复变函数论第三版课后习题答案[1].doc 11页

'第一章习题解答（一）1．设，求及。解：由于所以，。2．设，试用指数形式表示及。解：由于所以。3．解二项方程。解：。4．证明，并说明其几何意义。证明：由于所以其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5．设z1，z2，z3三点适合条件：,。证明z1，z2，z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证由于，知的三个顶点均在单位圆上。因为所以，，又 故，同理，知是内接于单位圆的一个正三角形。6．下列关系表示点的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1）；解：点的轨迹是与两点连线的中垂线，不是区域。（2）；解：令由，即，得故点的轨迹是以直线为边界的左半平面（包括直线）；不是区域。（3）解：令，由，得，即；故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。（4）；解：令由，得，即故点的轨迹是以直线为边界的梯形（包括直线；不包括直线）；不是区域。（5）；解：点的轨迹是以原点为心，2为半径，及以为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。（6）； 解：点的轨迹是位于直线的上方（不包括直线），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。（7）；解：点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界），是区域。（8）解：令由，得故点的轨迹是两个闭圆的外部，是区域。7．证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为将代入，得令，则，上式即为。反之：将，代入得则有；即为一般直线方程。8．证明：平面上的圆周可以写成 其中A、C为实数，为复数，且。证明：设圆方程为其中当时表实圆；将代入，得即其中且；反之：令代入得其中即为圆方程。10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）；（2）；（3）；（4），解（1）。即直线。（2），即为椭圆；（3），即为双曲线；（4），即为双曲线中位于第一象限中的一支。 11．函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？（1）；（2）解，，可得（1）是平面上一直线；（2），于是，是平面上一平行与v轴的直线。13．试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证设，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即，有所以不存在，即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14．设()ïîïíì+=,0,623yxxyzf求证在原点处不连接。证由于 可知极限不存在，故在原点处不连接。16.试问函数f(z)=1/(1–z)在单位圆|z|<1内是否连续？是否一致连续？【解】(1)f(z)在单位圆|z|<1内连续．因为z在C内连续，故f(z)=1/(1–z)在C{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆|z|<1内连续．(2)f(z)在单位圆|z|<1内不一致连续．令zn=1–1/n，wn=1–1/(n+1)，nÎN+．则zn,wn都在单位圆|z|<1内，|zn-wn|®0，但|f(zn)-f(wn)|=|n-(n+1)|=1>0，故f(z)在单位圆|z|<1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x)=1/(1–x)在(0,1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E={zÎC|Im(z)=0,00，$NÎN+，使得"n>N，有|zn-z0|0，$N1ÎN+，使得"n>N1，有|xn-x0|N2，有|yn-y0|N，有n>N1且n>N2，故有|zn-z0|=|(xn-x0)+i(yn-y0)|£|xn-x0|+|yn-y0|0，$KÎN+，使得"n>K，有|zn-z0|K时，有|(z1+z2+...+zn)/n-z0|=|(z1-z0)+(z2-z0)+...+(zn-z0)|/n£(|z1-z0|+|z2-z0|+...+|zn-z0|)/n=(|z1-z0|+...+|zK-z0|)/n+(|zK+1-z0|+...+|zn-z0|)/n£M/n+(n-K)/n·(e/2)£M/n+e/2． 因limn®¥(M/n)=0，故$LÎN+，使得"n>L，有M/nK时，有|(z1+z2+...+zn)/n-z0|£M/n+e/20Û|(1-z)/(1+z)|<1，并能从几何意义上来读本题．【解】Re(z)>0Û点z在y轴右侧Û点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧Û点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧Û点z到点-1的距离大于点z到点1的距离Û|1+z|>|1-z|Û|(1-z)/(1+z)|<1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z=x+iy，x,yÎR．|(1-z)/(1+z)|<1Û|1+z|>|1-z|Û|1+z|2>|1-z|2Û1+z2+2Re(z)>1+z2-2Re(z)ÛRe(z)>0．[由本题结论，可知映射f(z)=(1-z)/(1+z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]"$Æ-´±¹³·◦£ºÅÄ@abcdefghijklmnopqrstuvwxyz¥·°ÀÂÃÑÕåòF^Ð"√§Y ÎÏÍÌÉÊËËÐÞ§¨©ª§NZQSDPTEHRCK#«®¬¯ØÚÙÈÇÛÞÜDSGFLW¶"mÎN+，$mÎN+，★áa1,a2,...,anñlimn®¥，+n®¥"e>0，åun，ån³1un，mÎR，"e>0，$d>0，【解】ò[0,2p]l2dx，f(x)=(-¥,+¥)[-p,p]å1£k£nun，[0,2p]'