《自动控制原理》+胡寿松+习题答案(附带例题课件).pdf 117页

'《自动控制原理》电子教案自动控制原理电子教案 《自动控制原理》电子教案《自动控制原理》课程教学大纲课程编号：课程名称：自动控制原理英文名称：AutomaticControlTheory课程类型:：专业基础必修课总学时：64讲课学时：56上机学时：8学时：64学分：4适用对象：电气工程及其自动化专业（电力系统及自动化、电力系统继电保护、电网监控技术、供用电技术专业方向）先修课程：高等数学、大学物理、积分变换、电路、数字电子技术、模拟电子技术一、课程性质、目的和任务本课程为电气工程及其自动化专业的主要专业基础课程之一，目的是使学生掌握负反馈控制原理、控制系统数学模型的建立和系统性能分析、设计的基本方法，培养学生分析和设计自动控制系统性能的基本能力并能满足其它后续专业课程对自动控制理论知识的需要。二、教学基本要求本课程采用时域法、根轨迹法和频率特性法对自动控制系统的性能进行分析和设计，学完本课程应达到以下基本要求。1．掌握负反馈控制原理掌握负反馈控制原理，能够分析负反馈控制系统的调节过程并画出相应的控制系统方框图。了解控制系统的基本构成和分类。2．熟悉建立控制系统数学模型的方法熟悉用拉氏变换法求解线性系统微分方程的基本方法。掌握控制系统传递函数、动态结构图建立和简化方法。3．熟悉运用时域分析法分析系统性能的方法掌握典型二阶系统的单位阶跃响应以及性能指标的求取。掌握用劳斯代数稳定判据判断系统的稳定性的方法。掌握求系统的稳态误差及误差系数的方法。4．熟悉用根轨迹分析法分析控制系统性能的方法掌握根据系统开环传递函数的零、极点分布绘制闭环系统根轨迹图的基本方法。根据根轨迹图分析控制系统的性能。了解开环零、极点对系统性能的影响。5．熟悉频率分析法分析控制系统性能的方法熟悉典型环节频率特性的求取以及频率特性曲线，掌握系统开环对数频率特性曲线、极坐标曲线绘制的基本方法。了解根据开环对数频率特性曲线分析闭环系统性能的方法。熟悉用奈奎斯特稳定判据判断系1 《自动控制原理》电子教案统稳定性的方法。掌握稳定裕度的计算方法。6．熟悉控制系统校正的方法了解串联超前校正、串联滞后校正的校正装置设计的基本原理和方法。7．熟悉非线性控制系统的分析方法了解非线性控制系统的特点和常见非线性特性。熟悉非线性控制系统的描述函数法。三、教学内容及要求（一）自动控制系统的基本概念了解自动控制理论的主要任务以及研究对象，掌握负反馈控制原理并分析控制系统的自动控制过程，熟悉自动控制系统的基本构成并能绘制控制系统方框图，了解自动控制系统的分类方法和基本要求。主要内容1．自动控制与自动控制系统2．负反馈调节原理3．自动控制系统的分类3．对控制系统的性能要求4．自动控制理论发展简史（二）自动控制系统的数学模型熟悉系统微分方程的建立，拉氏变换及其应用。掌握系统传递函数的定义及求取，系统动态结构图的建立及其简化以及系统不同传递函数的定义及求取。1．控制系统微分方程的建立2．非线性数学模型的线性化3．控制系统的传递函数4．典型环节的传递函数5．控制的动态结构图及变换6．信号流图及梅逊公式7．反馈控制系统的传递函数（三）自动控制系统的时域分析法熟悉控制系统的时域指标，一阶系统的单位阶跃响应、斜坡响应以及性能指标的求取。掌握典型二阶系统的单位阶跃响应以及性能指标的求取。掌握劳斯稳定判据分析系统的稳定性方法。熟悉控制系统稳态误差分析以及稳态误差、误差系数的求取。1．控制系统性能指标的定义2．一阶系统性能分析3．二阶系统性能分析4．欠阻尼二阶系统的时域分析和指标计算5．高阶系统的时域分析、闭环主导极点和高阶系统的降阶2 《自动控制原理》电子教案6．控制系统的稳定性分析7．控制系统的稳态误差分析和改进措施8．同步发电机励磁调节（选讲）（四）根轨迹分析法了解根轨迹的基本概念，熟悉根轨迹的绘制规则，掌握最小相位系统的根轨迹图绘制，了解非最小相位系统根轨迹图的绘制。运用根轨迹法分析系统的暂态特性。1．根轨迹的基本概念（根轨迹、根轨迹方程）02．绘制180根轨迹的基本法则03．绘制0根轨迹的基本法则4．广义根轨迹5．非最小相位系统的根轨迹6．用根轨迹法分析系统性能（五）频率法了解频率特性的基本概念，频率特性的几何表示方法，熟悉典型环节的对数频率特性曲线（Bode图）绘制和极坐标曲线（Nyquist曲线），掌握系统开环对数频率特性曲线的绘制，了解系统开环极坐标曲线绘制的一般方法，熟悉开环对数频率特性低频段、中频段、高频段的特征，学会运用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性，掌握系统稳定裕度的基本概念和计算方法，了解系统性能和开环频率特性的关系。1．频率特性的基本概念和几何表示2．典型环节的频率特性3．控制系统开环对数频率特性和极坐标曲线的绘制4．最小相位系统传递函数的确定5．奈奎斯特稳定判据和Bode图上的稳定判据6．稳定裕度的基本概念和计算方法7．频率特性与系统性能的基本关系（六）控制系统性能的校正了解校正装置和校正方法，熟悉串联超前校正、串联滞后校正的基本原理和方法。了解频率法反馈校正的基本原理和方法（选讲）。1．控制系统校正的基本概念和一般方法2．频率法串联超前校正的基本原理和方法3．频率法串联滞后校正的基本概念和方法4．频率法反馈校正的基本原理和方法（选讲）（七）非线性控制系统了解非线性系统与线性系统的区别，了解非线性特性和非线性系统的主要特征，学会非线性系统的描述函数分析方法，了解非线性系统的相平面分析法（选讲）。3 《自动控制原理》电子教案1．非线性系统的基本概念2．典型非线性特性、非线性系统的主要特征3．描述函数定义、应用条件和求取方法4．应用描述函数分析非线性系统的稳定性5．非线性系统自激振荡分析和计算6．介绍非线性系统相平面分析法（选讲）四、所含实践环节通过对MATLAB仿真软件的学习，掌握MATLAB软件的基本应用方法，能够学会运用MATLAB软件分析控制系统的性能和基本设计方法。自动控制理论的实验安排在课程内计算机上完成，开设4个实验：1．熟悉MATLAB软件的基本使用方法，并利用MATLAB程序实现控制系统典型环节的性能仿真。（验证性实验）2学时2．利用MATLAB程序绘制控制系统阶跃响应曲线、计算性能指标，讨论开环放大倍数对闭环系统响应速度、稳定性和稳态误差的影响。（验证性实验）2学时3．利用MATLAB程序绘制控制系统的Nyquist曲线、Bode图，计算控制系统的幅值裕度和相位裕度。（验证性实验）2学时4．利用MATLAB软件设计控制系统（设计性实验）2学时五、课外习题及课程讨论为达到本课程的教学基本要求，课外习题一般不应少于50题。六、教学方法与手段本课程采用以课堂板书为主适当结合多媒体课件并辅以上机实验的方式进行教学。七、各教学环节学时分配章节（或内容）讲课习题课讨论课上机其它合计自动控制系统的基本概念4控制系统的数学模型102线性系统的时域分析法102根轨迹分析法8线性系统的频域分析法122控制系统的校正62非线性系统6合计56864八、考核方式本课程考核为期末闭卷笔试和平时考核相结合。学生的课程总评成绩由平时成绩（占30%）和期末考4 《自动控制原理》电子教案试成绩（占70%）两部分构成，平时成绩中上机实验成绩占20%，出勤、作业、课堂提问、学习主动性等占10%。九、推荐教材和教学参考书教材：《自动控制原理》，国防工业出版社，王划一主编，2001年参考书：《自动控制原理》，国防工业出版社，胡寿松主编，1994年《自动控制原理》，清华大学出版社，吴麒主编，1990年《现代控制工程》，电子工业出版社，KatsuhikoOgata著，卢伯英、于海勋等译，2000年大纲制订人：杨志超大纲审定人：李先允制订日期：2005年6月5 《自动控制原理》电子教案《自动控制原理》课程实验教学大纲一、实验教学目标与基本要求《自动控制原理》课程实验通过上机使用MATLAB软件，使学生初步掌握MATLAB软件在控制理论中的基本应用，学会利用MATLAB软件分析控制系统，从而加深对自动控制系统的认识，帮助理解经典自动控制的相关理论和分析方法。通过本课程上机实验，要求学生对MATLAB软件有一个基本的了解，掌握MATLAB软件中基本数组和矩阵的表示方法，掌握MATLAB软件的基本绘图功能，学会MATLAB软件中自动控制理论常用函数的使用，学会在MATLAB软件工作窗口进行交互式仿真和使用M_File格式的基本编程方法，初步掌握利用MATLAB软件进行控制系统设计，让学生得到撰写报告的基本训练。二、本课程实验的基本理论与实验技术知识采用MATLAB软件上机进行实验，就是利用现代计算机硬件和计算机软件技术，以数字仿真技术为核心，实现对自动控制系统基本理论和分析方法的验证以及控制系统设计。通过上机实验，使学生在MATLAB软件的基本使用、编程调试、仿真实验数据的获取、整理、分析以及实验报告的撰写等基本技能得到训练。三、实验方法、特点与基本要求本课程实验采用计算机MATLAB软件仿真方法，其特点是利用MATLAB软件丰富的功能函数、灵活的编程和调试手段以及强大的人机交互和图形输出功能，可以实现对控制系统直观和方便的分析和设计。本课程实验的基本要求是，使学生对MATLAB软件有一个基本的了解，掌握MATLAB软件中基本数组和矩阵的表示方法，掌握MATLAB软件的基本绘图功能，学会MATLAB软件中自动控制理论常用函数的使用，学会在MATLAB软件工作窗口进行交互式仿真和使用M_File格式的基本编程方法，初步掌握利用MATLAB软件进行控制系统设计，让学生得到撰写报告的基本训练。四、实验主要仪器设备配备有50台计算机，并安装MATLAB6.X软件。五、实验项目的设置与内容提要实实序验验每组人实验项目内容提要实验要求号学类数时型熟悉MATLAB软件的基本使用方验1控制系统典型环节性能分析法，并利用MATLAB实现控制系统21必做证典型环节性能的仿真分析利用MATLAB程序绘制控制系统2自动控制系统的稳定性和稳阶跃响应曲线、计算性能指标，讨验21必做态误差分析论开环放大倍数对闭环系统响应速证度、稳定性和稳态误差的影响6 《自动控制原理》电子教案利用MATLAB程序绘制控制系统3的Nyquist图、Bode图，判别稳定验自动控制系统频域分析21必做性，计算控制系统的幅值裕度和相证位裕度4设控制系统校正及设计利用MATLAB软件设计控制系统21必做计六、实验报告要求每次上机实验必须提交实验报告。实验报告由实验原理、实验内容、仿真程序、实验数据记录及分析处理等内容组成。七、考核方式与成绩评定标准实验成绩：预习10%、上机操作50%、报告40%八、教材及主要参考资料教材：《自动控制理论实验指导书》，王芳、杨志超编写，2007年参考书：《自动控制原理》，国防工业出版社，王划一主编，2001年《基于MATLAB的系统分析与设计》-控制系统，楼顺天、于卫编著，西安电子科技大学出版社，1999年《MATLAB控制系统设计与仿真》，赵文峰编著，西安电子科技大学出版社，2002年大纲制订人：杨志超大纲审定人：李先允制订日期：2005年6月7 《自动控制原理》电子教案自动控制原理授课计划（64学时）需授序周用课授课或实验内容摘要课外作业号时时性数质理论114绪论1-2、1-6教学理论系统数学模型的特点、类型和建模原则2-4(a)222教学系统微分方程的建立2-5(b)理论非线性数学模型线性化322教学线性系统的传递函数2-2(1)(2)理论线性系统的传递函数4322-8教学典型环节及其传递函数2-92-6理论532系统结构图2-10(c)教学2-11(a)2-12(b)理论642信号流图及梅逊公式2-13(a)教学2-14(c)上机完成实验报742控制系统典型环节性能分析上机实验实验告理论线性系统时间相应的性能指标852教学一阶系统的时域分析理论1052二阶系统的时域分析3-2教学理论二阶系统的时域分析11623-3教学高阶系统的时域分析理论线性系统稳定性概念、定义和条件12623-4教学线性系统的代数稳定判据理论3-71372线性系统的误差分析教学3-11上机完成实验报1472自动控制系统稳定性和稳态性能分析实验告理论1581根轨迹法的基本概念教学理论1683绘制系统180根轨迹的基本法则4-2教学理论4-1217920°根轨迹绘制及参变量根轨迹绘制教学4-138 《自动控制原理》电子教案需授序周用课授课或实验内容摘要课外作业号时时性数质理论4-4、4-61892控制系统的根轨迹分析方法教学4-8、4-15理论频率特性基本概念、定义及几何表示法19102教学典型环节的频率特性理论典型环节的频率特性201025-4(2)、(4)教学开环极坐标图的绘制理论开环伯德图的绘制5-3(4)21112教学最小相位系统传递函数的确定5-5(2)(3)理论22112奈奎斯特稳定判据5-10教学理论5-723122稳定裕度教学5-9理论闭环频率特性24122教学频率特性分析上机完成实验报25132自动控制系统频域分析上机实验实验告理论系统的设计及校正问题26132教学频率法串联校正理论27142频率法串联超前校正6-1教学理论28142频率法串联迟后校正6-2教学上机完成实验报29152控制系统的校正及设计上机实验实验告理论典型非线性特性、非线性特征、非线性系统分析方法30152教学描述函数理论描述函数311627-2教学描述函数分析法理论7-732162描述函数分析法教学7-89 《自动控制原理》电子教案第1次课授课时间2学时授课题目（章、节）第一章绪论（1-3节）1．自动控制在各领域的应用2．自动控制的作用3．自动控制定义：自动控制就是在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象（或主要内容过程）的某些物理量自动地按预先给定的规律去运行。4．自动控制系统的基本职能元件及基本框图等5．开环控制与闭环控制了解自动控制系统的基本职能元件、基本术语及方框图目的与要掌握自动控制定义求掌握开环、闭环控制的定义、基本框图重点与难重点：自动控制的定义、开环控制与闭环控制的定义及框图点教学手段授课、例题讲解思考题或1-2作业题1.1引言无论是人们的日常生活、工业生产，还是空间探索、导弹制导等尖端科技领域中，自动控制技术无所不在、无所不能。自动控制理论和技术已经渗透到社会、经济和科学研究的各个方面。自动控制技术是建立在控制论基础上的，而控制论研究的是控制的一般性理论，它不具体面对某一类控制系统的，因此它是一门以理论为主的课程。自动控制理论是一门理论性和工程性的综合科学。1．控制理论的基础观念控制理论是建立在有可能发展一种方法来研究各式各样系统中控制过程这一基础上的理论（也即，它是研究系统共性的控制过程的理论，可以把实际对象的物理涵义抽象出来，因此，它一定是以数学工具作为主要研究手段的）。2．控制理论的研究对象控制论的研究是面向系统的。广义地讲：控制论是研究信息的产生、转换、传递、控制和预报的科学；狭义地讲：根据期望的输出来改变控制输入，使系统的输出能达到某中预期的效果。3．控制论与数学及自动化技术的关系控制论是应用数学的一个分支，它的某些理论的研究还要借助于抽象数学。而控制论的研究成果若要应用于实际工程中，就必须在理论概念与用来解决这些实际问题的实用方法之间架起一座桥梁。1.2自动控制和自动控制系统1.2.1自动控制问题的提出人们存在着一种普遍的要求或希望，即要求某些物理量维持在某种特定的（如恒定不变或按某种规律变化或跟踪某个变化的量等等）标准上。例如：水箱的液位高度H的恒定控制就是一个十分典型的例子。人工控制的系统，特别是在系统较为复杂时，其控制的快速性、准确性和稳定性就不容易得到保证，甚至是不可能达到预期的控制效果，同时，也不利于提高劳动生产力和解放人类自身。1.2.2自动控制的定义及基本职能元件1．自动控制的定义自动控制就是在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象（或过程）的某些物理量（被控量）自动地按预先给定的规律去运行。2．基本职能元件10 《自动控制原理》电子教案比较自动控制与人工控制系统，可见自动控制系统存在着三个最基本的职能元件。（1）测量元件与变送器：代替人的眼睛，完成信号的采集测量和变送；（2）控制器：代替人的大脑，完成比较、计算、判断，并发出调节指令；（3）执行元件：代替人的肌肉和手，完成或实现对被控对象的调节作用。任何实际的自动控制系统，都少不了上述三个的职能元件（部件、部分）。3．自动控制中的常用术语ò控制系统（Controlsystem）：为了达到预期的目的（响应）而设计出来的系统，它由相互关联的部件组合而成。ò控制对象（Controlplant）：指被控设备或过程。ò控制器（Controller）：使被控对象达到所要求的性能或状态的控制设备。它接受输入信号或偏差信号，按预定的控制规律给出控制信号（操作量），送到执行元件（放大器）或被控对象。ò系统（System）：为实现预期的目标而将有关部件（部分）互联在一起的整体。ò系统输出，也称被控量（Systemoutput）：指被控制的量。它表征被控对象或过程的状态和性能，它又常常被称为系统对输入的响应（Response）。ò控制量（操作量Controlsignal）：是由控制器给出的作用于执行机构或被控对象的信号，它体现了对被控对象的调节作用。ò参考输入或给定输入或希望输入（DesiredInput）：是人为给定的系统预期输出的希望值。ò扰动（Interaction）：干扰和破坏系统预期性能和输出的干扰信号（作用）。由系统内部产生的称为内部扰动，由系统外部产生的称为外部扰动，且外部扰动对系统而言是一种输入量。ò偏差信号（Errorsignal）：参考输入与实际输出的差称为偏差信号，偏差信号一般作为控制器的输入信号。4．方框图（Block）将系统各部分用方框并注以文字或符号按信息传递关系联结起来的一种图形表示。方框图明确地表示了系统内各部分对信息加工的内容和信息间的关系，以及信息的传递路径，是一种直观的图形表示，在工程各领域用于进行定性和定量分析，因此得到极其广泛的应用。1.3开环控制与闭环控制1.3.1开环控制开环控制是控制量与被控对象之间只有一条通路而没有反馈通路，也即控制作用的传递路径不是闭合的，或者说输出信号不反馈作用于输入信号。开环控制又可以分为按给定控制和按扰动控制1．按给定控制这种开环控制系统的结构简单，调整方便，成本也较低，其控制的性能（如精度）主要取决于构成系统所用元件的性能优劣和外界环境。开环控制的缺点是：（1）控制精度较差；（2）系统的抗干扰性能较差（鲁棒性较差）。所以复杂的控制系统和精度要求较高的场合一般不适合应用开环控制。2．按扰动控制从按给定的开环控制分析可知，影响控制系统精度的主要因素是扰动，对于那些预先明确其对系统影响的扰动，可以根据测得的扰动量大小，对系统采取一种补偿和修正处理，以抵消或减小扰动对系统输出的影响，它可以提高控制系统的精度，减小扰动对输出的影响，提高系统的抗干扰能力。当然按扰动的开环控制必须有两个前提条件，即（1）扰动对输出的影响特性必须是预知的；（2）扰动必须是可测量的。3．开环控制的定义若系统的输出量对系统的控制作用没有影响的系统称为开环控制。特点：（1）输出量产生控制作用直接影响输出量；（2）输出量对输入产生的控制作用没有影响（无反馈作用）。1.3.2闭环控制（Closed-LoopControl）11 《自动控制原理》电子教案在控制系统中，根据实际输出来修正控制作用，实现对被控对象进行控制的任务，这种控制原理称为反馈控制原理。由于引入了输出量的反馈信息，使整个系统成为闭合的，因此，按反馈原理建立起来的控制系统，叫做闭环控制系统。因为是按偏差的大小进行调节控制的，所以闭环反馈控制又称为按偏差控制。闭环控制的定义：系统的输出信号对控制作用能有直接影响的系统，叫做闭环控制系统。特点和优点：（1）系统的控制器根据偏差的大小来发出调节信号的，所以，又称闭环控制为按偏差控制。（2）信号的传递途径形成一个闭合的环路，称为闭环。闭环系统可以是正反馈的，也可以是负反馈的，实际可用的自动控制系统一般是负反馈控制系统。（3）可以用精度不高的元器件，构成精度较高的控制系统。