声振作业习题及其答案打印版.doc 49页

'2-2、由测量知道弹簧振子的固有频率是每秒50周，若将质量块的质量增大5g时，其固有频率变为每秒45周。试求弹性系数。解：2-3、一台机器为隔振而装在一组弹簧上，在平衡时由于机器的质量而使弹簧压缩了25mm。求竖直方向振动的角频率。解：，2-4、如题图2-4所示，由弦与质点块组成的振子。弦长l，受张力固定于两端。质点块质量m距两端各为a和b。当质点引离平衡位置x时（），试问（1）m远大于弦的质量时，质量块所受恢复平衡力等于什么？（2）这时突然去掉外力，使之作垂直于弦平衡方向振动，其最低固有频率为多少？当改变质点位置a为何值时，其振动频率值最低。解：设张力为T，由于故有：；（1）所以：（2）撤离外力，所以：；而最低固有频率：即最小值，即分母最大值，即最大值点，所以对a求导有：代入上式得到：2-6、在一弹性系数为k的弹簧上加一重物M组成一振动系统，其固有频率为。（1）若使系统的改变，可采用什么办法？（2）若重物加重一倍而使保持不变。试问应添加几只弹簧？如何连接？（3）若重物减轻一半但频率不变，应增加几只弹簧？如何连接？解：（1），改变k或m可使系统的固有频率改变。（2），，用两只弹簧并联MMkkMkk（3），，用两只弹簧串联2-7、求出题图2-7中所示振动系统的固有频率。ablxm题图2-4MkkMMkMMkkk 双弹簧串连相接假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移分别为和，于是每一弹簧所产生的弹力分别为和，因为两根弹簧是串连相接每一根弹簧受到质量m的拉力都相等，且等于mg，因此根据静力学平衡条件可得：双弹簧并连相接假设两根弹簧在质量m的重力作用作用下，产生的静态位移相同均为，于是每一弹簧所产生的弹力分别为和，这时作用在质量m的上共有三个力，质量多重力和两根弹簧的弹力。因此根据静力学平衡条件可得：2-8、由质量M和两只弹簧组成一振动系统。在弹性系数、原长的弹簧一端挂上质量M，另一端与弹性系数、原长的弹簧相连。试求：（1）弹簧另一端固定于天花板时，由于质量M受重力作用使系统长度变成多大？（2）若将此系统横在桌面上，弹簧一端固定在垂直墙壁上。质量M于桌面无摩擦，系统作自由振动的固有频率是否改变？为什么？解：（1），，系统总长（2）固有频率不变，为2-11、竖直悬挂的弹簧振子其质量块作无阻尼振动时的两个极端位置离一固定水平面的高度各为11.5cm和12cm，在5s内达到最高的位置15次。若质量块的质量为1g，试求其振动的频率、位移振幅和弹簧的弹性系数。解：振动的平衡位置距离该固定水平面的高度为位移振幅为12-11.75=-.25(cm)在5秒内达到最高位置15次，则频率为15/5=3(Hz)D1D2mD1D2m0.3553(N/m)2-14、一弹簧振子作简谐振动时的振幅为A，试问当其振动的动能于弹性势能相等时的位移瞬时值为多大？解： 2-15、一质量块m能在水平作面上无摩擦地滑动。质量块连一条很轻的线，线穿过作面上的一个很小的孔并可无摩擦地滑动。线的另一端受恒力F向下拉。这质量块（比孔大，不会穿过小孔）开始时静止在离孔距离D处，然后运动。试列出质量块的运动方程并解之。运动与否是周期性的？如果是，求其频率，且频率与D有何关系？FxmD0解：在右侧时运动方程为：，有：此处；①当质量块运动到0点时所用的时间为：此时速度：由于惯性作用继续向前跑运行到左侧时运动方程为：；：②当质量块运动到顶点后返回，再次过0点时所用的时间为：（另一根舍去）此时速度为：由于惯性作用过零点后继续跑FxmD0此时运动方程同①中最开始时的运动方程，；此时：③当质量块运动到顶点后返回，第三次过0点时所用的时间为：（另一根 舍去）此时速度为：由于惯性作用继续向前跑此时运动方程同第一次过零点后的运动方程相同（受力相同），就连初条件也相同，只是初始时间不同，所以可得：此时：可见其运动是周期性的。周期为2-19、试绘出弹簧振子系统位移的图形：2-31、试证：弹簧振子受迫振动中的位移振幅的低频极限值、速度共振时的速度振幅值及加速度振幅的高频极限值均与频率无关。解：假设弹簧振子受迫振动外力为：，弹簧弹性系数为D，质量块m，阻尼系数为Rm（1）则运动方程为：令带入方程得位移响应为：振幅： 位移振幅的低频极限值：与频率无关。（2）由位移响应可得速度响应：其振幅为：共振时：速度共振时的速度振幅值与频率无关。（3）由速度响应可得加速度响应：其振幅为：极高频时：加速度高频极限值与频率无关。2-32、在弹性系数为150N/m的轻质弹簧上挂一0.5kg的质量块，系统的阻力系数是1.4kg/s，系统所受外力N。