基础物理习题第五单元答案详解(湖北教育出版社).pdf 15页

'《《《基础物理学《基础物理学》》》习题解答》习题解答配套教材：《基础物理学》（韩可芳主编，韩德培熊水兵马世豪编委），湖北教育出版社（1999）第五章静电场思考题1q5-1根据点电荷的场强公式E=×，当所考察的点与点电荷的距离r®0时，则24per0场强E®¥，这是没有物理意义的。对这个问题该如何解释？答答答：答：：：当r®0时，对于所考察点来说，q已经不是点电荷了，点电荷的场强公式不再适用。rrFr1qr05-2E=与E=×r两公式有什么区别和联系？2q4per00答答答：答：：：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电场分布。静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。5-3如果通过闭合面S的电通量F为零，是否能肯定面S上每一点的场强都等于零？evv答答答：答：：：不能。通过闭合面S的电通量F为零，即E×dS=0，只是说明穿入、穿出闭合面Se∫S的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S上每一点的场强都等于零。r5-4如果在闭合面S上，E处处为零，能否肯定些闭合面一定没有包围净电荷？vv1答答答：答：：：能肯定。由高斯定理∫E×dS=∑q内，E处处为零，能说明面内整个空间的电荷代eS0数和∑q内=0，即此封闭面一定没有包围净电荷。但不能保证面内各局部空间无净电荷。必然，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E处处为零∑q内=0，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。rrrr5-5电场强度的环流∫E×ld表示什么物理意义？∫lE×ld=0表示静电场具有怎样的性l质？rr答答答：答：：：？（自己解答的）电场强度的环流∫E×ld说明静电力是保守力，静电场是保守力场。lrr∫lE×ld=0表示静电场的电场线不能闭合。如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电 vv场线作为积分回路，由于回路上各点沿环路切向，得∫E×ld¹0，这与静电场环路定理L矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。5-6在高斯定理中，对高斯面的形状有无特殊要求？在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有无特殊要求？如何选取合适的高斯面？高斯定理表示静电场具有怎么的性质？5-7下列说法是否正确？请举例说明。（1）场强相等的区域，电势也处处相等；（2）场强为零处，电势一定为零；（3）电势为零处，场强一定为零；（4）场强大处，电势一定高。答答答：答：：：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电力线为平行线，则电力线的方向，是电势降低的方向，而垂直电力线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平行板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。v（2）不正确。E=-ÑU，E=0，电势U是常数，但不一定是零。例如均匀带电球面内部q场强为零，若取无穷远为电势零点，其球内电势U=U=¹0。表面4peR0v（3）不一定。E=-ÑU，U=0，但U的变化率不一定为零，即场强不一定是零。v（4）不一定。E=-ÑU，场强大处，电势不一定高。例如负电荷产生的电场，离电荷越近的点场强的值越大，但电势越低（去无穷远处为电势零点）。s5-8设一带电导体表面上某点附近面电荷密度为s，则紧考该处表面外侧的场强E=，e0若将另一带电体移近，该处场强是否改变？这场强与该处导体表面的面电荷密度的关系是否仍具有sE=的形式？e05-9为什么带电的胶木棒能把中性的纸屑吸引过来？答答答：答：：：带电的胶木棒使中性的纸屑发生极化，表面出现极化电荷，而纸屑质量很小，所以能够把纸屑吸引过来。