《大学数学简明教程》习题参考解答.doc 125页

'习题11．试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表1-9）．表1-9个人住房公积金贷款利率表年份月数月利率/‰年利率/%月还款额本息总额总利息1123.454.14到期一次还本付息10414.000414.0002243.454.14434.87310436.943436.9433363.454.14295.86310651.069651.0694483.454.14226.41810868.043868.0435603.454.14184.79811087.8611087.8616723.8254.59159.15411459.1171459.1177843.8254.59139.42111711.3301711.3308963.8254.59124.65611967.0111967.01191083.8254.59113.20512226.1512226.151101203.8254.59104.07312488.7362488.736 2．某工厂有一水池，其容积为100，原有水为10．现在每10min注入0.5的水．试将水池中水的体积表示为时间t的函数，且问需用多少min水池才能灌满？解设水的体积为V，则V=0.05t+10(min)3．以速率A(单位：)往一圆锥形容器注水．容器的半径为Rcm，高为H．试将容器中水的体积V分别表示成时间t与水高度y的函数．解4．(手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133环保网”的收费为每月基本费用50元，每通话1min(不足1min按1min计算)再加收0.2元；“神州行”无每月基本费用，但按每通话1min(不足1min按1min计算)加收0.6元计算话费．若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议．解133环保网话费为；神州行话费为≤0时，即≥125（h）时，≤，即使用“133环保网”所需交纳的话费较少，若每月通话时间不足125min则用“神州行”合适．5．某公司每天要支付一笔固定费用300元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的生产费用为1元/kg，而销售价格为2元/kg．试问他们每天应当销售多少kg食品才能使公司的收支保持平衡?解(kg) 6．设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为，需求函数(即需求量作为价格的函数)为，其中为价格．(1)(1)在同一坐标系中，画出的图形；(2)(2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格．解由实际意义取7．有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反．当物体以4m/s的速度运动时，阻力为2N，试建立阻力与速度之间的函数关系．解设8．一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每km用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式．解释表达式中常数的意义．解设起飞用油为，着陆用油，空中飞行用油为，则为常量，其中，其中为飞行每km用油量，为航程，因此所需燃料总量9．财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花100000元购买的小汽车，几年后只值50000元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如果一个1950美元的冰箱7年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式．解设财产价值为，时间为，则此线性函数可设为时，；；所以10．(1)利用表1-10中的数据确定一个形如的公式．该公式给出了时刻(以月计)时，兔子的数量．(2)该兔子种群的近似倍增期是多少?(3)利用你的方程预测该兔子种群何时达到1000只．表1-10012345254375130226391解（1）解方程组：，所以公式为（2）由得到：(月) （3）由得到：(月)注：求r的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异．11．旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20kg免费，超过20kg部分，每kg收费0.20元．超过50kg部分再加收50%．试列出收费与物品重量的函数关系式．解设收费为，物重为，则当≤20时，；≤12．某停车场收费标准为：凡停车不超过2h的，收费2元；以后每多停车1h(不到1h仍以1h计)增加收费0.5元．但停车时间最长不能超过5h．试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型．解设收费为，停车时间为，则当≤≤13．设仪器由于长期磨损，使用年后的价值是由下列模型确定的．使用20年后，仪器的价值为8986.58元．试问当初此仪器的价值为多少?解由，将代入得到：14．生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长:(表示min后的细菌数)假设在一定的条件下，开始时有2000个细菌，且20min后已增加到6000个，试问1h后将有多少个细菌?解15．大气压力随着离地球表面的高度的增加而呈指数减少：其中是海平面处的大气压力，以m计．(1)珠穆朗玛峰的顶峰海拔高8848.13m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；(2)一架普通商用客机的最大飞行高度大约是12000m． 此高度的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数．解16．某工厂的空气经过过滤使得污染数量(单位：mg/L)正按照方程减少，其中表示时间（单位：h）．如果在前5h内消除了10%的污染物：(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染减少50%需花多少时间？(3)画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果．(4)解释污染量以这种方式减少的可能原因．解(3)图像略。(4)略。17．某有机体死亡年后所剩的放射性碳-14含量由式给出，其中是初始量．(1)考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%，估计该头盖骨的年龄．(2)试根据此方程计算碳-14的半衰期．解(1)由(2)18．一幅佛m尔(Vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5739年)含量的99.5%．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由．解由上一道题目即这幅画只有40多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品．19．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线改变．(1)画出种群总量关于时间的图象．(2)求出种群量作为时间的函数的表达式，其中以月为单位计量． 解(1)(2)设群量为A，则20．同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240的衰减由公式给出，而钚-242的衰减则由公式给出，求钚-240和钚-242的半衰期．解(1)钚-240：(2)钚-242：21．某一储水池中水的深度在水的平均深度7m上下每隔6h完成一次正弦振荡．如果最小深度为5.5m，最大深度为8.5m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)．解设水的深度表达式为：，由题意可知，周期。从而，，则水深表达式为：其中任意。22．在一个拥有80000人的城市里，在时刻得感冒的人数为其中是以天为单位．试求开始感冒的人数及第4天感冒的人数．解　由（人）（人）23．将下列函数分解成基本初等函数的复合　　(1)；(2)；(3)；(4) ．解（1）由复合而成；　（2）由复合而成；　（3）由复合而成；　（4）由复合而成．24．设，，求(1)，进而求；(2)求．解（1）（2）（3）25．求下列函数的反函数，指出定义域：　　(1)；(2)；(3)(x≥．解　(1)；(2)；(3)≤≤26．加拿大芳迪湾(BayofFundy)以拥有世界上最大的海潮著称，其高低水位之差达15m之多．假设在芳迪湾某一特定点，水的深度（单位：m）作为时间的函数由给出，其中为自1994年1月1日午夜以来的小时数．(1)解释的物理意义．(2)求出的值．(3)求出的值，假定连续两次高潮位的时间间隔为h．(4)解释的物理意义．解(1)表示海潮的平衡位置高度．