试求：（1）位移振幅、速度振幅和加速度振幅的稳态值；（2）一个周期内平均损耗功率；（3）系统的速度共振频率及其在此频率下的位移振幅、速度振幅、加速度振幅和一周期内的平均损耗功率（外加力的幅值同前）；（4）系统的品质因数及半功率点频带宽度。解：已知；N/m；kg/s又N；；由复数的运动方程：；（1）可解得：位移稳态解的幅值响应函数值： m速度稳态解的幅值响应函数值：m/s加速度稳态解的幅值响应函数值：m/s2（1）由上可得：（2）系统的速度共振频率为：Hzmm/sm/s2 W（4）Hz2-38、一质量块m固定在弹性系数为k的弹簧的下端，弹簧上端以振幅上下振动，质量块的摩擦力正比于质量块和弹簧上端的相对速度（），这里。试求质量块的运动方程，并证此质量块的稳态运动是x落后于弹簧顶端位移的相角是x的振幅值等于什么？x的初相角和振幅在极低频率和极高频率时各等于什么？解：①设摩擦力与速度的比例系数为则质量块所受摩擦力可表示为：而质量块所受的弹簧弹力为：因此有运动方程：设稳态解代入上式得：即得证。②顶端位移为因此由公式可得：其中；； x落后于顶端位移的相角为，即得证。③由上可知x的振幅为，相角为：④极低频率时：极高频率时：极低频率时：极高频率时：2-43、有如下的冲击力作用在弹簧振子系统的质量块上，试求此振动系统的位移响应函数。解：设弹簧弹性系数为D，质量块质量为m，则运动方程为*对*方程两侧作富丽叶变换有：因为代入上式得：求其富丽叶反变换： m没k1k2mk1x1x212x1x22-46、如题图2-46有两个耦合振子。试求出：（1）耦合振动方程；（2）、、、各等于多少？（3）分别以和作简正振动时两质量块位移振幅的比值等于什么？（、为振子2或振子1固定不动时分振子的固有振动角频率；为耦合系统振动的固有角频率解：分析受力：（1）则对应运动方程为①令；；代入①式得到：②K决定了振子2对两个振子1的耦合作用程度（2）此方程组为二阶齐次线性微分方程组，它的解为指数形式：代入到②式中得到：*此特征方程式，有四个根：假设即，有两个值，以、表示有：（3）由上可得方程的解为： 其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。*式中取第一式有；以作简正振动时：所以二者振幅之比为：，以作简正振动时，同理可得：所以二者振幅之比为：2-47、对于题2-46耦合系统，设在t=0以前有一振子维持在离平衡位置1cm处，而另一振子维持在平衡位置上，在t=0时刻两者同时释放。（1）求出耦合系统作自由振动的位移解；（2）若系统的耦合系数时，证明：该系统两质量块的振动位移为：解：（1）设x01=0.01m，x02=0，得出：（2）系统的耦合系数即，所以有 （应用泰勒级数展开）代入到上面求解的位移公式中得到：m如果单位为mm则得证由于第（3）问所要证明的结论有错误，所以（3）（4）两个问不用作2-49、对于题2-46的无阻尼耦合振子系统，设t=0时振子的初始位移和初始速度均为零，此时有一脉冲力作用在第一个质量块上，试求系统的位移响应函数。解：则对应运动方程为令；；代入①式得到：①K决定了振子2对两个振子1的耦合作用程度对方程①两边作拉普拉斯变换有因为分别作拉氏反变换注释： （）应用公式：2-50、如题图2-50所示是一种减振装置称为动力吸尘器。大质量块M（例如是某个机器）由弹性系数为k1的弹簧支撑，在M上作用一线性策动力。如果加一辅助振子，质量为m，弹性系数为k2，所有振子都沿x方向振动，试证：M保持不动的条件是解：此系统机械简图为m没k1k2MF(t)x导纳型机电类比图为：阻抗型机电类比图为：如果M保持不动，则其速度要为零，即要无穷大，即由此有即2-51、有一隔振台如题图2-51所示。已知台面的质量kg，台面由四组相同的弹簧支持，每组又是由两只相同的弹簧串联而成。若每只弹簧在承受负荷600kg时产生静位移3cm，试求该隔振系统的固有频率？当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为20Hz时，隔振台M将产生多大的位移振幅？k1Mk1k1地基k1k1k1k1k1解：（1）、由于每只弹簧承受负荷600kg时产生静位移3cmN/m而等效弹性系数为：N/m所以系统的固有频率为：Hz（2）、当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为20Hz时，即地基的振动位移为：M地基2k1 机械系统简图导纳型机电类比图；阻抗型机电类比图m2-52、如题图2-52所示。机器的质量为M，机器运转时受到一个的作用。机器的振动通过弹簧传入机座。若定义力的传透率是T，即T=作用于机座的力/作用于机器的力=。