声学基础 课后答案.pdf 83页

'习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。1Km解：由公式f得：o2Mm2K(2f)mm1-2设有一质量M用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子m的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点M在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？m1g（答：f，g为重力加速度）02l图习题1－2解：（1）如右图所示，对M作受力分析：它受重力Mg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两mm力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sinl受力分析可得：FMgsinMgmml（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位2d移的方向相反。由牛顿定律可知：FMm2dt 22ddg则MMg即0,mm22dtldtl2g1g即f,这就是小球产生的振动频率。00l2πl1-3有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x处，挂着一质量M，如图所示，试问：0m(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？图习题1-3(2)当外力去掉后，质量M在此恢复力作用下产生振动，它m的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对M进行受力分析，见右图，mlxx00FTT0x2222(lx)x00222222（x，xx,(lx)(lx)。）00000FTTy2222(lx)x00TTlxx00Tlx(lx)00Tl可见质量M受力可等效为一个质点振动系统，质量MM，弹性系数k。mmx(lx)00Tl（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F，方向为竖直向下。x(lx)00KTl（2）振动频率为。Mx(lx)M00ml（3）对分析可得，当x时，系统的振动频率最低。021-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x位置处悬有一质量为M0 的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移以保持力的平衡，并假定M0离平衡位置的振动位移很小，满足条件。00图习题1－42cosTMg4解：如右图所示，受力分析可得cos0Mg01ll22d0又，TT"，可得振动方程为2TM0lt2d22d4TT4即M20dtll14Tl1Mg1gf2MM22001-5有一质点振动系统，已知其初位移为，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。0解：设振动位移acos(0t)，速度表达式为v0asin(0t)。由于，v0，t00t0代入上面两式计算可得：cost；00vsint。00012122振动能量EMvM。mam0a221-6有一质点振动系统，已知其初位移为，初速度为v，试求其振动位移、速度、和能量。00 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K，质量为M，取正方向沿x轴，位移mm为。2d22Km则质点自由振动方程为0,（其中,）200dtMm解得cos(t),a00dvsin(t)cos(t)0aa00000d2t122200acosa00v00当t00，vvt00时，v00acos(0)arctanv020001222v0质点振动位移为vtcos(arctan)0000000222v0质点振动速度为vvcos(tarctan)0000200112222质点振动的能量为EMvM()vmam0002211-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加sintsin2t，2试问：(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？1解：sintsin2t，2dcostcos2tdt2d22sint2sin2t。2dtd令0，得：t2k或t2k，dt32k3经检验后得：t时，位移最大。2d1令0，得：tk或t2karccos()，2dt42k经检验后得：t时，速度最大。 1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示cos(t)cos(t)1122试证明cos(t)a221sin12sin2其中2cos()，arctana121221coscos1122证明：cos(t)cos(t)1122costcossintsintcoscostsinsin11112222costt(coscos)sin(sinsin)11221122设Acoscos，B(sinsin)1122112222B则AcostBsint=ABcos(t)（其中arctan()）A222222又ABcoscos2coscos112212122222sinsin2sinsin11221212222(coscossinsin)12121212222cos()121221Bsinsin1122又arctan(arctan())Acoscos11222222令AB2cos()a121221则cos(t)a1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示coswtcoswt(ww)112221试证明cos(wt)，a1222sin(wt)其中2cos(wt),arctan,www.a121212cos(wt)12解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， 222cos(wtwt)a121221222cos(wt)1212其中，www。21由三角形面积知，11sinwtsin121a22sinwt2得sinasinwt2得tg222sinwta2sinwt22(coswt)12sinwt2coswt12sinwt2故coswt12即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mg＝Kmξ1Km＝mg/ξ11KmKmmg由质点振动系统固有频率的表达式f得，M.02Mm2222m4f04f01纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。