声学基础答案.doc 79页

'习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为，质量为，求它的弹性系数。解：由公式得：1-2设有一质量用长为的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：，为重力加速度）图习题1－2解：（1）如右图所示，对作受力分析：它受重力，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力，这两力的合力就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则受力分析可得：（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：则即 即这就是小球产生的振动频率。1-3有一长为的细绳，以张力固定在两端，设在位置处，挂着一质量，如图所示，试问：图习题1-3(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质量在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对进行受力分析，见右图，（，。）可见质量受力可等效为一个质点振动系统，质量，弹性系数。（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为，方向为竖直向下。（2）振动频率为。（3）对分析可得，当时，系统的振动频率最低。1-4设有一长为的细绳，它以张力固定在两端，如图所示。设在绳的位置处悬有一质量为的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有时，绳子向下产生静位移以保持力的平衡，并假定离平衡位置的振动位移很小，满足条件。 图习题1－4解：如右图所示，受力分析可得又，，可得振动方程为即1-5有一质点振动系统，已知其初位移为，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移，速度表达式为。由于，，代入上面两式计算可得：；。振动能量。1-6有一质点振动系统，已知其初位移为，初速度为，试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为，质量为，取正方向沿轴，位移为。则质点自由振动方程为（其中） 解得当，时，质点振动位移为质点振动速度为质点振动的能量为1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加，试问：(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解：，。令，得：或，经检验后得：时，位移最大。令，得：或，经检验后得：时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示试证明其中，证明： 设，则=（其中）又又令则1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示()试证明，其中解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，其中，。由三角形面积知，得 得故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mg＝Kmξ1Km＝mg/ξ1由质点振动系统固有频率的表达式得，.纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由得由得联立两式，求得，1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图1-2-4图1-2-3 解：串接时，动力学方程为，等效弹性系数为。并接时，动力学方程为，等效弹性系数为。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100可称0～1。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为由虎克定律知又则则又则则故月球表面的重力加速度约为，而该岩石的实际质量约为。1-14试求证证 同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧在它上面加一重物，构成一振动系统，其固有频率为，(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率。（1），故应该另外串接三根相同的弹簧；（2），故应该另外并接一根相同的弹簧。1-16有一直径为的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为，弹性系数为。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为。1-17原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε所以Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m故（2）系统所具有的能量（3）平均能量1-18试求当力学品质因素时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻， ，试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：进一步可转化为，设，设：于是方程可化为：解得：方程一般解可写成：存在初始条件：，代入方程计算得：，解的结果为：其中，。1-19有一质点振动系统，其固有频率为，如果已知外力的频率为，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为，质量抗为已知，则＝1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问： (1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1)考虑弹簧的质量，.