《信息与通信工程中的随机过程》习题解答第3章.pdf 10页

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'《随机过程》作业标准答案·第1章《随机过程》作业标准答案第三章随机数学分析（作者：张文策时间：2009年1月3日）3B-1设X是标准正态随机变量，试求YX=2的概率密度函数f()y。Y答案：标准正态随机变量概率密度函数为：x21−fx()=e2X2π根据等效事件等概率准则：FyY()=>0⎪⎪xy==⎨00⎪⎪⎪−+arcsin(),yy或πarcsin()−10∫∫dz0y=ze−z3B-9已知随机变量XX12,,,?Xn相互独立，且其相应的概率密度函数分别为fX1(),x1fXX2(),,()xf2?nxn，又已知YX11==,YXX212+,,?YXXnn=+++12?X，求证：随机向量YY12,,,?Yn的联合概率密度函数为fYY12?Yn(,,,)yy12?yn=fXX12()(yfyy121−)?fXnnn()yy−−1。答案：由已知得：f(,,,)xx??x=fxfx()()fx()XX?X12nX1X2Xn12nn12且：⎧⎪YX=⎪11⎪⎪⎪⎪YXX212=+⎨⎪?⎪⎪⎪⎪YXXX=++?⎪⎩nn12所以：⎧⎪XY=⎪11⎪⎪⎪⎪XYY21=−+2⎨⎪?⎪⎪⎪⎪XYY=−+⎪⎩nnn−1系数矩阵为下三角矩阵，容易求得Jocobi行列式为：J=1。所以：fy(,,,)yyJ??=−fy(,yy,,y−y)YY??Y12nXXX121nn−112nn12=−−fyfyyfyy()()?()XX121Xnn−112n得证。3B-10设X和X是两个独立同分布的、零均值的Gauss随机变量，试证明随机变量12YXX=+22是一个Rayleigh分布随机变量。12答案：根据等效事件等概率原则：FyY()=0。答案：补充定义R()τα==,τ0：由于：XlimR()τα==limsinτ/ταXττ→∞→∞所以Xt()均方连续。又：∂2Rtt(,)1X12=+lim⎡⎤Rt(ττ,t+)−Rt(+τ,)tRtt−(,+τ)+Rtt(,)⎣⎦XX121X2X∂∂tt12ττ12,→∞ττ121⎡⎤sin(ατ−τ)sinατsinατ=−lim⎢⎥12−1−2+αττ12,→∞ττ12⎢⎥⎣⎦τ1−τ2τ1τ2上式中，分别对sin(ατ−τ)，sinατ，sinατ进行Taylor展开，并忽略高阶项得到：12121⎡⎤sin(ατ−τ)sinατsinατlim⎢⎥12−−1−2+αττ12,→∞ττ12⎢⎥⎣⎦τ1−τ2τ1τ21α3=+lim⎡⎤ττττ22−(−)2⎢⎥⎣⎦1212ττ12,→∞ττ126α3=3所以，所以Xt()均方可导。又：第6页共10页《随机过程》作业标准答案·第1章∞∞∞∞sin(αtt−)Rtttt(,)dd=12ddtt∫∫X1212∫∫12−∞−∞−∞−∞tt−12∞=πdt∫1−∞从上式可知，对于R2空间上，Xt()不是均方可积的，但对于任意有限区间，Xt()是均方可积的，因为：bbRtttt(,)dd<∞∫∫X1212aa3B-33设Nt()是定义于时间区间⎡0,∞)上的平均到达率为λ的Poisson过程，试求随机过程⎣1tXt()=∫N()dττ的均值函数和自相关函数。t0答案：由已知得：mt()=λtNRts(,)=+λλ2tsmin(,)tsN由均方积分性质知：⎧⎫⎪⎪⎪⎪1tEXt{}()=E⎨⎬∫N()dττ⎪⎪⎪⎪⎩⎭t01t=∫EN{}()dττt0λt=2又：RttX(,+=ττ)EXtXt{}()(+)⎧⎫⎪⎪⎪⎪1tt+τ=EN⎨⎬()dττN()dττ∫∫1122⎪⎪⎪⎪⎩⎭t001tt+τ=R(,)ddττττ∫∫N1212tt()+τ001tt+τ=+λττ2λmin(,ττ)dττd∫∫121212tt()+τ00λτ2tt()(++λτtt23)=+46(t+τ)−ατ3B-35设宽平稳过程Xt()的自相关函数为R()eτα=>,0。试将Xt()在区间[,]−TT上X进行Karhunen-Loève展开。