考研数学二历年真题及答案详解(2003—2014).doc 155页

'数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设，当时，（）（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小（D）与等价无穷小2．已知是由方程确定，则（）（A）2（B）1（C）-1（D）-2３．设，则（）（Ａ）为的跳跃间断点．（Ｂ）为的可去间断点．　　　　155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（Ｃ）在连续但不可导．（Ｄ）在可导．４．设函数，且反常积分收敛，则（）（A）（B）（C）（D）５．设函数，其中可微，则（）（A）（B）（C）（D）6．设是圆域的第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．8．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A）（B），为任意常数（C）（D），为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．．10．设函数，则的反函数在处的导数155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）．11．设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为．12．曲线上对应于处的法线方程为．13．已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足方程的解为．14．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=．三、解答题15．（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数．16．（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求．18．（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得．19．（本题满分10分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．20．（本题满分11）设函数⑴求的最小值；⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．21．（本题满分11）设曲线L的方程为．（1）求L的弧长．（2）设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标．22．本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．23（本题满分11分）设二次型．记．（1）证明二次型对应的矩阵为；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(1)曲线的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数，其中为正整数,则()(A)(B)(C)(D)(3)设，则数列有界是数列收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设则有()(A)(B)(C)(D)(5)设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是()(A)(B)(C)(D)(6)设区域由曲线围成，则()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)(B)(C)(D)155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(8)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则()(A)(B)(C)(D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设是由方程所确定的隐函数，则.(10).(11)设其中函数可微，则.(12)微分方程满足条件的解为.(13)曲线上曲率为的点的坐标是.(14)设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分10分)155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I)求的表达式;(II)求曲线的拐点.(20)(本题满分10分)证明,.(21)(本题满分10分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)设，(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)已知，二次型的秩为2，(I)求实数的值；(II)求正交变换将化为标准形.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当时，函数与是等价无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）（2）设函数在处可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）（3）函数的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程的特解形式为（）（A）（B）（C）（D）（5）设函数，均有二阶连续导数，满足，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（）（A），（B），（C），（D），（6）设，，，则，，的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（7）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵。记，，则=（）（A）（B）（C）（D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9）。（10）微分方程满足条件的解为。（11）曲线的弧长。（12）设函数，则。（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分。（14）二次型，则的正惯性指数为。三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知函数，设，试求的取值范围。（16）（本题满分11分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点。（17）（本题满分9分）设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。（18）（本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。（19）（本题满分10分）（I）证明：对任意的正整数，都有成立。（II）设，证明数列收敛。（20）（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：，重力加速度为，水的密度为）（21）（本题满分11分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分。（22）（本题满分11分）设向量组，，不能由向量组，，线性表示。（I）求的值；（II）将用线性表示。（23）（本题满分11分）设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且。（I）求的所有的特征值与特征向量；（II）求矩阵。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题(1)A0B1C2D32.设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则AB155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）CD(1)A4eB3eC2eDe4.设为正整数,则反常积分的收敛性A仅与取值有关B仅与取值有关C与取值都有关D与取值都无关5.设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=ABCD6.(4)=ABCD7.设向量组，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则B若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则D若向量组II线性相关，则r>s(A)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于ABCD二填空题155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）9.3阶常系数线性齐次微分方程的通解y=__________10.曲线的渐近线方程为_______________11.函数12.13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________14.设A，B为3阶矩阵，且三解答题15.16.(1)比较与的大小,说明理由.(2)记求极限17.设函数y=f(x)由参数方程18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）17.18.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=,证明：存在19.23.设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数，则（）1.2.3.无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则（）....（3）设函数的全微分为，则点（）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）不是的连续点.不是的极值点.是的极大值点.是的极小值点.（4）设函数连续，则（）....（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（）有极值点，无零点.无极值点，有零点.有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（）.0231-2-11.0231-2-11155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）.0231-11.0231-2-11（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）....