复变函数习题答案.doc 36页

'习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.解：②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)R);①解：∵设z=x+iy则∴,．②解：设z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解： 4、证明：当且仅当时，z才是实数．证明：若，设，则有　，从而有，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈¡，则．∴．命题成立．5、设z,w∈£，证明：证明：∵∴．6、设z,w∈£，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：　其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．　 ⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设.证明：证明：∵　∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z:=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=． (3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。（4）、Re(z)>Imz．解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。所以当y→∞时有|cosz|→∞．习题二1.求映射下圆周的像.解：设则因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2.在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3)x=a,y=b.(a,b为实数)解：设所以(1)记，则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2)记，则映成了w平面上扇形域，即 (3)记，则将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3.求下列极限.(1);解：令,则.于是.(2);解：设z=x+yi，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因为所以.4.讨论下列函数的连续性：(1)解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5.下列函数在何处求导？并求其导数.(1)(n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2).解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导. (3).解：f(z)除外处处可导，且.(4).解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6.试判断下列函数的可导性与解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4).解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1);证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2)解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3)Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4)Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5.|f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0，则f(z)0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6)argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得C-R条件→解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以.9.试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析..(2).证明：处处可微，且所以,所以f(z)处处可导，处处解析. 10.设求证：(1)f(z)在z=0处连续．(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程．(3)f′(0)不存在．证明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0处连续．(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有．当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为∴∴满足C-R条件．(3)当z沿y=x趋向于零时，有∴不存在．即f(z)在z=0处不可导．11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析．证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．，得　　故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件从而在D1内解析13.计算下列各值(1)e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)(3)(4) 14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．解：令z=reiθ，对于θ，z→∞时，r→∞．故．所以．15.计算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．设z=x+iy，在复平面内可微．故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导．f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．17.计算下列各值．(1)(2)(3)18.计算下列各值(1)(2)(3) (4)(5)(6)19.求解下列方程(1)sinz=2．解：(2)解：　即(3)解：　即(4)解：．20.若z=x+iy，求证(1)sinz=sinxchy+icosx∙shy证明：(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy证明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明：21.证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大．证明：∴而当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以当y→∞时有|cosz|→∞．习题三1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解设直线段的方程为,则. 故2.计算积分，其中积分路径C为(1)从点0到点1+i的直线段;(2)沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解(1)设.(2)设.3.计算积分，其中积分路径C为(1)从点-i到点i的直线段;(2)沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3)沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解(1)设.(2)设.从到(3)设.从到6.计算积分,其中为.解∵在所围的区域内解析∴从而故7.计算积分,其中积分路径为（1）（2）（3）（4）解：（1）在所围的区域内，只有一个奇点.（2）在所围的区域内包含三个奇点.故（3）在所围的区域内包含一个奇点,故（4）在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.计算积分,其中为(1)(2)(3)解(1)(2)(3)16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.(1)(2)(3)解(1)(2)(3)17.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2)中心位于点,半径为的正向圆周 解：(1)内包含了奇点∴(2)内包含了奇点,∴19.验证下列函数为调和函数.解(1)设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2)设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明:∴,从而是调和函数.∴,从而是调和函数.但∵∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1)(2)解(1)因为 所以令y=0,上式变为从而(2)用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有由，得C=023.设,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明:不妨设闭路C内的零点的个数为k,其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且，则其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR:，将C与Z包含在内则f(z)在以C及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有因为在上解析，且 所以，当Z在C外部时，有即设Z在C内，则f(z)=0，即故有：习题四1.