｓｉｎ１－x－∫x·ｄx１－（１－x）２１－x１x＝xａｒｃｓｉｎ１－x＋∫ｄx２２x－x由于１２１－ｄ（x－x）＋ｄxx２２２１ｄx∫２ｄx＝∫２＝－x－x＋２∫２x－xx－xx－x２１ｄx＝－x－x＋∫２２课后答案网：www.hackshp.cn１１－－x４２１－ｄ－x２１２＝－x－x＋∫２２１１－－x４２１－x２１２＝－x－x－ａｒｃｓｉｎ＋C２１２129若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１＝－x－x－ａｒｃｓｉｎ（１－２x）＋C２故１２１原式＝xａｒｃｓｉｎ１－x－x－x－ａｒｃｓｉｎ（１－２x）＋C．２４１１（９）∫xｃｏｓ２xｄx＝∫xｄｓｉｎ２x＝（xｓｉｎ２x－∫ｓｉｎ２xｄx）２２１１＝xｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x＋C．２２２－x２－x２－x－x２（１０）∫xｅｄx＝－∫xｄｅ＝－（xｅ－∫ｅｄx）２－x－x＝－xｅ＋２∫xｅｄx２－x－x＝－xｅ－２∫xｄｅ２－x－x－x＝－xｅ－２xｅ－∫ｅｄx２－x－x－x＝－xｅ－２xｅ－２ｅ＋C．２２２（１１）∫ｌｎ（３＋x）ｄx＝xｌｎ（３＋x）－∫xｄｌｎ（３＋x）２２x＝xｌｎ（３＋x）－∫x·２ｄx３＋x２２x＋３－３＝xｌｎ（３＋x）－２∫２ｄx３＋x２１x＝xｌｎ（３＋x）－２x－３·ａｒｃｔａｎ＋C３３２x＝xｌｎ（３＋x）－２x＋２３ａｒｃｔａｎ＋C．３课后答案网：www.hackshp.cn１（１２）∫xｓｉｎxｃｏｓxｄx＝∫xｓｉｎ２xｄx２－１＝∫xｄｃｏｓ２x４１＝－（xｃｏｓ２x－∫ｃｏｓ２xｄx）４１１＝－xｃｏｓ２x－ｓｉｎ２x＋C４２１１＝－xｃｏｓ２x＋ｓｉｎ２x＋C．４８130若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｌｎx１ｌｎx１（１３）∫２ｄx＝∫ｌｎxｄ＝－∫ｄｌｎx（１－x）１－x１－x１－xｌｎx１１＝＋∫·ｄx１－xx－１xｌｎx１１＝＋∫－ｄx１－xx－１xｌｎxx－１＝＋ｌｎ＋C．１－xxｌｎ（ｌｎx）（１４）∫ｄx＝∫ｌｎ（ｌｎx）ｄｌｎx＝ｌｎx·ｌｎ（ｌｎx）－∫ｌｎxｄｌｎ（ｌｎx）x１１＝ｌｎx·ｌｎ（ｌｎx）－∫ｌｎx··ｄxｌｎxx＝ｌｎx·ｌｎ（ｌｎx）－ｌｎx＋C．ａｒｃｔａｎx１（１５）∫２ｄx＝－∫ａｒｃｔａｎxｄxxａｒｃｔａｎx１＝－＋∫ｄａｒｃｔａｎxxxａｒｃｔａｎx１１＝－＋∫·２ｄxxx１＋xａｒｃｔａｎx１x＝－＋∫－２ｄxxx１＋xａｒｃｔａｎx１２＝－＋ｌｎx－ｌｎ（１＋x）＋C．x２２２２（１６）∫（ａｒｃｓｉｎx）ｄx＝x（ａｒｃｓｉｎx）－∫xｄ（ａｒｃｓｉｎx）２x＝x（ａｒｃｓｉｎx）－２∫ａｒｃｓｉｎxｄx２１－x２２课后答案网：www.hackshp.cn＝x（ａｒｃｓｉｎx）＋２∫ａｒｃｓｉｎxｄ１－x２２＝x（ａｒｃｓｉｎx）＋２１－xａｒｃｓｉｎx－２２∫１－xｄａｒｃｓｉｎx２２＝x（ａｒｃｓｉｎx）＋２１－xａｒｃｓｉｎx－２x＋C．（１７）∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx＝xｓｉｎ（ｌｎx）－∫xｄｓｉｎ（ｌｎx）１＝xｓｉｎ（ｌｎx）－∫xｃｏｓ（ｌｎx）·ｄxx131若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＝xｓｉｎ（ｌｎx）－（xｃｏｓ（ｌｎx）－∫xｄｃｏｓ（ｌｎx））＝xｓｉｎ（ｌｎx）－xｃｏｓ（ｌｎx）－∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx移项后，得x∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx＝［ｓｉｎ（ｌｎx）－ｃｏｓ（ｌｎx）］＋C．２ｌｎ（ｓｉｎx）（１８）∫２ｄx＝∫ｌｎ（ｓｉｎx）ｄｔａｎxｃｏｓx＝ｌｎ（ｓｉｎx）·ｔａｎx－∫ｔａｎxｄｌｎ（ｓｉｎx）ｃｏｓx＝ｌｎ（ｓｉｎx）ｔａｎx－∫ｔａｎx·ｄxｓｉｎx＝ｌｎ（ｓｉｎx）ｔａｎx－x＋C．３ｌｎx３１１３１３（１９）∫２ｄx＝－∫ｌｎxｄ＝－ｌｎx＋∫ｄｌｎxxxxx２１３ｌｎx＝－ｌｎx＋３∫２ｄxxx１３２１＝－ｌｎx－３∫ｌｎxｄxx１３１２１２＝－ｌｎx－３ｌｎx－∫ｄｌｎxxxx１３３２１＝－ｌｎx－ｌｎx＋６∫２ｌｎxｄxxxx１３３２１＝－ｌｎx－ｌｎx－６∫ｌｎxｄxxx１３３２１１＝－ｌｎx－ｌｎx－６·ｌｎx＋６∫ｄｌｎxxxxx课后答案网：www.hackshp.cn１３３２６６＝－ｌｎx－ｌｎx－ｌｎx－＋C．xxxx２２xx＋１－１（２０）∫２ａｒｃｔａｎxｄx＝∫２ａｒｃｔａｎxｄx１＋x１＋x１＝∫ａｒｃｔａｎxｄx－∫２ａｒｃｔａｎxｄx１＋x＝xａｒｃｔａｎx－∫xｄａｒｃｔａｎx－∫ａｒｃｔａｎxｄａｒｃｔａｎxx１２＝xａｒｃｔａｎx－∫２ｄx－ａｒｃｔａｎx１＋x２132若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２１２＝xａｒｃｔａｎx－ｌｎ（１＋x）－ａｒｃｔａｎx＋C．２２xａｒｃｃｏｓx２（２１）∫ｄx＝－∫ａｒｃｃｏｓxｄ１－x２１－x２２＝－１－xａｒｃｃｏｓx＋∫１－xｄａｒｃｃｏｓx２＝－１－xａｒｃｃｏｓx－∫ｄx２＝－１－xａｒｃｃｏｓx－x＋C．３２１２（２２）∫x１－xａｒｃｓｉｎxｄx＝－∫ａｒｃｓｉｎxｄ（１－x）２３３３１２１２＝－（１－x）２ａｒｃｓｉｎx＋∫（１－x）２ｄａｒｃｓｉｎx３３３１２１２＝－（１－x）２ａｒｃｓｉｎx＋∫（１－x）ｄx３３３１２１１３＝－（１－x）２ａｒｃｓｉｎx＋x－x＋C．３３９１（２３）∫ｓｉｎ２xｌｎｔａｎxｄx＝－∫ｌｎｔａｎxｄｃｏｓ２x２１１＝－ｃｏｓ２xｌｎｔａｎx＋∫ｃｏｓ２xｄｌｎｔａｎx２２１１１＝－ｃｏｓ２xｌｎｔａｎx＋∫ｃｏｓ２x·ｃｏｔx·２ｄx２２ｃｏｓx１＝－ｃｏｓ２xｌｎｔａｎx＋∫ｃｏｔ２xｄx２１１＝－ｃｏｓ２xｌｎｔａｎx＋ｌｎｓｉｎ２x＋C．２２另解２∫课后答案网：www.hackshp.cnｓｉｎ２xｌｎｔａｎxｄx＝∫ｌｎｔａｎxｄsinx２２＝ｓｉｎxｌｎｔａｎx－∫ｓｉｎxｄｌｎｔａｎx２２１＝ｓｉｎxｌｎｔａｎx－∫ｓｉｎx·ｃｏｔx·２ｄx…ｃｏｓx２＝ｓｉｎxｌｎｔａｎx－∫ｔａｎxｄx２＝ｓｉｎxｌｎｔａｎx＋ｌｎｃｏｓx＋C．（２４）∫ｓｉｎxｌｎｓｅｃxｄx＝－∫ｓｉｎxｌｎｃｏｓxｄx133若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＝∫ｌｎｃｏｓxｄｃｏｓx－ｓｉｎx＝ｃｏｓxｌｎｃｏｓx－∫ｃｏｓx·ｄxｃｏｓx＝ｃｏｓxｌｎｃｏｓx－ｃｏｓx＋C．x＝t（２５）xｓｉｎxｄxtｓｉｎt·２tｄt∫２∫x＝t２２２＝－２∫tｄｃｏｓt＝－２tｃｏｓt＋２∫ｃｏｓtｄt２＝－２tｃｏｓt＋４∫tｃｏｓtｄt２＝－２tｃｏｓt＋４∫tｄｓｉｎt２＝－２tｃｏｓt＋４tｓｉｎt－４∫ｓｉｎtｄt２＝－２tｃｏｓt＋４ｔｓｉｎt＋４ｃｏｓt＋C＝－２xｃｏｓx＋４xｓｉｎx＋４ｃｏｓx＋C．１２（２６）∫xａｒｃｔａｎxｄx＝∫ａｒｃｔａｎxｄx２１２１２＝xａｒｃｔａｎx－∫xｄａｒｃｔａｎx２２２１２１x１＝xａｒｃｔａｎx－∫·ｄx２２１＋x２x１２１x·x＝xａｒｃｔａｎx－∫ｄx２４１＋x１２１xx＋x－x＝xａｒｃｔａｎx－∫ｄx２４１＋x１２１x＝xａｒｃｔａｎx－∫x－ｄx２４１＋x课后答案网：www.hackshp.cn３１２１１x＝xａｒｃｔａｎx－x２＋∫ｄx．２６４１＋x２xx＝ttt＋１－１由于∫ｄx∫２·２tｄt＝２∫２ｄt１＋x１＋t１＋t＝２t－２ａｒｃｔａｎt＋C＝２x－２ａｒｃｔａｎx＋C１．所以３１２１１１原式＝xａｒｃｔａｎx－x２＋x－ａｒｃｔａｎx＋C．２６２２134若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn该题也可以开始就先作换元，然后再分部积分．倡１０计算下列有理函数的不定积分：ｄxｄx（１）∫２；　　　　　　（２）∫２；x（１＋３x）x（１＋x）６x－１（３）∫３ｄx；（４）∫３２ｄx；１＋xx＋x＋x＋１２x－x－１x（５）∫２ｄx；（６）∫３２ｄx；（x－１）（x－２）x－x＋x－１２ｄx３x－８x－１（７）∫；（８）∫３ｄx．（x－１）（x－２）（x－３）（x－１）（x＋２）解　（１）用待定系数法将真分式分成最简分式的和．１ABC２＝＋２＋x（１＋３x）xx１＋３x２Ax（１＋３x）＋B（１＋３x）＋Cx＝１３A＋C＝０A＝－３３B＋A＝０痴B＝１B＝１C＝９ｄx３１９∫２＝∫－＋２＋ｄxx（１＋３x）xx１＋３x１＝－３ｌｎx－＋３ｌｎ１＋３x＋cx１＋３x１＝３ｌｎ－＋c．xxｄx１１１（２）∫３＝∫－－２ｄxx（１＋x）x１＋x（１＋x）x１＝ｌｎ＋＋c．１＋x１＋x６课后答案网：www.hackshp.cn６ABx＋C（３）３＝２＝＋２１＋x（１＋x）（１－x＋x）１＋x１－x＋x２A（１－x＋x）＋（１＋x）（Bx＋C）＝６２（A＋B）x＋（B＋C－A）x＋A＋C＝６比较同次幂系数，得A＋C＝６A＋B＝０痴A＝２，B＝－２，C＝４B＋C－A＝０于是135若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２－２x＋４２x－４原式＝∫＋２ｄx＝２ｌｎx＋１－∫２ｄx１＋x１－x＋xx－x＋１２x－１－３＝２ｌｎx＋１－∫２ｄxx－x＋１２ｄ（x－x＋１）ｄx＝２ｌｎx＋１－∫２＋３∫２x－x＋１x－x＋１２ｄx＝２ｌｎx＋１－ｌｎ（x－x＋１）＋３∫２１３x－＋２４１x－２２２＝２ｌｎx＋１－ｌｎ（x－x＋１）＋３·ａｒｃｔａｎ＋c３３２２２x－１＝２ｌｎx＋１－ｌｎ（x－x＋１）＋２３ａｒｃｔａｎ＋c．３x－１x－１ABx＋C（４）３２＝２＝＋２x＋x＋x＋１（x＋１）（x＋１）x＋１x＋１２A（x＋１）＋（Bx＋C）（x＋１）＝x－１比较同次幂的系数，得方程组A＋B＝０A＝－１B＋C＝１痴B＝１A＋C＝－１C＝０于是x－１－１x∫３２ｄx＝∫＋２ｄxx＋x＋x＋１x＋１x＋１２１２x＋１＝－ｌｎx＋１＋ｌｎ（x＋１）＋c＝ｌｎ＋c．２x＋１课后答案网：www.hackshp.cn２x－x－１ABC（５）２＝＋＋２（x－１）（x－２）x－２x－１（x－１）２２A（x－１）＋B（x－２）（x－１）＋C（x－２）＝x－x－１令x＝１代入等式，得C＝１令x＝２得A＝１令x＝０得B＝０２x－x－１１１故∫２ｄx＝∫＋２ｄx（x－１）（x－２）x－２（x－１）136若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１＝ｌｎx－２－＋c．x－１xxABx＋C（６）３２＝２＝＋２x－x＋x－１（x＋１）（x－１）x－１x＋１２A（x＋１）＋（Bx＋C）（x－１）＝x２（A＋B）x＋（C－B）x＋A－C＝xA＋B＝０１１C－B＝１痴A＝C＝，B＝－２２A－C＝０于是１１１－x＋x２２２∫３２ｄx＝∫ｄx＋∫２ｄxx－x＋x－１x－１x＋１１１x－１＝ｌｎx－１－∫２ｄx２２x＋１１１x１１＝ｌｎx－１－∫２ｄx＋∫２ｄx２２x＋１２１＋x１１２１＝ｌｎx－１－ｌｎ（１＋x）＋ａｒｃｔａｎx＋c．２４２１ABC（７）＝＋＋（x－１）（x－２）（x－３）x－１x－２x－３A（x－２）（x－３）＋B（x－１）（x－３）＋C（x－１）（x－２）＝１１１分别令x＝１，２，３，得A＝，B＝－１，C＝．故２２ｄx１ｄxｄx１ｄx∫＝∫－∫＋∫（x－１）（x－２）（x－３）２x－１x－２２x－３１（x－１）（x－３）＝ｌｎ２＋c．２（x－２）课后答案网：www.hackshp.cn２３x－８x－１ABCD（８）３＝＋２＋３＋（x－１）（x＋２）x－１（x－１）（x－１）x＋２２３２A（x－１）（x＋２）＋B（x－１）（x＋２）＋C（x＋２）＋D（x－１）＝３x－８x－１３令x＝１，得C＝－２，令x＝－２，得D＝－１．比较x的系数可得A＝１，比较常数项的系数，得B＝０２３x－８x－１１２１所以∫３ｄx＝∫－３－ｄx（x－１）（x＋２）x－１（x－１）x＋２x－１１＝ｌｎ＋２＋c．x＋２（x－１）137若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（B）１．填空题：ｄx（１）设∫xf（x）ｄx＝ａｒｃｓｉｎx＋C，则∫＝　　　；f（x）２xx（２）设f（ｓｉｎx）＝，则∫f（x）ｄx＝　　　；ｓｉｎx１－xｌｎ（１＋x）（３）设f（ｌｎx）＝，则∫f（x）ｄx＝　　　；x（４）已知f′（ｌｎx）＝１＋x，则f（x）＝　　　；ｓｉｎx（５）f（x）有一个原函数，则∫xf′（x）ｄx＝　　　；x１（６）已知曲线y＝f（x）过点０，－，且在其上任意点（x，y）处的切线斜率２２为xｌｎ（１＋x），则f（x）＝　　　．１２３答　（１）－（１－x）＋C；　　　　（２）－２１－xａｒｃｓｉｎx＋２x＋C；３－xxx（３）x－（ｅ＋１）ｌｎ（１＋ｅ）＋C；（４）x＋ｅ＋C；２１２２（５）ｃｏｓx－ｓｉｎx＋C；（６）（１＋x）［ｌｎ（１＋x）－１］x２解（１）对∫xf（x）ｄx＝ａｒｃｓｉｎx＋C两边求导数，得１f（x）＝２x１－x３ｄx２１２故∫＝∫x１－xｄx＝－（１－x）２＋c．f（x）３２π（２）因０≤x＜１，故可令x＝ｓｉｎtt∈０，２所以课后答案网：www.hackshp.cnxｓｉｎt２∫f（x）ｄx＝∫f（ｓｉｎt）２ｓｉｎtｃｏｓtｄt１－xｃｏｓt＝２∫tｓｉｎtｄt＝－２tｃｏｓt＋２∫ｃｏｓtｄt＝－２tｃｏｓt＋２ｓｉｎt＋C＝－２１－xａｒｃｓｉｎx＋２x＋C．ππ２另法由题设知x∈［０，１）炒－，，故令u＝ｓｉｎx，２２138若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnａｒｃｓｉｎx则有ｓｉｎx＝u，x＝ａｒｃｓｉｎu，f（x），于是xxａｒｃｓｉｎx∫f（x）ｄx＝∫ｄx＝－２∫ａｒｃｓｉｎxｄ１－x１－x１－x１＝－２１－xａｒｃｓｉｎx＋２∫１－xｄx１－x＝－２１－xａｒｃｓｉｎx＋２x＋C．t（３）令ｌｎx，　　x＝ｅtｌｎ（１＋ｅ）－xxf（t）＝t，即f（x）＝ｅｌｎ（１＋ｅ）ｅ于是－xxx－x∫f（x）ｄx＝∫ｅｌｎ（１＋ｅ）ｄx＝－∫ｌｎ（１＋ｅ）ｄｅx－xx－xｅ＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋∫ｅ·xｄx１＋ｅ－xx１＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋∫ｄx１＋ｅxxx－xx１＋ｅ－ｅ＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋∫xｄx１＋ｅ－xxx＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋x－ｌｎ（１＋ｅ）＋C．t（４）在f′（ｌｎx）＝１＋x中令ｌｎx＝t，则f′（t）＝１＋ｅ从而xxf（x）＝∫（１＋ｅ）ｄx＝x＋ｅ＋C．ｓｉｎxxｃｏｓｘ－ｓｉｎx（５）由于f（x）＝′＝２，故xx∫xf课后答案网：www.hackshp.cn′（x）ｄx＝∫xｄf（x）＝xf（x）－∫f（x）ｄxxｃｏｓx－ｓｉｎxｓｉｎx＝－＋C．xx２ｓｉｎx＝ｃｏｓx－＋C．x２（６）由题意知，f′（x）＝xｌｎ（１＋x）故２１２２f（x）＝∫xｌｎ（１＋x）ｄx＝∫ｌｎ（１＋x）ｄx２139若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２２１２２x＝xｌｎ（１＋x）－∫x·２ｄx２２１＋x３１２２x＝xｌｎ（１＋x）－∫２ｄx２１＋x１２２x＝xｌｎ（１＋x）－∫x－２ｄx２１＋x１２２１２１２＝xｌｎ（１＋x）－x＋ｌｎ（１＋x）＋C２２２１１由于曲线过点０，－即f（０）＝－，可以定出常数C．２２１１f（０）＝０－０＋０＋C＝－，即C＝－２２所以１２２１２１２１f（x）＝xｌｎ（１＋x）－x＋ｌｎ（１＋x）－２２２２１２２＝（１＋x）［ｌｎ（１＋x）－１］．２２．单项选择题：ｄx（１）∫２≠　　　．１＋x１１（Ａ）ａｒｃｔａｎ＋C；　　　　　　（Ｂ）ａｒｃｃｏｔ＋C；xx１２x（Ｃ）－ａｒｃｃｏｔx＋C；（Ｄ）ａｒｃｔａｎ２＋C．２１－x（２）若∫ｓｉｎf（x）ｄx＝xｓｉｎf（x）－∫ｃｏｓf（x）ｄx且f（１）＝０，则∫ｓｉｎf（x）ｄx＝　　　．（Ａ）xｓｉｎｌｎx－ｃｏｓｌｎx＋C；（Ｂ）xｓｉｎｌｎx＋xｃｏｓｌｎx＋C；xxxx（Ｃ）ｓｉｎｌｎ课后答案网：www.hackshp.cnx－ｃｏｓｌｎx＋C；（Ｄ）ｓｉｎｌｎx＋ｃｏｓｌｎx＋C．２２２２２xf（ｌｎx）（３）若∫xf（x）ｄx＝xｅ＋C，则∫ｄx＝　　　．x（Ａ）xｌｎx＋C；（Ｂ）xｌｎx－x＋C；（Ｃ）３x＋xｌｎx＋C；（Ｄ）x＋xｌｎx＋C．２２xf（３x－１）（４）若∫f（x）ｄx＝ｓｉｎx＋C，则∫ｄx＝２３x－１１２１２（Ａ）ｓｉｎ（３x－１）＋C；（Ｂ）ｓｉｎ（３x－１）＋C；６３140若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２２１２２（Ｃ）ｓｉｎ（３x－１）＋C；（Ｄ）ｓｉｎ（３x－１）＋C．２４２（５）设f′（ｓｉｎx）＝ｃｏｓx，则∫f（x）ｄx＝２２４x１３xx（Ａ）－x＋C；（Ｂ）－＋C；２３２１２２２x１３x１４（Ｃ）－x＋C１x＋C；（Ｄ）－x＋C１x＋C２３２１２１１２π（６）设F（x）＝f（x）－，g（x）＝f（x）＋，F′（x）＝g（x），且f＝f（x）f（x）４１，则f（x）＝　　　（Ａ）ｔａｎx；（Ｂ）ｃｏｔx；ππ（Ｃ）ｓｉｎx＋；（Ｄ）ｃｏｓx－．４４答（１）Ａ；　　（２）Ｃ；　　（３）Ｄ；　　（４）Ｂ；　　（５）Ｄ；　　（６）Ａ．解（１）该题实际只要对四个选项求导数，看其是否与被积函数相等．１１１１１对于选顶（Ａ），ａｒｃｔａｎ′＝２·－２＝－２≠２，所以该x１x１＋x１＋x１＋x题的选项应该是（Ａ）．１可以验证，（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）的导函数都等于２，这说明一个函数的原函数１＋x表达式不唯一．（２）对等式的左边进行分部积分，并与等式右边比较，有∫ｓｉｎf（x）ｄx＝xｓｉｎf（x）－∫xｃｏｓf（x）·f′（x）ｄx．１可知f′（x）＝，即f（x）＝ｌｎx＋C．由f（１）＝０，得C＝０．x所以课后答案网：www.hackshp.cn∫ｓｉｎf（x）ｄx＝∫ｓｉｎｌｎxｄx１＝xｓｉｎｌｎx－∫xｃｏｓｌｎx·ｄxx＝xｓｉｎｌｎx－∫ｃｏｓｌｎxｄx＝xｓｉｎｌｎx－（xｃｏｓｌｎx－∫xｄｃｏｓｌｎx）＝xｓｉｎｌｎx－xｃｏｓｌｎx－∫ｓｉｎｌｎxｄx141若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn移项，得xx∫ｓｉｎｌｎxｄx＝ｓｉｎｌｎx－ｃｏｓｌｎx＋C．２２故应选（Ｃ）．２x（３）对等式∫xf（x）ｄx＝xｅ＋C两边求导数，求出f（x）．得x２xxf（x）＝２xｅ＋xｅ，即xxf（x）＝２ｅ＋xｅf（ｌｎx）＝２x＋xｌｎx从而f（ｌｎx）∫ｄx＝∫（２＋ｌｎx）ｄx＝２x＋xｌｎx－x＋Cx＝xｌｎx＋x＋C故选（Ｄ）．（４）对等式两边求导数，解出f（x）．２２２２f（x）＝２xｃｏｓx，　　f（３x－１）＝２３x－１ｃｏｓ（３x－１）２２２xf（３x－１）x·２３x－１ｃｏｓ（３x－１）于是∫ｄx＝∫ｄx２２３x－１３x－１２＝∫２xｃｏｓ（３x－１）ｄx１２＝ｓｉｎ（３x－１）＋C３所以选（Ｃ）．２３（５）由f′（ｓｉｎx）＝ｃｏｓx，　　f′（ｓｉｎx）ｃｏｓx＝ｃｏｓx３积分∫f′（ｓｉｎx）ｃｏｓxｄx＝∫ｃｏｓxｄx课后答案网：www.hackshp.cn有１３f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx－ｓｉｎx＋C１３１３f（x）＝x－x＋C１３则２x１４∫f（x）ｄx＝－x＋C１x＋C２１２故选（Ｄ）．142若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２（６）由于F′（x）＝g（x），故有２f′（x）１f′（x）＋２＝f（x）＋f（x）f（x）２１２１f′（x）１＋２＝f（x）１＋２f（x）f（x）２１２f′（x）＝f（x）１＋２＝f（x）＋１f（x）ｄf（x）２ｄf（x）＝f（x）＋１，　　２＝ｄxｄxf（x）＋１从而ａｒｃｔａｎf（x）＝x＋C，　　f（x）＝ｔａｎx＋Cπ由f＝１可知，C＝０　　所以f（x）＝ｔａｎx，故选（Ａ）．４３．求下列不定积分：ｌｎxx＋１（１）∫ｄx；　　　　　（２）∫２ｄx；x２＋ｌｎxx＋xｌｎx１ａｒｃｔａｎxａｒｃｓｉｎx（３）∫２ｄx；（４）∫ｄx；１＋xx（１－x）xｄx（５）∫３ｄx；（６）∫２；１－xxｌｎx（ｌｎx＋１）ｄxｄx（７）∫２；（８）∫３；（ｓｉｎx＋２ｃｏｓx）１＋x＋（１＋x）３（１－x）ａｒｃｓｉｎ（１－x）（９）∫ｌｎ（１＋x）ｄx；（１０）∫ｄx；２２x－xxｓｉｎｌｎxｌｎ（１＋ｅ）（１１）∫２ｄx；（１２）∫xｄx；xｅ５２２x２x（１３）∫x课后答案网：www.hackshp.cnｌｎxｄx；（１４）∫ｅｓｅｃｅｄx；２ｄx（１５）∫xａｒｃｔａｎxｄx；（１６）∫x２x；ｅ（１＋ｅ）１１＋x１１＋x（１７）∫２ａｒｃｔａｎｄx；（１８）∫２ｌｎｄx；１＋x１－x１－x１－xx＋１２x２（１９）∫ｄx；（２０）∫ｅ（１＋ｔａｎx）ｄx；２x＋x＋１ａｒｃｓｉｎxａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎx（２１）∫２２ｄx；（２２）∫２ｅｄx；x１－x１＋x143若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２xx＋１（２３）∫４２ｄx；（２４）∫３２ｄx；x＋３x＋２x＋４x＋５x＋２ｄx１－x（２５）∫；（２６）∫ｄx．２３＋９－xx解ｌｎxｌｎxｌｎx＝tt（１）∫ｄx＝∫ｄｌｎx∫ｄtx２＋ｌｎx２＋ｌｎx２＋t２２２＋t＝uu－２∫２uｄnu２２３＝∫（２u－４）ｄu＝u－４u＋C３２３１＝（２＋ｌｎx）２－４（２＋ｌｎx）２＋C．３x＋１x＋１（２）∫２ｄx＝∫ｄｌｎxx＋xｌｎxx＋ｌｎxtｌｎx＝tｅ＋１∫tｄtｅ＋tt＝ｌｎｅ＋t＋C＝ｌｎx＋ｌｎx＋C．１１ａｒｃｔａｎ＝txxａｒｃｔａｎt１（３）∫２ｄx∫ｄ１＋x１t１＋２tａｒｃｔａｎt＝－∫２ｄt１＋t２１２１１＝－（ａｒｃｔａｎt）＋C＝－ａｒｃｔａｎ＋C．２２xａｒｃｓｉｎxx＝tａｒｃｓｉｎt（４）∫ｄx∫·２tｄt课后答案网：www.hackshp.cnx（１－x）t１－t２１＝２∫（ａｒｃｓｉｎt）２ｄａｒｃｓｉｎt４３＝（ａｒｃｓｉｎt）２＋C３４３＝（ａｒｃｓｉｎx）２＋C．３３xx２ｄx２（５）∫３ｄx＝∫３ｄx＝３∫３１－x２１－x１－（x２）144若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２３＝ａｒｃｓｉｎx２＋C．３ｄxｄｌｎx（６）∫２＝∫２xｌｎx（ｌｎx＋１）ｌｎx（１＋ｌｎx）ｌｎx＝tｄt１t∫２＝∫－２ｄtt（１＋t）t１＋t１２＝ｌｎt－ｌｎ（１＋t）＋C２１２＝ｌｎｌｎx－ｌｎ（１＋ｌｎx）＋C．２ｄx１１（７）∫２＝∫２·２ｄx（ｓｉｎx＋２ｃｏｓx）（２＋ｔａｎx）ｃｏｓx１＝∫２ｄｔａｎx（２＋ｔａｎx）１＝－＋C．２＋ｔａｎxｄx１ｄx（８）∫３＝∫２１＋x＋（１＋x）１＋（１＋x）１＋x１＝２∫２ｄ１＋x１＋（１＋x）＝２ａｒｃｔａｎ１＋x＋C．３３１＋x＝t３（９）ｌｎ（１＋x）ｄxｌｎtｄ（t－１）∫３∫x＝（t－１）３３＝（t－１）ｌｎt－∫（t－１）ｄｌｎt３２３t－３t＋３t－１＝（t－１）ｌｎt－∫ｄtt３１３３２课后答案网：www.hackshp.cn＝（t－１）ｌｎt－t＋t－３t＋ｌｎt＋C３２３１３３３３２３＝xｌｎ（１＋x）－（１＋x）＋（１＋x）－３（１＋x）３２３＋ｌｎ（１＋x）＋C３１３３３３２＝（x＋１）ｌｎ（１＋x）－（１＋x）＋（１＋x）－３２３３（１＋x）＋C１３１１２１＝（x＋１）ｌｎ（１＋x）－x＋x３－x３＋C．３２145若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（１－x）ａｒｃｓｉｎ（１－x）１ａｒｃｓｉｎ（１－x）２（１０）∫ｄx＝∫ｄ［１－（１－x）］２２２２x－x１－（１－x）２＝∫ａｒｃｓｉｎ（１－x）ｄ１－（１－x）２＝２x－xａｒｃｓｉｎ（１－x）－２∫１－（１－x）ｄａｒｃｓｉｎ（１－x）２＝２x－xａｒｃｓｉｎ（１－x）－∫ｄx２＝２x－xａｒｃｓｉｎ（１－x）－x＋C．ｓｉｎｌｎx１（１１）∫２ｄx＝－∫ｓｉｎｌｎxｄxx１１＝－ｓｉｎｌｎx＋∫ｄｓｉｎｌｎxxx１１＝－ｓｉｎｌｎx＋∫２ｃｏｓｌｎxｄxxx１１＝－ｓｉｎｌｎx－∫ｃｏｓｌｎxｄxx１１１＝－ｓｉｎｌｎx－ｃｏｓｌｎx＋∫ｄｃｏｓｌｎxxxx１１ｓｉｎｌｎx＝－ｓｉｎｌｎx－ｃｏｓｌｎx－∫２ｄxxxx移项，得ｓｉｎｌｎx１∫２ｄx＝－（ｓｉｎｌｎx＋ｃｏｓｌｎx）＋C．x２xｘｌｎ（１＋ｅ）x－x（１２）∫xｄx＝－∫ｌｎ（１＋ｅ）ｄｅｅx－xx－xｅ课后答案网：www.hackshp.cn＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋∫ｅ·xｄx１＋ｅxx－xx１＋ｅ－ｅ＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋∫xｄx１＋ｅ－xxx＝－ｅｌｎ（１＋ｅ）＋x－ｌｎ（１＋ｅ）＋Cxx＝x－（１＋ｅ）ｌｎ（１＋ｅ）＋C．５２１２６（１３）∫xｌｎxｄx＝∫ｌｎxｄx６１６２１６１＝xｌｎx－∫x·２ｌｎx·ｄx６６x146若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１６２１５＝xｌｎx－∫xｌｎxｄx６３１６２１６＝xｌｎx－∫ｌｎxｄx６１８１６２１６１６１＝xｌｎx－xｌｎx＋∫x·ｄx６１８１８x１６２１６１６＝xｌｎx－xｌｎx＋x＋C６１８１０８１６２１１＝xｌｎx－ｌｎx＋＋C．６３１８２x２xxx（１４）∫ｅｓｅｃｅｄx＝∫ｅｄｔａｎｅxxxx＝ｅｔａｎｅ－∫ｔａｎｅｄｅxxx＝ｅｔａｎｅ＋ｌｎｃｏｓｅ＋C．２１３（１５）∫xａｒｃｔａｎxｄx＝∫ａｒｃｔａｎxｄx３１３１３＝xａｒｃｔａｎx－∫xａｒｃｔａｎx３３１３１３１１＝xａｒｃｔａｎx－∫x··ｄx３３１＋x２x３１３１x＝xａｒｃｔａｎx－∫ｄx３６（１＋x）x由于３６xx＝tt∫ｄx∫２·２tｄt（１＋x）x（１＋t）t６t＋１－１＝２∫２ｄt１＋t课后答案网：www.hackshp.cn４２１＝２∫t－t＋１－２ｄt１＋t１５１３＝２t－t＋t－ａｒｃｔａｎt＋C５３２５２３１＝x２－x２＋２x２－２ａｒｃｔａｎx＋C５３故５３１１３１１１１原式＝xａｒｃｔａｎx－x２＋x２－x２＋ａｒｃｔａｎx＋C３１５９３３147若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn５３３１３１１１＝（x＋１）ａｒｃｔａｎx－x２＋x２－x２＋C．３１５９３xｄxｅ＝t１（１６）∫x２x∫２ｄｌｎtｅ（１＋ｅ）x＝ｌｎtt（１＋t）ｄt１１＝∫２２＝∫２－２ｄtt（１＋t）t１＋t１＝－－ａｒｃｔａｎt＋Ct－ｘx＝－ｅ－ａｒｃｔａｎｅ＋C．（１７）因为１＋x１故ａｒｃｔａｎ′＝２，１＋x１＋x１＋x１＋x原式＝∫ａｒｃｔａｎｄａｒｃｔａｎ１－x１－x２１１＋x＝ａｒｃｔａｎ＋C．２１－x１１＋x１１＋x１１（１８）∫２ｌｎｄx＝∫ｌｎ＋ｄx１－x１－x２１－x１－x１＋x１１＋x＝∫ｌｎｄ［ｌｎ（１＋x）－ｌｎ（１－x）］２１－x２１１＋x１＋x１１＋x＝－∫ｌｎｄｌｎ＝ｌｎ＋C．２１－x１－x４１－x１２１ｄ（x＋x＋１）＋ｄxx＋１２２（１９）∫ｄx＝∫２２x＋x＋１x＋x＋１１ｄx＋２１２＝x＋x＋１＋∫２２１３x＋＋２４课后答案网：www.hackshp.cn２１１２＝x＋x＋１－ｌｎx＋＋x＋x＋１＋C．２２ｄx２２注：第二个积分是直接利用积分公式∫＝ｌｎ（x＋a＋x）＋C而得到２２ax的，该公式已用三角函数换元法求得（见书中５．１１（２）），也可以用（ｌｎ（x＋２２１a＋x））′＝来验证．２２a＋x２２x２２x（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）（２０）∫ｅ（１＋ｔａｎx）ｄx＝∫ｅ２ｄxｃｏｓx148若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x１＝ｅｄx∫２ｃｏｓx＋２ｔａｎx２x２ｘ＝∫ｅｄｔａｎx＋２∫ｅｔａｎxｄx２x２x２x＝ｅｔａｎx－∫ｔａｎxｄｅ＋２∫ｅｔａｎxｄx２x２x２x＝ｅｔａｎx－２∫ｅｔａｎxｄx＋２∫ｅｔａｎxｄx２x＝ｅｔａｎx＋C．ａｒｃｓｉｎxx＝ｓｉｎtt（２１）∫ｄx∫２·ｃｏｓtｄt２２t＝ａｒｃｓｉｎxｓｉｎt·ｃｏｓtx１－xt＝∫２ｄt＝－∫tｄｃｏｔtｓｉｎt＝－tｃｏｔt＋∫ｃｏｔtｄt＝－tｃｏｔt＋ｌｎｓｉｎt＋C２１－x＝－ａｒｃｓｉｎx＋ｌｎx＋C．x图５－４ａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎx（２２）∫２ｅｄx＝∫ａｒｃｔａｎx·ｅｄａｒｃｔａｎx１＋xａｒｃｔａｎx＝∫ａｒｃｔａｎxｄｅａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎx＝ａｒｃｔａｎx·ｅ－∫ｅｄａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎxａｒｃｔａｎx＝ａｒｃｔａｎx·ｅ－ｅ＋Cａｒｃｔａｎx＝（ａｒｃｔａｎx－１）ｅ＋C．２２x１ｄxx＝t１ｄt（２３）∫４２ｄx＝∫４２∫２x＋３x＋２２x＋３x＋２２t＋３t＋２１１１１ｔ＋１课后答案网：www.hackshp.cn＝∫－ｄt＝ｌｎ＋Ｃ２t＋１t＋２２ｔ＋２２１x＋１＝ｌｎ２＋C．２x＋２２２x＋１x＋１ABC（２４）３２＝２＝＋２＋x＋４x＋５x＋２（x＋１）（x＋２）x＋１（x＋１）x＋２２２A（x＋１）（x＋２）＋B（x＋２）＋C（x＋１）x＋１由２＝２（x＋１）（x＋２）（x＋１）（x＋２）得A＝－４，B＝２，C＝５，149若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn故２x＋１－４２∫３２ｄx＝∫＋２＋ｄxx＋４x＋５x＋２x＋１（x＋１）x＋２２＝－４ｌｎ（x＋１）－＋５ｌｎx＋２＋C．x＋１ｄxx＝３ｓｉｎt３ｃｏｓt（２５）∫∫ｄt３＋９－x２３＋３ｃｏｓtｃｏｓt＋１－１１　　　＝∫ｄt＝t－∫ｄt１＋ｃｏｓt１＋ｃｏｓt１－ｃｏｓt＝t－∫ｄt（１＋ｃｏｓt）（１－ｃｏｓt）１－ｃｏｓt１＝t－∫２ｄt＝t＋ｃｏｔt－＋Cｓｉｎtｓｉｎt２x９－x３＝ａｒｃｓｉｎ＋－＋C．３xx２１－xx＝ｓｉｎt１－ｓｉｎt２（２６）∫ｄx∫ｄｓｉｎt图５－５xｓｉｎtｃｏｓt２＝∫·２ｓｉｎtｃｏｓtｄt＝２∫ｃｏｓtｄtｓｉｎt１＋ｃｏｓ２t１＝２∫ｄt＝t＋ｓｉｎ２t＋C２２＝t＋ｓｉｎtｃｏｓt＋C＝ａｒｃｓｉｎx＋x１－x＋C２＝ａｒｃｓｉｎx＋x－x＋C．ｓｉｎxｃｏｓx４．设F（x）＝∫ｄx，G（x）＝∫ｄx，求aF（x）＋aｓｉｎx＋bｃｏｓxaｓｉｎx＋bｃｏｓxbG（x）；aG（x）－bF（x）；F（x）；G（x）．课后答案网：www.hackshp.cnaｓｉｎxbｃｏｓx解aF（x）＋bG（x）＝∫ｄx＋∫ｄxaｓｉｎx＋bｃｏｓxaｓｉｎx＋bｃｏｓxaｓｉｎx＋bｃｏｓx＝∫ｄx＝x＋C（１）aｓｉｎx＋bｓｉｎxaｃｏｓxbｓｉｎxaG（x）－bF（x）＝∫ｄx－∫ｄxaｓｉｎx＋bｃｏｓxaｓｉｎx＋bｃｏｓxaｃｏｓx－bｓｉｎx＝∫ｄxaｓｉｎx＋bｃｏｓx150若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１＝∫ｄ（aｓｉｎx＋bｃｏｓx）aｓｉｎx＋bｃｏｓx＝ｌｎaｓｉｎx＋bｃｏｓx＋C（２）在（１）式的两边乘以a，（２）式的两边乘以b，两式相减，得２２（a＋b）F（x）＝ax－bｌｎaｓｉｎx＋bｃｏｓx＋C１故１F（x）＝２２ax－bｌｎaｓｉｎx＋bｃｏｓx＋C．a＋b在（１）式的两边乘以b，（２）式的两边乘以a，然后再将两式相加，得２２（a＋b）G（x）＝bx＋aｌｎaｓｉｎx＋bｃｏｓx＋C１１G（x）＝２２（bx＋aｌｎaｓｉｎx＋bｃｏｓx）＋C．a＋b２２ｓｉｎxｃｏｓx５．设F（x）＝∫ｄx，G（x）＝∫ｄx，ｓｉｎx＋ｃｏｓxｓｉｎx＋ｃｏｓx求F（x）＋G（x）；　G（x）－F（x）；F（x）；G（x）．２２ｓｉｎx＋ｃｏｓx１解F（x）＋G（x）＝∫ｄx＝∫ｄxｓｉｎx＋ｃｏｓxｓｉｎx＋ｃｏｓxｄx１ｄx＝∫＝∫２ｃｏｓｘ－π２ｓｉｎx＋π４４２xπ２xπｓｉｎ＋＋ｃｏｓ＋１２８２８＝∫ｄx２xπxπ２ｓｉｎ＋ｃｏｓ＋２８２８１xπxπxπ＝∫ｔａｎ＋＋ｃｏｔ＋ｄ＋２２８２８２８课后答案网：www.hackshp.cn１xπxπ＝ｌｎｓｉｎ＋－ｌｎｃｏｓ＋＋Ｃ２２８２８１xπ＝ｌｎｔａｎ＋＋C（１）２２８注可以直接用积分公式１x∫ｄx＝ｌｎｔａｎ＋C＝ｌｎｃｓｃx－ｃｏｔx＋C１ｓｉｎx２２２ｃｏｓx－ｓｉｎxG（x）－F（x）＝∫ｄx＝∫（ｃｏｓx－ｓｉｎx）ｄxｓｉｎx＋ｃｏｓx151若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＋C（２）通过（１），（２）两式相减或相加，可以分别得到F（x）和G（x）．１xπ１F（x）＝ｌｎｔａｎ＋－（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）＋C．２x２８２１xπ１G（x）＝ｌｎｔａｎ＋＋（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）＋C．２x２８２课后答案网：www.hackshp.cn152若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｄs２３．一质点作直线运动，其速度为＝３t－ｓｉｎt，初始位移s０＝２，求s和t的ｄt函数关系．ｄs２解由＝３t－ｓｉｎt，得ｄt２３s＝∫（３t－ｓｉｎt）ｄt＝t＋ｃｏｓt＋C３根据初始位移s０＝０＋ｃｏｓ０＋C＝２，得C＝１故３s＝t＋ｃｏｓt＋１４．f（x）在x＝１，x＝－５处有极值，且f（０）＝２，f（１）＝－６，f′（x）是二次函数，求f（x）．２解由题设知，f′（x）＝a（x－１）（x＋５）＝ax＋４ax－５a积分得a３２f（x）＝x＋２ax－５ax＋C３又f（０）＝C＝２痴C＝２af（１）＝＋２a－５a＋２＝－６痴a＝３３所以３２f（x）＝x＋６x－１５x＋２５．求下列不定积分：２x＋xｄx（１）∫３ｄx；　　　　　　　　　　（２）∫；xxx２２１x－１（３）∫x－ｄx；（４）∫２ｄx；xx＋１４２xx＋２ｅ－１（５）∫２ｄx；（６）∫xｄx；x课后答案网：www.hackshp.cn＋１ｅ＋１２x－１x１（７）∫２２ｄx；（８）∫ｅ３－xｄx；x（x＋１）xｅx２xxx３－２（９）∫４ｅｄx；（１０）∫xｄx；ｅx＋１x－１xxx２－５（１１）∫（ｅ－２）（１＋３）ｄx；（１２）∫xｄx；１０２２（x－１）１－x＋３x１＋x１－x（１３）∫２ｄx；（１４）∫＋ｄx；x１－x１－x１＋x113若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３２４x＋x－４x－x（１５）∫２２ｄx；（１６）∫２ｄx；x（１＋x）１＋x２１＋ｓｉｎ２x１＋ｃｏｓx（１７）∫ｄx；（１８）∫ｄx；ｓｉｎx＋ｃｏｓx１＋ｃｏｓ２x２ｃｏｓ２x－１１＋ｓｉｎx（１９）∫２２ｄx；（２０）∫ｄx；ｓｉｎxｃｏｓx１－ｃｏｓ２x２xｃｏｓ２x（２１）∫ｓｉｎｄx；（２２）∫ｄx．２ｓｉｎx－ｃｏｓx２x＋x２５１２＋１１５＋１解　（１）ｄx＝３＋x３ｄx＝x３＋x３＋C∫３∫xx２５＋１＋１３３３５３８＝x３＋x３＋C．５８３１ｄx－－（２）∫＝∫x２ｄx＝－２x２＋C．xx２１２１（３）∫x－ｄx＝∫x－２＋２ｄxxx１３１＝x－２x－＋C．３x２２x－１x＋１－２２（４）∫２ｄx＝∫２ｄx＝∫１－２ｄxx＋１x＋１x＋１＝x－２ａｒｃｔａｎx＋C．４４２２x＋２x－１＋３（x＋１）（x－１）＋３（５）∫２ｄx＝∫２ｄx＝∫２ｄxx＋１x＋１x＋１２３＝∫x－１＋２ｄxx＋１１３＝x－x＋３ａｒｃｔａｎx＋C．３２x课后答案网：www.hackshp.cnｅ－１xx（６）∫xｄx＝∫（ｅ－１）ｄx＝ｅ－x＋C．ｅ＋１２x－１１１１１１（７）因为∫２２＝２－２２＝２－２－２x（x＋１）x＋１x（x＋１）x＋１xx＋１２１＝２－２x＋１x故２x－１２１１∫２２ｄx＝∫２－２ｄx＝２ａｒｃｔａｎx＋＋C．x（x＋１）x＋１xx114若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx１x１x（８）∫ｅ３－xｄx＝∫３ｅ－ｄx＝３ｅ－ｌｎx＋C．xｅxxxxx（４ｅ）（９）∫４ｅｄx＝∫（４ｅ）ｄx＝＋Cｌｎ４ｅx（４ｅ）＝＋C．１＋２ｌｎ２x２xxx３－２３４（１０）∫xｄx＝∫－ｄxｅｅｅxx３３４４＝ｌｎ－ｌｎ＋Cｅｅｅｅxx３４＝x－x＋Cｅ（ｌｎ３－１）ｅ（２ｌｎ２－１）xx１３４＝x－＋Cｅｌｎ３－１２ｌｎ２－１xxxxxxx（１１）∫（ｅ－２）（１＋３）ｄx＝∫［ｅ－２＋（３ｅ）－６］ｄxxx２xx＝ｅ－＋（３ｅ）（１＋ｌｎ３）－６ｌｎ６＋C．ｌｎ２x＋１x－１xx２－５１１１（１２）∫xｄx＝∫２－ｄx１０５５２xx１１１１１＝２ｌｎ－·ｌｎ＋C５５５２２２－x１－x＝－５＋２２＋C．ｌｎ５５ｌｎ２２２（x－１）１－x＋３xx－１３（１３）∫２ｄx＝∫x＋２ｄxx１－x１－x１２＝x－ｌｎx＋３ａｒｃｓｉｎx＋C．２２２课后答案网：www.hackshp.cn１＋x１－x（１＋x）（１－x）１＋x＋１－x（１４）由于＋＝２＋２＝１－x１＋x１－x１－x１－x２２＝２１－x故１＋x１－x２∫＋ｄx＝∫２ｄx＝２ａｒｃｓｉｎx＋C．１－x１＋x１－x３２x＋x－４x（x＋１）－４１４（１５）∫２２ｄx＝∫２２ｄx＝∫－２２ｄxx（１＋x）x（x＋１）xx（x＋１）115若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１＝∫－４２－２ｄxxx１＋x４＝ｌｎx＋＋４ａｒｃｔａｎx＋C．x２４２４x－xx＋１－（x－１）－２（１６）∫２ｄx＝∫２ｄx１＋x１＋x２２＝∫１－（x－１）－２ｄx１＋x１３＝２x－x－２ａｒｃｔａｎx＋C．