(2)=15/2=7.5m(3)(4)表示1994年1月1日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数。 27．设一个家庭贷款购房的能力y是其偿还能力u的100倍，而这个家庭的偿还能力u是月收入x的20%．(1)(1)试把此家庭贷款购房能力y表示成月收入x的函数;(2)(2)如果这个家庭的月收入是4000元，那么这个家庭购买住房可贷款多少?28．(1)从表1-11中所给数据，说明区间0≤≤4上0的根的数目，并给出这些根的近似值的大致位置；0123400.84-0.760.41-0.29(2)试利用图形计算器或计算机，在区间0≤≤4上画图验证(1)中所得结果；(3)利用计算器或计算机估算每个根精确到一位小数；(4)解释最小正根为的理由；(5)求出方程在区间04上所有根的精确值(如等)．解(1)由题目给出的数据可得在0处有一个根，在区间(1，2)至少存在一个根，在区间(2，3)至少存在一个根，在区间(3，4)至少存在一个根．即在区间[0，4]至少存在四个根；(2)略；(3)；(4)(5)．29．决定图1-55，1-56每个图象的三次多项式．解(1)图象与x轴有三个交点：，因此可设函数为：，把代入：，因此所求方程为： (2)图象与x轴有两个交点，所以其中有一个是重根，如图可设，因此可设函数为，把带入得：，因此所求方程为：30．考虑下图的图象．(1)此函数有多少零点？求零点的近似位置；(2)计算和的近似值；(3)该函数在1附近是递增的还是递减的？3附近情况又如何？解(1)如图可知，此函数有四个零点．(2)(3)函数在1附近是递减的，3附近是递增的．31．(1)考虑如图1-58(a)所示的函数，求的坐标；(2)考虑如图1-58(b)所示的函数，求用表示的的坐标．解(a)C所在的直线方程为代入抛物线的方程，是题目给出的交点，所以所求的交点C为　(b)C所在的直线方程为，代入抛物线的方程：所求的交点C为．32．化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质．如果反应生成物本身是催化剂，该反应则称为自催化的．假设其一特定的自催化反应的速率 正比于原物质的剩余量与生成物的数量的函数．(1)将表示为的函数；(2)当反应进程最快时，的值是多少？解设元物质总量为Q，由题意可知：(1)，其中k为正比例常数。(2)求r的最大值，可得：，即原物质剩余量p减少为原来的一半时，反应进程最快。33．在空间直角坐标系中，说明下列各点的位置A(3，1，2)、B(2，-3，2)、C(1，-2，-4)、D(-3，0，4)、E(0，0，-2)、F(-2，6，-2)．解A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，-3，2)位于第四卦限、C(1，-2，-4)位于第八卦限、D(-3，0，4)位于平面、E(0，0，-2)位于z轴负向、F(-2，6，-2)位于第六卦限．34．求点M(2，3，4)关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点的坐标．解(1)关于的对称点为(2，3，-4)，关于的对称点为(-2，3，4)，关于的对称点为(2，-3，4)．(2)关于x轴的对称点为(2，-3，-4)，关于y轴的对称点为(-2，3，-4)，关于z轴的对称点为(-2，-3，4)．(3)关于坐标原点的对称点的坐标为(-2，-3，-4)．35．求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形：(1)；(2)；(3)；(4)．36．某公司生产中使用I和II两种原料，已知I和II两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里并且第I种原料每单位的价值为10元，第II种原料每单位的价值为4元，产品成品每单位的售价为40元，试给出其利润函数．解其单位产品利润为P=单位价格-单位成本=37．一个灯泡悬吊在半径为r的圆桌正上方，桌上任一点受到的光照度与光线的入射角的余弦值成正比(入射角是光线与桌面的垂直线之间的夹角)，而与光源的距离平方成反比．试求桌子边缘所得到的光照度． 38．在平行四边形ABCD中，已知，，M为对角线AC与BD的交点，试用a，b表示，，，．解所以39．已知|a|=5，|b|=3，|a+b|＝7，求|a-b|．解设两向量之间的夹角为，则由余弦公式，所以，所以|a－b|40．由坐标系的原点到一点所引的向量称为这一点的向径．已知在平行四边形ABCD中，三个顶点A、B、C的向径表达式为：＝，＝，＝，试求向径的表达式，如图1-59所示．解41．一条东西走向的河流，水由东流向西，流速为1km/h，某游泳者从河南岸的A点以2km/h的速度游往对岸，方向为正北．若河的宽度为4km，画图分析游泳者的真实游泳方向，然后求解：(1)游泳者的游动速度？(2)游泳者花多长时间可以游至对岸？所游的路程为多少？ 解(1)(2)（h），所游路程为：（km）42．求下列各对点之间的距离(1)点A(0，0，0)与点B(-2，3，1)；(2)点C(5，2，-3)与点D(-1，3，-2)．解(1)(2)43．在x轴上求与点A(1，2，3)和B(-2，-3，5)等距离的点．解设这个点为：，则解之可得：44．在yOz面上，求与点A(4，-2，-2)，B(3，1，2)和C(0，5，1)等距离的点．解设这个点为：，则解之得：，所以这个点为45．已知a=i＋j-4k，b=2i-2j＋k，试求：、|a|、|b|及()．解=；|a|=，|b|=cos()=46．已知|a|＝4，|b|＝5，()=，试求：(1)(2)(a+b)(3)(3a-2b) (2a+3b)解 47．已知=i＋3k，=j＋3k．(1)求△OAB的面积；(2)求与之间的夹角正弦．解　，，，所以所以三角形的面积为48．已知a＝(2，-3，1)，b＝(1，-1，3)，c＝(1，-2，0)，计算下列各式：(1)()c-()b(2)解　(1)()c-()b=(2+3+3)c-(2+6+0)b=(0，-8，-24)(2)(-8，-5，1)(1，-2，0)49．一架飞机在某高度并以常速600km/h飞行，一架歼击机瞄准了这一飞机前进路线上的P点，以便对它射击．飞机距P点2km时，歼击机以1200km/h的速度飞行，并且距离P点4km，又若两机相距5km。问此时的距离减少速度为多少？解画图易知，两机位置及P点构成的三角形，与两速度向量和距离减少速度向量组成的三角形相似。从而可知，距离减少速度为1500km/h。习题21.1.      一动点与两定点(2，1，3)和(4，5，6)等距离，求此动点的轨迹，并说明它表示一个什么样的曲面．解:设动点坐标为（x，y，z），根据两点间距离公式得即为动点轨迹的方程．所以，该动点的轨迹是一个平面．2.2.      方程表示什么曲面？解：将已知方程配方得所以，原方程表示以（1，-2，-1）为球心，半径为的球面．3.3.      求经过点，且法向量为i＋j＋k的平面方程．解：设所求平面为，法向量为．由点法式得即为所求平面的方程． 1.4.      一平面经过点(1，0，-2)，且平行于平面2x＋3y－5z＝0，试写出其法向量，并写出平面的方程．解：设所求平面为，法向量为已知平面：，其法向量因为，所以，即（为非零常数）又因点（1，0，-2）在平面上，所以由点法式得即为所求平面的方程．2.5.      求经过三点P(2，3，0)，Q(-2，-3，4)，R(0，6，0)的平面方程，并根据方程写出其法向量．解：法1设所求平面方程为　（1）依题意得　（2）解（2）式得（3）将（3）式代入（1）式得当时，即为所求平面的方程，且法向量为法2　设所求平面为，法向量为依题意，因为P、Q、R都在平面上，所以,,即且，（l为非零常数）所以即为所求平面的方程，且法向量为．3.6.      求经过两点(1，-5，1)和(3，2，-2)，且平行于y轴的平面方程．试写出其参数方程．解：由于平面平行y轴，设所求平面方程为　（1）将已知点代入（1）式得　（2） 解（2）式得（3）再将（3）式代入（1）式得即为所求平面的方程．令，则其参数方程为1.7.      一平面经过点(4，1，-2)，它在x轴和y轴上的截距分别为2和1，求其方程．并将其转化为平面的参数方程．解：设所求平面方程为（1）依题意，点（4，1，-2）代入（1）式得即所求平面方程为令则平面的参数方程为2.8.      求与坐标原点O及点(2，3，4)的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？试给出其参数方程．解：设曲面上的动点坐标为依题意即为所求曲面方程（是一个球面）．其参数方程为3.9.      确定下列各旋转曲面的一般方程与参数方程：(1)xOy面上的直线绕y轴旋转；(2)xOz面上的圆绕x轴旋转；(3)yOz面上的抛物线绕y轴旋转．解：（1）将方程两边平方得再将上式中的换为得，此式即为所求旋转曲面的方程． 其参数方程为（2）将方程中的换为即得旋转曲面方程该方程表示球心为（-1，0，0），半径为2的球面，其参数方程为（3）将抛物线方程中的换为即得绕y轴旋转的曲面方程其参数方程为10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）注意到方程中前面的系数一样，所以该曲面是由曲线或曲线绕x轴旋转而成的．（2）由于方程中前面的系数一样．所以该曲面是由曲线或曲线绕y轴旋转而成的．