1Km2解：由f得K(2f)M0m0m2Mm1Km2由f得K(2f)(Mm,)0m0m2Mmm 2222mf4mff000联立两式，求得M，Km22m22ffff00001-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图1-2-3图1-2-42dK1mK2mK1mK2m解：串接时，动力学方程为M0，等效弹性系数为K。m2dtKKKK1m2m1m2m2d并接时，动力学方程为M(KK)0，等效弹性系数为KKK。m21m2m1m2mdt1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？2解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g9.8ms，月球表面的重力加速度为gMg1g由虎克定律知FKx,又FMg则Kg10MMx0.12M10g109.8T21则M2.5kg22K440x1又则xm0.04x0.4K22MgKx则gx40.041.58msM2故月球表面的重力加速度约为1.58ms，而该岩石的实际质量约为2.5kg。1-14试求证acostacos(t)acos(t2)acos(t(n1)) sinn2(n1)acost2sin2jtj(t)j(t2)j(t(n1))证aeaeaeaejtjae(1e)jnjt1ejt1cosnjsinnaeaej1e1cosjsin2nnnn2sinjsinnsinsinjcosjt2jt222aeae22sinjsinsinsinjcos2222nnnnsinj(22)sinn1sinn1ejj(t)aejt2aejt2e2a2e21j()sine22sinsin222同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧K在它上面加一重物M，构成一振动系统，其固有频率为f，mm0(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率f不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？01Km解：固有频率f。o2MmfK0m（1）fK，故应该另外串接三根相同的弹簧；0m24MmM（2）mK2K，故应该另外并接一根相同的弹簧。2mmff001-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为M，弹性系数为K。试求该扬声器的固有频率。mm1Km解：该扬声器的固有频率为f。02πMm1-17原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算： （1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε所以Km＝0.2×9.8/0.04=49N/me1/e1Rm故R1Ns/mm2Mm"2"149wwf11.57Hz00020.51212（2）系统所具有的能量EK490.040.0392Jm22122t3（3）平均能量EKe5.3110Jm021-18试求当力学品质因素Q0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0，vv，试m0讨论解的结果。解：系统的振动方程为：2ddMRK0m2mmdtdtRm进一步可转化为，设，2Mm2dd2202dtdt设：ite于是方程可化为：22jt(2j)e0022解得：j()022(0)te方程一般解可写成：2222et(Ae0tBe0t) 存在初始条件：0，vvt0t00代入方程计算得：vv00A，B222222002222etAe0tBe0t解的结果为：()vv00其中A，B。222222001-19有一质点振动系统，其固有频率为f，如果已知外力的频率为f，试求这时系统的弹性抗与12质量抗之比。KM解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为，质量抗为MM已知f50Hz，f300Hz02222K1K4f(50)1MM00则()(M)＝M22222Mf4(300)36M1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？1Km1150解：(1)考虑弹簧的质量，f2.76Hz.02MM/320.40.3/3ms"(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm为Mm+Ms/3.R5m5"12211502"，f52.64Hz.2M20.500m220.40.3/3"0Mm16.580.5(3)品质因素Q1.66，mR5m"1位移共振频率：ff12.39Hz.r022Qm"(4)速度共振频率：ff2.64Hz，r0 "1加速度共振频率：fQf12.92Hz.rm022Qm1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与2总的振动能量之比等于。Qm解：系统每个周期损耗的能量12EWTRvTFma212RvTEmaR2m，E12fMmMvma2发生速度共振时，ff0。ERm22。Ef0Mm0MmQmRm1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f；（2）假定f与f为在f两侧，其平均损耗功率比f下降一半时所对应的两个频率，则有01200f0Q.mff21证明：（1）平均损耗功率为11T2WWtdRv（R为力阻，v为速度振幅）RRmamaT02质点强迫振动时的速度振幅为FQzamv,(F为外力振幅，为固有频率，M为质量，Q为aa0mm2222Mz(z1)Q0mmf力学品质因素，频率比z）f00当z=1即ff时，发生速度共振，v取最大值，产生最大的平均损耗功率。0a12（2）WRvRma222121FaQmWRv＝RRmaxmamaxm2222M0m222211211FaQm2FaQmWR=WRmax则Rmva＝(Rm22)即2va＝22（1）2222MM0m0m FQzam2222把v,带入式（1），则z(z1)Q（2）am2222Mz(z1)Q0mm22114Q114Q2mm由式（2）得z(z1)Q解得z取zm12Q2Qmm22114Q114Q2mmz(z1)Q解得z取zm22Q2Qmm1ffff12121则zz即21QfffQm000mf0Qmff211-23有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为F5cos8tN。F（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？