（1）求证：力的传输率T可表示为式中阻抗型机电类比图为：解：机械系统简图：导纳型机电类比图：因此有：由阻抗型机电类比图有：代入力的传透率公式得k弹性垫MF(t)x机座即得证（2）隔振垫（即弹簧）如何设计才能使力尽量少地传入机座？如果要T尽量小，那么就需要尽量大，即k尽量大（3）若外力角频率为12rad/s，机器质量是1t，要使T小于0.1，问隔振垫的弹性系数等于多少才能满足要求？ 2-54、两个自由度的弹簧——质量块系统示于题图2-54种，使用电压——力类比和电流——力类比建立系统的等效电路。题图2-54电流——力类比等效电路图2-55、绘出题图2-55所示系统的电压——力类比和电流——力类比电路图，并作简要说明。若以cm/s恒流源策动弹簧，试求质量m的速度振幅。解：机械系统简图题图2-54电压——力类比等效电路图电流——力类比等效电路图电压——力类比等效电路图机械系统简图由电压——力类比等效电路图可得：①；② 其中；代入到②式可得：2-56、绘出如题图2-56所示机械装置的电压——力类比和电流——力类比等效电路图。写出发动机负载的总阻抗。当很大时求出等效力阻、等效质量和等效力顺。若很小时又将怎样？解：机械系统简图题图2-54电压——力类比等效电路图电流——力类比等效电路图总阻抗：当很大时：所以等效力阻为，等效质量为，等效力顺为若很小时有：等效力阻等于等效质量与等效力顺非常复杂2-122、证明如下等式成立：（式中u为媒质质点振动速度）证明： 2-136、证明下列表达式是一维波动方程的正确解：①②证明：由一维波动方程（1）将①代入波动方程第一式可得：代入第二式得：即①满足方程所以为一维波动方程的正确解。（2）同理将②代入波动方程第一式可得：代入第二式得：即②也满足方程所以也为一维波动方程的正确解。2-138、（1）、理想气体的声速c是否随静压强变化？在波动方程中c是否随瞬时声压变化？（2）、如果理想气体遵循等温状态方程，声速c的表达式将是怎样的？此时所得的c值与空气在20˚C时的声速相差多少？解：（1）、理想气体中近似为等熵绝热过程,因此其中泊松比所以，根据可知理想气体声速随静压强变化，不随瞬时声压变化。（2）等温情况下：又因为均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为所以，遵从等温状态方程的声速为：而理想气体，遵从绝热状态方程的声速为：；其中、分别为静态压强和密度。 ，20˚C时，一个标准大气压，二者差值：m/s2-139、计算20℃和标准大气压下空气中的声速。解：20˚C时，一个标准大气压，2-140、试证明：空气中的声速与绝对温度的平方根成比例。证明：均匀、静止、理想、流体中小振幅波的状态方程为：空气常温下可视为理想气体，热力学过程可视为绝热过程，所以有：，其中泊松比所以：；根据物态方程：，所以：即得证。2-141、试问夏天（温度为36℃）空气中声速比冬天（温度为0℃）时高出多少？解：根据上题结论：所以2-146、试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高的表达式。解：空气中由于声压P引起的绝对温度升高的表达式：（的意义：气体等压绝热与等温绝热的比值）两式均取全微分：联立方程消去dV即得方程2-147、试求在20℃、标准大气压的空气中声强为的平面声波所产生的温度变化的幅值。解：已知：T=293K，由 由上题：2-149、计算有效声压为3.5N/m2的平面声波的声压级。设所用的参考声压为（1）Pa（2）Pa（3）µbar（4）µbar解：1µbar=1dyn/cm2=N/cm2=N/m2=0.1Pa；有效声压：；声压级公式：带入公式得：（1）dB（2）dB（3）dB（4）dB2-151有一平面谐和波其频率为1000Hz，声压幅值是（闻阈）。若此声波在空气中传播，试求：（1）速度势函数；（2）压缩量；（3）质点振速幅值及位移幅值；（4）若此平面波的声压级为（参考），重复计算上述各量，并作比较。解：由题意知，，，声压幅值则正方向的平面谐和波可表示为：（1）若质点运动是无旋的，则质点的运动速度可以用一个标量函数的负梯度表示：则这个标量函数称为质点运动的速度势函数。声场中速度势函数满足的波动方程①②将②代入①得：因此（2）（3）在一维情况下，（4） 2-152声强相等的二列平面谐和波，一列在水里，另一列在空气里传播。试证明：它们的声压幅值之比约为60。若它们声压幅值相等，证明：它们的声强之比约为。证明：因为所以，当时，当时，2-155对于平面声波，试用其声压级表示声强级，并求在什么条件下声强级与声压级相等？解：，声强级与声压级相等2-156空气中一平面波其频率为171Hz，声压级是40dB（参考声压20µPa）。试求：（1）声压幅值；（2）声强；（3）质点振速幅值；（4）声能密度幅值。