《信息与通信工程中的随机过程》习题解答 第4章.pdf 9页

'《随机过程》作业标准答案·第4章《随机过程》作业标准答案第4章随机现象的数学建模（作者：安林峰时间：2009年12月24日）14B-1若Xt()的功率谱密度Sf()对f>时有Sf()0=，又对任意整数mn、有xx2E()(){XmXn}=−Nmnδ[]，求Xt()的功率谱密度。答案：由条件知Xt()为带宽为1的带限信号，根据采样定理有：∞sin(πtn−)Xt()=∑Xn()π()tn−n=−∞所以Rtx⎡⎤⎣⎦+τ,t=E{}Xt(+τ)()Xt⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∞∞sin(πτtm+−)sin(πt−n)=EX⎨⎬∑∑()mX()n⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭mn=−∞πτ()tm+−=−∞π(t−n)⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∞∞sin(πτtmt+−)sin(π−n)=EX⎨⎬∑∑()()mXn⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭mn=−∞=−∞πτ()tmt+−π(−n)∞∞sin(πτtmt+−)sin(π−n)=∑∑EXmXn{()()}πτ()tm+−π()tn−mn=−∞=−∞∞sin(πτtmt+−)sin(π−m)=N∑πτ()tmt+−π(−m)m=−∞对于宽平稳随机过程，Rt⎡⎤+=ττ,[tR]，故令t=0，有：xx⎣⎦sinπτRN[]τ=xπτ根据Wiener−Xinchin定理知：⎧⎪1∞⎡⎤−jf2πτ⎪⎪Nf,≤Sfx()=∫−∞Redx⎣⎦ττ=⎨⎪2⎪⎪⎩0,其它4B-3设gx()为如下式的三角形脉冲函数:⎧⎪⎪xx+−1,1≤≤0⎪⎪gx()=−+⎨x1,0≤≤x1⎪⎪⎪0,其他⎪⎩①若宽平稳随机过程Xt()的相关函数为Rgx()ττ=(/)T,T为正常数,试求Xt()的功率谱密度。②若宽平稳随机过程Xt()的功率谱密度为Sfx()=gfW(/)，W为正常数，试求Xt()的自相关函数。 《随机过程》作业标准答案·第4章⎧⎪ττ/TT+−1,≤≤0⎪Rg()ττ(/)t⎪⎪−+≤ττ/1TT,0≤答案：(1)由于x==⎨F⎪⎪⎪0,其他τ⎪⎩所以∞()=()ττ−j2πτfdSfxx∫Re−∞0T=++(/ττTe1)−−j2πτffd(/−ττTe+1)j2πτd∫∫−T0T=−+(/1ττTe)⎡−−j2πτff+ej2πτ⎤d∫⎢⎣⎥⎦0T=−+∫(/1τπTf)2cos(2)τdτ02⎛⎞⎜sinπfT⎟=⎟T⎜⎜⎟⎟⎝⎠πfT(2)由于⎧⎪f/WW+−1,≤f≤0⎪Sf()gfW(/)⎪⎪−+≤fW/1,0fW≤x==⎨⎪⎪⎪0,其他⎪⎩所以∞j2πτfRSxx()τ=∫()fedf−∞0w=+(/fWef1)j2πτffd+(/−fWef+1)j2πτd∫∫−W0W=−+(/fWeef1)⎡j2πτff+-j2πτ⎤d∫⎢⎣⎥⎦0W=−+∫(f/Wf1)2cos(2πτ)df02⎛⎞⎜sinπτW⎟=⎟W⎜⎜⎟⎟⎝⎠πτW4B-4若p()x为如下定义的矩形脉冲函数:⎧⎡⎤⎪1,x∈−1,1⎪⎣⎦px()=⎨⎪0,x∉−⎡1,1⎤⎪⎩⎣⎦试问是否存在一个宽平稳随机过程，其自相关函数为Rp()ττ=(T)?x答案：用反证法假设存在这样一个宽平稳随机过程，其自相关函数为pT()τ,则其功率谱密度可由Wiener−Xinchin定理求得∞Sf()=Red⎡⎤ττ−jf2πτx∫x⎣⎦−∞ 《随机过程》作业标准答案·第4章T=ed−jf2πττ∫−T1=sin2πfTπf不能保证Sf()0≥恒成立，即假设不成立x故不存在这样一个宽平稳随机过程。4B-5若R()τ是某宽平稳过程X()t的自相关函数，设随机过程Yt()的自相关函数为xR()cos(2τπτf)，试求Yt()的功率谱密度Sf()。.x0Y∞答案：Sf()=Rf()cos(2τπτ)e−jf2πτdτY∫x0−∞∞1−jf22πτjfπτ−jf2πτ=+Re()[ττ00eed]∫x2−∞1=−[(Sff)++Sff()]xx0024B-6若宽平稳过程X()t的功率谱密度Sf()为X⎧⎪Bf,,≤>ff0⎪11⎪⎪Sf()=<⎨Af,ff≤X⎪12⎪⎪0,ff>⎪⎩2其中，A和B为正常数。