2dd解：（1）由强迫振动方程MRKF，得m2mmFdtdt2dd0.421605cos8t2dtdtFa则位移振幅0.0369ma2222(KwM)wRmmm速度振幅vw0.296m/saa22加速度振幅aw2.364m/saa12平均损耗功率PRv0.0876(w)ma2"1KmRm2（2）速度共振时ff()3.158Hzr02R2MmmFa则位移振幅0.126ma2222(KwM)wRmmm速度振幅vw2.495m/saa 22加速度振幅aw49.6m/saa12平均损耗功率PRv6.225(w)ma21-24试求出图1-4-1所示单振子系统，在t0，v0初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论0与0两种情形下，当时解的结果。0解：对于强迫振动，解的形式为：t"ecos(t)cos(t)000aFa其中，。a0Z2m初始条件：0，v0，代入得：coscos000a"cossinsin000000a解得：a222,22(cos)(sin)2cossin(cos)0"00"cos0arccos02222"22(cos)(sin)2cossin(cos)0222,22令G(cos)(sin)2cossin(cos)0得：at"Gecos(t)cos(t)。"200a0Xm"当0时，R0，arctan，，，m000R22m，，00a2cos(t)cos(t)a0a2(sintcost)。a0 当时，，达到位移共振。0a211-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Fsint的作用，试求其稳态振动的位移振f02幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为2dd2111MRKFt()sin(t)costm2mmF00dttd2222dd1则MRK（1）m2mmdttd22dd1MRKcost（2）m2mm0dttd21由式（1）得2Km1jjt2令e代入式（2）得FFKmRj()M00mm0121则＝F12RK20m22mRM()00mm011A22KRmm01-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.K1,R1K2,R2MFejwta解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：jwtM(RR)(KK)Fe1212ajwt该方程式稳态解的一般形式为e，将其代入上式可得：aFj(0)a||e2aaKK12jw[(RR)j(M)]12 KK12MFa其中||，arctan.a02RR2K1K212(R1R2)M故质量块的稳态位移表示式可以写为：||cos(wt).a02jt1-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力FFe作用于质量M上。M的振动通过耦合弹1a11簧K引起M也随之振动，设M和M的振动位移与振动速度分别12212图1-4-1为，v与，v。试分别写出M和M的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时112112ZZZ21212vF与vF。1121ZZ(ZZ)ZZZ(ZZ)Z121212121212其中K1Zj(M)R，111K2Zj(M)R，222jK12Z。12图习题1-27解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：22dddd1122MRKK()FMRKK()01211112121222221221dtdtdtdt设：jtjt1Ae，2BejtjtvVe，vVe1122于是方程可化为：2A(MjRKK)BKF1111212a 2B(MjRKK)AK02221212设：KKjK1212Zj(M)R，Zj(M)R，Z。11122212对上面的两个方程整理并求解可得ZZ212vF11ZZ(ZZ)Z121212Z12vF21ZZ(ZZ)Z1212121-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：FAp，aa其中A为常数，p为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，a并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为FAp，其中A，p为常数，则F随变化。aaaa电动换能方式传声器，其开路电压输出为EBlv，要使E均匀恒定，则要v恒定FAPaa系统处在质量控制区时v，此时v与频率无关，故在一较宽的频率范围内，aaMMmm传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：E0ED只有在力阻控制区，FApaa，RRmm即在此控制区，输出电压E与频率无关。 传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，0振膜的辐射阻变为RCS（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为r000恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？1212解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为WRv＝CSvra000a222其中，C，S均为常数，要使W均匀，则v应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻000aFa控制区，此时v（其中F为频率恒定的外力，R也恒定）。aamRm1-31有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面M由弹簧K支撑着，现欲在较宽的频率mm范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面M产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振m动控制状态？为什么？图习题1-31解：音圈通以I电流时，在磁场下产生电动力FaFBIL，由FMa可见，只有在质量控制区a时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。mMm1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量Mm=1.53×10㎏，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600㎏时，产生的位移3㎝，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1㎜、频率为20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？