《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社.doc 49页

'6-1．直角三角形的点上，有电荷，点上有电荷，试求点的电场强度(设，)。解：在C点产生的场强：，在C点产生的场强：，∴点的电场强度：；点的合场强：，方向如图：。6-2．用细的塑料棒弯成半径为的圆环，两端间空隙为，电量为的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：∵棒长为，∴电荷线密度：可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在点产生的场强。解法1：利用微元积分：，∴；解法2：直接利用点电荷场强公式：由于，该小段可看成点电荷：，则圆心处场强：。方向由圆心指向缝隙处。6-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧的半径为，试求圆心点的场强。49 解：以为坐标原点建立坐标，如图所示。①对于半无限长导线在点的场强：有：②对于半无限长导线在点的场强：有：③对于圆弧在点的场强：有：∴总场强：，，得：。或写成场强：，方向。6-4．一个半径为的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处点的场强E。解：电荷元dq产生的场为：；根据对称性有：，则：，方向沿轴正向。即：。6-5．一半径为的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为，所带电荷：。49 利用例11-3结论，有：∴，化简计算得：，∴。6-6．图示一厚度为的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标变化的图线，即图线(设原点在带电平板的中央平面上，轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面为高斯面，当时，由和，有：；当时，由和，有：。图像见右。6-7．在点电荷的电场中，取一半径为的圆形平面(如图所示)，平面到的距离为，试计算通过该平面的的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与为圆心、为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为，有，球冠面一条微元同心圆带面积为：∴球冠面的面积：】∵球面面积为：，通过闭合球面的电通量为：，由：，∴。49 6-8．半径为和（）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：（1）；（2）；（3）处各点的场强。解：利用高斯定律：。（1）时，高斯面内不包括电荷，所以：；（2）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：；（3）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：；即：。6-9．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心处（）P点的电势。解：利用高斯定律：可求电场的分布。（1）时，；有：；（2）时，；有：；离球心处（）的电势：，即：。6-10．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当时，因高斯面内不包围电荷，有：，当时，有：，当时，有：，以无穷远处为电势零点，有：。6-11．电荷以相同的面密度s分布在半径为和49 的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为。（1）求电荷面密度；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？（）解：（1）当时，因高斯面内不包围电荷，有：，当时，利用高斯定理可求得：，当时，可求得：，∴那么：（2）设外球面上放电后电荷密度，则有：，∴则应放掉电荷为：。6-12．如图所示，半径为的均匀带电球面，带有电荷，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为，细线左端离球心距离为。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。解：（1）以点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为：（）。取细线上的微元：，有：，∴（为方向上的单位矢量）（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：（，为电势零点）。对细线上的微元，所具有的电势能为：，∴。6-13．如图所示，一个半径为的均匀带电圆板，其电荷面密度为(＞0)今有一质量为，电荷为的粒子(＞0)沿圆板轴线(轴)方向向圆板运动，已知在距圆心（也是轴原点）为的位置上时，粒子的速度为，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上处产生的电势为：，那么，49 ，由能量守恒定律，，有：6-14．一半径为米的孤立导体球，已知其电势为(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：，则：。6-15．半径，带电量的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径，外半径，带电量。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）（2）（3）。解：由高斯定理，可求出场强分布：∴电势的分布为：当时，，当时，，当时，，当时，，∴（1），适用于情况，有：，；（2），适用于情况，有：，；（3），适用于情况，有：，。49 6-16．两块带有异号电荷的金属板和，相距，两板面积都是，电量分别为，板接地，略去边缘效应，求：（1）板的电势；（2）间离板处的电势。解：（1）由有：，则：，而，∴，离板处的电势：6-17．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为，电势为，外圆筒的内半径为，电势为.求其离轴为处(<<)的电势。解：∵<<处电场强度为：，∴内外圆柱间电势差为：则：同理，处的电势为：（*）∴。【注：上式也可以变形为：，与书后答案相同，或将（*）式用：计算，结果如上】6-18．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：┄①，再由系统电荷为Q，有：┄②两式联立得：，；（2）根据电容的定义：（或），将（1）结论代入，有：。6-19.利用电场能量密度计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电量为Q。49 解：首先求出场强分布：∴。6-20．球形电容器内外半径分别为和，充有电量。