（4）系统具有较强的抗干扰能力。缺点：（1）增加了组成系统的元器件数量，从而增加了系统的成本。（2）增加了系统的复杂性。（3）系统的增益（放大倍数）损失，这意味着控制系统的调节能力被削弱，响应速度变慢。（4）由于引入了反馈，所以闭环系统就存在着稳定性问题，而稳定性是控制系统工作的首要条件。1.3.3其它控制方式在实际的工程控制实践中，还可以将上述两种控制方式进行适当的组合，构成复合控制方式。1．附加给定输入的补偿控制方式2．附加扰动输入的补偿控制方式12 《自动控制原理》电子教案第2次课授课时间2学时授课题目（章、节）第一章绪论（4-6节）自动控制系统的分类及组成对控制系统的要求主要内容控制系统的分析与设计自动控制理论的发展简史反馈控制举例掌握自动控制系统的分类以及对系统的要求目的与要了解控制系统的基本组成、控制系统的分析与设计求了解自动控制理论的发展简史掌握自动控制系统的工作原理和方框图的绘制重点：自动控制系统的分类重点与难对控制系统的要求点难点：自动控制系统的工作原理和方框图的绘制教学手段授课、例题讲解思考题或1-6作业题1.4自动控制系统的分类及基本组成1.4.1按给定信号的特征分类1．恒值控制系统特点：希望系统的输出维持在给定值上不变或变化很小，这类控制系统是最常见的，常常也称为自镇定系统，像压力、流量、温度、速度、电压、电流等恒定控制系统。2．随动控制系统特点：这类控制系统的主要特点是给定信号的变化规律是事先不确定的随机信号，控制系统的主要任务是使系统的输出能快速、准确地跟随输入的变化而变化，故这类系统常常又称为跟踪控制系统。常见的例子如火炮、雷达、导弹制导等控制系统。3．程序控制系统特点：程序控制系统与随机控制系统的不同在于系统的给定输入不是随机的，而是确定的、按预先的规律变化。它要求系统的输出能严格按输入变化而变化，并具有足够的精度，常见的例子如数控加工、自动流水生产线系统等。1．4．2按系统的数学模型分类这种分类方法是按照元件或系统的数学模型（方程或数学描述）的特征，依据其输入输出之间的关系来进行分类，常可以分为线性系统和非线性系统两大类。1．线性系统对于一个系统，当其输入（激励）和输出（响应）同时满足叠加性和齐次性时称其为线性系统。根据线性系统的定义，满足线性特性的元件称为线性元件，而构成系统的所有元件均为线性元件的，必为线性系统。所谓线性特性，从几何上来看，是指元件的静态特性为一条通过坐标原点的直线。线性系统常可以用微分方程来表示，若微分方程的系数均为常数，则称为线性定常系统。例1：判断下列输出响应对应的系统是否为线性系统。t系统1：y(t)=3q(0)+5x(τ)dτ，t>01∫02系统2：y(t)=3q(0)+5x(t)，t>022系统3：y(t)=3q(0)+5x(t)，t>032系统4：y(t)=3q(0)+lgx(t)，t>0413 《自动控制原理》电子教案[解]：t系统1：零输入响应[3q(0)]和零状态响应[5∫x(τ)dτ]均具有线性性，故为线性系统。0系统2：仅零输入响应[3q(0)]具有线性性；系统3：仅零状态响应[5x(t)]具有线性性；系统4：零输入响应和零状态响应均不具有线性性；2．非线性系统凡是不满足线性系统特性的系统，统称为非线性系统。具体地讲，只要系统中存在一个或一个以上的非线性元件，那么，这个系统就是非线性系统。非线性系统用非线性方程来表示。可以将非线性特性分为两大类，即非本质非线性和本质非线性。（1）非本质非线性：对于某一类非线性特性，在某一区域内可以近似为线性关系，而在大范围工作区域时，这种近似的线性关系就不存在了。（2）本质非线性：对于任意大小的输入信号，均呈现非线性特性的这类非线性特性。典型的本质非线性如下：非本质非线性系统可以通过对非本质非线性在工作点附近进行线性化处理而得到线性化后的系统数学模型，仍可按线性系统的理论进行分析和设计。而本质非线性特性，只能按照非线性系统的方法进行分析和设计。1.4.3按信号传递的连续性划分1．连续系统这类系统中的所有元件的输入输出信号均为时间的连续函数，所以又常称为模拟系统。2．离散系统系统中只要有一处的信号是脉冲序列或数字信号时，该系统就是离散系统。这类系统常用差分方程来表示。离散系统实现上是将连续信号经过采样后离散化为脉冲或数字信号后送入计算机进行分析、处理、决策后，形成脉冲或数字式控制信号，并还原为相应的模拟量控制信号对被控对象实现控制。1.4.4按系统的输入/输出信号的数量分类1．单变量系统（SISO）所谓单变量系统是指系统只有一个输入和一个输出，它只注重系统的外部输入和输出，而不关心系统内部的状态变化，所以单输入单输出系统可以把系统看成为一个黑匣子。经典控制理论研究的对象主要是单输入单输出的线性定常系统。2．多变量系统（MIMO）所谓多变量系统是指系统有多个输入或单个输出或多个输出，它不仅仅注重系统的输入和输出变量，还更多地关心系统结构内部各状态变量的变化和个状态变量之间的耦合关系。多变量系统是现代控制理论研究的主要对象，在数学上以状态空间变量法和矩阵理论为主要研究工具。1.4.5自动控制系统的基本组成1．给定元件：其职能是给出与期望的输出相对应的系统输入量，是一类产生系统控制指令的装置。2．测量元件：其职能是检测被控量（系统输出），并进行信号的变换（如非电量转换）和传输，用于反馈被控量到比较元件与输入进行比较（形成偏差信号）。3．比较元件：其职能是把测量元件检测到的实际输出量与给定元件给出的输入量进行比较，得到偏差信号。4．放大元件：其职能是将微弱的偏差信号进行放大，以足够的功率来推动执行机构或被控对象。5．执行元件：其职能是直接控制被控对象，使其被控量发生变化，例如阀门、伺服机构等。6．校正元件：其职能是为了改善或提高控制系统的性能（如稳定性、稳态精度、响应速度等），在控制系统的基本结构上附加一定的装置（元件），这种附加的校正装置（元件）可以有多种形式，如串联校正、并联校正、反馈校正等。1.5对控制系统的要求和分析设计1.5.1对系统的要求理想的控制系统，必须具备两方面的性能，即（1）使系统的输出快速、准确地按输入信号要求的期望输出值变化；（2）使系统的输出尽量不受任何扰动的影响；14 《自动控制原理》电子教案对自动控制系统性能的主要要求为：（1）稳定性：要求系统稳定并具有一定的稳定裕度。（2）瞬态质量：要求系统的瞬态响应快速且变化平稳。（3）稳态精度：要求系统的稳态误差满足设计的要求。上述三个要求往往很难同时满足，并且相互之间有一定的制约关系，例如，为保证系统有足够的精度，要求系统的开环放大倍数越大越好，但开环放大倍数的大小，却受制与闭环系统的稳定性，因此这些一切之间需要进行折中选择。1.5.2控制系统的分析和设计1．系统分析一般步骤：（1）建立数学模型；（2）分析系统的性能，计算起具体的性能指标；（3）分析系统参数变化对系统性能的影响，并决定选择合理的分析方法。系统的分析方法往往随着数学模型的不同而不同，在经典控制理论中，常用的分析主要有时域分析法、复频域分析法、根轨迹分析法等。2.系统设计15 《自动控制原理》电子教案第3次课授课时间2学时授课题目（章、节）第二章控制系统的数学模型（1、2节）数学模型的基本概念、特点、类型主要内容系统微分方程的建立了解建立数学模型的意义和数学模型的特点、类型目的与要掌握建立微分方程数学模型的方法和步骤，求机械平移、旋转系统、电学系统和复杂系统微分方程的建立重点：微分方程的建立重点与难难点：根据物理机理建立各类不同系统的微分方程点教学手段授课、例题讲解思考题或2-4（a）、2-5（b）作业题2.1引言数学模型：描述系统动态特性及其变量之间关系的数学表达式或其它形式的表示称为数学模型。2.1.1数学模型的特点1．相似性和抽象化具有相同数学模型的不同的具体系统之间就是相似系统。2．简化性和精确性在建模的时候，要在简化和精确之间作折中选择，其原则是简化后的数学方程的解的结果必须满足工程实际的要求并留有一定的余地。3．动态模型所谓动态模型是指描述系统变量的各阶导数之间关系的微分方程称为系统的动态模型。4．静态模型所谓静态模型是指在静态条件下，即描述系统变量的各阶导数为零，描述变量之间关系的代数方程称为静态模型。2.1.2数学模型的种类数学模型有多种形式，例如微分方程、差分方程、状态方程和传递函数、结构图、频率特性等等，究竟选用哪种模型，一般要视采用的分析方法和系统的类型而定，例如：连续系统的单输入/单输出系统的时域分析法，可采用微分方程。连续多输入多输出系统的时域分析法可以采用状态方程。分析频域法可以采用频率特性。离散系统可以采用差分方程，等等。2.2系统微分方程的建立2.2.1一般步骤（1）确定系统的输入量、输出量及中间变量，弄清各变量之间的关系；（2）依据合理的假设，忽略一些次要因素，使问题简化；（3）根据支配系统各部分动态特性的基本定律，列写出各部分的原始方程，其一般原则是：A．从系统输入端开始，依次列写组成系统各部分的运动方程。B．相邻元部件之间后一级若作为前一级负载的，要考虑这种负载效应。C．常见的基本定律主要有，牛顿三大定律（惯性定律、加速度定律、作用和反作用定律）、能量守恒定律、动量守恒定律、科希霍夫电压、电流定律、物质守恒定律及各学科有关导出定律等等。（4）列写中间变量与其它变量的因果关系式（称为辅助方程式）。（5）联立上述方程组，消去中间变量，最终得到系统关于输入输出变量的微分方程。（6）标准化，即将与输入变量有关的各项放到方程式等号的右侧，将与输出变量有关的各项放到方程式等号的左侧，且各阶导数按降幂排列。2.2.2理想元件的微分方程描述在电气和机械系统中几种最常见的理想元件有：1．电容16 《自动控制原理》电子教案duc(t)1电容两端电压与电流的关系为：i(t)=C或u(t)=i(t)dtc∫dtC2．电感diL1流过电感电流与两端的电压的关系为：u(t)=L或i(t)=u(t)dtLL∫LdtL3．弹性力它是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与机械变形成正比，弹性力分平动和旋转两种。1dFF=ky=k∫vdt或v=，式中k为弹簧的弹性系数，F为作用于弹簧的外力，y为直线位kdt移量，v为直线位移速度。4．阻尼器dy平动阻尼器阻尼力：F=fv=f，式中f为阻尼系数，F为阻尼力。dtdθ旋转阻尼器阻尼力矩：T=fω=f，式中ω为旋转角速度，θ为旋转角度，T为阻尼力矩。dt阻尼器本身不储存能量，它吸收能量并以热的形式耗散掉。2.2.3数学建模举例例1：弹簧-质量-阻尼器串联系统，试列写以外力F(t)为输入，以质量位移y(t)为输出的微分方程式。[解]：这是一个经典的直线机械位移动力学系统，可以假定系统采用集中参数，m为质点（1）系统的输入为F（t），输出为y（t），弹簧的弹性阻力为F(t)，阻尼器k的阻尼力为F(t)均为中间变量。f（2）画出m的受力图（3）由牛顿第二定律（即加速度定律）：2dy∑F=ma=mi2dt2dyFk(t)FF(t)-Fk(t)−Ff(t)=m2dtm（4）列写中间变量、Ff(t)表达式dyFf(t)Fk(t)=ky(t),Ff(t)=fdt（5）将上述中间变量的辅助方程代入原始方程，消去中间变量F(t)和F(t)kf2dydyF(t)-ky(t)−f=m2dtdt2dydy（6）标准化，得到：m+f+ky(t)=F(t)2dtdt22mdyfdy1若令T=mk,T=fk，则上述方程可以表示为：++y=F(t)mf2kdtkdtk。1静态方程为：y(t)=F(t)，因此1k又称为系统的静态放大倍数。k例2：R-L-C串联电路，输入为电压u(t)，输出为电容电压u(t)，试求输入输出微分方程。rc[解]：（1）确定系统的输入为电压u(t)，输出为电容电压u(t)，中间变量为电流i(t)rc17 《自动控制原理》电子教案（2）网络按集中参数考虑，且输出为开路电压，即无后级负载。di（3）由克希霍夫定律写出原始方程：L+Ri+uc=urdtduc（4）列写中间变量i(t)与u(t)的关系式：i=Ccdt2duducc（5）将i(t)代入原始方程，消去中间变量i(t)，得到：LC+RC+u=u2crdtdt例3：电枢控制的直流电机，在系统中，输入电枢电压u在电枢回路中产生电枢电流i，再由i与aaa励磁磁通相互作用产生电磁转矩M，从而使电枢旋转，拖动负载，完成了由电能在磁场作用下向机械D能转换的过程。（1）确定输入、输出量为：u为输入电压，ω为输出角频率，M为负载扰动力矩；aL（2）忽略电枢反应、磁滞等影响，当I=C时，励磁磁通不变，变量关系可视为线性关系；fdia（3）列写原始方程L+Ri+E=uaaaaadt2dθdω由刚体旋转定律写出电机轴上的机械运动方程J=J=M−M2DLdtdt（4）写出辅助方程式电枢反应的反电势：E=kω，k为电势系数，由电机结构参数决定。aee电磁转矩：M=ki，k为转矩系数，由电机结构参数决定。Dmam（5）消去中间变量i、E、M，M为负载扰动输入力矩aaDL2LaJdωRaJdω1LadMLRa++ω=u−−M2aLkkdtkkdtkkkdtkkememeemem若令T=RJkk为机电时间常数，T=LR为电磁时间常数，则上式可以写为：maemaaa2dωdω1TaTmdMLTmTT+T+ω=u−−Mam2maLdtdtkJdtJe2dωdω1若忽略掉负载转矩M，即空载时，则有：TT+T+ω=uLam2madtdtke2.2.4微分方程的一般特征微分方程的一般形式：nn-1n-2mm-1m-2dcdcdcdcdrdrdrdraa++a+""+a+ac=b+b+b++b+br01nn-12n-2nn-10m1m-12m-2m-1mdtdtdtdtdtdtdtdt（1）其中a，b为实常数，由物理系统的参数决定；ij（2）方程输出变量的微分阶次高于输入变量的微分阶次，因为物理系统含有储能元件，即n>m。18 《自动控制原理》电子教案第4次课授课时间2学时授课题目（章、节）第二章控制系统的数学模型（3、4节）非线性模型的线性化主要内容线性常系数微分方程的求解传递函数的定义、实际意义、性质及微观结构掌握非线性模型的线性化的方法、条件和步骤目的与要掌握线性常系数微分方程的拉氏变换法求解求掌握线性定常系统传递函数的定义、实际意义、性质及微观结构重点：传递函数的定义、性质及微观结构重点与难难点：线性常系数微分方程的求解点教学手段授课、例题讲解思考题或2-2（1）（2）2-8、2-9作业题2.3非线性数学模型线性化实际意义上纯粹的线性系统是不存在的，组成系统的元件或多或少地存在着非线性特性，对非本质的非线性特性我们要进行线性化处理，既线性近似。2.3.1小偏差线性化的概念例如如下的非线性特性，对于工作点A(x,y)，若在工作点A附近很小的范围内工作，即变量x、00y相对于(x,y)作微小的增量∆x、∆y的变化，以A点(x,y)处的切线来代替在(∆x,∆y)范围内0000很小一端曲线，因为这种线性化处理被限制在工作点(x,y)附近很小的范围∆x、∆y内才得以成立，00因此称为“小偏差法”。2.3.2线性化的数学意义和步骤1、设y=f(x)为非线性特性方程，稳定工作点(x,y)近似式∆y=f′(x)∆x=K∆x，式中系000数K=f′(x)为工作点(x,y)处切线的斜率，即K=f′(x)=tgα，这样就将非线性特性y=f(x)0000近似为线性特性∆y=f′(x)∆x=K∆x。0例：已知非线性函数y=sinθ，试在θ=0和θ=π两点处作线性化处理。00解：显然y=sinθ是一个非线性函数，我们从θ=0和θ=π两点处可以直观地看出，在其领域00内呈现出很高的线性度。（1）θ=0时，y=sinθ=0，故(θ,y)=(0,0)，000θ0=000∆y=y′(θ)∆θ=cosθ|∆θ=∆θ0θ0=0但我们常常习惯仍将∆y写成y，∆θ写成θ，不过此时的θ和y均是针对(θ,y)=(0,0)工作点00处的增量∆θ、∆y，于是有近似的线性函数为y=θ（2）θ0=π时，y0=sinθ0θ0=π=0，故(θ0,y0)=(π,0)，∆y=y′(θ)∆θ=cosθ|∆θ=−∆θ0θ0=π19 《自动控制原理》电子教案于是有近似的线性函数为y=−θ。显然工作点不同时，线性化的系数是不同的。2、对多变量非线性函数，同样可以有类似的线性化处理，设有非线性函数y=f(x,x,",x)，12n式中的x1,x2,",xn为系统的n个输入（激励），若系统的工作点为y=f(x10,x20,",xn0)，近似表达式∆=yK∆x+K∆x+"+K∆x。1122nn∂f∂f∂f系数K=，K=，"，K=为各工作点的偏导数，特别是当n=2时有：12n∂x∂x∂x1X02X0nX0∂f∂f∆y=K1∆x1+K2∆x2，K1=，K2=∂x1x1=x10∂x2x1=x10x2=x20x2=x20关于线性化的几点说明：（1）线性化必须针对某一个工作点处进行，工作点不同则线性化的结果也不一样；（2）线性化的条件是在工作点附近的小范围内，满足小偏差的条件；（3）线性化只能针对非本质非线性特性进行，从数学意义上讲，就是非线性函数必须是单值、连续、光滑和可导的。；（4）线性化的结果是得到基于工作点附近（邻域）变量增量(∆x,∆y)的线性方程式，习惯上我们仍将∆x,∆y写成x，y。2.4线性系统的传递函数2.4.1微分方程的求解微分方程的求解分为时域法和变换域法，它们之间的关系可以用下图来表示：r（t）求解微分方微分方程式时域解CLaplace变换Laplace反变换R（s）求代数方程S的代数方程S域解C（S）C（s）从图中可知，通过Laplace变换，可以将微分方程的解简化为复变域中关于s的代数方程，并得到输出的Laplace变换C(s)后，反变换得到微分方程的时间域解c(t)。2.4.2传递函数（TransferFunction）1．传递函数定义在线性系统中，当初始条件为零时，系统输出的Laplace变换象函数C(s)与输入的Laplace变换象函数R(s)之比，称为系统的传递函数。设线性时不变系统的微分方程为：nn-1n-2mm-1m-2dcdcdcdcdrdrdrdraa++a++""a+ac=b+b+b++b+br01nn-12n-2nn-10m1m-12m-2m-1mdtdtdtdtdtdtdtdt在零初始条件下，对上述微分方程两边同时求Laplace变换，并令输出c(t)的Laplace变换为C(s)，输入r(t)的Laplace变换为R(s)，利用Laplace变换的微分性质，得到：nn-1mm-1(as+as+"+as+a)C(s)=(bs+bs+"+bs+b)R(s)01n-1n01m-1mmm-1C(s)b0s+b1s+"+bm-1s+bm求得传递函数：G(s)==nn-1R(s)as+as+"+as+a01n-1n例：试求RLC串联电路的传递函数。20 《自动控制原理》电子教案2duducc解：该电路的微分方程前面已经求得LC+RC+u=u2crdtdt2令初始条件为零，方程两边求Laplace变换，得到：LCsU(s)+RCsU(s)+U(s)=U(s)cccr2Uc(s)1(LCs+RCs+1)U(s)=U(s)⇒G(s)==cr2U(s)LCs+RCs+1r例：动力学系统如下图，试求传递函数。解：该系统的微分方程为my′′+(f+f)y′+ky=F(t)12令初始条件为零，对方程两边同时求Laplace变换，得到：2Y(s)1(ms+(f+f)s+k)Y(s)=F(s)⇒G(s)==122F(s)ms+(f+f)s+k122．传递函数的结构特征：（1）传递函数是从微分方程演变过来的，因此传递函数同样表征了系统的固有特性，它是系统在复变域中的一种数学模型；（2）由于传递函数适用于线性系统，所以传递函数不会因为输入量或输出量函数而异；（3）传递函数包含了微分方程的全部系数，所以它与微分方程是完全相通的，如果传递函数中不存在分子分母对消的因子，那么传递函数与微分方程一样包含了系统的全部信息；（4）传递函数的分母多项式就是微分方程左端函数的微分算子符多项式，也就是系统的特征多项式，不过它是复变域里的表现形式。