5解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×10N/m每组弹簧的总劲度K1=K/25四组弹簧并联后的劲度K2=4K1=2K=3.92×10N/m1K2则固有频率f2.57Hz02Mjwt"jwt由振动方程MK()0，将e，e代入得，mm0a0a "Ka0.0168㎜a2KwMjωt1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10e作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.F0MmK,RFmm解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：jwtMRKFemmm10其稳态解的一般形式为cos(t).aKmMFFm1010其中，arctan.a|Z|2Rm2KmmRmMm弹簧传递给基础的作用力为FKKcos(t)，则FK.mmaaamFKam由此传递给基础的力F与F0的振幅比D.FF2102KmRmMm1-34有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为a的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定10已知加速度计振动系统的固有频率为f，力学品质因素为Q，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密0m度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量MM0m0m由Q得RmmRQmm1Km22由f得K4fM0mm02πMmMaMm10m则EBl＝Blaa101ZmK222mRM()mm Mm＝Bla10122222KmRM2KMmmmm2Bla10＝1224424ff00222168f220Qm1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FF(1hsint)sint，Fa1其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为FF(1hsint)sintFa11Fcos(t)Fh[cos()tcos()t]aa1122j(t)1j()t1j()t用指数形式表示外力为FFe2Fhe1Fhe1Faaa22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为1hFFaa2cos(t)cos[()t0]113Z2()Z21131hFa2cos[()t0]12()Z212KmMm其中：arctan；1RmKm()M1m1arctan；2RmKm()M1m1arctan；3Rm2Km2ZR(M)；1mm 2Km2ZR[()M]；2m1m12Km2ZR[()M]。3m1m12t1-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF(1)FaT（kTt(1kTk),0,1,2,）试求振动系统的位移。2dd2t解：质点的振动方程为MRKFt()F(1)（1）m2mmFaddttT2π又FtF()A0AncosntBnsinnt,（）（2）n1T1T其中AFtt()d00FT02TAFt()cosnttd0nFT02T2FaBFt()sinnttdnFTn0式（2）也可表示为FtF()Fncos(ntn)（3）n0222Fa2Fa其中FAB，arctannnnnnn把式（3）表示成为复数形式Ft()Fej(ntn)Fnn02ddj(ntn)则式（1）可写成Mm2RmKmFne（4）ddttn0Fnj(ntn)设n，代入式（4）可得nen0nn00jnZnKm其中ZRjXRj(nM)nnnmmnFπn取的实部得cos(ntnn)n0nZn22Fπa＝2cos(ntnn)n0nZn2 22Km式中ZR()nMnmmnKmnMXmnnarctanarctannRRmm1-37设有如下形式的外力1Fa,kTtkT21FFFa,(k)Tt(k1)T2(k0,1,2,)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得FF(t)Fncos(ntn)n022Bn其中FAB，arctan.nnnnAn1TAF(t)dt0，0FT02TAF(t)cosnwtdt0，nFT04Fa2T2Fann为奇数BnFF(t)sinnwtdt[1(1)]n.T0n0n为偶数由此FB，(n为奇数)，即nnn24444FF,FF,FF,,FF；1a3a5ana35n,,,,(n为奇数).135n22a22由(1-5-14)得质点振动系统得位移Fncos(nwtnn)n0nZn24F4F4Faaacos(wt)cos(3wt)cos(nwt)(n为奇数)132nZ9ZnZ13n 习题22-1有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问：(1)当弦作自由振动时其基频为多少？(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。(3)距细弦一端l4处的速度振幅为多少？nTm解：（1）简正频率f，且线密度n2ll1T1T基频f。12l2ml2216T016TB（2）基频振动的总能量E。122ll（3）弦的位移的总和形式(t,x)Bnsinknxcos(ntn)n1(t,x)速度表达式为v(t,x)(Bnnsinknx)sin(ntn)tn1nTnl距一端0.25m处的速度振幅ValBn2sin()x4n12ll4TnnBsinnn1ml4nTn3lVa3lBn2sin()x4n12ll4T3nnBsinnn1ml42-2长为l的弦两端固定，在距一端为x处拉开弦以产生的静位移，然后释放。00（1）求解弦的振动位移； （2）以xl3为例，比较前三个振动方式的能量。0解：弦的振动位移形式为：(t,x)sinknx(CncosntDnsinnt)n1nnc其中k，，CBcos，DBsinnnnnnnnnll0x(0xx)0x（1）由初始条件可得：(t0)00(lx)(xxl)0lx0v(t0)()0(0xl)t0t2lC(x)sinkxdxn0nl0又2lDv(x)sinkxdxn0nl0n22x00l020ln则Cxsinkxdx(lx)sinkxdxsinxn0nxn220lx00lx0nx0(lx0)lD0n则sin0nnnBCnn2220ln2xnc(t,x)Cnsinxcos(ntn)22sinx0sincostn1ln1nx0(lx0)lll22222nc2nT2（2）EBBnnn4l4l2120lnl90n当xl时，BCsinsin0nnll22322l3n3n(l)3322T9243T020则E(sin)1224l316l2243T0E2264lE03 2-3长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。