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按算得的电容器所储电能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：，（）利用电场能量密度，有电容器内电场的能量：；（2）由，则球形电容器的电容为：，那么，。（与前面结果一样）思考题66-1．两个点电荷分别带电和，相距，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?答：由，解得：，即离点电荷的距离为。6-2．下列几个说法中哪一个是正确的？（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；（C）场强方向可由定出，其中为试验电荷的电量，可正、可负，为试验电荷所受的电场力；（D）以上说法都不正确。答：（C）6-3．真空中一半径为的的均匀带电球面,总电量为(＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去后球心处的电场强度大小和方向.49 答：题意可知：，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，有：，方向指向小面积元。6-4．三个点电荷、和在一直线上，相距均为，以与的中心作一半径为的球面，为球面与直线的一个交点，如图。求：(1)通过该球面的电通量；(2)点的场强。解：(1)；(2)。6-5．有一边长为的正方形平面，在其中垂线上距中心点处，有一电荷为的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为多少？解：设想一下再加5个相同的正方形平面将围在正方体的中心，通过此正方体闭合外表面的通量为：，那么，通过该平面的电场强度通量为：。6-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。答：(A)6-7．由真空中静电场的高斯定理可知下面哪个说法是正确的？(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答：(C)6-8．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P"点的电势为49 (A)(B)(C)(D)答：(B)6-9．设无穷远处电势为零，则半径为的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的和皆为常量)：答：(C)6-10．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有和的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，两板的电场线接近板面时应该垂直板面。6-11．在“无限大”均匀带电平面附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板，如图所示．已知上的电荷面密度为，则在导体板的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？答：，。6-12．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体内，放一带有电荷为的带电导体，如图所示，则比较空腔导体的电势和导体的电势时，可得什么结论？答：和都是等势体，；习题77-1．如图所示的弓形线框中通有电流，求圆心处的磁感应强度。解：圆弧在O点的磁感应强度：，方向：；直导线在O点的磁感应强度：，方向：；∴总场强：，方向。49 7-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当时，O点处的磁场最为均匀。解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：。（1）左线圈在x处点产生的磁感应强度：，右线圈在x处点产生的磁感应强度：，和方向一致，均沿轴线水平向右，∴点磁感应强度：；（2）因为随变化，变化率为，若此变化率在处的变化最缓慢，则O点处的磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随变化情况，即对的各阶导数进行讨论。对求一阶导数：当时，，可见在O点，磁感应强度有极值。对求二阶导数：当时，，可见，当时，，O点的磁感应强度有极小值，当时，，O点的磁感应强度有极大值，49 当时，，说明磁感应强度在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中部分是在平面内半径为的半圆，试求通以电流时点的磁感应强度。解：∵a段对O点的磁感应强度可用求得，有：，∴b段的延长线过点，，c段产生的磁感应强度为：，∴则：O点的总场强：，方向如图。7-4．在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点处的磁感应强度的大小。解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为的长直电流，有：，利用。在P点处的磁感应强度为：，∴，而因为对称性，那么，。7-5．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（）。解：利用安培环路定理分段讨论。（1）当时，有：∴；49 （2）当时，有：，∴；（3）当时，有：，∴；（4）当时，有：，∴。则：7-6．一边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六面的总磁通量。解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为（2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。7-7．一根很长的直导线，载有电流10A，有一边长为1m的正方形平面与直导线共面，相距为1m，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条，对距离直导线为x宽度为dx的窄条，通过的磁通量为通过整个正方形平面的磁通量为7-8．如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流，线圈中通有电流，已知d=1cm,b=9cm,l=20cm，求矩形线圈上所受到的合力是多少？49 解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。矩形线圈左边所受的磁力为方向向左矩形线圈右边所受的磁力为方向向右矩形线圈上所受到的合力为方向向左7-9．无限长直线电流与直线电流共面，几何位置如图所示，试求直线电流受到电流磁场的作用力。解：在直线电流上任意取一个小电流元，此电流元到长直线的距离为，无限长直线电流在小电流元处产生的磁感应强度为：，再利用，考虑到，有：，∴。7-10．一半径为的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。解：设半圆柱面导体的线电流分布为，如图，由安培环路定理，电流在点处产生的磁感应强度为：，可求得：；又∵，故，有：，而，所以：。49 7-11．