答案：决定标准正交函数系的特征方程为：Te(−−α||tuϕλuu)d(=ϕt)∫−T进一步展开得：tTλϕ(tu)e(=+−−αα||tuϕ)de(uu−−||tuϕ)du∫∫−Tt上式对t求导得：第7页共10页《随机过程》作业标准答案·第1章tTλϕ′()tu=−αe−−ααtu∫eϕ()duu+αeααtu∫e−ϕ()du−Tt对上式关于t再次求导得：tλϕ′′()tu=−α2e−−ααtu∫eϕ()duαeαteαtϕ()t−TT+−αϕ2ee(ααtu−−uu)deααteαtϕ(t)∫t=−αλϕ2()2()ttαϕ所以：λϕ′′()tt=−(αλ22)()αϕ当λ=0时，得到ϕ()t=0，没有意义。当λα=2/时，由ϕ′′()t=0知，ϕ()tA=+tB，代入特征方程求解待定系数，发现AB,须满足：B−+(1αT)=tanh()αtAα其中：eeααtt−−tanh()αt=e+eααtt−因为BA/为常数，所以λα=2/不是特征值。当λα>2/时令：αλ2(2−/)αaa2=>,0λ则：ϕϕ′′()tat=2()上述方程的通解为：ϕ()tc=+eatceat12待定系数时发现：ee−aTaTcc=12aa+−ααee−aTaTcc=21aa+−αα而不存在非零的cc,满足上式。12当02<<λα/时，令：αλ2(2−/)αbb2=−,0>λ所以：ϕϕ′′()tbt+=2()0上述方程的通解为：ϕ()tc=+ejbtce−jbt12待定系数时发现，要使λ是特征值，要求cc±=0，当cc=−时：1212btan(bT)=−α当cc=时：12αtan(bT)=b设bi,1=,2,.?为上述方程的解，求得响应的λ：ii第8页共10页《随机过程》作业标准答案·第1章2αλ==,1i,2,?i22α+bii为奇数时，对应cc=，此时特征函数为:12cosbtϕ()ti==i,1,3,5,?i1/2⎡⎤sin2bti⎢⎥T()1+2bt⎣i⎦i为偶数时，对应cc=−，此时特征函数为:12sinbtϕ()ti==i,2,4,6,?i1/2⎡⎤sin2bti⎢⎥T()1−2bt⎣i⎦因此，可以对Xt()进行K-L展开：∞Xt()=−∑Viiϕ(),tT≤t≤Ti=1T其中VX=()()dtϕ*ttii∫−T3B-38证明：偶函数的Hilbert变换为奇函数；奇函数的Hilbert变换为偶函数。答案：1设ht()=：πt那么：#∞Xt()=−∫Xt(τττ)()dh−∞#∞Xt()−=∫Xt(−−τττ)()dh−∞∞=−∫Xt()+τττh(−)d−∞∞=−∫Xt()−+τττh()d−∞由上式知道，若Xt()=−−Xt()，即Xt()为奇函数：##∞Xt()−=∫Xt(−τττ)()dh=Xt()−∞#Xt()为偶函数。若Xt()=−Xt()，容易得到：##∞Xt()−=∫−−Xt(τττ)()dh=−Xt()−∞#所以，Xt()为奇函数。得证。3B-41设随机过程Xt()=πAsin(2ΨΦt+)，其中A为常数，Ψ和Φ为互相独立的随机变量，Ψ的概率密度函数为偶函数，Φ为(,)−ππ内的均匀分布，试证明：①Xt()为宽平稳过程；②Xt()是均值遍历的。答案：第9页共10页《随机过程》作业标准答案·第1章①Xt()的均值函数为EXt{}{()=ΨEAsin(2πt+Φ)}∞π=+Atsin(2πψφ)()fψf()ddφφψ∫∫ΨΦ−∞−πA∞π=+ft()dψψsin(2πψφφ)d∫∫Ψ2π−∞−π=0Xt()的自相关函数：RtX(,+=ττt)EXt{}()+Xt()=ΨAE2{}sin[2πτ(t+)+Φ]sin[2πΨt+ΦA2=−Et{}cos[4ππΨ+2Ψ+Φ−τ2]cos[2πΨτ]2AA22=−Et{}cos[4ππΨ+2Ψ+Φ+τ2]E{}cos[2πΨτ]22A2∞=cos(2πψτ)()dfψψ∫Ψ2−∞∞=Af2()cos(2ψπψτ)dψ∫Ψ0Xt()的方差函数：var{}Xt()==−Ctt(,)Rtt(,)mt2()XXX∞=Af2()dψψ∫Ψ0A2=<∞2所以，Xt()均值函数为常数，自相关函数仅与时间差有关，且其方差有限，为二阶矩过程，所以Xt()为宽平稳随机过程。②Xt()在[,]−TT上的时间平均为：1T〈〉=Xt()Xtt()dT∫2T−T1T=Ψ∫Attsin(2π+Φ)d2T−TT1A=−cos(2πΨ+Φt)22TπΨ−T1A=−[cos(2ππΨ+Φ−TT)cos(2−Ψ+Φ)]22TπΨ因为：lim〈〉==Xt()0mt()TXT→∞所以Xt()是均值遍历的。第10页共10页'

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