（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（）....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（9）曲线在处的切线方程为（10）已知,则（11）（12）设是由方程确定的隐函数，则（13）函数在区间上的最小值为(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10分）计算不定积分（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（19）（本题满分10分）求二重积分，其中（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。（22）（本题满分11分）设，（Ⅰ）求满足的所有向量（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（）01.23（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（）曲边梯形ABOD面积.梯形ABOD面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵.若，则（）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（）....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数连续，且，则.（10）微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为.（12）曲线的拐点坐标为______.（13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限.(16)（本题满分10分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.(17)（本题满分9分）求积分.(18)（本题满分11分）求二重积分其中(19)（本题满分11分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得(2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证；（2）为何值，方程组有唯一解，并求；（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关；（2）令，求.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）[]（2）函数在上的第一类间断点是[]（A）0（B）1（C）（D）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：（A）(B)（C）（D）[]（4）设函数在处连续，下列命题错误的是：（A）若存在，则（B）若存在，则.（C）若存在，则（D）若存在，则.[]（5）曲线的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散.[]（7）二元函数在点处可微的一个充要条件是[]（A）.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（B）.（C）.（D）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A）（B）（C）（D）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)(B)(C).(D).[]（10）设矩阵，则与(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）__________.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________.（13）设函数，则________.（14）二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.（15）设是二元可微函数，，则__________.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（16）设矩阵，则的秩为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分）设是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.（21）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.（22）(本题满分11分)设二元函数，计算二重积分，其中.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（23）(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（24）(本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线的水平渐近线方程为（2）设函数在处连续，则.（3）广义积分.（4）微分方程的通解是（5）设函数由方程确定，则（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则[](A).(B).(C).　　　　(D).　　（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.[]（9）设函数可微，，则等于（A）.（B）（C）（D）[]（10）函数满足的一个微分方程是（A）（B）（C）（D）[]（11）设为连续函数，则等于（Ａ）.（B）.(C)　.　　(D).[]（12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是[](A)若，则.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(B)若，则.(C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　　　　　（13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是[](A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　　］三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求.（17）（本题满分10分）设区域，计算二重积分155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（18）（本题满分12分）设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.（19）（本题满分10分）证明：当时，.（20）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证；（II）若，求函数的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；（Ⅱ）求的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）是线性方程组的两个解.(Ⅰ)　求的特征值与特征向量；(Ⅱ)　求正交矩阵和对角矩阵,使得.　　2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=.（2）曲线的斜渐近线方程为.（3）.（4）微分方程满足的解为.（5）当时，与是等价无穷小，则k=.（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[]（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[]（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A).(B).(C).(D).[]（11）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A).（B）.(C).(D).[]（12）设函数则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A).(B).(C).(D).[]（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则[]155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(A)交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限（16）（本题满分11分）如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象.过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和.记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（18）（本题满分12分）用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在使得；（II）存在两个不同的点，使得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2004年考硕数学（二）真题一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为____..155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（3）_____..（4）设函数由方程确定,则______.（5）微分方程满足的特解为_______.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则______-.二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.（9）等于（A）.（B）.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（C）.（D）（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（A）.（B）.（C）.（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时,在处可导.（17）（本题满分11分）设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.