(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm"为Mm+Ms/3.，.(3)品质因素，位移共振频率：.(4)速度共振频率：，加速度共振频率：.1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于。解：系统每个周期损耗的能量，发生速度共振时，。。1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率；（2）假定与为在两侧，其平均损耗功率比下降一半时所对应的两个频率，则有.证明：（1）平均损耗功率为 （为力阻，为速度振幅）质点强迫振动时的速度振幅为(为外力振幅，为固有频率，为质量，为力学品质因素，频率比）当=1即时，发生速度共振，取最大值，产生最大的平均损耗功率。（2）＝=则＝即＝（1）把带入式（1），则（2）由式（2）得解得取解得取则即1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为。（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？解：（1）由强迫振动方程，得 则位移振幅速度振幅加速度振幅平均损耗功率（2）速度共振时则位移振幅速度振幅加速度振幅平均损耗功率1-24试求出图1-4-1所示单振子系统，在，初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论与两种情形下，当时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为：其中，。初始条件：，，代入得：解得：令 得：。当时，，，，，，，。当时，，达到位移共振。1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力的作用，试求其稳态振动的位移振幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为则（1）（2）由式（1）得令代入式（2）得则＝1-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式. 解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：该方程式稳态解的一般形式为，将其代入上式可得：其中，.故质量块的稳态位移表示式可以写为：.图1-4-11-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力作用于质量上。的振动通过耦合弹簧引起也随之振动，设和的振动位移与振动速度分别为，与，。试分别写出和的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时与。其中，，。图习题1-27解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程： 设：，，于是方程可化为：设：，，。对上面的两个方程整理并求解可得1-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：，其中为常数，为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为，其中，为常数，则随变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为，要使均匀恒定，则要恒定系统处在质量控制区时，此时与频率无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压与振膜位移有如下关系： 只有在力阻控制区，，即在此控制区，输出电压与频率无关。传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为＝其中，，均为常数，要使均匀，则应不受的影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此时（其中为频率恒定的外力，也恒定）。1-31有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面由弹簧支撑着，现欲在较宽的频率范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？图习题1-31解：音圈通以电流时，在磁场下产生电动力，由可见，只有在质量控制区时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量Mm=1.5×103㎏，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600㎏时，产生的位移3㎝，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1㎜、频率为20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N/m每组弹簧的总劲度K1=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4K1=2K=3.92×105N/m 则固有频率Hz由振动方程，将，代入得，㎜1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10ejωt作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：其稳态解的一般形式为.其中，.弹簧传递给基础的作用力为，则.由此传递给基础的力F与F0的振幅比.1-34有一振动物体产生频率为，加速度振幅为的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为，力学品质因素为，音圈导线总长为，磁隙中的磁通量密度为。