基于两级插值的图像矩阵补全.pdf 6页

'中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn#基于两级插值的图像矩阵补全*王晓甜，杨晨红，王英迪，马鑫睿（西安电子科技大学电子工程学院，西安，710071）5摘要：针对矩阵补全问题中基于插值的矩阵补全模型只运用了图像的统计特性，忽略了图像的结构信息而导致的图像修复准确率低，提出了一种基于两级插值的矩阵补全模型，通过两级插值估计出矩阵中的缺失元素，每一级插值得到的结果都由原二维图像矩阵中的非零元素进行修正。最后，通过图像修复仿真实验，证明了所提出的两级插值矩阵补全模型相对于传统的基于插值的矩阵补全模型可得到更高的峰值信噪比，所设计的算法具有明显优势。10关键词：图像处理；矩阵补全；两级插值；图像修复中图分类号：TN95BasedontwolevelinterpolationimagematrixcompletionWangXiaoTian,YangChenHong,WangYingDi,MaXinRui(SchoolofElectronicEngineering,XiDianUniversity,Xian,710071)15Abstract:Inviewofthematrixcompletionbasedoninterpolationmatrixcompletiononlyusingthestatisticalcharacteristicoftheimage,ignoringthestructureinformationoftheimagetolowaccuracyimagerestoration,thispaperproposesamodelbasedontwolevelinterpolationmatrixcompletion,throughthetwolevelinterpolationestimatethemissingelementsinthematrix,eachinterpolationlevelresultsweremodifiedbythenon-zeroelementsoftheoriginalimage.Finally,throughtheimage20restorationsimulationexperiment,provesthattheproposedtwolevelinterpolationmatrixcompletionmodelcomparedwithtraditionalinterpolationmatrixcompletionmodelcangetahigherpeaksignaltonoiseratio,thedesignedalgorithmhasobviousadvantages.Keywords:ImageProcessing;Matrixcompletion;Twolevelinterpolation;Imagerestoration0引言25Karhunen—Loeve变换(Karhunen-Loevetransform，KLT)是在最小均方误差准则下进行图像压缩的最佳变换，但其变换矩阵随图像内容而异，难于求解，并且数据量大。压缩感知最早由文献[1-3]提出，是一种新兴的采样理论，可以成功地实现信号的同时采样与压缩。所以，该理论一经提出，就为信号处理领域带来了革命性的影响，以远低于Nyquist频率的采样频率对信号进行采样，通过求解关于迹范数的优化问题重构出原始信号。在该理论框架下，30采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则[4-7]：信号的稀疏结构及测量矩阵(字典)的不相关性。压缩感知理论已经广泛应用在模拟信息采样、遥感成像、核磁共振成像、无线传感器网络、人脸识别、语音识别、探地雷达成像等诸多领域。这一理论也由向量的情形扩展到矩阵的情形，即鲁棒主元素分析，在数据缺失的情况下，鲁棒主元素分析进一步推广到了矩阵补全问题，该问题是压缩感知问题的推广[8-10]，目前已经逐渐35成为机器学习、模式识别以及计算机视觉领域中的研究热点。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20120203120009)作者简介：王晓甜(1983-)，女，副教授，主要研究方向：图像处理、智能信息处理、脑电信号获取与分析.E-mail:xtwang@mail.xidian.edu.cn-1- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn矩阵补全问题是压缩感知问题的推广，在压缩感知理论中，信号是一个向量，在向量的稀疏性假设下，压缩感知理论对信号数据进行采集、编码和解码。然而在实际问题中，信号经常是一个矩阵，例如图像，此时传统的压缩感知理论要把矩阵转换为向量进行处理，这样既破坏了数据的结构，又增加了变量的维数。如果可以直接处理矩阵变量，对数据的处理和40分析就会非常方便。矩阵补全在许多领域都有着重要的应用，例如推荐系统和图像处理等。矩阵补全作为信号与图像处理技术的一个强大的新兴分支，已成为继压缩感知之后的又一种重要的信号获取工具。目前，矩阵补全大多基于低秩矩阵，将插值算法用到图像矩阵补全是一种新的思想。