有一根形导线，质量为，两端浸没在水银槽中，导线水平部分的长度为，处在磁感应强度大小为的均匀磁场中，如图所示。当接通电源时，导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度计算电流脉冲的电荷量。解：接通电流时有，而，则：，积分有：；又由机械能守恒：，有：，∴。7-12．截面积为、密度为的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴转动，如图14-53所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度而平衡，求磁感应强度。解：设正方形的边长为，质量为，。平衡时重力矩等于磁力矩：由，磁力矩的大小：；重力矩为：平衡时：，∴。7-13．在电子显像管的电子束中，电子能量为12000eV，这个显像管的取向使电子水平地由南向北运动。该处地球磁场的竖直分量向下，大小为。问：（1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显像管内在南北方向上通过20cm时将偏离多远？解：（1）根据可判断出电子束将偏向东。（2）利用，有：，而，∴（3）。7-14．如图所示，一个带有电荷()的粒子，以速度平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为（），并载有传导电流。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为的平行线上？49 解：由安培环路定律知：电流在处产生的磁感应强度为：，方向；运动电荷受到的洛仑兹力方向向左，大小：，同时由于导线带有线电荷密度为，在处产生的电场强度可用高斯定律求得为：，受到的静电场力方向向右，大小：；欲使粒子保持在一条与导线距离为的平行线，需，即：，可得。思考题7-1．在图（）和（）中各有一半径相同的圆形回路、，圆周内有电流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）图中回路外有电流，、为两圆形回路上的对应点，则：；；；。答：的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。7-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的随的变化关系？（坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心）答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度∴时，（），。49 根据上述两式可判断（C）图对。7-3．取一闭合积分回路，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：(A)回路内的不变，上各点的不变；(B)回路内的不变，上各点的改变；(C)回路内的改变，上各点的不变；(D)回路内的改变，上各点的改变.答：（B）对。7-4．一载有电流的细导线分别均匀密绕在半径为和的长直圆筒上形成两个螺线管()，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小和应满足：；；；.答：对于长直螺线管：，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B）对。7-5．均匀磁场的磁感应强度垂直于半径为的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面，则通过面的磁通量的大小为多少？答：。7-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？答：受力方向垂直纸面向里，受力外，在力偶矩的作用下，垂直纸面向里运动，垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋转。7-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则（A）两粒子的电荷必然同号；（B）粒子的电荷可以同号也可以异号；（C）两粒子的动量大小必然不同；（D）两粒子的运动周期必然不同。答：选（B）习题88-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。解：（1）由法拉第电磁感应定律，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势；49 （2）利用：，有：。【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】8-2．如图所示，长直导线中通有电流，在与其相距处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长，宽。不计线圈自感，若线圈以速度沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。首先用求出电场分布，易得：，则矩形线圈内的磁通量为：，由，有：∴当时，有：。解法二：利用动生电动势公式解决。由求出电场分布，易得：，考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，近端部分：，远端部分：，则：。8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势并比较Ua、Ub的电势大小。解法一：利用动生电动势公式解决：，∴，由右手定则判定：Ua>Ub。49 解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。作辅助线，形成闭合回路，如图，，∴。由右手定则判定：Ua>Ub。8-4．电流为的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。解法一：（用等效法）连接、，圆弧形导线与、形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与直导线的电动势相等。，，∴。解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为，那么，，再由有：，∴。8-5．有一长直螺线管，每米有800匝，在管内中心放置一绕有30圈的半径为1cm的圆形小回路，在1/100s时间内，螺线管中产生5A的电流，问小回路中的感应电动势为多少？解：长直螺线管内部的磁场为：由题意：穿过小回路的磁通量为：小回路中的感应电动势为：49 8-6．电阻为的闭合线圈折成半径分别为和的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按的规律变化。已知，，，，求线圈中感应电流的最大值。解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。，∴。8-7．直导线中通以交流电，如图所示，置于磁导率为m的介质中，已知：，其中是大于零的常量，求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势。