３２２１＋ｓｉｎ２xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋２ｓｉｎxｃｏｓx（１７）∫ｄx＝∫ｄxｓｉｎx＋ｃｏｓxｓｉｎx＋ｃｏｓx２（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）＝∫ｄx＝∫（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｄxｓｉｎx＋ｃｏｓx＝ｓｉｎx－ｃｏｓx＋C．２２１＋ｃｏｓx１＋ｃｏｓx（１８）∫ｄx＝∫２２２２ｄx１＋ｃｏｓ２xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋ｃｏｓx－ｓｉｎx２１＋ｃｏｓx１１＝∫２ｄx＝x＋ｔａｎx＋C．２ｃｏｓx２２２２２２ｃｏｓ２x－１ｃｏｓx－ｓｉｎx－ｓｉｎx－ｃｏｓx（１９）∫２２ｄx＝∫２２ｄxｓｉｎxｃｏｓxｓｉｎxｃｏｓx２＝－∫２ｄx＝－２ｔａｎx＋C．ｃｏｓx２２１＋ｓｉｎx１＋ｓｉｎx１１（２０）∫ｄx＝∫２ｄx＝x－ｃｏｔx＋C．１－ｃｏｓ２x２ｓｉｎx２２２x１－ｃｏｓx１１（２１）∫ｓｉｎｄx＝∫ｄx＝x－ｓｉｎx＋C．２２２２２２ｃｏｓ２xｃｏｓx－ｓｉｎx（２２）∫课后答案网：www.hackshp.cnｄx＝∫ｄxｓｉｎx－ｃｏｓxｓｉｎx－ｃｏｓx＝－∫（ｃｏｓx＋ｓｉｎx）ｄx＝ｃｏｓx－ｓｉｎx＋C．６．用换元积分法计算下列各题：xｄx（１）∫ｄx；　　　　　　　　（２）∫；２３－２xx－１x－４－x２（３）∫ｄx；（４）∫xｅｄx；x＋２116若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２xｅｄx（５）∫２xｄx；（６）∫２；ｅ＋３x－２x＋３ｄxｄx（７）∫x－x；（８）∫x－x；ｅ＋ｅｅ－ｅｄxｄx（９）∫；（１０）∫；x１－ｌｎ２xx（１－ｌｎx）ａｒｃｓｉｎxx＋ａｒｃｔａｎx（１１）∫２ｄx；（１２）∫２ｄx；１－x１＋xｓｉｎxｃｏｓxｔａｎx（１３）∫２ｄx；（１４）∫ｄx；３＋ｓｉｎxx５x２－２x＋３x（１５）∫（x－１）ｅｄx；（１６）∫３ｄx；３１＋xxｅ２ｓｉｎx（１７）∫ｄx；（１８）∫ｄx；x２９－ｅ１＋ｓｉｎxｓｉｎx－ｃｏｓxxｃｏｓx＋ｓｉｎx（１９）∫ｄx；（２０）∫２ｄx；１＋ｓｉｎ２x（xｓｉｎx）ｌｎｔａｎx１（２１）∫ｄx；（２２）∫２２ｄx；ｓｉｎxｃｏｓxｓｉｎx＋３ｃｏｓx２５（２３）∫ｓｉｎxｃｏｓxｄx；（２４）∫ｓｉｎ４xｓｉｎ８xｄx；ｄx（２５）∫（ｃｏｓx－ｓｉｎx）ｃｏｓ２xｄx；（２６）∫；xｓｉｎxｃｏｓxｄx３（２７）∫４；（２８）∫ｔａｎxｄx；ｓｉｎxｄxxｄx（２９）∫；（３０）∫；２２x＋１＋２x－１x＋x－１xｄxx（３１）∫课后答案网：www.hackshp.cn４２；（３２）∫x（１＋ｌｎx）ｄx；x＋２x＋５２ｌｎ（x＋１＋x）ｌｎ（１＋x）－ｌｎx（３３）∫２ｄx；（３４）∫ｄx．１＋xx（１＋x）２２x１d（x－１）x－１＝t１ｄt解　（１）∫２ｄx＝２∫２２∫x－１x－１t１１２＝·２t２＋C＝x－１＋C．２ｄx１ｄ（３－２x）１（２）∫＝－∫＝－ｌｎ３－２x＋C．３－２x２３－２x２117若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx－４x＋２－６ｄx（３）∫ｄx＝∫ｄx＝∫x＋２ｄx－６∫x＋２x＋２２＋x１ｄ（x＋２）＝∫（x＋２）２ｄ（x＋２）－６∫x＋２２３１＝（x＋２）２－１２（x＋２）２＋C．３－x２１－x２２１－x２（４）∫xｅｄx＝∫ｅｄx＝－ｅ＋C．２２１２x１２xｄｅ２xｄtｅ２ｅ＝t２（５）∫４xｄx＝∫２２x２∫２２ｅ＋３（３）＋（ｅ）（３）＋t１１t＝·ａｒｃｔａｎ＋C２３３２x１ｅ＝ａｒｃｔａｎ＋C．２３３ｄxｄ（x－１）x－１＝tｄt（６）∫２＝∫２∫２x－２x＋３（x－１）＋２t＋２１t１x－１＝ａｒｃｔａｎ＋C＝ａｒｃｔａｎ＋C．２２２２xxｄxｅｄｅ（７）∫x－x＝∫２xｄx＝∫x２ｅ＋ｅｅ＋１（ｅ）＋１x＝ａｒｃｔａｎｅ＋C．xxxｄxｅｄｅｅ＝tｄt（８）∫x－x＝∫２xｄx＝∫２x∫２ｅ－ｅｅ－１ｅ－１t－１１１１１t－１＝∫－ｄt＝ｌｎ＋C２t－１t＋１２t＋１x１ｅ－１＝ｌｎx＋C．２ｅ＋１课后答案网：www.hackshp.cnｄx１（９）∫＝∫ｄｌｎx＝ａｒｃｓｉｎｌｎx＋C．２２x１－ｌｎx１－ｌｎxｄx１ｄ（１－ｌｎx）（１０）∫＝∫ｄｌｎx＝－∫x（１－ｌｎx）１－ｌｎx１－ｌｎx＝－ｌｎ１－ｌｎx＋C．ａｒｃｓｉｎxｄx（１１）∫２ｄx＝∫ａｒｃｓｉｎx１－x２１－x＝∫ａｒｃｓｉｎxｄａｒｃｓｉｎx118若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２３＝（ａｒｃｓｉｎx）２＋C．３x＋ａｒｃｔａｎxxａｒｃｔａｎx（１２）∫２ｄx＝∫２ｄx＋∫２ｄx１＋x１＋x１＋x２１ｄ（x＋１）＝∫２＋∫ａｒｃｔａｎxｄａｒｃｔａｎx２１＋x３１２２＝ｌｎ（１＋x）＋（ａｒｃｔａｎx）２＋C．２３１２ｄ（ｓｉｎx＋３）ｓｉｎxｃｏｓxｓｉｎxｄｓｉｎx２（１３）∫２ｄx＝∫２＝∫２３＋ｓｉｎx３＋ｓｉｎx３＋ｓｉｎx１２＝ｌｎ（３＋ｓｉｎx）＋C．２ｔａｎx（１４）∫ｄx＝２∫ｔａｎxｄx＝－２ｌｎｃｏｓx＝C．xx２－２x＋３１x２－２x＋３２（１５）∫（x－１）ｅｄx＝∫ｅｄ（x－２x＋３）２２t＝x－２x＋３１２１t∫ｅｄt＝ｅ＋C２２１x２－２x＋３＝ｅ＋C．２５３x１x３（１６）∫３３ｄx＝３∫３３ｄx１＋x１＋x３１x＋１－１３＝∫３ｄ（１＋x）３３１＋x３t＝１＋x１２－１∫（t３－t３）ｄt３１３５３２＝t３－t３＋C３５２课后答案网：www.hackshp.cn１３５３１３２３＝（１＋x）－（１＋x）＋C．５２xxxtｅ２２ｄｅ２t＝ｅ２ｄtｄ３（１７）∫xｄx＝∫x２∫２＝２∫２２９－ｅ９－（ｅ２）９－tt１－３t＝２ａｒｃｓｉｎ＋C３xｅ２＝２ａｒｃｓｉｎ＋C．３119若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｓｉｎxｄx－ｄｃｏｓxｄｃｏｓx（１８）∫２＝∫２＝－∫２１＋ｓｉｎx１＋１－ｃｏｓx２－ｃｏｓxｃｏｓx＝tｄtt－∫＝－ａｒｃｓｉｎ＋C２２－t２ｃｏｓx＝－ａｒｃｓｉｎ＋C．２ｓｉｎx－ｃｏｓxｓｉｎx－ｃｏｓx（１９）∫ｄx＝∫２２ｄx１＋ｓｉｎ２xｓｉｎx＋ｃｏｓx＋２ｓｉｎxｃｏｓx－ｄ（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）＝∫２（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）１＝＋C．ｓｉｎx＋ｃｏｓxxｃｏｓx＋ｓｉｎxｄ（xｓｉｎx）１（２０）∫２ｄx＝∫２＝－＋C．（xｓｉｎx）（xｓｉｎx）xｓｉｎxｌｎｔａｎx（２１）∫ｄx＝∫ｌｎｔａｎxｄｌｎｔａｎxｓｉｎxｃｏｓx１２＝（ｌｎｔａｎx）＋C．２ｄx１ｄx（２２）∫２２＝∫２·２ｓｉｎx＋３ｃｏｓxｔａｎx＋３ｃｏｓx１＝∫２ｄｔａｎx３＋ｔａｎx１ｔａｎx＝ａｒｃｔａｎ＋C．３３２５２２２（２３）∫ｓｉｎxｃｏｓxｄx＝∫ｓｉｎx（１－ｓｉｎx）ｄｓｉｎx２２４＝∫ｓｉｎx（１－２ｓｉｎx＋ｓｉｎx）ｄｓｉｎx课后答案网：www.hackshp.cn２４６＝∫（ｓｉｎx－２ｓｉｎx＋ｓｉｎx）ｄｓｉｎx１３２５１７＝ｓｉｎx－ｓｉｎx＋ｓｉｎx＋C．３５７１（２４）∫ｓｉｎ４xｓｉｎ８xｄx＝－∫［ｃｏｓ（４＋８）x－ｃｏｓ（４－８）x］ｄx２１＝－∫（ｃｏｓ１２x－ｃｏｓ４x）ｄx２１１＝ｓｉｎ４x－ｓｉｎ１２x＋C８２４120若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２（２５）∫（ｃｏｓx－ｓｉｎx）ｃｏｓ２xｄx＝∫（ｃｏｓx－ｓｉｎx）（ｃｏｓx－ｓｉｎx）ｄx２＝∫（ｓｉｎx－ｃｏｓx）（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｄx２＝∫（ｓｉｎx－ｃｏｓx）ｄ（ｓｉｎx－ｃｏｓx）１３＝（ｓｉｎx－ｃｏｓx）＋C．３ｄxｄx（２６）∫＝２∫xｓｉｎxｃｏｓxｓｉｎxｃｏｓx１１＝２∫·２ｄxｔａｎxｃｏｓx１＝２∫ｄｔａｎxｔａｎx＝２ｌｎｔａｎx＋C．２２ｄxｓｉｎx＋ｃｏｓxｄx２ｄx（２７）∫４＝∫４ｄx＝∫２＋∫ｃｏｔx·２ｓｉｎxｓｉｎxｓｉｎxｓｉｎx２１３＝－ｃｏｔx－∫ｃｏｔxｄｃｏｔx＝－ｃｏｔx－ｃｏｔx＋C．３２３１－ｃｏｓx（２８）∫ｔａｎxｄx＝∫ｔａｎx·２ｄxｃｏｓx１＝∫ｔａｎx·２ｄx－∫ｔａｎxｄxｃｏｓx１＝∫ｔａｎxｄｔａｎx＋∫ｄｃｏｓxｃｏｓx１２＝ｔａｎx＋ｌｎｃｏｓx＋C．２ｄx（２９）∫课后答案网：www.hackshp.cn２x＋１＋２x－１２x＋１－２x－１　＝∫ｄx（２x＋１＋２x－１）（２x＋１－２x－１）１＝∫（２x＋１－２x－１）ｄx２１＝２∫２x＋１ｄx－∫２x－１ｄx１１１＝∫２x＋１ｄ（２x＋１）－∫２x－１ｄ（２x－１）２２２121若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２３１２３＝·（２x＋１）２－·（２x－１）２＋C４３４３１３１３＝（２x＋１）２－（２x－１）２＋C．６６２xｄxx（x－x－１）（３０）∫＝∫ｄx２２２x＋x－１（x＋x－１）（x－x－１）２２＝∫（x－xx－１）ｄx１３１２２＝x－∫x－１ｄ（x－１）３２３１３１２２＝x－·（x－１）２＋C３２３３１３２＝［x－（x－１）２］＋C．３１２ｄ（x＋１）xｄx２（３１）∫４２＝∫２２x＋２x＋５（x＋１）＋４２１１x＋１＝·ａｒｃｔａｎ＋C２２２２１x＋１＝ａｒｃｔａｎ＋C．４２xxｌｎx（３２）∫x（１＋ｌｎx）ｄx＝∫ｅ（１＋ｌｎx）ｄxxｌｎx＝∫ｅｄ（xｌｎx）xｌｎxx＝ｅ＋C＝x＋C．２１ｌｎ（x＋１＋x）２ｄx（３３）ｄx＝［ｌｎ（x＋１＋x）］２·∫２∫２１＋x１＋x１课后答案网：www.hackshp.cn２２＝∫［ｌｎ（x＋１＋x）］２ｄｌｎ（x＋１＋x）３２２＝［ｌｎ（x＋１＋x）］２＋C．３２１［注］　［ｌｎ（x＋１＋x）］′＝２１＋x１ｌｎ１＋ｌｎ（１＋x）－ｌｎxx（３４）∫ｄx＝∫ｄxx（１＋x）２１x１＋x122若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１ｌｎ１＋x１＝－∫ｄ１＋１x１＋x１１＋＝txｌｎt－∫ｄt＝－∫ｌｎtｄｌｎtt１２１２１＝－（ｌｎt）＋C＝－ｌｎ１＋＋C．２２x７．求下列不定积分：ｄx（１）∫x２x＋３ｄx；　　　　　　　　　（２）∫；１－２x＋３xx＋１（３）∫１＋ｅｄx；（４）∫ｄx；xx－２１x＋１ｄx（５）∫ｄx；（６）∫３；xx２４（x＋１）（x－１）３x２x（７）∫３ｄx；（８）∫３２ｄx．x（x＋x）１＋１＋x解此题主要用第二换元法求解．２１２（１）令２x＋３＝t，x＝（t－３），ｄx＝tｄt２１２１４２∫x２x＋３ｄx＝∫（t－３）t·tｄt＝∫（t－３t）ｄt２２１５１３＝t－t＋C１０２１５１３＝（２x＋３）２－（２x＋３）２＋C．１０２另解，用凑微分方法．课后答案网：www.hackshp.cn１３∫x２x＋３ｄx＝∫（２x＋３）－２x＋３ｄx２２１３３１＝∫（２x＋３）２ｄx－∫（２x＋３）２ｄx２２１３３１＝∫（２x＋３）２ｄ（２x＋３）－∫（２x＋３）２ｄ（２x＋３）４４１２５３２３＝·（２x＋３）２－·（２x＋３）２＋C４５４３１５１３＝（２x＋３）２－（２x＋３）２＋C．１０２123若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１－t（２）令１－２x＝t，x＝，ｄx＝－tｄt２ｄx－tｄt－t－３＋３３∫＝∫＝∫ｄt＝∫－１＋ｄt１－２x＋３t＋３t＋３t＋３＝－t＋３ｌｎ（t＋３）＋C＝－１－２x＋３ｌｎ（１－２x＋３）＋C．x２２t（３）令１＋ｅ＝t，x＝ｌｎ（t－１），ｄx＝２ｄtt－１２x２tt－１＋１∫１＋ｅｄx＝∫t·２ｄt＝２∫２ｄtt－１t－１１１＝２t＋∫－ｄtt－１t＋１t－１＝２t＋ｌｎ＋Ct＋１xx１＋ｅ－１＝２１＋ｅ＋ｌｎ＋Cx１＋ｅ＋１xx＝２１＋ｅ＋２ｌｎ（１＋ｅ－１）－x＋C．２（４）令x－２＝t，x＝t＋２，ｄx＝２tｄt２２x＋１t＋３t＋３∫ｄx＝∫２·２tｄt＝２∫２ｄtxx－２（t＋２）tt＋２１１t＝２t＋２∫２ｄt＝２t＋２·ａｒｃｔａｎ＋Ct＋２２２x－２＝２x－２＋２ａｒｃｔａｎ＋C．２x＋１１２t（５）令＝t，x＝２，ｄx＝－２２ｄtxt－１（t－１）１x＋１２－２t课后答案网：www.hackshp.cn∫ｄx＝∫t·（t－１）·２２ｄtxx（t－１）２２tt－１＋１＝－２∫２ｄt＝－２∫２ｄtt－１t－１１t－１＝－２t－２∫２ｄt＝－２t－ｌｎ＋Ct－１t＋１x＋１－１x＋１x＝－２－ｌｎ＋Cxx＋１＋１x124若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx＋１x＋１－x＝－２－ｌｎ＋Cxx＋１＋xx＋１＝－２－２ｌｎ（x＋１－x）＋C．xｄxｄx（６）∫３２４＝∫３２（x＋１）（x－１）２x＋１（x－１）x－１３２x＋１３x＋１２２令＝t，＝t，x＝３＋１x－１x－１t－１２－６tｄx＝３２ｄt（t－１）２ｄx１－６t３∫３２４＝∫２·３２ｄt＝－２∫ｄt（x＋１）（x－１）２２（t－１）·t３t－１３３３x＋１＝－t＋C＝－＋C．２２x－１６６５（７）令x＝t，x＝t，ｄx＝６tｄt３２xt５ｄt∫３ｄx＝∫６３２·６tｄt＝６∫x（x＋x）t（t＋t）t（t＋１）１１＝６∫－ｄt＝６ｌｎt－６ｌｎt＋１＋Ctt＋１６６＝６ｌｎx－６ｌｎ（x＋１）＋C６＝ｌｎx－６ｌｎ（x＋１）＋C．２２３２２xｄxｄ（x＋１）x＋１＝t３tｄt（８）∫３２＝∫３２∫１＋t１＋１＋x１＋１＋x２t－１＋１１课后答案网：www.hackshp.cn＝３∫ｄt＝３∫t－１＋ｄtt＋１t＋１１２＝３t－t＋ｌｎ（１＋t）＋C２２１３３２２２＝（１＋x）３－３（１＋x）３＋３ｌｎ（１＋１＋x）＋C．２８．用三角代换求下列不定积分：ｄxｄx（１）∫；　　　　　　　　　（２）∫；２２２３x１－x（１－x）125若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２２xx－a（３）∫ｄx；（４）∫ｄx；２x２－xｄxｄx（５）∫；（６）∫．２２２３xx＋４x（１－x）π２解　（１）令x＝ｓｉｎtt＜，１－x＝ｃｏｓt，ｄx＝ｃｏｓtｄt２ｃｏｓt原式＝∫２ｄt＝－ｃｏｔt＋Cｓｉｎt·ｃｏｓt２１－x＝－＋C．xπ（２）令x＝ｓｉｎtt＜２ｃｏｓtx原式＝∫３ｄt＝ｔａｎt＋C＝＋C．ｃｏｓt２１－x图５－１π（３）令x＝２ｓｉｎtt＜２２２ｓｉｎt２原式＝∫·２ｃｏｓtｄt＝２∫ｓｉｎtｄt２ｃｏｓt１－ｃｏｓ２t１＝２∫ｄt＝t－ｓｉｎ２t＋C２２２xx２－x＝t－ｓｉｎtｃｏｓt＋C＝ａｒｃｓｉｎ－·＋C２２２x１２＝ａｒｃｓｉｎ－x２－x＋C．２２π（４）令x＝aｓｅｃt０＜t＜，ｄx＝aｓｅｃt·ｔａｎtｄt２２２２２x－a＝a（ｓｅｃt－１）＝aｔａｎt课后答案网：www.hackshp.cnaｔａｎt原式＝∫·aｓｅｃt·ｔａｎtｄtaｓｅｃt２＝a∫ｔａｎtｄt２１－ｃｏｓt＝a∫２ｄtｃｏｓt图５－２＝a（ｔａｎt－t）＋C２２＝ax－a－ａｒｃｃｏｓx＋C．aa126若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ２（５）令x＝２ｔａｎtt＜，ｄx＝２ｓｅｃtｄt２２x＋４＝２ｓｅｃt２２ｓｅｃt１ｄt原式＝∫ｄt＝∫２ｔａｎt·２ｓｅｃt２ｓｉｎt１ｓｉｎt１－ｄｃｏｓt＝∫２ｄt＝∫２２ｓｉｎt２１－ｃｏｓt１ｃｏｓt－１＝ｌｎ＋C４ｃｏｓt＋１２－１图５－３２１x＋４＝ｌｎ＋C４２２x＋４＋１２１２－x＋４＝ｌｎ＋C４２２＋x＋４１x＝ｌｎ＋C．２２x＋４＋２π（６）令x＝ｓｉｎtt＜，ｄx＝ｃｏｓtｄt２２２ｃｏｓtｓｉｎt＋ｃｏｓt原式＝∫２３ｄt＝∫２２ｄtｓｉｎt·ｃｏｓtｓｉｎtｃｏｓt＝ｔａｎt－ｃｏｔt＋C２x１－x＝－＋C　（根据图５－１可得）．２x１－x９．利用分部积分法求下列不定积分：－x（１）∫ｌｎxｄx；　　　　　　　　　　　（２）∫xｅｄx；课后答案网：www.hackshp.cn（３）∫ａｒｃｓｉｎxｄx；（４）∫ａｒｃｔａｎxｄx；（５）∫xｌｎxｄx；（６）∫xａｒｃｔａｎxｄx；x（７）∫ｅｄx；（８）∫ａｒｃｓｉｎ１－xｄx；２－x（９）∫xｃｏｓ２xｄx；（１０）∫xｅｄx；２（１１）∫ｌｎ（３＋x）ｄx；（１２）∫xｓｉｎxｃｏｓxｄx；127若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｌｎxｌｎ（ｌｎx）（１３）∫２ｄx；（１４）∫ｄx；（１－x）xａｒｃｔａｎx２（１５）∫２ｄx；（１６）∫（ａｒｃｓｉｎx）ｄx；xｌｎ（ｓｉｎx）（１７）∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx；（１８）∫２ｄx；ｃｏｓx３２ｌｎxx（１９）∫２ｄx；（２０）∫２ａｒｃｔａｎxｄx；x１＋xxａｒｃｃｏｓx２（２１）∫ｄx；（２２）∫x１－xａｒｃｓｉｎxｄx；２１－x（２３）∫ｓｉｎ２x·ｌｎｔａｎxｄx；（２４）∫ｓｉｎx·ｌｎｓｅｃxｄx；（２５）∫xｓｉｎxｄx；（２６）∫xａｒｃｔａｎxｄx．１解　（１）∫ｌｎxｄx＝ｌｎx·x－∫xｄｌｎx＝xｌｎx＝∫x·ｄxx＝xｌｎx－x＋C＝x（ｌｎx－１）＋C－x－x－x－x（２）∫xｅｄx＝－∫xｄｅ＝－xｅ－∫ｅｄx－x－x－x＝－（xｅ＋ｅ）＋C＝－（x＋１）ｅ＋Cx（３）∫ａｒｃｓｉｎxｄx＝xａｒｃｓｉｎx－∫xｄａｒｃｓｉｎx＝xａｒｃｓｉｎx－∫２ｄx１－x２＝xａｒｃｓｉｎx＋１－x＋C．（４）∫ａｒｃｔａｎxｄx＝xａｒｃｔａｎx－∫xｄａｒｃｔａｎxx＝xａｒｃｔａｎx－∫２ｄx１＋x１２＝xａｒｃｔａｎx－ｌｎ（１＋x）＋C．课后答案网：www.hackshp.cn２２３２３２３（５）∫xｌｎxｄx＝∫ｌｎxｄx２＝x２ｌｎx－∫x２ｄｌｎx３３３２３２３１＝x２ｌｎx－∫x２·ｄx３３x２３２２３＝x２ｌｎx－·∫x２＋C３３３２３４３＝x２ｌｎx－x２＋C．３９128若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第六章定积分习题六（A）１．根据定积分的几何意义说明下列各积分式的正确性：π２（１）∫ｃｏｓxｄx＝０；　　　　　（２）∫xｄx＝２；００１１１２π２２（３）∫１－xｄx＝；（４）∫（x＋１）ｄx＝２∫（x＋１）ｄx．０４－１０解只要把被积函数曲线和积分上、下限所围成的平面图形画出来，根据图形，在x轴上方的图形面积取正值，在x轴下方的图形面积取负值，定积分就是这些面积的代数和．由图６－１可知，上述各积分均正确．课后答案网：www.hackshp.cn图６－１153若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２　　（３）y＝x，x＝y，求Vy；－x２（４）y＝ｅ，x＝０，x＝１，求Vy；（５）y＝ｌｎx，y＝０，x＝ｅ，求Vx，Vy；（６）y＝ｃｏｓx，y＝０，x＝０，x＝π，求Vy．２a２２４２aaa解　（１）Vx＝π∫ｄx＝π－axxa４４aaπ３＝π－＋＝a．２aa２ππ２２２π（２）Vx＝π∫（ｓｉｎx）ｄx＝∫（１－ｃｏｓ２x）ｄx０２０π２π１２π＝·x－ｓｉｎ２x＝．２２０４ππ２２Vy＝２π∫xｓｉｎxｄx＝２π∫xｄ（－ｃｏｓx）００ππ２２＝－２πxｃｏｓx－∫ｃｏｓxｄx００π２＝２πｓｉｎx＝２π．０２２（３）y＝x，x＝y的交点为（０，０），（１，１）１１２Vy＝２π∫x·xdx－∫x·xｄx００图６－２２２１３＝２π－＝π．５４１０１１－x２－x２－１（４）Vy＝２π∫xｅｄx＝－πｅ＝π（１－ｅ）．００ｅｅｅ２２（５）Vx＝π∫（ｌｎx）ｄx＝πxｌｎx－２∫ｌｎxｄx１１１课后答案网：www.hackshp.cnｅ＝πｅ－２（xｌｎx－x）＝π（ｅ－２）．１ｅｅ１２Vy＝２π∫xｌｎxｄx＝２π·∫ｌｎxｄx１２１ｅｅ２＝πxｌｎx－∫xｄx１１ｅ２１２１２１＝πｅ－x＝πｅ＋２１２２π２＝（ｅ＋１）．２180若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnππ２（６）Vy＝２π∫xｃｏｓxｄx－２π∫πｃｏｓxｄx０２ππππ２２２＝２πxｓｉｎx∫－∫ｓｉｎxｄx－xｓｉｎxπ＋∫ｓｉｎxｄx０００２ππ２＝２π－１＋＋１＝２π．２２２３２．过曲线y＝x（x＞０）上某点A作切线，使之与曲线及x轴所围图形的面１积为．１２（１）求切点A的坐标及过点A的切线方程；（２）求上述平面图形绕x轴旋转的旋转体体积．解　（１）根据题意画出图６－２３．２设切点A的坐标为（x０，x０），则过切点的切线方程为２２y＝２x０（x－x０）＋x０＝２x０x－x０x０切点与x轴的交点为y＝０，故x＝．２根据题设有x０２１x０２１∫xｄx－··x０＝０２２１２图６－２３１３１３１３１即x０－x０＝x０＝痴x０＝１３４１２１２故可知切点A的坐标为（１，１）．切线方程为y＝２x－１．１４π２１πππ（２）Vx＝π∫xｄx－×１×＝－＝．０３２５６３０该题Vx的第二部分体积没有用积分，直接用圆锥体的体积公式：课后答案网：www.hackshp.cn１２V＝πRh．３２３３．设直线y＝ax（０＜a＜１）与抛物线y＝x所围图形面积为S１，它们与直线x＝１所围图形面积为S２．（１）试确定a的值，使S１＋S２达到最小，并求出最小值．（２）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积．解　（１）先画出图６－２４．２２求得y＝ax与y＝x的交点为（a，a）a２１３１３S１＝∫（ax－x）ｄx＝a－a０２３181若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图６－２４１３＝a６１１２１３１２S２＝∫（x－ax）ｄx＝x－axa３２a３aa１＝－＋６２３２１１S′＝（S１＋S２）′＝a－＝０，　得驻点a＝．２２１又S″＝２＞０，２１故a＝为极小值点，也是最小值点，最小值为２２－２Sｍｉｎ＝６a１２２４４２２（２）Vx（a）＝π∫（ax－x）ｄx＋π∫（x－ax）ｄx０a课后答案网：www.hackshp.cn１５１５１１２１５１５＝πa－a＋π－a－a＋a３５５３５３４５１２１＝πa－a＋１５３５１１＋２Vx＝π２３０３４．求２７题中的平面图形绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积．解由２７题的解知，切点坐标为（ｅ，１），根据图６－１８，有ｅπ２２Vx＝×１×ｅ－π∫ｌｎxｄx３１182若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｅｅ２＝π－π［xｌｎx－２xｌｎx＋２x］３１ｅ２＝π－π（ｅ－２）＝π２－ｅ３３１由于过原点的切线方程为y＝x，所以ｅｅｅ１Vy＝２π∫xxｄx－２π∫xｌｎxｄx０ｅ１ｅｅ１３１２１２＝２π·ｅx－２πxｌｎx－x３０２４１２２１２１２１＝πｅ－２πｅ－ｅ＋３２４４π２＝（ｅ－３）６３５．已知生产某产品x单位（百台）的边际成本函数和边际收益函数分别为１MC＝C′（x）＝３＋x（万元／百台）３MR＝R′（x）＝７－x（万元／百台）（１）若固定成本C０＝１（万元），求总成本函数、总收益函数和总利润函数．（２）当产量从１００台增加到５００台时，求总成本与总收益．（３）产量为多少台时总利润最大？最大总利润为多少？x１１２解　（１）C（x）＝∫３＋tｄx＋１＝３x＋x＋１０３６x１２R（x）＝∫（７－t）ｄt＝７x－x０２２２L（x）＝R（x）－C（x）＝４x－x－１３５（２）∫C′（课后答案网：www.hackshp.cnx）ｄx＝C（５）－C（１）＝１６（万元）１５∫R′（x）ｄx＝R（５）－R（１）＝１６（万元）１２２４（３）由于L（x）＝４x－x－１，L′（x）＝４－x＝０．得验点x＝３（百台），３３此点也是最大值点，故最大利润为L（３）＝５（万元）（Ｂ）１．填空题：183若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２（１）∫（２x＋｜x｜＋１）ｄx＝；－１x２１１xｅ，　－≤x＜２２２（２）f（x）＝则∫f（x－１）ｄx＝；１１２－１，　　　x≥，２axa１＋xt（３）ｌｉｍ＝∫teｄt，则a＝；x→∞x－∞xxx（４）F（x）＝∫f（t）ｄt，f（x）连续，则ｌｉｍF（x）＝；x－aax→a＋∞x（５）∫２２ｄx＝；０（１＋x）－x（６）位于曲线y＝xｅ（x＞０）下方，x轴上方无界区域的面积S＝；２（７）曲线y＝１－x（θ≤x≤１）与x轴，y轴所围成的平面图形被曲线y＝２ax分成面积相等的两部分，则a＝；２（８）设由抛物线y＝４x－x，y轴和直线y＝b（b＞０）所围成图形的面积２是仅由抛物线y＝４x－x与直线y＝b所围图形面积的一半，则b＝．２２１２答：（１）；　　　　（２）－；　　　（３）２；　　　　（４）af（a）；３２１８（５）；（６）１；（７）３；（８）．２３１０１２２２解　（１）∫（２x＋｜x｜＋１）ｄx＝∫（x＋１）ｄx＋∫（３x＋１）ｄx－１－１００１１３１３＝（x＋１）＋（３x＋１）３－１９０１１３２２课后答案网：www.hackshp.cn＝＋x（４－１）＝．３９３２１x－１＝t（２）∫１f（x－１）ｄx∫１f（t）ｄt－２２１１１２x２＝∫１xｅｄx＋∫１（－１）ｄx＝０＋（－x）１－２２２１＝－２axax１＋x１a（３）ｌｉｍ＝ｌｉｍ１＋＝ｅx→∞xx→∞x184若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnaatttaa∫tｅｄt＝（tｅ－ｅ）＝aｅ－ｅ－∞－∞aaa由ｅ＝aｅ－ｅ得a＝２．xx２x∫f（t）ｄt∫f（t）ｄta２a（４）ｌｉｍF（x）＝ｌｉｍ＝aｌｉｍx→ax→ax－ax→ax－a２２＝aｌｉｍf（x）＝af（a）x→a＋∞＋∞＋∞x１１２１１（５）∫２２ｄx＝∫２２ｄ（x＋１）＝－·２０（１＋x）２０（１＋x）２１＋x０１＝２＋∞＋∞－x－x－x（６）S＝∫xｅｄx＝（－xｅ－ｅ）＝１００（７）画出草图６－２５．２２求两曲线的交点：ax０＝１－x０．１得x０＝１＋a由题设知６－２５１１１＋a２２１２∫（１－x－ax）ｄx＝∫（１－x）ｄx０２０１１３１＋a１即［x－（１＋a）x］＝３０３１１１２１１－·＝＝，１＋a３１＋a３１＋a３从而可知a＝３．（８）根据题意画出图６－２６．课后答案网：www.hackshp.cn图６－２６185若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由题设条件知，图中两块阴影部分面积相等，故以b为高，底边长为２的矩形面积与图中左边的曲边三角形面积相等，即２２２２１３１６２b＝∫（４x－x）ｄx＝（２x－x）＝，０３０３所以８b＝．３２．单项选择题：（１）设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）是原函数，则下列结论正确的是．（Ａ）当f（x）为偶函数时，F（x）必为奇函数；（Ｂ）当f（x）为奇函数时，F（x）必为偶函数；（Ｃ）当f（x）为周期函数时，F（x）必为周期函数；（Ｄ）当f（x）为单调增函数时，F（x）必为单调减函数．（２）设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，且在x≠０时可导，F（x）＝xx∫f（t）ｄt，则下列结论正确的是．０（Ａ）F″（x）不存在；　　　　　　　　　（Ｂ）F″（x）是否存在不能确定；（Ｃ）F″（x）存在，且F″（０）＝２f（０）；（Ｄ）F″（x）存在，且F″（０）＝０．１－ｃｏｓx５６２xx（３）设函数f（x）＝∫ｓｉｍtｄt，g（x）＝＋，则当x→０时，f（x）是０５６g（x）的．（Ａ）低阶无穷小；（Ｂ）高阶无穷小；（Ｃ）等价无穷小；（Ｄ）同阶无穷小，但不等价．x＋２πｓｉｎt（４）设F（x）＝∫ｅｓｉｎtｄt，则F（x）．x（Ａ）为正常数；（Ｂ）为负常数；（Ｃ）恒为零；（Ｄ）不是常数．课后答案网：www.hackshp.cnππ２２ｓｉｎx４３４（５）设M＝∫π２ｃｏｓxｄx，　N＝∫π（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｄx，　－２１＋x－２π２２３４P＝∫（xｓｉｎx－ｃｏｓx）ｄx，则有．π－２（Ａ）N＜P＜M；（Ｂ）M＜P＜N；（Ｃ）N＜M＜P；（Ｄ）P＜M＜N．（６）设函数f（x）有连续的导数，f（０）＝０，f′（０）≠０，当x→０时，x２２F（x）＝∫（ｓｉｎx－ｓｉｎt）f（t）ｄt０186若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnk与x为同阶无穷小，则k为．（Ａ）１；　　　　　　（Ｂ）２；　　　　　　（Ｃ）３；　　　　　　（Ｄ）４．答：（１）Ｂ；（２）Ｃ；（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；（６）Ｄ．x解（１）正确选项为（Ｂ）．记F（x）＝∫f（t）ｄt，a为任意实数，F′（x）＝f（x）．a且f（－x）＝－f（x），则x－xF（x）－F（－x）＝∫f（t）ｄt－∫f（t）ｄtaa又－xxxt＝－u∫f（t）ｄt∫f（－u）ｄ（－u）＝∫－f（u）（－ｄu）a－a－axx＝∫f（u）ｄu＝∫f（t）ｄt－a－a所以xxF（x）－F（－x）＝∫f（t）ｄt－∫f（t）ｄta－ax－a＝∫f（t）ｄt＋∫f（t）ｄtax－a＝∫f（t）ｄt＝０．a即F（x）＝F（－x）．其他几个选项可以用举反例的方法说明其不正确．x２２１３１３如f（x）＝x为偶函数，F（x）＝∫tｄt＝x－a．a３３当a≠０时，F（x）不是奇函数．又如，f（x）＝ｃｏｓx＋１为偶函数，而F（x）＝ｓｉｎx＋x＋C不是奇函数．y＝x为１２单调增函数，其原函数x＋C不是单调函数了．２（２）正确选项为课后答案网：www.hackshp.cn（Ｃ），根据假设条件对F（x）求导：xF′（x）＝∫f（t）ｄt＋xf（x），由于f（x）可导，故有０F″（x）＝f（x）＋f（x）＋xf′（x）F″（０）＝２f（０）（３）正确选项为（Ｂ）．１－ｃｏｓx１－ｃｏｓx２２∫ｓｉｎtｄt∫ｓｉｎtｄtf（x）０ｌｉｍ＝ｌｉｍ５６＝ｌｉｍx→０g（x）x→０xxx→０１５＋x５６５187若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn００ｓｉｎ（１－ｃｏｓx）·ｓｉｎxｌｉｍ４x→０x１２２２x·（x）ｓｉｎx·（１－ｃｏｓx）２＝ｌｉｍ４＝ｌｉｍ４＝０．x→０xx→０x所以f（x）是此g（x）高阶的无穷小，故选（Ｂ）．（４）应选（Ａ）ｓｉｎ（x＋２π）ｓｉｎx因为F′（x）＝ｅｓｉｎ（x＋２π）－ｅｓｉｎx＝０，所以F（x）为常数．πｓｉｎtF（x）＝F（－π）＝∫ｅｓｉｎtｄtππ０ｓｉｎtｓｉｎt＝∫ｅｓｉｎtｄt＋∫ｅｓｉｎtｄt０－π又００ｓｉｎtt＝－uｓｉｎ（－u）∫ｅｓｉｎtｄt∫ｅｓｉｎ（－u）ｄ（－u）－πππ－ｓｉｎu＝－∫ｅｓｉｎuｄu０ππｓｉｎt－ｓｉｎt从而F（x）＝∫ｅｓｉｎtｄt－∫ｅｓｉｎtｄt００πｓｉｎt－ｓｉｎt＝∫ｓｉｎt（ｅ－ｅ）ｄt０ｓｉｎt－ｓｉｎt由于被积函数当t＞０时，ｓｉｎt（ｅ－ｅ）＞０，所以F（x）为正常数．（５）正确选项为（Ｄ）．三个积分区间是一样的，且为对称区间，因此尽可能利用函数的奇偶性，化简积分，然后再比较大小．π２ｓｉｎx４M＝∫π２ｃｏｓxｄx＝０　　（奇函数）．－２１＋xππ２２３４４N＝∫π（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）ｄx＝∫πｃｏｓxｄx－－２２课后答案网：www.hackshp.cnπ２４＝２∫ｃｏｓxｄx＞００ππ２２２３４４P＝∫π（xｓｉｎx－ｃｏｓx）ｄx＝－２∫ｃｏｓxｄx＜０－０２所以P＜M＜N．（６）选项为（Ｄ）．xx２２２F（x）＝∫（ｓｉｎx－ｓｉｎt）f（t）ｄt＝ｓｉｎx∫f（t）ｄt－００188若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxx２２xｓｉｎx∫f（t）ｄt－∫ｓｉｎtf（t）ｄt２００∫ｓｉｎtf（t）ｄtｌｉｍk０x→０xx２２２ｓｉｎxｃｏｓx∫f（t）ｄt＋ｓｉｎxf（x）－ｓｉｎxf（x）０＝ｌｉｍk－１x→０kxx∫f（t）ｄt２ｓｉｎx０＝ｌｉｍｃｏｓx··k－２kx→０xxx∫f（t）ｄt２００＝ｌｉｍk－２kx→０x０２f（x）０＝ｌｉｍk－３　（应为）k（k－２）x→０x０２f′（x）＝ｌｉｍk－４k（k－２）（k－３）x→０x因为ｌｉｍf′（x）＝f′（０）≠０，所以应有k＝４．x→０x２∫f（t）ｄt０３．设f（x）具有一阶连续导数，且f（０）＝０，f′（０）≠０．求ｌｉｍx．x→０２x∫f（t）ｄt０x２∫f（t）ｄt２０２xf（x）解ｌｉｍx＝ｌｉｍxx→０２x→０２x∫f（t）ｄt２x∫f（t）ｄt＋xf（x）００２２f（x）＝ｌｉｍxx→０２∫f（t）ｄt＋xf（x）０２４xf′（x）课后答案网：www.hackshp.cn＝ｌｉｍx→０２f（t）＋f（x）＋xf′（x）２４f′（x）＝ｌｉｍx→０３f（t）－３f（０）＋f′（x）x其中３f（x）－３f（０）ｌｉｍ＋f′（x）＝４f′（０）x→０x所以原式＝１．４．计算下列定积分：189若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２πｅ２ａｒｃｓｉｎx２（１）∫ｄx　　　　　　（２）∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx２３０（１－x）０π３２xｃｏｓx＋ｓｉｎx４（３）∫π２ｄx（４）∫ｍａｘ｛１，x｝ｄx４（xｓｉｎx）－２解（１）令x＝ｓｉｎt，ｄx＝ｃｏｓtｄt，x＝ａｒｃｓｉｎt２π２ａｒｃｓｉｎx４t∫２３ｄx＝∫３ｃｏｓtｄt０（１－x）０ｃｏｓtππ４t４＝∫２ｄt＝∫tｄｔａｎt０ｃｏｓt０ππ４４＝tｔａｎt－∫ｔａｎtｄt００ππ４＝＋ｌｎ（ｃｏｓx）４０π１＝－ｌｎ２．４２πππｅ２ｅ２ｅ２１（２）∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx＝xｓｉｎ（ｌｎx）－∫x·ｃｏｓ（ｌｎx）·ｄx１１１xπππｅ２ｅ２＝ｅ２－xｃｏｓ（ｌｎx）－∫xｄｃｏｓ（ｌｎx）１１πｅπ２＝ｅ２＋１－∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx１所以πｅ２π１∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx＝（ｅ２＋１）．１２ππ２xｃｏｓx＋ｓｉｎx２１（３）∫π２ｄx＝∫π２ｄ（xｓｉｎx）４（xｓｉｎx）４（xｓｉｎx）课后答案网：www.hackshp.cnπ１２２４２４２－２＝－＝－＋＋xｓｉｎxππππ４３－１４４（４）∫ｍａｘ｛１，x｝ｄx＝∫ｍａｘ｛１，x｝ｄx－２－２１３４４＋∫ｍａｘ｛１，x｝ｄx＋∫ｍａｘ｛１，x｝ｄx－１１－１１３４４＝∫xｄx＋∫１·ｄx＋∫xｄx－２－１１－１３１５１５＝x＋２＋x５－２５１190若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１３２２４３１２８３＝－＋＋２＋－＝５５５５５５．计算下列反常积分：＋∞＋∞２ｄxｌｎx（１）∫３；　　　　　　（２）∫ｄx；２－∞（１＋x）２１x２１１ａｒｃｓｉｎx２（３）∫ｄx；（４）∫ｌｎ（１－x）ｄx．１x（１－x）０２１１１解（１）令x＝ａｒｃｔａｎt．１＋x＝２，ｄx＝２，ｄx＝２ｄtｃｏｓtｃｏｓtｃｏｓtππ＋∞２２ｄx３ｄt∫２３＝∫πｃｏｓt·２＝２∫ｃｏｓtｄt－∞（１＋x）２－２ｃｏｓt０π２＝２ｓｉｎt＝２０＋∞２＋∞ｌｎx２１（２）∫２ｄx＝－∫ｌｎxｄ１x１x２＋∞＋∞ｌｎx１２＝－＋∫ｄｌｎxx１１x＋∞１＝０＋２∫２ｌｎxｄx１x＋∞１＝－２∫ｌｎxｄ１x＋∞＋∞ｌｎx１＝－２２∫ｄｌｎxx１１x＋∞＋∞１１＝０＋２∫２ｄx＝－２·１xx１＝２．１１ａｒｃｓｉｎxａｒｃｓｉｎx（３）∫ｄx＝∫ｄx０课后答案网：www.hackshp.cnx（１－x）０２x（１－（x））１ａｒｃｓｉｎx＝２∫ｄx０２１－（x）１＝２∫ａｒｃｓｉｎxｄａｒｃｓｉｎx０１２２π＝（ａｒｃｓｉｎx）＝０４１１２（４）∫ｌｎ（１－x）ｄx＝∫［ｌｎ（１＋x）＋ｌｎ（１－x）］ｄx００191若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn右边第一个积分是常义积分，第二个积分是瑕积分．１１１x∫ｌｎ（１＋x）ｄx＝xｌｎ（１＋x）－∫ｄx０００１＋x１x＋１－１＝ｌｎ２－∫ｄx０１＋x１＝ｌｎ２－１＋ｌｎ（１＋x）＝２ｌｎ２－１０１１１∫ｌｎ（１－x）ｄx＝xｌｎ（１－x）－∫xｄｌｎ（１－x）０００１１x－１＋１＝xｌｎ（１－x）＋∫ｄx００１－x１１１＝xｌｎ（１－x）－x－ｌｎ（１－x）０００１＝（x－１）ｌｎ（１－x）－１０由于ｌｎ（１－x）ｌｉｍ（x－１）ｌｎ（１－x）＝ｌｉｍx→１x→１１x－１∞－１∞１－xｌｉｍ＝ｌｉｍ（x－１）＝０x→１－１x→１２（x－１）所以原式＝２ｌｎ２－２．请读者注意，在计其反常积分时，若分部积分有两项或更多项发散，不能判断其一定发散，需通过变形、合并以后再判断其是否发散，如上面第二个积分中１１１∫ｌｎ（１－x）ｄx＝xｌｎ（１－x）－ｌｎ（１－x）－１０００两项都发散，但合并以后是收敛的课后答案网：www.hackshp.cn．＋∞－x２π６．已知∫ｅｄx＝，求０２＋∞（x－μ）２１－（１）∫ｅ２σ２ｄx　（σ＞０，μ为常数）；－∞２πσ＋∞（x－μ）２x－（１）∫ｅ２σ２ｄx．－∞２πσ＋∞（x－μ）２＋∞（x－μ）２１－１－x－μ解（１）∫ｅ２σ２ｄx＝∫ｅ２σ２ｄ－∞２πσπ－∞２σ192若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx－μ＝t＋∞２σ１－t２∫ｅｄtπ－∞＋∞１－t２２π＝·２∫ｅｄt＝·＝１．π０π２＋∞（x－μ）２＋∞（x－μ）２x－x－μ＋μ－（２）∫ｅ２σ２ｄx＝∫ｅ２σ２ｄx－∞２π－∞２πσ＋∞（x－μ）２＋∞（x－μ）２x－n－１－＝∫ｅ２σ２ｄx＋μ∫ｅ２σ２ｄx－∞２πσ－∞２πσ＋∞x－μ２２σx－μ－x－μ＝∫ｅ２σｄ＋μ－∞π２σ２σx－μ＝t＋∞２σ２－t２∫σtｅｄt＋μ－∞π＋∞２１－t２２＝σ∫ｅｄt＋μπ－∞２＋∞σ－t２＝ｅ＋μ＝μ．２π－∞以上两个积分在概率论中非常重要，应很好地掌握，７．设f（x），g（x）在区间［－a，a］（a＞０）上连续，g（x）为偶函数，f（x）满足f（x）＋f（－x）＝A（A为常数）．