0解：弦的振动位移表达式为(t,x)sinknx(CncosntDnsinnt)n1可得速度表达式为(t,x)v(t,x)sinknx(nCnsinntnDncosnt)tn1由题可得初始条件：2v0lx,0x0；l2t0t02vlt2v0x,xl0l2通过傅立叶变换可得：C0；n4v0klD(sinkl2sin)。n33kl2n位移表达式为(t,x)Dnsinknxsinntn14v0kl其中D(sinkl2sin)。n33kl2n2-4长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动0能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。0(t0)l解：初始条件x2v0tt0弦的总位移为(,)txsinkxCn(ncosntDnsinnt),n1ncπn其中CBcos,DBsin，（,k）nnnnnnnnlc2l2l2vl0又Dvx()sinkxxd＝vsinkxxd＝(1cosn)nnl00l00nnc22nnC0n 当n为偶数时，DDD02464vl14vl14vl000当n为奇数时，D，D，D，123252c9c25c故BD，0nnn2T2224Tvl011又弦振动时的总能量为EEn(nBπn)＝22(1)n1n14lc92522224Tvl0Tvl0Tvl012＝()＝＝＝vl()2220c82c2T2122T＝mv＝E（c）0k0212外力传给弦的初始动能为E＝mvk0022-5设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离jtl处，施加一垂直于弦的力FFe，试求在xl力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。a提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：12和TTF。12xx2-6有长为l，线密度为的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求（1）该弦作自由振动时的频率方程；（2）假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。图2－6解：（1）由题意可知其初始条件和边界0x0条件为2TxlM2xlxt弦的振动位移为uu(t,x)(AcosxBsinx)cos(ut)（其中u2πf）nnccu当0时，得A0则(t,x)Bsinxcos(ut)x0cuBusinxsin(ut)tc 22uBusinxcos(ut)2tcuuBcosxcos(ut)xccuu2u带入边界条件可得：TBcoslcos(ut)MBusinlcos(ut)cccuT即tanlcMcuuuTuTllMSltanll2ccMcucMcMMT（其中c,弦的质量为M，线密度为）suMS令rl，，则rtanr，这就是弦作自由振动时的频率方程。cM342（2）当M<fc，由(5-5-19)可得声源的速度振幅c40.52Wua4u1.97m/s，则位移振幅为3.1310m.a2a0c0S012k2f(2)kaa0.370.5，00c122则声源的平均辐射功率为WcS(ka)u0.0673W.0000a425-25有一矩形管内充空气，管子的截面积为ll0.10.08m，在管口有一声源产生频率从xy 1000Hz2000Hz的振动，管的另一端延伸无限。试讨论管中声波的传播情况22cnn0xy解：由fnnxy2llxy2234313431得f1715Hz，f2143.75Hz100120.120.08当1000Hzf1715Hz时，管中传播的是一束沿z轴方向，波阵面为一维平面波的(0,0)次波。当1715Hzf2000Hz时，管中传播的是沿x轴程一定夹角方向斜向传播，并经壁面不断反射而进行着的平面波(1,0)次高次波。jt5-27假设在一矩形管的管口z0处声源的振速分布为ut()usinxe，试求前三个简正波的声0lx压振幅。解：管中传播的波的形式为pAcoskxcoskyej(tkzz)nnxynnxyxy在z0处，pAcoskxcoskynnxynnxyxyjt又在z0处，ut()usinxe0lx12llxy则Businxxyddu0000ll00lxyx2llxyπBusinxcosxxydd0100ll00llxyxx2llxyπBusinxcosyxydd0010ll00llxyxy0又ABnnxyknnxyz则（1）对于(0,0)次简正波，ccz0nxnyπpAcoskxcoskAcosxcosya00nnxyxynnxyllxx2c000ABu00000kz c0（2）对于(1,0)次简正波，cz22πc0121()2lx0pAcosxBcosx0a101010lklxzxc0（3）对于(0,1)次简正波，cz22πc0121()2ly0pAcosyBcosy0a010101lklyzy习题6 6-1对于脉动球源，在满足kr0<<1的情况下，如使球源半径比原来增加一倍，表面振速及频率仍保持不变，试问其辐射声压增加多少分贝？如果在kr0<<1的情况下使球源半径比原来增加一倍，振速不变，频率也不变，试问声压增加多少分贝？2Aj(wtkr)0c0kr0uaj(wtkr)解：点声源声压Pe(krj)e20rr[1(kr)]020c0kr0uaj(wtkr)（1）当kr1时，Pje0r20c0k(2r0)uaj(wtkr)球源半径比原来增加一倍，即Pjer20c0kr0uaj(wtkr)4je4PrP4PP4Paaee4PPee所以L20lg20lg20lg4PPPrefref故辐射声压增加了20lg4=12dB0c0r0uaj(wtkr)（2）当kr1时，Pe0r0c0r0uaj(wtkr)球源半径比原来增加一倍，即P2e2PrP2PP2Paaee2PPee所以L20lg20lg20lg2PPPrefref故辐射声压增加了20lg2=6dB6-2设以离开脉动球源中心为r的地方作参考点，试求距离为2r，4r，10r等位置上的声压级之差等于多少分贝？观察者从距球心为1m及10m的地方，分别移动同样的距离Δr＝1m，观察到的声压级的变化相等吗？如果不等，问各等于多少？解：距离脉动球源中心分别为r1、r2(r1>D，则由四个小球源辐射的声波达到观察点p时，振幅差别甚小，可用r代替r+，r-，r+"，r-"，但是它们对相位的差异不能忽略.3kDkDkD3kDAj(wtkrcos)Aj(wtkrcos)Aj(wtkrcos)Aj(wtkrcos)pe2e2e2e2rrrr 3kDkDkD3kDAjcosjcos-jcos-jcosej(wtkr)e2e2e2e2rkDkDkDkDAjcos-jcosjcos-jcosej(wtkr)ejkDcose2e2e-jkDcose2e2rkDkDAjcos-jcosej(wtkr)e2e2ejkDcose-jkDcosrAj(wtkr)kDe2jsin(cos)2cos(kDcos)r2kDkD由于kD<<1，可将sin(cos)近似为cos，由此22Aj(wtkr)上式ejkDcos2cos(kDcos)r2kAD-jkrjwtjcosecos(kDcos)er由此结论得证.6-15证明如图所示的刚性壁面前偶极子的远场辐射声压为2kADjkrjtpjcosejsin(kDcos)erPr+D-D/2硬证明：由镜像原理知，绝对硬边界对声源的影响等效于一个同相的的虚声源。