传递函数的分子多项式就是微分方程右端函数的微分算子符多项式；（5）虽然传递函数与微分方程是相通的，但从形式上说，传递函数是一个函数，而微分方程是一个方程，因此传递函数在运算和作图方面是比较方便的，但它也带来了分子分母相消等问题；（6）由于传递函数与微分方程的相通性，因此只要将微分方程中的微分算子符P=ddt换成复变量s，即可得到传递函数；令P=ddt→s，c(t)→C(s),r(t)→R(s)，则可得到传递函数G(s)。（7）传递函数G(s)与系统的冲击响应g(t)为一对变换对，即G(s)↔g(t)为我们提供了传递函数的一种求取方法，即若已知系统的冲击响应g(t)，则其传递函数G(s)=L[g(t)]。（8）对于一个物理上可实现的线性集中参数对象，其传递函数必定是严格真有理函数，也即传递函数的分子多项式的阶次m总是小于分母多项式的阶次n，m1）响应ttTT−−s=−ξω±ωξ2−ct()=1++12eTT12e,(t≥0)特征根：1，1,2nnTT−−TT211222式中：T=1ω(ξ−ξ−1)=−1s，T=1ω(ξ+ξ−1)=−1s1n12n2分析结论：第一，由于过阻尼状态的两个特征根均为负实数，所以其响应实际上就分解为了两个衰减的指数项es1t、es2t的线性组合，组合后的响应曲线是非振荡的单调上升形式。第二，响应速度由两个时间常数T、T共同决定。124．欠阻尼二阶系统性能指标（1）上升时间tr38 《自动控制原理》电子教案π−βπ−βt==rωω1−ξ2dn（2）峰值时间tpππt==pωω1−ξ2dn（3）超调量M%pc(tp)−c(∞)−ξπ1−ξ2M%=×100%=e×100%pc(∞)从上式可知超调量M%仅与阻尼比ξ有关，而与自然振荡频率无关。p结论：阻尼比ξ越小，则超调量M%越大；阻尼比ξ越大，则超调量M%越小。pp（4）调节时间ts2当0.1<ξ<0.9时，1−ξ≈1，于是调节时间的近似计算公式为：3t=，取∆=5sξωn4t=，取∆=2sξωn结论：第一，调节时间t与ξω成反比，即与极点的实部数值成反比。这说明极点距离虚轴越远，系统的sn调节时间越短。第二，由于阻尼比t的选取主要是依据系统对超调量M%的要求来确定的，而超调量M%与自spp然振荡频率ω无关，故可以在保持阻尼比t不变的前提下，适当增大自然振荡频率ω，从而既可保证nsn超调量M%的不变，又能使调节时间t缩短。ps分析：通过对调节时间、超调量与阻尼比之间关系得比较，可以得出如下的基本结论：调节时间t、s超调量M%对阻尼比ξ的要求是相互矛盾的，即阻尼比ξ的选择，无法同时满足调节时间t、超调量psM%比较小的要求。p工程上取ξ=22=0.707作为系统性能最佳的设计依据，此时，系统性能总体获得“最佳”。例1：随动控制系统如下图所示，输入信号r(t)=l(t)，试（1）K=200，计算动态性能指标；（2）K=1500和K=13.5，分别计算讨论前置放大器对系统动态性能的影响。R(s)5C(s)C(s)Ks(s+34.5)解：（1）K=200时开环传递函数为：G(s)=5Ks(s+34.5)c2闭环传递函数为：Φ(s)=5K(s+34.5s+5K)比照二阶系统标准形式，求得：ω=5K=1000=31.（6rad/s），ξ=34。52ω=0.545。nn由此得到性能指标：22−ξπ1−ξt=πω=πω1−ξ=0.12s，M%=e×100%=13%，pdnp39 《自动控制原理》电子教案t=3ξω=0.17s或t=4ξω=0.23ssnsn（2）讨论K=1500和K=13.5时的情况K=1500K=13.5ξ=0.2,ωn=86.2(rad/s)ξ=2.1,ωn=8.22(rad/s)tp=0.037s,Mp=52.7%,ts=0.17sT1=0.5s,T2=0.05s,T1>>T2,ts=3T1=1.46sK↑→ξ↓→M↑K↓→ξ↑→M↓pp由该例题可知，当而→t,t↓→t,t↑spsp例2设二阶系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，试确定系统的传递函数。解：从响应曲线明显可以看出，在单位阶跃函数作用下，系统响应的稳态值为3，故此系统地增益不是1，而是3，因此系统的传递函数形式应为：23ωnΦ(s)=22s+2ξωs+ωnnξπ⎧c(t)−c(∞)−p4−31−ξ2⎪⎪Mp%=×100%=×100%=33%=e×100%⎨c(∞)3⎪2⎪⎩tp=0.1(s)=πωn1−ξ3306.72解得：ξ=0.33，ω=33.2(rad/s)，传递函数为：Φ(s)=n2s+22s+1102.4例3:设系统如下图所示，如果要求系统地超调量等于15%，峰值时间等于0.8s，试确定增益K和速1度反馈系数K，同时计算在此K和K数值下系统的上升时间和调节时间。f1fξπ⎧−2⎪M%=×e1−ξ100%=15%⎧ξ=0.517解：⎨⎨p⇒⎩ω=4.588⎪2nt1=−πωξ=0.8⎩pn2闭环传递函数为：Φ(s)=K[s+(1+KK)s+K]11f12从而有：ω=K,2ξω=1+KK⇒K=21.05,K=0.178n1n1f1f在此K=21.05,K=0.178数值下，可求得上升时间和峰值时间1f⎧π−βt==0.538⎪r2⎪ωn1−ξ⎨⎪3t==1.234s⎪sξω⎩n例4：有一位置随动系统，其结构图如下图所示。其中K=4，T=1。试求：（1）该系统的无阻尼振荡频率ω；（2）系统地阻尼比ξ；（3）系统的超调量M%和调节时间t；（4）nps40 《自动控制原理》电子教案系统的上升时间t；（5）如果要求ξ=22，在不改变时间常数T的情况下，应怎样改变系统开环放r大系数K？解：系统地闭环传递函数为：KKT4Φ(s)===222Ts+s+Ks+1Ts+KTs+s+4（1）ω=KT=2；（2）ξ=12ω=0.25；nn−ξπ1−ξ（3）M%=e×100%=44.4%，t=3ξω=6s；psn2（4）t=(π−β)ω1−ξ=0.94s；rn2（5）当ξ=22时，ω=12ω=0.707，则K=ω=0.5，可见要满足二阶系统最佳阻尼比的要nnn求，必须降低开环放大倍数K的数值。41 《自动控制原理》电子教案第11次课授课时间2学时授课题目（章、节）第三章线性系统的时域分析（3、4节）二阶系统的单位冲击响应和单位斜坡响应二阶系统的性能改善主要内容常规控制在自动控制系统中的应用高阶系统的时域分析了解二阶系统的单位冲击响应和单位斜坡响应以及改善二阶系统性能的两种方法了解常规控制在自动控制系统中的应用目的与要了解高阶系统的阶跃响应、零极点分布对高阶系统响应的影响求掌握闭环主导极点的意义、定以及条件掌握高阶系统的降阶重点与难重点：高阶系统的阶跃响应、闭环主导极点的条件、高阶系统的降阶点难点：改善二阶系统性能的两种方法、零极点分布对高阶系统响应的影响教学手段授课、例题讲解思考题或作业题5．二阶系统的单位脉冲响应222r(t)=δ(t)↔R(s)=1，C(s)=G(s)*R(s)=ω(s+2ξωs+ω)nnn（1）无阻尼ξ=0−1−1222g(t)=L[C(s)]=L[ω(s+ω)]=ωsinωt，t≥0nnnn（2）欠阻尼0≤ξ≤1−1−1222ωn-ξωnt2t≥0g(t)=L[C(s)]=L[ω(s+2ξωs+ω)]=esinω1−ξt，nnnn21−ξ（3）临界阻尼ξ=1g(t)=L−1[C(s)]=L−1[ω2(s2+2ωs+ω2)]=ω2te-ωnt，t≥0nnnn（4）过阻尼ξ>1−1−122ω-(ξ−ξ2−1)t-(ξ+ξ2−1)t2ng(t)=L[C(s)]=L[ω(s+2ξωs+ω)]=[e-e]，t≥0nnn21−ξ6．二阶欠阻尼系统的斜坡响应22ωn1r(t)=δ(t)↔R(s)=1sC(s)=G(s)*R(s)=×222s+2ξωs+ωsnn2ξ1−ξωnt2c(t)=t−+esin(ωt+2β)，t≥0，ω=ω1−ξ，β=arccosξ，ddnωωnd2ξ稳态误差：e=ssωn显然二阶欠阻尼系统可以跟踪输入信号变化，但存在着固定的误差，这种误差始终存在，只能通过调整系统的参数和结构来减小，但不能消除。如果要使误差减小，则必须增大ω或减小ξ，但这样n做的结果可能会使系统的动态性能指标变差，因此要改善二阶系统的性能，往往要通过增加校正装置等办法来实现。7．二阶系统性能的改善改善二阶系统性能的常用校正方法主要有以下2种。42 《自动控制原理》电子教案（1）误差信号的比例微分控制（PI控制）比例微分控制，实际上在前向通道上加入误差信号的比例+微分的控制器，简称为PI控制，控制器U(s)a的传递函数为：G(s)==K+TscpdE(s)de(t)时域表达式为：u(t)=Ke(t)+Tapddt2ω(K+Ts)npdΦ(s)=222s+(2ξω+Tω)s+Kωndnpn结论：第一，系统的等效阻尼比和无阻尼振荡频率都增加了，在合理选择K,T后，等效阻尼比的pd增加，将会有效地抑制系统的振荡，减小超调量；第二，系统由典型的二阶系统，变成为一个附加有一个零点的二阶系统。这个附加的零点，具有微分作用，可以使系统的暂态响应速度加快。（2）输出量的速度反馈控制（速度反馈校正）控制的闭环传递函数为：R(s)E(s)ω2C(s)2nωΦ(s)=ns(s+2ξωn)222s+(2ξω+Kω)s+ωnfnn1Kfs等效阻尼比ξ′=ξ+Kωfn2结论：第一，带速度反馈的二阶系统仍然是典型二阶系统，其无阻尼振荡频率没有改变；第二，有效地提高了系统的阻尼比，系统的超调量可以明显减小；第三，由于ω保持不变，而阻尼比增大，从而系统的调节时间t变小，则系统的响应速度得到加ns快。例1：已知速度反馈系统，要求系统的超调量为20%，t=1秒，试求K和K的值，若保持K不变，pf而取消速度反馈（K=0），再求M%的值。fpK解：闭环传递函数为：Φ(s)=2s+(1+KK)s+Kf显然有：R(s)E(s)KC(s)⎧⎪2ξωn=1+KKfs(s+1)⎨2⎪⎩ω=KnKfs2⎧=−ξπ1−ξ⎧ξ=0.456M%e×100%p⎪⎪⎪由：⎨π，求得：⎨ωn=3.53(rad/s)t==1⎪p⎪2t=1.875s⎪ω1−ξ⎩s⎩n2于是有：K=ω=12.5，K=(2ξω−1)K=0.178nfn依据题目要求保持K=12.5不变，令K=0，即无速度反馈时，有：f43 《自动控制原理》电子教案12.5⎧ξ=0.14⎧Mp%=64%Φ(s)=2，⎨，⎨s+s+12.5⎩ωn=3.53(rad/s)⎩ts=6.07s比较可见，采用速度反馈后，由于阻尼比的增加，使得系统的超调量大大小于没有速度反馈的情况；同时调节时间也减少，从而使系统的响应速度加快。3.4高阶系统的时域分析1．高阶系统的单位阶跃响应设一般控制的传递函数为：mm-1bs+bs+"+bs+b(s−z)((s−z)"(s−z)01m-1m12mG(s)==Knn-1ga0s+a1s+"+an-1s+an(s−p1)(s−p2)"(s−pn)在初始条件为零和单位阶跃输入信号作用下，求其输出响应，得到：n()sz−−((sz)"(sz−)1AA12mi0Cs()==G()sR()sKg×=+∑()sp−12(sp−−)"(spni)ssi=1sp−n于是系统的单位阶跃响应为：c(t)=A+∑Aepit0ii=1分析其响应可见，系统的响应是由一系列指数函数（运动模态）的和构成，其中每一项所占的“比重”就由留数A的大小决定，而A的大小由零点和极点共同来决定，ii那些远离坐标原点的极点所对应的运动形态对阶跃响应的影响很小。结论：在分析高阶系统时，对于符合上述两种条件的极点可以作为次要因素而忽略，从而把高阶系统降阶位低阶系统来近似。2．闭环主导极点和高阶系统的近似（1）在稳定的高阶系统中，对其时间响应起主导作用的闭环极点称为闭环主导极点。（2）闭环主导极点的条件：第一：在S左半平面上离虚轴最近，且其周围没有零点的极点；第二：其实部离虚轴的距离是其它极点离虚轴的距离5倍以上。（3）高阶系统的近似高阶系统简化降阶为低阶系统的原则和具体步骤：原则在符合极点分布要求的前提下，必须保证简化前后传递函数的稳态值要相等。步骤第一，确定系统的闭环主导极点；第二，将高阶系统的开环传递函数或闭环传递函数写为时间常数表达形式；第三，忽略小时间常数项。210ωn例：某高阶系统的闭环传递函数为：Φ(s)=22(s+2ξωs+ω)(s+p)nn如果极点的位置满足:pξω>5n2则该系统的闭环主导极点为：s=−ξω±jω1−ξ，于是系统可以降阶为：1,2nn22210ω10ω10ωnnnΦ(s)==≈−2222(s+2ξωs+ω)(s+p)221p(s+2ξωs+ω)nnp(s+2ξωs+ω)(s+1)nnnnp简化前的稳态值（单位阶跃信号）2110ω10nc(∞)=limsC(s)=limsΦ(s)R(s)=lims••=22s→0s→0s→0s(s+2ξωs+ω)(s+p)pnn简化后的稳态值（单位阶跃信号）2110ω10nc(∞)=limsC(s)=limsΦ(s)R(s)=lims••=22s→0s→0s→0sp(s+2ξωs+ω)pnn44 《自动控制原理》电子教案第12次课授课时间2学时授课题目（章、节）第三章线性系统的时域分析（5节）主要内容系统稳定性分析目的与要掌握稳定的概念和定义、系统稳定的充要条件求掌握线性系统的劳斯判据及应用中的特殊问题重点与难重点：系统稳定的充要条件、劳斯判据点难点：劳斯判据及在系统稳定性分析中的应用教学手段授课、例题讲解思考题或3-43-5作业题3.5线性系统的稳定性分析一个线性控制系统能够正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。1．系统运动的稳定性稳定性描述：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。若暂态响应能消失的，则系统是稳定的，若暂态响应不能消失，则系统不稳定。线性系统的稳定性，与系统的输入信号、初始状态均无关，它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。2．线性控制系统稳定性的充分必要条件假设系统的初始条件为零，外部激励为输入信号r(t)=δ(t)：序号脉冲函数极限值脉冲响应衰减情况稳定状态1limg(t)=0衰减系统稳定t→∞2limg(t)=∞发散系统不稳定t→∞3limg(t)=C等幅振荡系统临界稳定t→∞线性系统稳定要满足limg(t)=0的条件，实际上取决于其特征根，也即系统闭环传递函数的极点。t→∞线性系统稳定的充分必要条件为：系统微分方程的特征根的全部根都是都负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于S平面的左半平面。当特征根出现正实数或实部为正的复数或有极点分布于S平面的右半平面时，线性系统为不稳定；当特征根出现纯虚数或有极点位于S平面的虚轴时，线性系统为临界稳定。例1：系统的闭环传递函数为：Φ(s)=2(s−1)(s+1)(s+2)判别系统稳定性。解：系统的闭环极点分别为p=−2、p=−1，所以系统稳定。122例2：已知线性系统的闭环特征方程为D(s)=(s+10)(s+16)=0，试判别系统的稳定性。B2解：由给定的闭环特征方程D(s)=(s+10)(s+16)=0，可以求得特征根为：Bs=−10，s=±j4，依据线性系统稳定的充分必要条件可知系统为临界稳定。12例3：单位负反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)=2s(s+3)，试判别闭环系统的稳定性。02解：闭环系统的传递函数为Φ(s)=2(s+3s+2)，其闭环极点为p=−2、p=−1,所以系统12稳定。3．代数稳定判据系统特征方程的各项系数与系统的稳定性之间一定存在着某种内在的联系。45 《自动控制原理》电子教案劳斯稳定判据nn−1设研究的线性系统的特征方程为：a0s+a1s+"+an−1s+an=0，并依照以下的方法构造一个表格，这个表格称为劳斯表，构造方法如下。na0a2a4"saaa"n−1135saa−aaaa−aaaa−aa210341056107sn−2b1=b2=b3"aaa111sn−3ba−abba−abba−ab131215131714c=c=c="123bbb#111#2sddd1123see120sf1Routh判据：线性系统稳定的充分必要条件是Routh表第一列的所有元素符号不改变，且符号改变的次数为特征根位于S右半平面的个数。例1：讨论二阶、三阶系统稳定的充分必要条件。2二阶系统：a0s+a1s+a2=0，构造Routh表：2saa021sa0由Routh表并依据劳斯判据可知，二阶系统稳定的充分必要条件为：10aa−a×0s120=a2a1a>0,a>0,a>0。01232三阶系统：a0s+a1s+a2s+a3=0，构造Routh表：3aas022aas13aa−aa，由Routh表并依据劳斯判据可知，三阶系统稳定的充分必要条件为：112030sa10sa3a>0,a>0,a>0,a>0，且aa>aa。01231203432例2：设闭环系统的特征方程为D(s)=s+2s+3s+4s+5=0，试判别其稳定性。B解：构造劳斯表4s1353s24s215由劳斯表可见，其第一列元素的符号发生了2次改变，所以该系统是不稳定的，且有2s1−6s05个特征根位于S右半平面。几种特殊情况第一种特殊情况：劳斯表中第一列的某一行元素出现零元素，而该行的其余元素不全为零。结论：当出现这种情况时，说明系统特征方程具有正实数根或纯虚根，系统不稳定或临界稳定。+处理方法：可以用一个小正数ε来代替那个零元素，然后继续构造下去，并令ε→0，判别第一列元素符号改变的次数。46 《自动控制原理》电子教案3例3：设系统的特征方程为s−3s+2=0解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。3s1−3s20=ε2−3ε−2，由劳斯表可见，其第一列元素的符号改变了2次，故系统不稳定，且具有2个特s10ε02s征根位于S右半平面。第二种特殊情况：劳斯表中出现某一行元素全为零。结论：出现这种特殊情况，说明存在着等值反号的实数根或成对出现的纯虚根或对称于S平面坐标轴原点的偶数对共轭复数根。系统是不稳定的或临界稳定。处理方法：利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式F(s)，并以dF(s)ds各系数代替全零行元素，然后继续构造劳斯表的其余部分。5432例4：设系统的特征方程为s+2s+24s+48s−25s−50=0解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。5s124−254s248−50423⎧Fs()=2s+48s−50s0→80→96⎪⇐⎨s224−50dF()s3⎪=+8ss96s1112.7⎩ds0−50s由于劳斯表第一列元素的符号发生改变，所以系统必然不稳定。实际上可以求得该系统的5个特征根分别为s=±1,s=−2,s=±j5。1,234,54．代数判据的应用例1：设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=Ks(s+1)(s+5)，试分析闭环系统稳定时放0大倍数K的取值范围。32解：闭环特征方程为s(s+1)(s+5)+K=0⇒s+6s+5s+K=0由三阶系统稳定的充分必要条件可以得到，当00,Tf>0，试确定闭环系统稳定时放大倍数K的取值范围。K解：系统的闭环传递函数为Φ(s)=32TTs+(T+T)s+s+Kmfmf32系统的闭环特征方程为：TTs+(T+T)s+s+K=0mfmfTm+Tf11三阶系统稳定的条件为：T+T>KTT,K>0⇒010ssK但由系统稳定的条件知道，当K>10时，系统将变为不稳定，故无法通过选择K值来达到稳态误差小于0.1的要求。5.