解：首先用求出电场分布，易得：，则矩形线圈内的磁通量为：，∴。8-8．如图所示，半径为的长直螺线管中，有的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路，总电阻为，上底为，下底为，求：（1）段、段和闭合回路中的感应电动势；（2）、两点间的电势差。解：（1）首先考虑，，∴，而49 ∴；再考虑，有效面积为，∴，同理可得：；那么，梯形闭合回路的感应电动势为：，逆时针方向。（2）由图可知，，所以，梯形各边每段上有电阻，回路中的电流：，逆时针方向；那么，。8-9．在长为60cm、直径为5.0cm的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为的线圈？解：设需绕N匝线圈，当通以电流I时，通过螺线管线圈的磁通量为由自感的定义可得：因此有：8-10．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：则，有：利用自感定义式：，有：。8-11．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。解：设B中通有电流，则在A处产生的磁感应强度为：49 （1）A中的磁通链为：。则：，∴。（2）∵,∴。8-12．一矩形线圈长l=20cm，宽b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计，求图(a)(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。解：设直导线通以电流I1。图(a)情况下，通过矩形线圈的磁通量为：由互感的定义，线圈与长直导线间的互感为：图(b)情况下，通过矩形线圈左右两半面积的磁通量相互抵消，总磁通量为0，因此线圈与长直导线间的互感也为0。8-13．一个螺线管的自感为10mH，通过线圈的电流为4A，求它所储存的磁能。解：螺线管的磁能为8-14．假定从地面到海拔m的范围内，地磁场为，试粗略计算在这区域内地磁场的总磁能。解：磁场能量密度为此区域内地磁场的总磁能为8-15．在一对巨大的圆形极板（电容）上，加上频率为50Hz，峰值为V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。解：交变电压49 极板间位移电流为其最大值为8-16．有一平板电容器，极板是半径为R的圆形板，现将两极板由中心处用长直引线接到一远处的交变电源上，使两极板上的电荷量按规律变化，略去极板边缘效应，试求两极板间的位移电流强度。解：极板间的位移电流强度为8-17．已知电磁波在空气中的波速为，试计算下列各种频率的电磁波在空气中的波长：（1）上海人民广播电台使用的一种频率；（2）我国第一颗人造地球卫星播放东方红乐曲使用的无线电波的频率；（3）上海电视台八频道使用的图像载波频率.解：由有：（1）；（2）；（3）。8-18．真空中沿正方向传播的平面余弦波，其磁场分量的波长为，幅值为.在时刻的波形如图所示，（1）写出磁场分量的波动表达式；（2）写出电场分量的波动表达式，并在图中画出时刻的电场分量波形解：（1）由图可知，满足余弦波，设：当、时，有：，，根据波形曲线可以判断出：，∴；（2）由知：，∴。思考题88-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为，匝数为，电阻为，其法向与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为，试求小线圈所在位置的磁感应强度。解：，49 ∴。8-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。（a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd，以表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则A．；B．；C．；D．。（b）位于圆形区域直径上的导体棒ab通过导线与阻值为R的电阻连接形成回路，以表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则：A．；B．；C．；D．。答：（a）选C；（b）选D。8-3．在磁感应强度为的均匀磁场内，有一面积为的矩形线框，线框回路的电阻为（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度旋转（如图所示）。（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？答：（1）由，而：，∴；（2），∴。8-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?答：（1）利用位移电流表达式：，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以在电容器两极板拉开过程中不变化，有；（2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，下降且引起下降，使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。8-5．图为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场，均匀分布在圆柱形区域内，试在图中画出：（1）位移电流的大致分布和方向；（2）磁场的大致分布和方向。49 答：（1），（），位移电流在圆柱形区域内均匀分布，分布具有轴对称性；（2）应用安培环路定理：时，，与成正比，时，，为定值不变。8-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为Ei，在不包含磁场的空间区域中分别取闭合曲面S，闭合曲线l，则：A．；B．；C．；D．。答：选B。8-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式：（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场；（4）变化的磁场伴有电场。解：（1）；（2）；（3）（4）习题99-1．杨氏双缝的间距为，距离屏幕为，求：（1）若第一级明纹距离为，求入射光波长。（2）若入射光的波长为，求相邻两明纹的间距。解：（1）由，有：，将，，，代入，有：；即波长为：；（2）若入射光的波长为，相邻两明纹的间距：。9-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率的装置。实验前，在长度为的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。现将上管中的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为的干涉条纹移过条。计算空气的折射率。解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以它将通过增加路程来弥补，条纹向下移动。（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为的干涉条纹移过条，可列出：得：。