根据同相小球声场叠加，分别得两个相距3D的正相小球声场Aj(wtkr)3kDPe2cos(cos)1r2两个相距D的负相小球声场Aj(wtkr)kDPe2cos(cos)2r22Aj(wtkr)3kDkD则远场PPPe[cos(cos)cos(cos)]12r224Aj(wtkr)kDesin(kDcos)sin(cos)r2kDkD又sin(cos)cos，故得222kADjkrjwtPcosejsin(kDcos)er即得证。 6-16由声柱指向特性（6-3-23）式出发，证明长度为L的均匀直线声源的指向特性为Lsin(sin)D()。Lsin证明：由n个体积速度相等，相位相同，两两相距l的小脉动球源组成的声柱的指向特性为sinknD()nsink长度为L的均匀直线声源，利用极限将直线声源等效为n（n）个小脉动球源。sinknD()limnnsink2Lsin[nsin]2(n1)limn2Lnsin[sin]2(n1)1lsinnsinlimnlsin(n1)Lsin(sin)Lsin证毕。6-18试用点源组合的方法求解有限长线声源均匀辐射时的声压。yp(x,y)l2lx2解：由点源组合法可将线声源看成是无数个点声源的组合.首先计算任意点声源在点p处产生的声压："Aj(wtkri)22p(x,y)e，其中rx(yy).iiri由声压的叠加原理得线声源在p点的声压为： l/2Aj(wtkri)p(x,y)edyl/2iril/2Aj(wtkx2(yy)2)eidy.il/222x(yy)i6-19如将一列很长的火车近似看作无限长线声源，设单位长度的声功率为W，地面为声学刚性平12面，求距离火车垂直距离r处的p（不计火车的运动），讨论p与r的关系。（提示：rrcos，0ee001dxcosrd）1解：建立模型如右图所示，设火车首尾与观察点的连线与垂线r的夹角分别为和。012取一小微元dx又rrcos，dxcosrd011cc20000dp2dWWdxe2214r2r11将dxcosrd代入并两边积分得：12c200pdWe212r1220c0cosr0Wd1212r0cosWc100()212r0将火车看作无限长，则有，122因此可得p与r的关系为e0Wc2100pe2r06-20如将火车近似看作有限长线声源，设单位长度得声功率为W，地面为声学刚性平面，火车首12尾与观察点连线的夹角（对于垂线r）分别为和，距离火车垂直距离r处得p（不计火车的运动），0120e证明 Wc2100p()e212r0AAj(tkr)解：pe，per2r22A2π2p，WAe22rc002Wc002则p又xrtan，dxrsecde2004r2x2Wc00Wc00212pdxrdsecx2222014(rx0)41r0(1tan)Wc00()214r06-21设有一半径为是圆形声源，总输出声功率为W，已知每一面元是辐射声功率都相同，而它们的相位却是无规而各不相干。试求该声源中心轴上z处的平方平均声压。解：已知每一面元相位是无规且各不相干的，c200因此，总平方平均声压pdW24rD0c0WdS224raD0c0W12a0c0WdSdd4a2z22004a2z22DW0c0a2ln[1()]24az6-22有一直径为30㎝纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假设它可以看作是活塞振 动，试分别画出它们在100Hz与1000Hz时的指向性图。当f=1000Hz时，主声束角宽度为多少？此扬声器临界距离z为多少？g()p2(Jksin)A1解：D()(p)kasinA02fdkf0.0183，半径am0.15c20f100Hz，k1.83，ka0.271111f1000Hz，k18.3，ka2.73222作图如p(),()ab348c034402arcsin0.162arcsin0.162arcsin0.1643afa10000.15222aaf0.151000z0.065mgc34406-24已知活塞表面的振速为为2njtu(t,)u(1)e02a证明离活塞很远处的辐射声压为20u0j(tkr)naJn1(kasin)pje2n!。1r(kasin)k0c0j(tkh)证明：面元在观察点P产生的声压为dpjudSea2h对整个活塞表面积分可得整个活塞的辐射声压为k0c0j(tkh)pdpjuedS（*）a2hS从图中可看出有222hr2rcos(,r)，在离活塞很远处有ra，上式则可近似为hrcos(,r)由解析几何可得 rcos(,r)sincosr于是（*）式可化为20u0j(tkr)an2jksincospje(1)ded（**）2r0a20柱贝塞尔函数有下列性质：12jxcosJ(x)ed，xJ(x)dxxJ(x)00nn12通过以上性质对（**）式积分可得辐射声压为20u0j(tkr)naJn1(kasin)pje2n!1r(kasin)6-26半径为15cm的活塞嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，已知振速幅值u0.002ms，求af300Hz时轴上1m处的声压级，辐射声功率及同振质量。解：低频时，活塞轴线上的声压幅值为kp2cusin(Rz)Na00a2因此声压级为k2cusin(Rz)p00aNa2SPL20lg20lg2p2pee已知u0.002ms，a0.15m，z1m，c415Pasm，f300Hza002f22又有：k，Raz，c0代入以上数值计算得SPL65.1dB。 习题7247-1有一压强式动圈传声器，已知其振膜的有效半径为a10m，振膜的质量M210kg，m固有频率f300Hz，振动系统的力学品质因素Q2，音圈导线长度l3m，磁隙是磁通量密度0m2B1Wbm，假定有频率为100Hz，300Hz，1000Hz有效声压都为1Pa的声波依次垂直作用在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压将各为多少？解：对f100Hz的声波，124f11001FPaS2Pe0.014.4410(N)；zaf30030FaQmz4代入v计算的v4.3410(ms)，aa2222Mz(z1)Q0mmBlva4因此，开路输出有效电压EBlv9.2110(V)。ee2 4同样的方法可求得：f300Hz时，E5.0010(V)；2e4f1000Hz时，E8.1010(V)。2e257-2有一压强式电容传声器，振膜由镍做成，已知其半径为a10m，厚度h10m,振膜与背极5间的距离D10m，施加的极化电压E200V，假定有一频率为200Hz有效声压为1Pa的声波作用0在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压为多少？