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量由得由得 则＝＝＝1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成，其中为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为用指数形式表示外力为振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为其中：；；；； ；。1-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为（）试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为（1）又（）（2）其中式（2）也可表示为（3）其中，把式（3）表示成为复数形式则式（1）可写成（4）设，代入式（4）可得其中取的实部得＝式中 1-37设有如下形式的外力作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得其中，.，，.由此，，即；.由(1-5-14)得质点振动系统得位移(n为奇数) 习题22-1有一质量为，长为的细弦以的张力张紧，试问：(1)当弦作自由振动时其基频为多少？(2)设弦中点位置基频的位移振幅是，求基频振动的总能量。(3)距细弦一端处的速度振幅为多少？解：（1）简正频率，且线密度基频。（2）基频振动的总能量。（3）弦的位移的总和形式速度表达式为距一端处的速度振幅2-2长为的弦两端固定，在距一端为处拉开弦以产生的静位移，然后释放。（1）求解弦的振动位移；（2）以为例，比较前三个振动方式的能量。解：弦的振动位移形式为：其中，，， （1）由初始条件可得：又则则（2）当时，则2-3长为的弦两端固定，在初始时刻以速度敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：弦的振动位移表达式为可得速度表达式为 由题可得初始条件：；通过傅立叶变换可得：；。位移表达式为其中。2-4长为的弦两端固定，在初始时刻以速度敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。解：初始条件弦的总位移为其中，（）又＝＝当为偶数时，当为奇数时，，，，故，又弦振动时的总能量为＝＝＝＝＝ ＝＝（）外力传给弦的初始动能为＝2-5设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离处，施加一垂直于弦的力，试求在力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：和。2-6有长为，线密度为的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物，已知弦所受的张力，如图所示。试求（1）该弦作自由振动时的频率方程；（2）假设此重物比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。图2－6解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件为弦的振动位移为（其中）当时，得则带入边界条件可得：即（其中弦的质量为，线密度为）令，，则，这就是弦作自由振动时的频率方程。 （2）当<<时<<1，故可近似为则可简化为求解这一代数方程，可得近似关系为且<<1则又，则＝＝＝（其中）2-7长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放.试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为.由棒一端固定一端自由的边界条件得由(1)式A＝0.由(2)式.由此各阶简正频率对应的位移表达式为. 棒的总位移为各简正频率位移之和，即.棒的初始条件为由(4).由(3).2-8有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒(ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.(1)试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？(2)如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为.由棒两端自由的边界条件得由(1)式B＝0.由(2)式.(1)棒作纵振动的基频为Hz.该简正频率下的位移表达式为：.当，即时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0,l]，得知m的点位移振幅最小. (2)当在一端负载时，由(2-2-25)得，即，利用数值方法可以求得k1=2.65.该简正频率下的位移表达式为：.当，即时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0,l]，得知x1=0.59m的点位移振幅最小.2-9有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。（1）试求棒作纵振动时的频率方程；（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？解：（1）棒的位移方程为由边界条件得：故频率方程为：（2）将2-8参数代入得由牛顿迭代法知：k1=1.3138则（Hz）基频振幅为：当x=1时，达到最大，即振幅最大。2-10试分别画出两端自由和两端固定的棒，作=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置的分布图。解：两端自由的棒： 两端固定的棒:2-11设有一长为，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为，初速度。求该棒振动位移表示式。