49 9-3．在玻璃板（折射率为）上有一层油膜（折射率为）。已知对于波长为和的垂直入射光都发生反射相消，而这两波长之间没有别的波长光反射相消，求此油膜的厚度。解：因为油膜（）在玻璃（）上，所以不考虑半波损失，由反射相消条件有：当时，，因为，所以，又因为与之间不存在以满足式，即不存在的情形，所以、应为连续整数，可得：，；油膜的厚度为：。9-4．一块厚的折射率为的透明膜片。设以波长介于的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强?解：本题需考虑半波损失。由反射干涉相长，有：∴；当时，（红外线，舍去）；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（紫外线，舍去）；∴反射光中波长为、、、的光最强。9-5．用的光垂直入射到楔形薄透明片上，形成等厚条纹，已知膜片的折射率为，等厚条纹相邻纹间距为，求楔形面间的夹角。解：等厚条纹相邻纹间距为：，∴，即：9-6．由两平玻璃板构成的一密封空气劈尖，在单色光照射下，形成条暗纹的等厚干涉，若将劈尖中的空气抽空，则留下条暗纹。求空气的折射率。49 解：本题需考虑半波损失。由┄①，而┄②由①/②得：。9-7．用钠灯（）观察牛顿环，看到第条暗环的半径为，第条暗环半径，求所用平凸透镜的曲率半径。解：考虑半波损失，由牛顿环暗环公式：，有：，∴。9-8．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图所示。现用波长为的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度。（1）求明、暗条纹的位置(用r表示)；（2）共能看到多少条明条纹；（3）若将玻璃片B向下平移，条纹如何移动？解：设某条纹处透镜的厚度为，则对应空气膜厚度为，那么：，，（明纹），，（暗纹）；（1）明纹位置为：，，暗纹位置为：，；（2）对中心处，有：，，代入明纹位置表示式，有：，又因为是柱面平凹透镜，∴明纹数为8条；（3）玻璃片B向下平移时，空气膜厚度增加，条纹由里向外侧移动。9-9．利用迈克尔孙干涉仪可以测量光的波长。在一次实验中，观察到干涉条纹，当推进可动反射镜时，可看到条纹在视场中移动。当可动反射镜被推进0.187mm时，在视场中某定点共通过了635条暗纹。试由此求所用入射光的波长。49 解：由，。9-10．波长为的平行光垂直照射在缝宽为的单缝上，缝后有焦距为的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：。9-11．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为的单色光的第三极亮纹与波长的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长。解：单缝衍射的明纹公式为：，当时，，未知单色光的波长为、，重合时角相同，所以有：，得：。9-12．用波长和的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中的第级明纹中心位置恰与的第级暗纹中心位置重合。求满足条件最小的和。解：由，，有：，∴，即：，。9-13．波长为和的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为的光栅上，紧靠光栅后用焦距为的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。解：两种波长的第三谱线的位置分别为、，由光栅公式：，考虑到，有：，，所以：。9-14．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在处，第四级缺级。试求：（1）光栅常数；（2）光栅上狭缝可能的最小宽度；（3）按上述选定的、值，在光屏上可能观察到的全部级数。解：（1）由式，对应于处满足：，得：；（2）因第四级缺级，故此须同时满足：，，49 解得：，取，得光栅狭缝的最小宽度为；（3）由，，当，对应，∴。因，缺级，所以在范围内实际呈现的全部级数为：共条明条纹(在处看不到)。9-15．已知天空中两颗星相对于望远镜的角宽度为4.84×10-6rad，它们发出的光波波长=550nm。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？解：由分辨本领表式：，∴（）。9-16．一缝间距，缝宽的双缝，用波长的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？解：（1）双缝干涉实际上是单缝衍射基础上的双光束干涉，单缝衍射两暗纹之间的宽度内，考察干涉的主极大，可以套用光栅的缺级条件。由有：，当时，有，∴第五级为缺级，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有共九条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，则此时的，同理：，当时，有，显然，单缝衍射中央亮条纹的宽度内有共五条干涉主极大条纹。9-17．从某湖水表面反射来的日光正好是完全偏振光，己知湖水的折射率为。推算太阳在地平线上的仰角，并说明反射光中光矢量的振动方向。解：由布儒斯特定律：，有入射角：，∴仰角。光是横波，光矢量的振动方向垂直于入射光线、折射光线和法线在所在的平面。9-18．自然光投射到叠在一起的两块偏振片上，则两偏振片的偏振化方向夹角为多大才能使：（1）透射光强为入射光强的；（2）透射光强为最大透射光强的。(均不计吸收)解：设两偏振片的偏振化方向夹角为，自然光光强为。则自然光通过第一块偏振片之后，透射光强，通过第二块偏振片之后：，49 （1）由已知条件，透射光强为入射光强的，得：，有：（2）同样由题意当透射光强为最大透射光强的时，得：，有：。9-19．设一部分偏振光由一自然光和一线偏振光混合构成。现通过偏振片观察到这部分偏振光在偏振片由对应最大透射光强位置转过时，透射光强减为一半，试求部分偏振光中自然光和线偏振光两光强各占的比例。解:由题意知：，∴即得。9-20．使自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片，透射光强为，今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少？解：设自然光的光强为，则有再插入另一偏振片后，透射光强为思考题99-1在劈尖的干涉实验中，相邻明纹的间距__________（填相等或不等），当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小），当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将______________（填增加或减小）。答：根据相邻条纹的间距：，条纹间距相等；当劈尖的角度增加时，相邻明纹的间距离将减小；当劈尖内介质的折射率增加时，相邻明纹的间距离将减小。9-2．图示为一干涉膨胀仪示意图，上下两平行玻璃板用一对热膨胀系数极小的石英柱支撑着，被测样品在两玻璃板之间,样品上表面与玻璃板下表面间形成一空气劈尖，在以波长为的单色光照射下，可以看到平行的等厚干涉条纹。