稳态误差分析设系统闭环传递函数如下，并表示为归一化（时间常数）形式mm-122bs+bs+"+bs+b(τs+1)(τs+2τςs+1)"K01m-1m1222G(s)==K=G(s)nn-1γ22γ0as+as+"+as+as(Ts+1)(Ts+2Tξs+1)"s01n-1n122222(τs+1)(τs+2τςs+1)"1222其中：G(s)，且显然有limG(s)=G(0)=1，K为系统开环放02200(Ts+1)(Ts+2Tξs+1)"s→01222大倍数，τ、、τ、"，T、T、"为时间常数，γ为积分环节数目。1212通常根据系统开环传递函数所含积分环节的数目γ来对系统进行分类，当γ为0，1，2，3，⋯时，分别定义系统的型别为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型，⋯N型，γ也称为系统得无差度阶数。⎧输入信号r(t)形式关系到系统稳态误差的因素有：系统⎪⎨开环放大倍数K⎪⎩开环传递函数中积分环节的数目γ（1）输入信号为单位阶跃函数和静态位置误差系数设输入信号为r(t)=1(t)⇔R(s)=1s111稳态误差：e=limsE(s)=lims••=sss→0s→01+G(s)s1+limG(s)KKs→0令：K=limG(s)pKs→01Kp为系统静态位置误差系数，系统在单位阶跃函数作用下的稳态误差为：ess=1+Kp稳态误差为零的系统称为无差系统，稳态误差为有限值的系统称为有差系统。（2）输入信号为单位斜坡函数和静态速度误差系数2设输入信号为r(t)=t1(t)⇔R(s)=1s111稳态误差：e=limsE(s)=lims••=ss2s→0s→01+G(s)slimsG(s)KKs→0令：K=limsG(s)vKs→01Kv为系统的静态速度误差系数，系统在单位斜坡函数作用下的稳态误差为：ess=Kv49 《自动控制原理》电子教案（3）输入信号为单位加速度函数和静态加速度误差系数123设输入信号为r(t)=t⇔R(s)=1s2111稳态误差：e=limsE(s)=lims••=ss32s→0s→01+G(s)slimsG(s)KKs→02令：K=limsG(s)aKs→01K为系统的静态加速度误差系数，系统在单位加速度函数作用下的稳态误差为：e=assKa（4）输入信号为单位阶跃、斜坡、加速度信号时的稳态误差12111设输入信号为r(t)=1+t+t⇔R(s)=++232sss111利用线性系统的叠加原理，可得系统的稳态误差为e=++ss1+KKKpva阶跃信号斜坡信号加速度信号系静态误差系数2统r(t)=A1(t)r(t)=Bt1(t)r(t)=Ct2型位置误差速度误差加速度误差别KpKvKaess=A(1+Kp)ess=BKvess=CKa0K00A(1+K)∞∞1∞K00BK02∞∞K00CK3∞∞∞000分析结论：（1）系统的稳态误差与输入信号有关；（2）系统的稳态误差与开环放大倍数K基本成反比关系。对于有差的系统，K值越大，稳态误差越小，但同时系统的稳定性变差；（3）系统的稳态误差与开环传递函数的积分环节数ν有关。积分环节数增加，稳态误差减小，但同时系统的稳定性变差。12例1：PD控制系统如下所示，输入信号为r(t)=1+t+t，试作稳定性分析和稳态误差分析。2R(s)C(s)KmK1(τs+1)2s(Ts+1)m解:（1）稳定性分析：32系统闭环特征方程Ts+s+KKτs+KK=0mm1m根据劳斯判据，为使闭环系统稳定，必须满足T>0,K>0,K>0,τ>0,τ>Tmm1m（2）稳态误差分析2系统开环传递函数为G(s)=KK(τs+1)s(Ts+1)K1mm显然为2型系统，故其静态误差系数分别为K=∞,K=∞,K=KKpva1m系统稳态误差为e=e+e+e=1KKssss1ss2ss31m例2：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=10s(Ts+1)(Ts+1)，式中K12T=0.1s,T=0.5s，若输入信号为r(t)=2+0.5t，试求系统的稳态误差。1250 《自动控制原理》电子教案32解：闭环特征方程TTs+(T+T)s+s+10=01212根据劳斯判据，系统稳定的条件为T+T>10TT⇒0.1+0.5=0.6>10×0.1×0.5=0.51212显然，满足系统稳定的条件，所以闭环系统稳定。开环传递函数G(s)=10s(Ts+1)(Ts+1)K12显然是1型系统，其静态位置误差系数、静态速度误差系数分别为K=∞,K=10pv所以，系统稳态误差为e=e+e=0+0.510=0.05ssss1ss26．扰动信号误差分析扰动信号作用下的稳态误差，反映了系统抗干扰的能力。理想情况下，扰动产生的误差越小越好。由扰动产生的误差，可以表示为G(s)H(s)令R(s)=02()E(s)=−C(s)H(s)=−NsNN1+G(s)G(s)H(s)12由扰动引起的稳态误差为G(s)H(s)2e=limsE(s)=−lims••N(s)ssns→0s→01+G(s)G(s)H(s)127．减小或消除稳态误差的措施减小或消除稳态误差的措施主要有（1）比例积分（PI）控制Kti控制器数学模型U(s)=(K+)E(s)⇒u(t)=Ke(t)+Ke(t)dt，K积分时间常数。apapi∫is0显然控制器的输出信号是误差信号e(t)比例+积分，故而称为比例积分控制。22ωn(Kps+Ki)ωn(Kps+Ki)开环传递函数G(s)=，ν=2，闭环传递函数Φ(s)=K23222s(s+2ξω)s+2ξωs+Kωs+Kωnnpnin由劳斯判据可知，当0m，那么剩余的n−m条根轨迹分支终止于无穷远处。法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等。当n≥m时，分支数等于n，即系统的阶数。法则4：根轨迹的渐近线所谓根轨迹的渐近线，是指当n>m时，应有n−m条根轨迹分支的终点在无穷远处，所谓渐近线，可以认为当K→∞时，根轨迹与渐近线是重合的。g渐近线与实轴正方向的夹角为：(2k+1)πϕ=，k=0,1,2,",n−m−1an−m渐近线与实轴的交点为：nm∑∑pj−zij==11iσ=an−m法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。56 《自动控制原理》电子教案第16次课授课时间2学时授课题目（章、节）第四章根轨迹法（2节）主要内容绘制180°根轨迹的基本法则目的与要掌握绘制180°根轨迹的基本法则：分离点、会合点的确定、与虚轴的交点、出射角与入求射角的计算、极点的和与积。重点与难重点：绘制180°根轨迹的基本法则点难点：分离点、会合点的确定、出射角与入射角的计算教学手段授课、例题讲解思考题或4-1、4-2、4-9（3）作业题法则6：根轨迹的分离（会合）点两条或两条以上根轨迹分支在复平面上相遇后又分离的点称为分离（会合）点。根轨迹的分离（会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。设系统开环传递函数为mK∏(s−zi)KN(s)i=1G(s)==KnD(s)∏(s−pj)j=1KN(s)其闭环特征方程为：1+=0⇒f(s)=D(s)+KN(s)=0D(s)满足以下任何一个方程，且保证K为正实数的解，即是根轨迹的分离（会合）点。⎧df(s)d[D(s)+KN(s)]⎪==0dsds⎪⎪dK⎨=0⎪ds⎪dD(s)[]=0⎪⎩dsN(s)法则7：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。因此临界工作点的求法有如下两种方法。方法一：在闭环特征方程D(s)=0中，令s=jω，得到D(jω)=0，将D(jω)分为实部和BBB虚部，即Re[D(jω)]+jIm[D(jω)]=0BB⎧Re[DB(jω)]=0于是有⎨，求解得到ω值，即为根轨迹与虚轴的交点坐标频率。Im[D(jω)]=0⎩B方法二：由劳斯稳定判据，令劳斯表中出现全零行，但第一列元素符号保持不变，此时系统处于临界稳定状态，并可求得根轨迹与虚轴的交点。例1：设单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=Ks(s+1)(s+5)，试绘制系统的闭环Kg根轨迹，并求根轨迹的分离（会合）点以及与虚轴的交点。57 《自动控制原理》电子教案解：开环极点：p=0,p=−1,p=−5，无开环零点，n=3,m=0123有3条根轨迹分支，分别起始于3个开环极点p=0,p=−1,p=−5，终止于无穷远处。123渐近线夹角和实轴的交点坐标分别为0⎧π3=60,k=0(2K+1)π(2K+1)π⎪0ϕa===⎨π=180,k=1n−m3⎪05π3=300,k=2⎩∑∑pj−zip1+p2+p3σ===−2an−m3实轴上根轨迹分布为（0，-1），（-5，-∞）。根轨迹分离（会合）点。由开环传递函数，可以得到闭环特征方程式K+s(s+1)(s+5)=0，则gdKgds(s+1)(s+5)2K=−s(s+1)(s+5)，令=−=3s+12s+5=0，求得：gdsdss=−0.473,s=−3.52，由于s不在根轨迹上，所以分离（会合）点为s=−0.473。1221000根轨迹的分离（会合）角，θ=180k=1802=90。d根轨迹与虚轴的交点：32方法一：闭环特征方程：s+6s+5s+K=0g32令s=jω代入闭环特征方程(jω)+6(jω)+5(jω)+K=0g23分解为实部和虚部：(K−6ω)+j(5ω−ω)=0g2⎧⎪Kg−6ω=0⎧⎪ω=1,±5⎧⎪ω=±5于是有：⎨⇒⎨，显然交点为⎨⎪⎩5ω−ω3=0⎪⎩K=0,30⎪⎩K=30gg方法二：构造劳斯表s31526Ksg当K=30时，s1行为全零，劳斯表第一列符号不变，系统特征根为纯虚数，可30−Kg1gs0Im60sKg22根据s行的辅助方程：F(s)=6s+K=0，g求得s=±j5，因此根轨迹与虚轴的交点坐标为：Re(K=30,s=±j5)。g-4-3-2-10根轨迹草图如下。分离点法则8：根轨迹的出射角和入射角当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的出射角（出发角）。同样，根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的入射角（终止角）。用公式表示为：mnθpx=(2k+1)π+∑∠(px−zi)−∑∠(px−pj)i=1j=1j≠x由p与p的共轭性，θ=−θxx+1px+1px同理可得，复数零点的入射角用公式表示为58 《自动控制原理》电子教案mnϕzx=(2k+1)π−∑∠(zx−zi)+∑∠(zx−pj)i=1j=1i≠x由z与z的共轭性，ϕ=−ϕ。xx+1zx+1zx2例：设单位反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)=Ks(s+2s+2)，试绘制系统的完整根轨Kg迹，并要求计算出射角。解：开环极点为p=0,p=−1+j,p=−1−j，无开环零点，n=3,m=0123（1）由于n=3,m=0，所以根轨迹有3条分支；（2）根轨迹起始于开环极点p=0,p=−1+j,p=−1−j，终止于无穷远处。123（3）3条根轨迹的渐近线夹角和交点坐标0⎧π3(60),k=0(2k+1)π(2k+1)π⎪0ϕa===⎨π(180),k=1n−m3⎪005π3(−60,300),k=2⎩p1+p2+p30−1+j−1−j2σ===−a333（4）实轴上的根轨迹为（-∞，0）,即整个负实轴；（5）根轨迹无分离（会合）点；（6）起始于p=−1+j,p=−1−j根轨迹分支向着ϕ=π3,5π3的两条渐近线逼近；23a（7）根轨迹与虚轴的交点32闭环特征方程：s+2s+2s+K=0g32令s=jω代入特征方程，(jω)+2(jω)+2(jω)+K=0g2⎧⎪Kg−2ω=0⎧⎪ω=±2或⎨⇒⎨⎪⎩2ω−ω3=0⎪⎩K=4g（8）根轨迹出射角00θ=180−∠(p−p)−∠(p−p)=180−∠(−1+j)−∠[(−1+j−(−1−j)]p221230=−450θ=45p3（9）绘制根轨迹如下法则9：系统闭环极点的和与积系统开环传递函数59 《自动控制原理》电子教案mm-1()s−−zs((z)""(s−z)s+bs++bs+b12mm1-1mGs()==KKggnn-1()s−−ps(p)""(s−p)s+as++as+a12nn1-1nmm−1msz−+()z+""+zs++(−1)zz"z12mm12=Kgnn−1nsp−+()p+""+ps++(−1)pp"p12mn12开环零点的和与积：mmm∑zzim=+12z+"+z=−b1，∏zzim==12z"z(1−)bmi=1i=1开环极点的和与积：nnn∑pjn=+pp12+"+p=−a1，∏pjn==pp12"p(1−)anj=1j=1闭环特征方程：nn-1mm-1Ds()=+sas+"+as+a+K(s+bs+"+bs+b)=0Bn1-1ng1m-1m若设系统的闭环极点为s（i=1,2,",n），则有innn−−11nn−1DBi(s)=∏(s-s)=s+C12sC+s+"+Cn−1s+Cn=0i=1（1）系统闭环极点的和n∑sci=−1i=1当n−m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，且为常数，这个常数也称为闭环极点的重心。这表明：当K由0→∞变化时，闭环极点之和保持不变，且等于n个开环极点之和。这意味着一g部分闭环极点增大时，另外一部分闭环极点必然变小。也即，如果一部分闭环根轨迹随着K的增加而向g右移动时，另外一部分根轨迹必将随着K的增加而向左移动，始终保持闭环极点的重心不变。g（2）系统闭环极点的积nnn∏sin=−(1)ca=(−1)(n+Kgbm)i=1=−(1)nnaK+(−1)bngmnmnm−=+∏∏pKig(1−)zjij==11若系统存在零值开环极点（即a=0），于是系统闭环极点的积为nnmmnm−−nm∏∏sKig=−(1)zj=Kg[(1−)∏zj]ij==11j=1这表明系统的闭环极点的积与系统的开环根轨迹增益成正比。60 《自动控制原理》电子教案第17次课授课时间2学时授课题目（章、节）第四章根轨迹法（2节）绘制0°根轨迹的基本法则主要内容参变量系统的根轨迹非最小相位系统的根轨迹掌握绘制0°根轨迹的基本法则，并与180°根轨迹绘制法则相比较，掌握其不同之处目的与要掌握参变量系统的根轨迹绘制的步骤求掌握非最小相位系统的定义以及180°与0°根轨迹的判断重点：绘制0°根轨迹的基本法则、参变量系统的根轨迹绘制重点与难难点：参变量系统的根轨迹绘制点教学手段授课、例题讲解思考题或4-8、4-12、4-13作业题02．0根轨迹作图法则000等相角根轨迹作图法则，与180等相角根轨迹作图法则所不同的是，要修改与相角条件有关的规则，具体有：（1）根轨迹的渐近线渐近线的交点坐标不变，倾角改为2kπϕ=，k=0,1,2,",n−m−1an−m（2）实轴上的根轨迹分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为偶数（包括0），则该区域必是根轨迹。（3）根轨迹的出射角和入射角mn出射角：θpx=∑∠(px−zi)−∑∠(px−pj)i=1j=1j≠xmn入射角：ϕzx=−∑∠(zx−zi)+∑∠(zx−pj)i=1j=1i≠x3．参变量根轨迹以上讨论的是系统根轨迹增益K作为参变量时闭环根轨迹的作图规则，但实际情况不完全是这样g的。当以系统中其它参数作为变量（时间常数、反馈系数、开环零点和极点等）时的根轨迹称为参变量根轨迹或广义根轨迹。从理论的角度来看，参量根轨迹并无特殊之处，其处理方法是，将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式，然后依上述的作图规则绘制根轨迹图。12例：已知负反馈控制系统的开环传递函数为Gs()=G()sH()s=+(sa)/s(s+1)K4试绘制参数a从0→∞变化时，闭环系统的根轨迹。1(s+a)43211解：闭环特征方程D(s)=1+G(s)=1+=0，即：s+s+s+a=0。BK2s(s+1)4461 《自动控制原理》电子教案1a4aa将方程变形为：1+=0⇒1+=0⇒1+=01322324s+4s+ss(4s+4s+1)s+s+s4a等效的开环传递函数为：G′(s)=，作出参数a变化时的根轨迹图如下：K2s(4s+4s+1)004．关于180和0等相角根轨迹的几个问题根据根轨迹增益的正负、反馈结构（正反馈、负反馈），可以分别得到根轨迹方程，分析可知无论是00180根轨迹还是0根轨迹，它们所不同的是相角方程，幅值方程是一样的，具体的对应关系总结如下表。序号Kg负反馈正反馈10≤K<+∞1800根轨迹00根轨迹g2−∞0K1K22(s+2)(s+3)s(s+2s+3)就属此情况，遇到这种情况时，在绘制根轨迹前，应先将它们转换为零、极点形式。−2K(s−0.5)Kg1(s−0.5)G(s)==,K<0K1g1(s+2)(s+3)(s+2)(s+3)22−K(s−3s+2)Kg2(s−3s+2)G(s)==,K<0K222g2s(s+2s+3)s(s+2s+3)0由于K<0、K<0，所以它们因该采用0根轨迹法则绘制。g1g2在绘制根轨迹时，若没有特殊指明，一般认为是绘制负反馈控制系统的根轨迹，根轨迹增益K作g0为参变量，且大于零，即绘制180根轨迹。62 《自动控制原理》电子教案第18次课授课时间2学时授课题目（章、节）第四章根轨迹法（3节）主要内容系统的根轨迹分析方法掌握闭环零极点的确定目的与要了解闭环零极点的分布对系统性能的影响求了解开环零极点的分布对系统性能的影响掌握根据绘制的根轨迹分析系统的稳定性、单调性重点与难重点：系统的稳定性、单调性分析点难点：闭环零极点的确定、教学手段授课、例题讲解思考题或4-4、4-6、4-15作业题4.3根轨迹分析法应用根轨迹法分析系统，可以进行系统性能的定性分析和估算，以及估计参数变化对系统性能的影响，并提出具体的改善（校正）方法。1．闭环零点、极点和开环根轨迹增益的确定（1）闭环零点闭环传递函数零点的确定是十分容易的，它实际上是前向通道的零点和反馈通道的极点组成，当为单位反馈时，闭环零点就是开环零点。（2）闭环极点闭环极点的确定方法：一般而言，对于比较简单的系统可先使用幅值方程进行试探确定部分闭环实数极点，然后用综合长除法求其余的闭环极点，或采用闭环极点的和与积的性质来确定其余的闭环极点。（3）根轨迹增益若已知系统的闭环零点和闭环极点，则可利用幅值方程来确定对应的根轨迹增益K。g设开环零点、极点分别为z（i=1,2,",m）、p（j=1,2,",n），求闭环根轨迹上某一点s对ijl应的根轨迹增益K，则由幅值方程得到：gmn∏(sl−zi)∏(sl−pj)Ki=1=1⇒K=j=1gngm∏(sl−pj)∏(sl−zi)j=1i=12．闭环零点、极点分布对系统性能的影响（1）稳定性，要求闭环系统稳定，其根轨迹必须全部位于S左半平面。如果系统存在三条或三条以上的渐近线，则必有一个K值，使系统处于临界稳定状态。g（2）运动形态，系统的基本运动形态由闭环极点的位置决定。当有一闭环零点和闭环极点重合时，二者构成一对偶极子。留数的计算可知，对应于偶极子的那个极点的运动形态分量将消失。当闭卷极点全部位于负实轴时，响应呈单调上升状态。当闭环极点出现复数时，响应呈衰减振荡形式。（3）平稳性，阻尼角β越大,阻尼比ξ小，系统的振荡频率越高，振荡越剧烈。要使系统的暂态0响应平稳，同时又有比较好的快速性，系统的阻尼比不能太大，也不能太小，理论上讲β=45，阻尼比ξ=0.707时，系统的总体性能最好。（4）快速性，要使系统具有较好的快速性，除闭环主导极点以外，其余闭环极点应该远离虚轴，使其暂态响应分量衰减加快，系统调节时间减小，从而提高系统的响应速度。63 《自动控制原理》电子教案3．利用根轨迹估算系统性能根轨迹法估算闭环系统的性能的方法，主要是利用根轨迹进行图解。例：设单位反馈系统的开环传递函数为：Ks(s+1)(0.5s+1)，试应用根轨迹法求系统的单位阶跃响应，并估算系统的性能指标。