试求X()t的自相关函数。∞j2πτf答案：RX()τ=∫SfeX()df−∞AB=−(sin2πτfsin2πτff)+sin2πτ211πτπτ4B-7设Yt()=−−Xt()Xtd()，若X()t是自相关函数为RX()τ、功率谱密度为SfX()的宽平稳过程，试求RXY()τ、SfXY()、RY()τ、SfY()答案：由题意知REXY(ττ)=+=+−{}X()tY(t)E{X()(tτ⎡Xt)()Xt−d⎤}∞⎣⎦=+EXt{(ττ)()}{(XtEXt+−)(Xtd)}=−+RRdXX()ττ()∞−j2πτfSfXY()=∫ReXY()ττd−∞∞∞−−j2πτffj2πτ=−∫ReXX()ττd∫R(τ+d)edτ−∞−∞=−()()j2πfdSfSfeXX 《随机过程》作业标准答案·第4章RY()ττ=+=+EYt{}()()YtEXt{[(τ)−Xt(+τ−−dXt)][()Xtd(−)]}=+−+−EXt{}[(ττ)()]XtEXt{[()(Xtd)]}−+EXt{[(τ−dXt)()]}−+EXt{}[(τ−−dXtd)()]=−+2RRdXX(ττ)()()−−RdXτ∞−j2πτfSfYY()=∫Re()ττd−∞=−2()()j2ππfdf−()−j2dSfSfeXXSfeX4sin(2)()=πfdSfX4B-12设X为离散时间零均值的带限白噪声，其功率谱密度为n⎧≤⎪1,ffcSf()=⎨X⎪0,f≥f⎩c试对f<1/2求自相关函数Rk[],并对f=1/4给出Rk[]的值。cXcx∞答案：Rk[]=Sfed()jf2πkfx∫X−∞fc=edjf2πkf∫−fc⎧⎪=2,fk0⎪c⎪=⎨sin2kfπ⎪c,0k≠⎪⎪⎪⎩kπ当f=1/4c⎪⎧1/2,k=0⎪⎪Rkx[]=⎨sinkπ/2⎪⎪,0k≠⎪⎩kπ4B-15计算Poisson随机电报过程的3dB带宽和等效带宽。α答案：因为Poisson随机电报过程的概率密度为SfX()=απ222++f11SfX()在f=0取得最大值。设f1>0,并且SfXX()1=S(0)也就是α2α1=απ222++f2αα解上式得f1=。π因为Poisson随机电报过程为低通随机过程,所以其3dB带宽αB3dB=π其等效带宽∞∫SffX()dBeq=0SX(0) 《随机过程》作业标准答案·第4章∞α=α∫df0απ22+f2α=24B-17已知线性系统由微分方程YtYtXtt′()2()+=≥(),0和初始条件Y(0)=0定义。设输−τ入过程为Xt()，试求输出过程Yt()的表达式。若Xt()自相关函数ReX()τ=，试求Yt()的自相关函数RttY(,)12。答案(1)解的奇异部分()=−2t()。由Y(0)=0，得Yt()=0YtsCeUt又由ht()=eUt−2t()，解的正则部分Ytr()=∗htXt()()。(2)由()()()∗()RRhYXττ=∗∗ττh−[()](())(())((∗))LRYXττ=−LRLhττLh⎛⎞⎜⎜1111⎟⎟⎟⎛⎞⎛⎜⎞=−⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜−⎟⎝⎠SSSS+−+−1122⎝⎠⎝⎠1/31/31/61/6=−−+−,1Re()1<0⎪⎪ht()=⎨；ht()=⎨⎪⎪⎩0,其他⎪⎪⎩0,其他求Yt()的自相关函数、功率谱密度及Xt()和Yt()的互功率谱密度。答案：由题意得，Ⅰ，()()()∗(),RRhYXττ=∗∗ττττhT−=−τe−+24ταατ,0⎪⎪⎩∫−∞⎧⎪1⎪e2τ(1−≤2),ττ0⎪⎪⎪32=⎨⎪⎪1e−2τ(1+>2),ττ0⎪⎪⎪⎩321−2τ=+e(12)τ32功率谱密度：∞∞H()f==h()tet−−j2ππftdte2tet−j2ftd∫∫−∞01=(2+j2πf)2所以 《随机过程》作业标准答案·第4章21SfSfHfYX()==()()(4+4j2πf)2互功率谱密度：1SfSfYX()==X()()Hf(2+j2πf)2∗1SfSfXY()==X()()Hf(2−j2πf)2k24B-30设Yn[]=+−Xn[]βXn[1]，其中Xn[]是零均值的自相关函数为RkX()=ασ的随机序列，其中α<1。