222255解：Sa(10)m，hm10，D10m，E200V，f200Hz06MSh8.8010kg，pp1，pp2meaaaj(tkr)6由FpSe得FFpS210Naaa由f1Km得K4π22fM43.7N2πMmmsmFa5又1.0210maKmEEE0a0由E得EV144aaeaD22D-27-3有一压差式动圈传声器，已知振膜的有效半径a=2×10m.假设有一频率为4000Hz的声波分别oo以法线(θ=0)与切线方向(θ=90)入射，试问该传声器在此两种入射情况下的开路输出电压相差多少分贝(不计频散效应).E0解传声器输出电压E与振膜的位移ε的关系式：E.其中D为振膜与背极之间的静态距DF离，E0为在它们之间的极化电压。振膜位移和振膜上作用力的关系式：＝.KmJ1(kasin1)Fkasin11利用(7-1-5)式可得两种入射情况下开路输出电压差为：L20log()20log，E1010F2J1(kasin2)kasin2oo其中θ1=0，θ2=90.oJ1(kasin1)由于θ1=0,计算时用到了罗比达求导法则.计算可得ΔLE＝2.4dB.kasin127-4有一利用压差原理做成的动圈传声器，振膜前后的声程差已知为410m。假设传声器的力学参数与声波的作用情况同题7-1完全一样，试求该传声器的开路输出电压，如果要求传声器在上述 频率范围内开路灵敏度（开路输出电压与作用声压之比）均匀，则传声器振动系统的固有频率与力学品质因素应作怎样的改变？221kr解：FPkScosaakr由题可得kr1，上式可化为FPkScos，aa2824当f100Hz时，代入数值计算得Fcos10，a343FaQmz5代入v进一步计算得v3.18cos10(ms)aa2222Mz(z1)Q0mmBlva5因此EBlv6.75cos10(V)ee23类似的计算可得，当f300Hz时，E1.10cos10(V)；e4当f1000Hz时，E5.80cos10(V)e7-5有一点声源向空间辐射200Hz的声波，现将一压差式传声器依次放在离声源0.01m与1m处进行测量，试问测得的开路输出电压将差多少分贝？(F)c(p)aN0aN解：.rm0.01，c344ms，2f2200N0(F)r(p)aFNaF作用在传声器上的声压振幅保持不便，即ppaaNF()FcaN0()FraFNF()caaN0又则aK()rmaFNE(Ec)()0aaNN0E则27.4aaD(Er)()aaFFN()EaN则20lgEE20lg20lg20lg27.428.8dBaaNF()EaF7-6将一压差传声器垂直置于平面驻波场中(θ=0)，此声场的声压可表示为p=2pasinkxcosωt.试导出振膜上作用力的表达式，并讨论在声压波节与波腹处作用力的变化情况.p解：由题意知2pkcoskxcost，θ=0，Δ为压差式传声器振膜前后相隔的距离.由式(7-1-7)得作ax用在振膜上的合力为 pFScosx2Spkcoskxcost.a(1)声压波节处sinkx=0，则coskx=±1，得作用力F2Spkcost.a(2)声压波腹处sinkx=±1，则coskx=0，得作用力F=0.7-9对一压强与压差复合式电容传声器，试问应怎样来选择其力学振动系统与声学系统的参数，使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保持均匀的频率特性？f0解：将系统设计在立力阻控制区，且其参数固有频率f，频带宽度f与力学品质因素Q有f0mQm的关系，所以只要让Q较小，固有频率f较大，则课使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保m0持均匀的频率特性。7-10有一压强与压差复合式电容传声器，试问应怎样来选择其力学振动系统与声学系统的参数，使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保持均匀的频率特性？解：要选择参数使得B1，cCR0aa即cCR，其中为振膜前后相隔的距离。0aa7-11有两个相同的小型压强式传声器，相距为d.它们的开路输出串联相接，由此构成一复合接受系统，现将它置于平面声场中与声波入射方向成θ角，如图所示.试求这一复合接收系统的接收指向特性D.解：设声压式传声器A距离声源的距离为r，则传声器B距离声源的距离为r+dsinθ.由式(7-1-5)得(书上是对点声源推导的，同样适用于平面波)两个传声器振膜上作用力的表达式分别为j(tkr)2J1(kasin)F(pS)eAakasinj(tkrkdsin)2J1(kasin)F(pS)e.Bakasin由题意知两个传声器的开路输出串联相接，得 j(tkr)2J1(kasin)j(kdsin)FFF(pS)e(1e).ABakasin由指向性的定义得(Fa)2J1(kasin)j(kdsin)2J1(kasin)D(1e)12cos(kdsin)(F)kasinkasina07-13将7-11题的两个传声器扩展为n个传声器，它们之间的相距都为d，试证明这一n个小型传声器构成的接收系统的指向特性等于nsin(kdcos)2D。kdnsin(cos)2习题8 8-1有一lll10m7m4m的矩形房间，已知室内的平均吸声系数0.2，试求该房间的xyz平均自由程，房间常数与混响时间（忽略空气吸收）。L4V4lxlylz解：平均自由成程LNS2(llllll)xyxzyz410744.058(m)2(41010747)S2(lxlylylzlxlz)房间常数R112(10710474)269(m)10.2V混响时间T0.16160Sln(1)10740.1610.732(s)2(704028)ln0.88-2有一lll6m7m5m的混响室。室内除了有一扇4㎡的木门外，其他壁面都由磨光水xyz泥做成，已知磨光水泥的平均吸声系数在250Hz时为0.01，在4000Hz时为0.02，木门的平均吸声系数在此二频率分别为0.05与0.1。假定房间的温度为20°C，相对湿度为50％。试求该混响在此两频率时的混响时间。01解：房间的温度为20C，相对温度为50%，在4000Hz时，空气声强吸收系数20.006mSS1122222，其中Sm214，Sm210，Sm412S2100.0140.05当f250Hz时，0.010712142100.0240.1当f4000Hz时，20.02152140.2，20.21V3故T0.161，又Vm21060S8V210当f250Hz时，2可忽略，则Ts0.16114.77602140.01071当f4000Hz时，20.006m210则Ts0.1613.507602140.021540.006210 8-3有一混响室已知空室时的混响时间为T，现在在某一壁面上铺上一层面积为S，平均吸声系60数为a的吸声材料，并测得该时室内的混响时间为T，试证明这层吸声材料的平均吸声系数可用下式i60求得0.161V11aaiSTTii60600.161V0.161V证明：吸声材料覆盖前T，吸声材料覆盖后T6060SiSi(SS)Sii其中iS0.161V0.161V可得S，(SS)SiiiT60T6011两式相减，得S()0.161V()iiTT60600.161V11即得()iiSTT60i6038-4有一体积为40m的小型混响室，已知其平均吸声系数为0.02，现要把它当作高噪声室用，希望在室内产生140dB的稳态混响声压级，试问要求声压辐射多少平均声功率？