（3）因为方程中前面的系数一样．所以该曲面是由曲线或曲线绕x轴旋转而成的．（4）由于方程中前面的系数一样．所以该曲面是由曲线或曲线绕z轴旋转而成的．11.指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：(1)；(2)；(3)；(4)．解：（1）由于方程中前面的系数一样．所以母线为或，旋转轴为z轴． （2）由于方程中前面的系数一样．所以母线为或，旋转轴为z轴．（3）由于方程中前面的系数一样．所以母线为或，旋转轴为y轴．（4）由于方程中前面的系数一样．所以母线为或，旋转轴为x轴．12.说明下列柱面所对应的母线特征与准线方程，并给出其参数方程，画出其草图：(1)；(2)；(3)．解：（1）因为方程中缺少坐标y，所以该柱面的母线平行于y轴，且准线方程为其参数方程为（2）因为方程中缺少坐标x，所以该柱面的母线平行于x轴，且准线方程为其参数方程为（3）因为方程中缺少坐标x，所以该柱面的母线平行于x轴，且准线方程为．其参数方程为13.指出下列方程表示怎样的曲面，试写出其参数方程：(1)x+(z－a)＝a；(2)z＝－；(3)xy＝4z．解：（1）因为方程中缺少坐标y，所以该方程表示母线平行于y轴的柱面．其参数方程为（2）由于方程中前面的系数一样．所以该曲面是由曲线或曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面．（3）由于方程中前面的系数一样．所以该曲面是由曲线或曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面．14.画出下列方程所表示的曲面，试给出它们的参数方程： (1)x+；(2)x+y＝4z；(3)．解：（1）所给方程表示一个椭球，其参数方程为（2）所给方程表示一个旋转抛物面，其参数方程为  （3）所给方程表示一个开口向下的椭圆抛物面，其参数方程为 15．按指定条件求出直线方程：（1）平行于直线且经过点（-1，2，1）；解：法1：经过点平行于两个平面的直线，可以由经过点分别平行于两个平面的平面相交而成，因而所求直线即为过点分别平行于已知平面的两个平面的交线．过点（-1，2，1）平行于的平面方程为即过点（-1，2，1）平行于的平面方程为即因此所求直线的一般方程为：法2：直线的方向向量为(1，1，-2)´(1，2，-1)=(3，-1，1)，所以直线的方程为：（2）经过两点（3，-2，-1）和（5，4，5）；解：根据两点式得：（3）经过点（-5，1，4）且和平面=０垂直；解：因为直线与平面垂直，因此直线的方向向量与平面的法向量平行，可取直线的方向向量为（3，-1，2），则直线的标准方程为：  16．试求下列直线的标准方程：（1）；解：法1：①2+②消去z，，，代入①得到所以直线的标准方程为：法2：直线的方向向量为(2,3,-1)(3,-5,2)=(1,-7,-19)直线上一点所以直线的方程为：（2）；解：法1：②代入①得到：，②变形后即得：所以所求方程为：．法2：直线的方向向量为(1，-1，-2)(0，1，-6)=(8，6，1)直线上一点为（-2，3，0）所以直线方成为　．17．两条直线的夹角是指两条直线的方向向量所夹的角（0），求下列两直线之间的夹角：（1）；解：第一条直线的方向向量为：（3，-2，1），第二条直线的方向向量为（2，1，3）设两条直线的夹角为，则，因为0，所以（2）； 解：经过变形得到：第一条直线的标准方程为，即为（3，4，-1）,第二条直线的标准方程为，即为（2，-1，2）,所以，.18.证明两直线垂直．解：经过变形得到：第一条直线的标准方程为，即为（1，-1，2）,第二条直线的标准方程为，即为（0，2，1）,所以，.所以两条直线垂直．19．确定下列方程组所表示的曲线并画出草图：（1）；解：两个三元一次方程表示两个平面，因此此方程组表示的是两个平面的交线．图略．（2）；解：第一个方程表示一个球面，第二个方程代表一个锥面．他们的交线是一个圆图略．（3）；解：第一个方程表示一个抛物面，第二个方程表示一个平面．它们的交线是一个圆．图略．20．将空间曲线的参数方程化成一般方程．解：由①，②可得：；由①③可得：曲线为以上两曲面的交线，所以曲线的一般方程为：  21．指出下列方程组在平面直角坐标系下与在空间直角坐标系下分别表示什么图形．（1）；解：平面直角坐标系下这两个方程表示两条直线的交点．空间直角坐标系下表示两个平面的交线．（2）；解：平面直角坐标系下表示一个椭圆和一条直线的的交点（其实是切点）；空间直角坐标系下表示一个柱面和一个平面的交线（一条）．22．分别求出母线平行于x轴及y轴并且通过曲线的柱面方程。解：要求母线平行于x轴且过已知曲线的柱面方程，只要将方程组的x消去即可：①-②×2得：同理母线平行于y轴且过所给曲线的柱面方程只要将方程组的y消去：①+②得：23．求球面与平面的交线在xOy面上的投影方程．解：过此交线且母线平行于z轴的柱面方程为：，整理得：，所以交线在xOy面上的投影方程为：24．求旋转抛物面≤≤在三坐标面上的投影：解：≤≤≤≤，≤≤≤25．求曲线在xOy面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线．解：消去z得到：；原曲线可化为，由此可知是一条抛物线．26．指出下列方程所表示的曲线：（1）；解：将②代入①得到，所以是一条双曲线． （2）；解：将②代入①得到，是一条抛物线．（3）；解：将②代入①得到，为一椭圆．27．求直线向上平移1个单位，又向左平移2个单位，最后按逆时针旋转所得的直线方程，并画出变换后的图形，给出所用的变换表达式．解：变换表达式①为：，代入直线方程得：；变换表达式②为：，代入直线方程得：；变换表达式③为：，代入方程为：28.在单位圆周上均匀撒布360个点，将仿射变换作用其上后，试研究有无不变的向量或变到相反方向的向量．需编程解决．解略．29.在单位圆周上随机撒布一批点，经过多次仿射变换后，试研究有无不变的向量或变到相反方向的向量．需编程解决．解略．30.当一架超音速飞机在高空中飞行时，由于飞机的速度比声速快，所以人们常常先看到飞机在天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声．问题是，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音．(1)设空间有一点声源，它在时发出的声波以音速向四面八方传传播，经过时间s之后所能达到的最大传播范围是一个以声源为心的球面，球面半径恰好是声波在s时间内所传播的距离，因此，人们常把声波称为球面波，以为半径的球面称为s时的波前．想像能听到飞机声音的区域是什么形状的．(2)以时飞机的位置为坐标原点，以飞机前进的方向作为x轴，建立三维直角坐标系．当时，飞机处在点，试给出[0，a]时间段内任一时刻s，飞机所发出的球面波的波前的方程．(3)试消去s，求包围能听到飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程．解：（1）应为锥形区域。　　（2）容易得到，时，飞机处于．由于波前为一球面，且其半径为，因此，此时刻的波前方程为：　（3）由于任一时刻的波前球面与所述锥形区域相切，从而可知锥顶角的一半．从而锥面的方程为．将代入方程即得：飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程为： 习题31.试按n的几种不同取法，求数列与数列的极限近似值，观察所得计算结果，以检验两个公式的正确性.解：取n=3i，（i=1，2，3，……）时，计算得i123456782.370372.581172.669592.701692.712712.716422.717662.718070.9815840.9979440.9997710.9999750.9999971.1.1.取n=5i，（i=1，2，3，……）时，计算得i12345672.488322.665842.707492.716112.717852.718192.718260.9933470.9997330.9999891.1.1.1.取n=10i，（i=1，2，3，……）时，计算得i123452.593742.704812.716922.718152.718270.9983340.9999831.1.1.可以看出，公式：成立.2.设数列满足及，写出这一数列的前10项，考察所给数列的变化趋势，进而猜测这一数列的极限值.解：n0123456789xn1.1.732051.931851.982891.995721.998931.999731.999931.999982.从表中可以看出：.事实上，当判定数列确实存在后，设.对两边取n→∞时的极限可得：两边平方，整理后得到方程：a2–a–2=0.解得：a=2（–1是这个无理方程的增根，舍去），与刚才的结果相同.3.复利，即利滚利，不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题. 随着商品经济的发展，复利计息将日益普遍，同时，复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率.（1）设本金为p，年利率为r，若一年分为n期，每期利率为r/n，存期为t年，则本利和为多少?（2）现某同学有元，年利率，存期年，请按（ⅰ）季度；（ⅱ）月；（ⅲ）日；（ⅳ）小时.计算本利和；（3）猜测以连续复利（即随时计算利息并加入本金）的方式计算时，本利和为多少？