试证aa∫f（x）g（x）ｄx＝A∫g（x）ｄx－a０并用该等式计算积分：π１２２xx（１）∫π｜ｓｉｍx｜ａｒｃｔａｎｅｄx；　　　　　　（２）∫１．－－１x２１＋ｅｄx课后答案网：www.hackshp.cna０a证∫f（x）g（x）ｄx＝∫f（x）g（x）ｄx＋∫f（x）g（x）ｄx－a－a０因００x＝－t∫f（x）g（x）ｄx∫f（－t）g（－t）ｄ（－t）－aaa＝∫f（－t）g（t）ｄt０故aaa∫f（x）g（x）ｄx＝∫f（－x）g（x）ｄx＋∫f（x）g（x）ｄx－a００193若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cna＝∫［f（x）＋f（－x）］g（x）ｄx０a＝A∫g（x）ｄx．０x－x１（１）取g（x）＝｜ｓｉｎx｜，而（ａｒｃｔａｎｅ＋ａｒｃｔａｎｅ）＝０．x０－０π故取f（x）＝ａｒｃｔａｍｅ，且f（－x）＋f（x）＝ａｒｃｔａｍｅ＋ａｒｃｔａｍｅ＝．２ππ２２xππ∫π｜ｓｉｎx｜ａｒｃｔａｎｅｄx＝∫ｓｉｎxｄx＝－２０２２１１１１ｅx（２）由于１＋１＝１＋１＝１．－１＋ｅx１＋ｅx１＋ｅx１＋ｅx１２故可取f（x）＝１，g（x）＝x，１＋ｅx由公式有１２１x２１∫１ｄx＝∫xxｄx＝－１x０３１＋ｅbb１８．证明公式∫f（x）ｄx＝∫［f（x）＋f（a＋b－x）］ｄxa２a并用该公式计算积分：π３４２ｓｉｎxｌｎ（q－x）（１）∫ｄx　　　　　（２）∫ｄx０ｓｉｎx＋ｃｏｓx２ｌｎ（q－x）＋ｌｎ（３＋x）bbb１１１证∫［f（x）＋f（a＋b－x）］ｄx＝∫f（x）ｄx＋∫f（a＋b－x）ｄx２a２a２a而ba１a＋b－x＝t１∫f（a＋b－x）ｄx∫f（t）ｄ（－t）２a２bb１＝∫f（t）ｄt课后答案网：www.hackshp.cn２a所以bb１∫［f（x）＋f（a＋b－x）］ｄx＝∫f（x）ｄx．２aaπ３２ｓｉｎx（１）∫ｄx０ｓｉｎx＋ｃｏｓx３ππ３ｓｉｎ－x１２ｓｉｎx２＝∫＋ｄx２０ｓｉｎx＋ｃｏｓxππｓｉｎ－x＋ｃｏｓ－x２２194若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ３３１２ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝∫ｄx２０ｓｉｎx＋ｃｏｓxπ２１２２＝∫（ｓｉｎx－ｓｉｎxｃｏｓx＋ｃｏｓx）ｄx２０π１２１＝∫１－ｓｉｎ２xｄx２０２π１１２＝x＋ｃｏｓ２x２４０π１π－１＝＋（－１－１）＝．４８４４ｌｎ（９－x）（２）∫ｄx２ｌｎ（９－x）＋ｌｎ（３＋x）４１ｌｎ（９－x）ｌｎ［９－（６－x）］＝∫＋ｄx２２ｌｎ（９－x）＋ｌｎ（３＋x）ｌｎ［９－（６－x）］＋ｌｎ［３＋（６－x）］４１ｌｎ（９－x）ｌｎ（３＋x）＝∫［＋］ｄx２２ｌｎ（９－x）＋ｌｎ（３＋x）ｌｎ（３＋x）＋ｌｎ（９－x）４１＝∫ｄx＝１．２２xπｓｉｎt９．设f（x）＝∫ｄt，计算∫f（x）ｄx．０π－t０ｓｉｎx因f′（x）＝，故由分部积分，有π－xπππ解∫f（x）ｄx＝xf（x）－∫xf′（x）ｄx０００πｓｉｎx＝πf（π）－∫x·ｄx０π－xππｓｉｎxxｓｉｎx＝π∫ｄx－∫ｄx０π－x０π－xππ课后答案网：www.hackshp.cn（π－x）ｓｉｎx＝∫ｄx＝－ｃｏｓx０π－x０＝２１０．设f（x）在［０，２］上连续，且f（x）＋f（２－x）≠０，求２f（x）２I＝∫（２x－x）ｄx０f（x）＋f（２－x）２f（x）解I＝∫x（２－x）ｄx０f（x）＋f（２－x）０x＝２－tf（２－t）∫（２－t）tｄ（－t）２f（２－t）＋f（t）195若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２f（２－x）２＝∫（２x－x）ｄx０f（x）＋f（２－x）２f（x）＋f（２－x）２２I＝∫·（２x－x）ｄx０f（x）＋f（２－x）２２２２１３４＝∫（２x－x）ｄ＝x－x＝．０３０３所以２I＝３x１－t２f（x）１１．设f（x）＝∫ｅｄt，求∫ｄx．１０x１１f（x）解∫ｄx＝２∫f（x）ｄx０x０１１＝２xf（x）－２∫xf′（x）ｄx００１－x１＝２·f（１）－２∫x·ｅ·ｄx０２x１１－x－x＝２·０－∫ｅｄx＝ｅ００－１＝ｅ－１．１１nmnm１２．证明∫（１－x）xｄx＝∫x（１－x）ｄx，并求００１３０２∫（１－x）xｄx．０１０nm１－x＝tnm证∫（１－x）xｄx∫t（１－t）ｄ（－t）０１１nm＝∫t（１－t）ｄx０１课后答案网：www.hackshp.cnnm＝∫x（１－x）ｄx０１１３０２３０２∫（１－x）xｄx＝∫x（１－x）ｄx００１３０３１３２＝∫（x－２·x＋x）ｄx０１２１１＝－＋＝３１３２３３１６３６８１３．设f（x），g（x）在［a，b］上连续，且g（x）＞０，利用闭区间上连续函数的性质证吸，存在一点［a，b］，使196若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnbb∫f（x）g（x）ｄx＝f（ξ）∫g（x）ｄxaab证因为f（x），g（x）在［a，b］上连续，且g（x）＞０，因此有∫g（x）ｄx＞０．又a由最值定理知，f（x）在［a，b］上有最大值M和最小值m，即m≤f（x）≤M，故mg（x）≤f（x）g（x）≤Mg（x）．bbb于是∫mg（x）ｄx≤∫f（x）g（x）ｄx≤∫Mg（x）ｄx，aaab∫f（x）g（x）ｄxam≤b≤M∫g（x）ｄxab∫f（x）g（x）ｄxa这表明b矯［m，M］，由闭区间上连续函数的介值定理知，存在ξ矯［a，∫g（x）ｄxab］，使b∫f（x）g（x）ｄxaf（ξ）＝b，∫g（x）ｄxabb即∫f（x）g（x）ｄx＝f（ξ）∫g（x）ｄx．aa１４．设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且b１∫f（x）ｄx＝f（b）b－aa求证：在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）＝０．证由积分中值定理知，存在c矯（a，b），使b１f（c）＝∫f（x）ｄx．课后答案网：www.hackshp.cnb－aa从而有f（c）＝f（b）．由题设可知f（x）在［c，b］上满足罗尔定理条件，故存在ξ矯（c，b），使f′（ξ）＝０．ππ１５．设f（x）在［０，π］上连续，且∫f（x）ｄx＝∫f（x）ｃｏｓxｄx＝０，证明：在（０，００π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使f（ξ１）＝f（ξ２）＝０．xπ分析令F（x）＝∫f（t）ｄt，则F（０）＝F（π）＝０，再由条件∫f（x）ｃｏｓxｄ００x＝０找到另外一点ξ矯（０，π），使F（ξ）＝０，便可用两次罗尔定理得ξ１，ξ２．197若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx证法一令F（x）＝∫f（t）ｄt，０≤x≤π，则有F（０）＝F（π）＝０，又因为０ππ０＝∫f（x）ｃｏｓxｄx＝∫ｃｏｓxｄF（x）００πππ＝F（x）ｃｏｓx０＋∫F（x）ｓｉｎxｄx＝∫F（x）ｓｉｎxｄx００所以存在ξ矯（０，π），使F（ξ）ｓｉｎξ＝０，因为若不然，则在（０，π）内F（x）ｓｉｎx恒为π正或恒为负，这与积分∫F（x）ｓｉｎxｄx＝０相矛盾，但当ξ矯（０，π）时，ｓｉｎξ≠０，故０F（ξ）＝０．由以上证得F（０）＝F（ξ）＝F（π）＝０（０＜ξ＜π）．再对F（x）在区间［０，ξ］，［ξ，π］上分别用罗尔定理，即至少存在ξ１矯［０，ξ），ξ２矯（ξ，π），使F′（ξ１）＝F′（ξ２）＝０，即f（ξ１）＝f（ξ２）＝０．π证法二由∫f（x）ｄx＝０知，存在ξ１矯（０，π），使f（ξ１）＝０，固若不然，则０πf（x）在（０，π）内恒为正或恒为负，均与∫f（x）ｄx＝０矛盾．０π若在（０，π）内f（x）＝０仅有一个实根x＝ξ１，则由∫f（x）ｄx＝０推知，f（x）０在（０，ξ１）内与（ξ１，π）内异号．不妨设在（０，ξ１）内f（x）＞０，在（ξ１，π）内f（x）＜０，于是再由ππ∫f（x）ｃｏｓxｄx＝０，　∫f（x）ｄx＝０００及ｃｏｓx在［０，π］上的单调性知：π０＝∫f（x）（ｃｏｓx－ｃｏｓξ１）ｄx０ξπ１＝∫f（x）（ｃｏｓx－ｃｏｓξ１）ｄx＋∫f（x）（ｃｏｓx－ｃｏｓξ１）ｄx＞０，０ξ１课后答案网：www.hackshp.cn得出矛盾．从而推知，在（０，π）内除ξ１外，f（x）＝０至少还有另外一个实根ξ２，故知存在ξ１，ξ２矯（０，π），ξ１≠ξ２，使f（ξ１）＝f（ξ２）＝０．２１６．在第一象限内求曲线y＝１－x上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积．解如图６－２７所示．２２设切点坐标为（x０，１－x０）．则过切点的切线方程为y－（１－x０）＝－２x０（x198若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－x０），即２y＝－２x０x＋x０＋１２１＋x０切线与x轴的定点为x＝，与y轴交点为２x０２y＝１＋x０．２１＋x１１２０２S＝（１＋x０）·－∫（１－x）ｄx２２x００２２１（１＋x０）２＝·－４x０３图６－２７４１３x０＋２x０－１S′＝·２＝０４x０１得唯一驻点x０＝，此点也是最小值点，故切点坐标为３１２，３３最小面积２１１２４３２S＝·３１＋－＝－４３３９３２２１７．设曲线y＝ax（a＞０，x＞０）与y＝１－x交于点A，过坐标原点O和A２点的直线与曲线y＝ax围成一平面图形，问a取何值时，该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最大？并求此体积．解如图６－２８所示．先求出两曲线交点A的坐标：２２１aax０＝１－x０，　x０＝，　y０＝，１＋a１＋a阴影部分旋转体的体积为课后答案网：www.hackshp.cn１２１１a１＋a２４Vx＝π··－π∫axｄx３１＋a１＋a０５５１２－１２－＝πa（１＋a）２－a（１＋a）２３５５２２－＝πa（１＋a）２１５５７２－５２－V′π２a（１＋a）２－a（１＋a）２x＝１５２图６－２８199若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn７２a－５＝π（１＋a）２［２（１＋a）－a］＝０１５２得唯一驻点a＝４（因为a＞０）．也是最大值点．最大值为５２２－３２５V＝π×４×５２＝π１５１８７５１８．已知曲线y＝ax（a＞０）与曲线y＝ｌｎx在点（x０，y０）处有公切线，求（１）常数a及切点（x０，y０）．（２）两曲线与x轴所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积．解　（１）按题意，画出草图６－２９．图６－２９设切点坐标为（x０，ax０），由于切点处的两切线斜率相等，且切点为两曲线的公共点，故得方程组a１１＝·２x０２x０１ax０＝ｌｎx０２２１２解之，得x０＝ｅ，a＝，故切点为（ｅ，１）课后答案网：www.hackshp.cnｅｅ２ｅ２２１２（２）Vx＝π∫axｄx－π∫ｌｎxｄx０１４ｅ２ｅ２１２４π２＝π·aｅ－xｌｎx－２∫ｌｎxｄx２４１１ｅ２π２２π＝ｅ－πｅ＋（xｌｎx－x）２２１π＝．２－x１９．设曲线y＝ｅ（x≥０）．200若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－x（１）把曲线y＝ｅ，x轴，y轴和直线x＝ε（ε＞０）所围平面图形绕x轴旋转１得一旋转体，求此旋转体体积V（ε），并求满足V（a）＝ｌｉｍV（ε）的a．２ε→＋∞（２）求此曲线上一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积解图６－３０是该题示意图．图６－３０ε－２x（１）Vx（ε）＝π∫ｅｄx０ε１－２x＝π－ｅ２０π－２ε＝（１－ｅ）２π－２a１π－２επVx（a）＝（１－ｅ）＝ｌｉｍ（１－ｅ）＝２２ε→＋∞２４π－２aπ－２a１即（１－ｅ）＝，（１－ｅ）＝２４２所以１a＝ｌｎ２．课后答案网：www.hackshp.cn２－x（２）设切点坐标为（x０），过切点的切线方程为０，ｅ－x－xy－ｅ０＝－ｅ０（x－x）０－x－x切线与x轴和y轴相交于点（１＋x，０），（０，ｅ０＋xｅ０），所围三角形面积为００１２－xS＝（１＋x）ｅ００２－x１２－xS′＝（１＋x）ｅ０－（１＋x）ｅ０＝０００２得唯一驻点x０＝１．此点也是最大值点，最大面积为－１S＝２ｅ．201若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn　　２．设在区间［a，b］上函数f（x）＞０，用定积分的几何意义说明下列不等式的正确性：（１）若f′（x）＞０，f″＞０，则b１f（a）＋f（b）f（a）＜∫f（x）ｄx＜；b－aa２（２）若f′（x）＞０，f″＜０，则bf（a）＋f（b）１＜∫f（x）ｄx＜f（b）；２b－aa（３）若f′（x）＜０，f″（x）＞０，则b１f（a）＋f（b）f（b）＜∫f（x）ｄx＜；b－aa２（４）若f′（x）＜０，f″（x）＜０，则bf（a）＋f（b）１＜∫f（x）ｄx＜f（a）．２b－aa解　（１）由f（x）＞０，f′（x）＞０，f″（x）＞０可以画出f（x）的示意图（如图６－２），从图形可以看出，矩形面积、梯形面积和定积分所表示的曲边梯形的面积有如下的关系：bf（a）＋f（b）f（a）（b－a）＜∫f（x）ｄx＜·（b－a）a２b１f（a）＋f（b）f（a）＜∫f（x）ｄx＜．b－aa２课后答案网：www.hackshp.cn图６－２图６－３（２）仿照（１），画出f（x）的图形，由f′（x）＞０知f（x）单调增加，f″（x）＜０，f（x）的图形凸，如图６－３，可以看出，梯形面积最小，矩形面积最大，即bf（a）＋f（b）（b－a）＜∫f（x）ｄx＜f（b）（b－a），２a故有154若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnbf（a）＋f（b）１＜∫f（x）ｄx＜f（b）．２b－aa（３），（４）的图形如图６－４，６－５所示，分析与（１）、（２）类似，从略．３．不计算积分，比较下列积分的大小：ππ２２２（１）I１＝∫ｓｉｎxｄx，　　　　　　　I２＝∫ｓｉｎxｄx；００２２２３（２）I１＝∫xｄx，I２＝∫xｄx；１１２２（３）I１＝∫ｓｉｎxｄx，I２＝∫xｄx００２ｅ２ｅ２（４）I１＝∫ｌｎxｄx，I２＝∫ｌｎxｄx；ｅｅ１１（５）I１＝∫xｄx；I２＝∫ｌｎ（１＋x）ｄx；００２２x（６）I１＝∫（ｅ－１）ｄx；I２＝∫xｄx．００图６－４图６－５解该题的I１、I２积分区间都是一样的，只需比较在积分区间内两个被积函数的大小，函数值大的积分值也大．π２（１）当x∈０，时，ｓｉｎx≥ｓｉｎx，故I１≥I２．课后答案网：www.hackshp.cn２２３（２）当x∈［１，２］时，x≤x，故I１≤I２．（３）当x∈［０，２］时，ｓｉｎx＜x，故I１≤I２．２（４）在区间［ｅ，２ｅ］内，ｌｎx≤ｌｎx，故I１≤I２．（５）在区间［０，１］内，x≥ｌｎ（１＋x），故I１≥I２．x（６）在区间［０，２］内，ｅ－１≥x，故I１≥I２．４．估计下列定积分值的范围：３π２（１）∫（x－２x＋３）ｄx；（２）∫π（x＋２ｃｏｓx）ｄx０６155若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３２x２－x（３）∫１xａｒｃｔａｎxｄx；（４）∫ｅｄx．０３解该题用估值定理，先求出被积函数在［a，b］区间上的最大值和最小值，然后乘（b－a）就得到定积分值的范围．２（１）f（x）＝x－２x＋３，f′（x）＝２x－２＝２（x－１）．得驻点x＝１，又f″（１）＝２＞０，故f（１）＝２为最小值，f（３）＝９－６＋３＝６为最大值，所以有３２６≤∫（x－２x＋３）ｄx≤６×３＝１８０（２）f（x）＝x＋２ｃｏｓx，f′（x）＝１－２ｓｉｎx＝０５得唯一驻点x＝π．６ππ５５f＝＋３　　fπ＝π－３６６６６f（π）＝π－２５ππ比较三个函数值，f最小，f最大，故有６６π５５π５π－３·π≤∫π（x＋２ｃｏｓx）ｄx＜＋３π６６６６６x１（３）设f（x）＝xａｒｃｔａｎx，则f′（x）＝ａｒｃｔａｎx＋２＞０，x∈，３．因此，１＋x３１f（x）在，３上单调增加．３１１１π１πππf·３－＝·３－＝－＝３３３６３６１８９１π１π２f（３）３－＝３·３－＝π－＝π．３３３３３所以课后答案网：www.hackshp.cn３π２π＜∫xａｒｃｔａｎxｄx＜９１３３x２－xx２－x１１（４）设f（x）＝ｅ，则f′（x）＝ｅ（２x－１）＝０，得驻点x＝，f″＞２２１１１－２０．故x＝为极小值点，极小值为f＝ｅ４．f（０）＝１，f（２）＝ｅ．所以２２２１－x２－x２２ｅ４＜∫ｅｄx＜２ｅ．０５．求下列函数的导数：156若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx２１２（１）f（x）＝∫t１＋tｄt；（２）f（x）＝∫ｌｎ（１＋t）ｄt；１x２ｃｏｓxx－t（３）f（x）＝∫ｔａｎtｄx；（４）f（x）＝∫xｅｄt．ｓｉｎx０２２２３２解　（１）f′（x）＝x·１＋x·（x）′＝２x１＋x．４２４（２）f′（x）＝ｌｎ（１＋x）（－x）′＝－２xｌｎ（１＋x）．（３）f′（x）＝ｔａｎ（ｃｏｓx）（ｃｏｓx）′－ｔａｎ（ｓｉｎx）（ｓｉｎx）′＝－ｓｉｎxｔａｎ（ｃｏｓx）－ｃｏｓxｔａｎ（ｓｉｎx）．x－t（４）f（x）＝x∫ｅｄt０x－x－tf′（x）＝xｅ＋∫ｅｄt．０６．求下列极限：ｓｉｎ２xx∫ｌｎ（１＋t）ｄt１２０（１）ｌｉｍ３∫ｓｉｎtｄt；（２）ｌｉｍ４；x→０x０x→０xxxｌｎt２∫ｄt∫ｓｉｎtｄt１１＋t０（３）ｌｉｍ２；（４）ｌｉｍx．x→１x→０（x－１）２３∫tｓｉｎtｄt００解　４个极限题都属于型，故可用洛必达法则求解．０x２∫ｓｉｎtｄt２０ｓｉｎx１（１）ｌｉｍ３＝ｌｉｍ－２＝．x→０xx→０３x３ｓｉｎ２x∫ｌｎ（１＋t）ｄt２０ｌｎ（１＋ｓｉｎx）·２ｓｉｎxｃｏｓx（２）ｌｉｍ４＝ｌｉｍ３x→０xx→０４x２１ｓｉｎx·ｓｉｎx１＝ｌｉｍ３＝．课后答案网：www.hackshp.cn２x→０x２xｌｎtｌｎx∫ｄt１１＋t１＋x１ｌｎx（３）ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ·ｌｉｍx→１（x－１）x→１２（x－１）x→１２（１＋x）x→１x－１１１１＝·ｌｉｍ＝．４x→１x４x２x２２２∫ｓｉｎtｄt２ｓｉｎx∫ｓｉｎtｄt００（４）ｌｉｍx＝ｌｉｍ２３x→０x→０２３xｓｉｎx∫tｓｉｎtｄt０157若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx２２２x∫ｓｉｎtｄt２０ｓｉｎx＝ｌｉｍ５＝２ｌｉｍ２x→０xx→０３x２＝．３７．设f（x）在［a，b］上连续，且f（x）＞０，xx１F（x）＝∫f（t）ｄt＋∫ｄtabf（t）求证：（１）F′（x）≥２；（２）F（x）在［a，b］内有且仅有一个零点．１证　（１）F′（x）＝f（x）＋≥２　（由于f（x）＞０）．f（x）（２）由F′（x）＞０，知F（x）单调增加，故F（x）在［a，b］上最多有一个零点．又abｄtF（a）＝０＋∫＜０，　　F（b）＝∫f（x）ｄx＞０，bf（t）a即F（x）在区间［a，b］的端点异号，说明F（x）至少有一个零点．综上所述，F（x）在［a，b］上有且仅有一个零点．８．设f（x）为连续函数，且存在常数a满足．ax－１ｅ－x＝∫f（t）ｄtx求f（x）及a的值．解对等式两边求导，得x－１－f（x）＝ｅ－１即x－１f（x）＝１－ｅ在等式两边令x＝a，则有a－１ｅ－a＝０课后答案网：www.hackshp.cn解之，a＝１．x３－t２９．求函数F（x）＝∫tｅｄt的极值．０３－x２解F′（x）＝xｅ令F′（x）＝０，得唯一驻点x＝０，且F′（＋０）＞０，F′（－０）＜０，知F（０）＝０为极小值．１x１１０．设f（x）在（－∞，＋∞）上连续，f（x）＝ｅ＋∫f（x）ｄx，求f（x）．ｅ０解对等式两边作［０，１］区间上的定积分，有158若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１１x１∫f（x）ｄx＝∫ｅｄx＋∫f（x）ｄx·∫ｄx００００ｅ１１１∫f（x）ｄx－∫f（x）ｄx＝ｅ－１．０ｅ０１得∫f（x）ｄx＝ｅ０所以xf（x）＝ｅ＋１．１１１２１１．设f（x）＝２＋１－x∫f（x）ｄx，求∫f（x）ｄx．１＋x００解在［０，１］区间上对等式两边作定积分，有１１１１１２∫f（x）ｄx＝∫２ｄx＋∫１－xｄx·∫f（x）ｄx００１＋x００其中１１１π∫２ｄx＝ａｒｃｔａｎx＝０１＋x０４１１２x２１π∫１－xｄx＝１－x＋ａｒｃｓｉｎx＝０２２０４代入上式，可得１ππ１－∫f（x）ｄx＝，４０４由此得１π∫f（x）ｄx＝．０４－πx－２t１２．设f（x）＝∫t（１－t）ｅｄt，问x取何值时，f（x）取极大值和极小值．０－２x解f′（x）＝x（１－x）ｅ令f′（x）＝０，得驻点x＝０，x＝１．课后答案网：www.hackshp.cn－２x－２x－２xf″（x）＝（１－x）ｅ－xｅ－２x（１－x）ｅ－２f″（０）＝１＞０，f″（１）＝－ｅ＜０由此可知x＝０为极小值点，x＝１为极大值点．yxtｄy１３．求由方程∫ｅｄt＋∫ｃｏｓtｄt＝０所确定的隐函数y＝y（x）的导数．００ｄxyxyxtt解∫ｅｄt＋∫ｃｏｓtｄt＝ｅ＋ｓｉｎt００００y＝ｅ－１＋ｓｉｎx＝０．由此得159若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnyｅ＝１－ｓｉｎxyｄyｅ＝－ｃｏｓxｄxｄy－ｃｏｓxｃｏｓx＝y＝．ｄxｅｓｉｎx－１１４．用牛顿－莱布尼茨公式计算下列定积分：８ｅ２２ｄx（ｌｎx）（１）∫３；　　　　　　（２）∫ｄx；１x１x１３ｄx２ｄx（３）∫１２；（４）∫２；１＋x０１－x３π１３ｄx２（５）∫２；（６）∫πｔａｎxｄx；－１４－x６３ππ２２（７）∫｜ｃｏｓx｜ｄx；（８）∫｜ｓｉｎx－ｃｏｓx｜ｄx；００２０４２２ａｒｃｓｉｎx３x＋３x＋２（９）∫１２ｄx；（１０）∫２ｄx．－１１＋x２１－x８８８１２ｄx－３解　（１）＝x３ｄx＝x３∫３∫１x１２１３９＝（４－１）＝２２ｅ２２ｅ２ｅ２（ｌｎx）２１３（２）∫ｄx＝∫（ｌｎx）ｄｌｎx＝（ｌｎx）１x１３１３３ｄxπππ（３）∫１２＝ａｒｃｔａｎx１＝３－６＝６．１＋x３３１１２ｄx２π（４）∫＝ａｒｃｔａｎx＝．０１－x２０６x１课后答案网：www.hackshp.cn１ｄ１ｄx２xπ（５）∫＝２∫＝２ａｒｃｓｉｎ＝．－１２０２２０３４－xx１－２ππ２π３３３２１－ｃｏｓx（６）∫πｔａｎxｄx＝∫πｃｏｓxｄx＝（ｔａｎx－x）π６６６π１π＝３－－－３３６２π＝３－．３６160若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３π３ππ２２２（７）∫｜ｃｏｓx｜ｄx＝∫ｃｏｓxｄx－∫πｃｏｓxｄx００２π３π２２＝ｓｉｎx－ｓｉｎxπ０２＝１－（－１－１）＝３．πππ２４２（８）∫｜ｓｉｎx－ｃｏｓx｜ｄx＝∫（ｃｏｓx－ｓｉｎx）ｄx＋∫π（ｓｉｎx－ｃｏｓx）ｄx００４ππ４２＝（ｓｉｎx＋ｃｏｓx）＋（－ｃｏｓx－ｓｉｎx）π０４２２＝２·－１－１－２·２２＝２２－２．２２２ａｒｃｓｉｎx２（９）∫１２ｄx＝∫１ａｒｃｓｉｎxｄａｒｃｓｉｎx２１－x２２２１２＝（ａｒｃｓｉｎx）２１２２２１ππ５２＝－＝π．２４６２８８０４２０３x＋３x＋２２２（１０）∫２ｄx＝∫３x＋２ｄx－１１＋x－１１＋x０３π＝（x＋２ａｒｃｔａｎx）＝１＋．－１２x，x＜１，２１５．设f（x）＝求f（x）ｄx．x－１∫ｅ，x≥１，０２１２解∫f（x）ｄx＝∫f（x）ｄx＋∫f（x）ｄx００１课后答案网：www.hackshp.cn１２x－１＝∫xｄx＋∫ｅｄx０１２１x－１１１＝＋ｅ＝＋ｅ－１＝ｅ－．２１２２１６．用换元积分法计算下列定积分：２π２ｓｉｎx（１）∫x２－xｄx；（２）∫２ｄx；００１＋ｃｏｓxπｌｎ３４ｄx（３）∫ｔａｎx·ｌｎｃｏｓxｄx；（４）∫；x００１＋ｅ161若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３ｅ１x４ｄxｅ（５）∫１；（６）∫x－xｄx；ｅ０２xｌｎx（１－ｌｎx）ｅ＋ｅaπ２２２（７）∫xa－xｄx；（８）∫１＋ｃｏｓ２xｄx；００ｅ６１３ｌｎx－２x＋３（９）∫ｄx；（１０）∫２ｄx．ｅx－１x＋２x＋５２２２１２２解　（１）∫x２－xｄx＝－∫２－xｄ（２－x）０２０２３１２２＝－·（２－x）２２３０２２＝．３πππｓｉｎxｄｃｏｓx（２）∫２ｄx＝－∫２＝－ａｒｃｔａｎｃｏｓx０１＋ｃｏｓx０１＋ｃｏｓx０πππ＝－－－＝．４４２ππ４４（３）∫ｔａｎx·ｌｎｃｏｓxｄx＝－∫ｌｎｃｏｓxｄｌｎｃｏｓx００π２４１２１２＝－（ｌｎｃｏｓx）＝－ｌｎ．２０２２１２＝－（ｌｎ２）．８ｌｎ３x２２ｄx１＋ｅ＝t１２t（４）∫x２∫·２ｄt０１＋ｅx＝ｌｎ（t－１）２tt－１２２２t－１＝∫２ｄt＝ｌｎ２t－１t＋１２１２－１＝ｌｎ－ｌｎ＝２ｌｎ（１＋２）－ｌｎ３．课后答案网：www.hackshp.cn３２＋１３３ｅｅ４ｄx４ｄｌｎx（５）∫１x＝∫１ｅｅ２ｌｎx（１－ｌｎx）２ｌｎx（１－ｌｎx）３ｌｎx＝t４ｄt∫１２t（１－t）１１３ｄt－t－３４２２４＝∫＝ａｒｃｓｉｎ１２１１２１１２－t－４２２162若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１π＝ａｒｃｓｉｎ＝．２６１x１x１xｅｅｄｅ（６）∫x－xｄx＝∫２xｄx＝∫２x０ｅ＋ｅ０ｅ＋１０ｅ＋１１x２x＝ｌｎ（ｅ＋ｅ＋１）０２＝ｌｎ（ｅ＋１＋ｅ）－ｌｎ（１＋２）．１x＝aｓｉｎπax２２２２２２（７）∫xa－xｄx∫aｓｉｎt·aｃｏｓt·aｃｏｓtｄt００π４２a２＝∫ｓｉｎ２tｄt４０π４a２１－ｃｏｓ４t＝·∫ｄt４０２π４２atｓｉｎ４tπ４＝－＝a．４２８０１６πππ２２（８）∫１＋ｃｏｓxｄx＝∫２－ｃｏｓxｄx＝２∫｜ｃｏｓx｜ｄx０００ππ２＝２∫ｃｏｓxｄx－∫πｃｏｓxｄx０２ππ２＝２ｓｉｎx－ｓｉｎxπ０２＝２（１＋１）＝２２．ｅ６ｅ６ｌｎx＝t６３ｌｎx－２（９）∫ｄx＝∫３ｌｎx－２ｄｌｎx∫３t－２ｄtｅxｅ１６２３２＝（３t－２）２＝（６４－１）＝１４．９１９课后答案网：www.hackshp.cn１２１１ｄ（x＋２x＋５）＋２ｄxx＋３２（１０）∫２ｄx＝∫２－１x＋２x＋５－１x＋２x＋５１１１２d（x＋１）＝ｌｎ（x＋２x＋５）＋２∫２２－１－１（x＋１）＋４１１１x＋１＝（ｌｎ８－ｌｎ４）＋２·ａｒｃｔａｎ２２２－１１π＝ｌｎ２＋．２４１７．用分部积分法计算下列定积分：163若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ２π３x（１）∫xｓｉｎxｄx；（２）∫２ｄx；００ｃｏｓx１１２－x－｜x｜（３）∫xｅｄx；（４）∫（x＋｜x｜）ｅｄx；０－１１ｅ２ｌｎx（５）∫xａｒｃｔａｎxｄx；（６）∫２ｄx；０ｅ（x－１）πｅｅ２ｓｉｎ（ｌｎx）（７）∫１｜ｌｎx｜ｄx；（８）∫２ｄx；１xｅ１２π２（９）∫x１－xａｒｃｓｉｎxｄx；（１０）∫｜xｓｉｎx｜ｄx．００２π２π解　（１）∫xｓｉｎxｄx＝－∫xｄｃｏｓx００２π２π＝－xｃｏｓx∫＋ｃｏｓxｄx００＝－２π．ππππ３x３３３（２）∫２ｄx＝∫xｄｔａｎx＝xｔａｎx－∫ｔａｎxｄx０ｃｏｓx０００ππ３＝·３＋ｌｎｃｏｓx３０３＝π－ｌｎ２．３１１１１２－x２－x２－x－x（３）∫xｅｄx＝－∫xｄｅ＝－（xｅ－２∫xｅｄx）００００１－１－x＝－（ｅ＋２∫xｄｅ）０１１－１－x－x＝－（ｅ＋２xｅ－２∫ｅｄx）００－１－１－１５＝－ｅ－２ｅ－２（ｅ－１）＝２－．课后答案网：www.hackshp.cnｅ１１１－｜x｜－｜x｜－x（４）∫（x＋｜x｜）ｅｄx＝∫xｅｄx＋２∫xｅｄx－１－１０１１１－x－x－x＝－２∫xｄｅ＝－２xｅ＋２∫ｅｄx０００１－１－x＝－２ｅ－２ｅ０－１＝２－４ｅ．１１１２（５）∫xａｒｃｔａｎxｄx＝∫ａｒｃｔａｎxｄx０２０164若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１２１２＝xａｒｃｔａｎx－∫xｄａｒｃｔａｎx２０２０１２１π１x＝·－∫２ｄx２４２０１＋x１π１＝－（x－ａｒｃｔａｎx）８２０ππ１π１＝＋－＝－．８８２４２ｅ２ｅ２ｌｎx１（６）∫２ｄx＝－∫ｌｎxｄｅ（x－１）ｅx－１ｅ２ｅ２ｌｎx１１＝－＋∫·ｄxx－１ｅｅx－１xｅ２２１１１＝－２＋＋∫－ｄxｅ－１ｅ－１ｅx－１xｅ２ｅ２１２＝－２＋ｌｎ（x－１）－ｌｎxｅ－１ｅ－１ｅｅ２１ｅ－１＝＋ｌｎ－２＋１１＋ｅｅ－１ｅ＝ｌｎ（ｅ＋１）－．１＋ｅｅ１ｅ（７）∫１｜ｌｎx｜ｄx＝－∫１ｌｎxｄx＋∫ｌｎxｄx１ｅｅ１ｅ＝－（xｌｎx－x）＋（xｌｎx－x）１１e２２＝１－＋ｅ－ｅ＋１＝２－．ｅｅππｅｅ２ｓｉｎ（ｌｎx）２１（８）∫２ｄx＝－∫ｓｉｎ（ｌｎx）ｄ１课后答案网：www.hackshp.cnx１xππ１ｅ２ｅ２１＝－ｓｉｎ（ｌｎx）＋∫ｄｓｉｎ（ｌｎx）x１１xπｅπ２－１＝－ｅ２＋ｃｏｓ（ｌｎx）ｄx∫２１xπｅπ２－１＝－ｅ２－∫ｃｏｓ（ｌｎx）ｄ１xπππｅ２ｅ２－１１＝－ｅ２－ｃｏｓ（ｌｎx）＋∫ｄｃｏｓ（ｌｎx）x１１x165若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπｅπ２－１＝－ｅ２＋１－ｓｉｎ（ｌｎx）ｄx．∫２１x所以πｅ２πｓｉｎ（ｌｎx）１－ｄx＝（１－ｅ２）．∫２１x２１１３２１２（９）∫x１－xａｒｃｓｉｎxｄx＝－∫ａｒｃｓｉｎxｄ（１－x）２０３０１１３１２１２＝－（１－x）２ａｒｃｓｉｎx＋∫（１－x）ｄx３０３０１１２＝１－＝．３３９２ππ２π（１０）∫｜xｓｉｎx｜ｄx＝∫xｓｉｎxｄx－∫xｓｉｎxｄx００ππ２π＝－∫xｄｃｏｓx＋∫xｄｃｏｓx０πππ２π２π＝－xｃｏｓx＋∫ｃｏｓxｄx＋xｃｏｓx－∫ｃｏｓxｄx００ππ＝π＋０＋２π＋π－０＝４π．１８．利用函数奇偶性计算下列积分：π３２２（１）∫［１＋ｌｎ（x＋１＋x）］ｓｉｎxｄx；π－３１１１１（２）∫x－ｄx；２－１２－x１＋ｅ２１（３）∫ｃｏｓxａｒｃｃｏｓxｄx．－１２解　（１）积分区间是对称的，ｌｎ（x＋１＋x）为奇函数，故ππ３３课后答案网：www.hackshp.cn２２２∫π［１＋ｌｎ（x＋１＋x）］ｓｉｎxｄx＝２∫ｓｉｎxｄx－０３ππ３１３　　＝∫（１－ｃｏｓ２x）ｄx＝x－ｓｉｎ２x０２０π３　　＝－．３４（２）１１１令f（x）＝x－２１＋ｅ２２－x166若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１则f（－x）＝－x－２１＋ｅ２２－xx１ｅ１＝x－２１＋ｅ２２－xx１ｅ＋１－１１＝x－２１＋ｅ２２－x１１１＝－x２２１＋ｅ２－x＝－f（x）因此，f（x）为奇函数．从而１１１１∫x－ｄx＝０．２－１２－x１＋ｅ２１１π（３）∫ｃｏｓxａｒｃｃｏｓxｄx＝∫ｃｏｓx－ａｒｃｓｉｎxｄx－１－１２１１π＝∫ｃｏｓxｄx－∫ｃｏｓxａｒｃｓｉｎxｄx２－１－１１π＝·２∫ｃｏｓxｄx－０２０１＝πｓｉｎx＝πｓｉｎ１．０６０１９畅求∫φ（x）ｄx，其中φ（x）是x到离它最近的整数的距离．０课后答案网：www.hackshp.cn图６－６解根据题意可画出φ（x）的图形，它是以１为周期的周期函数．每一个三１角形的面积为，因有６０个三角形，故４６０∫φ（x）ｄx＝６０／４＝１５０或写出φ（x）的表达式再积分．２０畅函数f（x），g（x）在（－∞，＋∞）上连续，且满足等式167若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２２３２f（x）＝３x＋∫g（x）ｄx，　g（x）＝－x＋３x∫f（x）ｄx．００求f（x）和g（x）．解对两个等式作定积分２２２２∫f（x）ｄx＝３∫xｄx＋２∫g（x）ｄx０００２＝８＋２∫g（x）ｄx（１）０２２２２１４２∫g（x）ｄx＝－x＋∫３xｄx·∫f（x）ｄx０４０００２＝－４＋８∫f（x）ｄx（２）０将（２）式代入（１）式，得２２２∫f（x）ｄx＝８＋２－４＋８∫f（x）ｄx＝１６∫f（x）ｄx０００２２由此可知，∫f（x）ｄx＝０，　∫g（x）ｄx＝－４．００所以有２３f（x）＝３x－４，　g（x）＝－x．xｌｎ（１＋t）１２１．设f（x）＝∫ｄt，求f（x）＋f．１tx１１１t＝ｌｎ１＋x１xｌｎ（１＋t）uu１解f＝∫ｄt∫－２ｄux１t１１uuxxxｌｎ（１＋u）－ｌｎuｌｎ（１＋t）ｌｎt＝－∫ｄu＝－∫ｄt＋∫ｄt１u１t１txxx１ｌｎ（１＋t）ｌｎ（１＋t）ｌｎtf（x）＋f＝∫ｄt－∫ｄt＋∫ｄt课后答案网：www.hackshp.cnx１t１t１txx１２＝∫ｌｎtｄｌｎt＝（ｌｎt）１２１１２＝ｌｎx．２x２２畅设函数f（x）连续，F（x）＝∫f（t）ｄt，试证：０（１）若f（x）是奇函数，则F（x）是偶函数；（２）若f（x）是偶函数，则F（x）是奇函数．证　（１）若f（x）为奇函数，即f（－x）＝－f（x），则168若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－xt＝－uxF（－x）＝∫f（t）ｄt∫f（－u）ｄ（－u）００xx＝－∫f（u）ｄ（－u）＝∫f（u）ｄu＝F（x）．００故F（x）为偶函数．（２）若f（x）为偶函数，即f（－x）＝f（x），则－xxxt＝－uF（－x）＝∫f（t）ｄt∫f（－u）ｄ－u）＝－∫f（u）ｄu０００＝－F（x），所以F（x）为奇函数．２３．计算下列反常积分：＋∞＋∞ｄxｄx（１）∫２；　　　　　　　（２）∫２；１x（１＋x）２x＋x－２＋∞＋∞３－x２ａｒｃｔａｎx（３）∫xｅｄx；（４）∫２ｄx；０１x＋∞＋∞－xｄxxｅ（５）∫x２－x；（６）∫－x２ｄx；１ｅ＋ｅ０（１＋ｅ）＋∞＋∞n－１－xｄx（７）∫xｅｄx（n≥１为整数）；（８）∫．２０１x２x－１该题为无穷限积分，在解题过程中，采用了相应的牛顿－莱布尼茨公式，省略了极限符号．即若函数F（x）是函数f（x）在无穷区间［a，＋∞］上的一个原函数，又极限ｌｉｍF（b）存在，记为F（＋∞），则b→＋∞＋∞∫f（x）ｄx＝F（＋∞）－F（a）a＋∞＝F（x）．a＋∞＋∞ｄx１x解　（１）∫２＝∫－２ｄx１x（１＋x）１x１＋x＋∞课后答案网：www.hackshp.cn１２＝ｌｎx－ｌｎ（１＋x）２１＋∞x１１＝ｌｎ＝－ｌｎ＝ｌｎ２．２１２２１＋x＋∞ｄx１１１（２）∫２＝∫－ｄx２x＋x－２３x－１x＋２＋∞１＝［ｌｎ（x－１）－ｌｎ（x＋２）］３２＋∞１x－１２＝ｌｎ＝ｌｎ２．３x＋２２３169若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＋∞＋∞x２＝t＋∞３－x２１２－x２２１－t（３）∫xｅｄx＝∫xｅｄx∫tｅｄt０２０２０＋∞＋∞＋∞１－t１－t－t＝－∫tｄｅ＝－tｅ－∫ｅｄt２０２００１＋∞１－t＝－０＋ｅ＝．２０２＋∞＋∞ａｒｃｔａｎx１（４）∫２ｄx＝－∫ａｒｃｔａｎxｄ１x１x＋∞＋∞１１＝－ａｒｃｔａｎx＋∫ｄａｒｃｔａｎxx１１x＋∞πｄx＝＋∫２４１x（１＋x）π１＝＋ｌｎ２　（利用（１）的结果）．４２＋∞＋∞x＋∞xｄxｅｄｅ（５）∫x２－x＝∫２x２ｄx＝∫２x２１ｅ＋ｅ１ｅ＋ｅ１ｅ＋ｅx＋∞１ｅ１ππ＝ａｒｃｔａｎ＝－ｅｅ１ｅ２４π＝．４ｅ＋∞－x＋∞x＋∞xｅxｅ１（６）∫－x２ｄx＝∫x２ｄx＝－∫xｄx０（１＋ｅ）０（ｅ＋１）０ｅ＋１＋∞＋∞１１＝－x·x－∫xｄx１＋ｅ００１＋ｅ＋∞xx１＋ｅ－ｅ＝０＋∫xｄx０１＋ｅ＋∞x＝［x－ｌｎ（１＋ｅ）］０＋∞课后答案网：www.hackshp.cnxx＝［ｌｎｅ－ｌｎ（１＋ｅ）］０x＋∞ｅ＝ｌｎx＝ｌｎ２．１＋ｅ０＋∞＋∞＋∞＋∞n－１－xn－１－xn－１－x－xn－１（７）∫xｅｄx＝－∫xｄｅ＝－xｅ－∫ｅｄx００００＋∞n－２－x＝（n－１）∫xｅｄx０＋∞n－２－x＝（n－１）［－∫xｄｅ］０170若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn＋∞＋∞n－２－xn－３－x＝（n－１）－xｅ＋（n－２）∫xｅｄx００＋∞n－３－x＝（n－１）（n－２）∫xｅｄx０＝（n－１）！．１＋∞＋∞＋∞－ｄｄxｄxx（８）∫２＝∫＝∫１１１x２x－１２１１x２－２２－２xx＋∞１１π＝－ａｒｃｓｉｎ＝ａｒｃｓｉｎ＝．２x１２４２４．计算下列反常积分：１２xx（１）∫ｄx；（２）∫ｄx；２０１－x１x－１１ｅ２ｄx（３）∫ｌｎxｄx；（４）∫；２０１x１－ｌｎx１１ａｒｃｃｏｓxｄx（５）∫ｄx；（６）∫．０x０（２－x）１－x解该题为瑕积分，也可以用类似上题无穷限积分的方法求解，省略极限号．（１）x＝１是被积函数的瑕点，对任意０＜ε＜１，有１１－ε１－εx１１２∫２ｄx＝ｌｉｍ∫xｄx＝ｌｉｍ－∫２ｄ（１－x）０ε→０＋ε→０＋２０１－x１－x１－x２１－ε２＝－ｌｉｍ１－x＝１．ε→０＋０另解１１１x１１２２∫ｄx＝－∫ｄ（１－x）＝－１－x＝１．０１－课后答案网：www.hackshp.cnx２２０１－x２０（２）x＝１为被积函数的瑕点．２x－１＝t２１２１xt＋１２∫ｄx∫２tｄt＝２∫（t＋１）ｄt１x－１０t０１８＝２＋１＝．３３（３）x＝０为瑕点，对任意ε＞０，则１１２２∫ｌｎxｄx＝ｌｉｍ∫ｌｎxｄx０ε→０＋ε171若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１２＝ｌｉｍ［xｌｎx－２∫ｌｎxｄx］ε→０＋εε１＝ｌｉｍ（－２xｌｎx＋２x）＝２．ε→０＋ε（４）x＝ｅ为瑕点．ｅｅ－εｄxｄｌｎx∫＝ｌｉｍ∫１２ε→０＋１２x１－ｌｎx１－ｌｎxｅ－ε＝ｌｉｍａｒｃｓｉｎｌｎxε→０＋１＝ｌｉｍａｒｃｓｉｎｌｎ（ｅ－ε）－０ε→０＋π＝．２（５）x＝０为瑕点．１１ａｒｃｃｏｓx∫ｄx＝２∫ａｒｃｃｏｓxｄx０x０１１＝２xａｒｃｃｏｓx－２∫xｄａｒｃｃｏｓx００１１x１ｄx＝２∫·ｄx＝∫０１－x２x０１－x１＝－２１－x＝２．０（６）x＝１为瑕点．１１－x＝t２０１ｄx－２tｄt２∫∫２＝∫２ｄt０（２－x）１－x１（２－１＋t）t０１＋t１π＝２ａｒｃｔａｎt＝．０２２５．求由下列曲线所围图形的面积：２２x（１）y＝x，y＝１－x；（２）y＝ｅ，y＝０，x＝０，x＝２；课后答案网：www.hackshp.cn１（３）y＝ｌｎx，y＝０，y＝１，x－０；（４）y＝，y＝x，x＝２；xx－x２（５）y＝ｅ，y＝ｅ，x＝１；（６）y＝x－２x＋２，y＝x＋６；２x２２（７）xy＝３，x＋y＝４；（８）y＝，x＋y＝８（y＞０的部分）；２（９）y＝x（x－１）（x－２），y＝０；（１０）y＝xｌｎx，y＝x，y＝０．解：（１）先画草图６－７．