微积分 (王国政 王婷 著) 西南财经大学出版社 第三章 课后答案 10页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 第三章习题解答1.求等边三角形的面积关于其边长的变化率。12π32解：∵S=asin=a2343∴S′=a22.求球体积关于其半径的变化率。该变化率与球的表面积有什么关系。432解：∵V=πr∴V′=4πr32⇒V′=4πr=S球3利用导数定义求出以下函数的导数。khdaw.com2()1fx()=2x+5x−932fx(+∆x−)fx()⎡⎣2(x+∆x+)5x+∆(x−9⎤⎦−()2x+5x−9)解：∵f′()x=lim=lim∆→x0∆x∆→x0∆x2课后答案网236x∆+x6x(∆x)+2∆x(+∆5)x222=lim=lim6(x+6xx∆+2(∆x)+5)=6x+5∆→x0∆x∆→x0()3fx()www.hackshp.cn=sin3xfx(+∆−x)fx()sin3(x+∆−xsin3)x解：∵f′()x=lim=lim∆→x0∆x∆→x0∆x32(x+∆x)3∆x32(x+∆x)3∆x2cossin3cossin2222=lim=lim=3cos3x∆→x0∆x∆→x03∆x24．设函数fx()在x处可导，计算下列各式0fx(0+∆x−)fx0()()1lim∆→x0∆xfx(0+∆x−)fx0()解：lim=f′(x0)∆→x0∆xfx(0−∆x−)fx0()()3lim∆→x0∆xfx(0−∆x−)fx0()⎡fx(0−∆x−)fx0⎤()解：lim=lim−⎢⎥=−f′(x0)∆→x0∆x∆→x0⎣−∆x⎦khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎡⎛1⎞⎤()5limnfx⎢⎜0+⎟−fx(0⎥)n→∞⎣⎝n⎠⎦⎡⎛1⎞⎤⎢fx⎜0+⎟−fx(0⎥)⎡⎛1⎞⎤⎝n⎠解：limnfx⎢⎜0+⎟−fx(0⎥)=lim⎢⎥=f′(x0)n→∞⎣⎝n⎠⎦n→∞⎢1⎥⎢⎣n⎥⎦⎛π1⎞5.求曲线y=sinx在点⎜,⎟处的切线方程和法线方程。⎝62⎠π3解：∵y′=cosx∴y′π=cox=x=662⎛π1⎞khdaw.com∴过⎜，的切线方程为：⎟⎝62⎠⎛1⎞3⎛π⎞⎜y−⎟=⎜x−⎟即12y−63x−+63π=0⎝2⎠2⎝课后答案网6⎠⎛π1⎞∴过⎜，的法线方程为：⎟⎝62⎠⎛1⎞www.hackshp.cn−2⎛π⎞⎜y−⎟=⎜x−⎟即12x+63y+2π−33=0⎝2⎠3⎝6⎠36.曲线y=2x+1上哪一点的切线与直线y=0平行？并求直线方式。23解：∵y′=6x→y′=0→=x0→y=(2x+1=)1x=0x=0∴曲线在(0,1处的切线与)y=0平行。切线方式为：y−=107.判断下列函数在x=0处的连续性与可导性。若可导求出f′()0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎧x+3x≥0()1fx()=⎨⎩−+x3x<0解：∵f(00−=)lim−+x(3=3f)00+=lim(x+3)=3()x→0−x→0+f(00−=)f00+(==3)f0()∴fx()在x=0处连续f(0+∆x−)f0()⎣⎡−(0+∆x+3)⎤⎦−3又∵f′()0=lim=lim=−1−−−∆→x0∆x∆→x0∆xf(0+∆x−)f0()⎡⎣(0+∆x+)3⎤⎦−3f+′()0=lim=lim=1∆→x0+∆x∆→x0+∆xf−′()0=−≠=11f+′()0khdaw.com∴fx()在x=0处不可导⎧⎪ln1(+x)x≥0()2fx()=⎨⎪⎩xx<0解：∵f(00−=)limln1+x(=0f)00+=lim(x=0)x→课后答案网0−x→0+f(00−=)f00+(=0=)ln1=f()0∴fx()www.hackshp.cn在x=0处连续f(0+∆x−)f0()∆−x0又∵f−′()0=lim=lim=1∆→x0−∆x∆→x0−∆xf(0+∆x−)f0()⎡⎣ln1(+∆x⎤⎦−)0f+′()0=lim=lim=1∆→x0+∆x∆→x0+∆xf−′()0==1f+′0()∴fx()在x=0处可导,且f′()0=12⎧xx≤18.为了使函数fx()=⎨在点x=1处既连续又可导，问应采取什么值。⎩axb+x>12解：∵f(10−=)limfx=()limx==1f1()x→1−x→1−f(10+=)limfx=()limaxb+=ab+++x→1x→1要使fx()在x=1处连续，只要ab+=1即可2f(1+∆x−)f1()(1+∆x−)1又∵f−′()1=lim=lim=2∆→x0−∆x∆→x0−∆xf(1+∆x−)f1()(a(1+∆x+)b)−1f+′()1=lim=lim=a∆→x0+∆x∆→x0+∆x∴要使fx()在x=1处可导⇒=2a从而⇒=−b1即当a=2,b=−1时，fx()在x=1处既连续又可导11.求下列函数的导数。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2()1y=7x+5x−4解：y′=14x+51−x()3y=x′−1′1′⎛1⎞′⎛⎞⎛⎞解：y′=⎜⎟−(x=)⎜x2⎟−⎜x2⎟⎝x⎠⎝⎠⎝⎠−3−111=−x2−x222x()5y=alnxx′xx1解：khdaw.comy′=(alnx=a)lnlnaxa+xx⎛1⎞=a⎜lnlnax+⎟⎝课后答案网x⎠2ntax−1()7y=tanx+1⎛2ntax−1⎞′2sec2x(tanx+1−)2ntax(−1sec2x)解：y′=⎜⎟=www.hackshp.cn2⎝tanx+1⎠(tanx+1)23secx=2(tanx+1)x+lnx()9y=xxe+⎛1⎞xx′⎜1+⎟(xe+−()x+lnx(1+)e)⎛x+lnx⎞⎝x⎠解：y′=⎜⎟=x2⎝xe+⎠(xe+x)x⎛1⎞e⎜1+−−xlnx⎟−lnx+1⎝x⎠=2x(xe+)12．