解：（1）（2）（3）（4）2-157空气中平面声波的频率是100Hz，声压幅值为2Pa。试求：（1）声强与声强级；（2）质点位移振幅；（3）质点振速幅值；（4）有效值声压；（5）声压级（参考声压20µPa）。（标准气压和温度下）解（1）；（2、3）；（4）（5）2-158在平面波声场中，已知媒质质点的位移振幅为5x10-6cm，试计算声波频率为103Hz及105HZ时，空气中及水中的声压振幅、振速幅值及声强。解：； ；2-159声强级为80dB（参考值为10-12W/m2）的平面波在空气中传播。试求：（1）有效声压、瞬时声能密度和平均声能密度；（2）若声强度不变，但在水中传播，重复计算这些量。（参考声压10-6Pa）解：平均声能密度：同理可得在水中传播时上述各量。2-161（1）证明：空气中有效声压为1µbar的平面波的声强级约是74dB。（2）如果水中平面波的声压级为120dB（参考值1µbar），则声强是多少？（3）如果水中与空气中平面波声强相同，试求声压之比。（同152题）解：（1）（2）（3）因为所以，当时，2-162（1）空气中平面波的声强级为70dB，求声能密度和有效声压；（2）水中平面声波的声压级为70dB（参考值1µbar），求其声能密度和有效声压。解：（1）；（2）；2-163已知两声压幅值之比为1，2，3.16，10，100，试求它们声压级之差。若已知两声波的声压级之差为1，3，6，10，20dB，试求它们的声压振幅之比。解：代入上述各值得声压级之差分别为0dB、6dB、10dB、20dB、40dB。代入上述各值得声压振幅之比分别为1.1、1.4、1.995、3.16、10。2-194有效声压50Pa、频率1000Hz的平面波由水中垂直入射到水与空气的平面界面上。试求：（1）透射到空气中的平面波的有效声压是多少？（2）水中入射波和空气中的透射波声强各是多少？（3）如果该平面波由水入射到水—冰界面上，重新计算上述（1）、（2）中各量；（4）冰层的声功率反射系数是多少？（若冰的值为）解：（1）透射系数 （2）；（3）；；（4）2-195平面声波垂直入射到海底，如果反射波比入射波低20dB，问液态海底物质的声阻抗率可能取什么数值？解：2-196由平面声波垂直入射到空气和位置特性阻抗的无限流体的分界面平面上。若已知有一半声能被反射，则求未知的特性阻抗。如果有1/4的能量被反射，未知特性阻抗又是多少？解：设入射方向如右图：由194题知：同理：时；2-199在空气中平面谐和波垂直入射到特性阻抗785Rayl的平表面上，求驻波比等于多少？（驻波比定义为驻波场中声压级大值与极小值的比值）解：驻波比：，因为：所以：2-203水中平面波声压幅值为100Pa，以45度角入射到密度为2000kg/m3、声速为1000m/s的泥底上。试求：（1）泥中折射声线的方向；（2）泥中折射波声压幅值；（3）反射波的声压幅值；（4）声功率的反射系数。解：由Snell定律；； 2-205、试以一维平面波为例，导出理想流体煤质中存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。解：如图所示，所要求解的为I中的声阻抗率的表示式。y-o-z平面为分界面；x<0为介质1；x>0为介质2入射声波pi由x<0区域沿x正向传播,入射到x=0的界面上。产生反射声波pr和透射声波pt。所以有波动方程：边界上压力连续：边界上质点振速的法向分量连续：时间函数为简谐振动条件下的形式解：振速：其中：∵在Ⅱ区域内无反射波，∴B2＝0；A1，A2，B1由边界条件确定。将形式解代入在x＝0处的边界条件，可得：；定义反射系数：所以有其中为流体介质的特性阻抗，R为声压复反射系数，k是波数。即求得I中声阻抗率的一般表达式，即可看作为理想流体煤质中一维平面波场存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式。2-206、试求：（1）1/4波长流体柱；（2）1/2波长流体柱中平面声波传播的声阻抗率。解：由上题可知理想流体煤质中一维平面波场存在反射波时声场某点处的声阻抗率的一般表示式：（1）1/4波长流体柱中平面声波传播时，流体柱的始端坐标为，终端坐标为x＝0，因为，所以始端的输入阻抗率为终端的输入阻抗率为 （2）1/2波长流体柱中平面声波传播时，流体柱的始端坐标为，终端坐标为x＝0，因为，所以始端的输入阻抗率为终端的输入阻抗率为2-207、水中平面波的有效声压为100Pa，正入射到砂底上。已知砂的密度保持2000kg/m3，声速为2000m/s，试求：（1）反射波声压有效值是多少？（2）砂的声功率反射系数是多少？