２２２由x＝１－x，求出两曲线交点的横坐标x＝±，于是２172若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图６－７２２２２２２２S＝∫２［（１－x）－x］ｄx＝２∫（１－２x）ｄx－０２２２３２２２＝２x－x＝．３０３（２）图６－８阴影部分为所给曲线围成的平面图形，易知２２xx２S＝∫ｅｄx＝ｅ＝ｅ－１．００图６－８图６－９课后答案网：www.hackshp.cn（３）根据题意，画出图６－９，曲线y＝ｌｎx与直线y＝１的交点为（ｅ，１）．于是ｅS＝ｅ×１－∫－ｌｎxｄxlｅ＝ｅ－（xｌｎx－x）＝ｅ－（ｅ－ｅ）－１＝ｅ－１．１y或对y积分，x＝ｅ１１yyS＝∫ｅｄy＝ｅ＝ｅ－１．００173若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１（４）曲线y＝与y＝x的交点为（１，１），y＝与x＝２的交点为２，．画xx２出图形６－１０．由图可知，２２１１２１S＝∫x－ｄx＝x－ｌｎx＝２－ｌｎ２－１x２１２３＝－ｌｎ２．２x－x（５）y＝ｅ与y＝ｅ的交点为（０，１）阴影部分的面积为１１x－xx－xS＝∫（ｅ－ｅ）＝（ｅ＋ｅ）００－１＝ｅ＋ｅ－２２２（６）y＝x－２x＋２＝（x－１）＋１是顶点在（１，１）的抛物线，它与直线y＝x＋６的交点为２x－２x＋２＝x＋６２x－３x－４＝（x－４）（x＋１）＝０图６－１０图６－１１得x＝－１，x２＝４，由图６－１２可知，阴影部分的面积为４２S＝∫课后答案网：www.hackshp.cn［x＋６－（x－２x＋２）］ｄx－１４４２３２１３＝∫（３x－x＋４）ｄx＝x－x＋４x－１２３－１６４３１１２５＝２４－＋１６－＋－４＝．３２３６（７）两曲线所围图形如图６－１３所示．曲线交点横坐标由x（４－x）＝３求得，x１＝１，x２＝３，因此，所求面积为３２３３xS＝∫４－x－ｄx＝４x－－３ｌｎx１x２１174若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图６－１２９１＝１２－－３ｌｎ３－４＋＝４－３ｌｎ３２２图６－１３图６－１４（８）两曲线交点为（－２，２），（２，２），由图６－１４可知，所求面积为２２２xS＝∫８－x－ｄx课后答案网：www.hackshp.cn－２２２２２２x＝２∫８－xｄx－２∫ｄx００２对第一个积分作变量替换，x＝８ｓｉｎtπ２４２∫８－xｄx＝∫８ｃｏｓt·８ｃｏｓtｄt００π４１＋ｃｏｓ２t＝８∫ｄt０２175若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ１４＝４t＋ｓｉｎ２t＝π＋２２０所以２１３４S＝２（π＋２）－x＝２π＋３０３（９）曲线与x轴的交点为（０，０），（１，０），（２，０），其图形如图６－１５所示．其面积为１２S＝∫x（x－１）（x－２）ｄx－∫x（x－１）（x－２）ｄx０１１２３２３２＝∫（x－３x＋２x）ｄx＝∫（x－３x＋２x）ｄx０１２１１４３２＝－１＋１－x－x＋x４４１１１１＝＋＝４４２（１０）曲线与x轴交点为x＝１与直线y＝x的交点为（ｅ，ｅ），故所求面积为ｅ１S＝ｅ×ｅ－∫xｌｎxｄx２１２ｅｅ１２＝－∫ｌｎxｄx２２１２ｅｅｅ１２１＝－xｌｎx＋∫xｄx２２１２１ｅ１２１２＝x＝（ｅ－１）４１４课后答案网：www.hackshp.cn图６－１５图６－１６２６．求曲线y＝ｌｎx在区间（２，６）内的一点，使该点处的切线与直线x＝２，x＝６以及曲线y＝ｌｎx所围成的图形面积最小．176若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解由图６－１７可知，要使阴影部分面积最小，只要梯形面积最小即可．先求切线方程，设切点为（x０，ｌｎx０），切线方程为y－ｌｎx０＝（ｌｎx０）′（x－x０）x即y＝ｌｎx０＋－１x０２当x＝２时，　y＝ｌｎx０＋－１x０图６－１７６当x＝６时，　y＝ｌｎx０＋－１x０１２６梯形面积S＝ｌｎx０－－１＋ｌｎx０＋－１×（６－２）２x０x０４＝４ｌｎx０＋－１x０１４S′（x０）＝４－２＝０，得驻点x０＝４．x０x０又S″（４）＞０，知x０＝４为极小值点．２７．过原点作曲线y＝ｌｎx的切线，求切线、x轴及曲线y＝ｌｎx所围平面图形的面积．解为求图６－１８中阴影部分的面积，需先求出切点坐标．设切点坐标为（x０，ｌｎx０），则切线方程为１y－ｌｎx０＝（x－x０）x０由于切线过原点，故有ｌｎx０＝１，即x０＝ｅ，所以面积为ｅ１课后答案网：www.hackshp.cnS＝ｅ×１－∫ｌｎxｄx２１ｅｅｅ＝－（xｌｎx－x）＝－１２１２２８．求过曲线y＝ｌｎx上的点（ｅ，１）处的法线与x轴及曲线y＝ｌｎx所围图形的面积．解过曲线y＝ｌｎx上的点（ｅ，１）处的法线斜率为－ｅ，法线方程为y－１＝－ｅ（x－ｅ）１法线与x轴的交点为ｅ＋，０，图６－１９中阴影部分面积为ｅ177若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｅ１１S＝∫ｌｎxｄx＋ｅ＋－ｅ×１１２ｅ１＝１＋２ｅ图６－１８图６－１９π２９．设y＝ｃｏｓx，x∈０，，问t取何值时，图６－２０中阴影部分的面积S１２与S２的和最大？何时S１＋S２最小？图６－２０t解S１＝课后答案网：www.hackshp.cn∫ｃｏｓxｄx－tｃｏｓt０ππ２S２＝－tｃｏｓt－∫ｃｏｓxｄx２t设S＝S１＋S２，则πS′＝S′１＋S′２＝ｃｏｓt－ｃｏｓt＋tｓｉｎt－ｓｉｎt－ｃｏｓt＋tｓｉｎt＋ｃｏｓt２ππ＝２tｓｉｎt－ｓｉｎt＝２t－ｓｉｎt＝０２４178若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ得驻点t＝．因为４ππＳ″＝２t－ｃｏｓt＋２ｓｉｎt＝２＞０４４t＝π４π所以t＝为极小值点，也是最小值点．最大值点需在区间端点上找．比较两个端４点的函数值：ππS（０）＝S１（０）＋S２（０）＝０＋－１＝－１２２πππS＝S１＋S２＝１＋０＝１２２２π所以t＝时，S１＋S２的值最大．２３２３０．设曲线y＝２x＋３x－１２x的两极值点的横坐标为x１和x２，求曲线与直线x＝x１，x＝x２，y＝０所围图形的面积．解先求极值点２２y′＝６x＋６x－１２＝６（x＋x－２）＝６（x＋２）（x－１）＝０得驻点x１＝－２，x２＝１．曲线过原点由三次函数特点画出图６－２１，则所求面积０１３２３２５７S＝∫（２x＋３x－１２x）ｄx－∫（２x＋３x－１２x）ｄx＝－２０２课后答案网：www.hackshp.cn图６－２１３１．求由下列曲线所围成的图形绕指定的坐标轴旋转而成的旋转体体积：２（１）xy＝a，y＝０，x＝a，x＝２a（a＞０），求Vx；π（２）y＝ｓｉｎx，x＝０，x＝，y＝０，求Vx，Vy；２179若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第七章多元函数微积分习题七（A）１．求下列函数定义域D，并画出定义域D的示意图：２（１）z＝x－y；　　　　　　（２）z＝ａｒｃｓｉｎy－x；２４x－y２２２２（３）z＝２２；　　　　（４）z＝ｌｎ１６－x－yx＋y－４；ｌｎ１－x－y１１１（５）z＝＋；　　　　　（６）z＝ｌｎxy＋．２x＋yx－yy－x解定义域的示意图分别对应图７－１至图７－６的阴影部分．（１）由函数表达式知x－y≥０，y≥０．故２D＝x，y｜０≤y≤x，x＞０２２２（２）｜y－x｜≤１，即　－１≤y－x≤１，x－１≤y≤x＋１故２D＝x，y｜x－１≤y≤x＋１，x≥－１课后答案网：www.hackshp.cn图７－１图７－２202若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（３）要使函数有意义，必须２４x－y≥０２２１－x－y＞０２２x＋y≠０故定义域２２２２２D＝x，y｜y≤４x，x＋y＜１，x＋y≠０（４）要使函数有意义，必须２２２２１６－x－yx＋y－４＞０，故定义域D为２２２２D＝x，y｜z＜x＋y＜４图７－３图７－４（５）由函数表达式知，x＋y＞０，且x－y＞０，故定主域为D＝x，y｜－x＜y＜x（６）要函数有意义，必须２xy≥１，y＞x故定义域课后答案网：www.hackshp.cn１２D＝x，yy≥，y＞xx２２２．设f（x＋y，x－y）＝x－y－xy，求f（x，y）．u＋vx＝x＋y＝u２解令　痴　x－y＝vu－vy＝２２２２２u－vx－y－xy＝x＋yx－y－xy＝uv－４203若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn即２２x－yf（x，y）＝xy－．４图７－５图７－６y２２３．设fx＋y，＝x－y，求f（x，y）．xux＋y＝ux＝１＋v解令y　痴　＝vuvxy＝１＋v２２uuvx－y＝x＋yx－y＝u－１＋v１＋v２１－v＝u１＋v２１－y所以f（x，y）＝x１＋y２yx＋xｌｎy－ｌｎx　　４．设fｌｎx，＝，求f（x，y）xy＋xｌｎxyx＋ｌｎyx解fｌｎx，＝课后答案网：www.hackshp.cnxy＋ｌｎxxyu令ｌｎx＝u，＝v，x＝ｅ，则xuｅ＋ｌｎvf（u，v）＝v＋u由此得xｅ＋ｌｎyf（x，y）＝．x＋y２x５．设z＝x＋y＋f（x－y），且当y＝０时，z＝ｅ，求函数f和z的表达式．204若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x解由题意知z（x，０）＝x＋f（x）＝ｅ，所以x２x－y２f（x）＝ｅ－x，　f（x－y）＝ｅ－x－y２x－y２故z＝x＋y＋ｅ－x－yx－y２＝ｅ＋y＋２xy－y６．证明下列函数为齐次函数，并说明是几次齐次函数：y３２２４２－（１）f（x，y）＝xy＋３xy－y；　　（２）f（x，y）＝xｅx；２２xx＋y－x（２）f（x，y）＝；　　　　　　　（４）f（x，y）＝ｌｎ．x＋y２２x－y＋x４３４２２４４解　（１）因为f（λx，λy）＝λxy＋３λxy－λy４＝λf（x，y）所以该函数为４次齐次函数．λyy２－２２－（２）因为f（λx，λy）＝λxｅλx＝λxｅx２＝λf（x，y）故该函数为二次齐次函数．λxx（３）因为f（λx，λy）＝＝＝f（x，y）λx＋λyx＋y故f（x，y）为０次齐次函数．２２λx＋λy－λx（４）因为f（λx，λy）＝ｌｎ２２λx－λy＋λx２２x＋y－x＝ｌｎ＝f（x，y）２２x－y＋x故函数为０次齐次函数．７．求下列函数在给定点处的偏导数：y（１）z＝xａｒｃｔａｎ，求z′x（１，－１），z′y（１，－１）；x课后答案网：www.hackshp.cn２（２）z＝ｌｎy＋１＋x，求z′x（－１，２），z′y（１，０）；x２＋y２－xy（３）z＝ｅ，求z′x（１，０），z′y（１，１）；y（４）z＝xy＋ｌｎx＋，求z′x（１，０）．２xy１y解　（１）z′x＝ａｒｃｔａｎ＋x·２－２xyx１＋xyxy＝ａｒｃｔａｎ－２２xx＋y205若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１１xz′y＝x·２·＝２２yxx＋y１＋xπ１z′x（１，－１）＝－＋４２１z′y（１，－１）＝２或－１zx，－１＝xａｒｃｔａｎ，x－１１１z′x（x，１）＝ａｒｃｔａｎ＋x·２x１x１＋２xπ１z′x（１，－１）＝－＋４２１z（１，y）＝ａｒｃｔａｎy，　z′y＝２１＋y１z′y（１，－１）＝．２１x１－２（２）z′x＝·，z′x（－１，２）＝２２２y＋１＋x１＋x１１z′y＝·１　　　　z′y（１，０）＝２y＋１＋x２x２＋y２－xy（３）z′x＝２x－yｅ，z′x（１，０）＝２ｅx２＋y２－xyz′y＝２y－xｅ，z′y（１，１）＝ｅ１y（４）z′x＝y＋·１－２，z′x（１，０）＝１y２xx＋２x８．求下列函数的一阶偏导数课后答案网：www.hackshp.cn：２xyy２y２x（１）z＝ｅ＋；　　　　　　（２）z＝xａｒｃｔａｎ－yａｒｃｔａｎ；xxy２x（３）z＝ｌｎxy－ｌｎy；　　　　　（４）z＝yａｒｃｓｉｎy；x＋y２２（５）z＝ａｒｃｔａｎ；　　　　（６）z＝ｌｎx＋x＋y１－xyzxz（７）u＝；　　　　　（８）u＝xy．y２抄zxyy抄zxyy解　（１）＝yｅ－２，　＝xｅ＋２．抄xx抄yx206若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄zy２１y２１１　　（２）＝２xａｒｃｔａｎ＋x２·－２－y·２·抄xxyxxy１＋１＋xy２３yxyy＝２xａｒｃｔａｎ－２２－２２xx＋yx＋yy＝２xａｒｃｔａｎ－yx抄z２１１x２１x＝x·２·－２yａｒｃｔａｎ－y·２·－２抄yyxyxy１＋１＋xy３２xxxy＝２２－２yａｒｃｔａｎ＋２２x＋yyx＋yx＝x－２yａｒｃｔａｎ．y抄z注意，利用x，y的对称关系，也可以直接得出．抄y抄z１２xy（３）＝２·２xy＝２，抄xxy－ｌｎyxy－ｌｎy２抄z１２１xy－１＝２·x－＝２２抄yxy－ｌｎyyxy－yｌｎy抄zx（４）＝yａｒｃｓｉｎyｌｎａｒｃｓｉｎy抄x抄zxx－１１＝ａｒｃｓｉｎy＋xyａｒｃｓｉｎy·抄y２１－y抄z１１－xy＋yx＋y（５）＝２·２抄xx＋y（１－xy）１＋１－xy２１＋y１＝２２＝２１－xy＋x＋y１－x由x与y的对称性可知课后答案网：www.hackshp.cn，抄z１＝２抄y１＋y抄z１x１（６）＝·１＋＝抄x２２２２２２x＋x＋yx＋yx＋y抄z１yy＝·＝抄y２２２２２２２２x＋x＋yx＋yxx＋y＋x＋yz－１z－１z抄ux１zxzx（７）＝z·＝＝抄xyyyyxy207若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnz－１z抄uxxzx＝z·－２＝－抄yyyyyz抄uxx＝ｌｎ．抄zyyzz抄uz－１z（８）＝xy＝xy抄xyxy抄uzzzz＝xyｌｎx·－＝－·xyｌｎx２２抄yyy抄uz１１z＝xyｌｎx·＝xyｌｎx抄zyy９．证明下列各题：x－yy抄z抄z（１）若z＝ｌｎ，则x＋y＝０；x＋yx抄x抄ynn抄z抄z１（２）若z＝ｌｎx＋y，且n≥２，则x＋y＝；抄x抄ynx抄z抄z（３）若z＝ｅy２，则２x＋y＝０；抄y抄yyx抄z抄z（４）若z＝x·y，则x＋y＝zx＋y＋ｌｎz；抄x抄y（５）若u＝ｌｎｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎz，则抄u抄u抄uｓｉｎ２x＋ｓｉｎ２y＋ｓｉｎ２z＝２；抄x抄y抄z抄u抄u抄u（６）若u＝x－yy－zz－x，则＋＋＝０．抄x抄y抄z抄zx＋y－x－yyx－y１证　（１）因为＝２ｌｎ－·抄xx＋yxx＋yx２yyx－y　＝２ｌｎ－x＋yxxx＋y抄z－x＋y－x－yyx－y１课后答案网：www.hackshp.cn＝２ｌｎ＋·抄yx＋yxx＋yy－２xyx－y＝２ｌｎ＋x＋yxx＋yy所以抄z抄z２xyyx－y２xyyx－yx＋y＝２ｌｎ－－２ｌｎ＋抄x抄yx＋yxx＋yx＋yxx＋y＝０１抄z１１－１（２）因为＝·xnnn抄xx＋yn208若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１抄z１１－１＝·ynnn抄yx＋yn所以抄z抄z１１１１１１x＋y＝xn·＋yn·nnnn抄x抄ynx＋ynx＋y１＝nxx抄z１抄z２xy２（３）因为＝ｅy２·２，＝－３ｅ抄xy抄yy所以抄z抄z２xx２xx２x＋y＝２ｅy２－２ｅy２＝０抄x抄yyy抄zy－１xyx抄zyxyx－１（４）因为＝yx·y＋xyｌｎy＝xｌｎx·y＋x·xy抄x抄y所以抄z抄zyx＋１y＋１xyx＋１y＋１xx＋y＝x·y＋xyｌｎyx·yｌｎx＋xy抄x抄yyx＝xyy＋xｌｎy＋yｌｎx＋xyxxy＝xyx＋y＋ｌｎy·x＝zx＋y＋ｌｎz．抄u１１（５）因为＝·２抄xｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎzｃｏｓx抄u１１＝·２抄yｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎzｃｏｓy抄u１１＝·２抄zｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎzｃｏｓz所以抄u抄u抄uｓｉｎ２x＋ｓｉｎ２y＋ｓｉｎ２z抄x课后答案网：www.hackshp.cn抄y抄z１２ｓｉｎxｃｏｓx２ｓｉｎyｃｏｓy２ｓｉｎzｃｏｓz　　　　＝２＋２＋２ｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎzｃｏｓxｃｏｓyｃｏｓz１　　　　＝·２ｔａｎx＋２ｔａｎy＋２ｔａｎzｔａｎx＋ｔａｎy＋ｔａｎz　　　　＝２抄u（６）因为＝y－zz－x－x－yy－z抄x抄u＝－y－zz－x＋x－yz－x抄y209若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄u＝－x－yz－x＋x－yy－z抄z所以抄u抄u抄u＋＋＝０抄x抄y抄z２２２抄z抄z抄z１０．求下列函数的二阶偏导数２，２，：抄x抄y抄x抄yxyx（１）z＝xｓｉｎy－ｅ；　　　　　　　（２）z＝２２；x＋yyx（３）z＝ａｒｃｔａｎ（４）z＝ｃｏｓy＋xｓｉｎyｅ；x２２２y２xx－y（５）z＝xａｒｃｔａｎ－yａｒｃｔａｎ；　　　　（６）z＝２２．xyx＋y抄zxy抄zxy解　（１）＝ｓｉｎy－yｅ，　＝xｃｏｓy－xｅ抄x抄y２２抄z２xy抄z２xy２＝－yｅ２＝－xｓｉｎy－xｅ抄x抄y２抄zxyxyxy＝ｃｏｓy－ｅ－xyｅ＝ｃｏｓy－１＋xyｅ抄x抄y２２２２２抄zx＋y－２xy－x（２）＝２２２＝２２２抄xx＋yx＋y２２２２２２２２抄z－２xx＋y－y－x·４xx＋y２＝２２４抄xx＋y２２２２２２－２xx＋y－４xy－x２xx－３y＝２２３＝２２３x＋yx＋y２２２２２２２２抄z２yx＋y－４yx＋yy－x＝２２４抄x抄yx＋y２２２２２２２yx＋y－４yy－x２y３x－y＝２２３＝２２３课后答案网：www.hackshp.cnx＋yx＋y抄z－２xy＝２２２抄yx＋y２２２２２２抄z－２xx＋y＋２xyx＋y·４y２＝２２４抄yx＋y２２２２２－２xx＋y＋８xy２x３y－x＝２２３＝２２３x＋yx＋y抄z１yy（３）＝２·－２＝－２２抄xyxx＋y１＋x210若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄z１１x＝２·＝２２抄yyxx＋y１＋x２抄z－２xy２xy２＝－２２２＝２２２抄xx＋yx＋y２抄z－２xy２＝２２２抄yx＋y２２２２２２抄zx＋y－２xy－x＝２２２＝２２２抄x抄yx＋yx＋y抄zxx（４）＝ｓｉｎy·ｅ＋ｃｏｓy＋xｓｉｎyｅ抄x抄zx＝－ｓｉｎy＋xｃｏｓyｅ抄y２抄zxxx２＝ｓｉｎy·ｅ＋ｓｉｎy·ｅ＋ｃｏｓy＋xｓｉｎyｅ抄xx＝２ｓｉｎy·ｅ＋z２抄zx２＝－ｃｏｓy－xｓｉｎyｅ＝－z抄y２抄zxx＝ｃｏｓy·ｅ＋－ｓｉｎy＋xｃｏｓyｅ抄x抄yx＝１＋xｃｏｓy－ｓｉｎyｅ抄zy２１y２１１（５）＝２xａｒｃｔａｎ＋x·２·－２－y２·抄xxyxxy１＋１＋xy２３yxyy＝２xａｒｃｔａｎ－２２－２２xx＋yx＋yy＝２xａｒｃｔａｎ－yx抄z课后答案网：www.hackshp.cn２１１x２１x＝x２·－２yａｒｃｔａｎ－y·２·２抄yyxyyy１＋１＋xx３２xxxy＝２２－２yａｒｃｔａｎ＋２２x＋yyx＋yx＝x－２yａｒｃｔａｎ　（也可由x与y的对称性得出）．y２抄zy１y２＝２ａｒｃｔａｎ－２x·２·２抄xxyx１＋x211若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cny２xy＝２ａｒｃｔａｎ－２２xx＋y由x，y的对称性可知，２抄z２xyy２＝２２－２ａｒｃｔａｎ．抄yx＋yx２抄z１１＝２x·２·－１抄x抄yyx１＋x２２２２xx－y＝２２－１＝２２．x＋yx＋y２２２２２抄z２xx＋y－２xx－y４xy（６）＝２２２＝２２２抄xx＋yx＋y２抄z４xy＝－２２２抄yx＋y２２２２２２２２抄z４yx＋y－４xy·４xx＋y２＝２２４抄xx＋y２２２４yy－３x＝２２３x＋y由对称性２２２２抄z４xx－３y２＝－２２３抄yx＋y２２２２２２２２２２抄z８xyx＋y－４xy·４yx＋y８xyx－y＝２２４＝２２３抄x抄yx＋yx＋y１１．求下列函数的全微分：２２２x（１）z＝ｌｎx＋y＋１；　　　　　（２）z＝ｓｉｎxy＋ｅ；ｌｎyx＋y（３）z＝x；　　　　（４）z＝ａｒｃｔａｎ；x－yx（５）z＝x课后答案网：www.hackshp.cnｓｉｎy；　　　　　（６）z＝ａｒｃｓｉｎ；yyzxz（７）u＝x；　　　　　（８）u＝ｅ＋ｌｎy．抄z２x抄z２y解　（１）因为＝２２，　＝２２抄xx＋y＋１抄yx＋y＋１所以２ｄz＝２２xｄx＋yｄyx＋y＋１抄z２x２x（２）因为＝ｃｏｓxy＋ｅ·y＋ｅ抄x212若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄z２x＝ｃｏｓxy＋ｅ·２xy抄y所以２x２xｄz＝ｃｏｓxy＋ｅy＋ｅｄx＋２xyｄy（３）因为抄zｌｎy－１＝ｌｎy·x抄x抄zｌｎy１＝x·ｌｎx·抄yy所以ｌｎy１１ｄz＝xｌｎyｄx＋ｌｎxｄyxy抄z１x－y－x＋y－２y（４）因为＝２·２＝２２抄xx＋yx－yx－y＋x＋y１＋x－y－y＝２２x＋y抄z１x－y－x＋yx＝２·２＝２２抄yx＋yx－yx＋y１＋x－y故１ｄz＝２２xｄy－yｄxx＋y抄z抄z１（５）因为＝ｓｉｎy，　＝xｃｏｓy·抄x抄y２y所以xｄz＝ｓｉｎyｄx＋ｃｏｓyｄy２y（６）因为课后答案网：www.hackshp.cn抄z１１｜y｜＝·＝抄x２y２２xyy－x１－y抄z１xx｜y｜＝·－２＝－抄yx２y２２２yy－x１－y所以｜y｜ｄz＝yｄx－xｄy．２２２yy－x213若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（７）因为抄uyz－１抄uyz＝yzx，　＝zxｌｎx抄x抄y抄uyz＝yxｌｎx抄z所以yzyzｄu＝xｄx＋zｌｎxｄy＋yｌｎxｄzx（８）因为抄uxz－１x＝zｅ＋ｌｎy·ｅ抄x抄uxz－１１＝zｅ＋ｌｎy·抄yy抄uxzx＝ｅ＋ｌｎy·ｌｎｅ＋ｌｎy抄z所以xz－１xzxxｄu＝ｅ＋ｌｎyzｅｄx＋ｄy＋ｅ＋ｌｎyｌｎｅ＋ｌｎyｄz．y１２．求下列函数在给定条件下的全微分之值：２２（１）z＝ｌｎx＋y，x＝２，y＝１，Δx＝０．１，Δy＝－０．１；y（２）z＝x，x＝１，y＝４，Δx＝０．０８，Δy＝－０．０４；xy（３）z＝ｅ，x＝１，y＝１，Δx＝０．１５，Δy＝０．１．２x２y解　（１）ｄz＝２２ｄx＋２２ｄyx＋yx＋y４２ｄz（２，１）＝×０．１－×０．１＝０．０４Δx＝０．１５５Δy＝－０．１y－１y　　（２）ｄz＝yxｄx＋xｌｎxｄy课后答案网：www.hackshp.cnｄz（１，４）Δx＝０．０８＝４×０．０８－０＝０．３２Δy＝－０．０４xyxy　　（３）ｄz＝yｅｄx＋xｅｄyｄz（１，１）＝ｅ×０．１５＋ｅ×０．１＝０．２５ｅΔx＝０．１５Δy＝０．１≈０．６７９６１３．计算下列各题的近似值：４．０５３３（１）（１．０２）；　　　　　（２）（１．０２）＋（１．９７）．y解　（１）设z＝x，则214若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄zy－１抄zyzx＝＝yx，zy＝＝xｌｎx抄x抄y令x０＝１，y０＝４，Δx＝０．０２，Δy＝０．０５．则由微分近似公式zx０＋Δx，y０＋Δy≈zx０，y０＋zxx０，y０Δx＋zyx０，y０Δy（倡）得４．０５４４１．０２≈１＋４×０．０２＋１×ｌｎ１×０．０５＝１．０８３３（２）设z＝x＋y，则２２抄z３x抄z３y＝，　＝抄x３３抄y３３２x＋y２x＋y令x０＝１，y０＝２，Δx＝０．０２，Δy＝－０．０３，则由微分近似公式（倡），得３３３３３３×４（１．０２）＋（１．９７）≈１＋２＋×０．０２＋×（－０．０３）２×３２×３＝３＋０．０１－０．０６＝２．９５．２２１４．求函数z＝xy＋y在点（２，１）处，当Δx＝０．１，Δy＝－０．２时的全增量与全微分．解取x０＝２，y０＝１．全增量　Δz＝fx０＋Δx，y０＋Δy－fx０，y０２２２２＝（２．１）×（１－０．２）＋（１－０．２）－２×１＋１＝４．１６８－５＝－０．８３２．２ｄz＝２xyｄx＋x＋２yｄy２ｄz（２，１）＝２×２×１×０．１＋２＋２×－０．２Δx＝０．１Δy＝－０．２＝０．４－１．２＝－０．８１５．已知一长为６ｍ，宽为８ｍ的矩形，当长增加５ｃｍ，宽减少１０ｃｍ时，求矩形对角线长度变化的近似值．解设矩形的长为课后答案网：www.hackshp.cnxｍ，宽为yｍ，则对角线的长度为２２z＝x＋yxyｄz＝ｄx＋ｄy２２２２x＋yx＋y当x＝６ｍ，y＝８ｍ，Δx＝０．０５ｍ，Δy＝－０．１ｍ，将各值代入微分公式中，得６８ｄz（６，８）＝×０．０５－×０．１Δx＝０．０５１０１０Δy＝－０．１＝－０．０５（ｍ）．即对角线长度约减少０．０５ｍ．215若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１６．当圆锥体形变时，它的底半径R由３０ｃｍ增到３０．１ｃｍ，高h由６０ｃｍ减到５９．５ｃｍ，试求体积变化的近似值．１２解圆锥体体积V＝πRh３２１２ｄV＝πRhｄR＋πRｄh３３２１２ｄV（３０，６０）＝π×３０×６０×０．１－π×３０×０．５ΔR＝０．１３３Δh＝－０．５３＝－３０π（ｃｍ）３即体积近似减少３０πｃｍ．１７．用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长５ｍ，宽４ｍ，深３ｍ，侧面和底均厚２０ｃｍ，求所需水泥的精确值和近似值．解设长、宽、高分别为xｍ，yｍ，zｍ．则V＝xyz所用水泥精确值ΔV＝５×４×３－５－０．４×４－０．４×３－０．２３＝１３．６３２（ｍ）近似值公式ｄV＝yzｄx＋xzｄy＋xyｄz当x＝５，y＝４，z＝３，Δx＝０．４，Δy＝０．４，Δz＝０．２时ｄz＝４×３×０．４＋５×３×０．４＋５×４×０．２＝１４．８１８．求下列复合函数的全导数或偏导数：３ｄz（１）z＝ａｒｃｓｉｎx－y，x＝３t，y＝４t，求；ｄtxy３ｄz（２）z＝ｌｎｅ＋ｅ，y＝x，求；ｄxaxｅy－zｄu（３）u＝课后答案网：www.hackshp.cn２，而y＝aｓｉｎx，z＝ｃｏｓx，求；１＋aｄxyｄz（４）z＝x，x＝ｓｉｎt，y＝ｃｏｓt，求；ｄt２y２２抄z抄z（５）z＝uｌｎv，u＝，v＝x＋y，求，；x抄x抄y２x抄z抄z（６）z＝，x＝u－２V，y＝v＋２u，求，；y抄u抄vuv２２y抄z抄z（７）z＝ｅ，u＝ｌｎx＋y，v＝ａｒｃｔａｎ，求，；x抄x抄y216若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnu抄z抄z（８）z＝，u＝xｃｏｓy，v＝yｃｏｓx，求，．v抄x抄yｄz抄zｄx抄zｄy解　（１）＝＋ｄt抄xｄt抄yｄt１１２＝·３－·１２t２２１－x－y１－x－y２３－１２t＝３２１－３t－４tｄz抄z抄zｄy　　（２）＝·１＋ｄx抄x抄yｄxxyｅｅ２＝xy＋xy·３xｅ＋ｅｅ＋ｅx２x３ｅ＋３xｅ＝．xx３ｅ＋ｅｄu抄u抄uｄy抄uｄz　　（３）＝·１＋＋ｄx抄x抄yｄx抄zｄxaxaxaxaｅy－zｅｅ＝２＋２·aｃｏｓx＋２ｓｉｎx１＋a１＋a１＋aax２ｅaｓｉｎx－aｃｏｓx＋aｃｏｓx＋ｓｉｎx＝２１＋aax＝ｅｓｉｎxｄz抄zｄx抄zｄy　　（４）＝＋ｄt抄xｄt抄yｄty－１y＝yxｃｏｓt－xｌｎy·ｓｉｎtｃｏｓt＝ｓｉｎtｃｏｓt·ｃｏｔt－ｓｉｎtｌｎｃｏｓt注：书中答案有误，ｌｎｓｉｎt应为ｌｎｃｏｓt．抄z抄z抄u抄z抄v（５）＝·＋·抄x抄u抄x抄v抄x２课后答案网：www.hackshp.cnyu＝２uｌｎv·－２＋２xxv２２２２２y２２２y２yx２２＝－３ｌｎx＋y＋２２＝３２２－ｌｎx＋y．xx＋yxxx＋y抄z抄z抄u抄z抄v＝＋抄y抄u抄y抄v抄y２１u＝２uｌｎv·＋·２yxv３２y２２２y＝２ｌｎx＋y＋２２２xxx＋y217若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２yy２２＝２２２＋ｌｎx＋yxx＋y抄z抄z抄x抄z抄y（６）＝＋抄u抄x抄u抄y抄u２２xx＝·１－２·２yy２x＝２y－xy２u－２vu＋３v＝２．２u＋v抄z抄z抄x抄z抄y＝·＋抄v抄x抄v抄y抄v２２xxx＝·（－２）－２·１＝－２４y＋xyyy－u－２v９u＋２v＝２v＋２u抄z抄z抄u抄z抄v（７）＝＋抄x抄u抄x抄v抄xuv２xuv１y＝vｅ·２２＋uｅ·２·－２x＋yyx１＋x２xv－yuuv＝２２ｅx＋yy２２２xａｒｃｔａｎ－yｌｎx＋yyxａｒｃｔａｎ·ｌｎx２＋y２＝ｅx２２x＋y抄z抄z抄u抄z抄v＝＋抄y抄u抄y抄v抄y课后答案网：www.hackshp.cnuv２yuv１１＝vｅ·２２＋uｅ２·x＋yyx１＋x２yv＋xuuv＝２２ｅx＋y（可以不把u，v换成x，y的函数）抄z抄z抄u抄z抄v（８）＝＋抄x抄u抄x抄v抄x１u＝ｃｏｓy－２－yｓｉｎxvv218若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnｃｏｓy＝２ｃｏｓx＋xｓｉｎxyｃｏｓx抄z抄z抄u抄z抄v＝＋抄y抄u抄y抄v抄y１u＝－xｓｉｎy－２ｃｏｓxvvx＝－２yｓｉｎy＋ｃｏｓyyｃｏｓx１９．求下列函数的全微分，其中f可微：x２２xy（１）z＝fx，；　　　　　（２）z＝fx－y，ｅ；yxyyy（３）u＝f，；　　　　（４）z＝fxｅ，ｓｉｎ．yzx１x解　（１）ｄz＝f′１·１＋f′２·ｄx＋f′１·０＋f′２·－２ｄyyy１x＝f′１＋f′２ｄx－２f′２ｄyyyxyxy　　（２）ｄz＝f′１·２x＋f′２·yｅｄx＋f′１·－２y＋f′２·xｅｄyxyxy＝２xf′１＋yｅf′２ｄx－２yf′１－xｅf′２ｄy１x１　　（３）ｄu＝f′１·＋f′２·０ｄx＋f′１－２＋f′２·ｄyyy２y　＋f′１·０＋f′２·－２ｄzzyｄx－xｄyzｄy－yｄz＝f′１·２＋f′２·２yzyyy　　（４）ｄz＝f′１·ｅ＋f′２·ｃｏｓ－２ｄxxxyy１课后答案网：www.hackshp.cn　＋f′１·xｅ＋f′２·ｃｏｓ·ｄyxxyyyy１y＝ｅf′１－２ｃｏｓf′２ｄx＋xｅf′１＋ｃｏｓf′２ｄy．xxxx２０．设u＝ｓｉｎx＋fｓｉｎy－ｓｉｎx，其中f可微，求证：抄u抄uｃｏｓy＋ｃｏｓx＝ｃｏｓxｃｏｓy抄x抄y证因为抄u＝ｃｏｓx＋f′·－ｃｏｓx＝１－f′ｃｏｓx抄x219若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn抄u＝f′·ｃｏｓy抄y所以抄u抄uｃｏｓy＋ｃｏｓx＝１－f′ｃｏｓxｃｏｓy＋f′ｃｏｓxｃｏｓy抄x抄y＝ｃｏｓxｃｏｓyy２１．设z＝xy＋xF（u），其中F可微，且u＝，证明：x抄z抄zx＋y＝z＋xy抄x抄y证因为抄zy＝y＋F（u）＋xF′（u）·－２抄xxy＝y＋F（u）－F′（u）x抄z１＝x＋xF′（u）·＝x＋F′（u）抄yx所以抄z抄zx＋y＝xy＋xF（u）－yF′（u）＋xy＋F′（u）抄x抄y＝xy＋xF（u）＋xy＝z＋xy２y２２．设z＝＋f（xy），且f可微，证明：３x２抄z抄z２x－xy＋y＝０抄x抄y证因为２抄zy＝－２＋yf′（xy）课后答案网：www.hackshp.cn抄x３x抄z２y＝＋xf′（xy）抄y３x所以２２２抄z抄z２y２２y２２x－xy＋y＝－＋xyf′（xy）－－xyf′（xy）＋y抄x抄y３３＝０ｄy２３．求下列方程所确定的隐函数的导数：ｄxx２２（１）yｅ＋ｓｉｎxy＝０；　　　　（２）x＋３y＝５xy；220若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxy２２（３）y＝x；　　　　　（４）ｌｎx＋y＝xy－x＋y．解方法一，把y看成x的函数，对等式两边求导数．xx（１）　y′ｅ＋yｅ＋ｃｏｓxy·y＋xy′xx＝y′ｅ＋xｃｏｓxy＋yｅ＋ｃｏｓxy＝０故xyｅ＋ｃｏｓxyy′＝－xｅ＋xｃｏｓxy（２）　２x＋６yy′＝５y＋５xy′５y－２xy′＝６y－５x（３）先将等式变形为xｌｎyyｌｎxｅ＝ｅ对上式两边求导得xｌｎyxyｌｎxyｅｌｎy＋y′＝ｅy′ｌｎx＋yx合并同类项，得xyyyxxyｌｎy－x＝xｌｎx－y·y′xy由此得xy－１yｌｎy－yxy′＝yx－１xｌｎx－xy２x＋y′２（４）　２＝２xy＋xy′－１＋y′x＋y２２２痴２x－２xy－１x＋y＝１＋xx＋yy′－y′２２x＋１－２xyx＋y痴y′＝２２１＋xx＋y－１方法二x（１）设F课后答案网：www.hackshp.cn（x，y）＝yｅ＋ｓｉｎxy，则xｄyF′xyｅ＋yｃｏｓxy＝－＝－xｄxF′yｅ＋xｃｏｓxy２２（２）设F（x，y）＝x＋３y－５xy，则ｄyF′x２x－５y＝－＝－ｄxF′y６y－５xxy（３）设F（x，y）＝y－x，则xy－１ｄyF′xyｌｎy－yx＝－＝－x－１yｄxF′yxy－xｌｎx221若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cny－１xyx－yｌｎy＝x－１yxy－xｌｎx２２（４）设F（x，y）＝ｌｎx＋y－xy＋x－y，则２x２－２xy＋１ｄyF′xx＋y＝－＝－ｄxF′y１２２－x－１x＋y２２２x－x＋y２xy－１２x＋１－２xyx＋y＝－２２＝２２．１－x＋１x＋y１＋xx＋y－１比较方法一和方法二，方法二显然更简便，它不需要解方程，不容易出错．２４．求下列方程所确定的隐函数z＝z（x，y）的全微分：２２xz（１）yz＝ａｒｃｔａｎxz；　　　　（２）xyz＝ｅ；２２２２３２３y２２（３）ｓｉｎx＋ｃｏｓy＋ｓｉｎz＝１；　　　（４）x＋y＋z＝ｅ＋ｌｎx＋z２２解　（１）设F（x，y，z）＝yz－ａｒｃｔａｎxz，则１２－２４·z抄zF′x１＋xz＝－＝－抄xF′z２１y－２４·２xz１＋xz２z＝２２４y１＋xz－２xz抄zF′y２yz＝－＝－抄yF′z２１y－２４·２xz１＋xz２４２yz１＋xz＝－２２４y１＋xz－２xz所以１２２４ｄz＝２２４zｄx－２yz１＋xzｄy课后答案网：www.hackshp.cny１＋xz－２xzxz（２）设F（x，y，z）＝xyz－ｅ，则xz抄zF′xyz－zｅ＝－＝－xz抄xF′zxy－xｅxzzｅ－yz＝xzxy－xｅ抄zF′yxz＝－＝－xz抄yF′zxy－xｅ所以222若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１xzｄz＝xzzｅ－yzｄx－xzｄyxy－xｅ２２２２３（３）设F（x，y，z）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓy＋ｓｉｎz－１，则抄zF′x２ｓｉｎxｃｏｓx＝－＝－２３３抄xF′z６zｃｏｓzｓｉｎzｓｉｎ２x＝－２３３zｓｉｎ２z２２抄zF′y－４yｃｏｓyｓｉｎy＝－＝－２３抄yF′z３zｓｉｎ２z２２yｓｉｎ２y＝２３３zｓｉｎ２z所以１２ｄz＝２３－ｓｉｎ２xｄx＋２yｓｉｎ２yｄy３zｓｉｎ２z２３y２２（４）设F（x，y，z）＝x＋y＋z－ｅ－ｌｎx＋z，则２x１－２２抄zF′xx＋z＝－＝－抄xF′z２２z３z－２２x＋z２２２x－x－z＝２２２３zx＋z－２zy２２抄zF′y２y－ｅx＋z＝－＝－２２２抄yF′z３zx＋z－２z所以１２２y２２ｄz＝２２２２x－x－zｄx＋ｅ－２yx＋zｄy３zx＋z－２z２５．求下列函数的极值，并判定是极大值还是极小值：３２（１）f（x，y）＝x＋y－６xy；课后答案网：www.hackshp.cn３２（２）f（x，y）＝y－x＋６x－１２y＋２５；２２（３）f（x，y）＝x＋y－２ｌｎx－２ｌｎy＋５，x＞０，y＞０；３２（４）f（x，y）＝x＋３xy－１５x－１２y；１１（５）f（x，y）＝xy＋＋－３；xy２x２（６）f（x，y）＝ｅx＋y＋２y；ππ（７）f（x，y）＝ｓｉｎx＋ｓｉｎy＋ｓｉｎx＋y，０≤x≤，０≤y≤；２２２２（８）f（x，y）＝２ax－x２by－y，其中a，b为非零常数．223若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解　（１）由极值存在的必要条件：抄f２＝３x－６y＝０抄x抄f＝２y－６x＝０抄y解得驻点（０，０），（６，１８）．f″xx＝６x，　f″yy＝２，　f″xy＝－６对驻点（０，０）A＝f″xx（０，０）＝０，　B＝f″xy（０，０）＝－６，　C＝f″yy（０，０）＝２２B－AC＝３６＞０故点（０，０）不是极值点．对点（６，１８），A＝３６，　B＝－６，　C＝２２B－AC＝３６－３６×２＜０，且A＞０，所以点（６，１８）为极小值点，极小值为f（６，１８）＝－１０８．（２）由极值存在的必要条件：f′x＝－２x＋６＝０２f′y＝３y－１２＝０解得驻点（３，－２），（３，２）．f″xx＝－２，　f″xy＝０，　f″yy＝６y对点（３，－２），　A＝－２，　B＝０，　C＝－１２２B－AC＝－２４＜０，且A＜０，所以点（３，－２）为极大值点，极大值为f（３，－２）＝５０．对点（３，２），　A＝－２，　B＝０，　C＝１２，２B－AC＝２４＞０，所以点（３，２）不是极值点．课后答案网：www.hackshp.cn（３）由极值存在的必要条件２f′x＝２x－＝０，x＞０x２f′y＝２y－＝０，y＞０，y解得驻点（１，１）．２２f″xx＝２＋２，　f″xy＝０，　f″yy＝２＋２xy对于点（１，１），224若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnA＝４，　B＝０，C＝４２B－AC＜０，且A＞０故点（１，１）为极小值点，极小值为f（１，１）＝７．（４）由极值存在的必要条件２２f′x＝３x＋３y－１５＝０f′y＝６xy－１２＝０解得驻点（－１，－２），（１，２），（－２，－１），（２，１）．f″xx＝６x，　f″xy＝６y，　f″yy＝６x对于点（－１，－２），A＝－６，B＝－１２，C＝－６２２２由于B－AC＝１２－６＞０，故点（－１，－２）不是极值点．对于点（１，２），A＝６，B＝１２，C＝６２２２B－AC＝１２－６＞０，点（１，２）不是极值点．对于点（－２，－１），A＝－１２，B＝－６，C＝－１２２２２B－AC＝６－１２＜０，且A＜０，故点（－２，－１）为极大值点，极大值为f（－２，－１）＝２８．对于点（２，１），A＝１２，B＝６，C＝１２２２２B－AC＝６－１２＜０，且A＞０．故点（２，１）为极小值点，极小值为f（２，１）＝－２８．（５）由极值存在的必要条件１f′x＝y－２＝０x１f′y＝x－２＝０y得驻点（１，１）．２２f″xx＝３，　f″xy＝１，　f″yy＝３xy课后答案网：www.hackshp.cnA＝f″xx（１，１）＝２，　B＝１，C＝f″yy（１，１）＝２２B－AC＝１－４＜０，且A＞０，故点（１，１）为极小值点，极小值为f（１，１）＝０．（６）由极值存在的必要条件２x２２xf′x＝２ｅx＋y＋２y＋ｅ＝０２xf′y＝ｅ（２y＋２）＝０１得唯一驻点，－１．