求下列函数的导数。2()1y=sin1(−x)22解：y′=cos1(−x⋅−()2x=−)2cos1x(−x)()3y=xarcsinx11x⋅2xx解：y′=arcsinx+=arcsinx+1−x21−xkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ()5y=lnx+lnx11111111⎛1⎞解：y′=⋅⋅+⋅⋅=⎜+⎟x2x2lnxx2⎝xxlnx⎠2x+3x()7y=ex2+3x解：y′=e(2x+3)1+x()9y=ln1−x⎡111−1⎤⎢⋅(1−x−1)+x⋅⎥1−x⎣21+x21−x⎦解：y′=⋅1+x(1−x)khdaw.com1=21−xxcosx(11)y=lntan−323sinx1课后答案网x11(−sinx⋅sin3x−cosx⋅3sin2x⋅cosx)2解：y′=⋅sec⋅−⋅x6x223sintan222www.hackshp.cn1xx1(sinx+3cosx)1xx12cos+2x22=seccec+=seccec+442223sinx2223sinx21+x(13)y=331+x3221121x(+x−1)(+x3x)解：y′=⋅2323⎛1+x2⎞(1+x)3⎜3⎟⎝1+x⎠22−2411⎛+x⎞3(2x−3x−x)=⎜⎟3231⎝+x⎠(1+x3)2(15)y=arctantan(x)122解：y′=secx⋅2x221+(tanx)122=secx⋅2x=2x22secx13．利用对数求导法求下列函数的导数。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com cotx()1y=tanxcotlntanxx′cotlntanxx⎛212⎞解：y′=(e=e)⎜−cecxlntanx+cotxsecx⎟⎝tanx⎠2cotx=cecx(1lntan−xtan)xx()3y=xxlnx′xlnx⎛111⎞解：y′=(e=e)⎜⋅lnx+x⎟⎝2xx⎠x⎛1⎞1=x⎜lnx+1⎟⎝2⎠x14.设可导，求解下列各题。3dy()khdaw.com1y=fx(,)求dxdy23解：=3xf′(x)dx课后答案网22dy()3y=f(sinx+f)cosx(,求)dxπx=4dy2222解：∵www.hackshp.cn=2sincosxxf⋅′(sinx−2cossin)xxf⋅′(cosx=2cossin)xxf(′(sinx−f)′cosx()dxdy⎡22⎤⎛⎞1⎛⎞1∴=⎣2cossinxxf(′(sinx−f)′cosx()⎦π=f′⎜⎟)−f′⎜⎟=0dxx=πx=⎝⎠2⎝⎠24415.设y=fx()由下列方程确定。求y′2()1y+xy−4x+=80解：∵2yy′+y+xy′−=404−yy′=2y+x()3x+y=51111解：∵⋅+⋅y′=02x2yyy′=−x16.求曲线2xy−lny=4在点(2,1处的切线方程。)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1解：∵2y+2xy′−y′=0y22y2y∴y′==112−xy−2xy2⎛2y⎞2y′x=2=⎜⎟=−y=1⎝12−xy⎠x=23y=12∴切线方程为：y−=−1(x−2)即2x+3y−=70317.求下列函数的二阶导数。32()1y=x+2x−8x解：khdaw.comy′=3x2+4x−8y′′=6x+41()3y=1+x2课后答案网−2x解：y′=22(1+x)www.hackshp.cn222−21(+x−−)(2x⋅⋅21)(+x⋅2x)y′′=42(1+x)26x−2y′′=32(1+x)18.求下列函数的各阶导数。n()1y=xn−1n−2()n解：∵y′=nx,y′′=⋅nn(−1x),⋯y=n!()3y=ln1+(x)1−1解：∵y′=,y′′=,21+x(1+x)2−−(121)(+x()−121)⋅y′′′==,43(1+x)(1+x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n−1()n(−1)n(−1!)y=n(1+x)19.求下列函数的微分。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com x2()1y=esinxx22解：∵y′=e(sinx+2cosxx)x22∴dy=e(sinx+2cosxxdx)2x3−4()3y=xex3−422x3−44解：∵y′=e(2x+x3x=e)2x+3x()x3−44∴dy=e(2x+3xdx)20.求由下列方程确定的隐函数y=fx()的微分dy。y()1y=+1xekhdaw.comyy解：∵y′=e+xey′ye∴y′=y1−xeydy=edx课后答案网y1−xe2()3y=+xarctan(xy)www.hackshp.cn(y+xy′)解：∵2yy′=+121+(xy)21+(xy)+y∴y′=232y+2xy−x21+(xy)+ydy=dx232y+2xy−x22.利用微分求下列各式的近似值。()11.051解：令fx()=x则f′()x=取x0=∆=1x0.052xfx(0+∆x≈)fx0+(f′)x0∆x()取x=1∆=x0.05011.05≈1+×0.051.025=21khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ()3ln0.9981解：令fx()=lnx则f′()x=xfx(0+∆x≈)fx0+(f′)x0∆x()取x=1∆=−x0.00201ln0.998≈ln1+×−(0.002=−)0.0021khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com'