（3）声能全部被反射的最小入射角是多少？解：（1）（2）（3）2-208、测得海底全内反射临界角为，设海底土质与海水的密度比为2.7。若平面波以角入射到海底平面上，求反射波强度与入射波强度之比值是多少？解：；；2-219、水中一块0.2cm的大钢板，试比较频率各为15kHz和30kHz的平面声波垂直入射穿透此板的透声系数的大小？若钢板中有空隙时，透声系数（即折射波声强与入射波声强之比值）将会有何变化？解： 。钢板内有空气时，变小，D变小作业1、试用拉梅常数，表示为弹性常数而应力与应变分量之间的关系由虎克定律有：解：拉梅常数表示应力与应变的关系如下：对比两组方程组，可得：作业2、推导出拉梅系数与杨氏模量和泊松系数的关系。（2）解：拉梅常数表示应力与应变的关系及用杨氏模量和泊松系数表示应力与应变的关系如下：（1）由两组方程组中的切向应力关系式可以得到：由（1）方程组中的正应力三个方程相加得到：由（2）方程组中的正应力三个方程相加得到：上面两式左右相等可得：将带入可得： 2-87、一根长为L的均匀细棒，其一端固定，另一端可自由振动。试求：（1）棒作自由纵振动的固有频率；（2）证明棒中只存在奇数次泛音；（3）若均匀地拉伸棒的自由端使长度达到L0后突然释放证明该端各次谐波振幅为；（4）若棒在初始时刻具有速度，写出棒中位移分布函数；（5）若有一恒定的纵向力作用于棒上，棒的固有频率是否会受影响？解：（1）求棒作自由纵振动的固有频率；均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：用“分离变数法”求解可得形式解：其中，，由固定边条件（位移为0）可得：A＝0所以形式解可化为：，由自由边条件（应力为0）可得：所以有而（n＝0，1，2，…）基频为所以有固有频率为（n＝0，1，2，…）（2）证明棒中只存在奇数次泛音；由固有频率（n＝0，1，2，…）公式可以看出棒中只存在奇数次泛音。（3）若均匀地拉伸棒的自由端使长度达到L0后突然释放证明该端各次谐波振幅为；由（1）可知位移函数表达式为：（n＝0，1，2，…）此时另有初始条件为：；由初始速度为0可得，所以上式化为带入到初始位移表达式中，得： 所以得到z＝L端各次谐波振幅为（4）题有问题，不用作（5）若有一恒定的纵向力作用于棒上，棒的固有频率是否会受影响？不会。因为棒的固有频率只与棒长和棒中纵波波速有关2－88、有一根长1m、横截面积为m2的铜棒两端自由。试求：（1）棒作自由纵振动的基频，棒中哪一位置的位移振幅最小？（2）如果使棒的一端负载加上一个0.18kg的重物，那么棒纵振动的基频变为多少？位移振幅最小的位置此时变到何处？（铜的密度kg/m3）解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：用“分离变数法”求解可得：其中，，由自由边条件（应力为0）可得：B＝0；（n＝0，1，2，…）基频时n＝1所以有（n＝0，1，2，…）（1）基频时n＝1；位移振幅最小即＝0处，所以可得（m＝0，1，2，…）棒中位移要求即基频时棒中心处位移振幅最小。（2）如果使棒的一端负载加上一个0.18kg的重物，那么棒纵振动的基频变为多少？位移振幅最小的位置此时变到何处？边界条件变为：带入到形式解其中，，由自由边条件（应力为0）可得：B＝0；形式解变为：由质量负载边条件可得：又因为所以时基频变为 所以此时位移振幅最小即＝0处，所以可得（m＝0，1，2，…）当m＝0时，，即基频时在处位移振幅最小。xx+dxdxx2－89、证明：一根具有变截面S（x）的圆锥形棒，其自由纵振动的振动方程为。式中、E为材料的密度和弹性模量，为位移函数。证明：细棒中取dz段体元，为：为高阶无穷小量所以略去所以体元受力为即（广义牛顿定律）又因为带入上式有即得证2-90、一根长为L的棒两端卡住，绘出开头三个振动方式的形状。解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：其形式解为：其中，，由固定边条件（位移为0）可得：A＝0；（n＝0，1，2，…）基频时n＝1所以有；位移振幅分布函数为（n＝0，1，2，…）当n＝0时，无论在棒的任何位置位移振幅均为常数An；当n＝1时，，即波节为L/2；所以有z＝0时，位移振幅值为常数An；z＝L/2时，位移振幅值为常数0；z＝L时，位移振幅值为常数An； 当n＝2，，即波节为L/4，3L/4；；所以有z＝0时，位移振幅值为常数An；z＝L/4时（m＝0），位移振幅值为常数0；z＝L/2时，位移振幅值为常数An；z＝3L/4时（m＝1），位移振幅值为常数0；z＝L时，位移振幅值为常数An；2-91、有一根长为L的棒一端固定，另一端有一质量负载M。