２２x２２x又f″xx＝４ｅx＋y＋２y＋４ｅ225若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２xf″xy＝２ｅ２y＋２２xf″yy＝２ｅ１A＝f″xx，－１＝２ｅ，　B＝０，２C＝２ｅ２２１B－AC＝－４ｅ＜０，且A＞０，故点，１为极小值点，２１ｅ极小值为f，－１＝－．２２（７）由极值存在的必要条件f′x＝ｃｏｓx＋ｃｏｓx＋y＝０f′y＝ｃｏｓy＋ｃｏｓx＋y＝０ππ可知x＝y，故ｃｏｓx＋ｃｏｓ２x＝０，从而得驻点，．因３３πππ２A＝f″xx，＝－ｓｉｎ－ｓｉｎπ＝－３＜０３３３３ππππ３B＝f″xy，＝－ｓｉｎ＋＝－３３３３２πππ２πC＝f″yy，＝－ｓｉｎ－ｓｉｎ＝－３３３３３２３B－AC＝－３＜０４ππ所以点，为极大值点，极大值为３３πππ２πf，＝２ｓｉｎ＋ｓｉｎ３３３３３３３３＝２×＋＝．２２２（８）由极值存在的必要条件课后答案网：www.hackshp.cn２f′x＝２a－２x２by－y＝０２f′y＝２ax－x２b－２y＝０得驻点a，b，０，０，０，２b，２a，０，２a，２b．２f″xx＝－２２by－yf″xy＝２a－２x２b－２y２f″yy＝－２２ax－x对于驻点a，b，有226若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２A＝－２b＜０，B＝０，C＝－２a＜０，２２２B－AC＝－４ab＜０，２２故a，b为极大值点，极大值为f（a，b）＝ab．对于驻点（０，０）有２２２A＝C＝０，B＝４ab，B－AC＝１６ab＞０，故点（０，０）不是极值点．对于驻点０，２b，２a，０，２a，２b，可以验证它们都不是极值点．２６．设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x和y（单位：千件），总利润函数为２２L（x，y）＝６x－x＋１６y－４y－２　（单位：万元），已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料２０００ｋｇ，现有该原料１２０００ｋｇ，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润是多少？解依题设有约束条件２０００x＋２０００y＝１２０００，即x＋y＝６．因此，问题是求利润函数L（x，y）在约束条件x＋y＝６条件下的最大值，其解法有两种：方法一，用拉格朗日乘数法．设拉格朗日函数为２２F（x，y，λ）＝６x－x＋１６y－４y－２＋λx＋y－６令F′x＝６－２x＋λ＝０F′y＝１６－８y＋λ＝０F′λ＝x＋y－６＝０先消去λ，得等价方程组－x＋４y＝５课后答案网：www.hackshp.cnx＋y＝６由此解得x＝３．８（千件），y＝２．２（千件），最大利润为L（３．８，２．２）＝２２．２（万元）方法二，将y＝６－x代入利润函数中，变成一元函数极值问题．２２L（x）＝６x－x＋１６（６－x）－４（６－x）－２令L′（x）＝６－２x－１６＋８（６－x）＝０得驻点x＝３．８（千件），y＝２．２（千件）L（３．８，２．２）＝２２．２（万元）．２７．某地区生产出口服装和家用电器，由以往的经验得知，欲使这两类产品227若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn的产量分别增加x单位和y单位，需增加x和y单位的投资，这时出口的销售总收入将增加R＝３x＋４y单位．现该地区用K单位的资金投给服装工业和家用电器工业，问如何分配这K单位资金，才能使出口总收入增加最大？最大增量为多少？解依题设可知，该题是在x＋y＝K的条件下，求R＝３x＋４y的最大值．令F（x，y，λ）＝３x＋４y＋λx＋y－K则由极值存在的必要条件λF′x＝３＋＝０２xλF′y＝４＋＝０２yF′λ＝x＋y－K＝０１６２９２解得唯一驻点K，K．４９４９４由实际问题可知，该点也是最大值点，即服装工业投资x＝K，家用电器７３工业投资y＝K单位，将使总收益增量最大，最大值为７２２２２４３４３１２２RK，K＝３×K＋４×K＝K．７７７７７２８．设生产某种产品必须投入两种要素，x１和x２分别是两种要素的投入量，αβQ为产出量；若生产函数为Q＝２x１x２，其中α，β为正常数，且α＋β＝１．假设两种要素的价格分别为p１和p２，试问：当产量为１２时，两种要素各投入多少，可以使得投入总费用最小？αβ解按题目要求，是求在约束条件２x１x２＝１２下，求总费用p１x１＋p２x２的最小值．为此作拉格朗日函数课后答案网：www.hackshp.cnαβFx１，x２，λ＝p１x１＋p２x２＋λ２x１x２－１２α－１βF′x＝p１＋２λαx１x２＝０　　　　　　　①１αβ－１令F′x＝p２＋２λβx１x２＝０　　　　　　　②２αβF′λ＝２x１x２－１２＝０　　　　　　　③p２βx１p２α由①和②，得＝痴x１＝x２，p１αx２p１β将x１代入③，得228若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnpβαpαβ１２x２＝６，　x１＝６．p２αp１βpβ２α因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故计算结果表明，当x１＝６，x２＝６p１βpβα１时投入总费用最小．p２α２９．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为３－αx－βyx和４－βx－２αyyα＞β＞０．求使产鱼总量最大的放养数．解设产鱼总量为z，则z＝３－αx－βyx＋４－βx－２αyy２２＝３x＋４y－αx－２αy－２βxy由极值存在的必要条件抄z＝３－２αx－２βy＝０抄x抄z＝４－４αy－２βx＝０抄y２２由于α＞β＞０，知其系数行列式Δ＝４（２α－β）＞０，故方程组有唯一解，即３α－２β４α－３βx０＝２２，　y０＝２２．２α－β２２α－β易知x０＞０，y０＞０，且zx０，y０＝３－αx０－βx０x０＋４－βx０－２αy０y０３＝x０＋２y０．２由于驻点唯一，且实际问题必存在最大值，故x０和y０分别为甲种鱼和乙种鱼的放养数．课后答案网：www.hackshp.cn２２xy３０．求椭圆２＋２＝１内接矩形的最大面积．ab解设内接矩形在第一象限与椭圆的交点为２２xyx，y，则所求的是在约束条件２＋２＝１的条件下，Sab＝４xy的最大值．设拉格朗日函数为图７－７229若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２xyF（x，y，λ）＝４xy＋λ２＋２－１，ab由极值存在的必要条件，有２xF′x＝４y＋λ２＝０　　　　　　　　　①a２yF′y＝４x＋λ２＝０　　　　　　　　　②b２２xyF′λ＝２＋２－１＝０　　　　　　　　　③ab２２xy由①和②式，得２＝２，将其代入③式，得ab２xab２２＝１痴x＝，y＝，a２２故abS＝４··＝２ab．２２由于驻点唯一，且实际问题存在最大值，所以S＝２ab为内接矩形的最大面积．３１．在平面３x－２z＝０上求一点，使它与点A（１，１，１）和点B（２，３，４）的距离平方和为最小．解设空间平面３x－２z＝０上所求点的坐标为（x，y，z），由题意可知，问题是在约束条件３x－２z＝０下，求三元函数２２２２２２Φ＝x－１＋y－１＋z－１＋x－２＋y－３＋z－４的最小值．作拉格朗日函数２２２２２２F（x，y，z，λ）＝x－１＋y－１＋z－１＋x－２＋y－３＋z－４课后答案网：www.hackshp.cn　＋λ３x－２z．则由极值存在的必要条件：F′x＝２x－１＋２x－２＋３λ＝０　　　　　　①F′y＝２y－１＋２y－３＝０　　　　　　②F′z＝２z－１＋２z－４－２λ＝０　　　　　　③F′λ＝３x－２z＝０　　　　　　④由②式得y＝２，由①③两式消去λ，再与④联立，得方程组４x＋６z－２１＝０３x－２z＝０230若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１６３从而得驻点，２，．根据实际问题可知，该点即为所求．１３２６３２．将二重积分I＝簇f（x，y）ｄσ按两种积分次序化成累次积分，其中D是D下列曲线或直线围成的区域．３３（１）y＝x，y＝１，x＝－１；　　（２）y＝x，y＝４x；２２２x（３）y＝x，y＝４－x；　　　　　　（４）y＝，y＝２x，y＝，x＞０．x２解　（１）先画出积分区域D的草图７－８．３先对y积分，y由x积到１，而x则由－１积到１，故１１I＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy．－１x３１先对x积分，则x由－１积到y３，而y则由－１积到１，即１１y３I＝∫ｄy∫f（x，y）ｄx．－１－１课后答案网：www.hackshp.cn图７－８图７－９（２）画出积分区域D如图７－９．二重积分的原则是对x积分总是从左到右，对y积分是从下到上．该积分区域分成两部分，对上面一部分，就x而言，直线在左，对y而言，直线在上，而下面一部分则刚好相反．因此无论先对x积分还是先对y积分，都需要分成两部分．231若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn先对y积分０x３２４xI＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy＋∫ｄx∫f（x，y）ｄy．－２４x０x３先对x积分y１０８y４３I＝∫ｄy∫１f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫yf（x，y）ｄx－８y０３４２２（３）区域D如图７－１０所示．先求出两曲线的交点，由x＝４－x，得x＝±２．先对x积分，区域D需要分成两部分：２y４４－yI＝∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx０－y２－４－y若先对y积分，则２４－x２I＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy．－２x２图７－１０图７－１１（４）积分区域D如图７－１１所示．该积分无论先积x或先积y都需分成两２x部分．曲线y＝与y＝２x的交点为（１，２），与y＝的交点为（２，１）．先对y积x２分，则课后答案网：www.hackshp.cn２１２x２xI＝∫ｄx∫xf（x，y）ｄy＋∫ｄx∫xf（x，y）ｄy．０１２２若先对x积分，则２１２y２yI＝∫ｄy∫yf（x，y）ｄx＋∫ｄy∫yf（x，y）ｄx．０１２２３３．交换下列积分次序：１x２２x（１）∫ｄx∫f（x，y）ｄy；　　（２）∫ｄx∫f（x，y）ｄy；０x２０x232若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１ｅy（３）∫ｄy∫f（x，y）ｄx；０１－y０１－y２１１－y（４）∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx；－１－１－y２０－１－y０１１１（５）∫ｄx∫f（x，y）ｄy＋∫ｄx∫f（x，y）ｄy；－１－x０x１y４２－y（６）∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx；０－y１－y０－x２（７）∫ｄx∫f（x，y）ｄy－１x２－２１１１y４２２（８）∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫１ｄy∫f（x，y）ｄx０yy４解该题应先根据所给积分画出积分区域D的图形，再根据图形交换积分次序确定积分的上、下限．（１）D如图７－１２所示．１x１y∫ｄx∫f（x，y）ｄy＝∫ｄy∫f（x，y）ｄx０x２０y图７－１２图７－１３课后答案网：www.hackshp.cn（２）D如图７－１３所示．交换积分次序，积分区域D需分成两部分．２２x２y４２∫ｄx∫f（x，y）ｄy＝∫ｄy∫yf（x，y）ｄx＋∫ｄy∫yf（x，y）ｄx．０x０２２２（３）区域D如图７－１４所示．２若先对y积分，则需将D分成两部分积分．一部分是由y＝１－x与x＝１，y＝１所围，另一部分由y＝ｌｎx，y＝１，x＝１所围，故１ｅy１１ｅ１∫ｄy∫f（x，y）ｄx＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy＋∫ｄx∫f（x，y）ｄy０１－y０１－x２１ｌｎx233若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图７－１４图７－１５（４）该积分的第一部分是在单位圆的下半个圆的区域上，第二部分是在抛２物线y＝１－x与y＝０的区域上的积分，由图７－１５可知，若先对y积分，则不必分块，即０１－y２１１－y１１－x２∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy．－１－１－y２０－１－y－１－１－x２（５）积分区域D如图７－１６所示．则０１１１∫ｄx∫f（x，y）ｄy＋∫ｄx∫f（x，y）ｄy－１－x０x１y２＝∫ｄy∫f（x，y）ｄx．０－y２课后答案网：www.hackshp.cn图７－１６图７－１７（６）积分区域D如图７－１７所示．１y４２－y∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx０－y１－y234若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２－x＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy－２x２（７）积分区域D如图７－１８所示先对x积分需将区域D分成两部分，即０－x２－１０∫ｄx∫f（x，y）ｄx＝∫ｄy∫f（x，y）ｄx－１x２－２－２－y＋z００＋∫ｄy∫f（x，y）ｄx．－１－－y图７－１８图７－１９（８）积分区域D如图７－１９所示．若先对y积分，则不必分割区域D，即１１１y４２２∫ｄy∫f（x，y）ｄx＋∫１ｄy∫f（x，y）ｄx０yy４１x２　　　＝∫ｄx∫f（x，y）ｄy．０x２３４．计算下列二重积分：１２２３x２２（１）∫∫x＋yｄxｄy；　　　　（２）∫∫xyｄxｄy；０１１x１１１３xxyy２（３）∫∫ｄxｄy；　　　（４）∫∫ｅ２ｄxｄy；０x课后答案网：www.hackshp.cn２１＋y０x５５３２ｄxｄy２（５）∫∫；　　　　　（６）∫∫ｓｉｎyｄxｄy．１yyｌｎx１x－１解　（１）积分区域为矩形，积分次序可以任意选择．１２１２２２２２∫∫x＋yｄxｄy＝∫ｄx∫x＋yｄy０１０１１２２１３＝∫xy＋yｄx０３１１２７８＝∫x＋ｄx＝．０３３235若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２３x２３x（２）∫∫xyｄxｄy＝∫xｄx∫yｄy１x１x２３x１２＝∫xyｄx１２x２１２２＝∫x３x－xｄx２１２３１５＝∫xｄx＝．１４１１１yxyy（３）∫∫ｄxｄy＝∫ｄy∫xｄx０x２１＋y０１＋y０１y图７－２０１y２＝∫·xｄy２０１＋y０１２１y＝∫ｄy２０１＋y２２２２１＋y＝t１（t－１）∫·２tｄt２１t２４２＝∫t－２t＋１ｄt１２１５２３４４８＝t－t＋t＝２－２＋２－５３１５３１５７８１＝２－＝７２－８１５１５１５y２（４）积分区域D如图７－２１所示．由于被积函数ｅ２找不出原函数，故必须先对x积分：课后答案网：www.hackshp.cn图７－２１236若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１３x１yy２y２∫∫ｅ２ｄxｄy＝∫ｅ２ｄy∫ｄx０x０y３１１２１２y２y２y２３y２y　　＝∫y－yｅ２ｄy＝∫ｅ２ｄ－∫yｅ２ｄ００２０２１１２２y２yy２y　　＝ｅ２－２∫ｅ２ｄ００２２２y＝t１１２１２t１tt２ｅ２－１－２∫tｅｄt＝ｅ２－１－２tｅ－ｅ００１１１１１　　＝ｅ２－１－２ｅ２－ｅ２＋１＝２ｅ２－３．２（５）积分区域D如图７－２２所示．由被积表达式可知，应先对y积分．５５５xｄxｄyｄx１∫∫＝∫∫ｄy１yyｌｎx１ｌｎx１y５１＝∫ｌｎxｄx１ｌｎx５＝∫ｄx＝４．１图７－２２图７－２３课后答案网：www.hackshp.cn（６）积分区域D如图７－２３所示．由被积表达式知，应先对x积分３２２y＋１２２∫∫ｓｉｎyｄxｄy＝∫ｓｉｎyｄy∫ｄx１x－１０１２２２１２２　　＝∫ｓｉｎy·yｄy＝∫ｓｉｎyｄy０２０２１２１１　　＝－ｃｏｓy＝－ｃｏｓ４＋２０２２１　　＝１－ｃｏｓ４．２237若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３５．计算下列给定区域内的二重积分：２（１）簇２xyｄxｄy，D由y＝x＋１，y＝２x和x＝０所围成；Dx＋y（２）簇ｅｄxｄy，D由x＝０，x＝１，y＝０，y＝１所围成；Dxy（３）簇yｅｄxｄy，D由x＝２，y＝２，xy＝１所围成；Dx１（４）簇ｄxｄy，D由y＝，y＝x，x＝２所围成；１＋yxD２２（５）簇xyｄxｄy，D由y＝１－x（x＞０），x＝０，y＝０所围成；Dxy（６）簇yｅｄxｄy，D由y＝ｌｎ２，y＝ｌｎ３，x＝２，x＝４所围成；D２π（７）簇４yｓｉｎxyｄxｄy，D由x＝０，y＝，y＝x所围成；２D－y２（８）簇ｅｄxｄy，D由x＝０，y＝１，y＝x所围成；D２x（９）簇２ｄxｄy，D由y＝２，y＝x，xy＝１所围成；yD２２（１０）簇xｄxｄy，D＝x，y｜x＋y≤x．D解　（１）积分区域D如图７－２４所示．１x２＋１２簇２xyｄxｄy＝∫ｄx∫xｄy０２xD１x２＋１２＝∫xyｄx０２x１４２２＝∫xx＋２x＋１－４xｄx０２１课后答案网：www.hackshp.cn１６２４x１＝x－x＋＝．６４２０６１１１２x＋yx＋yx（２）簇ｅｄxｄy＝∫∫ｅｄxｄy＝∫ｅｄx０００D１２x２＝ｅ＝ｅ－１０积分区域如图７－２５所示．238若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图７－２４图７－２５２２xyxy（３）簇yｅｄxｄy＝∫１ｄy∫１yｅｄxD２y２２xy＝∫１ｄy∫１ｄｅ２y２２２xy２y＝∫１ｅ１ｄy＝∫１ｅ－ｅｄy２y２２１２y３１４＝ｅ－ｅ＝ｅ－２ｅ．２１２２２（４）积分区域如图７－２６所示．２xx１簇ｄxｄy＝∫x∫１ｄyｄx１＋y１１＋yDx２x＝∫xｌｎ１＋yｄx１１x２１＝∫xｌｎ１＋x－ｌｎ１＋ｄx１x课后答案网：www.hackshp.cn２２２１２１２＝∫xｌｎxｄx＝xｌｎx－x１２１２１３＝２ｌｎ２－．４（５）积分区域如图７－２７所示．１１－x２２２簇xyｄxｄy＝∫x∫yｄyｄx００D１１－x２１２１２１２２＝∫xyｄx＝∫x１－xｄx０２０２０239若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１１＝－＝．２３５１５图７－２６图７－２７xy（６）簇yｅｄxｄyDｌｎ３４xy＝∫ｄy∫ｄｅｌｎ２２ｌｎ３４ｌｎ３xy４y２y＝∫ｅｄy＝∫ｅ－ｅｄyｌｎ２２ｌｎ２ｌｎ３ｌｎ３１４y１２y１１５５＝ｅ－ｅ＝（８１－１６）－（９－４）＝．４ｌｎ２２ｌｎ２４２４（７）积分区域如图７－２８所示．２簇４yｓｉｎxyｄxｄyDπy２　　　　＝－∫４y∫ｄｃｏｓxy００ππ２２２２２　　　　＝－∫４yｃｏｓy－１ｄy＝２y－２ｓｉｎy００　＝π－２课后答案网：www.hackshp.cn图７－２８图７－２９240若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（８）积分区域如图７－２９所示．１y－y２－y２簇ｅｄxｄy＝∫ｅｄy∫ｄx００D１１－y２１－y２１－１＝∫yｅｄy＝－ｅ＝１－ｅ０２０２（９）积分区域如图７－３０所示．２２yx１２簇２ｄxｄy＝∫２∫１xｄxｄyy１yDy２１１３１＝∫２y－３ｄy３１yy２１－５＝∫y－yｄy３１２１１２１－４＝y＋y３２４１１１２７＝８－２＋－１＝１２１６６４图７－３０（１０）积分区域D是如图７－３１所示的圆域．１x－x２簇xｄxｄy＝∫x∫ｄyｄx０－x－x２D１２＝２∫xx－xｄx０１１＝２∫x１－xｄx＝２∫x－１＋１１－xｄx００１１３＝２∫１－x２－１－x２ｄx０１２３２５＝２－１－x２＋１－x２图７－３１３５０课后答案网：www.hackshp.cn２２８＝２－＝３５１５３６．利用极坐标计算下列二重积分：２２（１）簇xｄxｄy，其中D是由圆x＋（y－１）＝１和直线y＝x围成且在直线Dy＝x下方的区域；２（２）簇yｄxｄy，其中D是由直线x＝－２，y＝０，y＝２以及曲线x＝－２y－yD所围成的平面区域；241若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２２２２（３）簇x＋yｄxｄy，其中D是由圆x－a＋y＝a和y＝０围成的第一象D限的区域；２y２（４）簇ｄxｄy，D由y＝１－x，y＝x，y＝０围成，且x＞０；xD２２２２２２（５）簇ｓｉｎx＋yｄxｄy，D＝x，y｜π≤x＋y≤４π；Dy２２（６）簇ａｒｃｔａｎｄxｄy，D＝x，y｜１≤x＋y≤４，x≥０，y≥０．xD２２解　（１）区域D如图７－３２所示．在极坐标系下，圆x＋（y－１）＝１的方程为r＝２ｓｉｎθ，区域πD＝r，θ｜０≤r≤２ｓｉｎθ，０≤θ≤．４极点在区域D的边界上．ππ２ｓｉｎθ３２ｓｉｎθ４４r簇xｄxｄy＝∫ｄθ∫rｃｏｓθ·rｄr＝∫ｃｏｓθ·ｄθ０００３０Dππ４４８３８３＝∫ｓｉｎθｃｏｓθｄθ＝∫ｓｉｎθｄｓｉｎθ３０３０π４２４１＝ｓｉｎθ＝．３０６课后答案网：www.hackshp.cn图７－３２图７－３３（２）积分区域D如图７－３３所示．在极坐标系下，圆的方程为r＝２ｓｉｎθ，区π域D１＝r，θ｜０≤r≤２ｓｉｎθ，≤θ≤π２０２π２ｓｉｎθ簇yｄxｄy＝∫ｄx∫yｄy－∫πｄθ∫rｓｉｎθ·rｄr－２００D２π８４＝４－∫ｓｉｎθｄθ３π２242若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ２８１－ｃｏｓ２θ＝４－∫ｄθ３π２２π２２＝４－∫１＋ｃｏｓ２θ－２ｃｏｓ２θｄθ３π２ππ２１＋ｃｏｓ４θ＝４－θ－ｓｉｎ２θ＋∫ｄθ３ππ２２２π２π１π１＝４－＋π－＋ｓｉｎ４θ３２２２８π２２３π＝４－·π＝４－．３４２（３）x＝４ｃｏｓθ，y＝rｓｉｎθ．２２２２x－a＋y＝rｃｏｓθ－a＋rｓｉｎθ２２２r－２arｃｏｓθ＋a＝a从而得到圆的极坐标方程r＝２aｃｏｓθπ２aｃｏｓθ２２２２簇x＋yｄxｄy＝∫ｄθ∫rｄr００Dπ２８３３＝a∫ｃｏｓθｄθ３０π２８３２＝a∫１－ｓｉｎθｄｓｉｎθ３０π２８３１３１６３＝aｓｉｎθ－ｓｉｎθ＝a．３３０９课后答案网：www.hackshp.cn图７－３４图７－３５π２１４y２（４）簇ｄxｄy＝∫ｔａｎθｄθ∫rｄrx００Dπ２１４１－ｃｏｓθ＝∫２ｄθ２０ｃｏｓθπ１４＝ｔａｎθ－θ２０243若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１π＝１－２４２２（５）簇ｓｉｎx＋yｄxｄyD２π２π＝∫ｄθ∫ｓｉｎr·rｄr０π２π＝－２π∫rｄｃｏｓrπ２π２π＝－２πrｃｏｓr－∫ｃｏｓrｄrππ２＝－６π图７－３６π２y２（６）簇ａｒｃｔａｎｄxｄy＝∫ｄθ∫ａｒｃｔａｎｔａｎθrｄrx０１Dπ２２＝∫θｄθ∫rｄr０１２π２２２θr３２＝·＝π．２０２１１６３７．求下列反常二重积分：－x＋y（１）簇ｅｄxｄy，D：x≥０，y≥x；D１２２（２）簇２２２ｄxｄy，D：x＋y≥１，且y＞０．x＋yD＋∞＋∞－x－y－x－y解　（１）簇ｅｄxｄy＝∫ｅ∫ｅｄyｄx０xD＋∞＋∞－x－y＝∫ｅ－ｅｄx０x＋∞＋∞－x－x１－２x＝∫ｅ·ｅｄx＝－ｅ０２０课后答案网：www.hackshp.cn１＝２（２）利用极坐标计算，１≤r＜＋∞，０＜θ＜π．π＋∞１r簇２２２ｄxｄy＝∫ｄθ∫４ｄrx＋y０１rD＋∞１－２＝π－r２１π＝．２３８．利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积：244若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn图７－３７２２２（１）x＋y＝１，y＝２x；（２）x＋y＝３，x＋y＝３．２２x＋y＝１解　（１）由２y＝２x２解得曲线交点横坐标±．于是２２２１－x２２２S＝ｄxｄy＝２２ｄx∫２∫∫２１－x－２x－２x２－２２２２２２＝２∫１－x－２xｄx０２２x２１２３＝２１－x＋ａｒｃｓｉｎx－x２２３０２２π１＝·＋－２２４３１π＝＋．６４３３－x（２）S＝∫ｄx∫ｄy０３＋x－２３x课后答案网：www.hackshp.cn３＝∫３－x－３＋x－２３xｄx０３＝∫２３x－２xｄx０图７－３８３３２２＝２３·x２－x＝３．３０３９．利用二重积分计算下列曲面所围成的立体体积：２２（１）x＋y＋z＝３，x＋y＝１，z＝０；（２）z＝x＋y，z＝６，x＝０，y＝０，z＝０；245若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１２（３）z＝y，２x＋３y－１２＝０，x＝０，y＝０，z＝０；２２２（４）z＝１－x－y，y＝x，y＝３x，z＝０．图７－３９解方法一将体积分解为两部分，其中一部分是半径为１，高为（３－２）的圆柱体．另一１部分为个圆柱体，它的半径为１，高为２２．所以２２V１＝πrh＝π·１·３－２１２１V２＝πrh＝π·１·３＋２－３－２＝２π２２V＝V１＋V２＝３π２２方法二V＝簇３－x－yｄxｄy　（其中D：x＋y≤１）D１１－x２＝∫ｄx∫３－x－yｄy课后答案网：www.hackshp.cn－１－１－x２１１－x２＝∫ｄx∫３－xｄy＋０－１－１－x２１２２＝∫６１－x－２x１－xｄx－１１２＝１２∫１－xｄx＋０＝３π．０注意，最后一个等式是利用了单位圆的面积公式．另外多处用到了对称区间上奇偶函数的积分性质．该题也可用极坐标求解：246若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２π１V＝∫ｄθ∫３－rｃｏｓθ－rｓｉｎθrｄr（略）．００（２）V＝簇f（x，y）ｄxｄy　（其中D：x＋y≤０，x＞０，y＞０）D６６－y＝∫ｄy∫６－x＋yｄx００６６－y６１２２１２＝∫６－yx－xｄy＝∫（６－y）－（６－y）ｄy０２００２６１１３＝－·（６－y）＝３６．２３０１２３（３）V＝簇yｄxｄy　（其中D：x＝６－y，x＝０，y＝０．）２２D３４６－y４２１２１２３＝∫ｄy∫yｄx＝∫y６－yｄy００２２０２４３３４＝y－y＝６４－４８＝１６．１６０２２２２（４）V＝簇１－x－yｄxｄy　（D：由x＋y＝１，y＝x，y＝３x所围成）．Dπ１３２＝∫πｄθ∫（１－r）rｄr０４２４１πrrπ＝－＝．１２２４０４８（B）１．填空题：２y２２－ａｒｃｔａｎ抄f（１）已知f（x，y）＝x＋yｅx，则＝　　　　；抄x抄yx＋y（２）设z＝xｅ＋（x＋１）ｌｎ（１＋y），则ｄz＝　　　；（１，０）课后答案网：www.hackshp.cn１２２（３）设f（u）可微，且f′（０）＝，则z＝f（４x－y）在点（１，２）处的全微分２ｄz＝　　　；（１，２）y（４）设z＝xyf，f（u）可导，则xz′x＋yz′y＝　　　；xx２（５）设f（x，y，z）＝ｅyz，其中z＝z（x，y）是由方程x＋y＋z＋xyz＝０确定的隐函数，则f′x（０，１，－１）＝　　　；１y２（６）∫ｄy∫y－xyｄx＝　　　．００247若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２yy－xy－x－ａｒｃｔａｎ答　（１）ｅx；　（２）２ｅｄx＋（２＋ｅ）ｄy；２２x＋yy　　（３）４ｄx－２ｄy；　（４）２xyf；x２　　（５）１；　（６）．９yy抄f－ａｒｃｔａｎ２２－ａｒｃｔａｎ１－y解　（１）＝２xｅx＋x＋yｅx－·２２抄xyx１＋xy－ａｒｃｔａｎ＝２x＋yｅx２yy抄f－ａｒｃｔａｎ－ａｒｃｔａｎ１１＝ｅx＋２x＋yｅx－·２抄x抄yyx１＋x２２yy－x－xy－ａｒｃｔａｎ＝ｅx２２x＋y（２）因为抄zx＋yx＋y抄z＝ｅ＋xｅ＋ｌｎ（１＋y），＝２ｅ抄x抄x（１，０）抄zx＋yx＋１抄z＝xｅ＋，　　＝ｅ＋２抄y１＋y抄y（１，０）故ｄz｜（１，０）＝２ｅｄx＋（ｅ＋２）ｄy．（３）因为抄z２２抄z＝f′（４x－y）·８x，＝８f′（０）＝４．抄x抄x（１，２）抄z２２抄z＝f′（４x－y）·（－２y），＝－４f′（０）＝－２，抄y抄y（１，２）故课后答案网：www.hackshp.cnｄz｜（１，２）＝４ｄx－２ｄy（４）因为２抄zyyyyyy＝yf－xyf′·２＝yf－f′抄xxxxxxx抄zyy１yy＝xf＋xyf′·＝xf＋yf′抄yxxxxx故抄z抄zy２yy２yx＋y＝xyf－yf′＋xyf＋yf′抄x抄yxxxx248若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cny＝２xyf．x（５）因为抄fx２x抄z＝ｅyz＋２ｅyz·抄x抄x抄z１＋yz＝－抄x１＋xy所以抄fx２x１＋yz＝ｅyz＝２ｅyz·抄x１＋xy由此得f′x（０，１，－１）＝１－０＝１．１y１y３２２２１（６）∫ｄy∫y－xyｄx＝∫－（y－xy）２ｄy０００３y０１２２２＝∫yｄy＝０３９２．单项选择题：（１）函数f（x，y）在点P（x，y）的某邻域内偏导数存在且连续是f（x，y）在该点处可微的　　　．（Ａ）必要条件，但不是充分条件；（Ｂ）充分条件，但不是必要条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）既不是充分条件，也不是必要条件．３２２２（２）已知（axy－yｃｏｓx）ｄx＋（１＋byｓｉｎx＋３xy）ｄy为某一函数的全微分，则a，b的值分别为　　　．（Ａ）－２和２；　　（Ｂ）２和－２；　　（Ｃ）－３和３；　　（Ｄ）３和－３．（３）已知函数的全微分课后答案网：www.hackshp.cn２２２２ｄf（x，y）＝（x＋２xy－y）ｄx＋x－２xy－yｄy则f（x，y）＝　　　．３３３３x２２yx２２y（Ａ）－xy＋xy－＋C；　　　　（Ｂ）－xy－xy－＋C；３３３３３３３３x２２yx２２y（Ｃ）＋xy＋xy－＋C；　　　　（Ｄ）＋xy－xy－＋C．３３３３yy（４）函数z＝（１＋ｅ）ｃｏｓx－yｅ的极值点情况是　　　．（Ａ）无极值点；　　　　　（Ｂ）有有限个极值点；（Ｃ）有无穷多个极大值点；　　　　　（Ｄ）有无穷多个极小值点．249若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２２２２（５）设I１＝簇ｃｏｓx＋yｄσ，I２＝簇ｃｏｓx＋yｄσ，I３＝DD２２２２簇ｃｏｓx＋yｄσ，其中D＝x，y｜x＋y≤１，则　　　．D（Ａ）I３＞I２＞I１；　　　　（Ｂ）I１＞I２＞I３；（Ｃ）I２＞I１＞I３；　　　　（Ｄ）I３＞I１＞I２．３２３（６）设D＝x，y｜－３＜x＜－１，０＜y＜１，记I１＝簇yxｄσ，I２＝簇yxDD１３ｄσ，I＝y２xｄx，则下列不等式成立的是　　　．３簇D（Ａ）I１＜I２＜I３；　　　　（Ｂ）I３＜I２＜I１；（Ｃ）I２＜I１＜I３；　　　　（Ｄ）I３＜I１＜I２．πｃｏｓθ２（７）累次积分∫∫f（rｃｏｓθ，rｓｉｎθ）rｄr可写成　　　．００１y－y２１１－y２（Ａ）∫ｄy∫f（x，y）ｄx；　　　　　（Ｂ）∫ｄy∫f（x，y）ｄx；００００１１１x－x２（Ｃ）∫ｄx∫f（x，y）ｄy；　　　　　（Ｄ）∫ｄx∫f（x，y）ｄy００００（８）设f（x，y）连续，且f（x，y）＝xy＋簇f（u，v）ｄuｄv，其中D是由y＝０，y＝D２x，x＝１所围成的区域，则f（x，y）等于　　　．１（Ａ）xy　　　　（Ｂ）２xy　　　　（Ｃ）xy＋　　　　（Ｄ）xy＋１．８答　（１）Ｂ；　（２）Ｂ；　（３）Ｄ；　（４）Ｃ；　　（５）Ａ；　（６）Ｄ；　（７）Ｄ；　（８）Ｃ．解　（１）正确选项为（Ｂ）．关于二元函数连续、偏导数存在与可微三者的相互关系是①若f（x课后答案网：www.hackshp.cn，y）在点x０，y０处可微，则f（x，y）在点x０，y０处连续，且可偏导，但反之未必．②若f（x，y）的两个偏导数f′x（x，y），f′y（x，y）都在点x０，y０处连续，则f（x，y）在点x０，y０处可微，且ｄf｜x，y＝f′xx０，y０ｄx＋f′yx０，y０ｄy，００但反之未必．③f（x，y）在点x０，y０处连续与可偏导（即f′xx０，y０与f′yx０，y０都存在）是互为既不充分又不必要的条件．以上三点要求读者务必掌握，由②可知，偏导数存在且连续是可微的充分条250若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn件，但不是必要条件，故选（Ｂ）（２）正确选项为（Ｂ）．２２抄f抄f分析一：若二阶混合偏导连续，则有＝，因此有抄x抄y抄y抄x２抄f２＝３axy－２yｃｏｓx①抄x抄y２抄f２＝byｃｏｓx＋６xy②抄y抄x由①②两式相等，比较同类项，得a＝２，b＝－２．３２a２３２分析：由f（x，y）＝∫axy－yｃｏｓxｄx＝xy－yｓｉｎx＋φ（y）２２２b２２３与f（x，y）＝∫１＋byｓｉｎx＋３xyｄy＝y＋yｓｉｎx＋xy＋ψ（x）．２比较同类项系数，可得a＝２，b＝－２．（３）正确选项为（Ｄ）．方法一对（Ａ），（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ）所给出的４个函数求全微分，可知（Ｄ）正确．方法二由∫f′x（x，y）ｄx＝∫f′y（x，y）ｄy＝f（x，y）通过积分，求出f（x，y）．２２１３２２∫f′x（x，y）ｄx＝∫x＋２xy－yｄx＝x＋xy－xy＋φ（y）３２２２２１３∫f′y（x，y）ｄy＝∫x－２xy－yｄy＝xy－xy－y＋ψ（x）３１３１３比较两式可知φ（y）＝－y＋C，ψ（x）＝x＋C．３３从而可知应选（Ｄ）．比较两种方法，第一种更方便些．因为全微分很容易求．（４）正确选项为（Ｃ）．①由极值存在的必要条件抄zy课后答案网：www.hackshp.cn＝－１＋ｅｓｉｎx＝０　①抄x抄zyyyy＝ｅｃｏｓx－ｅ－yｅ＝ｅｃｏｓx－１－y＝０　②抄y由①式得x＝nπ．将x＝２nπ代入②式，求出y＝０，得驻点（２nπ，０）．当x＝（２n＋１）π时，由②可得y＝－２，得驻点（（２n＋１）π，－２）所以驻点为（２nπ，０），（（２n＋１）π，－２）　n为整数２２２抄zy抄zy抄zy２＝－１＋ｅｃｏｓx，＝－ｅｓｉｎx，２＝ｃｏｓx－２－yｅ抄x抄xy抄y251若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（ｉ）A｜（２nπ，０）＝－２＜０，B｜（２nπ，０）＝０，C｜（２nπ，０）＝－１，２B－AC＜０，所以（２nπ，０）为极大值点．－２－２（ｉｉ）A｜（２n＋１）π，－２）＝１＋ｅ＞０，B｜（２n＋１）π，－２）＝０，C｜（２n＋１）π，－２）＝－ｅ２B－AC＞０，故点（（２n＋１）π，０）不是极值点，该函数有无穷多个极大值点，故选（Ｃ）．２２２２２２２２２（５）因为x＋y≤１，故有０≤x＋y≤x＋y≤x＋y≤１，又ｃｏｓx在２２２２２２２（０，１）内为减函数，所以ｃｏｓx＋y≥ｃｏｓx＋y≥ｃｏｓx＋y．于是，在区域D上的二重积分有I１＞I２＞I３．正确选项为（Ｂ）．（６）正确选项为（Ｄ）．１３２当x∈（－３，－１），y∈（０，１）时，有x＜０，y＜y＜y２，故１３３３２xy２＜xy＜xy．所以１３３３２簇xy２ｄσ＜簇xyｄσ＜簇xyｄσ．DDD即I３＜I１＜I２．（７）正确选项为（Ｄ）πｃｏｓθ２根据累次积分∫ｄθ∫f（rｃｏｓθ，rｓｉｎθ）rｄr可以画出积分区域图如图００２１２１７－４０．现需将极坐标化为直角坐标，此时圆方程为x－＋y＝，y＞０，即２４２y＝x－x，于是，在直角坐标系下的二重积分为１x－x２∫ｄx∫f（x，y）ｄy．００课后答案网：www.hackshp.cn图７－４０图７－４１252若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（８）正确选项为（Ｃ）．对于选项（Ｂ）应直接排除，因二重积分为常数，故f（x，y）只可能是xy＋C．设簇f（u，v）ｄuｄv＝A．则D１x２１x２A＝簇f（x，y）ｄxｄy＝∫xｄx∫yｄy＋A∫ｄx∫ｄy００００D１１１４１１６１１１＝∫x·xｄx＋A＝x＋A＝＋A０２３１２０３１２３１由此得A＝．所以８１f（x，y）＝xy＋．８v２２y３．z＝u，u＝ｌｎx＋y，v＝ａｒｃｔａｎ，求ｄz．x解因为抄z抄z抄u抄z抄v＝＋抄x抄u抄x抄v抄xv－１xv１y＝vu·２２＋uｌｎu·２·－２x＋yyx１＋xv－１xyv＝vu·２２－２２uｌｎux＋yx＋y抄zv－１yxv＝vu·２２＋２２uｌｎu抄yx＋yx＋y所以vuxvyvｄz＝２２－yｌｎuｄx＋＋xｌｎuｄyx＋yuu２x抄z４．设z＝课后答案网：www.hackshp.cnｓｉｎxy＋φx，，求，其中φ（u，v）有二阶偏导数．y抄x抄y解因为抄z１＝yｃｏｓxy－φ′１＋φ′２抄xy所以２抄zx１＝ｃｏｓxy－xyｓｉｎxy－φ″１１·０－φ″１２·－２－２φ′２抄x抄yyy１１x　＋φ″２１·０＋φ″２２·－２．yyy253若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx１x＝ｃｏｓxy－xyｓｉｎxy＋２φ″１２－２φ′２－３φ″２２．yyy２抄z５．已知z＝f（u，v），u＝x＋y，v＝xy，且f（u，v）的二阶偏导数都连续，求．抄x抄y抄z抄u抄v解＝f′１＋f′２＝f′１·１＋yf′２抄x抄x抄x２抄z抄u抄v抄u抄v＝f″１１·＋f″１２·＋f′２＋yf″２１·＋yf″２２抄x抄y抄z抄y抄y抄y＝f″１１＋xf″１２＋f′２＋yf″２１＋yxf″２２＝f″１１＋x＋yf″１２＋f′２＋xyf″２２．６．设f（u，v）具有二阶连续偏导数，且满足２２抄f抄f２＋２＝１，又抄u抄v１２２g（x，y）＝fxy，x－y２２２抄g抄g求２＋２．抄x抄y１２２解设u＝xy，v＝x－y，则２抄g抄f抄u抄f抄v抄f抄f＝＋＝y＋x抄x抄u抄x抄v抄x抄u抄v２２２２２抄g抄f抄u抄f抄v抄f抄f抄u抄f抄v２＝y２＋y＋＋x＋x２抄x抄u抄x抄u抄v抄x抄v抄v抄u抄x抄v抄x２２２２抄f抄f抄f抄f抄f＝y２·y＋y·x＋＋x·y＋x２·x抄u抄u抄v抄v抄v抄u抄v２２２２抄f２抄f抄f抄f＝y２＋x２＋２xy＋抄u抄v抄u抄v抄v抄g抄f抄u抄f抄v抄f抄f＝＋＝x－y抄y课后答案网：www.hackshp.cn抄u抄y抄v抄y抄u抄v２２２２２抄g抄f抄u抄f抄v抄f抄f抄u抄f抄v２＝x２·＋·－－y＋２抄y抄u抄y抄u抄v抄y抄v抄v抄u抄y抄v抄y２２２２抄f抄f抄f２抄f＝x２－２xy－＋y２抄u抄u抄v抄v抄v２２２２２２抄g抄g２２抄f２２抄f２２抄f抄f２＋２＝x＋y２＋x＋y２＝x＋y２＋２抄x抄y抄u抄v抄u抄v２２＝x＋y．２２z抄z７．设x＋z＝yφ，其中φ为可微函数，求．y抄y254若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解用隐函数求导法，设２２zF（x，y，z）＝x＋z－yφ．