解：将开环传递函数该写为零极点表示形式G(s)=Ks(s+1)(0.5s+1)=2Ks(s+1)(s+2)=Ks(s+1)(s+2)K=2KKgg计算得到根轨迹的分离会合点坐标为：d=−0.423,K=0.385；g根轨迹与虚轴的交点为s=±j1.414,K=6。g绘制根轨迹图如下：按题目给定要求：K=0.525则K=2K=1.05，显然对应g的闭环极点应该位于分离（会合）点以后（K=0.385）gd的复平面上，但不会超出左半平面（与虚轴交点处的根轨迹增益为K=6）。gs经试探当K=2K=1.05时的2个闭环极点为s=−0.33±j0.58。g1,23232写出闭环特征方程：D(s)=s+3s+2s+K=s+3s+2s+1.05=0Bg由于n−m=3−0=3>2，所以由特征根的和或积的关系可以求取第三个闭环极点：s+s+s=−3⇒s=−3−s−s=−2.43。123312由于是单位反馈控制系统，且无开环零点，所以得到系统的闭环传递函数为：1.05Φ(s)=(s+2.43)(s+0.33+j0.58)(s+0.33−j0.58)系统的单位阶跃响应为：1.051C(s)=Φ(s)R(s)=×(s+2.43)(s+0.33+j0.58)(s+0.33−j0.58)s−1−2.34t−0.33t0c(t)=L[C(s)]=1−0.125e−1.297esin(0.58t+44.3)（t≥0）性能指标估算：由于复数极点s=−0.33±j0.58周围没有零点，且s<>1T68 《自动控制原理》电子教案对数相频特性：ϕ(ω)=−arctgωT惯性环节的对数相频特性曲线为：5．一阶微分环节传递函数：G(s)=1+Ts，频率特性G(jω)=1+jωT：，2幅频特性：A(ω)=1+(ωT)，相频特性：ϕ(ω)=arctgωT⎧⎪20lg1+0=0,ω<<1T2对数幅频特性：L(ω)=20lg1+(ωT)=⎨2⎪⎩20lg(ωT)=20lgω+20lgT,ω>>1T一阶微分环节的对数幅频特性曲线与惯性环节的对数幅频特性是依横轴成镜像对称的。对数相频特性：ϕ(ω)=arctgωT一阶微分环节的对数相频特性曲线与惯性环节的对数相频特性是依横轴成镜像对称的。69 《自动控制原理》电子教案第20次课授课时间2学时授课题目（章、节）第五章线性系统的频域分析方法（2、3节）典型环节的频率特性主要内容开环极坐标图的绘制目的与要掌握各种典型环节的频率特性及其伯德图和极坐标图的特点求掌握开环极坐标图的绘制重点与难重点：各种典型环节的伯德图、开环极坐标图的绘制点难点：开环极坐标图的绘制教学手段授课、例题讲解思考题或5-4（2）、（4）作业题6．振荡环节2Imωn传递函数：G(s)=22s+2ξωs+ωnn2ω=∞ω=0ωn频率特性Gj()ω=22Re(jjω)+2ξωnn(ω)+ωξ11幅频特性：A(ω)=2222ξ2ξ>ξ>ξ123(1−Tω)+(2ξTω)2ξTωξ3相频特性：ϕ(ω)=−arctg221−Tω221−Tω2ξTω实频特性：Re(ω)=虚频特性：Im(ω)=−22222222(1−Tω)+(2ξωT)(1−+TTω)(2ξω)式中T=1ω，为振荡环节的转折频率。n在阻尼比ξ<0.707，且ω=ω时，振荡环节发生了谐振。可以求得谐振时的ω和M。rrrd12A(ω)=0⇒ω=1−2ξrdωTω=ωr1M=A(ω)=rr22ξ1−ξ⎧ξ>0.707时，无谐振峰值，A（ω）单调衰减⎪ξ=0.707时，临界谐振，ω=0，M=1⎪rr⎪⎨ξ<0.707时，有谐振峰值，ωr>0，Mr>1⎪ξ=0时，ω=ω，M=∞，这说明外加的信号频率成分与⎪rnr⎪⎩系统的自然振荡频率相等时，将引起系统产生共振现象对数幅频特性：⎧20lg1+0=0dB,ω<<1T2222⎪⎨L(ω)=−20lg(1−Tω)+(2ξTω)=−20lg2ξ=−6.02−20lgξ(dB),ω=1T⎪2⎩20lg(Tω)=40lgω+40lgT(dB),ω>>1T上式ω=ω=1T称为振荡环节的转折频率。n70 《自动控制原理》电子教案振荡环节的对数幅频特性曲线为：0ϕ(ω)()2ξTω00ω对数相频特性：ϕ(ω)=−arctg220.1T1T10T1−Tω−9000⎧0,ω<<1T0⎪0−90dec2ξTω0−180ϕ(ω)=−arctg=⎨−90,ω=1T221−Tω⎪0−180,ω>>1T⎩7．二阶微分环节2ω11n传递函数：G(s)==,T=222s+2ξωs+ωTs+2ξTs+1ωnnn22G(jω)=T(jω)+2ξT(jω)+12222频率特性：幅频特性：A(ω)=(1−Tω)+(2ξTω)22=(1−Tω)+j(2ξTω)2ξTω相频特性：ϕ(ω)=arctg21−(Tω)22实频特性：Re(ω)=−1Tω，虚频特性：Im(ω)=2ξωT对数幅频特性：二阶微分环节的对数频率特性与振荡环节是依横轴成镜像对称的，于是有ω=ω=1T为二阶n微分环节的转折频率。2ξTω对数相频特性：ϕ(ω)=arctg221−Tω二阶微分环节的对数相率特性与振荡环节是依横轴成镜像对称的：8．延迟环节71 《自动控制原理》电子教案−τs−jωτ传递函数：G(s)=e,频率特性：G(jω)=e幅频特性：A(ω)=1,相频特性：ϕ(ω)=−ωτ幅相频率特性：对数幅频特性：L(ω)=20lgA(ω)=20lg1=0对数相频特性：ϕ(ω)=−ωτ5.3系统开环频率特性的绘制一、开环及坐标图将开环传递函数表示为时间常数表达形式mm1222mm-1∏∏(1ττkss++)(l2τlςls+1)bs++bs"+bs+bK01mm-1k==1l1Gs()==K=G()sasnn++as-1"+as+ann12sν001nn-1ν22sT∏∏(1ijs++)(Ts2Tjξjs+1)ij==11式中：m+2m=m，ν+n+2n=n1212（1）确定极坐标图的起点+极坐标图的起点是ω→0时Gj(0)在复平面上的位置。k+KKGj(0)==G(jω)kν0ν()jjω(ω)ω→00⎧νω==0(时，Gj)K∠0,K⎪⎪即极坐标图起始于正实轴上的某一点⎨0⎪νω≠=0时，Gj()∞∠−ν×90,K⎪⎩即极坐标图起始于无穷远处（2）确定极坐标的终点（n>m）极坐标图的起点是ω→+∞时Gj()+∞在复平面上的位置。k72 《自动控制原理》电子教案mm-1bsb++s"+bs+bb1ba01m-1m000G(+j∞)==×=knn-1nm−n−mas++as"+as+aa(jjωω)()01n-1nω→∞00⎧n−m=1时，G(jω)=0∠−90，从负虚轴的方向进入坐标原点K⎪n−m=2时，G(jω)=0∠−1800，从负实轴的方向进入坐标原点⎨K⎪0n−m=3时，G(jω)=0∠−270，从正虚轴的方向进入坐标原点⎩K（3）极坐标图穿越实轴的位置令频率特性G(jω)的虚部为零，即Im[G(jω)]=0，并求得相应的频率ω，然后将此频率ω代入xx频率特性G(jω)的实部，则Re[G(jω)]就是极坐标图与实轴的交点。x例：设系统的开环传递函数为G(s)=k(Ts+1)(Ts+1)，试绘制其幅相曲线。K12解：系统的开环频率特性：kG(jω)=K11TT(jω+)(jω+)12TT12由开环频率特性可知，系统为0型，即ν=0。00幅相曲线的起点为：G(j0)=k∠0，幅相曲线的终点为：G(j∞)=0∠−180。KK粗略画出幅相曲线如下：1例：已知单位负反馈系统开环传递函数为Gs()=，试绘制系统幅相曲线。kss(1+)111解：统的开环频率特性：Gj()ω==−−jK22jjω(1ωω++)1ω(1+ω)由开环频率特性可知，系统为I型，即ν=1。0于是幅相曲线的起点为：Gj(0)=∞∠−90，当ω=0时，实部函数有渐近线-1。K0由nm−=2可得幅相曲线的终点为：Gj()∞=0∠−180K通过分析实部和虚部函数可知与坐标轴无交点。由上分析结论作出系统的开环极坐标图如下：73 《自动控制原理》电子教案2例：设系统的开环传递函数为G(s)=k(2s+1)s(0.5s+1)(s+1)，试粗略绘制其幅相曲线。K解：系统的开环频率特性：k(j2ω+1)G(jω)=K2(jω)(j0.5ω+1)(jω+1)由开环频率特性可知，系统为2型，即ν=2。0于是幅相曲线的起点为：G(j0)=∞∠−180K0幅相曲线的终点为：G(j∞)=0∠−270K幅相曲线与实轴的交点：k(j2ω+1)k[22]G(jω)==−(1+2.5ω)−j(0.5−ω)K2222(jω)(j0.5ω+1)(jω+1)ω(1+0.25ω)(1+ω)[]22ImG(jω)=0.5−ω=0，求得ω=0.5，代入求得幅相曲线与实轴的交点为KxRe[]G(jω)=−2.67kKx粗略画出幅相曲线如下74 《自动控制原理》电子教案第21次课授课时间2学时授课题目（章、节）第五章线性系统的频域分析方法（3节）主要内容控制系统的开环频率特性目的与要掌握开环Bode图的绘制求掌握根据Bode图确定最小相位系统的传递函数重点与难重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数点难点：同上教学手段授课、例题讲解思考题或5-3（4）、5-5（2）（3）作业题二、开环伯德图手工作图的一般步骤：（1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式mm1222mm-1∏∏(1ττklss++)(2τlςls+1)bs+bs+"+bs+bK01mm-1k=1l=1Gs()==K=G()sasnn+as-1+"+as+ann12sν001nn-1ν22sT∏∏(1ijs++)(Ts2Tjξjs+1)ij==11式中：m+2m=m，ν+n+2n=n1212（2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν（3）确定各典型环节的转折频率，并按由小到大排序（4）确定低频段渐近线。低频段频率特性为KKG(jω)=G(jω)=Kν0ν(jω)(jω)ω→0K对数幅频特性为：L(ω)=20lg=20lgK−20×ν×lgων(jω)0对数相频特性为：ϕ(ω)=−ν×90上述表明：0①低频段的对数幅频特性直线的斜率为−20×νdBdec，相频角度为−ν×90；②当ω=1时，低频段直线或其延长线（在ω<1的范围内有转折频率）的分贝值为20lgK，这是因为由低频段的幅频方程，可得到L(ω)=20lgK−20×ν×lgω=20lgKω=11③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为ω=Kν，对于I型系统交点频0率为ω=K，II型系统交点频率为ω=K；这是因为由低频段的幅频方程，可得到00νL(ω)=20lgK−20×ν×lgω=0⇒20lgK=20×ν×lgω=20lgω1νν于是有：ωω=⇒KK=075 《自动控制原理》电子教案（5）绘制中频段首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变直线的斜率，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为−20dBdec，振荡环节为−40dBdec，一阶微分环节为+20dBdec，二阶微分环节为+40dBdec等等。例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)，试绘制其开环K系统的Bode图。解：由给定的系统开环传递函数得到系统的开环频率特性，并将其归一化G(jω)=100(jω+2)jω(jω+1)(jω+20)K100×2(j0.5ω+1)=jω(jω+1)×20×(j0.05ω+1)由此可见，系统地开环频率特性有5个典型环节构成，分别为0（1）比例环节：G(jω)=10，LL(ω)=20lg10=20dB,ϕ(ω)=0111（2）一阶微分环节：G(jω)=j0.5ω+1，转折频率ω=1T=10.5=22（3）积分环节：G(jω)=1jω3（4）一阶惯性环节：G(jω)=1(jω+1)，转折频率ω=1T=11=12（5）一阶惯性环节：G(jω)=1(j0.05ω+1)，转折频率ω=1T=10.05=202合成后的系统开环对数幅频特性：L(ω)=L(ω)+L(ω)+L(ω)+L(ω)+L(ω)12345合成后的系统开环对数相频特性：ϕ(ω)=ϕ(ω)+ϕ(ω)+ϕ(ω)+ϕ(ω)+ϕ(ω)12345三、最小相位系统最小相位系统定义：系统开环传递函数的零点、极点全部位于S左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。否则就是非最小相位系统。76 《自动控制原理》电子教案1+s1−s试绘制G(s)=和G(s)=的对数频率特性如下并比较如下121+2s1+2s⎧L(ω)=−20lg1+ω2−20lglg1+4ω2ϕ(ω)=arctgω−arctg2ω⎪1⎧1⎨，⎨22ϕ(ω)=−arctgω−arctg2ω⎪⎩L(ω)=−20lg1+ω−20lglg1+4ω⎩22由上述比较，可以得出如下结论（1）当ω=0→∞变化时，最小相位系统的相角变化最小，而非最小相位系统的相角变化一般较大；（2）最小相位系统的对数幅频L(ω)的斜率变化趋势与对数相频ϕ(ω)的变化趋势一致，而非最小相位系统则不然。由于最小相位系统的幅频与相频的一一对应关系，因此可以仅由系统的开环幅频特性来确定系统的频率特性（或传递函数），而不会引起奇异。例：已知系统的开环对数幅频特性如下，试确定系统的开环传递函数。解：由图可见，低频段的斜率为−20dBdec，所以开环传递函数有一个积分环节。由于在低频段ω=1时，L(ω)=15dB，所以系统的开环放大倍数为满足20lgK=15，从而求得15200.75K=10=10=5.6。由此可以写出系统的开环传递函数为15.6(s+1)75.6(0.14s+1)G(s)==1s(0.5s+1)s(s+1)2ω5.6(j+1)ωω频率特性为：7ϕ(ω)=−900+arctg−arctgG(jω)=，相频特性为：ω72jω(j+1)277 《自动控制原理》电子教案第22次课授课时间2学时授课题目（章、节）第五章线性系统的频域分析方法（4节）主要内容奈氏稳定判据目的与要了解辅助函数的构成以及奈氏判据的推导过程求掌握奈氏稳定判据及增补线的绘制重点与难重点：奈氏稳定判据点难点：增补线的绘制、稳定的判断教学手段授课、例题讲解思考题或5-10作业题5.4奈奎斯特稳定判据（1）开环传递函数没有积分环节已知开环系统特征方程式在S右半平面的根的个数为P，当ω从0→∞变化时，开环频率特性的轨迹在G(jω)H(jω)平面围绕(−1,j0)点的圈数为R（规定顺时针旋转为负，逆时针旋转为正），则闭环系统特征方程式在S右半平面的个数为Z，且Z=P−2R。若Z=0，则闭环系统特征根均位于S左半平面，闭环系统稳定；若Z≠0，则闭环系统有Z个特征根在S右半平面，闭环系统不稳定。以上的等价表示对于开环稳定的系统（即P=0），G(s)在S右半平面上无极点，闭环系统稳定的充分必要条件K是其开环极坐标曲线不包围(−1,j0)点；对于开环不稳定的系统（即P≠0），G(s)在S右半平面上有P个极点，闭环系统稳定的充分必K要条件是其开环极坐标曲线当ω从0→+∞变化时，以逆时针方向包围(−1,j0)点P2圈，即R=P2；若闭环系统不稳定，则该系统在s右半平面的极点个数为Z=P−2R，R为极坐标曲线围绕(−1,j0)点的圈数（规定顺时针旋转为负，逆时针旋转为正）。推论：若极坐标曲线顺时针方向包围(−1,j0)点(R<0)，则不论开环系统稳定与否，闭环系统总是不稳定的。例：已知各系统的开环幅相频率曲线如下，试判别其闭环系统的稳定性。解：图（a），已知p=0，且R=0，即开环幅相曲线没有包围（-1，j0）点，所以闭环系统稳定；图（b），已知p=0，且R=−1，即开环幅相曲线顺时针包围（-1，j0）1圈，于是Z=P−2R=0−2×(−1)=2≠0，有2个闭环特征根位于S右半平面，所以闭环系统稳定；图（c），已知p=0，且R=−12+12=0，即开环幅相曲线没有包围（-1，j0）点，所以闭环系统稳定。例：单位负反馈系统开环传递函数为Gs()=KTs−1，试判断闭环系统的稳定性。K解：绘制幅相曲线图78 《自动控制原理》电子教案−kkTωGj()ωω=−KjT1=−jK22221+Tω1+Tω00起点：Gj(0)=∠k−180，终点：Gj()∞=0∠−90，分析实部和虚部函数可知与实轴无交点KK（除起点）。作极坐标图如下：系统有一个开环极点位于右半平面，所以P=1。当−1时，R=1/2，则Z=P−=20R，系统稳定；当−>k−1即01<时，幅相曲线顺时针包围(−1,j0)点1圈，即R=−1，于是T+TTT1212Z=P−2R=2，所以闭环系统不稳定；KTTT+T1212当−>−1，即K<时，幅相曲线不包围(−1,j0)点，即R=0，于是Z=P−2R=0，T+TTT1212所以闭环系统稳定。79 《自动控制原理》电子教案ks(0.1+1)例：已知系统开环传递函数为Gs()=，由奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。Kss(1−)解：绘制幅相曲线图2kj(0.1ωω+−1)1.1k+j(1−0.1ω)k系统的频率特性为Gj()ω==K2jjωω(1−+)ω(1ω)0+起点：Gj(0)=∞∠−270，且有渐近线Re(0)=−k；K00终点：G(j∞)=0∠−3×90=∠−270K与实轴的交点：当Im(ω)=0时，ω=10代入实部，得Re(ω)=−0.1k。可作出系统极坐标图如下：+0由于ν=1，所以需从ω=0的位置开始逆时针画90的增补线，如图中虚线所示。由开环传递函数可知P=1。当当−<0.1k−1即k>10时，R=−11/2=1/2，则ZP=−=20R，系统稳定；当−>0.1k−1即01<0（A(ω)>1）的范围内，当ω增加时，相频特性曲00线ϕ(ω)从上穿过−180相位线（相位减小）的称为负穿越；而相频特性曲线ϕ(ω)从下穿过−180相位线（相位增大）的称为正穿越。81 《自动控制原理》电子教案（4）对数频率稳定判据+++若系统包含积分环节，在对数相频曲线ω为0的地方补画一条从Gj(0)+ν×°90到Gj(0)的虚KK线，计算正负穿越次数时应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。设P为开环传递函数G(s)在S右半平面的极点数，闭环系统稳定的充分必要条件是，对数坐标图K0上幅频特性L(ω)>0的所有频段内，当频率ω增加时，对数相频特性对−180相位线的正负穿越次数差为P2。2例：已知某负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=Ks(Ts+1)，试判别闭环系统的稳定性。K解：（1）画出开环对数频率特性曲线如下图；（2）P=0,ν=2,m=0,n=3；（3）画出增补线（图中虚线）；（4）N=0,N=1，则R=N−N=−1+−+−（5）Z=P−2R=2≠0，闭环系统不稳定。5.5稳定裕度（1）系统稳定性的关系可以将最小相位系统的稳定性概括为：⎧不围绕(−1,j0)点时,闭环系统稳定⎪幅相频率曲线⎨过(−1,j0)点时,闭环系统临界稳定⎪⎩围绕(−1,j0)点时,闭环系统不稳定0⎧L(ω)过0dB线后,ϕ(ω)才过-180相位线时,闭环系统稳定⎪0对数频率曲线⎨L(ω)过0dB线,ϕ(ω)也过-180相位线时,闭环系统临界稳定⎪0L(ω)过0dB线前,ϕ(ω)已过-180相位线时,闭环系统不稳定⎩（2）幅值稳定裕度h(L)g0令幅相曲线穿越−180相位线所对应的频率为ω，这个频率称为相角穿越频率，此频率所对应的幅g值为A(ω)。