解：棒做纵振动时，其方程的解为：两端自由，即不受应力作用，所以，即所以2-12设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即处，而自由端取在处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。附：。(2-2-20) 解：棒的振动位移表达式边界条件：；，代入位移表达式解得：；。于是可推出。若将自由端置于原点，固定端置于处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。2-13长为的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（）。（1）试求棒作纵振动时的位移表达式；（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为。解：棒纵振动位移的一般表达式为：满足边界条件：所以，当频率较低或棒很短时，即时，，有即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为。2-14长为的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为，试求以来表示的棒的基频位移。解：设棒在端钳定，端自由，于是边界条件可写为：，，，。代入横振动方程可得，，并有如下关系 设，并用简正值（n=1,2,3,…）代表的一系列根值。，自由端基频位移振幅基频位移，其中：。2-15长为的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移，试解棒作横振动的位移表达式。解：初始条件和边界条件为：（1）;(2)(3);(4)(5);(6)棒作横振动的总位移位为：（7）把（1）、（2）代入（7）得则（8）把（5）、（6）代入（8）得 即即2-16长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。解：棒作横振动的位移方程为：由边界条件得：，要使方程有解，则=02-17长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程.解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为其中.由棒两端钳定的边界条件得由(1)A=－CB=－D 由(2)这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即由此可化得，这是一频率方程，可用图解法求解。设表示方程的一系列根，此时简正频率.2-19已知铝能承受最大张应力为，密度为，如果现在用这种材料制成厚度为的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？解：膜能承受的最大的张力，当半径为时，膜的基频达最大，大小为2-21求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。解：膜的振动方程为：（*）设：代入方程（*）得：2-23设有一圆环形膜，其在外周与内周处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为其中，。证明：圆环形膜的振动方程为：其中。由外周与内周处固定得边界条件，， 代入方程得，，整理得。从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为其中，。习题33-1如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。 图3-4-2解：阻抗型类比线路图如（c）图所示。下面分析一下系统的隔振性能，利用克希霍夫电路定律，在路径中有在后面的分支点有合并两式即得经整理得3-3试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。 图习题3-3解：导纳型类比线路图如（b）图所示。下面分析一下系统的隔振性能，利用克希霍夫电路定律，在路径中有在后面的分支点有合并两式即得经整理得3-5试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。图习题3-53-7 (a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方向的速度，试画出该系统的导纳型力学类比线路图。图习题3-73-9有一简单的护耳罩结构如图(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为的空腔，耳罩的质量为，有效面积为，它与人头之间以弹性系数为的软垫接触，假设耳罩外有一声压为的声波作用，在耳罩内产生的声压为，试求出耳罩的传声比，并分析护耳罩的传声规律。图习题3-93-11有一耳机，其振膜的固有频率原设计在，测试时将耳机压紧在一个模仿人耳体腔体积为的小盒子上进行，如图所示。求这时系统的固有频率，设振膜有效质量为，有效面积为。图习题3-11图习题3-143-14试画出如图(a)所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率。 3-16如图为一压强式电容传声器结构示意图，背电极上打有许多小孔，构成声阻尼元件，，试画出其类比线路图。图习题3-16图习题3-183-18号筒式扬声器的简单结构如图(a)所示，有动圈式换能得到的交变力作用在振膜上，振膜的质量、力顺及面积分别为，和，和分别为前室和后室的声容，为号筒吼部面积，假设已知吼部的声辐射阻抗为，试画出号筒式扬声器的类比线路图。习题44-1试分别在一维及三维坐标里，道德质点速度v的波动方程。解：小振幅声波一维波动方程：由（3）得代入（2）得，（4）（4）对x求导，得，（5） （1）对t求导，得，（6）（5）与（6）相加，得三维波动方程：推导方法与一维相似，得4-2如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为ρ0q(x,y,z,t)，试导出有流源分布时的声波方程.