试求以下各量：()2SfY、SfYX()、RkYX[]、RkY[]、EYn{[]}，并求出当β为何值时，Yn[]为白噪声？答案：由题意知RkEYnkYX[]=+{[][]}Xn=+EXnk{[]++βXnk[−1][]}Xn=+−RkXX[]βRk[1]2⎡⎤kk−1=+σα⎢⎥βα⎣⎦RkEYnkYnY()=+{}[][]=+EXnk{}([]+ββXnk[+−+1])([]XnXn[−1])2=+RkXXX[]ββRk[]+−Rk[1]++βRkX[1]=+σα22kk⎡⎤1β+σβα2⎡⎤⎢⎥−+11+αk⎢⎥⎣⎦⎣⎦当Yn[]=+−Xn[]Xn[1]，有Yz()−1Hz()==1+βzXz()所以Hf()1=+βe−j2πf又由于∞Sf()=Rke[]−j2πfkXX∑k=−∞−∞1=+∑∑ασ−−kf2jee2ππkkfασ2j−2kkk=−∞=0⎡⎤αejf2π1=+σ2⎢⎥⎢⎥j2ππff−j2⎢⎥⎣⎦11−−ααeeσα22(1−)=12+−ααπ2cos2f因此σαβ22(1−+)(1e−j2πf)SfSfYX()==X()()Hf12+−ααπ2cos2fσαββπ222(1−+)(1+2cos2f)2SfSfHfYX()==()()12+−ααπ2cos2f 《随机过程》作业标准答案·第4章若Yn[]是白噪声，则SfY()为关于f的常数，即12++ββπ2cos2f=K12+−ααπ2cos2f解得βα=−或βα=−1/Yn[]若考虑为实随机过程，则{}22[][0](122)EYn==++RYσαββ4B-39窄带宽平稳过程Yt()=−At()cos2ππftBt00()sin2ft的Hilbert变换为，试证明：#①RRAY()ττ=+()cos2πfR00ττY()sin2πfτ②RRAB()ττ=()#③RRfAB()ττ=−Y()sin2π00ττRfY()cos2πτ答案：将题设中的两个等式进行线性变换，可得：#At()=+Yt()cos2ππftYt00()sin2ft#Bt()=−Yt()cos2ππftYt00()sin2ft按定义可以求得RA()τ，RA()ττ=+EAtAt{()()}##=++EYt{[()cos2ππftYt00()sin2]ftYt[()τcos2()()πft0+τ+Yt+τsin2()πft0+τ]}##=++RfYY()cos2τπ00tRfYcos2πτπ(tf)sin200t++RfYYsin2πτπ(tf)cos20t#=+RfYY()cos2τπ00ττπRf()cos2τ类似可得RB()τ，得RA()τ=RB()τ，REAB()ττ=+{(At)()}Bt##=+EYt{[()τπτcos2()()ft00++Yt+τπτsin2()ft+][Yt()cos2πftYt0−()sin2]πft0}#=−RfYY()sin2τπ00ττπRf()cos2τ4B-40对于窄带宽平稳过程Yt()=−Acos2ππftB00sin2ft,若其均值为零,功率谱密度为⎧⎪⎪WffBcos(−0)/π⎪⎪SfY()=+⎨Wcos(ff0)/πB⎪⎪⎪0⎪⎩式中W，B及f0都是正常数,且f02B。试求：①Yt()的功率谱密度；②At()的功率谱密度SfA()； 《随机过程》作业标准答案·第4章③互相关函数RAB()τ。答案：平均功率为2∞EYt{}()=∫SffY()d−∞−+fB00/2fB+/2=+∫∫WffBcos(00)/ππdf+−WffBcos()/df−ff0/−−BB20/21/21/2=+∫∫WBcosππffdWBcosffd−−1/21/2=4/WBπ因为宽平稳，故其自相关函数为#RRAY()ττ=+()cos2πfR00ττY()sin2πfτ做傅立叶变换得到：11SfYA()()()=−⎡⎤SffSff00+A++−⎡SffSffAB()()00−+AB⎤⎣⎦⎣⎦22j由于功率谱密度函数都是实函数，即SfY()、SfA()、SfAB()为实函数。所以SfAB()=0，RAB()0τ=SfA()=−2cosWfBπ/,1/2≤fB/≤1/2'