5-10电势与场强的关系式有积分形式和微分形式，在怎么的情况用积分形式计算较方便？又在怎样的情况用微分形式计算较方便？5-11试把这一章的内容小结一下。本章是如何研究场的？补充1：在电荷非对称性分布的情况下，高斯定理是否成立？是否能直接由高斯定理求出电场分布？是否凡是电荷对称分布的情况都可以用高斯定理求解电场分布？用高斯定理求解静电场时，同一题目中高斯面的选取方法是否唯一的？答答答：答：：：对任何场源电荷分布产生的静电场，任何形状的高斯面（闭合曲面）高斯定理均成立。但当电荷非对称分布时，虽然高斯定理成立，却很难找到恰当的高斯面，使高斯定理vv1∫E×dS=∑q内中，左边的积分式能够积出，所以不能直接由高斯定理求出电场分布。eS0也不是凡电荷对称分布的情况都能找到恰当高斯面，直接由高斯定理求其电场分布的。如均匀带电圆环的电荷分布是对称的，但却很难用高斯定理直接求解其电场分布。只有当电荷分布具有某些对称性时（如某些轴对称、球对称、面对称情况），才能选到合适的高斯面，使高斯定理左边的积分式能积出，从而方便地求出电场分布。求解过程中，同一题目中高斯面 的选取方法不一定是唯一的。例如，求无限大带电平面的电场分布时，8.3题图中的两种选取方法都是可行的（还可以有多种选取方法，只要高斯面的端面平行于带电平面，对带电平面对称，其母线垂直于带电平面，端面可为任意形状）。补充2：：：如何理解恒定电场与静电场的联系与区别？答答答：答：：：当金属导线中有恒定电流通过时，导线内出现的电场是恒定电场。产生横定电场的电荷不随时间而变。从这个意义上说，恒定电场和静电场相同，适用于静电场的高斯定理、环路定理，对恒定电场依然适用。换句话说，恒定电场和静电场的性质是相同的。但是，静电场只是恒定电场的特例。静电场是静止电荷所激发的，静电平衡条件要求电荷不流动，即没有电流，静电场中导体内部的电场强度必为零。而恒定电场是不随时间而变的电荷分布激发的，电荷并不静止。因此，恒定电流条件下的导体内部电场强度可以不为零。补充3：：：已知电荷面密度为s的无限大带电平板两侧场强大小E=s，这个公式对于有限2e0大的均匀带电面的两侧紧邻处也成立，而静电平衡导体表面紧邻的场强sE¢=，为什么比e0前者大一倍？答答答：答：：：所谓无限大带电平板，是忽略了厚度的几何面，实际上，任何带电薄板都是有厚度的，以金属板为例：其电荷分布在两个表面上。设s=s则E=s中s=s1+s2=2s1。而122e0静电平衡的导体内部场强为零，紧邻处的场强公式sE¢=中的s即表面处电荷密度s1（或e0s）所以这两个公式是不矛盾的。2补充4：在有电介质存在的情况下，是否场中任一点电场强度都比无电介质时小？举例说明。答答答：答：：：不一定，如图所示，在充电的平行板电容器间放置一块电介质，则在介质端面外A，B处束缚电荷产生的附加电场与电容器极板上电荷产生的电场互相加强，这些点的总场强比无电介质时大。而在C点，二者方向相反，则总场强比无电介质时小补充5：：：当电场强度相同时，电介质内电场能量密度比真空中大，这是为什么？答答答：答：：：这是由于电介质极化时，表面出现束缚电荷，其附加电场与原电场方向相反，削弱了电介质内部的电场。于是要在电介质中建立起与真空中相同的电场，就需要做更多的功，从而介质内积蓄的电场能量较多，能量密度较大。习习习题题题§5-1库仑定律＋＋＋§5-2静电场电场强度5-1两个电量都是+q的点电荷，相距2a，连线的中点为O。今在它们连线的垂直平分线上放另一点电荷q’，q’与O点相距r。（1）求q’所受的力；（2）q’放在哪一点时，所受的力最大？qq"F解解解：解：：：（1）F=2sinqF(22)4per+a0rqq"rqsinq=F=3r2+a22pe(r2+a2)20rqaa+q+q 31qq×2"pe(a2+r2)2-qq"r×3pe(a2+r2)2×2p00（2）F¢(r)=22(22)34pea+r0222令F"(r)=0，解得：a=2rr=a22故q’放在离o点a处时，所受的力最大。25-2若电量q均匀地分布在长为L的细棒上，求证：1q（1）在棒的延长线上，离棒中心为a处P点的场强为E=22pe04a-L1q（2）在棒的垂直平分线上，离棒为a处Q点的场强为E=2peL2+a204若棒为无限长时（即L®¥），将结果与无限长带电直线的场强相比较。