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:发散但收敛发散收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)(2)(3)(4)(5)解(1)因为发散,所以发散(2)发散又因为所以发散(3)发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4)因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时,级数化为收敛当n=2k+1时,级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5) 其中发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时,所以收敛而收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解因为部分和，所以，，不存在.当而时（即），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．.故当和时,收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解：设，则当时，级数收敛，时发散.若在z=0处收敛,则若在z=3处发散,则显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2)每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答:(1)不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2)不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。解：因为所以 8.证明：若幂级数的系数满足，则(1)当时,(2)当时,(3)当时,证明：考虑正项级数由于，若，由正项级数的根值判别法知，当，即，收敛。当，即，不能趋于零,级数发散.故收敛半径.当时,,级数收敛且.若,对当充分大时,必有不能趋于零,级数发散.且9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)(2)(3)(4)解:(１)收敛圆周(2)所以收敛圆周(3)记由比值法,有要级数收敛,则级数绝对收敛,收敛半径为所以收敛圆周(4)记所以时绝对收敛,收敛半径收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)(2)解:(1) 故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有：，　A,B待定。所以11.设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1证明：因为级数收敛设若的收敛半径为1则现用反证法证明若则，有，即收敛，与条件矛盾。若则，从而在单位圆上等于，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。综上述可知，必有，所以 12.若在点处发散，证明级数对于所有满足点都发散.证明：不妨设当时，在处收敛则对，绝对收敛，则在点处收敛所以矛盾,从而在处发散.13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是，有展开式14.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项)解：为的奇点，所以收敛半径又于是，在处的泰勒级数为15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1)分别在和处(2)在处(3)在处(4)在处(5)在处解（1） (2)(3)(4)(5)因为从沿负实轴不解析所以,收敛半径为R=116.为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式系数都是实数。所以在内，的幂级数展开式的系数是实数.17.求的以为中心的各个圆环域内的罗朗级数.解:函数有奇点与,有三个以为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：19.在内将展开成罗朗级数.解:令则而在内展开式为所以,代入可得 20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果因为,所以有结果你认为正确吗?为什么?答:不正确,因为要求而要求所以,在不同区域内21.证明:用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为证明:因为和是的奇点，所以在内，的罗朗级数为其中其中C为内任一条绕原点的简单曲线.22.是函数的孤立奇点吗?为什么?解:因为的奇点有所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。从而不是的孤立奇点.23.　用级数展开法指出函数在处零点的级.解：故z=0为f(z)的15级零点 24.　判断是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：⑴　；　　　⑵　解:是的孤立奇点因为所以是的本性奇点.(2)因为所以是的可去奇点.25.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：⑴　⑵⑶解:(1)所以是奇点,是二级极点.解:(2)是奇点,是一级极点,0是二级极点.解:(3)是的二级零点而是的一级零点,是的一级零点所以是的二级极点,是的一级极点.26.判定下列各函数的什么奇点？⑴　⑵⑶解:(1)当时,所以,是的可去奇点.(2)因为所以,是的本性奇点.(3)当时,所以,是的可去奇点.27.函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：.我们得到“又是的本性奇点” ，这两个结果哪一个是正确的？为什么?解:不对,z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的在内的罗朗展开式为28.如果C为正向圆周，求积分的值(1)(2)解：先将展开为罗朗级数，得而=3在内，,故(2)在内处处解析，罗朗展开式为而=3在内，,故习题五1.求下列函数的留数．(1)在z=0处．解：在0<|z|<+∞的罗朗展开式为∴(2)在z=1处．解：在0<|<+∞的罗朗展开式为∴．2.利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数．(1)解：的有限孤立奇点处有z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点．∴3.利用罗朗展开式求函数在∞处的留数．解：∴ 从而5.计算下列积分．(1)，n为正整数，c为|z|=n取正向．解：．为在c内tanπz有　(k=0,±1,±2…±(n-1))一级极点由于∴(2)c:|z|=2取正向．解：因为在c内有z=1，z=-i两个奇点．所以6.计算下列积分．(1)因被积函数为θ的偶函数，所以令则有设则被积函数在|z|=1内只有一个简单极点但所以又因为∴(2)，|a|>1．解：令令z=eiθ．，则得(3)，a>0，b>0．解：令，被积函数R(z)在上半平面有一级极点z=ia和ib．故 4.，a>0．解：令，则z=±ai分别为R(z)的二级极点故(5)，β>0，b>0．解：而考知，则R(z)在上半平面有z=bi一个二级极点．从而(6)，a>0解：令，在上半平面有z=ai一个一级极点7.计算下列积分(1)解：令，则R(z)在实轴上有孤立奇点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i,于是：而．故：．(2)，其中T为直线Rez=c,c>0,00时,令u=at.则当a<0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明：10.设，证明：以及证明：同理：11.设计算. 解：当时，若则故=0.若则若则故习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)，(2)，(3)(4)，(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)2.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)(2)解:(1)(2)3.设函数,其中函数为阶跃函数,求的拉普拉斯变换.解:4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解： 1.求下列函数的拉普拉斯变换.(1)(2)(3)(4)(5)(6(7)(8)解:(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)6.记，对常数，若，证明证明:7记，证明:证明：当n=1时,所以，当n=1时,显然成立。假设，当n=k-1时,有现证当n=k时8.记，如果a为常数,证明: 证明：设，由定义9.记，证明:,即证明：10.计算下列函数的卷积(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.设函数f,g,h均满足当t<0时恒为零，证明以及证明：12.利用卷积定理证明证明：设，则，则，所以 13.求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3故(4)因为所以(5)其中所以(6)所以14.利用卷积定理证明证明：又因为所以，根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明： 因为所以，根据卷积定理有16.求下列函数的拉普拉斯逆变换.(1)(2)(3)(4)解:(1)故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)设 方程两边取拉氏变换,得为Y(s)的三个一级极点,则(2)方程两边同时取拉氏变换,得(3)方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f(t)]=F(s),则即因为所以故有(4)方程两边取拉氏变换,设L[y(t)]=Y(s),得故(5)设L[y(t)]=Y(s),则 方程两边取拉氏变换,,得故18.求下列微分方程组的解(1)(2)解:(1)设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)设方程两边取拉氏变换,得(3)代入(1)：所以 故19.求下列方程的解(1)(2)解：(1)设L[x(t)]=X(s),方程两边取拉氏变换,得(2)设L[y(t)]=Y(s),方程两边取拉氏变换,得'