解：（1）设本金为p，年利率为r，若一年分为n期，每期利率为r/n，则本利和为：第1期后第2期后第n期，即一年后这样，t年后，本利和为（1）（2）某同学有p=1000元，年利率，存期，那么（ⅰ）按季度计息，即n=4，代入（1）式，计算本利和约为1126.49元；（ⅱ）按月计息，即n=12，代入（1）式，计算本利和约为1127.16元；（ⅲ）按日计息，即n=365，代入（1）式，计算本利和约为1127.49元；（ⅳ）按小时计息，即n=365×24，代入（1）式，计算本利和约为1127.5元.（3）以连续复利计息，即随时计算利息并加入本金的方式计算，此时即求n→∞时（1）的极限，，从而本利和为pert.4.在求极限时，若相邻两次的计算结果（在符合精度要求的条件下）相同时，则认为计算结果已达到精度要求，计算停止，并取计算结果为极限的近似值.请用这一方法研究极限：解：计算结果列表如下：n…199819992000…2997299829993000…表达式的值…2.567642.567652.56766…2.575852.575852.575862.57586…5.根据给定函数的图形，求解以下极限问题： （1）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；（vii）.题图见教材。解：如图可得：（i）=2（ii）=0（iii）由于≠，故不存在.（iv）=2（v）=2（vi）=0（vii）≠，故不存在.（2）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.解：如图可得：（i）=0（ii）=0（iii）由于=，故=0.（iv）没定义（v）=+∞（vi）=+∞（3）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.题图见教材。解：如图可得： （i）=–∞（ii）=–∞（iii）因为==–∞，故=–∞（iv）=1（v）=2（vi）=2（4）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.解：如图可得：（i）=3（ii）=3（iii）由于==3，故=3（iv）=3（v）=0（vi）不存在（5）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.题图见教材。解：如图可得：（i）=–∞（ii）=+∞（iii）由于≠，则不存在.（iv）没定义 （v）=0（vi）=2（6）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.解：如图可得：（i）=1（ii）=–∞（iii）因为≠，故不存在.（iv）=3.5（v）=+∞（vi）=+∞6.计算下列各极限：（1）；解：=–3（2）；解：=12×3=36（3）；解：==–3（4）；解：（5）； 解：（6）；解：（7）；解： 7.计算下列各极限：（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）；解： （5）；解：（6）；解：8.在距建筑物Lm处看建筑物的视角为，由此可知建筑物的高度为.（1）当m，时，试用公式计算建筑物的高度；（2）当很小时，由于与是等价无穷小，从而可将公式近似为，求（1）中的，比较二者的结果.解：（1）当m，时，=500×tan6°≈52.5521（m）（2）用近似公式计算为（m），它比（1）中的精确值较小，且误差较大.9.已知某药物在人体内的代谢速度与药物进入人体的时间t呈现函数关系.试画出该函数的大致图形，并求出代谢速度最终的稳定值（即 时的极限）.解：函数大致图形如下：注意到，从而代谢速度最终的稳定值是24.61.10.假定某种疾病流行天后，感染的人数N由下式给出：（1）从长远考虑，将有多少人染上这种病？（2）有可能某天会有100多万人染上病吗？50万人呢？25万人呢？（注：不必求出到底哪天发生这样的情形.）解：（1）注意到，故从长远考虑，将有100万人染上这种病.（2）不会有100多万人染上这种病，但可能某一天会有50万人或25万人染上它.11.设清除费用与清除污染成分的x%之间的函数模型为求（1）；（2）；（3）能否100%地清除污染.解：（1）（2）（3）由（2）可知，要想100%地清除污染，清除费用 是无限大的，因此不能否100%地清除污染.12.已知生产x对汽车挡泥板的成本是（单位：元），每对的售价为40元.于是销售收入为.（1）出售x+1对比出售x对所产生的利润增长额为当产量稳定、生产量很大时，这一增长额为，试求这一极限值；（2）生产了x对挡泥板时，每对的平均成本为，同样当产品产量很大时，每对的成本大致是，试求这一极限.解：（1）求，实质上是求于是，（2）13.放入200℃烤炉中的甘薯的温度T由下列关于时间t的函数给出：其中T的单位是℃，t以min为单位，k>0. （1）若甘薯的初始温度为20℃，求与（2）若甘薯温度又满足（℃/min），求k.解：（1）放入200℃烤炉中的甘薯的温度T随着时间的变化，将趋近200℃，即有（1）又甘薯的初始温度为20℃，即有T(0)=a(1–e–k×0)+b=b=20将b=20，代入（1）式，得a=180.（2）令1–e–kt=u，则，且当t→0时，u→0，将它们代入上式，得　　　图3–26　　　　　　　　　　　　　　　　　图3–27又由条件，得到k=1/90.14.分形几何中有一种曲线，叫Koch雪花（图3–26），它可通过递归方法生成.设有一个边长为1的正三角形；将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，如图3–27所示，每一条边生成四条新边；又将得到的多边形的每一条边三等分，都以中间三分之一段为边向外作正三角形，……，如此进行下去.每一次等分并向外作正三角形称为一次递归.（1）写出第一个三角形的周长，一次递归所得多边形的周长，二次递归所得多边形的周长，……，n次递归所得多边形的周长；（2）写出第一个三角形的面积，一次递归所得多边形的面积，二次递归所得多边形的面积，……，n次递归所得多边形的面积； （3）求（1）（2）中所得通项当时的极限，并考虑为什么会有这样的结果.解：（1）最初三角形的周长是P0=3.将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，每一条边生成四条新边，新边长为原来边长的1/3，故一次递归所得多边形的周长为.依次进行下去，得二次递归所得多边形的周长，……n次递归所得多边形的周长.（2）最初三角形的面积是.将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，生成三个新三角形，每个的面积为原来三角形面积的1/9，故一次递归所得多边形的面积为.依次进行下去，得二次递归所得多边形的面积，……注意，递归中：（1）每一条边生成四条新边；（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，得到n次递归所得多边形的面积（3）有（1）、（2）可得这意味着Koch雪花具有有界的面积，无穷大的边长. 15.由实验知，在培养基充足等条件满足时，某种细菌繁殖的速度与当时已有的数量A0成正比，即v=kA0（为比例常数），为求经过时间以后细菌的数量，试按以下过程进行计算：（1）为求时的细菌数量，将时间间隔[0，t]分成等份，将每一等份中的细菌繁殖速度近似看作不变时，计算第一段时间末的细菌的总数量；第二段时间末的细菌的总数量；……；归纳给出最后一段时间末的细菌的总数量（注：这只是细菌数量的一个近似值）；（2）当时间间隔分得越细时，（1）中所得值越接近时的细菌总数量，试用你所学的知识求这里的精确值──即求时细菌总数量的精确值；（3）若测得5天时的细菌总数为936个，10天时的细菌总数为2190个，用（2）中所得公式，求开始时的细菌个数与60天后细菌的总数.解：（1）为了计算出时的细菌数量，我们将时间间隔[0，t]分成n等份.由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内数量的变化很小，繁殖速度可近似看作不变，因此，在第一段时间内细菌繁殖的数量为：，第一段时间末细菌的总数量为；同样，第二段时间末的细菌的总数量为；……；依此类推，到最后一段时间末的细菌的总数量为.（2）显然，（1）计算出的结果只是细菌数量的一个近似值，因为我们假设了在每一小段时间（i=1，2，…，n）内细菌繁殖的速度不变（同时还假设了各小段时间内只繁殖一次）.可以看出，当时间间隔分得越细（即当n等份时，n越大）时这个值越接近精确值，若对时间间隔无限细分（即当n等份时，n→∞），则可求得其精确值.所以，经过时间t后细菌的总数是将这个结果与第3题中连续复利的计算公式比较，发现二者是一样的.这并不偶然，事实上，现实世界中不少事物的生长规律都服从这个模型，所以也称y=Aekt为生长函数.（3）细菌繁殖服从生长函数y=A0ekt.由题目所给数据，得解此方程组，得A0=，k=.即开始时细菌个数为400.按此速度增长下去，则60天后细菌个数为 y（60）=A0e60k≈1.07678×10716.（兔子问题）“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生产小兔一对，以后每月生产一对小兔.