证明：：：（1）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。qdxdqLqdxdE===2224per4pe(a-x)4peLa(-x)000Lqdx1qE=2=∫L222-4peLa(-x)pe4a-L200（2）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。由于Q点位于棒的垂直平分线上，由对称性可知，棒在Q点水平方向上场强为零。现只须求其竖直方向上场强分量。qdxdqLaaqdxdE==×=4per24pe(x2+a2)x2+a24peLx(2+a23/2)000LLaqdxaqx1qE=2=[]2=∫L223/2222L22-4peLx(+a)4peLax+a-2peaL+4a20020若棒为无限长时，则上两式变为:¥qdxq1¥(1)E==[]=0∫-¥2-¥4peLa(-x)4peLa-x00¥aqdxaqx¥aq2ql(2)E==[]===∫-¥4peLx(2+a23/2)4peLa2x2+a2-¥4peLa22peLa2pea000005-3一半径为R的半细圆环，均匀地分布+Q电荷。求环心的电场强度大小和方向。Qdq解解解：解：：：在圆周上任取电荷元dq=.dl，它的场强大小为dE=由于电荷相对于y2pR4peR0轴对称，知合场强应沿y方向，故-QE=E=dE=dE(-cosq)=cosqdly∫y∫∫234peR0p2-Q-Q因为dl=Rdq，故E=cosqdq=23∫224pe0Rp2pe0R-2上式中“-”表明：当Q>0时，E的方向与图中y轴的正方 向相反，而Q<0时，E的方向同y轴的正方向。5-4一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为s。求球心处电场强度的大小。dq解解解：将半球面无限分割成小圆环，令涉圆环所带的电荷为电荷元dqq()2dq=s×2prsinq×rdq=2pRssinqdq根据书本P132上带电圆环在轴线某点产生场强的公式2dq2pRssinqcosqdqssin2qdqdE=cosq==224peR4peR4e000ppssin2qdq-scos2q22ssE=∫2===04e8e8e4e000005-5一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为s，求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。解解解：解：：：不妨将平面看成一个无洞的大平面和带负电且半径为R的圆盘的叠加。rsr无洞的无限大平面所产生的电场为匀强电场E=i，带负电、电荷面密度为s，半12e0r-srr径为R的圆盘在轴线上离轴心距离为r处的场强为：E2=1-i2e220r+Rrrr-sr故E=E+E=i，方向在圆洞的轴线上。12222er+R0§5-3高斯定理5-6大小两个同心球面，小球半径为R1，带电q1，大球半径为R2，带电q2。求空间电场强度的分布。问电场强度是否是坐标r（即离球心的距离）的连续函数？解解解：解：：：当0££rR时，1vvq2以半径为r作球面，由高斯定理∫EdS×=4pr×E=,此时q=,E=0Se0当R££rR时，以r为半径作球面，由高斯定理12vv2qq1EdS×=4pr×E=,此时q=q,E=∫S12e4per00当r³R时，以r为半径作球面，由高斯定理2vv2qq1＋q2EdS×=4pr×E=,此时q=q＋q,E=∫S122e4per0000££rR1q1综上所述E=R££rR可知电场强度在两球面处不连续。2124per0q＋q12r³R224per0 5-7两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2>R1），带有等值异号电荷，每单位长度的电量为l（即电荷线密度）。求距轴为r处的场强（1）rR2和（3）R1R2的区域E=2pre05-8一无限长的半径为R的圆柱体内，电荷是均匀分布的。圆柱体单位长度的电荷为l。用高斯定理求圆柱体内距轴线的距离为r一点的场强。解解解：解：：：圆柱无限长，且电荷分布均匀，电场是轴对称且垂直于轴。