1基本知识451.1图像插值的定义插值就是确定某个函数在两个采样值之间的数值的运算，插值的本质是以基函数的加权和平移的离散形式来表达一个连续的函数。所谓图像插值就是一个图像数据的再生过程，利用己知采样点的灰度值估计未知采样点的灰度值，在给定的空间范围内，从有限的离散采样数据复原出原来连续的图像信号[11]。50一般来说，图像插值须满足以下两条假设：(1)插值的像素灰度值在二维欧氏空间中是一个连续的曲面；(2)所采用的图像插值模型应满足插值条件，即在原图的采样点上，插值结果应该与原图中的像素值保持一致。1.2传统插值算法分析55迄今己有许多图像的插值算法，最普通的图像插值算法是把原图像的像素点逐个放大为与原像素相同颜色的小矩形，再由这些小矩形组成放大后的图像。这样放大的结果引起了锯齿状，破坏了原图的光顺连续的几何关系，使放大图像失真。一般的插值是利用周围的点进行计算。图像插值改进的方法有线性插值法、三次插值法、样条插值法等，在图像矩阵元素缺失较少的情况下，这些插值法都可以获得较好的效果。601.2.1最近邻插值最近邻(nearestneighbor)插值的基函数是最简单的一种插值方法。它是一个方波，通过将原始图像与矩形函数卷积来实现插值。在方波脉冲的边缘有轻微的不对称，插值卷积核函数为：1,x0.5hx(1-1)10,otherwise65它是将与uv,点距离最近的已知整数坐标点(u,v)点的灰度值作为待插值点uv,的0000-2- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn灰度值。最近邻插值算法引起了重采样图像相对于原始图像的漂移。这就意味着在保留子图像的相对位置的情况下是不能使用最近邻算法的。在uv,点各相邻像素间灰度值变化较小00时，这种方法是一种最简单、效率最高的方法，但当uv,相邻像素间灰度值差很大时，这00种方法只是简单地进行点复制，失真相当严重，边缘轮廓出现显著的锯齿现象，图像背景产70生马赛克。1.2.2双线性插值双线性插值法是对最近邻法的一种改进，即用线性内插方法，根据uv,点的四个邻点00的灰度值，插值计算出uv,值。具体计算步骤如下：00第一步：先根据f(u,v)及f(u+1,v)插值求fuv,:075fuv,fuv,[fu1,vfuv,](1-2)0第二步：再根据fuv,1及fu1,v1插值求fuv(,1)：0fuv(,1)fuv,1[(fu1,v1)fuv(,1)](1-3)0最后：根据fuv,及fuv,1插值求fuv,：0000fuv0,0fuv0,[fuv0,1fuv0,]11fuv(,)1fu(1,)v(1-4)1fuv(,1)fu(1,v1)80在实际计算时，若对任一s值，规定[s]表示其值不超过s的最大整数，则上式中u[],uv[],vu[],uv[]v。插值卷积核函数为：0000001xx,1hx()(1-5)10,otherwise2两次插值矩阵补全模型传统的插值算法在矩阵缺失较严重的情况下对图像矩阵做恢复将产生非常严重的失真，85边缘轮廓出现显著的锯齿现象，图像背景产生马赛克。本文在传统插值算法的基础上再进行一次插值，修正第一次插值的结果，第二次插值基于改进的分段自回归模型：(8)22(8)aargmin(xax)(yay)(2-1)iitkktai1t4kF1t4其中，a表示改进的分段自回归模型参数，i表示图像矩阵E中非零元素的位置，表-3- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn(8)示一个正八边形的窗，x表示图像矩阵E中的非零元素，x表示图像矩阵E中位于i处的iit90四个8-邻域像素，t1,2,3,4，k表示图像矩阵E中零元素的位置，F表示当前窗中非(8)零元素点的位置，y表示窗中幅度值为零的元素，yt（1,2,3,4）表示在图像矩阵Ekkt中位于k处的四个8-邻域像素。用改进的分段自回归模型对图像矩阵E中的非零元素进行插值补全，得到图像矩阵E中的二次插值结果。此外，对图像矩阵每一级插值结果都由原始矩阵中的非零元素进行修正：Hpq(,)if(,)Hpq095Ipq(,)(2-2)Rpq(,)if(,)Hpq0其中，Ipq(,)表示修正后的补全图像矩阵，H表示原始缺失矩阵，R表示补全后的图像矩阵。3算法设计步骤1，将待补全二维图像矩阵中的缺失元素值置零，并对其进行步长为2的下采样，100得到下采样图像矩阵。步骤2，按照下式，对缺失点进行双线性插值：LfA()*Hi(2k,2jk)(3-1)kL其中，表示待插值元素第一次插值后的幅度值，表示待插值元素，表示约束因子，表示区间中的一个整数，表示加权系数。105步骤3，对第一次插值结果进行预滤波。步骤4，基于改进的分段自回归模型，对预滤波后的矩阵进行4-邻域和8-邻域插值，并依据（2-2）式对插值结果进行修正。4实验分析为了评价原图像与处理之后的图像之间的差别，常用的评价指标是峰值信噪比(peak110signaltonoiseratio，PSNR)值，其数学公式是：SSPSNR10log(4-1)10MSE式中，MSE是两个图像之间的均方差，S表示图像中像素灰度值的最大值，PSNR值的单位为dB。