而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产小兔一对，以后也每月生产小兔一对.假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？”这一生产过程可用一树状图来表示，如图3–28所示，其中●表示未成年兔，○表示成年兔.图3–28（1）试用树状图计算出一年内各月末小兔的数量，考察邻近三个月小兔数量间联系，给出计算小兔数量的递推关系，最后计算出一年后的小兔数量；（2）试用数学归纳法证明，n月后小兔的总量满足如下公式（3）利用（2）中通项公式，求两个比值极限：与的精确值，用精确值给出近似值，并将结果与黄金分割值0.618作比较.解：（1）从图3–28可以看出，自三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和.按规律可以写出数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144可见一年后共有兔子144对.这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数.若设F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，……，则此数列应有下列递推关系：Fn+2=Fn+1+Fn（n=1，2，3，……）（2）用数学归纳法证明，月后小兔总量的公式是：（2）当n=1时，当n=2时，当n=3时，，满足递推关系式（1）. 假设当n4时，f（x）=7+16/x是初等函数，且在其上有定义，从而也是连续的.下面考察x=4时，函数的连续性.由于故，即于是，f（x）在x=4处是连续的.综上可得，函数在定义域上是连续的.（4）；解：函数的定义域是（–∞，+∞）.当x≠1时，f（x）=是初等函数，且在其上有定义，从而是连续的.下面考察x=1时，函数的连续性.由于，从而当x→1时，函数极限不存在.于是，f（x）在x=1处是间断的. 综上可得，函数在（–∞，1）∪（1，+∞）上是连续的.（5）解：定义区域：{（x，y）|1–x2–y2–z2>0}={（x，y）|x2+y2+z2<1}是多元初等函数，故它在定义区域上是连续的. 19.设1g冰从–40℃升到x℃所需的热量（单位：J）为试问当x=0时，函数是否连续?并解释它的几何意义.解：由于故，从而当x→0时，函数极限不存在.于是，f（x）在x=0处不连续.由模型的物理意义可以知道，x=0是1g冰从–40℃升到x℃所需的热量的临界值，升温所需热量是不同比例的.20.设某城市居民的用水费用的函数模型为其中为用水量（单位：t），为水费（单位：元）（1）求；（2）是连续函数吗?（3）画出的图形.解：（1）由于故，故于是，f（x）在x=4处是连续的.（2）函数的定义域是（0，+∞）.当0≤x<4.5时，f（x）=0.64x是初等函数，从而是连续的.当x>4.5时，f（x）=2.88+5×0.64（x–4.5）是初等函数，从而也是连续的.下面考察x=4.5时，函数的连续性.由（1）可知，于是，f（x）在x=4.5处是连续的.综上可得，函数在定义域上是连续的.（3）的图形如下： 21.用二分法求方程x3–4x+1=0在区间[1，2]内的根.解：令f（x）=x3–4x+1.由于f（1）=–2<0，f（2）=1>0，故方程x3–4x+1=0在区间[1，2]内有根.可以证明，在该区间，方程只有一个根.用二分法求近似根，使其绝对误差不超过0.001.为此，只需作n≥log2(2–1)–log2(2×10–3)≈8.96578即9次二分区间，就可达到精度.计算结果，列表如下：iaibimi=（ai+bi）/2f（mi）11.2.1.5–1.62521.52.1.75–0.64062531.752.1.8750.091796941.751.8751.8125–0.29565451.81251.8751.84375–0.1073361.843751.8751.85938–0.0091285771.859381.8751.867190.040992381.859381.867191.863280.015846691.859381.863281.861330.00333769于是，求得方程x3–4x+1=0在区间[1，2]内的近似根是1.86133，可与精确值1.86081比较.图3–3022.图3–30为函数的大致图形，求方程所有实根的近似值（精确到三位有效数字）.解：由图可知y(–2)<0，y(–1)>0及y(1)>0，y(2)<0，故方程在区间[–2，–1]及[1，2]内各有一根.用二分法求[–2，–1]内的近似根，使其绝对误差不超过0.001.为此，只需作n≥log2[–1–（–2）]–log2（2×10–3）≈8.96578即9次二分区间，就可达到精度.计算结果，列表如下：   iaibimi=（ai+bi）/2f（mi）1–2.–1.–1.51.43752–2.–1.5–1.75–2.628913–1.75–1.5–1.625–0.34794–1.625–1.5–1.56250.6020365–1.625–1.5625–1.593750.1419526–1.625–1.59375–1.60938–0.09918037–1.60938–1.59375–1.601560.0223258–1.60938–1.60156–1.60547–0.03819179–1.60547–1.60156–1.60352–0.0078745于是，求得方程在区间[–2，–1]内的近似根是–1.60352，可与精确值–1.60301比较.用二分法求[1，2]内的近似根，使其绝对误差不超过0.001.为此，只需作n≥log2[2–1]–log2（2×10–3）≈8.96578即9次二分区间，就可达到精度.计算结果，列表如下：iaibimi=（ai+bi）/2F（mi）11.2.1.5–1.562521.1.51.251.3085931.251.51.3750.050537141.3751.51.4375–0.70753551.3751.43751.40625–0.31691161.3751.406251.39063–0.13035471.3751.390631.38281–0.039208281.3751.382811.378910.0058385491.378911.382811.38086–0.0166412于是，求得方程在区间[1，2]内的近似根是1.38086，可与精确值1.37941比较.23.对函数在区间[–5，5]上实行离散化，从离散化数值表，找出函数在这一区间上的单根区间（即其中只有一个根的区间）（注：函数在所给区间中有三个根）.解：将区间[–5，5]十等分，计算函数值如下：x–5–4–3–2–1 y–1.91914–1.90842–2.–1.59399–0.528482 x012345y1.–2.34.9453239.0261144.564747.22从表中可以看出，函数在（–1，0）、（0，1）、（1，2）内各有一个零点.24.用计算器给出函数在区域[–1，1]×[–1，1] 上纵横坐标均十等分节点处的离散化数值表.利用数值表求出函数在这一区间上的最小值.解：计算结果列表如下：  xy–1–0.8–0.6–0.4–0.2–10.9877660.9581950.9192580.8805550.852005–0.80.9581950.9049960.8414710.7798510.734291–0.60.9192580.8414710.7503080.6602190.591127–0.40.8805550.7798510.6602190.5359950.432455–0.20.8520050.7342910.5911270.4324550.27908700.8414710.7173560.5646420.3894180.1986690.20.8520050.7342910.5911270.4324550.2790870.40.8805550.7798510.6602190.5359950.4324550.60.9192580.8414710.7503080.6602190.5911270.80.9581950.9049960.8414710.7798510.73429110.9877660.9581950.9192580.8805550.852005 xy00.20.40.60.81–10.8414710.8520050.8805550.9192580.9581950.987766–0.80.7173560.7342910.7798510.8414710.9049960.958195–0.60.5646420.5911270.6602190.7503080.8414710.919258–0.40.3894180.4324550.5359950.6602190.7798510.880555–0.20.1986690.2790870.4324550.5911270.7342910.85200500.0.1986690.3894180.5646420.7173560.8414710.20.1986690.2790870.4324550.5911270.7342910.8520050.40.3894180.4324550.5359950.6602190.7798510.8805550.60.5646420.5911270.6602190.7503080.8414710.9192580.80.7173560.7342910.7798510.8414710.9049960.95819510.8414710.8520050.8805550.9192580.9581950.987766从表中可以看出，函数在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值是0.