解：忽略空气吸收，S2(llllll)63l2l2l263V270.176(m2)，xyyzxzxyzS70.1760.022房间常数R1.432(m)，110.024由SPL10lgW10lgc9410lg00R此SPL为稳态混响声压级，410lgW10lgc9410lgSPL00R3取c415Nsm00410lgWSPL10lgc9410lg00R414010lg459410lg1.43215.358(dB)15.358故W101034.343(W)，即要求声源辐射的平均声功率为34.343W。 8-5将一产生噪声的机器放在体积为V的混响室中，测得室内的混响时间为T以及在离机器的较60远处的混响声压有效值为p，试证明该机器的平均辐射功率可由下式算出e42VW10pW。eT6024Wpe24解：由，.得pWcR2e00RccR00044T6024T6044154WT60又.则pWcWT10e0060R0.161V0.161V0.161VV24pVe则W10T608-6有一体积为lx×ly×lz＝30m×15m×7m的厅堂，要求它在空场时的混响时间为2s.(1)试求室内的平均吸声系数.(2)如果希望在该厅堂达到80dB的稳态混响声压级，试问要求声源辐射多少平均声功率(假设声源为无指向性的)？2(3)假设厅堂中坐满400个观众，已知每个听众的吸声单位为Sαj＝0.5m，问该时室内的混响时间变为多少？(4)如果声源的平均辐射功率维持不变，那么该时室内稳态混响声压级变为多少？3解：V=lx×ly×lz＝30×15×7=3150m2S=2(lx×ly+lx×lz+ly×lz)=1530mVV(1)由(8-1-10)得T0.161，则0.1610.166.60SST60S2(2)由(8-1-23)得R303.873m，14由(8-1-27)得SWLSPL10log1098.8dB.R"S400Sj4000.5(3)0.296S1530V由(8-1-9)得T0.1610.943dB.60"SIn(1-)"S2(4)R644.531m"1 4SPLSWL10log1076.7dB.R14(5)SPLSWL10log1024rRr=3m时，SPL=80.6dB；r=10m时，SPL=77.3dB.8-7有一噪声很高的车间测得室内混响时间为T，后来经过声学处理在墙壁上铺上吸声材料，室60内的混响时间就降为T。试证明，此车间内在声学处理前后的稳态混响时间声压级差为60T60L10log()。p10T6044T60证明：由，R0.161V处理前车间的稳态混响声压级可表示为4T60SPL10lgW10lgc9410lg，000.161V式中W为声源平均辐射声功率。声学处理后，同一噪声源辐射的稳态混响声压级为4T60SPL10lgW10lgc9410lg。000.161V此车间在声学处理前后的稳态混响时间声压级差为4TTT606060LSPLSPL10lg10lg10lgp0.161W0.161WT608-8测量各类机器的噪声可在混响室内进行，因此常需已知混响室的房间常数R。设有一无指向性的标准声源（即可已知其在自由声场中的输出声功率）置于混响室的中央位置并在离其r距离处，用测试传声器测得其声压级为L，而在同样距离r处其产生的自由声场声压级已知为L，试证明该混响室的0房间常数R可用如下公式计算216rR1LL0log()11010 2Wc00解：室内声场，直达声为pe24πr214混响声为peW0c024πrR22PWc/(4πr)e00L10lg10lg022pprefref142Wc00()P4πrR2eL10lg10lg22pprefref216r则LL10lg(1)0R2LL16r0lg(1)10R21LL016rlg()110R216rR1LL0lg()1108-11在一房间常数为20㎡的大房间中央处有四个点声源成正方排列，如图所示，假定每一声源发2出了510W功率的无规噪声，试问在它们中心位置A点的声压级有多少？解：设每一声源在A点的平均声能密度为WW4iRD24πrcRc00又每个声源发出无规噪声，故在A点叠加后，A点的平均声能密WW16度为4i2πrcRc00 2pe又.2c0022WW16116则pc()＝Wc()e002002πrcRcπrR002116510400(＝19.18)2(2)202p19.18eSPL10log10log106.88dB1021052p(210)ref8-12有一lx×ly×lz＝6m×5m×4m混响室六面都是刚性的.假设在室内分别发出中心频率为50Hz，100Hz，1000Hz，4000Hz，带宽为10Hz的声波，试问它们分别能在室内激起多少个简正振动方式？3解：V=lx×ly×lz＝6×5×4=120m2S=2(lx×ly+lx×lz+ly×lz)=148m3L=4(lx+ly+lz)＝4(6+5+4)=60m由(8-2-6)得在频率f附近的df频带内的简正频率数24fVfSLdNdf33428cc0c00(1)f=50Hz，dN=1；(2)f=100Hz，dN=2；(3)f=1000Hz，dN=133；(4)f=4000Hz，dN=2000.8-13试问在上题的房间中，在95Hz105Hz频带内将包含哪几个驻波方式？32解：Vm120，Sm148，Lm60，df10Hz224πfVπfSL4π100120π10014860dNdf＝103222c2c8c344234483440005222cnnn0xyzfnnnxyz2lllxyz(1,1,2)时f97.0Hzn(2,0,2)时f103.4Hzn(2,2,1)时f99.4Hzn (3,0,1)时f96.2Hzn(3,1,1)时f102.1Hzn8-17在一矩形房间的一个顶角上装上强度为Q0的点声源，试证明对整个房间的位置取有效声压平方的平均为22cQ1p2000DDD.eVnxnynz2(22)nxnynznxnynz2Q0nxnynzjwt解：由(8-2-50)得p0c0jDnxDnyDnz22e.Vnx0ny0nz0(nxnynz)2nxnynzDDDdV22nxnynz(22)2pe(x,y,z)dV12Q0nxnynznxnynz由题意知：pe0c0(1)V2VVnxnynz其中cosxcosycosz.由三角函数的正交性知，当nxnynz和nx"ny"nz"不同时nxnynzlllxyznxnynznx"ny"nz"dV0.则2nxnynzDDDdVnxnynz(22)nxnynznxnynz22nxnynz(DDD)dVnxnynz(22)2nxnynznxnynz2DDDnxnynz2dV22nxnynznxnynznxnynz2DnxDnyDnzV22DDDnxnynznxnynznxnynz1VDnxDnyDnz222nxnynz(nxnynz)22cQ1将上式代入(1)式，可得p2000DDD.eVnxnynz2(22)2nxnynznxnynz'