g幅值稳定裕度的定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数称为幅值稳定裕度，简称幅值裕度，即h=1A(ω)或h×A(ω)=1gg在对数坐标图上，采用L表示h的分贝值，即gL=20lgh=20lg[1A(ω)]=−20lgA(ω)dBggg幅值裕度的物理意义：稳定的系统，若系统的开环放大倍数再增大为原来的h倍（或对数幅频特性曲线向上移动L分贝），g则系统将变为临界稳定状态；若开环放大倍数进一步增大，则系统将变为不稳定；反之亦然。（3）相位稳定裕度γ令幅相曲线穿越0dB线所对应的频率为ω，这个频率称为幅值穿越频率，此频率所对应的相位为cϕ(ω)。c82 《自动控制原理》电子教案0相位稳定裕度的定义：幅值穿越频率ω时的相频特性与−180之差称为相位稳定裕度，简称相位裕c度，即00γ=ϕ(ω)−(−180)=180+ϕ(ω)cc相位裕度的物理意义：如果系统是稳定的，则相频特性ϕ(ω)再滞后γ角度（或对数相频特性ϕ(ω)再下移γ角度），则闭c环系统将变为临界稳定状态；若对数相频特性ϕ(ω)再进一步减小，则系统将变为不稳定；反之亦然。（4）利用稳定裕度判别系统稳定性对于最小相位系统来说，L>0和γ>0总是同时发生或同时不发生，因此工程上常只用相位稳定裕g度γ来表示。显然，系统稳定时，必有L>0和γ>0。g例：已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如下图所示，试求开环传递函数，并计算系统的稳定裕度。K(s+1)解：（1）由给定的对数幅频特性可以求得开环传递函数为G(s)=K22s(0.1s+1)2Kω+1c（2）计算放大倍数KA(ω)==1c22ω(0.1ω)+1cc22考虑到ω=3.16>1，所以ω>>1,(0.1ω)<<1，于是，上式可以简化为cccKωcA(ω)==1⇒K=ω=3.16c2cω×1c（3）计算稳定裕度相位稳定裕度：000γ=180+ϕ(ω)=180+arctgω−2×90−2×arctg0.1ωccc00=180+arctg3.16−2×90−2×arctg0.1×3.160000=180+72.40−180−2×17.50=37.4幅值稳定裕度：0由ϕ(ω)=−180可得g00arctgω−2×90−2×arctg0.1ω=−180gg化简得到：arctgω=2×arctg0.1ωgg令：ϕ=arctg0.1ω，则：tg[arctgω]=tg[2×arctg0.1ω]ggg由三角公式可得：2sinϕcosϕ2tgϕ2×0.1ωgω=tg2ϕ=sin2ϕcos2ϕ===g2222cosϕ−sinϕ1−tgϕ1−0.01ωg解得：ω=8.94(rads)g83 《自动控制原理》电子教案K×ωg3.16于是幅值稳定裕度为：L=−20lgA(ω)=−20lg=−20lg=9.03dBgg2ω8.49g显然：由于L>0,γ>0所以闭环系统稳定。g例：已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如下图所示，试求（1）开环传递函数；（2）计算系统的相位裕度，并判断系统稳定性；（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解：（1）系统存在2个转折频率0.1和20，故其开环传递函数为kGs()=s(s/0.1+1)(s/20+1)k且20lg=010得k=10，10所以Gs()=。ss(/0.1+1)(s/20+1)（2）由系统开环对数幅频特性可知10A()ω≈=1cωcωii1c0.1得ω=1cωω相频特性为ϕω()=−90°−arctan−arctan，将ω=1代入的ϕ(ω)=−177.15°cc0.120γ=180°+ϕ(ω)=2.85°，故系统稳定。c(3)将对数幅频特性向右平移十倍频程，可得新的开环传递函数100Gs()=ss(/1+1)(s/200+1)ωc1其截止频率ω==10ω10，而ϕω()=−90°−arctanω−arctan=−°177.15，则cc1cc11200γ==γ2.85°，系统稳定性能不变。184 《自动控制原理》电子教案第24次课授课时间2学时授课题目（章、节）第五章线性系统的频域分析方法（6、7节）主要内容闭环频率特性、频率特性分析了解闭环频率特性与开环频率特性的关系目的与要了解闭环频率特性的性能指标求掌握系统稳态性能、动态性能及抗干扰性能和开环频率特性的关系重点与难重点：开环频率特性分析点难点：闭环频率特性教学手段授课、例题讲解思考题或作业题5.6闭环系统的频率特性1．用向量法求取闭环频率特性Im系统的闭环频率特性为G(jω)Φ(jω)=P1+G(jω)Re-10→→→→θϕ−θjjϕθG()jωω11==OAOAe，1+G(j)=PA=PAeϕG(jω)1于是在该频率值时的闭环频率特性值为→→AjϕOAeOAG(jω1)j(ϕ−θ)Φ(jω)===e11+G(jω)→→1PAejθPA→OA→故：Φ(jω)=M(ω)∠α(ω)，M(ω)=,α(ω)=ϕ−θ=∠PAO11→1PA比较开环对数幅频和闭环对数幅频可以发现：0（1）低频段闭环对数幅频与0dB线重合、相频与0线重合；（2）高频段闭环对数幅频趋于开环对数幅频，闭环对数相频趋于闭环对数相频；（3）闭环对数幅频产生谐振峰值。2．系统带宽和带宽频率下图是闭环系统的典型幅频特性定义：闭环幅频特性的幅值由M(0)衰减到0.707M(0)时的频率，称为闭环系统的带宽频率，用ωb来表示，0～ω即为频带宽度，简称带宽。b带宽（频带宽度）的意义：从带宽的定义可知，当输入信号的频率高于带宽频率ω是，系统输出b的幅值衰减很大，不能很好地反映输入信号，因此系统的带宽，实际上反映了系统对输入信号的复现能力，当输入信号的频率低于带宽频率时，系统可以产生足够强度的频率响应。85 《自动控制原理》电子教案5.7频率特性分析1．利用开环频率特性分析系统的稳态性能（1）开环频率特性的低频段决定了系统的稳态性能KK低频段频率特性为G(jω)=G(jω)=Kν0ν(jω)(jω)ω→0K对数幅频特性为：L(ω)=20lg=20lgK−20×ν×lgων(jω)0对数相频特性为：ϕ(ω)=−ν×900①低频段的对数幅频特性直线的斜率为−20×νdBdec，相频角度为−ν×90；②当ω=1时，低频段直线或其延长线（在ω<1的范围内有转折频率）的分贝值为20lgK；1③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为ω=Kν，对于I型系统交点频率0为ω=K，II型系统交点频率为ω=K。002．频域性能指标与时域性能指标的关系（1）典型二阶系统的开环频域指标与暂态性能指标的关系2ωn典型二阶系统的开环频率特性：GK(jω)=(jω)(jω+2ξωn)42幅值穿越频率ωc：ωc=ωn4ξ+1−2ξ02ξ相位裕度γ：γ=180+ϕ(ωc)=arctg424ξ+1−2ξ当阻尼比0<ξ<0.707时，可近似为线性关系：ξ=0.01γ。ξπ−21−ξ由于超调量Mp%=e×100%，即超调量Mp%是阻尼比ξ的单值函数。分析可得：相位裕度γ越小，系统的单位阶跃响应超调量Mp%便越大。⎧361=×,∆=5⎪⎪ξωnωctgγ调节时间为ts=⎨⎪381=×,∆=2⎪ξωωtgγ⎩nc分析结论：当相位裕度γ不变时，调节时间ts与截止频率（幅值穿越频率）ωc成反比关系。即ωc越大，调节时间ts越小，暂态响应速度越快，因此截止频率ωc表征了系统的暂态响应的快速性。（2）欠阻尼二阶系统闭环频域性能指标与时域暂态性能指标的关系2ωnΦ(jω)=22(jω)+2ξωn(jω)+ωn欠阻尼二阶系统闭环频率特性为2ωnM(ω)=2222(ωn−ω)+(2ξωnω)2ωr=ωn1−2ξ当0<ξ<0.707时，1Mr=22ξ1−ξ由于M(0)=1，所以当M(ω)=0.707M(0)时，可得到带宽频率ωb86 《自动控制原理》电子教案224ωb=ωn1−2ξ+2−4ξ+4ξ①MP%与Mr的关系：Mr越小，系统的阻尼性能越好，从而系统的超调量MP%也越小；Mr较大时，系统的超调量MP%较大，系统响应的平稳性较差。一般而言，当Mr=1.2～15时，系统的超调量MP%=20%～30%，此时系统有适度的振荡，平稳性较好。②ts与Mr、ωb的关系：224由：ωb=ωn1−2ξ+2−4ξ+4ξ⎧33224=1−2ξ+2−4ξ+4ξ⎪⎪ξωnξ可得：ωbts=⎨⎪44224=1−2ξ+2−4ξ+4ξ⎪ξωξ⎩nωbts随Mr的增加而单调增加。当Mr不变时，调节时间ts与带宽频率ωb成反比关系。（3）高阶系统的频域指标与时域暂态性能指标的关系①超调量MP%随谐振峰值Mr的增大而增大；②调节时间ts随谐振峰值Mr的增大而加长，并与ωc成反比；③谐振峰值Mr与相位裕度γ的近似关系为：Mr=1sinγ，这表明，相位裕度γ越小，则谐振峰0值Mr越大，系统越容易振荡。当Mr→∞时，相当于相位裕度γ=0，系统处于不稳定的边缘（临界稳定状态）。④系统的相位裕度γ不仅反映了系统的相对稳定性，还影响着系统的暂态响应速度。而相位裕度γ的00大小主要取决于开环对数幅频特性在ωc附近（中频段）的形状，一般要求系统的相位裕度γ=30～60，这就要求开环对数幅频特性L(ω)过0dB线的斜率为−20dB/dec，且占据一定的频带宽度。3．开环频率特性的高频段对系统性能的影响Gs()对于单位反馈系统，开环和闭环传递函数的关系为Φ=()s；1(+Gs)Gj()ω则频率特性之间的关系为Φ=()jω；1(+Gjω)在高频段一般20lgGj(ω)0，即Gj()ω1，故有Gj()ωΦ=()jω≈Gj()ω1(+Gjω)即闭环幅频等于开环幅频。因此，开环对数幅频特性高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强。87 《自动控制原理》电子教案第25次课授课时间2学时授课题目（章、节）第五章线性系统的频域分析方法主要内容自动控制系统频域分析上机实验熟悉MATLAB软件在频域分析中的基本应用目的与要求熟悉MATLAB软件绘制Bode图、Nyquist曲线由MATLAB软件绘制的Bode图判别闭环系统的稳定性重点：MATLAB软件绘制Bode图、Nyquist曲线及稳定性判断重点与难点难点：MATLAB软件绘制Bode图、Nyquist曲线教学手段上机思考题或完成实验报告作业题一、实验目的1、利用MATLAB绘制系统的频率特性图；2、根据Nyquist图判断系统的稳定性；3、根据Bode图计算系统的稳定裕度。二、实验任务利用MATLAB绘制系统的频率特性图，是指绘制Nyquist图、Bode图，所用到的函数主要是nyquist、ngrid、bode和margin等。1、Nyquist图的绘制及稳定性判断nyquist函数可以计算连续线性定常系统的频率响应，当命令中不包含左端变量时，仅产生Nyquist图。命令nyquist(num,den)将画出下列传递函数的Nyquist图：mm−1bs+bs++…bs+bmm−110GH()s=nn−1as+as++…as+ann−110其中num=[bb"bb]，den=[aa"aa]。mm−110nn−11050（1）已知某控制系统的开环传递函数为Gs()=，用MATLAB绘制系统的Nyquist(5ss+)(−2)图，并判断系统的稳定性。MATLAB程序代码如下：num=[50]；den=[1,3,-10]；nyquist(num,den)；axis([-62-20])；title("Nyquist图")执行该程序后，系统的Nyquist图如图所示：由上图可知Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点半圈，而开环系统在右半平面有一个极点，故系统稳定。88 《自动控制原理》电子教案100k（2）已知系统的开环传递函数为Gs()=，用MATLAB分别绘制k=1,8,20时系统ss(++5)(s10)的Nyquist图，并判断系统的稳定性。2、Bode图的绘制及稳定裕度的计算MATLAB提供绘制系统Bode图函数bode()，bode(num,den)绘制以多项式函数表示的系统Bode图。2ωn（1）已知典型二阶环节的传递函数为Gs()=，其中ω=0.7，分别绘制22nss++2ξωωnnξ=0.1,0.4,1,1.6,2时得Bode图。MATLAB程序代码如下：w=[0,logspace(-2,2,200)]；wn=0.7；tou=[0.1,0.4,1,1.6,2]；forj=1:5；sys=tf([wn*wn],[1,2*tou(j)*wn,wn*wn])；bode(sys,w)；holdon；end；gtext("tou=0.1")；gtext("tou=0.4")；gtext("tou=1")；gtext("tou=1.6")；gtext("tou=2")执行该程序后，系统的Bode图如图所示：5(0.0167s+1)（2）已知某高阶系统的传递函数为Gs()=，绘制系统的Bodess(0.03+1)(0.0025s++1)(0.001s1)图，并计算系统的相角裕度和幅值裕度。MATLAB程序代码如下：num=5*[0.0167,1]；den=conv(conv([1,0],[0.03,1]),conv([0.0025,1],[0.001,1]))；sys=tf(num,den)；w=logspace(0,4,50)；bode(sys,w)；grid；[Gm,Pm,Wg,Wc]=margin(sys)执行该程序后，系统的Bode图如图所示：运行结果如下：Gm=455.2548；Pm=85.2751；Wg=602.4232；Wc=4.9620由运行结果可知，系统的幅值裕度A=455.2548，相角裕度γ=85.2751°，相角穿越频率gω=602.4262rad/s，截止频率ω=4.962rad/s。gc89 《自动控制原理》电子教案100(0.5s+1)（3）已知某高阶系统的传递函数为Gs()=，绘制系统的Bode图，并计ss(+1)(0.1s++1)(0.05s1)算系统的相角裕度和幅值裕度。三、实验数据及结论1、Nyquist图的绘制及稳定性判断100k（2）已知系统的开环传递函数为Gs()=，用MATLAB分别绘制k=1,8,20时系统ss(+5)(s+10)的Nyquist图，并判断系统的稳定性。①k=1时MATLAB程序代码如下：num=[100];den=[1,15,50,0];nyquist(num,den);axis([-32-11]);title("Nyquist图");执行该程序后，系统的Nyquist图如图所示：系统为I型系统，在上图作增补线，Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，而开环系统在右半平面没有极点，故系统稳定。②k=8时MATLAB程序代码如下：num=[800];den=[1,15,50,0];nyquist(num,den);axis([-32-11]);title("Nyquist图");执行该程序后，系统的Nyquist图如图所示：作增补线后Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，而开环系统在右半平面没有极点，故系统不稳定。③k=20时MATLAB程序代码如下：num=[2000];den=[1,15,50,0];nyquist(num,den);axis([-42-11]);title("Nyquist图");执行该程序后，系统的Nyquist图如图所示：90 《自动控制原理》电子教案作增补线后Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，而开环系统在右半平面没有极点，故系统不稳定。由以上结论可知，k增大，系统的稳定性能变差。2、Bode图的绘制及稳定裕度的计算100(0.5s+1)（3）已知某高阶系统的传递函数为Gs()=，绘制系统的Bode图，并ss(+1)(0.1s++1)(0.05s1)计算系统的相角裕度和幅值裕度。MATLAB程序代码如下：num=100*[0.5,1];den=conv(conv([1,0],[1,1]),conv([0.1,1],[0.05,1]));sys=tf(num,den);w=logspace(0,4,50);bode(sys,w);grid;[Gm,Pm,Wg,Wc]=margin(sys);执行该程序后，系统的Bode图如图所示：运行结果如下：Gm=0.5080；Pm=-16.2505；Wg=13.0505；Wc=18.0572由运行结果可知，系统的幅值裕度A=0.5080，相角裕度γ=−°16.2505，相角穿越频率gω=13.0505rad/s，截止频率ω=18.0572rad/s，由结果可知，系统不稳定。gc91 《自动控制原理》电子教案第26次课授课时间2学时授课题目（章、节）第六章控制系统的校正（1、2节）主要内容系统的设计及校正、频率法串联超前校正了解时域、频域中的性能指标目的与要求了解几种校正结构掌握频率法串联超前校正网络及传递函数重点：时域、频域中的性能指标、频率法串联超前校正网络重点与难点难点：频率法串联超前校正教学手段授课、例题讲解思考题或作业题6.1引言对于许多实际的控制系统，仅通过调节系统的某一个参数，无法兼顾提高系统的各方面性能，实际上系统的性能指标对于某一参数的依赖是相矛盾的。因此为改善系统的总体性能，我们往往要在系统中附加装置，来对系统进行结构上的校正，从而“迫使”系统的性能满足设计要求。1．校正为了实现预期性能而对控制系统结构进行的调整称为校正。因此，校正就是为弥补系统的性能不足而进行的结构调整。2．校正装置为实现对系统进行的校正，而在原系统中附加的装置称为校正装置。校正装置的形式可以多种多样，可以是电路、机械装置、液压装置、气动装置，甚至于可能是一个软件等等。3．性能指标控制系统综合设计时既要考虑时域的性能指标，又要考虑频域的性能指标。同时还要注意稳态、动态和稳定性能，以及抗干扰能力。4．校正结构控制系统的校正结构只要有串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正等四种方式。5．校正方法线性控制校正设计的主要方法有：（1）分析法：分析法也称为试探法，它比较直观，物理上易于实现。但要求设计者具有一定的工程经验；92 《自动控制原理》电子教案（2）综合法：综合法也称为期望特性法。这种设计方法是根据闭环系统性能与开环系统特性密切相关这一概念出发，然后通过性能指标确定的期望特性与原有（未校正系统）系统特性相比较，从而确定校正装置的形式和参数。这种方法具有广泛的理论意义，但由于校正装置的传递函数比较复杂，物理实现比较困难。无论是采用分析法，还是综合法设计校正装置，常常可以在频域中进行，或采用根轨迹法。而在频域中进行系统设计，是一种比较间接的方法，这是因为频域中设计满足的指标是频域指标，它与时域指标只有间接关系。但这种方法比较便捷，易于掌握。在频域中设计控制系统，要遵循的原则是：（1）开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；（2）开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；（3）开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制能力。因此对系统校正的目的是使校正后开环对数幅频特性具有期望的形状，即（1）低频段有足够大的增益，以保证系统的稳态精度要求；（2）中频段对数幅频特性过0dB线的斜率为−20dBdec，并占据一定的频带宽度；（3）高频段增益尽快减小，即高频段的斜率比较大，一般要小于−40dBdec，削弱噪声的影响。6.2频率法串联校正R1一、串联超前校正1、超前校正网络及特性网络传递函数：CR2R21+αTs11+αTsU1R2U2G(s)===×1R+R1+Tsα1+TsR//+R1212sc式中：α=(R+R)R>1称为衰减因子，T=RRc(R+R)1121212由于1α<1，所以校正网络作用于系统后，将会使整个系统（校正后）的开环增益下降α倍，从而降低系统的稳态性能，为此，应该在校正后的系统中，增大系统的开环放大倍数α倍，以补偿由于校正网络的作用造成的放大倍数下降。