（1）试求棒作纵振动的频率方程；（2）如果棒以基频f1振动，那么棒的哪一位置位移振幅最大？解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：波动方程形式解为：其中，，由固定边条件可得：A＝0；形式解可变为：由质量负载边条件可得：以基频振动时其位移振幅为，其最大值为1即；因此有当m＝0时在处棒的位移振幅最大2-92、长1m、横截面积为m2的钢丝的下端挂上一个2.0kg的质量块。（1）若将系统视为简谐振子，这时质量块作垂直振动的基频是多少？（2）若将此系统视为一端固定另一端载有质量块的棒，这时系统作自由纵振动的基频是多少？（3）证明：当kL<0.2时，基频可简化为（s为弹性系数）。解：（1）在前提下求系统等效集总参数的类比电路。在上述条件下，有参看书第165页所以有；其中为力作用端的振幅值力作用于棒端（z=L），所以取z=L处为参考点，可求出振动的动能： 所以二者互为等效系统得其振动基频为（2）同上题，得频率方程：由此可算得基频。（3）当kL<0.2时，；所以此处，即得证。2-93、细钢丝棒长L，质量为m，一端有质量负载M1，另一端有质量负载M2，试求出此系统作纵振动的频率方程。解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下： 波动方程形式解为：其中，，由质量负载边条件可得：其中：2-94、棒的长度为L，质量为M，其一端固定，另一端自由。当在自由端加上质量块m时，其作纵振动的基频是没加m之前的基频值的25％，试求所加的质量块m等于多少？解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：用“分离变数法”求解可得：其中，，由固定边条件（位移为0）可得：A＝0所以形式解可化为：，由自由边条件（应力为0）可得：所以有而（n＝0，1，2，…）所以有固有频率为（n＝0，1，2，…）基频为当加上质量块后边界条件变为：由固定边条件可得：A＝0；形式解可变为：由质量负载边条件可得： 由题可知此时的基频带入到上式中有2-95、长度为L，质量为M的细棒，一端自由，其另一端与固定物相连。若固定物的反作用相当于一机械抗（），式中k为弹性系数，为角频率，试求棒作纵振动的基频。解：均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：反作用表示为：又因为；其中，由自由边条件（应力为0）可得：B＝0所以形式解可化为：，由作用力边条件得：2-96、长为L的细棒在其一端受到纵向力的作用，另一端为自由端。（1）求出棒中驻波振幅的表示式；（2）求棒的输入机械阻抗；（3）若棒为无限长，这时其输入机械阻抗为多少？（4）如果棒为铝质，长度为1.0m，横截面积m2，作用力的幅值为10N。试就情况（1）画出在200Hz到2000Hz范围内棒的受力端的振幅与频率的关系；（5）证明：当频率较低或棒较短时本题中长为L的棒相当于集中参数系统的一个弹簧，其弹性系数为（E是弹性模量，S为截面积）。解：（1）求出棒中驻波振幅的表示式；均匀细棒的纵振动的波动方程及边界条件如下：形式解如下：其中，由自由边条件（应力为0）可得：B＝0 所以形式解可化为：，由激励力作用边条件：可得：所以所以驻波振幅表示式为（2）求棒的输入机械阻抗：输入机械阻抗为（3）若棒为无限长，这时其输入机械阻抗为多少？当时，机械阻抗（4）如果棒为铝质，长度为1.0m，横截面积m2，作用力的幅值为10N。试就情况（1）画出在200Hz到2000Hz范围内棒的受力端的振幅与频率的关系；受力端振幅：（5）证明：当频率较低或棒较短时本题中长为L的棒相当于集中参数系统的一个弹簧，其弹性系数为（E是弹性模量，S为截面积）（此题中）如果一端固定一端受力，则可得：当频率较低或棒较短时有：；则有即得证。2-97、一根直径0.01m的铝棒，在何频率下棒中横振动相速度与纵振动相速度数值相等？解：由棒的弯曲振动波动方程：其中： 纵振动时相速度二者相等有：rad/s所以有，即在频率为时棒中横振动相速度与纵振动相速度数值相等。2-98、一根一端夹住的长20cm的退火钢棒，如果截面是边长1cm的正方形，则四个最低的横振动频率是多少？如果截面是半径为0.5cm的圆形，则又如何？如果截面是一边长为b，一边长为2b的长方形，试问当棒的最低频率是250Hz时，b必须是什么数值？（对钢，）解：由棒的弯曲振动波动方程：其中：边条件：方程形式解：带入边条件得：则相对于正方形时，转动惯性矩为： 所以相对应的四个最低频率分别为：如果截面是半径为0.5cm的圆形，则转动惯性矩为：所以相对应的四个最低频率分别为：如果截面是一边长为b，一边长为2b的长方形则转轴垂直于长为b的两对边：所以相对应的最低频率为：2-99、一端固定一端自由，长为L的细棒作横振动。