解：由于媒质中存在体积流源，媒质的连续性方程发生改变.首先考虑在一维x方向上的连续性方程由质量守恒可得.即.将其扩展到三维的情况(1)再由媒质的运动方程和物态方程得(2) (3)对(1)式两边同时求导得.将(2)式和(3)代入上式得可记为.上式即为有流源分布时的声波方程.4-3如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体力为F(x,y,z,t),试导出有体力分布时的声波方程。解：体力影响运动方程：首先考虑一维情况，取一足够小体积元F1=（P0+p）S+FxSdx，F2=-（P0+p+dp）S-Fx+dxSdx则合力为，由牛顿第二定律，得再推广至三维情况，并考虑小振幅声波，得另两个方程仍为：由以上三式可推出：4-4如果在没有声扰动时媒质静态密度是不均匀的，即，试证明这种情况下的声波方程为 。证明：在密度不均匀的条件下的三维声波方程为：（1）（2）（3）在小振幅的情况下，经线性规划，（1）式和（2）式的三维线性方程可化为（4）（5）（3）式不变，其中的系数是决定于媒质平衡态参数的一个常数。将（3）式对求导并代入（5）式得：（6）（6）式对求导得：（7）（4）式代入上式，且即4-5一无限长圆柱形声源沿半径方向作均匀胀缩振动时，其辐射声波波阵面是圆柱形的，设径向半径为、单位长度圆柱形波阵面面积为，试求出这种声场里声波方程的具体形式。解：因为为无限长圆柱，产生无限的均匀圆柱声场（即波振面的形状在传播过程中保持一定，且传播方向不变沿方向），所以仅取单位长度的被一很小的立体角所割出的空间作为研究对象。在处，其波振面面积为，单位时间内流入质量为。在处，发生变化，单位时间内流出质量为所以单位时间流入体积元的质量为， 因为传播仅在方向，而且仅考虑小振幅情形，此时运动方程为又因为该体积元内质量近似等于，单位时间内质量变为，由质量守恒定律有①因为，所以①式可以写为②②式两边同乘，变为③又物态方程为④由③和④推出，两边对求导得，⑤由运动方程得，，代入⑤式，得，整理得4-6如果声波的波阵面按幂指数规律变化，即，其中为处的面积，为常数，试导出这时声波方程的具体形式。解：特殊形式的声波方程为：由于，代入上面的方程得：整理得这时声波方程的具体形式为4-7试问夏天（温度高达）空气中声速比冬天（设温度为）时高出多少？如果平面波声压保持不变，媒质密度也近似认为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。解：(1)对于空气，标准大气压， ，则声速为(0℃)=则(t℃)（2）声强又平面波声压不变，媒质密度也不变，则不变则又则===＝0.34-8如果两列声脉冲到达人耳的间隔时间约在以上时，听觉上可以区别出来，试问人离一垛高墙至少要多远的距离才能听到自己讲话的回声？解：设高墙距人米，因此人离一垛高墙至少要的距离才能听到自己讲话的回声。4-9（1）试导出空气中由于声压引起的绝对温度的升高的表达式。（2）试问在、标准大气压的空气里，的平面声波引起的温度变化幅值为多少？ 解：（1）对理想气体有又则即（2）由题得则即则4-10在20oC的空气里，求频率为1000Hz、声压级为0dB的平面声波的质点位移幅值，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB，上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级?解：由得.则：声压幅值；质点速度幅值；质点位移幅值；平均能量密度.(1)SPL＝0dBpa；m/s；m；J/m3.(2)SPL＝120dBpa；m/s；m；J/m3.(3)，则dB.4-11在20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为 ，试求其有效声压、平均声能量密度和声强。解：声压级，有效声压，平均声能量密度，声强。4-12如果在水中与空气中具有同样的平面波质点速度幅值，问水中声强将比空气中声强大多少倍？解：水中平面波质点速度幅值为，声压为，声强为空气中平面波质点速度幅值，声压为，声强为则，又，则又倍4-13欲在声级为120dB的噪声环境中通电话，假设耳机再加一定电功率时在耳腔中能产生110dB的声压，如果在耳机外加上的耳罩能隔掉20dB噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？解：耳机内信号声压P信=Pref·10110/20，到达耳机的噪声声压P噪=Pref·10（120-20）/20所以P信/P噪=10110/20/10100/20=3.164-14已知两声压级幅度之比为2，5，10，100，求它们声压级之差.已知两声压级之差为1dB，3dB，6dB，10dB，求声压幅值之比.解：已知声压幅值比，则声压级之差为.已知声压级之差，则声压幅值比为.(1)当声压幅值比分别为2，5，10，100时，声压级之差分别为6.02dB，14.0dB，20dB，40dB.(2) 当声压之差分别为1dB，3dB，6dB，10dB时，声压幅值之比分别为1.1220，1.4125，1.9953，3.1623.4-1520℃时空气和水的特性阻抗分别为及，计算平面声波由空气垂直入射于水面上时反射声压大小及声强透射系数。解：声压反射系数，声强透射系数。4-16水和泥沙的特性阻抗分别为及，求声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比及声强透射系数。解:水的特性阻抗为=泥沙的特性阻抗为=当声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比为声强透射系数为4-17声波由空气以斜入射于水中，试问折射角为多大？分界面上反射波声压于入射波声压之比为多少？平均声能量流透射系数为多少？解：,查表知，又，所以发生全反射现象反射波声压于入射波声压之比为平均声能量流透射系数为4-18试求空气中厚为1mm的铁板对200Hz及2000Hz声波的声强透射系数tI(考虑垂直入射).解：由(4-10-41)知声强透射系数为.(1)f＝200Hz时，，. 由于，则，.