1+αTs因此，研究超前校正网络特性时，只需要研究G(s)=即可。1+Ts超前校正网络的对数幅频和对数相频特性曲线，如下所示。超前校正网络特性①在转折频率ω=1αT和ω=1T之间，网络具有明显的微分作用；12②在转折频率ω=1αT和ω=1T之间，网络具有相位超前作用，故超前网络也由此得名；12③在ω=ω处有最大的超前相位角ϕ，且ω位于ω=1αT和ω=1T之间的几何中心；mmm1293 《自动控制原理》电子教案1111ωm==×=ω1ω2，lgωm=lgω1ω2=(lgω1+lgω2)TααTT2④在ω=ω处，获得的超前相位角为mα−1α−1ϕ=arctg=arcsinm2αα+1该式表明，衰减系数α越大，超前相位角ϕ越大，从而微分作用越强。m1⑤在ω=ω处，对数幅频值为：L(ω)=10lgα=(0+20lgα)；mm2⑥超前校正网络可以看作为是一个高通滤波器（信号的高频部分通过，低频部分被衰减）。94 《自动控制原理》电子教案第27次课授课时间2学时授课题目（章、节）第六章控制系统的校正（2节）频率法串联超前校正的方法及步骤主要内容频率法串联迟后校正网络目的与要掌握超前校正网络的参数确定的方法及步骤求了解迟后校正网络重点：串联超前校正的方法及步骤重点与难点难点：串联超前校正的方法及步骤教学手段授课、例题讲解思考题或6-1作业题2、超前校正为了获得最大的相位超前量，应使得超前网络的最大超前相位发生在校正后系统的幅值穿越频率ω处，即校正后的幅值穿越频率ω′=ω，从而使校正网络在ω′=ω处产生的超前相位ϕ弥补校正ccmcmm前系统相位稳定裕度的不足，这就是超前校正的原理。依据超前校正的原理，校正的具体步骤是：①作出未校正系统的开环对数幅频特性L(ω)和相频特性ϕ(ω)具体做法：根据开环对数幅频特性L(ω)，检验系统的稳态性能。若不满足稳态误差要求，可按照要求增大开环放大倍数K值，即将开环对数幅频特性L(ω)向上平移，从而可以确定满足稳态性能要求的开环放大倍数K值。②利用上一步骤确定的开环放大倍数K值，结合开环对数相频特性ϕ(ω)，计算或由图获得校正前的截止频率ω和相位稳定裕度γ；c⎧未校正γ<期望的γ′⎪⎨未校正ωc<期望的ωc′⎪⎩未校正系统过0dB线的斜率小于或等于−40dBdec③计算需要补偿的超前相位角ϕ：m00具体做法：令ϕ=γ′−γ+(5～12)。式中∆γ=γ′−γ为需要补偿的相位角，(5～12)为增加m的裕量角。④计算衰减因子αα−1α−1具体做法：由上一步骤确定的超前网络补偿角ϕ，依据ϕ=arctg=arcsin，计算衰mm2αα+1减因子α得到：1+sinϕmα=1−sinϕm但是，如果对校正后系统的截止频率ω′已经提出要求，则可以选择期望的ω′作为校正后的截止频cc率，在对数幅频特性图上查找到未校正系统的在ω′处的幅值L(ω′)，取ω=ω′，并令ccmcL(ω′)+10lgα=0c由此可以求得衰减因子α。95 《自动控制原理》电子教案⑤确定校正后系统的截止频率ω′c具体做法：确定校正前系统的开环对数幅频特性的幅值等于−10lgα时的频率，选择此频率作为校正后系统的幅值穿越频率ω′（即截至频率），该频率即为校正网络产生最大超前相位角ϕ所对应的频率cm1ω，即ω==ωω。mm12Tα⑥确定校正网络传递函数111具体做法：由于ω==ωω，所以T==m12Tαωαω′αmc1ω′1c于是有：ω==，ω==aω′12cαTαT1+sω1校正装置的传递函数为：G(s)=c1+sω2校正后系统的开环传递函数为：G′(s)=G(s)G(s)。c⑦校验性能指标具体做法：由校正后系统的对数频率特性L′(ω)、ϕ′(ω)校验系统的性能指标是否满足要求，若不满足，则要重复上述的步骤，直至满足要求为止。例：某控制系统的开环传递函数为：G(s)=Ks(0.1s+1)(0.001s+1），对该系统的要求是：（1）系K0−1统的相位裕度γ′≥45；（2）静态速度误差系数Kv=1000(s)。求校正的传递函数。解：（1）由于系统为1型，所以静态速度误差系数就是系统的开环放大倍数，即K=Kv=1000；（2）未校正系统的开环传递函数为：GK(s)=1000s(0.1s+1)(0.001s+1）0画出未校正系统的Bode图，由图可求得，ωc=100,γ=0，系统处于临界稳定状态，故可采用超前串联校正。采用计算的方法同样可以得出一样的结论：由截止频率的定义可得2220lg1000−20lgωc−20lg(0.1ωc)+1−20lg(0.001ωc)+1=0由于10<ωc<1000，所以上式可以近似为：3220lg1000−20lgωc−20lg0.1ωc=20lg10−20lg0.1ωc=042即：20lg10=20lgωc，于是ωc=100相位裕度：0[0]γ=180+−90−arctg0.1ωc−arctg0.001ωc00=180−90−arctg0.1×100−arctg0.001×1000=0〔3〕确定超前补偿相角ϕm000000ϕm=γ′−γ+(5～12)=45−0+5=50（4）确定衰减系数α1+sinϕmα==7.51−sinϕm（5）确定校正后的截止频率ωc′由于：10lgα=10lg7.5=8.75dB，为此在未校正系统开环对数幅频L(ω)上找到幅值为−8.75dB对应的频率，即为校正后的截止频率ωc′ωc′=164.5(rad/s)用计算的方法求解如下：96 《自动控制原理》电子教案3220lg1000−20lgωc′−20lg0.1ωc′=20lg10−20lg0.1ωc′=−8.75求得校正后的截止频率ωc′：ωc′=164.19(rad/s)（6）求校正装置传递函数确定转折频率ω1,ω2。ωc164.5ω1===60(rad/s)α7.5ω2=αωc=7.5×164.5=450(rad/s)1+sω11+0.0167s校正装置传递函数为：Gc(s)==1+sω21+0.00222s（7）校验结果校正后系统的开环传递函数为：1+0.0167s10001000(1+0.0167s)G′(s)=Gc(s)G(s)=×=1+0.00222ss(0.1s+1)(0.001s+1）s(1+0.00222s)(0.1s+1)(0.001s+1）校验：①校正系统的开环放大倍数K=1000=Kv，满足系统的稳态性能要求；0②校正后的相位裕度γ′=45，满足稳定性能的要求；③中频段过0dB线时的斜率为−20dB/dec，且占据390(rad/s)的频带宽度，所以闭环系统的超调量下降；④由于校正后ωc′=164.5远远大于未校正时的ωc=100，所以闭环系统的频带宽度有效增加，从而使响应速度加快；3、串联超前校正的使用受限的2个主要因素①若未校正系统不稳定，为了得到要求的相位裕度，需要超前校正网络提供很大的相角裕量，这样一来，超前网络的衰减系数α就会很大，一方面使物理实现比较困难，另一方面，又会造成已校正系统的频带宽度过大，使得通过系统的高频噪声电平过高，很可能使系统失控；②对于在截止频率附近相角迅速减小的未校正系统，一般不适宜采用超前校正。这是因为随着截止频率的增大，未校正系统的相角迅速减小，致使校正后的系统相位裕度改善不大。二、串联迟后校正R11、迟后校正网络及特性网络传递函数：1R2R2+G(s)=sc=1+scR2=1+bTsUU21R+1+R1+sc(R1+R2)1+TsC12sc式中：b=R2(R1+R2)<1，T=(R1+R2)cb称为迟后网络的分度系数，表示迟后的深度。迟后校正网络的对数幅频和对数相频特性曲线，如下所示。97 《自动控制原理》电子教案第28次课授课时间2学时授课题目（章、节）第六章控制系统的校正（2节）迟后校正网络的特点主要内容迟后校正的方法和步骤目的与要掌握迟后校正网络的参数确定的方法及步骤求了解反馈校正的基本概念、反馈校正的基本原理及反馈校正的基本结构和方法重点与难重点：迟后校正的方法和步骤点难点：同上教学手段授课、例题讲解思考题或6-2作业题迟后校正网络特性：①在转折频率ω1=1T和ω2=1bT之间，网络具有明显的积分作用；②在转折频率ω1=1T和ω2=1bT之间，网络具有相位迟后作用；③在ω=ωm处，具有最大的迟后相位角ϕm，且ωm位于ω1=1T和ω2=1bT之间的几何中心；1111ωm==×=ω1ω2，lgωm=lgω1ω2=(lgω1+lgω2)TbTbT2b−1b−1④在ω=ωm处，获得的迟后相位角为ϕm=arctg=arcsin2bb+1该式表明，分度系数b越大，迟后相位角ϕ越大，从而积分作用越强。但迟后前相位ϕ的极限值mm0为−90，此时分度系数b为无穷大，从而使物理实现发生困难。1⑤在ω=ωm处，对数幅频值为：L(ωm)=10lgb=(0+20lgb)；2⑥迟后校正网络可以看作为是一个低通滤波器（信号的低频部分通过，高频部分被衰减）。在上述校正网络特性中，对系统起校正作用的是：①由于低频段与0dB线重合，故低频段对有用信号不产生衰减作用，因而不会影响系统的稳态性能；②由于高频段的幅频为20lgb<0dB，即具有高频衰减特性，所以这个特性作用于被校正对象后，可以使校正后的系统高频段尽快衰减，截止频率ωc′前移，从而改善系统的相位裕度γ；③由于相位迟后特性，特别是在ωm处，相位迟后角最大，为了避免相位迟后对系统相位裕度γ的影响，应该使校正网络产生最大迟后相角ϕm的频率点ωm远远小于系统的新截止频率ωc′。1ω′c通常可取：ω2===0.1ωc′bT10此时，迟后网络在ωc′处产生的相角迟后可按下式确定：ϕcc(ω′)≈arctg0.1(b−1)④串联迟后校正的使用场合一般ωc′<ωc，即校正后期望的截止频率小于未校正系统的开环截至频率。而由于新的截止频率ωc′的变小，因此迟后校正是通过压缩频带，牺牲系统的响应速度，来提高系统的稳定裕度的。2、迟后校正迟后校正的基本原理是利用迟后校正网络的高频幅值衰减特性，使校正后系统的幅值穿越频率（截止频率）下降，借助于校正前系统在该幅值穿越频率处的相位，使系统获得足够的相位裕度。98 《自动控制原理》电子教案依据迟后校正的原理，校正的具体步骤是：①作出未校正系统的开环对数幅频特性L(ω)和相频特性ϕ(ω)具体做法：根据开环对数幅频特性L(ω)，检验系统的稳态性能。若不满足稳态误差要求，可按照要求增大开环放大倍数K值，即将开环对数幅频特性L(ω)向上平移，从而可以确定满足稳态性能要求的开环放大倍数K值。②利用上一步骤确定的开环放大倍数K值，结合开环对数相频特性ϕ(ω)，计算或由图获得未校正前的截止频率ω和相位稳定裕度γ；c⎧未校正γ<期望的γ′⎨⎩未校正ωc>期望的ωc′③根据相位裕度的要求，选择并确定已校正系统的截止频率ω′；c具体做法：考虑到迟后校正网络在ωc′处会产生一定的相角迟后ϕ(ωc′)，因此下式成立：γ′=γ（ωc′）+ϕ(ωc′)式中γ（ωc′）为未校正系统在新截止频率ωc′处的相角，ϕ(ωc′)为校正网络在ωc′处的迟后相角，在ωc′未0确定之前，可取ϕ(ωc′)=−6。这样由公式γ′=γ（ωc′）+ϕ(ωc′)可以求得新截止频率ωc′。④确定迟后网络参数b和T⎧L(ωc′)+20lgb=0⎪⎨1=0.1ω′⎪c⎩bT100注意：可在(0.1～0.25)ωc′之间选取，ϕ(ωc′)可在(−6～−14)之间选取。bT⑤确定迟后校正网络传递函数ω1=1T,ω2=1bT1+sω2Gc(s)=1+sω1⑥校验结果具体做法：校验结果，若不满足要求，则要重复上述步骤。例：设单位反馈系统的开环传递函数为GK(s)=Ks(s+25)，要求系统的静态速度误差系数为0Kv=100，相角裕度γ≥45，采用串联迟后校正，试确定校正装置的传递函数。解：（1）根据Kv=100的要求，可确定开环放大倍数，因系统为型，故而Kv=K25=100，所以开环放大倍数K=25Kv=25×100=2500。开环传递函数为：GK(s)=2500s(s+25)=100s(0.04s+1)00（2）绘制未校正系统的伯德图，从图中可得：ωc=50(rad/)，γ=27<45也可计算得到：220lg100−20lgωc−20lg(0.04ωc)+1=0dB2因ωc>25,故(0.04ωc)>>1，所以上式可以近似为20lg100−20lgωc−20lg0.04ω=0求得：ωc=50(rad/)0000相位裕度：γ=180+ϕ(ωc)=180+[−90−arctg0.04×50]=26000（3）根据γ′≥45的要求，取γ′=45，ϕc(ωc′)=−6，则有γ′=γ（ωc′）+ϕ(ωc′)得到：0045=ϕ(ωc′)−600ϕ(ωc′)=51=−90−arctg0.04ω′99 《自动控制原理》电子教案求得：ωc′=20.2(rad/s)（4）未校正系统在ωc′=20.2(rad/s)处的幅值为L(ωc′)=14dB，这个值可以由图上量得，也可通过计算获得精确计算：2L(ωc′)=20lg100−20lgωc′−20lg(0.04ωc′)+12=40−20lg20.2−lg(0.04×20.2)+1=11.8dB近似计算2L(ωc′)=20lg100−20lgωc′−20lg(0.04ωc′)+1：≈40−20lg20.2=14dB（5）确定校正装置的转折频率由L(ωc′)+20lgb=0，可以得到20lgb=−L(ωc′)=−14dB，求得b=0.21于是：=0.1ωc′=0.1×20.2，求得T=2.5(s)bT（6）确定校正装置的传递函数1+bTs1+0.5sGc(s)==1+Ts1+2.5s（7）校验结果100(1+0.5s)校正后系统的开环传递函数为:G′(s)=Gc(s)G(s)=s(1+2.5s)(1+0.04s)校正后系统的性能指标：⎧′=1800+[−900+0.5×20−2.5×20−00γarctgarctgarctg0.04×20]=46.8>45⎨⎩Kv=100符合设计要求。100 《自动控制原理》电子教案第29次课授课时间2学时授课题目（章、节）第六章控制系统的校正主要内容控制系统的校正及设计上机实验熟悉应用MATLAB软件设计系统的基本方法目的与要熟悉应用SISODesignTool进行系统设计的基本方法求通过学习自行设计完成一个二阶系统串联校正设计任务重点与难重点：自行设计完成一个二阶系统串联校正设计任务点难点：自行设计完成一个二阶系统串联校正设计任务教学手段上机思考题或完成实验报告作业题一、实验目的1、掌握串联校正环节对系统稳定性的影响；2、了解使用SISO系统设计工具（SISODesignTool）进行系统设计。二、设计任务串联校正是指校正元件与系统的原来部分串联，如图1所示。图中，Gs()表示校正部分的传递函数，Gs()表示系统原来前向通道的传递函数。当co1+aTs1+aTsGs()=>(a1)，为串联超前校正；当G()s=(a<1)，为串联迟后校正。cc1+Ts1+Ts我们可以使用SISO系统设计串联校正环节的参数，SISO系统设计工具（SISODesignTool）是用于单输入单输出反馈控制系统补偿器设计的图形设计环境。通过该工具，用户可以快速完成以下工作：利用根轨迹方法计算系统的闭环特性、针对开环系统Bode图的系统设计、添加补偿器的零极点、设计超前/滞后网络和滤波器、分析闭环系统响应、调整系统幅值或相位裕度等。（1）打开SISO系统设计工具在MATLAB命令窗口中输入sisotool命令，可以打开一个空的SISODesignTool，也可以在sisotool命令的输入参数中指定SISODesignTool启动时缺省打开的模型。注意先在MATLAB的当前工作空间中定义好该模型。如图2为一个DC电机的设计环境。（2）将模型载入SISO设计工具通过file/import命令，可以将所要研究的模型载入SISO设计工具中。点击该菜单项后，将弹出ImportSystemData对话框，如图3所示。（3）当前的补偿器（CurrentCompensator）图2中当前的补偿器（CurrentCompensator）一栏显示的是目前设计的系统补偿器的结构。缺省的补偿器增益是一个没有任何动态属性的单位增益，一旦在跟轨迹图和Bode图中添加零极点或移动曲线，该栏将自动显示补偿器结构。（4）反馈结构SISODesignTool在缺省条件下将补偿器放在系统的前向通道中，用户可以通过“+/-”按钮选择正负反馈，通过“FS”按钮在如下图4几种结构之间进行切换。101 《自动控制原理》电子教案图2SISO系统的图形设计环境图3ImportSystemData对话框图4SISODesignTool中的反馈控制结构21、图1所示的控制系统，原开环传递函数为Gs()=，试用SISO系统设计工具（SISOoss(0.1+1)(0.3s+1)DesignTool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数K≤6，相角裕度为45°，并绘v制校正前后的Bode图，并计算校正前后的相角裕度。（1）将模型载入SISO设计工具2在MATLAB命令窗口先定义好模型Gs()=，代码如下：oss(0.1+1)(0.3s+1)num=2；den=conv([0.1,1,0],[0.3,1])；G=tf(num,den)得到结果如下：2----------------------0.03s^3+0.4s^2+s输入sisotool命令，可以打开一个空的SISODesignTool，通过file/import命令，可以将模型G载入SISO设计工具中，如图5所示。（2）调整增益根据要求系统的静态速度误差系数K≤6，补偿器的增益应为3，将图5中的C(s)=1改为3，如图5v所示。从图中Bode相频图左下角可以看出相位裕度γ=21.2°，不满足要求。（3）加入超前校正网络在开环Bode图中点击鼠标右键，选择“AddPole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到Bode图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标，得到如图6所示的系统。从图中Bode相频图左下角可以看出相位裕度γ=28.4°，仍不满足要求，需进一步调整超前环节的参数。（4）调整超前网络的零极点将超前网络的零点移动到靠近原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中相角裕度的增长，一直到相角裕度达到45°，此时超前网络满足设计要求。如图7所示。102 《自动控制原理》电子教案图5改变增益后的系统图6增加超前网络后的系统图7最后满足要求的系统3(1+0.26s)从图中可以看出来，超前网络的传递函数为，最后系统的K=6，γ=°45.9。v(1+0.054s)k2、图1所示的控制系统，原开环传递函数为Gs()=，试用SISO系统设计工具（SISOoss(0.2+1)DesignTool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数K≤100，相角裕度为30°，并v绘制校正前后的Bode图，并计算校正前后的相角裕度。3、使用SISODesignTool设计直流电机调速系统。典型电机结构示意图如图8所示，控制系统的输入变量为输入电压Ut()，系统输出是电机负载条件下的转动角速度ω()t。现设计补偿器的目的是通过a对系统输入一定的电压，使电机带动负载以期望的角速度转动，并要求系统具有一定的稳定裕度。图8直流电动机调速系统直流电机动态模型本质上可以视为典型二阶系统，设某直流电机的传递函数为1.5Gs()=2ss+14+40.02103 《自动控制原理》电子教案系统的设计指标为：上升时间ts<0.5，稳态误差e<5%，最大超调量M%1<0%，幅值裕度rssPL>20dB，相角裕度γ>°40。g系统设计步骤：（1）调整补偿器的增益如果对该系统进行时域仿真，可发现其阶跃响应时间很大，提高系统响应速度的最简单方法就是增加补偿器增益的大小。