在该试验中，假设图像的一部分像素缺失，缺失的位置是随机的，令其丢失10%～50%-4- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn115的像素，得到受损程度不同的缺失图像矩阵。对缺失情况不同的图像矩阵分别采用双线性插值和本发明方法进行补全，得到两种方法的图像矩阵补全结果。用峰值信噪比PSNR作为客观评价标准来测试和对比算法的补全有效性，用图像矩阵补全结果图说明各算法补全结果的主观视觉效果。表1为双线性插值和本发明方法在Lena图像像素受到不同程度缺失情况下的补全结果120的PSNR。表1本发明与双线性插值结果的PSNR比较（dB）Tab.1ThepresentinventioncompareswiththePSNRofbilinearinterpolationresults(dB)缺失比例缺失图像双线性插值本文10%17.360023.920837.389020%14.337820.794134.803230%13.267618.525833.639640%11.936017.555232.324150%11.905418.065232.1751图4为Lena图像在丢失10%和50%的像素点的情况下，不同方法的补全效果图。图4（a）为完整Lena图，图4（b）为丢失50%的像素点的Lena图，图4(c)为用双线性插值处125理图4(b)所得结果，图4(d)为用本发明方法处理图4(b)所得结果。(a)Lena原图(b)丢失50%的像素点的Lena图(c)传统方法结果(d)本文方法结果图1图像矩阵补全方法结果对比Fig.1ComparisonofImageMatrixCompletionMethods130-5- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn[参考文献](References)[1]candesEJ，TaoT．Decodingbylinearprogramming[J]．JEEETrans．onInformationTheory，2005，5l(12)：4203-4215．[2]DonohoDL．Compressedsensing[J]．IEEETrans．onInformationTheory，2006，52(4)：1289-1306.135[3]CandesEJ，RombergJK．Sparsityandincoherenceincompressivesampling[J]．InverseProblems，2007，23(3)：969-985.[4]DuC，SunJ，ZhouSL，etal．Dimensionalityreductionbasedonsparserepresentationandnonparametricdiscriminantanalysis[J]．JournalofNationalUniversityofDefenseTechnology，2013，35(2)：143-147．(杜春，孙即祥，周石琳，等．基于稀疏表示和非参数判别分析的降维算法[J]．国防科技大学学报，2013，35(2)：140143-147.).[5]CandesEJ，TaoT，BickelPJ．TheDantzigselector：statisticalestimationwhenpismuch1argethanndiscussion[J]．AnnalsofStatistics，2007，35(6)：1300一1308.[6]ZhangT．Somesharpperformanceboundsforleastsquareregressionwith11regularization[J]．AnnalsofStatistics，2009，37(5)：2109一2144．145[7]CaiTT，WangL，XuG．Newboundsforrestrictedisometryconstants[J]．IEEETrans．onInformationTheory，2010，56(9)：4388-4394．[8]KeshavanRH，MontanariA，0hS．Matrixcompletionfromafewentries[J]．IEEETrans．onInformationTheory，2010，56(2)：2980一2998.[9]CandesEJ，TaoT．Thepowerofconvexrelaxation：near-optimalmatrixcompletion[J]．IEEETrans．on150InformationTheory，2010，56(5)：2053-2080.[10]ChenYD，XuH，Caramanisc，etal．Robustmatrixcompletionandcorruptedcolumns[c]//Proc．Ofthe28thInternationalConferenceonMachineLearning，2011：873-880.[11]GeorgeJ.,Grevera,Jayaram,Shape-basedInterpolationofMultidimensionalGrey-levelImages,IEEETransonMedicalImaging,Dec.1996,15(6):881-892.155-6-'