y则抄Fzzz－φ－uφ′·－２抄z抄yyyy＝－＝－抄y抄Fz１２z－yφ′·抄zyyzzzφ－φ′yyy＝z２z－φ′yzzyφ－zφ′yy＝z２yz－yφ′y８．已知xy＝xf（z）＋yg（z），xf′（z）＋yg′（z）≠０，其中z＝z（x，y）是x和y的函数，求证抄z抄zx－g（z）＝y－f（z）．抄x抄y证设F（x，y，z）＝xy－xf（z）－yg（z），则抄zF′xy－f（z）y－f（z）＝－＝－＝抄xF′z－xf′（z）－yg′（z）xf′（z）＋yg′（z）抄zF′yx－g（z）x－g（z）＝－＝－＝抄yF′z－xf′（z）－yg′（z）xf′（z）＋yg′（z）所以抄zx－g（z）·y－f（z）·x－g（z）＝抄xxf′（z）＋yg′（z）抄zy－f（z）x－g（z）·y－f（z）＝抄y课后答案网：www.hackshp.cnxf′（z）＋yg′（z）由此可知等式成立．xyz９．设函数u＝f（x，y，z）有连续偏导数，且z＝z（x，y）由方程xｅ－yｅ＝zｅ所确定，求ｄu．抄u抄z解＝f′x＋f′z抄x抄x抄u抄z＝f′y＋f′z抄y抄y抄z抄z为求和，用隐函数求导法．抄x抄y255若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxyz设F（x，y，z）＝xｅ－yｅ－zｅ，则xxxx抄zF′xｅ＋xｅｅ＋xｅ１＋xx－z＝－＝－zz＝zz＝ｅ抄xF′z－ｅ－zｅｅ＋zｅ１＋zyy抄zF′y－ｅ－yｅ１＋yy－z＝－＝zz＝－ｅ抄yF′zｅ＋zｅ１＋z抄u抄u所以ｄu＝ｄx＋ｄy抄x抄y１＋xx－z１＋yy－z＝f′x＋ｅf′zｄx＋f′y＋ｅf′zｄy１＋z１＋zxy１０．设u＝f（x，y，z）有连续偏导数，y＝y（x）和z＝z（x）分别由方程ｅ－y＝zｄu０和ｅ－xz＝０所确定，求．ｄxｄu抄f抄fｄy抄fｄz解＝＋＋ｄx抄x抄yｄx抄zｄxxy而由方程ｅ－y＝０对x求导，可得xyｅy＋xy′－y′＝０，xy２yｅy从而y′＝xy＝１－xｅ１－xyx由方程ｅ－xz＝０两边对x求导，得zｅz′－z－xz′＝０，zz从而有z′＝z＝ｅ－xxz－x所以２ｄu抄fy抄fz抄f＝＋＋．ｄx抄x１－xy抄yxz－x抄z１１．函数z＝z（x，y）由方程２２２zx＋y＋z＝yfy所确定，证明课后答案网：www.hackshp.cn２２２抄z抄zx＋y＋z＋２xy＝２xz．抄x抄y２２２z证设F（x，y，z）＝x＋y＋z－yf，则y抄zF′x２x２x＝－＝－＝抄xF′z２z－f′f′－２zzz２y－f－yf′·－２２y－f＋f′抄zF′yyy＝－＝－＝抄yF′z２z－f′f′－２z256若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn所以z２y－f＋f′２２２抄z抄z２２２２xyx－y－z·＋２xy＝x－y－z·＋２xy抄x抄yf′－２zf′－２z２２２２２xx－y－z＋２y－yf＋zf′＝f′－２z２２２２２２２xx＋y－z－x－y－z＋zf′＝f′－２z２xz（f′－２z）＝＝２xz．f′－２z１２．函数z＝z（x，y）由方程zzFx＋，y＋＝０yx所确定，证明抄z抄zx＋y＝z－xy．抄x抄y证因为zF′１＋F′２·－２抄zF′xxx＝－x＝－x抄xF′z１１F′１·＋F′２·yxzF′２－xF′１２xyzF′２－xyF′１＝＝１１xF′１＋yF′２F′１＋F′２yxz－２F′１＋F′２抄zF′yyy＝－y＝－y抄yF′z１１F′１＋F′２yxz课后答案网：www.hackshp.cnF′１－yF′２２yxzF′１－xyF′２＝＝１１xF′１＋yF′２F′１＋F′２yx所以２２抄z抄zyzF′２－xyF′１＋xzF′１－xyF′２x＋y＝抄x抄yxF′１＋yF′２zyF′２＋xF′１－xyxF′１＋yF′２＝xF′１＋yF′２＝z－xy．257若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxy１３．计算二重积分簇yｄxｄy，D是由x＝０，y＝０，＋＝１（a＞０，b＞abD０）围成的平面区域．解积分区域D如图７－４２所示．２yba１－b簇yｄxｄy＝∫yｄy∫ｄx００Db２y＝∫ay１－ｄy０bb２yy＝a∫y－２y＋ｄy０bb２３by２２５１y图７－４２＝a－·y２＋·２b５b３０２２b４２１２ab＝a－b＋b＝．２５３３０－x２＋y２－π２２１４．计算二重积分簇ｅｓｉｎx＋yｄxｄyD２２其中D＝x，y｜x＋y≤π解积分区域为圆，故用极坐标，D＝r，θ｜０≤θ≤２π，０≤r≤π．－x２＋y２－π２２簇ｅｓｉｎx＋yｄxｄyD２ππ－r２＋π２＝∫ｄθ∫ｅｓｉｎr·rｄr００ππ－r２２π＝２πｅ∫ｅｓｉｎr·rｄr＝２πｅI（倡）０其中ππ－r２２１２－r２I＝∫ｅｓｉｎr·rｄr＝－∫ｓｉｎrｄｅ课后答案网：www.hackshp.cn０２０ππ１－r２２－r２２＝－ｅｓｉｎr－∫ｅｄｓｉｎr２００π１－r２２＝∫ｅｃｏｓr·２rｄr２０π１２－r２＝－∫ｃｏｓrｄｅ２０ππ１２－r２－r２２＝－ｃｏｓr·ｅ－∫ｅｄｃｏｓr２００258若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnπ１－π－r２２＝－－ｅ－１＋２∫ｅｓｉｎr·rｄr２０１－π＝ｅ＋１－I２１－π所以I＝ｅ，代入（倡）式得４π１－πππ原式＝２πｅ·１＋ｅ＝ｅ＋１．４２２２２２２１５．计算二重积分簇x＋y＋yｄxｄy，其中D是由x＋y＝４和（x＋１）D２＋y＝１所围成的平面区域．解积分区域D如图７－４３所示．图７－４３２２２２簇x＋y＋yｄxｄy＝簇x＋y＋yｄxｄyDx２＋y２≤２　－２２簇x＋y＋yｄxｄyD１其中课后答案网：www.hackshp.cn２π２２２簇x＋y＋yｄxｄy＝∫ｄθ∫r＋rｓｉｎθrｄr００x２＋y２≤２２π２１３１３＝∫r＋rｓｉｎθｄθ０３３０８１６＝·２π＋０＝π３３３π－２ｃｏｓθ２２２簇x＋y＋yｄxｄy＝∫πｄθ∫r＋rｓｉｎθrｄr０D２１259若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３π－２ｃｏｓθ２１３３＝∫r＋rｓｉｎθｄθπ３０２３π２８３３＝－∫ｃｏｓθ＋ｃｏｓθｓｉｎθｄθ３π２３π２８２＝－∫１－ｓｉｎθｄｓｉｎθ＋０３π２３π２８１３＝－ｓｉｎθ－ｓｉｎθ３３π２８１１３２＝－－１－１＋＋＝３３３９所以１６３２原式＝π－３９需要说明一下，有的读者对直角坐标化极坐标时，r的积分限不知如何确定，其实，只要把x＝rｃｏｓθ，y＝rｓｉｎθ代入边界方程中，从中解出r即可．以１５题２２为例．对圆（x＋１）＋y＝１，化为极坐标２２２rｃｏｓθ＋１＋rｓｉｎθ＝１．２得２rｃｏｓθ＋r＝０，从而r＝－２ｃｏｓθ，r＝０　这就是r的上、下限课后答案网：www.hackshp.cn260若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第八章无穷级数习题八（A）１．写出下列级数的一般项：３４５（１）１－＋－＋…；２３４１１１（２）１＋＋＋＋…；３５７１２３４（３）＋＋＋＋…；２５１０１７１３１５１７１９（４）x－x＋x－x＋…．３５７９解n－１n＋１（１）un＝（－１），n＝１，２，３，…n１（２）un＝，n＝１，２，３，…２n－１n（３）un＝２，n＝１，２，３，…n＋１n－１（－１）２n＋１（４）un＝课后答案网：www.hackshp.cnx，n＝１，２，３，…２n＋１∞３n２．已知级数钞un的部分和Sn＝，求u１、u２和un．n＝１２n＋１解u１＝S１＝１６１u２＝S２－S１＝－１＝５５３n３n－３３un＝Sn－Sn－１＝－＝２．２n＋１２n－１４n－１３．证明下列级数收敛，并求其和：261若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞∞１n＋１－n（１）钞；　　　（２）钞；n＝１２n－１２n＋１n＝１n２＋n∞∞２n＋１（３）钞２２；　　　　（４）钞n＋２－２n＋１＋n．n＝１n（n＋１）n＝１解（１）因为１１１１＝－，n＝１，２，３，…２n－１２n＋１２２n－１２n＋１所以，部分和为nn１１１１Sn＝钞＝钞－k＝１（２k－１）（２k＋１）２k＝１２k－１２k＋１１１１１１１＝１－＋－＋…＋－２３３５２n－１２n＋１１１＝１－２２n＋１于是得１ｌｉｍSn＝n→∞２１该级数收敛，其和为．２（２）部分和为nk＋１－kSn＝钞k＝１k（k＋１）n１１１＝钞－＝１－k＝１kk＋１n＋１所以１ｌｉｍSn＝ｌｉｍ１－＝１课后答案网：www.hackshp.cnn→∞n→∞n＋１该级数收敛，其和为１．（３）因为nn２k＋１１１１Sn＝钞２２＝钞２－２＝１－２k＝１k（k＋１）k＝１k（k＋１）（n＋１）所以１ｌｉｍSn＝ｌｉｍ１－２＝１n→∞n→∞（n＋１）该级数收敛，其和为１．262若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（４）因为nSn＝钞k＋２－２k＋１＋kk＝１n＝钞k＋２－k＋１－k＋１－kk＝１n１１＝钞－k＝１k＋２＋k＋１k＋１＋k１１＝－，n＝１，２，３，…n＋２＋n＋１２＋１所以１１ｌｉｍSn＝ｌｉｍ－n→∞n→∞n＋２＋n＋１２＋１１＝－＝－２－１＝１－２２＋１该级数收敛，其和为１－２．４．利用无穷级数性质，以及几何级数和调和级数的敛散性，判别下列级数的敛散性：∞∞πn－n（１）钞ｃｏｓ；　　　　　（２）钞；n＝１n＋１n＝１３n－５∞１１１１１（３）２＋＋钞n；　　　（４）＋＋＋…；５n＝１３１５１６１７∞n∞n－１５１n（５）钞（－１）；　　　（６）钞n（ｌｎ２）；n＝１７n＝１２∞n∞１３２n－１（７）钞n＋n；　　　　　（８）钞n．n＝１２５n＝１３解课后答案网：www.hackshp.cnπ（１）∵ｌｉｍun＝ｌｉｍｃｏｓ＝１≠０n→∞n→∞２n＋１∴该级数发散．１１－n－nn１（２）∵ｌｉｍun＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝≠０n→∞n→∞３n－５n→∞５３３－n∴该级数发散．∞∞１１１（３）因为几何级数钞n的公比｜q｜＝＜１，所以钞n收敛．n＝１３３n＝１３263若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数∞１１２＋＋钞n５n＝１３收敛．∞１１１（４）＋＋…＝钞１５１６n＝１５n∞１４∞１１１因调和级数钞发散，故去掉有限项钞后的级数钞仍发散．n＝１nn＝１nn＝１５n∞n５５５（５）原级数＝－钞－，而－＝＜１，由几何级数的敛散性知，n＝１７７７该级数收敛．∞nｌｎ２ｌｎ２（６）原级数＝钞，因＜１，故该级数收敛．n＝１２２∞n∞n∞n１３１３（７）因钞与钞均为收敛的几何级数，故钞n＋n收n＝１２n＝１５n＝１２５敛．（８）因为２n－１３n－（n＋１）nn－１un＝n＝n＝n－１－n３３３３所以nnnn＋１Sn＝钞uk＝钞n－１－nk＝１k＝１３３２２３nn＋１＝１－＋－２＋…＋n－１－n３３３３３n＋１＝１－n１（n→∞）３∞２n－１即级数钞n收敛，且其和为１．n＝１课后答案网：www.hackshp.cn３５．用比较判别法或其极限形式，判别下列级数的敛散性：∞∞１π（１）钞２；　　　　　（２）钞ｓｉｎn；n＝１９n－５n＝１３∞∞１ππ（３）钞；　　　　　（４）钞＋ｔａｎ；n＝１３n＝３nn９n＋５∞∞２２１n＋１１＋n（５）钞ｌｎ；　　　　（６）钞３；n＝２nn－１n＝１１＋n∞∞p１１（７）钞n（a＞０）；　　　（８）钞１－ｃｏｓ（p＞０）．n＝１１＋an＝１n264若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１解　（１）因为un＝＞＝vn（n＝１，２，…），而由调和级数发散，可２３n９n－５∞∞∞１１１１知级数钞３n＝３钞n发散．所以，由比较判别法可知，级数钞２发n＝１n＝１n＝１９n－５散．∞πππ（２）因为un＝ｓｉｎn＜n＝vn（n＝１，２，…），而几何级数钞n＝３３n＝１３∞n∞１１１ππ钞＝＜１收敛．所以，由比较判别法可知，级数钞ｓｉｎnn＝１３３３n＝１３收敛．∞１１（３）因为un＝＜３／２＝vn（n＝１，２，…），而p级数钞vn＝３９n＋５３nn＝１∞∞１３１钞３／２收敛p＝２＞１．所以，由比较判别法可知，级数钞３收敛．n＝１３nn＝１９n＋５ππ１（４）设un＝ｔａｎ＞０（n≥３），vn＝２，则nnnun２ｔａｎ（π／n）２＝π·→π　（n→∞）vn（π／n）∞２１因０＜π＜＋∞，且p级数钞２收敛（p＝２＞１）．所以，由极限形式的比较判别n＝１n∞ππ法可知，级数钞ｔａｎ收敛．n＝１nn１n＋１１（５）设un＝ｌｎ＞０（n≥２），vn＝３／２，则nn－１nunn＋１２＝nｌｎ＝nｌｎ１＋vnn－１n－１２nn－１２＝·ｌｎ１＋课后答案网：www.hackshp.cnn－１２n－１（n－１）／２２２＝·ｌｎ１＋→２（n→∞）１n－１１－n∞∞１３因p级数钞vn＝钞３／２收敛p＝＞１．所以，由极限形式的比较判别法可n＝１n＝１n２∞１n＋１知，级数钞ｌｎ收敛．n＝１nn－１２２１＋n１（６）设un＝３，vn＝２，则１＋nn265若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１２２１＋２un１＋n２n＝３·n＝→１（n→∞）vn１＋n１１＋３n∞１因为p级数钞２收敛（p＝２＞１）．所以，由极限形式的比较判别法可知，级数n＝１n∞２２１＋n钞３收敛．n＝１１＋n（７）因为１　　　０＜a＜１时，ｌｉｍun＝ｌｉｍn＝１≠０n→∞n→∞１＋a１１１a＝１时，un＝n＝→≠０（n→∞）１＋１２２∞１所以，０＜a≤１时，级数钞n发散．n＝１１＋a∞n１１１因为a＞１时，un＝n＜n＝vn（n＝１，２，…），而几何级数钞收１＋aan＝１a∞１１敛＜１．所以，a＞１时，级数钞n收敛．an＝１１＋a（８）设ppp１２２１un＝１－ｃｏｓ＝１－ｃｏｓ＝１－１－２ｓｉｎn２n２n２pp１＝２ｓｉｎ２n２p１２vn＝２p＝２pn（２n）则２p２p课后答案网：www.hackshp.cnp１１２ｓｉｎｓｉｎun２n１２n１＝２p＝p→p（n→∞）vn２p１２１２２２n２n于是，由极限形式的比较判别法可知，∞p１１　　２p＞１，即p＞时，级数钞１－ｃｏｓ收敛；２n＝１n∞p１１　　２p≤１，即０＜p≤时，级数钞１－ｃｏｓ发散．２n＝１n６．利用比值判别法判别下列级数的敛散性：266若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞∞２n！n（１）钞n（a＞０）；　　　　　（２）钞n（a＞０）；n＝１an＝１a∞∞n！n１２n（３）钞nx（x＞０）；　　　（４）钞２x；n＝１nn＝１n∞∞１·３·５·…·（２n－１）２π（５）钞n（６）；　　　钞nｓｉｎn；n＝１３·n！n＝１２∞∞nππ（７）钞３ｔａｎ２；　　　（８）钞nｔａｎn．n＝１nn＝１２解　（１）因为nun＋１（n＋１）！an＋１＝n＋１·＝→＋∞unan！a∞n！所以，由比值判别法知，级数钞n发散．n＝１a（２）因为２n２un＋１（n＋１）a１n＋１１＝n＋１·２＝→（n→∞）unanana所以，由比值判别法可知：∞２１na＞１＜１时，级数钞n收敛；an＝１a∞２１n　　０＜a＜１＞１时，级数钞n发散；an＝１a而a＝１时，原级数化为∞２∞n２钞n＝钞nn＝１an＝１∞２２n因un＝n→＋∞≠０，所以，a＝１时，级数钞n发散．n＝１a（３）因为课后答案网：www.hackshp.cnn＋１nnun＋１（n＋１）！xnnx＝n＋１·n＝x→（n→∞）un（n＋１）n！xn＋１ｅ所以，由比值判别法可知：∞xn！n＜１，即０＜x＜ｅ时，级数钞nx收敛；ｅn＝１n∞xn！n＞１，即x＞ｅ时，级数钞nx发散．ｅn＝１n另外，x＝ｅ时，原级数化为267若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞∞nn！nｅ钞nｅ＝钞·n！n＝１nn＝１n因为un＋１n＋１ｅ１ｅ＝（n＋１）！·n＝nunn＋１ｅ１n！１＋nnn１而１＋＜３（见书中第二章），故有nun＋１ｅ＞痴３un＋１－ｅun＞０un３设ｌｉｍun＝A，则由上式两边取极限，有n→∞３A－ｅA＝（３－ｅ）A＞０∞n！n由此得ｌｉｍun＝A＞０（≠０）．因此，x＝ｅ时，级数钞nｅ发散．n→∞n＝１n∞n！n综上所述，级数钞nx（x＞０），当０＜x＜ｅ时，收敛；当x≥ｅ时，发散．n＝１n（４）因为２（n＋１）２２un＋１xnn２２＝２·２n＝x→x（n→∞）un（n＋１）xn＋１所以，由比值判别法可知：∞１２n　　｜x｜＜１时，级数钞２x，收敛；n＝１n∞１２n　　｜x｜＞１时，级数钞２x，发散；n＝１n∞１　　｜x｜＝１时，级数化为钞２，收敛．n＝１n∞１２n总之，级数课后答案网：www.hackshp.cn钞２x，当｜x｜≤１时，收敛；当｜x｜＞１时，发散．n＝１n（５）因为nun＋１１·３·５·…·（２n－１）（２n＋１）３·n！＝n＋１·un３（n＋１）！１·３·５·…·（２n－１）１２n＋１２＝·→＜１（n→∞）３n＋１３∞１·３·５·…·（２n－１）所以，由比值判别法可知，级数钞n收敛．n＝１３·n！（６）因为268若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２ππ（n＋１）ｓｉｎn＋１２ｓｉｎn＋１un＋１２n＋１２＝＝·un２πnππnｓｉｎn２ｓｉｎn＋１·ｃｏｓn＋１２２２２１１１＝１＋·→＜１（n→∞）nπ２２ｃｏｓn＋１２∞２π所以，由比值判别法可知，级数钞nｓｉｎn收敛．n＝１２（７）因为n＋１ππ３ｔａｎ２ｔａｎ２un＋１（n＋１）（n＋１）＝＝３·unnππ３ｔａｎ２ｔａｎ２nnπ２２（n＋１）n～３·＝３·→３＞１（n→∞）πn＋１２n∞nπ所以，由比值判别法可知，级数钞３ｔａｎ２发散．n＝１n（８）因为π（n＋１）ｔａｎn＋１n＋１un＋１２１π／２＝～１＋nunπnπ／２nｔａｎn２１１１＝１＋→＜１（n→∞）２n２∞π所以，由比值判别法可知，级数钞nｔａｎn收敛．n＝１２倡课后答案网：www.hackshp.cn７．利用根式判别法判别下列级数的敛散性：∞n∞nn１（１）钞；　　　　（２）钞ａｒｃｓｉｎ；n＝１３n＋２n＝１n∞n２∞p１n＋１n（３）钞n；　　　（４）钞n（p＞０）；n＝１３nn＝１２∞∞１３n（５）钞n；　　　（６）钞（３x）（x＞０）．n＝１ｌｎ（１＋n）n＝１nn１解　（１）因为un＝→＜１（n→∞）３n＋２３269若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞nn所以钞收敛n＝１３n＋２n１（２）因为un＝ａｒｃｓｉｎ→０＜１（n→∞）n∞n１所以钞ａｒｃｓｉｎ收敛．n＝１nnn１１ｅ（３）因为un＝１＋→＜１（n→∞）３n３∞n２１n＋１所以钞n收敛．n＝１３nn１p／n１１／n１（４）因为un＝·n＝np→＜１（n→∞）２２２∞pn所以钞n收敛．n＝１２１／n注：其中利用了ｌｉｍn＝１．n→∞n１（５）因为un＝→０＜１（n→∞）ｌｎ（１＋n）∞１所以钞n收敛．n＝１ｌｎ（１＋n）n３（６）因为un＝３x１／３∞３１３n所以当　０＜３x＜１，即０＜x＜时，钞３x收敛；３n＝１１／３∞３１３n３x＞１，即x＞时，钞３x发散；３n＝１∞∞３３nn３x＝１时，钞３x＝钞１，发散．n＝１n＝１８．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？∞n－１∞n－１（－１）（－１）（１）钞；　　　　　　　（２）钞；n＝１课后答案网：www.hackshp.cnｌｎ（１＋n）n＝１１ｌｎ１＋n∞∞n１nπ２nπ（３）钞nｓｉｎ；　　　（４）钞n！ｓｉｎ；n＝１３５n＝１n７∞n－１∞１／２（－１）n２nn（n＋１）（５）钞·２；　　　　　（６）钞（－１）；n＝１n！n＝２（n－１）（n＋２）∞n－１n∞n－１（－１）２＋（－１）（－１）（７）钞５／４；　　　　（８）钞n－n．n＝１nn＝１ｌｎｅ＋ｅ１解　（１）设un＝，则ｌｎ（１＋n）270若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnun＋１＜un（n＝１，２，…），ｌｉｍun＝０n→∞因此，由莱布尼茨判别法知，级数∞n－１（－１）钞n＝１ｌｎ（１＋n）收敛．又因为级数∞n－１∞（－１）１钞＝钞n＝１ｌｎ（１＋n）n＝１ｌｎ（１＋n）发散，所以，级数∞n－１（－１）钞n＝１ｌｎ（１＋n）为条件收敛．（２）因为１ｌｉｍun＝ｌｉｍ＝＋∞≠０n→∞n→∞１ｌｎ１＋n所以，级数∞n－１（－１）钞n＝１１ｌｎ１＋n发散．（３）因为１nπ１｜un｜＝nｓｉｎ≤n３５３∞１１而几何级数钞n收敛｜q｜＝＜１．所以，级数n＝１３３∞１nπ钞nｓｉｎn＝１３５课后答案网：www.hackshp.cn绝对收敛．（４）因为n２nπn！n｜un｜＝n！ｓｉｎ≤n·２n７n∞n！n而由题６（３）可知，级数钞n·２收敛（x＝２＜ｅ），所以，级数n＝１n∞n２nπ钞n！ｓｉｎn＝１n７绝对收敛．271若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（５）因为（n＋１）２２n＋１un＋１２n！２＝·n２＝→＋∞（n→∞）un（n＋１）！２n＋１可见ｌｉｍ｜un｜≠０痴ｌｉｍun≠０．所以，级数n→∞n→∞∞n－１（－１）n２钞２n＝１n！发散．（６）因为１／２２１／２n（n＋１）n＋n｜un｜＝＝２→１≠０（n→∞）（n－１）（n＋２）n＋n－２所以，级数∞１／２nn（n＋１）钞（－１）n＝２（n－１）（n＋２）发散．（７）因为n２＋（－１）３｜un｜＝５／４≤５／４（n≥１）nn∞３５而p级数钞５／４收敛p＝＞１．所以，级数n＝１n４∞nn－１２＋（－１）钞（－１）５／４n＝１n绝对收敛．（８）因为１un＋１＝n＋１－（n＋１）ｌｎｅ＋ｅ１＝n－n－２１＋ｌｎｅ＋ｅ课后答案网：www.hackshp.cn１＜n－n＝un　（n＝１，２，…）ｌｎｅ＋ｅ且１ｌｉｍun＝ｌｉｍn－n＝０n→∞n→∞ｌｎｅ＋ｅ所以，由莱布尼茨判别法知，级数∞n－１（－１）钞n－nn＝１ｌｎｅ＋ｅ收敛．272若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn另一方面，因为n－nn－２nｌｎｅ＋ｅ＝ｌｎｅ１＋ｅ－２n＝n＋ｌｎ１＋ｅ＜n＋２故１１｜un｜＝n－n＞ｌｎｅ＋ｅn＋２∞１而调和级数钞发散，故级数n＝１n＋２∞１钞n－nn＝１ｌｎｅ＋ｅ发散．综上所述，级数∞n－１（－１）钞n－nn＝１ｌｎｅ＋ｅ条件收敛．９．求下列幂级数的收敛区间或收敛域：∞n－１∞（－１）nnn（１）钞·５·x；　　　　　（２）钞n！x；n＝１nn＝０∞∞n１２n＋１２n（３）钞nx；　　　　（４）钞２x；n＝１２n＝０１＋n∞n－１∞n（－１）n／２３２n（５）钞nx（x≥０）；　　　　（６）钞x；n＝１n３n＝１２n－１∞nn∞２n＋１n（７）钞·x；　　　　　（８）钞n；n＝１nn＝１x∞∞nn２nx（９）钞qx（０＜q＜１）；　　　　（１０）钞nn（a＞０，b＞０）；n＝０n＝０a＋b∞n－１∞nn（－１）n３＋（－２）n（１１）钞２（x－１）；　　　　（１２）钞（x＋１）．n＝１课后答案网：www.hackshp.cnnn＝１nn－１（－１）n解　（１）an＝·５，因为nn＋１an＋１５nn＝·n＝５·→５（n→∞）ann＋１５n＋１１所以，收敛半径R＝．５∞n－１n∞１（－１）n１１１x＝－时，钞５－＝钞，为发散的p级数p＝＜５n＝１n５n＝１n２273若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１；∞n－１n∞n－１１（－１）n１（－１）x＝时，钞５＝钞，由莱布尼茨判别法易知，５n＝１n５n＝１n此级数收敛．１１综上所述，所给幂有数的收敛域为－，．５５（２）因为an＋１（n＋１）！＝＝n＋１→＋∞（n→∞）ann！∞n所以，幂级数钞n！x的收敛域为｛０｝．n＝０（３）由于该幂级数的偶次项系数a２n＝０（n＝１，２，…），故不宜用通常方法求收敛半径．下面改用比值判别法求解．２n＋３nun＋１x２１２ｌｉｍ＝ｌｉｍn＋１·２n＋１＝xn→∞unn→∞２x２由比值判别法可知：１２x＜１即｜x｜＜２时，该幂级数绝对收敛；２１２x＞１即｜x｜＞２时，该幂级数发散．２∞x＝±２时，原幂级数＝±钞２，显然发散．n＝１∞１２n＋１综上所述，幂级数钞nx的收敛半径为R＝２，收敛区间为（－２，n＝１２２）．n２（４）an＝课后答案网：www.hackshp.cn２．因为１＋nn＋１２２an＋１２１＋n１＋n＝２·n＝２·２→２（n→∞）an１＋（n＋１）２１＋（n＋１）１所以，收敛半径为R＝．３１x＝±时：２∞n（±１）原幂级数＝钞２，该级数绝对收敛．n＝０１＋n274若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞n２n１１因此，幂级数钞２x的收敛域为－，．n＝０１＋n２２（５）令t＝x（x≥０），则∞n－１（－１）n原幂级数＝钞ntn＝１n·３先求此幂级数的收敛域，由于nan＋１n·３１n１＝n＋１＝·→（n→∞）an（n＋１）３３n＋１３所以，该幂级数收敛半径为R＝３．t＝０时，显然收敛；∞n－１（－１）t＝３时，得级数钞，由莱布尼茨判别法可知，收敛．n＝１n∞n－１（－１）n因此新幂级数钞nt的收敛域为［０，３］．n＝１n·３∞n－１２（－１）n／２由x＝t，可得原幂级数钞nx的收敛域为［０，９］．n＝１n·３２（６）令t＝x，则∞n３n原幂级数＝钞tn＝１２n－１由于n＋１an＋１３２n－１２n－１＝·n＝３·→３（n→∞）an２n＋１３２n＋１１所以，新幂级数的收敛半径为R＝．２∞１１t＝时，新幂级数＝钞，发散；３n＝１２n－１１因此，新级数的收敛区间为课后答案网：www.hackshp.cn０，（注意：t≥０）．３３３由｜x｜＝t可得，原幂级数的收敛区间为－，．３３（７）因为nn１｜un｜＝１＋｜x｜→ｅ｜x｜（n→∞）n所以，由根值判别法可知：１ｅ｜x｜＜１即｜x｜＜时，该级数绝对收敛；ｅ275若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１ｅ｜x｜＞１即｜x｜＞时，该级数发散；ｅnn１１１　　｜x｜＝±时，un＝１＋／　０（n→∞），级数发散．ｅnｅ∞nn１１１因此，级数钞１＋x的收敛半径为R＝，收敛区间为－，n＝１nｅｅ１．ｅ（８）因为２n２un＋１（n＋１）｜x｜n＋１１１＝n＋１·２＝·→（n→∞）un｜x｜nn｜x｜｜x｜所以，由比值判别法知：１＜１即｜x｜＞１时，该级数绝对收敛；｜x｜１＞１即｜x｜＜１时，该级数发散．｜x｜∞∞２２｜x｜＝１时，原级数化为钞（－１）n或钞n，这两个级数显然发散．n＝１n＝１∞２n综上可知，级数钞n的收敛域为（－∞，１）∪（１，＋∞）．n＝１x（９）因为（n＋１）２n２＋２n＋１an＋１qq２n＋１＝n２＝n２＝q→０（n→∞，０＜q＜１）．anqq∞n２n所以，级数钞qx（０＜q＜１）的收敛域为（－∞，＋∞）．n＝０（１０）a＞b时，有nbnn１＋an＋１a＋b１a１＝n＋１n＋１＝·n＋１→　（n→∞）课后答案网：www.hackshp.cnana＋baba１＋aa＜b时，有nann１＋an＋１a＋b１b１＝n＋１n＋１＝·n＋１→　（n→∞）ana＋bbab１＋b因此，该幂级数的收敛半径为R＝ｍａｘ｛a，b｝．∞n（±R）当x＝±R时，该幂级数化为钞nn，因n＝０a＋b276若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnnnRun＝（±１）nn→／　０　　　（n→∞）a＋b所以，该级数发散．∞nx总之，幂级数钞nn的收敛区间为（－R，R）．n＝０a＋b（１１）令t＝x－１，则∞n－１（－１）n原幂级数＝钞２tn＝１n由于２２an＋１nn＝２＝→１　（n→∞）an（n＋１）n＋１所以，新幂级数的收敛半径为R＝１．∞１t＝－１时，新幂级数＝－钞２，收敛；n＝１n∞n－１（－１）t＝１时，新幂级数＝钞２，收敛．n＝１n所以，新幂级数的收敛域为［－１，１］．于是，由x＝t＋１可知，原幂级数∞n－１（－１）n钞２（x－１）的收敛域为［０，２］．n＝１n（１２）令t＝x＋１，则∞nn３＋（－２）n原幂级数＝钞·tn＝１n由于n＋１n＋１an＋１３＋（－２）n＝·nnann＋１３＋（－２）n２３－２·－n３＝·n→３　（n→∞）n＋１２课后答案网：www.hackshp.cn１＋－３１所以，新幂级数收敛半径R＝．３１t＝－时，３∞nnn３＋（－２）１新幂级数＝钞·－n＝１n３∞nn（－１）１２＝钞＋·n＝１nn３277若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞n∞nn（－１）１２１２其中，级数钞（满足莱布尼茨条件）和钞··≤n＝１nn＝１n３n３n２均收敛，所以，级数３∞nnn３＋（－２）１钞·－收敛．n＝１n３１t＝时，３∞nn１（－１）２新幂级数＝钞＋·n＝１nn３∞∞nn１（－１）２其中，级数钞发散，而级数钞·收敛．于是，用反证法可证，n＝１nn＝１n３级数∞nnn３＋（－２）１钞·发散．n＝１n３１１总之，新幂级数的收敛域为－，．从而，由x＝t－１可知，原幂级数３３∞nn３＋（－２）n４２钞（x＋１）的收敛域为－，－．n＝１n３３１０畅求下列幂级数的收敛域，以及它们在收敛域内的和函数：∞∞１n１n（１）钞x；　　　　（２）钞nx；n＝１nn＝０３∞∞n２n－１（３）钞（n＋１）x；（４）钞nx；n＝０n＝１∞∞１２n＋１１n（５）钞x；（６）钞x．n＝０２n＋１n＝１n（n＋１）解　（１）由于an＋１n课后答案网：www.hackshp.cn＝→１　（n→∞）ann＋１所以，该幂级数收敛半径R＝１．∞n∞（－１）１x＝－１时，级数钞收敛；x＝１时，级数钞发散．因此，该幂级数n＝１nn＝１n收敛域为［－１，１）．由于∞１n＝钞x，x∈（－１，１）１－xn＝０及幂级数在收敛区间内的逐项可积性，可得278若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx∞x∞∞１n１n＋１１n∫ｄx＝钞∫xｄx＝钞x＝钞x，x∈（－１，１）０１－xn＝００n＝０n＋１n＝１n因此，原幂级数的和函数为∞x１n１钞x＝S（x）＝∫ｄx＝ｌｎ（１－x），x∈（－１，１）．n＝１n０１－x另外，由连续性可知，x＝－１时，有∞１n钞（－１）＝S（－１）＝－ｌｎ２．n＝１n（２）由于nan＋１３１＝n＋１→　（n→∞）an３３所以，该幂级数收敛半径R＝３．∞∞nx＝±３时，该幂级分别钞１和钞（－１），显然发散．因此，该幂级数的收n＝０n＝０敛区间为（－３，３）．xx∈（－３，３）时，∈（－１，１），于是，由几何级数敛散性，得和函数为３∞∞n１nx１３钞nx＝钞＝＝，x∈（－３，３）．n＝０３n＝０３x３－x１－３（３）由于an＋１n＋２＝→１　（n→∞）ann＋１所以，该幂级数收敛半径R＝１．∞nx＝±１时，该幂级数化为钞（－１）（n＋１），显然发散（un→／　０）．n＝０因此，该幂级数收敛区间为（－１，１）．由幂级数在收敛区间内逐项可积性，设该幂级数的和函数为S（x），则有x课后答案网：www.hackshp.cn∞x∞nn＋１x∫S（x）ｄx＝钞∫（n＋１）xｄx＝钞x＝，x∈（－１，１）．０n＝００n＝０１－x于是，和函数为x′x′１S（x）＝∫S（x）ｄx＝＝２，x∈（－１，１）．０１－x（１－x）即∞n１钞（n＋１）x＝２，x∈（－１，１）n＝０（１－x）（４）由于279若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２an＋１（n＋１）＝２→１（n→∞）ann所以，该幂级数收敛半径R＝１．∞n－１２x＝±１时，得级数钞（±１）n，显然发散（μn→／　０）．n＝０因此，该幂级数收敛区间为（－１，１）．∞２n－１设S（x）＝钞nx，x∈（－１，１），则n＝０x∞x∞２n－１n∫S（x）ｄx＝钞n∫xｄx＝钞nx０n＝００n＝０∞∞n－１n＝x·钞nx＝x·钞（n＋１）xn＝１n＝０x＝２（见上面（３）小题），x∈（－１，１）．（１－x）于是，x１＋xS（x）＝２′＝３，x∈（－１，１）．（１－x）（１－x）即∞２n－１１＋x钞nx＝３，x∈（－１，１）．n＝０（１－x）（５）由于２n＋３μn＋１｜x｜２n＋１２n＋１２２＝·２n＋１＝·x→x（n→∞）μn２n＋３｜x｜２n＋３所以，｜x｜＜１时，该幂级数收敛；｜x｜＞１时，该幂级数发散．∞１x＝±１时，得级数±钞，都发散．n＝０２n＋１因此，该幂级数收敛区间为（－１，１）．由∞１２n课后答案网：www.hackshp.cn２＝钞x，x∈（－１，１）．１－xn＝０和幂级数性质可知：x∞x∞１２n１２n＋１∫２ｄx＝钞∫xｄx＝钞x，x∈（－１，１）．０１－xn＝００n＝０２n＋１即所求幂级数的和函数为∞x１２n＋１１S（x）＝钞x＝∫２ｄxn＝０２n＋１０１－x１１＋x１＋x＝ｌｎ＝ｌｎ，x∈（－１，１）２１－x１－x280若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（６）由于an＋１n（n＋１）n＝＝→１　（n→∞）an（n＋１）（n＋２）n＋２所以，该幂级数收敛半径R＝１．∞n∞（－１）１x＝－１或１时，得级数钞或钞，显然，这两个级数都收n＝１n（n＋１）n＝１n（n＋１）敛．因此，该幂级数收敛域为［－１，１］．∞nx设S（x）＝钞，则n＝１n（n＋１）∞１１nS（x）＝钞－xn＝１nn＋１∞∞１n１１n＋１＝钞x－钞x　（x≠０）n＝１nxn＝１n＋１其中∞１n钞x＝－ｌｎ（１－x）　　　　（见（１）小题）n＝１n∞∞１n＋１１n钞x＝钞x－x＝－ｌｎ（１－x）－xn＝１n＋１n＝１n所以，该幂级数的和函数为：∞nx１S（x）＝钞＝－ｌｎ（１－x）－［－ｌｎ（１－x）－x］n＝１n（n＋１）x１＝１＋－１ｌｎ（１－x）x１－x＝１＋ｌｎ（１－x），x∈（－１，０）∪（０，１）．x最后，显然有S（０）＝０课后答案网：www.hackshp.cnS（１）＝ｌｉｍS（x）＝１x→１S（－１）＝ｌｉｍS（x）＝１－２ｌｎ２x→（－１）综上所述，得１－x１＋ｌｎ（１－x），x∈（－１，０）∪（０，１）xS（x）＝０，x＝０１，x＝１１－２ｌｎ２，x＝－１281若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１畅将下列函数展开成麦克劳林级数，并求其收敛域：２x（１）f（x）＝ｓｉｎx；　　　　　（２）f（x）＝３；x１x－x－t２（３）f（x）＝（ｅ＋ｅ）；（４）f（x）＝∫ｅｄt；２０２３x（５）f（x）＝ｌｎ（４－３x－x）；（６）f（x）＝２．x＋x－２解（１）由ｃｏｓx的麦克劳林展开式可知∞n（－１）２nｃｏｓ２x＝钞（２x），　x∈（－∞，＋∞）n＝０（２n）！２于是，ｓｉｎx的麦克劳林展开式为２１ｓｉｎx＝（１－ｃｏｓ２x）　　　　　　　２∞n１（－１）２n＝１－钞（２x）２n＝０（２n）！∞n＋１１（－１）２n＝钞（２x）２n＝１（２n）！其收敛域为（－∞，＋∞）．xxxｌｎ３x（２）由ｅ的麦克劳林展开式和３＝ｅ，得３的麦克劳林展开式为xxｌｎ３３＝ｅ∞n（ｌｎ３）n＝钞xn＝０n！其收敛域为（－∞，＋∞）．x（３）由ｅ的麦克劳林展式，得１x－xf（x）＝（ｅ＋ｅ）　　　　　　　２∞∞n１１n（－１）n＝钞x＋钞x２n＝０n！n＝０n！课后答案网：www.hackshp.cn∞１２n＝钞xn＝０（２n）！其收敛域为（－∞，＋∞）．（４）由∞n－t２（－１）２nｅ＝钞t，t∈（－∞，＋∞）n＝０n！及幂级数逐项可积性，得x∞xn－t２（－１）２n∫ｅｄt＝钞∫tｄt０n＝００n！282若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞n（－１）２n＋１＝钞xn＝０n！（２n＋１）其收敛域为（－∞，＋∞）．（５）由于２ｌｎ（４－３x－x）＝ｌｎ［（１－x）（４＋x）］　　　＝ｌｎ（１－x）＋ｌｎ（４＋x）x＝ｌｎ（１－x）＋ｌｎ１＋＋２ｌｎ２４且∞n－１（－１）nｌｎ（１＋x）＝钞x，x∈（－１，１）n＝１n可得∞n－１∞（－１）n１nｌｎ（１－x）＝钞（－x）＝－钞x，x∈（－１，１）n＝１nn＝１n∞n－１n∞n－１x（－１）x（－１）nｌｎ１＋＝钞＝钞nx，x∈（－４，４）４n＝１n４n＝１n·４２于是，ｌｎ（４－３x－x）的麦克劳林展开式为∞n－１∞２（－１）n１nｌｎ（４－３x－x）＝２ｌｎ２＋钞nx－钞xn＝１n·４n＝１n∞n－１（－１）１n＝２ｌｎ２＋钞n－xn＝１n·４n其收敛域为（－１，１）．（６）由已知的麦克劳林展开式∞１n＝钞x，x∈（－１，１）１－xn＝０３x可得函数２的麦克劳林展开式x＋x－２课后答案网：www.hackshp.cn３x２１１１２＝＋＝－x＋x－２x＋２x－１x１－x１＋２∞n∞xn＝钞－－钞xn＝０２n＝０∞n（－１）n＝钞n－１xn＝０２其收敛域为（－１，１）．１２畅求下列函数在指定点处的泰勒级数，并求其收敛域：283若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx１（１）f（x）＝ｅ，x０＝１；　　　（２）f（x）＝，x０＝２；x（３）f（x）＝ｌｎ（１＋x），x０＝２；（４）f（x）＝ｌｎx，x０＝３；π（５）f（x）＝ｓｉｎx，x０＝a≠０；（６）f（x）＝ｃｏｓx，x０＝．４解xx（１）由ｅ的麦克劳林展开式可得ｅ在x０＝１处的泰勒展开式为xx－１＋１x－１ｅ＝ｅ＝ｅ·ｅ∞１n＝ｅ钞（x－１）n＝０n！其收敛域为（－∞，＋∞）．１１（２）由的麦克劳林展开式可得在x０＝２处的泰勒展开式为１－xx１１１１＝＝·x２＋x－２２x－２１＋２∞n∞n１nx－２（－１）nx－２＝钞（－１）＝钞n＋１（x－２），∈（－１，１）２n＝０２n＝０２２x－２其收敛域由＜１确定，即收敛域为（０，４）．２（３）由∞n－１（－１）nｌｎ（１＋x）＝钞x，x∈（－１，１］n＝１n可得x－２ｌｎ（１＋x）＝ｌｎ［３＋（x－２）］＝ｌｎ３＋ｌｎ１＋３∞n－１n（－１）x－２＝ｌｎ３＋钞·n＝１n３∞n－１（－１）nx－２课后答案网：www.hackshp.cn＝ｌｎ３＋钞n（x－２），∈（－１，１］n＝１n·３３其收敛域为（－１，５］．（４）与（３）类似地，有x－３ｌｎx＝ｌｎ［３＋（x－３）］＝ｌｎ３＋ｌｎ１＋３∞n－１n（－１）x－３＝ｌｎ３＋钞n＝１n３∞n－１（－１）nx－３＝ｌｎ３＋钞n（x－３），∈（－１，１］n＝１n·３３284若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn其收敛域为（０，６］．（５）由ｓｉｎx和ｃｏｓx的幂级数展开式可得∞n（－１）２n＋１ｓｉｎ（x－a）＝钞（x－a），x∈（－∞，＋∞）n＝０（２n＋１）！∞n（－１）２nｃｏｓ（x－a）＝钞（x－a），x∈（－∞，＋∞）n＝０（２n！于是ｓｉｎx＝ｓｉｎ［a＋（x－a）］　　　　　　　　　　　　　　＝ｓｉｎa·ｃｏｓ（x－a）＋ｃｏｓa·ｓｉｎ（x－a）∞n∞n（－１）２n（－１）２n＋１＝ｓｉｎa钞（x－a）＋ｃｏｓa钞（x－a）n＝０（２n）！