(2)f=2000Hz时，分析过程同上，.4-19空气中有一木质板壁，厚为，试问频率为的声波的隔声量有多少？解：隔声量其中表示木质板壁的密度。4-20一骨导送话器的外壳用厚的铁皮做成，试求这外壳对气导声波的隔声量。解：对于铁，其厚度为，，，对于空气则,（）则所求隔声量为4-21房间隔墙厚度20㎝，密度=2000㎏/m3，试求100Hz及1000Hz声波的隔声量分别为多少？如墙的厚度增加一倍，100Hz声波的隔声量为多少？如不是增加厚度，而是用相同材料切成双层墙，中间距10㎝，这时对100Hz声波的隔声量为多少？解：由质量定律TL=-42+20lgf+20lgM2,得TL1=-42+20lg100+20lg（0.2×200）=50dBTL2=-42+20lg1000+20lg（0.2×200）=70dB墙厚度增加一倍，即D=0.4m，故此时TL1=-42+20lg100+20lg（0.4×200）=56dB双层墙时，=43dB4-23试导出三层媒质的声强透射系数（4－10－43）式。 解:设一厚度为，特性阻抗为的中间层媒质置于特性阻抗为与中，如图所示。则；；；；其中当时，即（1）当时，即（2）由（1）得(3)由（2）得(4)把（4）代入（3）得则＝ 则4-24有不同频率的两列声波，它们的声压可分别表示为，，这里初相位角φ1及φ2为常数，试求它们的合成声场的平均能量密度.解：由题意可知，这两列声波是不相关的，由(4-12-11)可知合成声场的平均能量密度为.4-25试计算入射声波与反射声波振幅相等的平均驻波声场中的平均能量密度。解：入射声波与反射声波频率相同，设入射声波为，反射声波为。合成的声场为。平均声能量密度4-26设有一沿方向的平面驻波，其驻波声压可表示为，若已知，试求该驻波声场的平均声能量密度和平均声能量流密度（声强）。解：由题意得两列波的相位差两列波的平均声能量密度分别为，该驻波声场的平均声能量密度＝＋＋＝ ＝该驻波声场的平均声能量流密度4-27某测试环境本底噪声声压级40dB，若被测声源在某位置上产生的声压级70dB，试问置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如本底噪声也为70dB，总声压级又为多少？解：（1）所以总声压级dB（2）总声压级dB4-28房间内由n个人各自无关地朗读，假如每个人单独时在某位置均产生Lj(dB)的声音，那么n个人同时朗读时在该位置上总声压级应为多少？解：n各人同时朗读的声音是互不相关的，满足能量叠加原理.由(4-12-14)得该位置上总声压级为. 习题55-1有一声管在末端放一待测吸声材料,现用频率为的平面声波,测得管中的驻波比等于10,并确定离材料表面处出现第一个声压极小值.试求该吸声材料的法向声阻抗率以及法向吸声系数.解：由公式（5-1-9）得其中，计算得。声压反射系数因此，可得法向声阻抗率法向吸声系数5-2试求在末端有声学负载的声管中，相邻的声压极大值与极小值之间的距离。解：对于末端有声学负载的声管中总声压有极小值总声压有极大值取，管中声压极小值的位置为管中声压极大值的位置为则相邻声压极大值与极小值之间的距离为 5-3设在面积为S的声管的末端装一面积为S1的活塞式振子，如图所示，假定活塞质量为Mm，弹簧的弹性系数为Km，力阻很小可以忽略。试求管中的声压反射系数。5-4设在声管末端的刚性壁前距离处放一穿孔板,见图所示,穿孔板的面积与声管面积相同都为,假定穿孔板的穿孔总面积为,板的厚度为,试证该穿孔板共振结构的共振频率为,其中称为穿孔率。解：结构中腔体的声容；声质量，因此共振频率5-5设共振式吸声结构的品质因素，其中总声压。试证明它与（5－1－28）式等效。解：，其中声质量，声阻，声容共振频率则＝＝＝ 其中（）5-6设在声管末端放一穿孔板共振吸声结构，见5－4题的图，已知其共振频率为500Hz，空腔深度D=5cm，假设要求该吸声结构的吸声频带宽度为2，试求该结构的声阻率比xs以及在频率为250，500，1000Hz时的吸声系数.解：由(5-1-30)知吸声频带宽度为，由此.由课本(5-1-28)知：，得共振吸声系数，由(5-1-29)知，当f＝250Hz，z＝0.5，α＝0.45；当f＝500Hz，z＝1，α＝0.70；当f＝1000Hz，z＝2，α＝0.45.5-8设在面积为的管中充有的流体，而在面积为的管中充有的流体，而两根管子用极薄的材料隔开，假定声波从管中传来，管延伸无限，见图所示，试求在管中的声功率透射系数。解：设，则在分界面处应满足声压连续和体积速度连续的边界条件即，可以推出声压透射系数为： 声功率透射系数为：5-9试画出S12=10与S12=5两种情形扩张管式消声器的消声量TL随（kl）的变化曲线。解：（1）S12=10，S21=0.1所以（dB）（2）S12=5，S21=0.2所以（dB）消声量TL随（kl）在一个周期的变化曲线如下：5-10设在一通风管道中传播着一频率为的声波，声压级为.现准备采用扩张式消声器,把该声音消去20分贝,试问扩张管的长度,扩张管与主管的面积比应如何设计？解：根据公式（5-2-11）根据实际情况应使取值尽量小，扩张比尽量小。当时，消声量达到极大值，扩张管长度此时，由得。因此，当扩张管长取，扩张管与主管横截面面积之比为19.95时，能把声音消去。5-12试证明在计及声阻Rb时，共振式消声器的消声量公式为其中。 解：由式(5-3-7)和(5-3-9)知，共振式消声器的消声量公式为下面进一步对上式括号内部分进行化简，对中各元素均除以，就可以写为；其中，，则将以上各式代入消声量公式结论即可得到证明。5-15有一如图所示的双节扩张管，已知它们的长为，，，主管面积为S，两扩张管面积都为S1，试求消声量TL。解：分别在x=0,l1,l2,l3处根据声压连续和体积速度连续列方程，即可解出消声量TL。过程略。5-18在上题的号筒喉部装一面积相同的活塞声源，其振动频率为1000Hz，如果已知它向号筒中辐射的平均声功率为1W，试求活塞声源的位移振幅，如果将号筒拿掉，把活塞置于一块大的障板上，并且活塞的位移振幅保持不变，试问这时它能向空间辐射多少平均声功率？解：(1)由(5-5-7)知，则.指数号筒的截至频率，声源频率f=1000Hz>fc，由(5-5-19)可得声源的速度振幅 m/s，则位移振幅为m.