49 当W受热膨胀时，条纹将：（A）条纹变密，向右靠拢；（B）条纹变疏，向上展开；(C)条纹疏密不变，向右平移；(D)条纹疏密不变，向左平移。答：由于W受热膨胀时，虽空气劈尖变小，但劈尖角不变，根据相邻条纹的间距：，知间距不变；干涉条纹反映了厚度，所以当厚度向左平移，则相应的条纹也向左平移。选择（D）。9-3．如图所示，在一块光学平玻璃片上，端正地放一锥顶角很大的圆锥形平凸透镜，在、间形成劈尖角很小的空气薄层。当波长为的单色平行光垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜锥面上出现干涉条纹。（1）画出于涉条坟的大致分布并说明其主要特征；（2）计算明暗条纹的位置；（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹有何变化？用图表示。答：（1）图略，分析：这是一个牛顿环和劈尖的综合体，所以它的形状类似于牛顿环，也属于等厚干涉，干涉条纹是中心处为暗纹，一系列间隔均匀的同心圆环；（2）计算明暗条纹的位置；明条纹：，暗条纹：；（3）若平凸透镜稍向左倾斜，干涉条纹将不再是对称的圆环，而是左密右疏的类圆环。图示略。9-4．若待测透镜的表面已确定是球面，可用观察等厚条纹半径变化的方法来确定透镜球面半径比标准样规所要求的半径是大还是小。如图，若轻轻地从上面往下按样规，则图__________中的条纹半径将缩小，而图_________中的条纹半径将增大。49 答：设工件为L，标准样规为G。若待测工件表面合格，则L与G之间无间隙，也就没有光圈出现。如果L的曲率R太小（如图b），则L与G的光圈很多，轻压后中心仍然为暗斑，但条纹半径要减小；如果L的曲率R太大（如图a），则L与G的光圈除边缘接触，中间部分形成空气膜，轻压后中心斑点明暗交替变化，而且所有光圈向外扩展。第一空选b，第二空选a。9-5．在单缝夫琅禾费衍射试验中，试讨论下列情况衍射图样的变化：（1）狭缝变窄；（2）入射光的波长增大；（3）单缝垂直于透镜光轴上下平移；（4）光源S垂直透镜光轴上下平移；（5）单缝沿透镜光轴向观察屏平移。解：（1）中央及各级衍射条纹变宽，衍射更明显。（2）中央及各级衍射条纹变宽，衍射更明显。（3）衍射条纹没有变化。（4）衍射条纹反方向发生平移。（5）衍射条纹没有变化。9-6．要分辨出天空遥远的双星，为什么要用直径很大的天文望远镜？答：最小分辨角为：，它的倒数为分辨本领，当D越大，越小，那么分辨本领就越大。所以用的天文望远镜的直径很大，提高了分辨本领。9-7．使用蓝色激光在光盘上进行数据读写较红色激光有何优越性？答：最小分辨角为：，它的倒数为分辨本领，当越小，越小，那么分辨本领就越大。所以用的蓝色光比红色光好，提高了分辨本领。9-8．孔径相同的微波望远镜和光学望远镜相比较，哪个分辨本领大？为什么？答：最小分辨角为：，它的倒数为分辨本领，当越小，越小，那么分辨本领就越大。由于微波的波长大于光波的波长，所以光波望远镜的分辨本领大。9-9．用偏振片怎样来区分自然光、部分偏振光和线偏振光？答：将光通过偏振片，光强无变化的为自然光；光强有变化但不会出现完全消光的为部分偏振光；光强有变化且在某个方向为零的为线偏振光。9-10．在如图所示的各种情况中，以非偏振光或偏振光由空气入射到水面时，折射光和反射光各属于什么性质的光？在图中所示的折射光线和反射光线上用点和短线把振动方向表示出来，把不存在的反射线和折射线划掉。图中为水的折射率，。49 解：第一个图：反射光和折射光均为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。第二个图：反射光和折射光均为平行于入射面的偏振光，用“短线”表示。第三个图：反射光和折射光均为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。第四个图：没有反射光线，折射光为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示。第五个图：反射光为垂直于入射面的偏振光，用“点”表示，折射光为部分偏振光，且平行于入射面的偏振光（用“短线”表示）占优势。49 习题1010-1．一观察者测得运动着的米尺长0.5m，问此尺以多大的速度接近观察者？解：由动尺缩短公式，可得10-2．在参考系中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了处，经历时间为，试计算该过程对应的固有时。解：以粒子为系，利用有：。10-3．长度的米尺静止于系中，与′轴的夹角=30°，系相对系沿轴运动，在系中观测者测得米尺与轴夹角为45°。试求：（1）系和系的相对运动速度。（2）系中测得的米尺长度。解：（1）米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：49 ，。米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即：，故：。把及代入，则得：，故：(2)在系中测得米尺长度为。10-4．一门宽为，今有一固有长度(＞)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，则：解得杆的运动速率至少为：10-5．两个惯性系中的观察者和以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇？解：测得相遇时间为：测得的是固有时：∴，或者，测得长度收缩：49 10-6．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？解：∴10-7．从系观察到有一粒子在时由处以速度沿方向运动，后到达点，如在系(相对系以速度沿方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标各为多少？(时，与的原点重合)，并算出粒子相对系的速度。解：利用洛仑兹变换：，，考虑到，有：；；；；。10-8．1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀：49 有，∴由，∴到达不了地球；（2）介子静止系中的观测者认为长度收缩：有，∴而，∴到达不了地球。10-9．某人测得一静止棒长为l，质量为m，于是求得此棒线密度为。假定此棒以速度v在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度为多少？若棒在垂直度方向上运动，它的线密度又为多少？解：棒以速度v运动时，质量变为在棒长方向上运动，长度缩短为，则棒的线密度为棒在垂直度方向上运动时，长度不变，因此它的线密度为10-10．一个电子从静止开始加速到，需对它做多少功？，若速度从增加到又要做多少功？解：由相对论动能：：（1）；（2）。10-11．一静止电子(静止能量为)被的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：（1）电子在达到最终速度后飞越的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？49 解：（1）∵，∴，考虑到：，得：，可求得：，那么，；（2）由，有。10-12．