事实上，容易知道函数在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值和最大值分别为0、，而正弦函数sinu在区间[0，]上是单调递增的，从而，得到在区域[–1，1]×[–1，1]上的最小值是0.25.试记录某天中午10~12时的室外温度变化（离散化点数自定），给出温度随时间的变化列表.画出这一温度函数的散点图.解：略.习题41.若函数p(t)表示在时刻t某种产品的价格，则在通货膨胀期间，p(t)将迅速增加. 假设某国家的经济正处于通货膨胀时期，该国总统的经济观察员发现，通货膨胀速率正在减慢.于是在不久以后的某次发布会上，总统说：“通货膨胀仍然存在，但已经在控制之下，不久物价将会稳定下来”.(1)用导数描述为什么“通货膨胀仍然存在”；(2)用导数描述为什么总统相信“通货膨胀已经在控制之下”；(3)用导数描述总统的预言“不久物价将会稳定下来”.解：(1)在通货膨胀期间，p(t)将迅速增加，而p(t)表示在时刻t某种产品的价格，因此，表示“通货膨胀仍然存在”.(2)“通货膨胀已经在控制之下”意味着通货膨胀增长的速率在下降，也就是p(t)增加的速率在下降，此时，.(3)所谓“不久物价将会稳定下来”是指存在某时刻t0，物价p(t)将不再增加，于是，存在点t0，使得.2.一跳伞运动员从一架飞机上跳下.假设在伞打开期间，跳伞运动员下落的位移为，其中s的单位为m，t的单位为s.(1)求跳伞者在区间[5，5.01]和[4.99，5]上的平均速度；(2)求跳伞者在t=15时的瞬时速度；(提示：时，)(3)求跳伞者在t=5时的瞬时加速度.解：(1)跳伞者在区间[5，5.01]上的平均速度是：跳伞者在区间[4.99，5]上的平均速度是：(2)方法1.(用导数的极限定义)跳伞者在t=15时的瞬时速度是：方法2.(用导数的物理意义，先求出导函数，再求出一点处的导数值)∵v(t)==986(0.835tln0.835)+176∴跳伞者在t=15时的瞬时速度是：v(15)==164.109(m/s) (3)注意到，瞬时加速度a是速度的导数，是位移的二阶导数，所以跳伞者在t=5时的瞬时加速度为a(5)==986(0.835tln20.835)|t=5=13.0141(m/s2)3.用导数定义求函数在x=0点的导数.解：依导数定义，在x=0点的导数是4.一块凉的甘薯被放进烤箱，其温度T(单位：℃)由函数给出，其中t（单位：min）从甘薯放进烤箱开始计时.(1)的符号是什么？为什么？(2)的单位是什么？有什么实际意义？解：(1)若>0，则f(t)是增函数，所以，随着时间的推移，甘薯温度不断升高；若<0，则f(t)是减函数，所以，随着时间的推移，甘薯温度不断下降.(2)由导数的定义式，可知的单位是℃/min.表示，在第20min时刻，甘薯温度升高的瞬时速率为2℃/min.5.若取较小的h值，利用计算器可得，如下所示：表4–5　2x在x=0附近不同的差商值h2h差商：–0.0003–0.0002–0.000100.00010.00020.00030.9997920770.9998613800.99993068811.000069321.000138641.000207970.6330750.6930990.693123 0.6931710.6931950.693219若取更小的h值，利用计算器可得，如下所示：表4–6　2x在x=0附近更多的差商的差商0.69314960.693150.6930.70评论表中的差商.特别地，为何最后一个等于零？当时，你预计此时的差商等于多少？解：首先计算 这和表中较小的h值所对应的差商差不多.但当h值进一步减小，例如当h=10–12时，差商而与1十分接近，在计算器计算(–1)时，由于机器精度的原因，它将忽略为0，从而差商的值，计算器显示为0.可以预见，当h=10–20时，计算器计算得到的差商也为0.如果当h=10–12时，计算差商，我们让计算器采取下面的方法：将会得到一个较好的近似值0.693237.这是由于先计算，增强了的精确度.6.求解以下函数的导数或指定点的导数值：(1)；解：∵∴=–2cotxcsc2x(2)；解：∵∴(3)；解： (4)，求；解：∵∴(5)，求；解：∵∴(6)；解：7.求下列函数的二阶导数：(1)；解：∵　∴(2)；解：∵ ∴8.落在平静水面上的石头使水产生同心波纹，若最外一圈波纹的半径增大率总是6m/s，问在2s末被扰动水面的面积增大率是多少？解：设在ts末被扰动水面的面积为S(m2)，在ts末波半径是6t(m)，则S=π(6t)2=36πt2于是，=72πt，所以在2s末被扰动水面的面积增大率是(2)=72π×2=144π(m2/s)9.一气球从离观察员500m处离地铅直上升，其速度为140m/s，当气球的高度为500m时，观察员的视线的倾斜角增加的速度是多少？解：设观察员的视线的倾斜角为A，气球上升的高度为h，A与h均是时间t的函数.由于tanA=h/500所以A=arctan(h/500)由题设条件可知，气球上升的速度是，那么，当气球的高度为500米时，观察员的视线的倾斜角增加的速度是(弧度/s)10.设以50cm3/s的速率把气体打进一个球形的气球内，假定气球的压力不变，而且气球总是一个球形，问当气球的半径为5cm时，气球半径的增加率是多少？解：设气球的半径为r(cm)，气球的体积为V(cm3)，它们都是时间t的函数.对V=r3，两边关于t求导，得依题设，气球体积增大的速率是(cm3/s)，于是，当气球的半径为5cm时，气球半径的增加率是(cm/s)11.设某产品一周的产量为，其中x是装配线上劳动者的人数.如果现在有60人在装配线上.(1)计算，看看一周产量的实际变化.(2)求，并解释一下，由于增加一个人，一周产量变化的情况.解：(1)Q(61)–Q(60)=(200×61+6×612)–(200×60+6×602)=926(2)由此可知，在现有60人的装配线上再增加一个人，一周产量约增加920.12.植物发生光合作用的大小P(x)取决于光的强度x，P(x)=145x2–30x3.(1)求光合作用P关于光强度x的变化率(光合作用的速率). (2)当时，时，光合作用的变化率是多少?(3)当时，时，光合作用速率的变化率是多少?解：(1)光合作用P关于光强度x的变化率是.(2)当x=1时，光合作用的变化率是当x=3时，光合作用的变化率是(3)光合作用速率的变化率是，于是，当x=1时，光合作用速率的变化率是当x=3时，光合作用速率的变化率是13.在一烤箱里放入一块甘薯，并保持炉温200℃.假定t=30min时，甘薯的温度以120℃/h的速度增加.牛顿冷却(在这里是加热)定律说明，时刻的温度由下式给出：求和.解：由于炉温保持在200℃，所以甘薯最终也将升温为200℃，于是，得这样，在t=30min=0.5h时，甘薯的温度以120℃/h的速度增加，故有即：将已求得的a=200，代入上式，可得方程200be–0.5b–120=0.对于函数f(b)=200be–0.5b–120，令=0于是，当b<2时，f(b)单调增加；当b>2时，f(b)单调减少.又f(0)=–120<0，f(2)=400e–1–120>0，f(4)=800e–2–120<0，容易知道f(b)在区间(0，2)、(2，4)各有一个零点，这两个零点也是f(b)的全部零点.求得b≈0.978804或3.56267.14.某种滑板的销售量q取决于销售价格p，设为给定，.(1)从和中，对滑板的销售情况有何了解？(2)滑板的销售总收入R由R=pq给出，求；(3)的符号是什么？若眼下每副滑板卖140元，是提高还是降低该价格才能使总收入增加？解：(1)由可知，滑板的销售价格定为140时，滑板的销售量是15000；由可知，在滑板的销售价格定为140时，销售价格上调1，那末销售量将减少100.(2)∵R=pq=pf(p) (3)的符号是正的，说明在p=140的附近，R是增函数，也就是说，此时提高该价格能使总收入增加.15.听到由大众媒介散布的某传闻的人数N，可通过下列关于时间t（单位：d）的函数模型给出：假设总人口中有200000人最终听到了此传闻，如果其中10%的人在第一天听到，求与，设以天为单位.解：由假设，总人口中有200000人最终听到了此传闻，从而N=200000.又N=a(1–e–kt)=a(显然k>0，否则，N是无穷大，与题设不符)得到a=200000.因为在200000人中有10%的人在第一天听到，所以200000×10%=200000×(1–e–k)解得k=ln(10/9)≈0.10536116.通过心脏的血液流动分析导出了下列形式的函数：，由于绝对值函数在时不可导，因而可以说在时也不可导.(1)通过在原点附近放大，考察在时的可导性.(2)利用当时，得出当时不含绝对值符号的表达式，利用此表达式找出右侧的斜率.(3)利用时，找出左侧的斜率.(4)从(2)和(3)的答案，说明在处的可导性.解：(1)将函数的图形在原点放大(见下)，可以明显的看到，在原点附近函数图象是光滑的，这说明函数在时可导.