若已知基频时自由端的位移振幅为，试求以来表示的棒的基频位移。解：由棒的弯曲振动波动方程：其中：边条件：形式解：带入边条件得： 则当基频振动时其自由端位移振幅为可知：所以棒的基频位移即可表示出来2-100、长为L的细棒一端固定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移，试求解棒作横振动的位移表示式。解：由棒的弯曲振动波动方程：其中：边条件：形式解：带入边条件得： 带入初条件：；得到＝0；同理可得：2-101、长为L的细棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。解：由棒的弯曲振动波动方程：其中：边条件：形式解：由带入边条件得：又因为有：所以可得频率方程为2-102、一根钢棒长0.5m，半径0.005m，两端自由。试求：（1）棒作横振动的基频；（2）如果棒以基频振动时棒中点处的振幅是2cm，那么棒两端的振幅为多少？解：（1）由棒的弯曲振动波动方程： 其中：边条件：形式解：由带入边条件得：频率方程截面是半径为0.005m的圆形，则转动惯性矩为：则相对于（2）如果棒以基频振动时棒中点处的振幅是2cm，那么棒两端的振幅为多少？以基频振动时的位移表达式如下： 2-103、长为L的细棒两端固定，求棒作横振动的频率方程。解：由棒的弯曲振动波动方程：其中：边条件：形式解：带入形式解后的边条件化为：频率方程2-284、试证：对于谐和球面行波场的声强可表示为：式中：为振速有效值；为媒质的密度和声速；k为波数；r为径向距离。证明：已知谐和球面行波场的声压场：其中振速：波阻抗： 其中；；所以故：将带入上式得到：即得证。2-290、对于谐和球面形波场，其声阻率的最大值是多少？解：波阻抗：所以有声阻率为：当时有最大值，即2-294、已知球面行波场中速度势函数为：，试求：（1）声压；（2）质点振速；（3）声阻抗率；（4）声强解：由据定义和尤拉公式，（1）（2）（3）声阻抗率为：（4）声能流密度为：声强：2-295、半径为0.1m的脉动球在空气中辐射球面波，在距球心1m处的声强为50mW/m2。（1）试求辐射的声功率；（2）如果声源辐射声波的频率为100Hz，试计算球面处的声强、声压幅值和质点振速幅值；（3）计算距离球心0.5m出的声强、声压及质点振速幅值。 解：（1）根据声功率与声强的关系有：w（2）由于脉动球振动的辐射声场为谐和球面行波场，故其声压为：其中振速：其中：所以有；；在温度0℃、1标准大气压下，有瑞利所以有：w/m2；Pa；N·s/m；0.865m/s（3）所以有：w/m2；Pa；N·s/m；0.04614m/s2-298、空气中一脉动球源辐射400Hz的球面波，其声功率为10mw。试求：（1）据声源0.5m处的声强；（2）该距离处的声压幅值；（3）该处的质点振速幅值；（4）该处的质点位移振幅；（5）该处的压缩比；（6）该处的声能密度；（7）声压级（相对Pa）。解：（1）w/m2（2）在标准大气压下，空气密度1.23kg/m3；声速为340m/s；所以有瑞利N/m2（3）rad/mN·s/m； （4）其中m（5）压缩比为由小振幅波状态方程可得：（6）声能密度为声场中单位体积介质所具有的机械能：由声能密度公式其中，为声场中介质的密度可得：在标准大气压下，空气密度1.23kg/m3；声速为340m/s；该处的声能密度为：（7）dB2－299水中有一小脉动球源辐射球面波。试计算离声源1m处频率为100Hz、1000Hz、10000Hz时声压与质点振速间的相位差是多少？求此距离处频率为1000Hz时声阻抗率的幅值是多少？解：声压，则声压与质点振速的相位差为：声阻抗率幅值为2-300、一个半径为0.01m的脉动球源向水中辐射14kHz的球面波。已知离球心1000m处的声压幅值为10dyne/cm2，试求：（1）该处的声波强度和发射的声功率是多少？（2）球面处振速幅值是多少？解：由于又已知rad/m标准情况下水的特性阻抗为：瑞利 （1）则W/m2W（2）N·s/m；2－301一作简谐振动的脉动球源辐射球面波，其径向振速可写为，试求：（1）使式中第二项数值占总数值的99﹪的最小距离；（2）第一项的数值占总数值的99﹪的最大距离。解：令第一项为，则第二项为（1）2－302一脉动球面发射器，其机械系统的等效质量为400g，等效弹性模量（或劲度）为1012dyne/cm，等效阻力系数为104g/s,球源的半径为5cm。试求当球源在水中辐射时的类比电路。设球源的策动力为107cos(105t)dyne，试问离球心1m距离处的声压等于多少？