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为.（1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加？（2）此时电子的速率是多少？解：（1）由，且，，有：，∴；（2）∵，∴，可求得：。10-13．已知一粒子的动能等于其静止能量的倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。解：（1）依题意知：，又∵，∴，有：整理得：；（2）由，而：，得：。10-14．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核()和氘核()聚变为氦核()，同时放出光子，反应方程为：已知氢、氘和的原子质量依次为、和.原子质量单位.试估算光子的能量。解：根据质能方程：。思考题1049 10-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同；（C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关；（D）在真空中，光的速度与光的频率有关。答：（D）10-2．下面两种论断是否正确？（1）在某个惯性系中同时、同地发生的事件，在所有其他惯性系中也一定是同时、同地发生的。（2）在某个惯性系中有两个事件，同时发生在不同地点、而在与该系有相对运动的其他惯性系中，这两个事件却一定不同时。解：（1）正确；（2）正确。10-3．在惯性系和，分别观测同一个空间曲面。如果在系观测该曲面是球面，在系观测必定是椭球面。反过来，如果在系观测是球面，则在系观测定是椭球面，这一结论是否正确？答：根据运动的相对性这个结论是正确的。10-4．一列以速度行驶的火车，其中点与站台中点对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？答：根据，由于，，所以，即对点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在先。10-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。10-6．在相对论中，对动量定义和公式的理解，在与牛顿力学中的的有何不同？在相对论中，一般是否成立？为甚麽？解：在相对论中，动量定义和公式中的质量是与运动有关的，是随运动速度而变化的；而在与牛顿力学中认为质量是恒定不变的。因此在相对论中，是不成立。10-7．相对论的能量与动量的关系式是什么？相对论的质量与能量的关系式是什么？解：相对论的能量与动量的关系式是相对论的质量与能量的关系式是习题1111-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长，利用维恩定律便可求出。已知太阳、北极星和天狼星的分别为，和，试计算它们的表面温度。解：由维恩定律：，其中：，那么：49 太阳：；北极星：；天狼星：。11-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为的黑体辐射，试计算：（1）此辐射的单色辐出度的峰值波长；（2）地球表面接收到此辐射的功率。解：（1）由，有；（2）由，有：，那么：。11-3．在加热黑体过程中，其单色辐出度对应的峰值波长由变化到，求总辐出度改变为原来的多少倍？解：由和可得，11-4．已知时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为。设灯泡的钨丝面积为，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。解：∵，消耗的功率等于钨丝的幅出度，所以，。11-5．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。现观测到某恒星热辐射的峰值波长为；辐射到地面上单位面积的功率为。已测得该恒星与地球间的距离为，若将恒星看作黑体，试求该恒星的半径。（维恩常量和斯特藩常量均为己知）解：由，，考虑到恒星辐射到地面上单位面积的功率大球面恒星表面辐出的功率，有：，∴。11-6．分别求出红光（），射线（），射线（）的光子的能量、动量和质量。解：由公式：，及，有：49 红光：，，；X射线：，，；射线：，，。11-7．钨丝灯在温度下工作。假定可视其为黑体，试计算每秒钟内，在到波长间隔内发射多少个光子？解：设钨丝灯的发射面积为，由斯特藩-玻耳兹曼定律可得辐射总功率，那么，钨丝的发射面积为：，利用普朗克公式：，那么，单位时间内从黑体辐射出的在范围内的能量为：考虑到一个光子的能量为：，设每秒发射出个光子，应有∴。11-8．砷化镓半导体激光器(GaA1As)，发射红外光，功率为，计算光子的产生率。解：设每秒钟发射个光子，每个光子的能量为，那么：，∴（个）。49 11-9．钾的截止频率为4.62×1014Hz，用波长为435.8nm的光照射，能否产生光电效应？若能产生光电效应，发出光电子的速度是多少？解：（1）由知逸出功，而光子的能量：。可见，能产生光电效应；（2）由光电效应方程：，有，∴。11-10．波长为的光在石墨上发生康普顿散射，如在处观察散射光。试求：（1）散射光的波长；（2）反冲电子的运动方向和动能。解：（1）由康普顿散射公式：和而康普顿波长：，知：；（2）如图，考察散射粒子的动量，在轴方向上：┄①在轴方向上：┄②①/②有：，∴；动能：。11-11．在康普顿散射中，入射X射线的波长为，反冲电子的速度为0.6c，求散射光子的波长和散射方向。解：反冲电子的动能为且有，则散射光子的波长为再由康普顿散射公式，可得49 11-12．试计算氢原子巴耳末系的长波极限波长和短波极限波长。解法一：由巴耳末公式，（其中）当时，有短波极限波长：；当时，有长波极限波长：。解法二：利用玻尔理论：，有：，考虑到，当时，有短波极限波长：；当时，有长波极限波长：。【注：解法一可用巴耳末公式的形式，其中】11-13．在氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中，仅观察到三条光谱线，试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。解：由巴耳末公式，由于仅观察到三条谱线，有。“”：，有：；“”：，有：；“”：，有：；一般氢原子核外电子处于基态（），外来光子的能量至少应将电子激发到的激发态，所以，光子的能量应为：，考虑到，，有：。11-14．一个氢原子从的基态激发到的能态。（1）计算原子所吸收的能量；（2）若原子回到基态，可能发射哪些不同能量的光子？（3）若氢原子原来静止，则从直接跃回到基态时，计算原子的反冲速率。解：（1）氢原子从的基态激发到的能态，吸收的能量为：49 （2）回到基态可能的跃迁有：“”、“”、“”、“”、“”、“”，考虑到：、、、，有：“”：；“”：；“”：；“”：；“”：；“”：。（3）首先算出光子的能量：，∵，而（光子），∴由动量守恒有：，（设电子的反冲速度为）。可见，电子的反冲速度很小，因此不需要考虑相对论效应。思考题11-1．绝对黑体与平常所说的黑色物体有何区别？绝对黑体在任何温度下，是否都是黑色的？在相同温度下，绝对黑体和一般黑色物体的辐出度是否一样？