(2)当时，得出，于是右侧的斜率是 (3)当时，得出，于是左侧的斜率是(4)由(2)和(3)可知，从而有即，这说明函数在处可导.17.在时刻T=0开始放电的某电容器，其电荷量Q由下式给出：其中R、k为由电路决定的正常数，电路中的电流I由给出：(1)求时的电流I，时的电流I.(2)时，定义I可能吗？(3)时函数Q可导吗？解：(1)时，电流时，电流(2)∵又k>0 ∴，即时函数不可导，从而没有定义.(3)由(2)的讨论，知道时函数不可导.18.求下列函数的偏导数：(1)；解：(2)；解：由y与x、z与x的对称性，可得(3)；解：(4)；解：19.如果将美元存入银行，年息，年后将拥有美元，其中 (1)求，假定，都为常量，对于资金来讲，意味着什么？(2)求，假定，都为常量，对于资金来讲，意味着什么？解：(1)当，都为常量，对于资金来讲，表示B随时间t的变化率，也就是t增加1个单位，B增加.(2)当，都为常量，对于资金来讲，表示B随r的变化率，也就是r增加1个单位，B增加.20.设某厂生产x个单位的产品A与y个单位的产品B的成本为C(x，y)=50x+100y+x2+xy+y2+10000试求与，并解释所得结果的经济意义.解：∵∴=50+2×10+20=90，它表示此时再多生产1个单位的产品A，总成本将增加90个单位.∵∴=100+10+2×20=150，它表示此时再多生产1个单位的产品B，总成本将增加150个单位.21.例31中，讨论函数在区间上的单调性，先求导、求驻点，可分出单调区间、、、.在区分单调增加与单调减少区间时改用以下方法：分别在区间内各任取一x值，比如对应上述区间分别取，，，，求各点处的导数值可得如下结果：由上述导数值情况可以断定，所讨论函数在区间、 上单调增加，在区间、上单调减少.试问，为什么可以这样做？解：注意到在上述单调区间内部，导数的符号是确定的，要么为正，要么为负.于是，我们可用该区间内某一点的导数值的符号，来确定该区间内导数的符号，然后就可以给出单调性的判别了.22.求下列函数的增减区间：(1)；解：函数的定义域是(–∞，+∞)令=0又x3–3x+2=x(x–1)2+2x2–4x+2=x(x–1)2+2(x2–2x+1)=x(x–1)2+2(x–1)2=(x–1)2(x+2)可得方程的解为x=–2，x=1.于是，列表：x(–∞，–2)(–2，1)(1，+∞)–++y单调减少单调增加单调增加(2)；解：函数的定义域是(0，+∞)令=0可得方程的解为x=–0.5(负根，舍去)，x=0.5.于是，列表：x(0，0.5)(0.5，+∞)–+y单调减少单调增加(3)y=2sinx+cos2x（0≤x≤2π）；解：函数的定义域是[0，2π]令=0又cosx–sin2x=cosx–2sinxcosx=cosx(1–2sinx)可得方程在区间[0，2π]的解为x=π/6，π/2，5π/6，3π/2.于是，列表：x[0，π/6](π/6，π/2)(π/2，5π/6)(5π/6，3π/2)(3π/2，2π)+–+–+y单调增加单调减少单调增加单调减少单调增加 图4–1623.图4–16为的图形，它表示某种国家级保护动物在t时刻存在的总数量.(1)确定在与时刻的导数、、、各自的正负符号；(2)在与时刻，预想研究这种国家级保护动物的动物学家会分别做出什么结论？解：(1)从的图形可以看出， 是一个增函数，从而可以断定>0、>0；再注意到在附近，是凹函数，故有>0；在附近，是凸函数，故有<0；(2)在时刻，动物学家会认为：在今后的一段时间内，动物总量增长速度将加快；在时刻，动物学家会认为：在今后的一段时间内，动物总量增长速度将逐渐慢下来.24.在经济学中，“总效用”指的是对消费某些商品总的满意程度.根据经济学家萨缪尔逊(Samuelson)的观点：当你消费更多的同类商品时，总（心理上的）效用就会增加.但是随着新的商品的不断涌现，你的总效用会按照越来越慢的速度增长，这是由于一个根本倾向促成的，即你鉴赏更多的商品的心理能力变得更迟钝.(1)画出随着消费的商品数量不断变化的总效用的函数图像.(2)就导数意义而言，萨缪尔逊告诉了我们什么？解：(1)如图，横轴表示商品数量，纵轴表示总效用.      (2)设f(x)表示总效应函数，x表示消费的商品数量.由“消费更多的同类商品时，总效用会增加”，可知f(x)是增函数，故有>0.由“随着新的商品的不断涌现，总效用会按照越来越慢的速度增长”，可知f(x)是凸函数，故有<0.25.假设代表在时刻时某公司的股票价格，请根据下面的每一陈述判断的一阶和二阶导数的符号为正还是为负.(1)“股票价格上升得越来越快”；(2)“股票价格接近最低点”.解：(1)“股票价格上升”说明是增函数，故有>0；价格上升得“越来越快”说明是凹函数，故有>0.(2)“股票价格接近最低点.”说明是减函数、凹函数，故有<0、>0.26.设多项式函数恰有两个局部极大值和一个局部极小值.(1)画出的一个可能的图像.解：函数恰有两个局部极大值和一个局部极小值，那么极小值点必然位于两个极大值点中间，如图：        (2)最多能有几个零点？解：从图中看出，x轴与至多会有4个交点，于是最多能有4个零点(不相同的).(3)至少能有几个零点？解：由的特性可知，在定义域上的最大值只能在极大值点取得，那末当两个极大值都小于0时，就没有零点了.(4)最多能有几个拐点？解：多项式函数在定义域上是可导的，所以极值一定在驻点上取得，而有3个极值点，所以有3个不等实根.若出现有重根，那么重数一定是奇数，否则，经过该点不会改变符号，从而不取得极值，与题设矛盾.这样，不妨令=A(x–a)m(x–b)n(x–c)k，其中系数A≠0，a、b、c互不相等，m、n、k是正奇数.于是，=A[m(x–a)m–1(x–b)n(x–c)k+n(x–a)m(x–b)n–1(x–c)k+k(x–a)m(x–b)n(x–c)k–1]=A(x–a)m–1(x–b)n–1(x–c)k–1[m(x–b)(x–c)+n(x–a)(x–c)+k(x–a)(x–b)]很明显，若a、b、c是的零点，那么它们也是偶次重根，从而经过它们时，不改变的符号，也就是说它们不是的拐点.这样，至多有两个单根，即最多能有2个拐点.(5)是奇次的还是偶次的，你是如何知道的？解：由(4)的讨论可知，是奇次多项式，所以是偶次的.(6)最少是几次的？解：多项式函数在定义域上是可导的，所以极值一定在驻点上取得，而恰有两个局部极大值和一个局部极小值，这说明有3个驻点，即至少是3次多项式，于是最少是4次的.(7)求的一个可能表达式.解：例如f(x)=–x4+2x2.27.函数表示一个质量为m的物体在弹簧的底端的振动.常量k体现了弹簧的“弹性”.(1)找出在哪一时刻物体离平衡位置最远？哪一时刻物体运动得最快？哪一时刻其加速度最大？(2)振动的周期T是多少？(3)求，从的正负符号中能获取什么信息？解：(1)当时，即或时(n是整数)，物体离平衡位置最远.物体运动速度是，于是，或时(n是整数)，物体运动得最快. 物体运动加速度是，于是，或时(n是整数)，物体加速度最大.(2)物体振动的周期.(3)的符号是正的，说明随着物体质量的增加，振动周期也增加.28.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：(1)解：由>0，知道y在定义域上是增函数，从而y在[0，4]上的最大值在x=4处取得，y(4)=8；y在[0，4]上的最小值在x=0处取得，y(0)=0.(2)解：令=2cos2x–1=0，在上解得x=，计算函数值比较大小，可知y的最大值是，y的最小值是.(3)，解：注意分子，令f(x)=1+10x2–6x4–3x6当x>2时，=20x–24x3–18x5=2x(10–12x2–9x4)<0，故f(x)在x>2时，是递减的.这样，x>2时，f(x)0.令得惟一驻点10(舍负)，根据问题的实际意义知道一定取得最小值，故当火车行驶速度设定为10(km/h)，总费用最省.32.轮船A位于轮船B以东75nmile处，以12nmile/h的速率向西行驶，而轮船B则以6nmile/h的速率向北行驶.问经过多长时间，两船相距最近？解：设经过th，两船相距snmile，则：欲求s在0≤t≤25/4上的最小值，只需求u=(75–12t)2+36t2在其上的最小值.令=2(75–12t)×(–12)+36×2t=360t–1800=0得驻点t=5，列表：t[0，5]5(5，25/4)–0+u(t)单调递减极小值单调递增所以，经过5h，两船相距最近.33.设每亩(1亩)地种植梨树20棵时，每棵梨树产梨300kg的梨子.若每亩种植梨树超过20棵时，每超种1棵，每棵产量平均减少10kg. 试问每亩种植多少棵梨树才能使亩产量最高？解：设每亩种植x棵梨树时，亩产量是f(x)，则对于二次函数y=(500–10x)x，易知有极大值点x=25(>20)，极大值为f(25)=6250kg与f(20)=6000kg比较，可知每亩梨树种植25棵才能使亩产量最高.34.某房地产公司拥有100套公寓，当每套公寓的租金为1000元时，公寓可全部租出.当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大？并检验得出的结论.解：设每套公寓的月租金为x元，公司的总收益是f(x)，则对于二次函数y=140x–x2/25，易知有极大值点x=1750(>1000)，极大值为f（1750）=122500(元)与f（1000）=100000(元)比较，可知月租金定价为1750元，可使公司的收益最大.35.