n＝０（２n＋１）！∞１n＝钞an（x－a）n＝０n！其中m（－１）ｓｉｎa，n＝２m时an＝m（－１）ｃｏｓa，n＝２m＋１时nπ＝ｓｉｎa＋，　n＝０，１，２，…２其收敛域为（－∞，＋∞）．π（６）在上小题中令a＝，则有４ππππｃｏｓx＝ｃｏｓ＋x－＝ｓｉｎ＋－x－４４４４∞nnπnπ（－１）π＝钞ｓｉｎ＋x－n＝０４２n！４其收敛域为（－∞，＋∞）．（B）１畅填空题课后答案网：www.hackshp.cn：∞∞（１）若级数钞un收敛于S，则级数钞（un＋un＋１）收敛于　　　　　．n＝１n＝１∞∞１３n＋２（２）已知级数钞＝ｅ，则级数钞＝　　　　　．n＝０n！n＝０n！∞n（－１）＋a（３）若级数钞收敛，则a的取值为　　　　　．n＝１n∞∞１１１（４）级数钞－的敛散性是　　　　　；级数钞α－n＝２n－１n＋１n＝２n－１285若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１αα＞的敛散性是　　　　　．n＋１２∞n－１（－１）n（５）幂级数钞x绝对收敛条件是　　　　　；条件收敛条件是n＝１n　　　　　；发散的条件是　　　　　　　　．答　（１）２S－u１；（２）５ｅ；（３）０；（４）发散，收敛；（５）｜x｜＜１，x＝１，x≤－１或x＞１．解∞∞∞（１）钞（un＋un＋１）＝钞un＋钞un＋１n＝１n＝１n＝１∞∞　　　　＝钞un＋钞un－u１＝２S－u１n＝１n＝１∞∞∞３n＋２n１（２）钞＝３钞＋２钞n＝０n！n＝０n！n＝０n！∞∞１１　　　　＝３钞＋２钞n＝１（n－１）！n＝０n！∞∞１１　　　　＝３钞＋２钞＝５ｅn＝０n！n＝０n！∞n∞∞n（－１）a（－１）＋a（３）若a≠０，则因级数钞收敛，而钞发散，从而钞n＝１nn＝１nn＝０n∞n（－１）＋a发散．因此，钞收敛时，a＝０．n＝１n∞∞∞１１２１（４）因为钞－＝钞＝２钞n＝２n－１n＋１n＝２n－２n＝１n为调和级数，发散．∞∞１１２因为钞α－α＝钞２α，且２α＞１，所以该级数收敛．n＝２n－１n＋１n＝２n－１（５）因为课后答案网：www.hackshp.cnn＋１un＋１｜x｜nn＝·n＝｜x｜→｜x｜　（n→∞）unn＋１｜x｜n＋１所以，｜x｜＜１时，该幂级数绝对收敛；｜x｜＞１时，该幂级数发散；x＝－１时，得调∞∞n－１１（－１）和级数－钞，发散；x＝１时，得交错级数钞，由莱布尼茨判别法n＝１nn＝１n知，级数条件收敛．２畅单项选择题：∞（１）正项级数钞un收敛的充分必要条件是　　　．n＝１286若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（Ａ）ｌｉｍun＝０；　（Ｂ）数列｛un｝单调有界；n→∞（Ｃ）部分和数列｛Sn｝有上界；un＋１（Ｄ）ｌｉｍ＝ρ＜１．n→∞un（２）下列“结论”中，正确的是　　　．∞∞∞（Ａ）若钞un与钞vn都发散，则钞（un＋vn）发散；n＝１n＝１n＝１∞∞∞（Ｂ）若钞（un＋vn）收敛，则钞un与钞vn都收敛；n＝１n＝１n＝１∞∞∞（Ｃ）若钞un与钞vn都收敛，则钞（un＋vn）收敛；n＝１n＝１n＝１∞∞∞（Ｄ）若钞un收敛，钞vn发散，则钞（un＋vn）的敛散性不确定．n＝１n＝１n＝１∞（３）已知ｌｉｍan＝a，则级数钞（an－an＋１）　　　．n→∞n＝１（Ａ）收敛且其和为a１；（Ｂ）收敛且其和为－a；（Ｃ）收敛且其和为a１－a；（Ｄ）发散．∞１／（２n＋１）１／（２n－１）（４）级数钞（a－a）　　　．n＝１（Ａ）发散；　　　　　　（Ｂ）收敛于－a；（Ｃ）收敛于１；（Ｄ）收敛于１－a．（５）下列级数中，发散的级数是　　　．∞n∞a－１１（Ａ）钞（a＞１）；（Ｂ）钞ｌｎ１＋；n＝１an＝１n∞∞２n（Ｃ）钞（n＋２－２n＋１＋n）；（Ｄ）钞．n＝１n＝１n！∞an＋１bn（６）设ｌｉｍ＝a，则幂级数钞anx（b＞１）的收敛半径R＝　　　．n→∞ann＝０课后答案网：www.hackshp.cn１／b１／b１（Ａ）a；（Ｂ）a；（Ｃ）１／a；（Ｄ）a答　（１）Ｃ；（２）Ｃ；（３）Ｃ；（４）Ｄ；（５）Ｂ；（６）Ｄ．解　（１）（Ａ）是级数收敛的必要条件，而不是充分条件；（Ｂ）既不是必要条件也不是充分条件；（Ｄ）是充分条件，而不是必要条件．因而只有（Ｃ）是充分必要条件．∞∞∞１１（２）例如，un＝，vn＝－，级数钞un与钞vn都发散，但钞（un＋vn）nnn＝１n＝１n＝１287若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞∞∞∞＝钞０＝０，收敛，因此，（Ａ）、（Ｂ）皆不正确；若钞un收敛，钞vn发散，则钞n＝１n＝１n＝１n＝１（un＋vn）必发散（用反证法易证），故（Ｄ）不正确．因两个收敛级数的和或差仍收敛，故（Ｃ）正确．（３）因为nSn＝钞（ak－ak＋１）　　　　　　　　　k＝１＝（a１＋…＋an）－（a２＋…＋an＋an＋１）＝a１－an＋１→a１－a（n→∞）∞所以，级数钞（an－an＋１）收敛且其和为a１－a，故选（Ｃ）．n＝１（４）因为n１／（２k＋１）１／（２k－１）Sn＝钞（a－a）　　　　　　　　　　k＝１１／３１／１１／５１／３１／（２n＋１）１／（２n－１）＝（a－a）＋（a－a）＋…＋（a－a）１／（２n＋１）＝a－a→１－a（n→∞）故该级数收敛于１－a，应选（Ｄ）．（５）由比值判别法易证（Ａ）与（Ｄ）中级数收敛；由nSn＝钞（k＋２－２k＋１＋k）　　　　　k＝１n１１＝钞－k＝１k＋２＋k＋１k＋１＋k１１１＝－→（n→∞）n＋２＋n＋１２＋１２＋１可知（Ｃ）中级数收敛．∞１１令un＝ｌｎ１＋，vn＝，由极限形式比较判别法易证级数钞ｌｎ１＋nnn＝１课后答案网：www.hackshp.cn１发散．故应选（Ｂ）．n（６）因为un＋１an＋１bb＝｜x｜→a·｜x｜　（n→∞）unan１／b１／bb１１所以，a·｜x｜＜１，即｜x｜＜时，级数收敛，收敛半径为R＝．故应aa选（Ｄ）．３畅判别下列级数的敛散性：288若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１∞ｌｎ１＋∞n＋１nn（１）钞１／３；　　　　（２）钞n＋２；n＝１（n＋１）n＝１（n＋１）∞∞n２n－１５（３）钞n；（４）钞nn；n＝１３n＝１６－３∞∞３／２n２nπ１（５）钞nｃｏｓ；（６）钞ｓｉｎ；n＝１２３n＝１n∞n－１４１／４（７）钞∫（１＋x）ｄx；n＝１０∞nb（８）钞，其中an＞０（n＝１，２，…）；ｌｉｍan＝a＞０；b＞０，a≠b．n＝１ann→∞１ｌｎ１＋n１解　（１）令un＝１／３，vn＝４／３，则（n＋１）n１ｌｎ１＋１／３nunn４／３n１＝１／３·n＝·ｌｎ１＋→１（n→∞）vn（n＋１）n＋１n∞∞１４因钞vn＝钞４／３为收敛的p级数p＝＞１，故由比较判别法知，原级数n＝１n＝１n３收敛．n＋１n１（２）令un＝n＋２，vn＝，则（n＋１）n＋１n＋１n＋１unnn＝n＋２·（n＋１）＝n＋１vn（n＋１）（n＋１）nnnn１１＝·＝·n→（n→∞）n＋１n＋１n＋１１ｅ１＋n∞１因钞发散课后答案网：www.hackshp.cn，故由比较判别法知，原级数发散．n＝１n＋１２n－１（３）令un＝n，则３nun＋１２n＋１３１２n＋１１＝n＋１·＝·→＜１（n→∞）un３２n－１３２n－１３所以，由比值判别法知，该级数收敛．nn５５１（４）令un＝nn＝·n，则６－３６１１－２289若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnn５１５un＝·n→＜１　（n→∞）６１n６１－２所以，由根值判别法知，该级数收敛．n２nπn（５）令un＝nｃｏｓ，vn＝n，则un≤vn，且２３２nvn＋１n＋１２１n＋１１＝n＋１·＝·→＜１（n→∞）vn２n２n２∞∞n２nπ可知钞vn收敛，从而钞nｃｏｓ收敛．n＝１n＝１２２３／２３／２∞１１１３（６）un＝ｓｉｎ≤＝vn，而p级数钞３／２p＝＞１，收敛．故nnn＝１n２∞３／２１由比较判别法知，钞ｓｉｎ收敛．n＝１n（７）因为nn４１／４１２∫（１＋x）ｄx＞∫xｄx＝n００２所以n－１４１／４２un＝∫（１＋x）ｄx＜２０n∞２而级数钞２收敛，所以，原级数收敛．n＝１nnb（８）设un＝，则annbbun＝→　（n→∞）ana因此，由根值判别法知：课后答案网：www.hackshp.cnb＜１或b＜a时，该级数收敛；ab＞１或b＞a时，该级数发散．a４畅设an，bn＞０，且（an＋１／an）≤（bn＋１／bn），n＝１，２，…．∞∞n试证：（１）如果钞bn收敛，则钞a收敛；n＝１n＝１∞∞（２）如果钞an发散，则钞bn发散．n＝１n＝１290若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnan＋１bn＋１an＋１an证因为≤，所以≤　（n＝１，２，…）．anbnbn＋１bna１令a＝（＞０），则b１a１a２ana＝≥≥…≥痴an≤a·bn　（n＝１，２，…）．b１b２bn因此，由正项级数的比较判别法可知：∞∞钞bn收敛时，钞an收敛；n＝１n＝１∞∞钞an发散时，钞bn发散．n＝１n＝１∞∞２un５畅已知级数钞un收敛，试证级数钞绝对收敛．n＝１n＝１n∞∞un１１２１２１证因＝｜un｜·≤un＋２，且钞un收敛，钞２收敛．所以，nn２nn＝１n＝１n∞un钞绝对收敛．n＝１n∞６畅已知正项级数钞un收敛，试证下列级数皆收敛；n＝１∞∞２（１）钞u２n－１；　　　　　　（２）钞un；n＝１n＝１∞∞un（３）钞；（４）钞unun＋１；n＝１nn＝１∞∞un（５）钞unun＋１；（６）钞；n＝１n＝１n∞（７）钞ｌｎ（１＋un）．n＝１课后答案网：www.hackshp.cn证（１）令nS′n＝钞u２k－１＝u１＋u３＋…＋u２n－１，k＝１２n－１S２n－１＝钞uk＝u１＋u２＋u３＋…＋u２n－１k＝１则∞S′n＜S２n－１＜钞un＝Sn＝１291若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞于是，钞u２n－１的部分和数列｛S′n｝为单调有界数列，因此，极限ｌｉｍS′n存在．从n→∞n＝１∞而，级数钞u２n－１收敛．n＝１∞（２）因为钞un收敛，故有ｌｉｍun＝０．于是n→∞n＝１２un＝un→０　（n→∞）un∞∞２所以，由比较判别法知，由钞un收敛可得钞un收敛．n＝１n＝１（３）因为un１２１≤u２＋２n２n∞∞∞２１un且钞un与钞２皆收敛．所以，由比较判别法可知，级数钞收敛．n＝１n＝１nn＝１n（４）因为１２２unun＋１≤（un＋un＋１）２∞∞∞∞２２２且钞un与钞un＋１＝钞un皆收敛．所以，钞unun＋１收敛．n＝１n＝１n＝２n＝１（５）因为１unun＋１≤（un＋un＋１）２∞∞∞∞且钞un与钞un＋１＝钞un皆收敛．所以，钞unun＋１收敛．n＝１n＝１n＝２n＝１（６）因为un１１≤un＋２课后答案网：www.hackshp.cnnzn∞∞∞１un且钞un与钞２皆收敛．所以，钞收敛．n＝１n＝１nn＝１n∞（７）因为钞un收敛，所以ｌｉｍun＝０．于是n→∞n＝１ｌｎ（１＋un）１／u＝ｌｎ（１＋unn）→１＜＋∞　（n→∞）un∞∞所以，由钞un收敛可知钞ｌｎ（１＋un）收敛．n＝１n＝１292若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（n＋１）π∞ｓｉｎx７畅设un＝∫ｄx，证明级数钞un收敛．nπxn＝０∞证因为n为偶数时，un＞０；n为奇数时，un＜０；故钞un为交错级数，且n＝０有（n＋１）πn（－１）｜ｓｉｎx｜un＝∫ｄxnπx令t＝x＋π，则（n＋１）π（n＋１）π｜ｓｉｎx｜｜ｓｉｎx｜｜un｜＝∫ｄx＞∫ｄxnπxnπx＋π（n＋２）π｜ｓｉｎt｜＝∫ｄt＝｜un＋１｜（n＋１）πt即｜un｜单调减少．另一方面（n＋１）π１｜un｜≤∫ｄx＝２［（n＋１）π－nπ］nπx２π＝→０　（n→∞）（n＋１）π＋nπ因此，由莱布尼茨判别法知，该级数收敛．π／４∞n８畅设un＝∫ｓｉｎx·ｃｏｓxｄx，求钞un．０n＝０解因为π／４π／４n＋１n１n＋１１２un＝∫ｓｉｎxｄｓｉｎx＝ｓｉｎx＝·０n＋１０n＋１２令∞１n＋１S（x）＝钞xn＝０n＋１则课后答案网：www.hackshp.cn∞n１S′（x）＝钞x＝，｜x｜＜１．n＝０１－x两边积分，得x１S（x）＝∫ｄt＝－ｌｎ（１－x），｜x｜＜１０１－t２令x＝＜１，则２∞∞n＋１１２２钞un＝钞＝－ｌｎ１－＝ｌｎ（２＋２）n＝１n＝０n＋１２２293若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn９畅求下列级数的收敛域：∞n－１n∞n（－１）１－x１（１）钞；　　（２）钞ｌｎx；n＝１２n－１１＋xn＝１３∞∞n－nx２n（３）钞nｅ；（４）钞ｓｉｎx；n＝１n＝１n解（１）因为un＋１n＋１１１－x２n－１２n－１１－x１－x＝·n＝·→（n→∞）un２n＋１１＋x１－x２n＋１１＋x１＋x１＋x所以，１－x＜１，即x＞０时，１＋x该级数收敛．∞n（－１）x＝０时，得交错级数钞，满足莱布尼茨判别定理条件，收敛．n＝１２n－１所以，该级数收敛域为［０，＋∞）．（２）因为nun＋１１n＋１３１１＝n＋１｜ｌｎx｜·n＝｜ｌｎx｜→｜ｌｎx｜（n→∞）un３｜ｌｎx｜３３所以，１｜ｌｎx｜＜１，即－３＜ｌｎx＜３，亦即３－３３ｅ＜x＜ｅ时，该级数收敛．∞±３nx＝ｅ时，得钞（±１），显然发散．n＝１－３３所以，该级数收敛域为课后答案网：www.hackshp.cn（ｅ，ｅ）．（３）因为nxun＋１n＋１ｅn＋１－x－x＝（n＋１）x·＝·ｅ→ｅ（n→∞）unｅnn－x所以，ｅ＜１，即x＞０时，该级数收敛．∞x＝０时，得钞n，显然发散．n＝１所以，该级数收敛域为（０，＋∞）．（４）因为294若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnn＋１un＋１２n＋１n＝｜ｓｉｎx｜·nnunn＋１２｜ｓｉｎx｜n＝２··｜ｓｉｎx｜→２｜ｓｉｎx｜　（n→∞）n＋１１１所以，２｜ｓｉｎx｜＜１，即－＜ｓｉｎx＜时，该级数收敛．２２∞n１（－１）ｓｉｎx＝－时，得交错级数钞，收敛；２n＝１n∞１１ｓｉｎx＝时，得级数钞，发散．２n＝１n１１因此，该级数的收敛域为ｓｉｎx∈－，，或２２ππx∈nπ－，（n＋１）π－，n＝０，１，２，…６６∞n１０畅求幂级数钞n（n＋１）x的收敛域及和函数，并求常数项级数n＝１∞n（n＋１）钞n的和．n＝１２解因为an＋１（n＋１）（n＋２）n＋２＝＝→１　（n→∞）ann（n＋１）n所以，该幂级数收敛半径R＝１．显然，x＝±１时，该级数发散．所以，该幂级数收敛域为（－１，１）．∞n令S（x）＝钞n（n＋１）x，则n＝１x∞x∞nn＋１∫S（t）ｄt＝钞n（n＋１）∫tｄt＝钞nx课后答案网：www.hackshp.cn０n＝１０n＝１∞２n－１＝x钞nxn＝１∞２n′＝x钞xn＝１２２x′x＝x＝２，x∈（－１，１）１－x（１－x）所以２x′２xS（x）＝２＝３，x∈（－１，１）．（１－x）（１－x）295若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１因为，x＝∈（－１，１），所以２１∞２×n（n＋１）１２钞n＝S＝３＝８n＝１２２１１－２∞∞２n－１２n－２２n－１１１畅求级数钞nx的收敛域及和函数，并求常数项级数钞n的n＝１２n＝１２和．解因为nun＋１２n＋１２n２＝n＋１｜x｜·２n－２un２（２n－１）｜x｜１２n＋１２１２＝··｜x｜→x　（n→∞）２２n－１２所以，｜x｜＜２时，该级数收敛．∞２n－１｜x｜＝２时，得级数钞，显然发散．n＝１２因此，该级数的收敛域为（－２，２）．∞２n－１２n－２设S（x）＝钞nx，则n＝１２x∞x∞２n－１２n－２１２n－１∫S（t）ｄt＝钞n∫tｄt＝钞nx，｜x｜＜２０n＝１２０n＝１２上式两边同乘以x，得x∞∞２n１２nxx∫S（t）ｄt＝钞nx＝钞０n＝１２n＝１２∞２nx＝钞－１n＝０２课后答案网：www.hackshp.cn２１x＝２－１＝２，｜x｜＜２x２－x１－２由此得xx∫S（t）ｄt＝２，｜x｜＜２０２－x２x′２＋xS（x）＝２＝２２，｜x｜＜２２－x（２－x）由于x＝１∈（－２，２），故得296若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞２２n－１２＋１S（１）＝钞n＝２＝３．n＝１２（２－１）１２畅将下列函数展开成幂级数，并求其收敛域：２３－xx（１）f（x）＝xｅ；　　　（２）f（x）＝；２１－x１x（３）f（x）＝２；（４）f（x）＝２；x－３x＋２２x－３x＋１１（５）f（x）＝ｌｎ（１＋x）．x∞x１n解　（１）已知ｅ＝钞x，x∈（－∞，＋∞）n＝０n！由此可得∞∞n３－x３１n（－１）n＋３f（x）＝xｅ＝x钞（－x）＝钞xn＝０n！n＝０n！收敛域为（－∞，＋∞）．（２）已知∞αα（α－１）·…·（α－n＋１）n（１＋x）＝１＋钞x，x∈（－１，１）n＝１n！１在上式中令α＝－，则有２１１２－＝［１＋（－x）］２２１－x∞１１１１n＝１＋钞－－－１·…·－－n＋１xn＝１n！２２２∞n（－１）［１·３·５·…·（２n－１）］２n２＝１＋钞nx，（－x）∈（－１，１）n＝１n！２所以２课后答案网：www.hackshp.cnxf（x）＝２１－x∞n２（－１）［１·３·５·…·（２n－１）］２n＋２＝x＋钞nx，x∈（－n＝１n！２１，１）收敛域为（－１，１）．（３）因为１１１１２＝＝－x－３x＋２（１－x）（２－x）１－x２－x297若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１＝－·１－x２x１－２其中∞１n＝钞x，x∈（－１，１）１－xn＝０∞n１x＝钞，x∈（－２，２）xn＝０２１－２所以∞∞１n１１n２＝钞x－钞nxx－３x＋２n＝０２n＝０２∞１n＝钞１－n＋１x，x∈（－１，１）n＝０２收敛域为（－１，１）．（４）因为１１１１２＝＝－２x－３x＋１（１－x）（１－２x）１－２x１－x其中∞１n１１＝钞（２x），x∈－，１－２xn＝０２２∞１n＝钞x，x∈（－１，１）１－xn＝０所以∞∞xnn２＝钞（２x）－钞x２x－３x＋１n＝０n＝０∞nn１１课后答案网：www.hackshp.cn＝钞（２－１）x，x∈－，n＝０２２１１收敛域为－，．２２（５）已知∞n－１（－１）nｌｎ（１＋x）＝钞x，x∈（－１，１］n＝１n所以∞n－１１１（－１）nｌｎ（１＋x）＝钞xxxn＝１n298若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∞n－１（－１）n－１＝钞x　（令m＝n－１）n＝１n∞m（－１）m＝钞x，x∈（－１，１］（倡）m＝０m＋１收敛域为（－１，１］注：（倡）式左端应有x≠０，但ｌｎ（１＋x）ｌｉｍ＝１＝（倡）右端x→０x故（倡）式对x＝０也成立．２xx１３畅设函数f（x）满足方程∫f（t）ｄt＝ｅ－１，求f（x）的幂级数展开式及其收x敛域．解设∞nf（x）＝钞anxn＝０则２x∞２x∞nann＋１n＋１∫f（t）ｄt＝钞an∫tｄt＝钞［（２x）－x］xn＝０xn＝０n＋１∞n＋１（２－１）ann＋１＝钞xn＝０n＋１另一方面，由假设有２x∞∞x１n１n∫f（t）ｄt＝ｅ－１＝钞x－１＝钞xxn＝０n！n＝１n！∞１n＋１＝钞x，x∈（－∞，＋∞）n＝０（n＋１）！于是，比较上面二式右端同次幂的系数，得n＋１（２－１）an１＝，n＝０，１，２，…n＋１（n＋１）！课后答案网：www.hackshp.cn由此得１an＝n＋１，n＝０，１，２，…（２－１）n！因此，f（x）的幂级数展开式为∞１nf（x）＝钞n＋１x，x∈（－∞，＋∞）n＝０（２－１）n！收敛域为（－∞，＋∞）．299若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn第九章微分方程与差分方程简介习题九（A）１畅验证下列各函数是所给微分方程的通解：－x－x（１）y＝（x＋C）ｅ，y′＋y＝ｅ；２２（２）x＋y＝C（C＞０），y′＝－x／y；（３）y＝ｃｏｓ２x＋C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x，y″＋９y＝５ｃｏｓ２x；－xx２x３x２x３x（４）y＝C１ｅ＋C２ｅ＋ｅ－ｅ，y″－y＝３ｅ－８ｅ．解－x－x－x（１）∵　y′＝ｅ－（x＋C）ｅ＝ｅ－y－x∴　y′＋y＝ｅ（２）∵　２x＋２yy′＝０∴　y′＝－x／y（３）∵　y′＝－２ｓｉｎ２x－３C１ｓｉｎ３x＋３C２ｃｏｓ３xy″＝－４ｃｏｓ２x－９C１ｃｏｓ３x－９C２ｓｉｎ３x∴　y″＋９y＝（－４ｃｏｓ２x－９C１ｃｏｓ３x－９C２ｓｉｎ３x）　＋９（ｃｏｓ２x＋C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）＝５ｃｏｓ２x－xx２x３x（４）∵　课后答案网：www.hackshp.cny′＝－C１ｅ＋C２ｅ＋２ｅ－３ｅ－xx２x３xy″＝C１ｅ＋C２ｅ＋４ｅ－９ｅ－xx２x３x∴　y″－y＝（C１ｅ＋C２ｅ＋４ｅ－９ｅ）－xx２x３x　－（C１ｅ＋C２ｅ＋ｅ－ｅ）２x３x＝３ｅ－８ｅx－x２２畅试验证：ｌｎy＝C１ｅ＋C２ｅ＋x＋２（C１，C２为任意常数）是方程２１１２y′－y″＝x－ｌｎyyy的通解；并求y（０）＝y′（０）＝ｅ时的特解．300若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解对已知函数x－x２ｌｎy＝C１ｅ＋C２ｅ＋x＋２①两端求导，得１x－xy′＝C１ｅ－C２ｅ＋２x②y再对②式两端求导，得１２x－x①２２［yy″－（y′）］＝C１ｅ＋C２ｅ＋２ｌｎy－xy由此即得２１１２y′－y″＝x－ｌｎy．yy由y（０）＝y′（０）＝ｅ和①、②两式，得C１＋C２＋２＝１C１－C２＝１解得C１＝０，C２＝－１．因此，特解为倡２－xｌｎy＝x＋２－ｅ３畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：２（１）yｄx＋（x－１）ｄy＝０；xy＋y（２）y′＝；x＋xy２２（３）（xy－x）ｄx＋（xy＋y）ｄy＝０；２（４）xyｄx＋１＋xｄy＝０，y（０）＝１；y（５）yy′＋xｅ＝０，y（１）＝０；xx２π（６）３ｅｔａｎyｄx＋（１＋ｅ）ｓｅｃyｄy＝０，y（０）＝．４解（１）分离变量得课后答案网：www.hackshp.cn１１－２ｄy＝ｄxyx－１积分得１＝ｌｎ｜x－１｜＋Cy１∴y＝或y［ｌｎ｜x－１｜＋C］＝１ｌｎ｜x－１｜＋C其中C为任意常数．（２）将方程变形并分离变量，得301若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１＋ｄy＝１＋ｄxyx积分得y＋ｌｎ｜y｜＝x＋ｌｎ｜x｜＋C１由此式得yxyｅ＝CxｅC其中C＝±ｅ１为任意常数．（３）分离变量，得yx２ｄy＋２ｄx＝０y－１x＋１积分得２２ｌｎ｜y－１｜＋ｌｎ［１＋x）＝C１２２C痴（１＋x）｜y－１｜＝ｅ１由此得通解２Cy＝１＋２１＋xC其中C＝±ｅ１为任意常数．（４）分离变量得１xｄy＋ｄx＝０y２１＋x积分得２ｌｎ｜y｜＋１＋x＝ｌｎC于是，该方程的通解为－１＋x２y＝Cｅ其中C为任意常数．由y（０）＝１，得C＝ｅ．故所求特解为课后答案网：www.hackshp.cn１－１＋x２y＝ｅ（５）分离变量得－yyｅｄy＋xｄx＝０积分得通解－y１２（y＋１）ｅ＝x＋C２其中C为任意常数．１由y（１）＝０，得C＝．于是，所求特解为２302若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－y１２（y＋１）ｅ＝（x＋１）２（６）分离变量得x２３ｅｃｏｔy·ｓｅｃyｄy＋xｄx＝０１＋ｅ积分得xｌｎｔａｎy＋３ｌｎ（１＋ｅ）＝ｌｎC故通解为x３（１＋ｅ）ｔａｎy＝Cπ由y（０）＝，得C＝８．于是，所求特解为４x３８（１＋ｅ）ｔａｎy＝８　或y＝ａｒｃｔａｎx３（１＋ｅ）４畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：２２（１）（x＋y）ｄx－２xyｄy＝０；２３３（２）３xyｄy＝（２y－x）ｄx；yy（３）y′＝＋ｓｉｎ；xxy／x（４）（y＋xｅ）ｄx＝xｄy，y（１）＝０；２２（５）xy′＝y＋x＋y，y（１）＝０；２yy（６）y′＝＋＋４，y（１）＝２．xx解（１）将原方程变形为齐次方程２２ｄyx＋y＝ｄx２xy令y＝xu，则y′＝u＋xu′，代入上式得课后答案网：www.hackshp.cn２１－uxu′＝２u分离变量得２u１１２u２ｄu＝ｄx或ｄx－２ｄu＝０１－uxx１－u２积分得ｌｎ［x（１－u）］＝ｌｎC，即２x（１－u）＝C将u＝y／x代入上式，得通解为２２２２x（１－y／x）＝C或y＝x－Cx303若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）将原方程变形为齐次方程３３２y－xy′＝２３xy令y＝xu，则y′＝u＋xu′，代入上式得３１＋uxu′＝－２３u分离变量得２３u１３ｄu＋ｄx＝０１＋ux３积分得ｌｎ［x（１＋u）］＝ｌｎC，即３x（１＋u）＝Cy将u＝代入上式，得通解为x３２３y＝Cx－x（３）令y＝xu，则由原方程可得y′＝u＋xu′＝u＋ｓｉｎu由此式得１ｃｓｃuｄu＝ｄxx积分得ｌｎ｜ｃｓｃu－ｃｏｔu｜＝ｌｎ｜x｜＋ｌｎ｜C｜即ｃｓｃu－ｃｏｔu＝Cxu其中ｃｓｃu－ｃｏｔu＝ｔａｎ，于是２uｔａｎ＝Cx２由此可得通解为课后答案网：www.hackshp.cny＝２xａｒｃｔａｎ（Cx）（４）令y＝xu，则原方程化为u（xu＋xｅ）ｄx＝x（xｄu＋uｄx）由此得－u１ｅｄu＝ｄxx积分得原方程通解为－u－y／xｌｎx＋ｅ＝ｌｎx＋ｅ＝C304若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn将y（１）＝０代入上式，得C＝１．于是，所求特解为－y／xｌｎx＋ｅ＝１　或y＝－xｌｎ（１－ｌｎx）（５）设x＞０，y＝xu，则原方程化为２２２x（u＋xu′）＝xu＋x＋xu由此得１１ｄu＝ｄx２x１＋u积分得２ｌｎ（u＋１＋u）＝ｌｎx＋ｌｎC即２u＋１＋u＝Cx代回原变量，得２２２y＋x＋y＝Cx由y（１）＝０，得C＝１．于是，所求特解为２２２y＋x＋y＝x化简得１２y＝（x－１）２（６）令y＝xu，则原方程化为２u＋xu′＝u＋u＋４由此得１１２ｄu＝ｄx４＋ux积分得１u课后答案网：www.hackshp.cnａｒｃｔａｎ＝ｌｎx＋C２２代回原变量，得２y＝２xｔａｎ（ｌｎx＋２C）π由y（１）＝２，得２C＝．于是，所求特解为４２πy＝２xｔａｎｌｎx＋４５畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：２x（１）y′－３y＝ｅ；305若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１（２）y′－yｓｉｎx＝ｓｉｎ２x；２（３）y′＋３yｔａｎ３x＝ｓｉｎ６x；１２３（４）y′－y＝x＋２x，y（－１）＝；x＋２２１２（５）y′－y＝－ｌｎx，y（１）＝１；xx２２x（６）y′－y＝（x＋１）ｅ，y（０）＝１；x＋１２１２３１（７）y′－３xy＝x（１＋x），y（０）＝－．３９解本题各小题均为一阶线性微分方程，根据教材§９畅４，可采用变量变换法或常数变易法求解．为简单起见，下面直接采用通解公式（９畅３４）求解．（１）由式（９畅３４），得－３ｄx３ｄx２x∫y＝ｅ∫C＋∫ｅｅｄx３x２x－３x＝ｅC＋∫ｅ·ｅｄx３x－x＝ｅC＋∫ｅｄx３x－x３x２x＝ｅ（C－ｅ）＝Cｅ－ｅ（２）由式（９畅３４），得－ｓｉｎxｄxｓｉｎxｄx１∫y＝ｅ∫C＋∫ｓｉｎ２xｅ２ｄx－ｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC＋∫ｓｉｎx·ｃｏｓx·ｅｄx－ｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC－∫ｃｏｓxｅｄｃｏｓx－ｃｏｓxｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC－ｃｏｓxｅ－∫ｅｄｃｏｓx课后答案网：www.hackshp.cn－ｃｏｓxｃｏｓxｃｏｓx＝ｅ（C－ｃｏｓxｅ＋ｅ）－ｃｏｓx＝Cｅ－ｃｏｓx＋１（３）由式（９畅３４），得３ｔａｎ３xｄx－３∫ｔａｎ３xｄx∫y＝ｅC＋∫ｓｉｎ６xｅｄxｌｎｃｏｓ３x－ｌｎｃｏｓ３x＝ｅC＋２∫ｓｉｎ３x·ｃｏｓ３x·ｅｄx＝ｃｏｓ３xC＋２∫ｓｉｎ３xｄx306若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２＝ｃｏｓ３xC－ｃｏｓ３x３（４）由式（９畅３４），得１１－ｄxｄx２∫x＋２y＝ｅ∫x＋２C＋∫（x＋２x）ｅｄxｌｎ（x＋２）２－ｌｎ（x＋２）＝ｅC＋∫（x＋２x）ｅｄx２x＋２x＝（x＋２）C＋∫ｄxx＋２１２＝（x＋２）C＋x２３由y（－１）＝得C＝１．于是，所求特解为２１２y＝（x＋２）１＋x２（５）由式（９畅３４），得１１－ｄxｄx２∫xy＝ｅ∫xC－∫·ｌｎx·ｅxｄxｌｎx１＝ｅC－２∫２ｌｎxｄxx１＝xC＋２∫ｌｎxｄx２ｌｎx１＝xC＋－２∫２ｄxxx２＝xC＋（ｌｎx＋１）x＝Cx＋２（ｌｎx＋１）由y（１）＝１得课后答案网：www.hackshp.cnC＝－１．于是，所求特解为y＝２（ｌｎx＋１）－x（６）由式（９畅３４），得２２－ｄxｄx２x∫１＋xy＝ｅ∫１＋xC＋∫（x＋１）ｅｅｄx２x＝（１＋x）（C＋ｅ）由y（０）＝１得C＝０．于是，所求特解为２xy＝（１＋x）ｅ（７）由式（９畅３４），得307若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn∫３x２ｄx－３x２ｄxy＝ｅ１２３∫C＋∫x（１＋x）ｅ３ｄxx３１２３－x３＝ｅC＋∫x（１＋x）ｅｄx３其中３２３－x３令u＝x１－u∫x（１＋x）ｅｄx∫（１＋u）ｅｄu３１－u－u　　＝－（１＋u）ｅ－∫ｅｄu３１－u１３－x３　　＝－（２＋u）ｅ＝－（２＋x）ｅ３３由此得x３１３y＝Cｅ－（x＋２）９１１由y（０）＝－得C＝．于是，所求特解为９９１x３３y＝（ｅ－x－２）９６畅求下列二阶齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（１）y″－７y′＋６y＝０；（２）y″－４y′＋１３y＝０；（３）y″－６y′＋９y＝０；（４）y″＋９y＝０；（５）y″－２y′－３y＝０，y（０）＝y′（０）＝２；（６）y″＋６y′＋８y＝０，y（０）＝０，y′（０）＝－２；（７）y″－１０y′＋２５y＝０，y（０）＝１，y′（０）＝４；πππ／６（８）y″－２y′＋１０y＝０，y＝０，y′＝ｅ．课后答案网：www.hackshp.cn６６解　（１）特征方程为２λ－７λ＋６＝（λ－１）（λ－６）＝０故有两个相异的实特征根λ１＝１，λ２＝６．因此，所求方程的通解为x６xy＝C１ｅ＋C２ｅ（２）特征方程为２λ－４λ＋１３＝０有一对共轭复特征根λ＝２±３ｉ．因此，所求方程的通解为２xy＝ｅ（C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）308若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（３）特征方程为２２λ－６λ＋９＝（λ－３）＝０有一个重特征根λ＝３．因此，所求方程的通解为３xy＝（C１＋C２x）ｅ（４）特征方程为２λ＋９＝０有一对共轭复特征根λ＝±３ｉ．因此，所求方程的通解为y＝C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x（５）特征方程为２λ－２λ－３＝（λ＋１）（λ－３）＝０有两个相异实特征根λ１＝－１，λ２＝３．因此，所求方程的通解为－x３xyc＝C１ｅ＋C２ｅ由初始条件y（０）＝y′（０）＝２，可得C１＝C２＝１．因此，所求特解为倡－x３xy＝ｅ＋ｅ（６）特征方程为２λ＋６λ＋８＝（λ＋２）（λ＋４）＝０有两个相异实特征根λ１＝－２，λ２＝－４．因此，所求方程的通解为－２x－４xyc＝C１ｅ＋C２ｅ由初始条件y（０）＝０，y′（０）＝－２，可得C１＝－１，C２＝１．因此，所求特解为倡－４x－２xy＝ｅ－ｅ（７）特征方程为２２λ－１０λ＋２５＝（λ－５）＝０有一个重特征根λ＝５．因此，所求方程的通解为５xyc＝（C１＋C２x）ｅ由初始条件y（０）＝１，y′（０）＝４，可得C１＝１，C２＝－１．因此，所求特解为倡５xy＝（１－x）ｅ课后答案网：www.hackshp.cn（８）特征方程为２λ－２λ＋１０＝０有一对共轭复特征根λ＝１±３ｉ．因此，所求通解为xyc＝ｅ（C１ｃｏｓ３x＋C２ｓｉｎ３x）πππ／６１由y＝０得C２＝０，再由y′＝ｅ得C１＝－．因此，所求特解为６６３倡１xy＝－ｅｃｏｓ３x３７畅求下列二阶非齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：309若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２（１）y″－２y′＋２y＝２x；－２x（２）y″＋３y′－１０y＝１４４xｅ；２（３）y″－６y′＋８y＝８x－４x＋１２；（４）y″－６y′＋２５y＝３０ｓｉｎx＋１８ｃｏｓx；ππ（５）y″＋y＝ｃｏｓ３x，y＝４，y′＝－１；２２５x（６）y″－４y′＋３y＝８ｅ，y（０）＝３，y′（０）＝９；４x（７）y″－８y′＋１６y＝ｅ，y（０）＝０，y′（０）＝１．解　（１）由特征方程２２λ－２λ＋２＝（λ－１）＋１＝０得特征根λ＝１±ｉ．因此，对应齐次方程的通解为xyc＝ｅ（C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx）设非齐次方程有特解２y珋＝ax＋bx＋c其中a，b，c为待定常数．将y珋代入所给方程，得２y珋″－２珋y′＋２珋y＝２ax＋（２b－４a）x＋（２a－２b＋２c）２＝２x由此可得a＝１，b＝２，c＝１．于是，所求特解为２２y珋＝x＋２x＋１＝（x＋１）因此，所求非齐次方程的通解为x２y＝yc＋珋y＝ｅ（C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx）＋（x＋１）（２）由特征方程２λ＋３λ－１０＝（λ＋５）（λ－２）＝０得特征根λ１＝－５，λ２＝２．于是，对应齐次方程的通解为－５x２xyc＝C１ｅ＋C２ｅ设非齐次方程有特解课后答案网：www.hackshp.cn－２xy珋＝（a＋bx）ｅ将y珋代入所给方程，可得a＝１，b＝－１２．于是，非齐次方程有特解－２xy珋＝（１－１２x）ｅ因此，所给非齐次方程的通解为－５x２x－２xy＝yc＋珋y＝C１ｅ＋C２ｅ＋（１－１２x）ｅ（３）由特征方程２λ－６λ＋８＝（λ－２）（λ－４）＝０得特征根λ１＝２，λ２＝４．于是，对应齐次方程的通解为310若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２x４xyc＝C１ｅ＋C２ｅ设非齐次方程有特解２y珋＝a＋bx＋cx将y珋代入所给方程，可得a＝２，b＝１，c＝１因此，非齐次方程有特解２y珋＝x＋x＋２从而，所给非齐次方程的通解为２x４x２y＝yc＋珋y＝C１ｅ＋C２ｅ＋x＋x＋２（４）由特征方程２λ－６λ＋２５＝０得复特征根λ＝３±４i．于是，对应齐次方程的通解为３xyc＝ｅ（C１ｃｏｓ４x＋C２ｓｉｎ４x）设非齐次方程有特解y珋＝Aｃｏｓx＋Bｓｉｎx则y珋′＝－Aｓｉｎx＋Bｃｏｓxy珋″＝－Aｃｏｓx－Bｓｉｎx将y珋、珋y′、珋y″代入所给方程，得y珋″－６珋y′＋２５珋y＝（２４A－６B）ｃｏｓx＋（６A＋２４B）ｓｉｎx＝１８ｃｏｓx＋３０ｓｉｎx由此得２４A－６B＝１８，６A＋２４B＝３０由此解得A＝B＝１．于是，非齐次方程有特解y珋＝ｃｏｓx＋ｓｉｎx从而，所给非齐次方程的通解为课后答案网：www.hackshp.cny＝yc＋珋y３x＝ｅ（C１ｃｏｓ４x＋C２ｓｉｎ４x）＋ｃｏｓx＋ｓｉｎx（５）由特征方程２λ＋１＝０得复特征根λ＝±i．于是，对应齐次方程的通解为yc＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx设非齐次方程有特解y珋＝Aｃｏｓ３x＋Bｓｉｎ３x311若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１将y珋代入所给方程，可得A＝－，B＝０．于是，非齐次方程有特解８１y珋＝－ｃｏｓ３x８从而，所给方程的通解为１y＝yc＋珋y＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx－ｃｏｓ３x８ππ由初始条件y＝４，y′＝－１，可得２２５C１＝，　C２＝４８于是，所求特解为５１y＝ｃｏｓx＋４ｓｉｎx－ｃｏｓ３x８８（６）由特征方程２λ－４λ＋３＝（λ－１）（λ－３）＝０得特征根λ１＝１，λ２＝３．于是，对应齐次方程的通解为x３xyc＝C１ｅ＋C２ｅ设非齐次方程有特解５xy珋＝Aｅ将y珋代入所给方程，可得A＝１．于是，非齐次方程有特解５xy珋＝ｅ从而，所给方程的通解为x３x５xy＝yc＋珋y＝C１ｅ＋C２ｅ＋ｅ由初始条件y（０）＝３，y′（０）＝９，可得C１＝C２＝１．于是，所求特解为x３x５xy＝ｅ＋ｅ＋ｅ（７）由特征方程课后答案网：www.hackshp.cn２２λ－８λ＋１６＝（λ－４）＝０得重特征根λ＝４．于是，对应齐次方程的通解为４xyc＝（C１＋C２x）ｅ因λ＝４＝μ为重特征根，故设非齐次方程特解为２４xy珋＝Axｅ１将y珋代入所给方程，可得A＝．于是，非齐次方程有特解２１２４xy珋＝xｅ２312若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn从而，所给方程的通解为４x１２４xy＝yc＋珋y＝（C１＋C２x）ｅ＋xｅ２１２４x＝C１＋C２x＋xｅ２由初始条件y（０）＝０，y′（０）＝１，可得C１＝０，C２＝１．于是，所求特解为１２４xy＝x＋xｅ２８畅已知某商品的生产成本C＝C（x）为产量x的函数，C与x有如下关系：１＋x＋CC′（x）＝１＋x又知产量为零时的固定成本C（０）＝C０≥０．求成本函数C（x）．解因为１C′（x）＝C＋１１＋x所以，由式（９畅３４）得１ｄx∫１＋x－１ｄxC（x）＝ｅ∫１＋xC１＋∫ｅｄx＝（１＋x）［C１＋ｌｎ（１＋x）］由C（０）＝C０得C１＝C０．于是，该商品的成本函数为C（x）＝（１＋x）［C０＋ｌｎ（１＋x）］９畅已知某商品的销售收益R＝R（x）为销售量（需求量）x的函数，且R与x有如下关系：３３R－xR′（x）＝α２，R（１０）＝０xR其中０＜α＜１为已知比例常数．求收益函数R（x）．