在SISO的设计工具中可以很方便的实现补偿器增益的调节：鼠标移动到Bode幅值线上，按下鼠标左键抓取Bode幅值线，向上拖动，释放鼠标，系统自动计算改变的系统增益和极点。既然系统要求上升时间ts<0.5，应调整系统增益，使得系统的穿越频率ω位于3rad/s附近。这是rc因为3rad/s的频率位置近似对应于0.33s的上升时间。为了更清楚的查找系统的穿越频率，点击鼠标右键，在快捷菜单中选择“Grid”命令，将在Bode图中绘制网格线。观察系统的阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和上升时间已得到改善，但要满足所有的设计指标，还应加入更复杂的控制器。（2）加入积分器点击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“AddPole/Zero”下的“Integrator”菜单，这时系统将加入一个积分器，系统的穿越频率随之改变，应调整补偿器的增益将穿越频率调整回3rad/s的位置。（3）加入超前校正网络为了添加一个超前校正网络，在开环Bode图中点击鼠标右键，选择“AddPole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到Bode图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标。从Bode图中可以看出幅值裕度还没有达到要求，还需进一步调整超前环节的参数。（4）移动补偿器的零极点为了提高系统的响应速度，将超前网络的零点移动到靠近电机原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中幅值裕度的增长。也可以通过调节增益来增加系统的幅值裕度。试按照上述方法调整超前网络参数和增益，最终满足设计的要求。三、实验步骤及结果k2、图1所示的控制系统，原开环传递函数为Gs()=，试用SISO系统设计工具（SISOoss(0.2+1)DesignTool）设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数K≤100，相角裕度为30°，并v绘制校正前后的Bode图，并计算校正前后的相角裕度。（1）将模型载入SISO设计工具k在MATLAB命令窗口先定义好模型Gs()=，代码如下：oss(0.2+1)num=1；den=conv([1,0],[0.2,1])；G=tf(num,den)输入sisotool命令，可以打开一个空的SISODesignTool，通过file/import命令，可以将模型G载入SISO设计工具中，如图所示：（2）调整增益根据要求系统的静态速度误差系数K≤100，补偿器的增益应为100，将上图中的C(s)=1改为100，v如图所示。从图中Bode相频图左下角可以看出相位裕度γ=12.8°，不满足要求。104 《自动控制原理》电子教案（3）加入超前校正网络在开环Bode图中点击鼠标右键，选择“AddPole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到Bode图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标，得到如下图所示的系统：从图中Bode相频图左下角可以看出相位裕度γ=12.9°，仍不满足要求，需进一步调整超前环节的参数。（4）调整超前网络的零极点将超前网络的零点移动到靠近原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中相角裕度的增长，一直到相角裕度达到30°，此时超前网络满足设计要求，如图所示。从图中可以看出来，超前网络的传递函数为100(1+0.21s)，最后系统的K=100，γ=°30.5。v(1+0.033s)3、使用SISODesignTool设计直流电机调速系统。直流电机动态模型本质上可以视为典型二阶系统，设某直流电机的传递函数为1.5Gs()=2，系统的设计指标为：上升时间tsr<0.5，稳态误差ess<5%，最大超调量s++14s40.02M%1<0%，幅值裕度L>20dB，相角裕度γ>°40。Pg系统设计步骤：（1）将模型载入SISO设计工具1.5在MATLAB命令窗口先定义好模型Gs()=，代码如下：2ss++1440.02num=1.5；den=[11440.02]；G=tf(num,den)输入sisotool命令，通过file/import命令，将模型G载入SISO工具中，如图所示：105 《自动控制原理》电子教案（2）调整补偿器的增益鼠标移动到Bode幅值线上，按下鼠标左键抓取Bode幅值线，向上拖动，释放鼠标，系统自动计算改变的系统增益和极点。既然系统要求上升时间ts<0.5，应调整系统增益，使得系统的穿越频率ω位rc于3rad/s附近。这是因为3rad/s的频率位置近似对应于0.33s的上升时间。此时，系统增益为34.8，如下图所示。观察系统的阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和上升时间已得到改善，但要满足所有的设计指标，还应加入更复杂的控制器。（2）加入积分器点击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中选择“AddPole/Zero”下的“Integrator”菜单，系统加入一个积分器，系统的穿越频率随之改变，应调整补偿器的增益将穿越频率调整回3rad/s的位置，此时系统增益为108，如下图所示：（3）加入超前校正网络在开环Bode图中点击鼠标右键，选择“AddPole/Zero”下的“Lead”菜单，该命令将在控制器中添加一个超前校正网络。这时鼠标的光标将变成“X”形状，将鼠标移到Bode图幅频曲线上接近最右端极点的位置按下鼠标。如图所示：106 《自动控制原理》电子教案从Bode图中可以看出幅值裕度还没有达到要求，还需进一步调整超前环节的参数。（4）移动补偿器的零极点为了提高系统的响应速度，将超前网络的零点移动到靠近电机原来最左边的极点位置，接下来将超前网络的极点向右移动，并注意移动过程中幅值裕度的增长。如图所示：从图中可以看出，此时幅值裕度L=20.5dB，相角裕度γ=65.1°，满足要求，穿越频率ω=3.98rad/sgc位于3rad/s附近，观察其阶跃响应，可以看到系统的稳态误差和超调量均满足要求，此时补偿器的传递函108(1+0.28s)数为Cs()=。s(1+0.028s)107 《自动控制原理》电子教案第30次课授课时间2学时授课题目（章、节）第七章非线性系统分析（1、2节）典型非线性特性、非线性特征及非线性系统分析方法主要内容描述函数的定义了解典型非线性特性（饱和、死去、滞环、继电特性）目的与要了解非线性特征（初值敏感性、稳定性、频率响应、自激振荡、极限环等）求了解非线性系统分析方法（描述函数法、相平面法）掌握描述函数定义（应用条件、描述函数定义）重点与难重点：典型非线性特性、描述函数定义点难点：非线性特征教学手段授课、例题讲解思考题或作业题7.1引言对于非线性系统，描述其运动状态的数学模型是非线性方程，它与线性系统的最大差别是不能使用叠加原理。一、非线性系统的特点（1）数学模型叠加原理无法应用于非线性微分方程中。（2）稳定性非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。研究非线性系统的稳定性，必须明确两点：一是指明给定系统的初始状态，二是指明相对于哪一个平衡状态来分析稳定性。（3）系统的零输入响应而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。当初始状态不同时，同一个非线性系统可有不同的零输入响应形式。（4）自激振荡或极限环有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。如果非线性有一个稳定的极限环，则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。二、非线性系统的研究方法目前工程上常用的分析非线性系统的方法有描述函数法、相平面法，以及分析非线性系统稳定性的更一般的方法，即李雅普诺夫直接法。当然，近几年发展起来的一些非线性系统分析法有：神经网络、分形理论、专家系统等等。y三、典型非线性特性（1）饱和特性M饱和非线性特性的数学描述k-a⎧Mx>axa⎪y=⎨kxxa-ax⎪k(x+a)x<−a⎩死区非线性出现在一些对小信号不灵敏的装置中，如测量元件、执行机构等。其特点是：当输入信号较小时，无输出信号；当信号大于死区后，输出信号才随着输入信号变化。y（3）滞环特性b滞环非线性也称为间隙非线性，其数学描述为⎧k(x−asignx)y≠0-y=⎨ax⎩b⋅signxy=0-滞环非线性主要存在于机械加工设备由于装配带来的间隙，其特性是：当输入信号较小时，输出为零；当输入信号大于a时，输出呈线性变化；当输入信号反向时，输出保持不变，直到输入小于-a时，输出才又呈线性变化。（4）继电器特性继电器非线性有双位继电器特性、具有死区的继电器特性、具有滞环的继电器特性、具有死区和滞环继电器特性。7.2描述函数非线性系统的描述函数表示，是线性部分频率特性表示法的一种推广。该方法首先通过描述函数将非线性特性线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。一、描述函数的定义（1）描述函数的基本概念设非线性环节的输入信号为正弦信号x(t)=Asinωt其输出y(t)一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数∞y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)n=1若非线性环节的输入输出部分的静态特性曲线是奇对称的，即y(x)=−y(−x)，于是输出中将不会出现直流分量，从而A0=0。12π12π式中：An=∫y(t)cosnωtd(ωt)，Bn=∫y(t)sinnωtd(ωt)π0π0同时，若线性部分的G(s)具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即y(t)=A1cosnωt+B1sinnωt=Y1sin(ωt+ϕ1)109 《自动控制原理》电子教案12π12π式中：A1=∫y(t)cosωtd(ωt)，B1=∫y(t)sinωtd(ωt)，π0π022A1Y1=A1+B1，ϕ1=arctgB1（2）描述函数的定义类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。22N(A)=Y1ejϕ1=A1+B1∠arctgA1AAB1显然，ϕ1≠0时，N(A)为复数。（3）描述函数的应用条件①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节G(s)串联的闭环结构。②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即y(x)=−y(−x)，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。③系统的线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。110 《自动控制原理》电子教案第U31U次课授课时间U2学时U授课题目（章、节）第七章非线性系统分析（2节）主要内容描述函数掌握描述函数（继电特性、饱和特性描述函数求法、常用非线性特性描述函数表）目的与要掌握组合非线性特性的描述函数（并联、串联）求重点与难重点：继电特性、饱和特性描述函数求法、常用非线性特性描述函数点难点：组合非线性特性的描述函数教学手段授课、例题讲解思考题或7-2作业题二、描述函数的求法描述函数求解的一般步骤是：①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的y(t)的数学表达式。②利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数N(A)。以继电器非线性特性为例，说明描述函数的求解方法。由于非线性为双位继电器，即在输入大于零时，输出等于定值M，而输入小于零时，输出为定值−M，故而，在正弦输入信号的作用下，非线性部分的输出波形为方波周期信号，且周期同输入的正弦信号2π。其波形如下图所示。由波形图可见，输出的方波周期信号为奇函数，则其傅氏级数中的直流分量与基波的偶函数分量系数均为零，即A0=0,An=0(n=1,2,3,",),Bn=0(n=2,4,6,")于是，输出信号y(t)可表示为∞4M1114Msin(2n+1)ωty(t)=(sinωt+sin3ωt+sin5ωt+sin7ωt+")=∑π357π2n+1n=04M取输出的基波分量，即y1(t)=sinωtπY14M于是，继电器非线性特性的描述函数为N(A)=∠ϕ1=AπA显然，N(A)的相位角为零度，其幅值是输入正弦信号幅值A的函数。111 《自动控制原理》电子教案常见非线性特性的描述函数：①继电器非线性描述函数Y14MN(A)=∠ϕ1=AπA②饱和非线性特性的描述函数B12k⎡aaa2⎤N(A)==⎢arcsin+1−()⎥(A≥a)Aπ⎢⎣AAA⎥⎦③其它常见非线性特性的描述函数，见Page291表7-1113例：研究非线性函数y=x+x的描述函数。24解：画出给定非线性特性曲线。显然，非线性特性为单值奇函数，所以A0=A1=0，12π113B1=∫(x+x)sinωtd(ωt)π024将x=Asinωt代入上式，得到12π11312π1133B1=∫(x+x)sinωtd(ωt)=∫(Asinωt+Asinωt)sinωtd(ωt)π024π024133=A+A216B1132于是，描述函数为N(A)==+AA216三、组合非线性特性的描述函数简单非线性基本连接形式有串联、并联。（1）非线性特性的并联计算总的描述函数为N(A)=N1(A)+N2(A)由此可见，若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。（2）非线性环节的串联112 《自动控制原理》电子教案两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。例：如下两个非线性特性相串联由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性，可见，k=2,a=2,∆=1，于是，等效非线性特性的描述函数为2k⎡a∆aa2∆∆2⎤N(A)=⎢arcsin−arcsin+1−()−1−()⎥π⎢⎣AAAAAA⎥⎦4⎡21222112⎤=⎢arcsin−arcsin+1−()−1−()⎥π⎢⎣AAAAAA⎥⎦113 《自动控制原理》电子教案第U32U次课授课时间U2学时U授课题目（章、节）第七章非线性系统分析（3节）主要内容描述函数分析法掌握非线性系统稳定性分析（负倒描述函数，描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特目的与要判据）求掌握自激振荡分析（自激振荡条件、自激振荡稳定性掌握自激振荡计算方法重点与难重点：非线性系统稳定性分析、自激振荡分析点难点：自激振荡分析教学手段授课、例题讲解思考题或7-6、7-7、7-8作业题7.3非线性系统的描述函数法采用描述函数法研究的非线性系统应该是如下结构。一、非线性系统的稳定性在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N可以用描述函数N(A)表示，线性部分G(s)则用频率特性G(jω)表示。由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性Φ(jω)如下C(jω)N(A)G(jω)Φ(jω)==R(jω)1+N(A)G(jω)1其闭环特征方程为1+N(A)G(jω)=0，从而有G(jω)=−N(A)上式−1N(A)称为非线性特性的负倒描述函数。利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是：①若G(jω)曲线不包围−1N(A)曲线，则非线性系统是稳定的；②若G(jω)曲线包围−1N(A)曲线，则非线性系统是不稳定的；③若G(jω)曲线与−1N(A)曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。 《自动控制原理》电子教案二、自激振荡的分析与计算由上述分析可知，当线性部分的频率特性G(jω)与负倒描述函数曲线−1N(A)相交时，非线性系统产生自激振荡。下面进一步分析自激振荡的条件和自激振荡的稳定性。①自激振荡条件1⎧G(jω)N(A)=1G(jω)=−，即⎨N(A)⎩∠G(jω)+∠N(A)=−π②自激振荡的稳定性所谓自激振荡的稳定性是指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够回到原来的等幅振荡状态的，称为稳定的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。如右图所示，线性部分的频率特性G(jω)与Im负倒描述函数曲线−1N(A)有两个相交点M1、M2，这说明系统有两个自激振荡点。对于M1点，若受到扰动使幅值A增大，则工作点将由M1点移至a点。由于a点不被G(jω)包围，aM1Reb系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A自动减小，振荡工作点将沿−1N(A)曲线又回到M1点。c反之亦然。所以M1点是稳定的自激振荡。dM2同理分析可知，M点是不稳定的自激振荡。2G(jω)判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A增大的方向沿−1N(A)曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A增大的方向沿−1N(A)曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。③自激振荡的计算对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由−1N(A)曲线的自变量A来确定，振荡频率ω由G(jω)曲线的自变量ω来确定。需要注意的是，计算得到的振幅和频率，是非线性环节的输入信号x(t)=Asinωt的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。例：具有理想继电器特性的非线性系统如下所示，其中线性部分的传递函数为G(s)=10s(s+1)(s+2)，试确定其自激振荡的幅值和频率。解：继电器非线性的描述函数为4M4N(A)==πAπA负倒描述函数为1πA−=−N(A)4当A=0→∞时，−1N(A)曲线为整个负实轴。线性部分的频率特性为2103010(2−ω)G(jω)==−−j4242jω(jω+1)(jω+2)ω+5ω+4ω(ω+5ω+4)画出G(jω)和−1N(A)曲线如下，由图可知，两曲线在负实轴上有一个交点，且该自激振荡点是稳定的。令Im[G(jω)]=0，即Im115−1N(A)-2-1Re 《自动控制原理》电子教案210(2−ω)2=0⇒2−ω=042ω(ω+5ω+4)将ω=2代入G(jω)的实部，得到30Re[G(jω)]=−=−1.66ω=242ω+5ω+4ω=21由G(jω)N(A)=−1，可得到−=G(jω)N(A)1πA即有−=−=−1.66N(A)4于是求得自激振荡的幅值为A=2.1；自激振荡频率为ω=2(rad/s)。116'