所以上下表面磁通量为0。2rrrrlhr∫sE×dS=∫Ecosqds=2prhE∫sE×dS=e0R2方向垂直于轴线。lhrlr2prhE=⇒E=2e0R2pe0R-95-9均匀带电的圆环，半径为R=5.0cm，总电量q=5.0×10C.（1）求轴线上离环心距离为x=5.0cm处的A点的场强；（2）轴线上哪些点处的场强最大？量值为多大？q解解解：解：：：（1）在圆环上取一小段dl，则dq=dl2pR1dqxqxdl则dE=×=4pex2+R2x2+R28pe2(x2+R23/2)002pRqxdlqxE==∫08pe2(x2+R23/2)4pe(x2+R23/2)00-9代入R=5cm005m,q=5.010C＝.´，x=5.0cm＝0.05m,可得-95.010´´0.053E==6.910N/C´-12223/243.148.8510´´´´005(0.05.´+0.05)§5-4电势电势差＋＋＋§5-6静电场中的导体 5-10用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆弧，两端间空隙为2.0cm。电量为3.12-9×10C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。解解解：有补偿法可知：E0=E圆+E空=E空设孔隙长为a，显然a<>a），带有等量而异号的电荷，单位长度上的电量为l。求这两根导线的电势差（每一导线为一等势体）。（提示：先计算两导线连线上任一点的场强）。解解解：解：：：令a点在两平行导线连线上的任意一点，且距离导线的距离为r，l则导线1在a点处产生的场强为E=12pre0l导线2在a点处产生的场强为E=22p(d-r)e0ld又因为E1，E2方向相同，两者相加E=E1+E2=2pr(d-r)e0d-avvld-aU=E×rd=ln12∫peaa05-13参看题5-2，求该题中P点和Q的电势。能否从电势的表示式，由电势梯度算出P点和Q点的场强？解解解：（解：（1）））取坐标如图所示），设P点到原点的距离为a，在距原点O为x处取长dx的线元，则相应的电荷元为qqdxdq=ldx=dx，以dq作为电荷元，则它在P点的电势为：du=dq=L=qdxL4per4pea4pe(a-x)000LLLLx+U=2du=2qdx=-q[ln(xl-)]2=qln2∫L∫LL--4peLa(-x)4peL-4peLL220020x-2LLLx+(x+)(-x-)¶Uq222qE=-==xLLLx2L2¶4pe2pe(4-)0x-(x+)022 （（（2）））取坐标如图所示），设P点到原点的距离为a，在距原点O为x处取长dx的线元，则q相应的电荷元为dq=ldx=dx，以dq作为电荷元，则它在P点的电势为：LqdxdqLqdxdu===4per4pea2+x24peLa2+x2000L2L2LLL+a+()22qdxq222q22U=du==[ln(x+a+x)]=ln∫L∫L22L--4peLa+x4peL-4peLLL220020-+a2+-()2222L2L+a+q24=ln4peLLL202-+a+242L2L+y+¶U-q24qE=-=(ln)¢=y¶y4peLLL22pey4y2+L2020-+y+24vqv距为处的点场强为OaQE=j222pea4a+L05-14已知半径为R的均匀带电球体，带电q，处于真空中。（1）用高斯定理求空间电场强度的分布；（2）用电势定义式求空间电势的分布。解解解：解：：：因为电荷呈球对称分布的带电球体产生的电场也具有球对称的场强分布。所以可用真空中的高斯定理进行求解。vvq2∫EdS×=4prE=Se（1）当r>R时，取半径为r的球面作为高斯面0q得E=24per0当r£R时，取半径为的球面作为高斯面r。43vvq¢qpr23∫EdS×=4prE=＝See4300pR3qr得E=34peR0（2）由电势的定义式来求解当r>R时，¥vv¥vv¥qqU=Edl×=Edr×=dr=∫P∫r∫r4per24per00当r£R时¥vv¥vvRqr¥q(R2-rq2)q(3R2-rq2)U=Edl×=Edr×=dr+dr=+=∫P∫r∫r4peR3∫R4per28peR34peR8peR300000 5-15两块无限大的导体平板A、B，平行放置，间距为d，每板的厚度为a，板面积为S。