解：声压，波阻抗为：球表面上的波阻抗为声辐射阻抗为辐射阻为，辐射抗为则球源在水中辐射的类比电路为：其中因此：2－303有一部机器在离其声中心10m处量得声压级为100dB（参考 ）。如果把这部机器视为一半径为0.1m且频率为100Hz的脉动球源，那么这个等效球源的声源强度有多大？解：距声中心10m处的声压为：(又因为因此所以)3－305一个半径为0.01m的脉动球源向水中辐射14KHz的球面波。如果把它放在一个充油的球形密闭容器中心，该容器半径为6cm，其壳体甚薄，对声波穿透的影响可以略去，然后再放在开阔水域中。现预在离球心1km处得到10dyne/cm2的声压值，试问该发射器的辐射声功率多大？球源表面处的振速幅值多大？（油的密度0.8g/cm3，1400m/s）解：由题意得：令声源表面的振速为辐射声功率为3－306有一半径为的小脉动球源位于密度、声速、半径R的弹性材料球中，二者同心，并置于密度、声速、的无限流体介质2中。若，试求对于介质2的声透射系数。解：由题意得：带入边条件： 即2-307、在一个极薄的塑料球壳中心处放一个点声源，球内充满绝缘油，密封好后放入无限水域中。设球源的源强度，振动频率为f，球壳半径为a，油及水的特性阻抗分别为和。试证：球壳外的声场中速度势函数可写为：式中D为透射系数，式中k为波数，；；证明：I波场中的声压表达式为其中振速表达式：II波场中的声压表达式为其中振速表达式：由边界条件：；得：其中R为反射系数，D为透射系数由得：III由于源强度，可得： 其中2－312半径为的脉动球具有径向表面振速，其中为常数。试证表面上的声辐射阻抗为，其中，式中为波数。这是否对ka的任意值都正确？解：声压为，振速为因此波阻抗为球表面上的波阻抗为声辐射阻抗为2－313有一半径为0.1m的脉动球源，在无限介质中辐射100Hz的球面声波，试求：（1）在空气中的辐射的共振质量；（2）在水中辐射的共振质量。解：球源表面处的波阻抗为则：声辐射阻抗为共振质量所以2－314半径为0.02m的脉动球源向水中辐射1000Hz的声波，球源表面振速幅值为0.05m/s，试求该球源辐射的声功率。解：2-328、在距无穷大刚性平壁前h距离处有一源强度为Q0的点声源。试求其远场某点的声强，并就及的情形画出声强的角度分布图形。计算其辐射的声功率，并与无限媒质中相同的点声源加以比较。（式中k为波数，a为球源半径）解：点声源声场速度势函数为：r刚性hQ0Q0P其中Q为源强度；r空间点到声源的距离由于刚性壁对声源的影响等效于一个对偶虚声源的作用，如图所示所以有；按叠加原理（略记）， ；当时，；；远场声压为：质点振速为：2-329、试求如题图2-329所示的绝对软分界面前源强度为q的偶极子的远场辐射声压表示式。解：第二章给出点声源声场速度势函数为：其中Q为源强度；r空间点到声源的距离+-rP软DD/2qqq-+qq由于刚性壁对声源的影响等效于一个对偶虚声源的作用，如图所示所以有；所以有；；按叠加原理（略记），；当时，；；；当时，；；；远场声压为： 2-330、证明：如题图2-330所示的刚性壁面前源强度为q的偶极子的远场声压为如果偶极子的轴平行壁面放置，结果如何？证明：（1）第二章给出点声源声场速度势函数为：其中Q为源强度；r空间点到声源的距离+-rP硬DD/2qqq+-qq由于刚性壁对声源的影响等效于一个虚声源的作用，如图所示所以有；；按叠加原理（略记），；当时，；；；远场声压为：如果偶极子的轴平行壁面放置：如图所示qrP硬-q+qD+q-qd同上解，则当时；；； 远场声压为：11．同一辐射换能器,在水中辐射声波时和在空气中辐射声波时,其振动系统的振速幅频特性曲线有何不同?为什么?解：辐射换能器向介质中辐射声波时，其机械振动系统的等效类比电路为：（2）其中，Zm为机械阻抗；Zs为辐射阻抗，Zs=Rs+jXs，它与介质的特性阻抗有关。在水中和空气中有：Rs水>>Rs空气；Xs水>>Xs空气（2）因为U=F/（Zm+Zs），所以，水中和空气中的振速幅频特性曲线差别如下图：（6）12．声场中接收器接收声信号，接收的振动信号产生畸变的原因有哪些？解：接收器接收声信号时，其机械振动系统的等效类比电路为：（2）其中，，接收压力系数，它是声波频率的函数；Zm，为机械阻抗，其值是声波频率的函数；Zs2为二次辐射阻抗，是声波频率的函数。因为：（2）所以，接收的振动信号产生畸变的原因为：（接收压力系数）、Zm（机械阻抗）、（Zs2二次辐射阻抗）是声波频率的函数。（6）13．系统示意图如下，画出阻抗型机电类比图 解：系统简图：导纳型机电类比图：阻抗型机电类比图：14．系统示意图如下，画出阻抗型机电类比图解：系统简图：导纳型机电类比图：阻抗型机电类比图：'