解：绝对黑体吸收所有的外来辐射而不反射，平常所说的黑色物体实际是有反射的，只是反射较弱。绝对黑体在不同温度下具有不同的辐射谱，因此将会呈现不同的颜色。在相同温度下，绝对黑体的辐出度大于一般黑色物体的辐出度。11-2．你能否估计人体热辐射的各种波长中，哪个波长的单色辐出度最大？解：人体正常温度为，假设人体辐射为黑体辐射，则由可得，单色辐出度最大的波长为为红外波段。11-3．在光电效应实验中，用光强相同、频率分别为和的光做伏安特性曲线。已知＞,那么它们的伏安特性曲线应该是图？答：图（C）11-4．试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。49 答：光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的光系。两者区别源于产生这两效应的能量范围大不相同，光电效应中光子的波长在光学范围，能量的数量级是几个eV，金属中电子逸出功的数量级是1eV。在线性光学范围内的光电效应中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在X射线波段，具有104eV数量级的能量，相对来说电子逸出功和电子热运动的能量都可以忽略，原子的外层电子可看作是自由的、静止的。所以康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问题，系统的能量和动量都守恒。11-5．用可见光照射能否使基态氢原子受到激发？为什么？答：使基态氢原子受到激发所需要的最小能量为：，而可见光的最大能量为：，所以用可见光照射不能使基态氢原子受到激发11-6．氢原子的赖曼系是原子由激发态跃迁至基态而发射的谱线系，为使处于基态的氢原子发射此线系中最大波长的谱线，则向该原子提供的能量至少应为多少？答：氢原子的赖曼系是从受激态往激态发射光子，此线系中最大波长是从向基态发射的，故：。11-7．用玻尔氢原子理论判断，氢原子巴尔末系（向第一激发态跃迁而发射的谱线系）中最小波长与最大波长之比为多少？答：由，时波长最小用表示，时波长最大用表示，有：。习题1212-1．计算下列客体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度：，所以要考虑相对论效应。设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式：，可得：；（2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度：49 ，所以不需要考虑相对论效应。利用德布罗意波的计算公式即可得出：。12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。解：（1）用非相对论公式：；（2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：，由，有：。12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm，试求两者的动量只比以及动能之比。解：动量为因此电子与光子的动量之比为；电子与光子的动能之比为12-4．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：利用能量守恒，有：，考虑到，有：，利用匀强电场公式有：。12-5．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）解：由于需要分辨大小为1的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1，由，有电子的动量为：；49 试算一下它的速度：，所以不考虑相对论效应，则利用，有电子动能的最小值：。12-6．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。解：由不确定关系：，有，由，可推出：。12-7．氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则：。12-8．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：，由不确定关系：，有：∴。12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：，则其不确定度，而做圆周运动时：，利用：代入，可得到：。12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为：49 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：，概率密度为：粒子处在到区间的几率：，如果是基态，，则。12-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。（1）质子的零点能量有多大？（2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：时为零点能量：（2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为：思考题1212-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：而电子的德布罗意波长：（∵）可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。12-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。12-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板，、分别为上、下方电子束的虚电子源，，底板离源S的距离为，设，电子的动量为，试求：（1）电子几率密度最大的位置；49 （2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。答：（1）电子的德布罗意波长：，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在之间；（2）相邻暗条纹的距离：。12-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图所示，对应的总能量为，若它处于另一个波函数（如图所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：。在a图中，，知，所以粒子的零点能；若它处于另一个波函数（图所示，）的态上时，它的总能量是：。12-5．图中所示为一有限深势阱，宽为，高为。（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。答：（1）第I区域定态薛定谔方程：，（），第II区域定态薛定谔方程：，（和）；边界条件：，。（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为，最低能量值，显然与的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。49'