一长方形土地，其一边沿着一条河，相邻一边沿着公路.除沿河的一边不需要篱笆外，其他三边均需要修筑篱笆.沿公路的一边篱笆的造价为15元/m，另两边的篱笆造价为10元/m.现需围长方形土地的面积为1600000m2.试问如何设计长方形土地的尺寸，才能使篱笆的造价成本最低？解：设篱笆沿着公路的那边长xm，这样，篱笆的造价成本是令解得，x=800m.这是惟一的驻点，由问题的实际含义可知，最小值一定存在.于是，当篱笆沿着公路的那边长800m，另一边长2000m时，造价成本最低.36.假设某种野生动物的总数由公式确定.其中t以年计，当t是多少时，野生动物总数增加最快？解：野生动物总数增加速度是为了研究动物总数增加速度的快慢，先求导 令，即只需1–9(0.7)t=0，得驻点.列表：t[0，6.1603]6.1603(6.1603，+∞)+0–v(t)单调递增极大值单调递减这样，在第6.1603年野生动物总数增加最快.37.设生产件产品的总成本由下式给出：(1)固定成本(即不生产产品时的成本)是多少？(2)如果每件产品的价格为7元(假定生产的产品全部售出)，最大利润是多少？(3)当固定的生产水平为34件产品时，每件价格提高1元，则少卖出2件.问是否应当提高价格？如果是，价格应当提高多少？解：(1)固定成本C(0)=0.(2)产品利润是L(q)=7q–C(q)=7q–(0.01q3–0.6q2+13q)=–0.01q3+0.6q2–6q(q>0)令，得驻点.由，知我们找到惟一的极大值点，由问题的实际含义，最大利润一定存在，故产量为≈34.1421时，有最大利润≈136.569元.(3)当固定生产水平为34件产品时，每件定价x元，则产品利润是L(x)=[34–2(x–7)]x–C(34)=–2x2+48x–141.44x>7这是二次函数，易知x=12(>7)是它的最大值点，最大值为L(12)=146.56元，于是应当提高价格至12元.38.服用一剂药剂量为D所产生的病人体温的变化T由下式给出：其中C是正常数.(1)多大剂量的药使体温变化最大？(2)在药的剂量为D时，身体对药物的敏感度定义为，当C=1000，D=300时，敏感度是多少？(3)当C=1000时，多大剂量的药物，身体敏感度最大？解：(1)体温变化快慢由决定，而(D>0)是关于D的二次函数，易知它有最大值，即当D=C/2时体温变化最大. (2)由(1)的推导知，当C=1000，D=300时，敏感度是(3)由(1)的推导知，当C=1000时，D=1000/2=500身体敏感度最大.39．落在地面某处的一座烟囱的烟尘，其浓度反比于该处至烟囱距离的平方.在两座相距20km的烟囱的连线上，距其中一座烟囱xkm处的混合烟尘浓度由下式给出：其中，是正常数，取决于每座烟囱喷出的烟尘量.如果，求两烟囱连线上的一点，使该点烟尘浓度最小.解：问题即求函数00 u是单调增加的，于是有u(x)>u(0)=0，进而，当时，f(x)>0，即在该区间f(x)没有零点.而在上，f(x)是单调递减的连续函数，以及，所以接近原点的第一个正根在内；第二个正根在内.构造递推公式：.取x0=2，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)02.0.042342412.09216–0.0062682222.08174–0.00009389932.08158–2.1946×10–8取x0=4，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)04.2.6136916.20851–10.423626.15033–4.5699136.06939–1.7359145.98934–0.47695955.94748–0.060435565.94052–0.0012527275.94037–5.61489×10–7我们得到原方程最接近原点的两个正根2.08158和5.94037.53.在区间[–3，7]上将函数离散化(设取五等份)，列表写出该函数在各节点的对应值.然后利用表找出零点所在的区间，并用牛顿法求函数的所有零点.解：根据零点定理，由下表，x–3–11357f(x)–6375–21–2347可以看出：在区间(–3，–1)、(1，3)、(5，7)内各有一个根，而f(x)是3次多项式，至多有3个不相同零点，所以上述区间分离出f(x)的全部零点.构造递推公式：.取x0=–2，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)0–2.–16.1–1.52941–2.55323 2–1.42016–0.1250753–1.41423–0.0003605814–1.41421–3.02821×10–9于是，得到区间(–3，–1)上f(x)的零点–1.41421.取x0=1，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)01.5.11.45455–0.5259221.41442–0.0026990131.41421–7.60677×10–8于是，得到区间(1，3)上f(x)的零点1.41421.取x0=6，容易验证，此时f(6)=0.54.一场大雨过后t天，某地区的地下水位每天将以r英尺的速度下降，.(1)t为何值时，水位将以每天2英尺的速度下降？(2)何时水位的下降速度最快？最快为多少？解：(1)由题设，可知，此方程的根即为所求.由此，得令，即求f(t)的零点.令解得：t=–ln2.7>0.列表：t(0，–ln2.7)–ln2.7(–ln2.7，+∞)–0+f(t)单调递减极小值f(–ln2.7)≈–9.73079<0单调递增又f(t)是（0，+∞）上的连续函数，以及所以，在区间(0，–ln2.7)，(–ln2.7，+∞)内，f(t)各有一个零点.构造递推公式：.取x0=0.5，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)00.5–1.7110.3811111.3261720.4115840.194872 30.4177570.005862540.4179545.67908×10–6取x0=4，利用牛顿法计算列表如下：nxnf(xn)041.2548913.348830.010170923.343451.02246×10–6综上可知，t=0.417954或3.34345(天)时，水位将以每天2英尺的速度下降.(2)令=0解得，t=ln2.7.列表，t(0，ln2.7)ln2.7≈0.993252(ln2.7，+∞)+0–r(t)单调递增极大值r(ln2.7)≈3.33341单调递减于是，当t=ln2.7≈0.993252(天)时水位的下降速度最快，为r(ln2.7)≈3.33341(英尺/天).55.生物学家在实验室饲养雌小鼠，从出生后第三周开始成熟，每周测一次小鼠的体重(单位：g)，发现小鼠体重的增长可以用Logistic曲线描述其中是时间(单位：周)，试问(1)出生时，雌小鼠的体重是多少？(2)雌小鼠体重W(t)的增长速率是多少？(3)雌小鼠的体重会无限增大吗？最大体重是多少？解：(1)出生时，雌小鼠的体重是W(0)=26/31≈0.83871g(2)雌小鼠体重的增长速率是g/周(3)雌小鼠的体重不会无限增大，这是因为，也就是说最大体重是26g.56.用最速下降法求函数的在区域上的最小值(取初始点为(1，0)).解：函数的梯度是给定=0.1.取初始点(x0，y0)=(1，0)，此点的梯度是grad(z(x0，y0))=grad(z(1，0))=(–4，2)由于|–grad(z(x0，y0))|=|–grad(z(1，0))|=|–(–4，2)|=>0.1=，则要计算g(t)=z(x0–tzx(x0，y0)，y0–tzy(x0，y0))=z(1+4t，0–2t)=–3–20t+12t2+256t3+272t4 的最小值点，易知为t0=–0.623143.这样，计算(x1，y1)=(x0–t0zx(x0，y0)，y0–t0zy(x0，y0))=(1+4×(–0.623143)，0–2×(–0.623143))=(–1.49257，1.24629)再以(x1，y1)作为初始点，重复以上步骤，直到|–grad(z(xn，yn))|≤，结束循环，得到最小值z(1.53521，–1.0957)=–6.99612.57.用某种仪器测量一零件的长度n次，所得数据为x1，x2，…，xn.试验证：由表达式计算出的长度x才能较好地表达该零件的长度，亦即使x与n个数据差的平方和为最小.解：令f(x)=，再令，解得：.这是惟一的驻点，根据问题的实际背景，可知最小值一定存在，即该点与n个数据差的平方和最小.58.在一页书上所印文字要占S（单位：cm2），上下边空白处各留a（单位：cm），左右各留b（单位：cm）宽.问纸的尺寸取多少时，才能使书页所用纸张最省？解：设一页书上所印文字的篇幅长为x(cm)，则宽为(cm)，页面面积为(x>0)令解得：，此时，.这是惟一的驻点，根据问题的实际背景，可知最小值一定存在，故页面长为(cm)，宽为(cm)，能使书页所费纸张最省.59.设函数，且在x=0附近有直到n阶的连续导函数.(1)用微分公式证明在x=0处的一阶导数为零；(2)归纳证明(i=1，2，…，n–1).证明：(1)∵，又在x=0附近有直到n阶的连续导函数，∴(2)首先，用数学归纳法证明：(i=1，2，…，n–1) 其中，ak是适当的系数，随着i的不同而改变.当i=1时，由(1)题可知，命题成立.假设i=m