现给A板带电QA，B板带电QB，如：（1）QA、QB均为正值时，（2）QA为正值、QB为负值，且|QA|<|QB|时，分别求出两板各表面上的电荷面密度以及两板间的电势差。解解解：解：：：设静电平衡时，1、2、3、4各表面的电荷面密度分别为s、s、、ss。此时两导1234体板内任意两点P、P处的电场强度E=E=0；而这两点的电场强度都是由四个带电12P1P2表面的电场强度叠加而成的。建立如图所示的坐标，则有:ssssssss12341234E=++-=0①E=++-=0②P12e2e2e2eP22e2e2e2e00000000又(s+s)S=Q③12A(s+s)S=Q④34B联立①②③④，可得Q+QQ-QABABs=s=s=s12S22S14s=-sQ-QQ+Q23BAABs=s=342S2Ss(Q-Qd)3BA(1)Q、Q均为正值时，s<0,s>0，U=U-U=Ed=d=AB23BABAe2eS00s(Q-Qd)2AB(2)Q>0、Q<0时，s>0,s<0，U=U-U=Ed=d=AB23ABABe2eS005-16大小两个同心球面，小球半径为R1，带电q1，大球半径为R2，带电q2，试求空间电势的分布。解解解：解：：：带电球面的电势分布：球面内：U=q4pe0R球面外：U=q4per由叠加原理可以计算各区域的电势分布0qqqq1212r£R:U=+R30会被击穿12气d291.25-20在两板相距为d的平行板电容器中，插入一块厚d/2的金属大平板（此板与两极板相平行），其电容变为原来电容的多少倍？如果插入的是相对介电系数为er的大平板，则又如何？解解解：解：：：设极板AB上分别带电量+q和-q；金属导体将处于静电平衡状态，金属片上与A板相对面的的感应电荷为-q，与B板相对面的感应电荷为+q。与A板距离为d，与B板距1qq离为d，金属片与A板间场强为E=，金属片与B板间场强为E=，金属片212eSeS00内部场强为E¢，则两板间的电势差为qqqdU-U=Ed+Ed=(d+d)=(d-d)2/=AB112212eSeS2eS0002eS由此得0C=q/(U-U)=因C值仅与d、金属板厚度有关，与无关，故金ABd属片的安放位置对电容值无影响。（2）插入介电常数为e的大平板后，介质被极化，在上下两个面上将会出现极化电荷的分rrrrrr布，极化电荷面密度为s¢。电介质中的场强为合场强E=E+E¢，E和E¢为原电容器产00q生的场强和极化电荷产生的场强。用公式C¢=来求电容。此时，电容器两极板之U-Uab间的电势差为：U-U=Ed+E¢d=E(1+1)dab0022e2r qq2eq2e所以C¢===r=rCU-U1de+1Ede+1abE(1+)r0r0e2r5-21一导体球带电q，半径为R，球外有两种均匀电介质，一种介质（er）的厚度为d，另一种介质为空气，充满其余整个空间。rr（1）求离球心O为r处的电强度E和电位移D；（2）求离球心O为r处的电势U；（3）说明第一介质边界面上的极化电荷分布情况。5-22半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分另别为a和b，相对介电数为er，求：rr（1）介质内外的电强度E和电位移D；（2）求离球心O为r处的电势U；（3）如果在电介质外罩一半径为b的导体薄球壳，该球壳与导体球构成一电容器，这电容器的电容多大？解解解：解：：：（1）由于同心金属球和球壳周围的电场具有球对称性，vvrr由介质中的高斯定理∫sD×dS=Q和公式D=ee0rE求得vvvv2当rb时：D×dS=D4pr=QD=rE=r∫s4444pr2044per200rrvQv（（（2（222））））由由由由电极化强度公式电极化强度公式P=ee(-1)E来求：在介质内部，E=r0r3204peer0rrrQvQ(e-1)vrP=ee(-1)E=ee(-1)r=r0r30r20204peer4per0rrQ(e-1)¢==r极化电荷面密度在数值上满足sP24perrQ(e-1)¢==rsPaa24peaRr所以而介质内部没有极化电荷。Q(e-1)¢==rsPbb24pebrba(3)(3)用电势的定义式来求(3)用电势的定义式来求当r