(2)，则声源的平均辐射功率为W.5-25有一矩形管内充空气，管子的截面积为，在管口有一声源产生频率从的振动，管的另一端延伸无限。试讨论管中声波的传播情况解：由得，当时，管中传播的是一束沿轴方向，波阵面为一维平面波的次波。当时，管中传播的是沿轴程一定夹角方向斜向传播，并经壁面不断反射而进行着的平面波次高次波。5-27假设在一矩形管的管口处声源的振速分布为，试求前三个简正波的声压振幅。解：管中传播的波的形式为在处，又在处，则又 则（1）对于次简正波，（2）对于次简正波，（3）对于次简正波， 习题66-1对于脉动球源，在满足kr0<<1的情况下，如使球源半径比原来增加一倍，表面振速及频率仍保持不变，试问其辐射声压增加多少分贝？如果在kr0<<1的情况下使球源半径比原来增加一倍，振速不变，频率也不变，试问声压增加多少分贝？解：点声源声压（1）当时，球源半径比原来增加一倍，即所以故辐射声压增加了=12dB（2）当时，球源半径比原来增加一倍，即所以故辐射声压增加了=6dB6-2设以离开脉动球源中心为r的地方作参考点，试求距离为2r，4r，10r等位置上的声压级之差等于多少分贝？观察者从距球心为1m及10m的地方，分别移动同样的距离Δr＝1m，观察到的声压级的变化相等吗？如果不等，问各等于多少？解：距离脉动球源中心分别为r1、r2(r1>D，则由四个小球源辐射的声波达到观察点p时，振幅差别甚小，可用r代替r+，r-，r+"，r-"，但是它们对相位的差异不能忽略. 由于kD<<1，可将近似为，由此上式由此结论得证.6-15证明如图所示的刚性壁面前偶极子的远场辐射声压为证明：由镜像原理知，绝对硬边界对声源的影响等效于一个同相的的虚声源。根据同相小球声场叠加，分别得两个相距3D的正相小球声场两个相距D的负相小球声场则远场又，故得即得证。6-16由声柱指向特性（6-3-23）式出发，证明长度为的均匀直线声源的指向特性为。 证明：由n个体积速度相等，相位相同，两两相距的小脉动球源组成的声柱的指向特性为长度为的均匀直线声源，利用极限将直线声源等效为（）个小脉动球源。证毕。6-18试用点源组合的方法求解有限长线声源均匀辐射时的声压。解：由点源组合法可将线声源看成是无数个点声源的组合.首先计算任意点声源在点p处产生的声压：，其中.由声压的叠加原理得线声源在p点的声压为：.6-19如将一列很长的火车近似看作无限长线声源，设单位长度的声功率为，地面为声学刚性平面，求距离火车垂直距离处的（不计火车的运动），讨论与的关系。（提示：， ）解：建立模型如右图所示，设火车首尾与观察点的连线与垂线的夹角分别为和。取一小微元又，将代入并两边积分得：将火车看作无限长，则有，因此可得与的关系为6-20如将火车近似看作有限长线声源，设单位长度得声功率为，地面为声学刚性平面，火车首尾与观察点连线的夹角（对于垂线）分别为和，距离火车垂直距离处得（不计火车的运动），证明 解：，，则又，6-21设有一半径为是圆形声源，总输出声功率为，已知每一面元是辐射声功率都相同，而它们的相位却是无规而各不相干。试求该声源中心轴上处的平方平均声压。解：已知每一面元相位是无规且各不相干的，因此，总平方平均声压6-22有一直径为30㎝纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假设它可以看作是活塞振动，试分别画出它们在100Hz与1000Hz时的指向性图。当f=1000Hz时，主声束角宽度为多少？此扬声器临界距离为多少？解：，半径，，，，作图如 6-24已知活塞表面的振速为为证明离活塞很远处的辐射声压为。证明：面元在观察点P产生的声压为对整个活塞表面积分可得整个活塞的辐射声压为（*）从图中可看出有，在离活塞很远处有，上式则可近似为由解析几何可得于是（*）式可化为（**）柱贝塞尔函数有下列性质：，通过以上性质对（**）式积分可得辐射声压为6-26半径为的活塞嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，已知振速幅值，求时轴上处的声压级，辐射声功率及同振质量。 解：低频时，活塞轴线上的声压幅值为因此声压级为已知，，，，又有：，，代入以上数值计算得。 习题77-1有一压强式动圈传声器，已知其振膜的有效半径为，振膜的质量，固有频率，振动系统的力学品质因素，音圈导线长度，磁隙是磁通量密度，假定有频率为，，有效声压都为的声波依次垂直作用在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压将各为多少？解：对的声波，；代入计算的，因此，开路输出有效电压。同样的方法可求得：时，；时，。7-2有一压强式电容传声器，振膜由镍做成，已知其半径为m，厚度m,振膜与背极间的距离m，施加的极化电压，假定有一频率为200Hz有效声压为1Pa的声波作用在振膜上，试问该传声器的开路输出有效电压为多少？解：，，m，，，，由得由得又由得7-3有一压差式动圈传声器，已知振膜的有效半径a=2×10-2m.假设有一频率为4000Hz 的声波分别以法线(θ=0o)与切线方向(θ=90o)入射，试问该传声器在此两种入射情况下的开路输出电压相差多少分贝(不计频散效应).解传声器输出电压E与振膜的位移ε的关系式：.其中D为振膜与背极之间的静态距离，E0为在它们之间的极化电压。振膜位移和振膜上作用力的关系式：.利用(7-1-5)式可得两种入射情况下开路输出电压差为：，其中θ1=0o，θ2=90o.由于θ1=0o,计算时用到了罗比达求导法则.计算可得ΔLE＝2.4dB.7-4有一利用压差原理做成的动圈传声器，振膜前后的声程差已知为。假设传声器的力学参数与声波的作用情况同题7-1完全一样，试求该传声器的开路输出电压，如果要求传声器在上述频率范围内开路灵敏度（开路输出电压与作用声压之比）均匀，则传声器振动系统的固有频率与力学品质因素应作怎样的改变？解：由题可得，上式可化为，当时，代入数值计算得，代入进一步计算得因此类似的计算可得，当时，；当时，7-5有一点声源向空间辐射200Hz的声波，现将一压差式传声器依次放在离声源0.01m与1m处进行测量，试问测得的开路输出电压将差多少分贝？