解令R＝xy，则R′＝y＋xy′，代入上述关系式得课后答案网：www.hackshp.cn１αy＋xy′＝αy－２＝αy－２yy由此得２y１３ｄy＝－ｄxα＋（１－α）yx积分得１α３Cｌｎ＋y＝ｌｎC－ｌｎx＝ｌｎ３（１－α）１－αx由此得313若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn３（１－α）α３C＋y＝１－αx代回原变量得３（１－α）１／３CαR＝x－x１－α由R（１０）＝０，得常数１／［３（１－α）］αC＝１０１－α将此式代入上式，得收益函数３（１－α）１／３α１０R＝x－１１－αx３α３１／３αxx＝１０－１－α１０１０注：题设R（１０）＝０，即销售１０个单位产品的收益为零，这显然不合理．之所以如此假设，仅为确定积分常数C时，简单起见．另外，在这个假设之下，当x＞１０时，恒有R（x）＜０，这表明销售量x＜１０时，收益才为正值，这也不含经济意义．实际上，若设R（x０）＝R０＞０（x０＞０），则有３αR３３１／３x０ααxR＝x０＋－x０x０１－α１－αx０１０畅设Y＝Y（t）和D＝D（t）分别为t时刻的国民收入和国民债务，它们满足如下关系：D′＝αY＋β，D（０）＝D０＞０Y′＝kY，Y（０）＝Y０＞０其中α，β和k为已知正的常数．（１）求Y（t）、D（t）；D（t）（２）求极限ｌｉｍ．t→∞Y（t）解　（１）由Y′＝kY，Y（０）＝Y０，解得课后答案网：www.hackshp.cnktY＝Y（t）＝Y０ｅ再由ktD′＝αY＋β＝αY０ｅ＋β积分得αktD＝D（t）＝Y０ｅ＋βt＋Ck由D（０）＝D０，得αC＝D０－Y０k314若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn于是得αktαD（t）＝Y０ｅ＋βt＋D０－Y０kk（２）因为αβt＋D０－Y０D（t）αk＝＋ktY（t）kY０ｅ所以D（t）αｌｉｍ＝t→∞Y（t）k１１畅设Y＝Y（t）、C＝C（t）和I＝I（t）分别为t时刻的国民收入、总消费和总投资，它们满足如下关系：Y＝C＋IC＝a＋bY，a≥０，０＜b＜１I＝kC′，k＞０其中a，b和k为已知常数（a为最低消费水平，b为边际消费倾向，k为投资加速数）．（１）求Y（t）、C（t）和I（t）；Y（t）Y（t）（２）求极限ｌｉｍ，ｌｉｍ．t→∞I（t）t→∞C（t）解　（１）将后两个方程代入第一个方程，可得１－baY′＝Y－bkbk这是关于Y（t）的一阶线性方程，其通解为μtY＝Y（t）＝C１ｅ＋Ye其中记１－baμ＝，　Ye＝课后答案网：www.hackshp.cnbk１－b由Y（０）＝Y０得C１＝Y０－Ye．于是μtY（t）＝（Y０－Ye）ｅ＋Ye从而有C＝C（t）＝a＋bY（t）　　　　　　　　μt＝a＋b（Y０－Ye）ｅ＋bYeμt＝b（Y０－Ye）ｅ＋YeI＝I（t）＝kC′（t）μtμt＝bkμ（Y０－Ye）ｅ＝（１－b）（Y０－Ye）ｅ315若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）由Y（t）１Ye＝＋μtI（t）１－b（１－b）（Y０－Ye）ｅ可得Y（t）１ｌｉｍ＝t→∞I（t）１－b由μtY（t）（Y０－Ye）ｅ＋Ye＝μtC（t）b（Y０－Ye）ｅ＋Ye－μt（Y０－Ye）＋Yeｅ＝２μtb（Y０－Ye）＋Yeｅ可得Y（t）１ｌｉｍ＝t→∞C（t）b１２畅确定下列差分方程的阶：（１）３yt＋２－６yt＋１＝５t＋２；　（２）yt＋３－７yt＝９；（３）yt＋２－７yt＋１＋９yt＝５；（４）３yt＋６－５yt＋１＝７．解　（１）一阶；（２）三阶；（３）二阶；（４）五阶．１３畅证明下列函数是给定方程的解（其中a，b，c为任意常数）：a（１）yt＝，（１＋yt）yt＋１＝yt；１＋att（２）yt＝a＋b·２，yt＋２－３yt＋１＋２yt＝０；tt（３）yt＝a＋b·２＋c·３，yt＋３－６yt＋２＋１１yt＋１－６yt＝０．解将所给函数代入相应方程，可得：aa（１）（１＋yt）yt＋１＝１＋１＋at１＋a（t＋１）１＋a（t＋１）a＝·课后答案网：www.hackshp.cn１＋at１＋a（t＋１）a＝＝yt１＋at（２）yt＋２－３yt＋１＋２ytt＋２t＋１t　　　　＝（a＋b·２）－３（a＋b·２）＋２（a＋b·２）t＝（a－３a＋２a）＋（４b－６b＋２b）·２＝０（３）yt＋３－６yt＋２＋１１yt＋１－６ytt＋３t＋３t＋２t＋２　　　　＝（a＋b·２＋c·３）－６（a＋b·２＋c·３）316若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnt＋１t＋１tt　＋１１（a＋b·２＋c·３）－６（a＋b·２＋c·３）＝（a－６a＋１１a－６a）t　＋（８b－２４b＋２２b－６b）·２t　＋（２７c－５４c＋３３c－６c）·３＝０１４畅求下列差分方程的通解或满足给定初始条件的特解：t（１）yt＋１－５yt＝８；　　（２）yt＋１＋yt＝３；t（３）yt＋１＋２yt＝t＋３；（４）yt＋１－２yt＝３ｃｏｓπt；βt（５）yt＋１－αyt＝ｅ，α、β为常数且α≠０；３（６）yt＋１＋３yt＝－１，y０＝；４（７）yt＋１－２yt＝t＋１，y０＝１；t（８）yt＋１－yt＝２－１，y０＝５；（９）yt＋１＋４yt＝３ｓｉｎωt（ω为已知常数），y０＝１．解　（１）对应齐次方程yt＋１－５yt＝０的通解为tyc（t）＝c·５设非齐次方程有特解y倡（t）＝A，代入方程求得A＝－２，即非齐次方程有特解y倡（t）＝－２．因此，所求非齐次方程的通解为tyt＝yc（t）＋y倡（t）＝C·５－２（２）对应齐次方程yt＋１＋yt＝０的通解为tyc（t）＝C·（－１）t１设非齐次方程有特解y倡（t）＝A·３，代入方程求得A＝，即非齐次方程有４特解１ty倡（t）＝·３４因此，所求非齐次方程的通解为课后答案网：www.hackshp.cnt１tyt＝y（t）＋y倡（t）＝C·（－１）＋·３４（３）对应齐次方程yt＋１＋２yt＝０的通解为tyc（t）＝C·（－２）设非齐次方程有特解y倡（t）＝At＋B１８将其代入方程，可得A＝，B＝．因此，特解为３９317若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnt８y倡（t）＝＋３９从而，所给方程的通解为t１yt＝yc（t）＋y倡（t）＝C·（－２）＋（３t＋８）９（４）对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C·２设非齐次方程有特解ty倡（t）＝３（Aｃｏｓπt＋Bｓｉｎπt）将其代入所给方程，得t＋１t３［Aｃｏｓπ（t＋１）＋Bｓｉｎπ（t＋１）］－２·３（Aｃｏｓπt＋Bｓｉｎπt）t　＝３（－５Aｃｏｓπt－５Bｓｉｎπt）t　＝３ｃｏｓπt１由此得A＝－，B＝０．因此，特解为５１ty倡（t）＝－·３ｃｏｓπt５从而，所给方程的通解为t１tyt＝yc（t）＋y倡（t）＝C·２－·３ｃｏｓπt５（５）对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C·α设非齐次方程有特解βty倡（t）＝Aｅ将其代入所给方程，可得βA（ｅ－α）＝１β１因此，若α≠ｅ课后答案网：www.hackshp.cn，则A＝β．于是，有特解ｅ－α１βtβy倡（t）＝βｅ，α≠ｅｅ－αβ若α＝ｅ，则改设特解为βty倡（t）＝Atｅ１－β将其代入所给方程，可得A＝＝ｅ．于是，特解为αtβtβ（t－１）βy倡（t）＝ｅ＝tｅ，α＝ｅα318若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn综上所述，所求通解为t１βtβC·α＋βｅ，α≠ｅyt＝yc（t）＋y倡（t）＝ｅ－αt－１β（αC＋t）α，α＝ｅ（６）对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C·（－３）设非齐次方程有特解y倡（t）＝A１代入所给方程，可得A＝－．于是，所给方程的通解为４t１yt＝yc（t）＋y倡（t）＝C·（－３）－４３由y０＝，可得C＝１．因此，满足给定初始条件的特解为４t１y珋t＝（－３）－４（７）对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C·２设非齐次方程有特解y倡（t）＝At＋B代入所给方程，可得A＝－１，B＝－２，即特解为y（t）＝－t－２于是，所给方程的通解为tyt＝yc（t）＋y倡（t）＝C·２－（t＋２）由y０＝１可得C＝３．因此，满足初始条件的特解为ty珋t＝３·２－（t＋２）（８）对应齐次方程的通解为课后答案网：www.hackshp.cnyc（t）＝C设非齐次方程有特解ty倡（t）＝A·２＋Bt代入方程可得A＝１，B＝－１，即特解为ty倡（t）＝２－t于是，所给方程的通解为tyt＝yc（t）＋y倡（t）＝C＋２－t由y０＝５，可得C＝４．因此，满足给定初始条件的特解为ty珋t＝２＋（４－t）319若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（９）对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C·（－４）设非齐次方程有特解y倡（t）＝Aｓｉｎωt＋Bｃｏｓωt将其代入所给方程，可得Aｓｉｎω（t＋１）＋Bｃｏｓω（t＋１）＋４（Aｓｉｎωt＋Bｃｏｓωt）＝（Aｃｏｓω－Bｓｉｎω＋４A）ｓｉｎωt　　＋（Aｓｉｎω＋Bｃｏｓω＋４B）ｃｏｓωt＝３ｓｉｎωt由此得（ｃｏｓω＋４）A－ｓｉｎω·B＝３ｓｉｎω·A＋（ｃｏｓω＋４）B＝０解得３（ｃｏｓω＋４）３ｓｉｎωA＝２２，　B＝－２２（ｃｏｓω＋４）＋ｓｉｎω（ｃｏｓω＋４）＋ｓｉｎω于是，特解为３（ｃｏｓω＋４）３ｓｉｎωy倡（t）＝２２ｓｉｎωt－２２ｃｏｓωt（ｃｏｓω＋４）＋ｓｉｎω（ｃｏｓω＋４）＋ｓｉｎω３（ｃｏｓω＋４）３ｓｉｎω＝ｓｉｎωt－ｃｏｓωt１７＋８ｃｏｓω１７＋８ｃｏｓω从而，所求方程通解为t１２＋３ｃｏｓω３ｓｉｎωyt＝C（－４）＋ｓｉｎωt－ｃｏｓωt１７＋８ｃｏｓω１７＋８ｃｏｓω３ｓｉｎω由y０＝１，得C＝１＋，于是１７＋８ｃｏｓω３ｓｉｎωtyt＝１＋（－４）１７＋８ｃｏｓω课后答案网：www.hackshp.cn１２＋３ｃｏｓω３ｓｉｎω　＋ｓｉｎωt－ｃｏｓωt．１７＋８ｃｏｓω１７＋８ｃｏｓω倡１５畅求下列二阶差分方程的通解：（１）yt＋２－７yt＋１＋１２yt＝０；（２）yt＋２＋４yt＋１＋４yt＝０；（３）yt＋２－yt＋１＋yt＝０；２（４）yt＋２－４（a＋１）yt＋１＋４ayt＝０，其中a为常数，且１＋２a＞０；１（５）yt＋２－yt＝１；９320若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１９（６）yt＋２＋yt＋１＋yt＝；４４（７）yt＋２－２yt＋１＋４yt＝３t＋６；t（８）yt＋２－３yt＋１＋２yt＝３·５．解　（１）由特征方程２λ－７λ＋１２＝（λ－３）（λ－４）＝０得特征根λ１＝３，λ２＝４．因此，方程的通解为ttyc（t）＝C１·３＋C２·４（２）由特征方程２２λ＋４λ＋４＝（λ＋２）＝０得重特征根λ＝－２．因此，方程的通解为tyc（t）＝（C１＋C２t）（－２）（３）由特征方程２λ－λ＋１＝０　（a＝－１，b＝１）１３得复特征根λ１，２＝±ｉ．２２因为a＝－１，b＝１，所以r＝b＝１１２πｔａｎω＝－４b－a＝３，ω＝∈（０，π）a３故方程的通解为tyc（t）＝r（C１ｃｏｓωt＋C２ｓｉｎωt）ππ＝C１ｃｏｓt＋C２ｓｉｎt３３（４）由特征方程２２λ－４（a＋１）λ＋４a＝０可得两个相异的实特征根课后答案网：www.hackshp.cnλ１＝２（a＋１－２a＋１），λ２＝２（a＋１＋２a＋１）因此，所求通解为tttyc（t）＝［C１（a＋１－２a＋１）＋C２（a＋１＋２a＋１）］·２（５）由特征方程２１λ－＝０９１１可得特征根λ１＝－，λ２＝．于是，对应齐次方程的通解为３３321若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cntt１１yc（t）＝C１·－＋C２·３３不难求得非齐次方程有特解９y倡（t）＝８因此，所求通解为tt１１９yt＝yc（t）＋y倡（t）＝C１·－＋C２·＋３３８（６）由特征方程２２１１λ＋λ＋＝λ＋＝０４２１得重特征根λ＝－．于是，对应齐次方程的通解为２t１yc（t）＝（C１＋C２t）－２不难求得非齐次方程有特解y倡（t）＝１因此，所求通解为t１yt＝yc（t）＋y倡（t）＝（C１＋C２t）－＋１２（７）由特征方程２２λ－２λ＋４＝（λ－１）＋３＝０得复特征根λ１，２＝１±３ｉ．因为a＝－２，b＝４，所以r＝b＝２１２πｔａｎω＝－４b－a＝３，ω＝∈（０，π）a３故对应齐次方程的通解为课后答案网：www.hackshp.cntππyc（t）＝２C１ｃｏｓt＋C２ｓｉｎt３３设非齐次方程有特解y倡（t）＝A＋Bt代入方程可得A＝２，B＝１，即有特解y倡（t）＝２＋t因此，所求通解为tππyt＝yc（t）＋y倡（t）＝２C１ｃｏｓt＋C２ｓｉｎt＋t＋２３３322若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（８）由特征方程２λ－３λ＋２＝（λ－１）（λ－２）＝０得特征根λ１＝１，λ２＝２．因此，对应齐次方程的通解为tyc（t）＝C１＋C２·２设非齐次方程有特解ty倡（t）＝A·５１代入方程可得A＝，即特解为４１ty倡（t）＝·５４因此，所求通解为t１tyt＝yc（t）＋y倡（t）＝C１＋C２·２＋·S４１６畅经济学家卡恩（Ｋａｈｎ）曾提出如下宏观经济模型：Yt＝Ct＋I，Ct＝α＋βYt－１其中Yt和Ct分别为t期国民收入和消费，I为各期相同的投资；α＞０，０＜β＜１为常数．求Yt和Ct．解由卡恩模型消去Ct，得Yt＝βYt－１＋（I＋α）易知其通解为～tYt＝C·β＋Ye～I＋α其中C为任意常数，Ye＝（称为均衡国民收入）．１－β～令t＝０，可得C＝Y０－Yｅ．因此，得tYt＝（Y０－Ye）·β＋Ye课后答案网：www.hackshp.cntβI＋αCt＝α＋βYt－１＝（Y０－Ye）·β＋１－β１７畅设Yt、Ct和It分别为t期的国民收入、消费和投资．三者之间有如下关系：Yt＝Ct＋ItCt＝α＋βYt，α＞０，０＜β＜１Yt＋１－Yt＝γIt，γ＞０求Yt、Ct和It．解由所给关系式消去Ct、It，可得323若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnYt＋１－［１＋γ（１－β）］Yt＝－αγ其解为tYt＝（Y０－Ye）（１＋R）＋Yeα其中Ye＝（均衡国民收入），R＝γ（１－β）．１－β于是，由所给关系式可得tCt＝α＋βYt＝β（Y０－Ye）（１＋R）＋YetIt＝Yt－Ct＝（１－β）（Y０－Ye）（１＋R）（B）１畅填空题：（１）y′＝２xy的通解yc（t）＝　　　　；ｃｏｓx（２）函数y＝应满足的一阶微分方程是　　　　；x（３）y″＋y＝－２x的通解yc（t）＝　　　　　　　　　；EQ１１００（４）已知某商品的需求价格弹性为＝－，且当p＝ｅ时，Q＝０，则需求EpQ函数为　　　　　　　；（５）差分方程yt＋１－３yt＝４满足初始条件y０＝１的特解为　　　　　　．x２１ｓｉｎx答　（１）Cｅ；（２）y′＋y＝－；xx（３）C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx－２x；t＋１（４）Q＝１００－ｌｎp；　（５）３－２．解　（１）分离变量得１ｄy＝２xｄxy积分得课后答案网：www.hackshp.cn２ｌｎ｜y｜＝x＋ｌｎ｜C｜由此得x２x２｜y｜＝｜C｜ｅ　痴　y＝Cｅｃｏｓx（２）对y＝求导，得x－ｓｉｎx·x－ｃｏｓxｓｉｎx１y′＝２＝－－yxxx由此得324若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１ｓｉｎxy′＋y＝－xx（３）由特征方程２λ＋１＝０得复特征值λ１，２＝±ｉ．于是，对应齐次方程的通解为yc（x）＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx设非齐次方程有特解y倡（x）＝Ax代入方程得A＝－２，即特解为y倡（x）＝－２x从而通解为y＝y（x）＝yc（x）＋y倡（x）＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx－２x（４）依假设有EQpｄQ１＝＝－EpQｄpQ由此得１ｄQ＝－ｄpp积分得Q＝C－ｌｎp１００１００由Q（ｅ）＝０，得C＝ｌｎｅ＝１００．所以，需求函数为Q＝１００－ｌｎp（５）易知该差分方程的通解为tyt＝C·３－２于是，由y０＝１得C＝３．因此，所求特解为t＋１yt＝３－２２畅单项选择题：课后答案网：www.hackshp.cn（１）下列方程中，是齐次方程．ｄyｄx１（Ａ）２＝２２；　　（Ｂ）y′＝２y－２xyx－xy＋yx－y（Ｃ）（２x－y＋３）ｄy＝（x－２y＋１）ｄx；xy（Ｄ）ｄy＝ｄx２＋y２＋xx（２）微分方程y′＝４ｅ－３y的通解是　　　．x－３xx（Ａ）y＝ｅ（Ｂ）y＝ｅ＋ｅ－３xx－３xx（Ｃ）y＝Cｅ＋ｅ；（Ｄ）y＝－ｅ＋ｅ．325若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（３）已知f（x）是微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）的一个特解，则该方程的通解为　　　．∫P（x）ｄx（Ａ）y＝Cf（x）＋ｅ∫P（x）ｄx；　（Ｂ）y＝f（x）＋Cｅ；－∫P（x）ｄx（Ｃ）y＝Cf（x）＋ｅ－∫P（x）ｄx；（Ｄ）y＝f（x）＋Cｅ．２y（４）微分方程（xy′－y）ｃｏｓ＋x＝０的通解是　　　．xy２y（Ａ）＋ｓｉｎ＋２ｌｎ｜x｜＝C；xx２y２y（Ｂ）＋ｓｉｎ＋２ｌｎ｜x｜＝C；xxyy（Ｃ）＋ｓｉｎ＋４ｌｎ｜x｜＝C；xx２y２y（Ｄ）＋ｓｉｎ＋４ｌｎ｜x｜＝C．xx答　（１）Ａ；（２）Ｃ；（３）Ｄ；（４）Ｄ．y解　（１）易知（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）均不能化为齐次方程的形式：y′＝φ．而x（Ａ）可化为２yy２－２y－２xyxxyy′＝２２＝２＝φx－xy＋yyyx１－＋xx因此，应选（Ａ）．（２）因为（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）中均不含任意常数，故不是通解．而（Ｃ）中含任意常数且为方程的解．故应选（Ｃ）．（３）（Ａ）、（课后答案网：www.hackshp.cnＣ）中任意常数C不是出现在对应齐次方程的通解中，不对；（Ｂ）P（x）ｄx－∫P（x）ｄx中Cｅ∫不是对应齐次方程的解；而（Ｄ）中Cｅ是对应齐次方程的通解．因此，应选（Ｄ）．（４）将所给方程变形为y１y′－＝－x２yｃｏｓxy令u＝，则可得x326若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２１ｃｏｓuｄu＋ｄx＝０x积分可得２u＋ｓｉｎ２u＋４ｌｎ｜x｜＝C即２y２y＋ｓｉｎ＋４ｌｎ｜x｜＝Cxx因此，应选（Ｄ）．３畅求下列微分方程的通解或特解：２２（１）ｓｉｎxｃｏｓyｄx＋ｃｏｓxｄy＝０；３２y２（２）ｄx＋３ｅｄy＝０，y（１）＝０；xyx－１２２（３）（xy－x）ｄy＝yｄx，y（１）＝１；２３３（４）xyｄy＝（x＋y）ｄx，y（１）＝０；－x２（５）y′＋２xy＝ｅxｓｉｎx，y（０）＝１；４３x＋y（６）y′＝２；xy２xy４ａｒｃｔａｎx（７）y′＝２＋y；１＋x２１＋xαxβx（８）y″－（α＋β）y′＋αβy＝aｅ＋bｅ，其中a，b，α和β为已知常数；－x（９）y″－３y′＋２y＝４＋２ｅ，ｌｉｍy（x）＝２；x→＋∞（１０）y′＋f（x）y＝f（x）f′（x），其中f（x）为已知的连续可微函数．解（１）将原方程变形为２ｓｉｎxｓｅｃyｄy＋２ｄx＝０ｃｏｓx积分得通解为课后答案网：www.hackshp.cnｔａｎy＋ｓｅｃx＝C或y＝ａｒｃｔａｎ（C－ｓｅｃx）（２）将原方程变形为３３（x－１）y２２１y２２ｄx＋２yｅｄy＝３x－ｄx＋ｅｄy＝０xx积分得通解为３y２x－３ｌｎ｜x｜＋ｅ＝C由y（１）＝０，得C＝２．于是，所求特解为３y２２３x－３ｌｎ｜x｜＋ｅ＝２　或y＝ｌｎ（２＋３ｌｎ｜x｜－x）（３）将原方程变形为齐次方程327若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn２y２yxy′＝２＝xy－xy－１xy令u＝，则由上式可得xuu－１１xu′＝或ｄu＝ｄxu－１ux积分得u－ｌｎu＝ｌｎx＋ｌｎC痴u＝ｌｎ（cxu）代回原变量，得通解yy／x＝ｌｎ（Cy）　或Cy＝ｅx由y（１）＝１，得C＝ｅ．于是，所求特解为y－１（y－x）／xy＝ｅx＝ｅ（４）将原方程变形为齐次方程３３２x＋yxyy′＝２＝＋xyyx令y＝xu，则由上式得２１uｄu＝ｄxx积分得１３u＝ｌｎx＋ｌｎC＝ｌｎ（Cx）３代回原变量，得通解３３３y＝xｌｎ（Cx）由y（１）＝０，得C＝１．于是，所求特解为３３３１／３y＝xｌｎx或y＝x（３ｌｎx）课后答案网：www.hackshp.cn（５）利用一阶线性微分方程的通解公式（９畅３４），得－∫２xｄx２xｄxy＝ｅ－x２∫C＋∫xｓｉｎx·ｅ·ｅｄx－x２－x２x２＝ｅC＋∫xｓｉｎx·ｅ·ｅｄx－x２＝ｅC＋∫xｓｉｎxｄx－x２＝ｅC－∫xｄｃｏｓx328若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn－x２＝ｅC－xｃｏｓx＋∫ｃｏｓxｄx－x２＝ｅ（C－xｃｏｓx＋ｓｉｎx）由y（０）＝１，得C＝１．于是所求特解为－x２y＝（１＋ｓｉｎx－xｃｏｓx）ｅ３（６）令u＝y，则原方程变形为４３２x＋y３３u′＝３yy′＝３＝３x＋uxx这是关于u的一阶线性方程，由公式（９畅３４），其通解为３ｄx∫x－３ｄxu＝ｅ３∫xC＋∫３xｅｄx３＝x（C＋３x）代回原变量，得通解３３１／３y＝x（C＋３x）　或y＝x（C＋３x）（７）令u＝y，则原方程变形为x２u′＝２u＋ａｒｃｔａｎx１＋x２１＋x其通解为xｄx∫１＋x２－xｄxu＝ｅ２∫１＋x２C＋∫ａｒｃｔａｎx·ｅ２ｄx１＋x２２ａｒｃｔａｎx１＝１＋xC＋∫·ｄx２２１＋x１＋x２＝１＋xC＋２∫ａｒｃｔａｎxｄａｒｃｔａｎx２２＝１＋x［C＋（ａｒｃｔａｎx）］代回原变量，得通解课后答案网：www.hackshp.cn２２２y＝（１＋x）［C＋（ａｒｃｔａｎx）］（８）α≠β时，由特征方程２λ－（α＋β）λ＋αβ＝（λ－α）（λ－β）＝０得特征根λ１＝α，λ２＝β．于是，对应齐次方程的通解为αxβxyc＝C１ｅ＋C２ｅ因α、β为特征根，故设非齐次方程有特解αxβxy倡＝Axｅ＋Bxｅ将其代入方原，可得329若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnabA＝，　B＝α－βα－β于是，有特解xαxβxy倡＝（aｅ＋be）α－β从而，非齐次方程的通解为axαxbxβxy＝yc＋y倡＝C１＋ｅ＋C２＋ｅ，α≠βα－βα－βα＝β时，由特征方程２２２λ－２αλ＋α＝（λ－α）＝０得重特征根λ＝α．于是，齐次方程的通解为αxyc＝（C１＋C２x）ｅ因α为重特征根，故设非齐次方程有特解２αxy倡＝Axｅ１代入方程可得A＝（a＋b），即特解为２１２αxy倡＝（a＋b）xｅ２从而，非齐次方程的通解为１２αxy＝yc＋y倡＝C１＋C２x＋（a＋b）xｅ，α＝β２综上所述，所求方程的通解为axαxbxβxC１＋ｅ＋C２＋ｅ，若α≠βα－βα－βy＝１２αxC１＋C２x＋（a＋b）xｅ，若α＝β２（９）由特征方程２λ－３λ＋２＝（λ－１）（λ－２）＝０得特征根λ１＝１，λ课后答案网：www.hackshp.cn２＝２．故齐次方程的通解为x２xyc＝C１ｅ＋C２ｅ设非齐次方程有特解－xy倡＝A＋Bｅ１代入方程可得A＝２，B＝，即特解为３１－xy倡＝２＋ｅ３于是，非齐次方程的通解为330若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnx２x１－xy＝yc＋y倡＝C１ｅ＋C２ｅ＋２＋ｅ３由条件ｌｉｍy（x）＝２，可得C１＝C２＝０．从而，所求特解为x→＋∞１－xy＝２＋ｅ３（１０）由通解公式（９畅３４），得－∫f′（x）ｄxy＝ｅ∫f′（x）ｄxC＋∫f（x）f′（x）ｅｄx－f（x）f（x）＝ｅC＋∫f（x）ｅｄf（x）－f（x）f（x）＝ｅC＋∫f（x）ｄｅ－f（x）f（x）f（x）＝ｅC＋f（x）ｅ－∫ｅｄf（x）－f（x）f（x）f（x）＝ｅC＋f（x）ｅ－ｅ－f（x）＝Cｅ＋f（x）－１４畅利用适当的变量代换求下列方程的通解：（１）xy′＝y（１＋ｌｎy－ｌｎx）；yy（２）x＋yｃｏｓｄx－xｃｏｓｄy＝０；xx２２y１y（３）y′＝（x＋y）；　（４）y′＝－ｔａｎ；２x２yx２y－x－５（５）y′＝．２x－y＋４解　（１）将原方程变形为齐次方程yyy′＝１＋ｌｎxx令y＝xu，则由上式可得课后答案网：www.hackshp.cn１１ｄu＝ｄxuｌｎux积分得ｌｎｌｎu＝ｌｎx＋ｌｎC＝ｌｎ（Cx）由此得Cxｌｎu＝Cx或u＝ｅ代回原变量得通解Cxy＝xｅ331若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（２）将原方程两端同除以x，得yyy１＋ｃｏｓｄx－ｃｏｓｄy＝０xxx令y＝xu，则ｄy＝uｄx＋xｄu，代入上式可得１ｃｏｓuｄu＝ｄxx积分得ｓｉｎu＝ｌｎ｜x｜＋C由此得u＝ａｒｃｓｉｎ（ｌｎ｜x｜＋C）代回原变量得通解y＝xａｒｃｓｉｎ（ｌｎ｜x｜＋C）（３）令u＝x＋y，则２１u′＝１＋y′＝１＋u　痴　２ｄu＝ｄx１＋u积分得ａｒｃｔａｎu＝x＋C或u＝ｔａｎ（x＋C）代回原变量得通解y＝u－x＝ｔａｎ（x＋C）－x２y２（４）令z＝或y＝xz，则x２yy′＝z＋xz′于是，由原方程得z＋xz′＝z－ｔａｎz即xz′＝－ｔａｎz由此得课后答案网：www.hackshp.cn１１ｄz＋ｄx＝０ｔａｎzx积分得ｌｎ｜xｓｉｎz｜＝ｌｎ｜C｜由此得xｓｉｎz＝C代回原变量得通解２y２Cxｓｉｎ＝C或y＝xａｒｃｓｉｎxx332若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn（５）令x＝u＋α，y＝v＋β，则２y－x－５＝（２v－u）＋（２β－α－５）２x－y＋４＝（２u－v）＋（２α－β＋u）令２β－α－５＝０，　２α－β＋４＝０解得α＝－１，β＝２．于是，变量代换为x＝u－１，y＝v＋２于是，得ｄyｄv２v－u＝＝ｄxｄu２u－vv令z＝或v＝uz，则上式变形为u２z－１uz′＝２－z由此得１２－z１１３ｄu＝２ｄz＝－ｄzuz－１２z－１z＋１积分得１１～ｌｎu＝［ｌｎ（z－１）＋３ｌｎ（z＋１）］＋ｌｎC２２由此得～２C（z－１）ｌｎu＝ｌｎ３（z＋１）或～２C（z－１）u＝３（z＋１）v将z＝代入上式课后答案网：www.hackshp.cn，得uv－１２～u～２v－uu＝C·３＝C·u·３v（u＋v）＋１u由此得v－u１３＝＝C（u＋v）～C于是，代回原变量得通解333若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cny－x－３３＝C（y＋x－１）５畅求满足下列方程的可微函数f（x）：x２x（１）f（x）＝∫f（t）ｄt＋ｅ；０２xt（２）f（x）＝∫fｄt＋ｌｎ２；０２x２２（３）xf（x）＝１＋∫f（t）ｄt；１x（４）f（x）＝ｃｏｓ２x＋∫f（t）ｓｉｎtｄt．０解　（１）对给定方程两端求导，得２xf′（x）＝f（x）＋２ｅ这是关于f（x）的一阶线性微分方程，由公式（９畅３４），得∫ｄx－ｄxf（x）＝ｅ２x∫C＋∫２ｅｅｄxxx＝ｅC＋２∫ｅｄxxxx２x＝ｅ（C＋２ｅ）＝Cｅ＋２ｅ由给定方程有f（０）＝１，代入上式得C＝－１．因此，满足给定方程的函数为２xxf（x）＝２ｅ－ｅ（２）对给定方程两端求导，得f′（x）＝２f（x）由此得２xf（x）＝Cｅ因f（０）＝ｌｎ２，故C＝ｌｎ２．于是得２xf（x）＝（ｌｎ２）·ｅ（３）对给定方程两端求导课后答案网：www.hackshp.cn，得２２２xf（x）＋xf′（x）＝f（x）由此得２f（x）f（x）f′（x）＝－２xxf（x）令u（x）＝或f（x）＝xu（x），则x２f′（x）＝u（x）＋xu′（x）＝u－２u由此得334若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn１１１１１ｄx＝ｄu＝－ｄuxu（u－３）３u－３u或３１１ｄx＝－ｄuxu－３u积分得u－３３ｌｎx＋ｌｎC＝ｌｎ（u－３）－ｌｎu＝ｌｎu由此得u－３３３＝Cx痴u＝３u１－Cx从而得３xf（x）＝xu＝３１－Cx由所给方程有f（１）＝１，代入上式得C＝－２．于是，所求函数为３xf（x）＝３１＋２x（４）对给定方程两端求导，得f′（x）＝－２ｓｉｎ２x＋f（x）ｓｉｎx由此得∫ｓｉｎxｄxf（x）＝ｅ－∫ｓｉｎxｄxC－２∫ｓｉｎ２xｅｄx－ｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC－４∫ｓｉｎx·ｃｏｓxｅｄx－ｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC＋４∫ｃｏｓxｅｄｃｏｓx－ｃｏｓxｃｏｓxｃｏｓx＝ｅC＋４ｃｏｓxｅ－∫ｅｄｃｏｓx课后答案网：www.hackshp.cn－ｃｏｓxｃｏｓxｃｏｓx＝ｅ［C＋４（ｃｏｓxｅ－ｅ）］－ｃｏｓx＝Cｅ＋４（ｃｏｓx－１）因f（０）＝１，故由上式得C＝１．于是，所求函数为－ｃｏｓxf（x）＝ｅ＋４（ｃｏｓx－１）６畅求满足方程xxf（x）＝ｅ－∫（x－t）f（t）ｄt０的二阶可微函数f（x）．解将所给方程改写为335若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnxxxf（x）＝ｅ－x∫f（t）ｄt＋∫tf（t）ｄt００对上式求导得xxf′（x）＝ｅ－∫f（t）ｄt－xf（x）＋xf（x）０xx＝ｅ－∫f（t）ｄt①０再对上式求导得xf″（x）＝ｅ－f（x）即xf″（x）＋f（x）＝ｅ②由特征方程２λ＋１＝０得复特征根λ１，２＝±ｉ，故②的对应齐次方程通解为fc＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx设②有特解xf倡＝Aｅ１代入②得A＝，即特解为２１xf倡＝ｅ２于是，②的通解为１xf（x）＝fc＋f倡＝C１ｃｏｓx＋C２ｓｉｎx＋ｅ③２由给定方程和①得f（０）＝１，f′（０）＝１，代入③可得１１C１＝，　C２＝２２因此，所求函数为课后答案网：www.hackshp.cn１xf（x）＝（ｃｏｓx＋ｓｉｎx＋ｅ）２７畅已知差分方程（a＋byt）yt＋１＝cyt，t＝０，１，２，…其中a，b，c为正的常数，且y０＞０．（１）试证：yt＞０，t＝１，２，…１（２）试证：变换ut＝将原方程化为ut的线性方程，并由此求出yt的通解．yt１（３）求方程（２＋３yt）yt＋１＝４yt，y０＝的解．２336若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn解　（１）因为a，b，c，y０＞０，所以cy０cy１y１＝＞０，　y２＝＞０a＋by０a＋by１若yt＞０，则cytyt＋１＝＞０a＋byt于是，由归纳法可知yt＞０，t＝１，２，…１１（２）设ut＝，即yt＝，则ytutb１c（a＋byt）yt＋１＝a＋＝utut＋１ut由此得abcut＋１＝aut＋b或ut＋１＝ut＋cc由此可解得t～abC＋，a≠ccc－aut＝～bC＋t，a＝ca代回原变量得t－１～abC＋，a≠ccc－ayt＝－１～bC＋t，a＝ca由初始条件y０可得１b＋，a≠c～y０a－c课后答案网：www.hackshp.cnC＝１，a＝cy０由此得t－１１bab＋－，a≠cy０a－ccc－ayt＝－１１b＋t，a＝cy０a１（３）因为a＝２，b＝３，c＝４，y０＝，且a≠c，所以２337若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cnt－１t＋１－１３１３１３yt＝２－＋＝＋２２２２２８畅已知某商品的净利润L与广告支出x有如下关系：L′＝a－b（x＋L）其中a，b为正的常数，且L（０）＝L０＞０．求净利润函数L（x）．解因为L′＝a－b（x＋L）＝－bL＋（a－bx）所以－bxbxL（x）＝ｅC＋∫（a－bx）ｅｄx－bx１bx＝ｅC＋∫（a－bx）ｄｅb－bx１bx１bx＝ｅC＋（a－bx）ｅ＋∫ｅｄbxbb－bx１bx１bx＝ｅC＋（a－bx）ｅ＋ｅbb－bxa＋１＝Cｅ＋－xba＋１由L（０）＝L０，得C＝L０－．因此，净利润函数为ba＋１－bxa＋１L（x）＝L０－ｅ＋－xbb９畅假设某品牌小汽车t时刻的运行成本和转让价值分别为R＝R（t）和S＝S（t），它们满足如下关系：aR′＝，　S′＝－bSS（t）其中a，b为正的常数．已知R（０）＝０，课后答案网：www.hackshp.cnS（０）＝S０（S０为购买成本）．求R（t）和S（t）．解首先，由S′＝－bS和S（０）＝S０，可得－bt－btS（t）＝C１ｅ＝S０ｅa其次，由R′＝和上式，得SabtR′＝ｅS０积分得abtR（t）＝ｅ＋C２S０b338若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cna由R（０）＝０，得C２＝－．于是得S０babtR（t）＝（ｅ－１）S０b１０畅设某公司办公用品的月平均成本C与公司雇员人数x有如下关系：－x２C′＝ｅC－２C，C（０）＝１求月平均成本函数C（x）．１－２－１解C应满足的方程为n＝２的伯努利方程．因此，令y＝C＝C，则２y′＝－CC′　　　　　　　　－２－x２＝－C（ｅC－２C）－x＝２y－ｅ由此得∫２ｄx～－ｄxy＝ｅ－x∫２C－∫ｅ·ｅｄx２x～－３x＝ｅC－∫ｅｄx２x～１－３x＝ｅC＋ｅ３～２x１－x＝Cｅ＋ｅ３代回原变量得x１３ｅ～C＝C（x）＝＝３x　（C１＝３C）y１＋C１ｅ由C（０）＝１，得C１＝２．因此，月平均成本函数为x３ｅC（x）＝３x１＋２ｅ１１畅设w＝w（t）和y＝y（t）分别为t时刻的人均小麦产量和人均国民收入，它们满足如下关系课后答案网：www.hackshp.cn：１βtw′＝＋kｅ，w（０）＝w０＞０αyy′＝βy，y（０）＝y０＞０其中α，β和k为常数，且β＞０，αβy０＞kw（t）（１）求w（t）、y（t）；（２）求极限ｌｉｍt→＋∞y（t）解　（１）由y′＝βy，y（０）＝y０，得βty＝y（t）＝y０ｅ339若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn于是有１βt１－βtβtw′＝＋kｅ＝ｅ＋kｅαyαy０积分得kβt１－βtw＝w（t）＝ｅ－ｅ＋Cβαβy０由w（０）＝w０，得１kC＝w０＋－αβy０β（２）由β＞０和w（t）k１－２βtC－βt＝－２ｅ＋ｅy（t）βy０αβy０y０可得w（t）kｌｉｍ＝t→＋∞y（t）βy０１２畅（Ｉ．Ｊｏｈａｎｈｅｎ模型）　设K＝K（t）、H＝H（t）分别为某国t时刻的资本存量、外援水平，它们满足如下方程：K′＝αK＋H，H′＝βH其中α，β为正的常数．已知K（０）＝K０＞０，H（０）＝H０＞０．求K（t），H（t）．解由H′＝βH，H（０）＝H０，得βtH＝H（t）＝H０ｅ于是得βtK′＝αK＋H０ｅ这是关于K的一阶线性微分方程，其通解为H０（β－α）tαtC＋ｅｅ，α≠βK＝K（t）＝β－ααt（C＋H０t）ｅ，α＝β课后答案网：www.hackshp.cn由K（０）＝K０，得H０αtH０βtK０＋ｅ＋ｅ，α≠βK＝K（t）＝α－ββ－ααt（K０＋H０t）ｅ，α＝β１３畅梅茨勒（Ｍｅｔｚｌｅｒ，Ｌ．Ａ．）曾提出如下库存模型：yt＝ut＋St＋αut＝βyt－１St＝β（yt－１－yt－２）340若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn其中yt为t期总收入，ut为t期销售收入，St为t期库存量；α，β为常数，且０＜β＜１．求yt，ut和St．解由所给模型消去ut、St，可得yt－２βyt－１＋βyt－２＝α①①的特征方程为２λ－２βλ＋β＝０因０＜β＜１，故有一对共轭复特征根λ１，２＝β±β（１－β）ｉ于是方程①对应的齐次方程的通解为tyc（t）＝（β）（C１ｃｏｓωt＋C２ｓｉｎωt）其中ω由ｔａｎω＝（１－β）／β确定（０＜ω＜π）；C１，C２为任意常数，由初值y０，y１确定．易知方程①有特解y倡（t）＝α／（１－β）于是，方程①的通解为tαyt＝yc（t）＋y倡（t）＝（β）（C１ｃｏｓωt＋C２ｓｉｎωt）＋②１－β令t＝０，１，由②可得αy１－βy０－αC１＝y０－，C２＝③１－ββ（１－β）由②式得ut＝βyt－１t＋１αβ＝（β）［C１ｃｏｓω（t－１）＋C２ｓｉｎω（t－１）］＋１－βtαβ课后答案网：www.hackshp.cn＝（β）（C珔１ｃｏｓωt＋C珔２ｓｉｎωt）＋１－β其中C珔C珔１＝βC１－β（１－β）C２，２＝β（１－β）C１＋βC２再由②式得St＝β（yt－１－yt－２）　　　　　　　　　　　　　　t－１＝β｛（β）［C１ｃｏｓω（t－１）＋C２ｓｉｎω（t－１）］t－２　－（β）［C１ｃｏｓω（t－２）＋C２ｓｉｎω（t－２）］｝t＝（β）｛β［C１ｃｏｓ（ωt－ω）＋C２ｓｉｎ（ωt－ω）］341若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn　＋［C１ｃｏｓ（ωt－２ω）＋C２ｓｉｎ（ωt－２ω）］｝t～～＝（β）（C１ｃｏｓωt＋C２ｓｉｎωt）其中～C１＝（３β－１）C１－３β（１－β）C２～C２＝３β（１－β）C１＋（３β－１）C２［注］　在推导过程中，利用了如下已知关系式：因为ｔａｎω＝（１－β）／β，ω∈（０，π）所以ｓｉｎω＝１－β，ｃｏｓω＝β．课后答案网：www.hackshp.cn342若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn 课后答案网：www.hackshp.cn郑重声明高等教育出版社依法对本书享有专有出版权．任何未经许可的复制、销售行为均违反枟中华人民共和国著作权法枠．其行为人将承担相应的民事责任和行政责任，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了维护市场秩序，保护读者的合法权益，避免读者误用盗版书造成不良后果，我社将配合行政执法部门和司法机关对违法犯罪的单位和个人给予严励打击．社会各界人士如发现上述侵权行为，希望及时举报，本社将奖励举报有功人员．反盗版举报电话：（０１０）５８５８１８９７／５８５８１８９６／５８５８１８７９反盗版举报传真：（０１０）８２０８６０６０E－mail：ｄｄ＠ｈｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ通信地址：北京市西城区德外大街４号高等教育出版社打击盗版办公室邮编：１００１２０购书请拨打电话：（０１０）５８５８１１１８课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！www.hackshp.cn'