解：，，作用在传声器上的声压振幅保持不便，即 又则则则7-6将一压差传声器垂直置于平面驻波场中(θ=0)，此声场的声压可表示为p=2pasinkxcosωt.试导出振膜上作用力的表达式，并讨论在声压波节与波腹处作用力的变化情况.解：由题意知，θ=0，Δ为压差式传声器振膜前后相隔的距离.由式(7-1-7)得作用在振膜上的合力为.(1)声压波节处sinkx=0，则coskx=±1，得作用力.(2)声压波腹处sinkx=±1，则coskx=0，得作用力F=0.7-9对一压强与压差复合式电容传声器，试问应怎样来选择其力学振动系统与声学系统的参数，使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保持均匀的频率特性？解：将系统设计在立力阻控制区，且其参数固有频率，频带宽度与力学品质因素有的关系，所以只要让较小，固有频率较大，则课使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保持均匀的频率特性。7-10有一压强与压差复合式电容传声器，试问应怎样来选择其力学振动系统与声学系统的参数，使传声器的开路灵敏度在一较宽的频率范围内保持均匀的频率特性？解：要选择参数使得，即，其中为振膜前后相隔的距离。7-11有两个相同的小型压强式传声器，相距为d.它们的开路输出串联相接，由此构成一复合接受系统，现将它置于平面声场中与声波入射方向成θ角，如图所示.试求这一复合接收系统的接收指向特性D. 解：设声压式传声器A距离声源的距离为r，则传声器B距离声源的距离为r+dsinθ.由式(7-1-5)得(书上是对点声源推导的，同样适用于平面波)两个传声器振膜上作用力的表达式分别为.由题意知两个传声器的开路输出串联相接，得.由指向性的定义得7-13将7-11题的两个传声器扩展为个传声器，它们之间的相距都为，试证明这一个小型传声器构成的接收系统的指向特性等于。 习题88-1有一的矩形房间，已知室内的平均吸声系数，试求该房间的平均自由程，房间常数与混响时间（忽略空气吸收）。解：平均自由成程房间常数混响时间8-2有一的混响室。室内除了有一扇4㎡的木门外，其他壁面都由磨光水泥做成，已知磨光水泥的平均吸声系数在250Hz时为0.01，在4000Hz时为0.02，木门的平均吸声系数在此二频率分别为0.05与0.1。假定房间的温度为20°C，相对湿度为50％。试求该混响在此两频率时的混响时间。解：房间的温度为，相对温度为，在时，空气声强吸收系数，其中，，当时，当时， ，故，又当时，可忽略，则当时，则8-3有一混响室已知空室时的混响时间为，现在在某一壁面上铺上一层面积为，平均吸声系数为的吸声材料，并测得该时室内的混响时间为，试证明这层吸声材料的平均吸声系数可用下式求得证明：吸声材料覆盖前，吸声材料覆盖后其中可得，两式相减，得即得8-4有一体积为的小型混响室，已知其平均吸声系数为，现要把它当作高噪声室用，希望在室内产生的稳态混响声压级，试问要求声压辐射多少平均声功率？解：忽略空气吸收，，房间常数，由此为稳态混响声压级，取 故，即要求声源辐射的平均声功率为。8-5将一产生噪声的机器放在体积为V的混响室中，测得室内的混响时间为以及在离机器的较远处的混响声压有效值为，试证明该机器的平均辐射功率可由下式算出。解：由，得又则则8-6有一体积为lx×ly×lz＝30m×15m×7m的厅堂，要求它在空场时的混响时间为2s.(1)试求室内的平均吸声系数.(2)如果希望在该厅堂达到80dB的稳态混响声压级，试问要求声源辐射多少平均声功率(假设声源为无指向性的)？(3)假设厅堂中坐满400个观众，已知每个听众的吸声单位为Sαj＝0.5m2，问该时室内的混响时间变为多少？(4)如果声源的平均辐射功率维持不变，那么该时室内稳态混响声压级变为多少？解：V=lx×ly×lz＝30×15×7=3150m3S=2(lx×ly+lx×lz+ly×lz)=1530m2(1)由(8-1-10)得，则.(2)由(8-1-23)得m2，由(8-1-27)得dB.(3) 由(8-1-9)得dB.(4)m2dB.(5)r=3m时，SPL=80.6dB；r=10m时，SPL=77.3dB.8-7有一噪声很高的车间测得室内混响时间为，后来经过声学处理在墙壁上铺上吸声材料，室内的混响时间就降为。试证明，此车间内在声学处理前后的稳态混响时间声压级差为。证明：由，处理前车间的稳态混响声压级可表示为，式中为声源平均辐射声功率。声学处理后，同一噪声源辐射的稳态混响声压级为。此车间在声学处理前后的稳态混响时间声压级差为8-8测量各类机器的噪声可在混响室内进行，因此常需已知混响室的房间常数R。设有一无指向性的标准声源（即可已知其在自由声场中的输出声功率）置于混响室的中央位置并在离其r距离处，用测试传声器测得其声压级为L，而在同样距离r处其产生的自由声场声压级已知为，试证明该混响室的房间常数R可用如下公式计算 解：室内声场，直达声为混响声为则8-11在一房间常数为20㎡的大房间中央处有四个点声源成正方排列，如图所示，假定每一声源发出了功率的无规噪声，试问在它们中心位置A点的声压级有多少？解：设每一声源在点的平均声能密度为又每个声源发出无规噪声，故在点叠加后，点的平均声能密度为 又则＝＝19.188-12有一lx×ly×lz＝6m×5m×4m混响室六面都是刚性的.假设在室内分别发出中心频率为50Hz，100Hz，1000Hz，4000Hz，带宽为10Hz的声波，试问它们分别能在室内激起多少个简正振动方式？解：V=lx×ly×lz＝6×5×4=120m3S=2(lx×ly+lx×lz+ly×lz)=148m2L=4(lx+ly+lz)＝4(6+5+4)=60m3由(8-2-6)得在频率f附近的df频带内的简正频率数(1)f=50Hz，dN=1；(2)f=100Hz，dN=2；(3)f=1000Hz，dN=133；(4)f=4000Hz，dN=2000.8-13试问在上题的房间中，在频带内将包含哪几个驻波方式？解：，，，＝时时时时 时8-17在一矩形房间的一个顶角上装上强度为Q0的点声源，试证明对整个房间的位置取有效声压平方的平均为.解：由(8-2-50)得.由题意知：(1)其中.由三角函数的正交性知，当nxnynz和nx"ny"nz"不同时.则将上式代入(1)式，可得.'