（18）（本题满分12分）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.（19）（本题满分12分）设,证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注表示千克,表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若时，与是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）的麦克劳林公式中项的系数是__________.（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5）设为3维列向量，是的转置.若，则=.（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A)对任意n成立.(B)对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.[]（2）设,则极限等于(A).(B).(C).(D).[]（3）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）(B)(C)(D)[]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（5）设,,则(A)(B)155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(C)(D)[]（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.[]三、（本题满分10分）设函数问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求五、（本题满分9分）计算不定积分六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.七、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2)求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限存在，证明：(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点，使；(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使十一、（本题满分10分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）（10）（11）（12）（13）（14）[-2,2]三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】因为，①得到，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），。所以时，取极大值。时，取极小值。由①可知，，因为，所以，。所以时，取极大值。时，取极小值。（16）【答案】（17）【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）令，则，故由得（16）【答案】证明：1）因为，所以有定积分比较定理可知，，即。2）令由1）可知，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）所以。由是单调递增，可知由因为，所以，单调递增，所以，得证。（16）【答案】因为所以所以（21）【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（22）【答案】①②（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．【详解】显然当时，故应该选（C）．2．【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将代入方程得，在方程两边求导，得，代入，知．，故应该选（A）．３．【详解】只要注意是函数的跳跃间断点，则应该是连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．【详解】，其中当且仅当时才收敛；而第二个反常积分，当且仅当才收敛．从而仅当时，反常积分才收敛，故应选（Ｄ）．155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）５．【详解】．应该选（A）．6．【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）．7．【详解】把矩阵A，C列分块如下：，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．8．【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．从而可知，即，为任意常数，故选择（B）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．【详解】．10．【详解】由反函数的求导法则可知155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）．11．【详解】所以．答案为．12．【详解】当时，，，所以法线方程为，也就是．13．【详解】显然和是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中为任意常数．把初始条件代入可得，所以答案为14．【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知，所以可能为或0．但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以三、解答题15．【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当时，，，，所以155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），由于与是等价无穷小，所以．16．【详解】由微元法可知；；由条件，知．17．【详解】．18．【详解】证明：（1）由于为奇函数，则，由于在上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在，使得．（2）由于为奇函数，则为偶函数，由（1）可知存在，使得，且，令，由条件显然可知在上可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得即．19．【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）令，得唯一驻点，即．考虑边界上的点，；距离函数在三点的取值分别为，所以最长距离为，最短距离为1．20．【详解】（1），令，得唯驻点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以函数在处取得最小值．（2）证明：由于，但，所以，故数列单调递增．又由于，得到，数列有界．由单调有界收敛定理可知极限存在．令，则，由（1）的结论可知．21．【详解】（1）曲线的弧微分为，所以弧长为．155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（2）设形心坐标为，则．22．【详解】显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设，则变形为，即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得．此时，，所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），其中为任意常数．23【详解】证明：（1）所以二次型对应的矩阵为．证明（2）设，由于则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；，所以为矩阵对应特征值的特征向量；而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值．故在正交变换下的标准形为．155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题（1）【答案】：（C）【解析】：，所以为垂直渐近线，所以为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。（2）【答案】：（C）【解析】：所以，故选（C）。（3）【答案】：(B)【解析】：由于，是单调递增的，可知当数列有界时，收敛，也即是存在的，此时有，也即收敛。反之，收敛，却不一定有界，例如令，显然有收敛，但是无界的。故数列有界是数列收敛的充分非必要条件，选(B)。（4）【答案】：(D)【解析】：由于当时，可知，也即，可知。又由于，对做变量代换得，故由于当时，可知，也即，可知。综上所述有，故选(D).（5）【答案】：(D)155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【解析】：，表示函数关于变量是单调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当时，必有，故选D（6）【答案】：（D）【解析】：区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线将区域分为四部分。由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数积分为零，故；又由于关于轴对称，可知在上关于的奇函数为零，故。因此，故选（D）。（7）【答案】：（C）【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）。（8）【答案】：（B）【解析】：，则，故故选（B）。二、填空题（9）【答案】：【解析】：将代入原方程可得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）方程两端对求导，有，将、代入可得，所以再次求导得，再将、、代入可得。（10）【答案】：【解析】：原式（11）【答案】：.【解析】：因为，所以（12）【答案】：【解析】：为一阶线性微分方程，所以又因为时，解得，故.（13）【答案】：【解析】：将代入曲率计算公式，有整理有，解得，又，所以，这时，故该点坐标为（14）【答案】：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【解析】：，其中，可知。三、解答题（15）【解析】：（1），即（2）,当时，由又因为，当时，与等价，故，即（16）【解析】：，先求函数的驻点：令，解得驻点为.又对点，有所以，，故在点处取得极大值.对点，有所以，，故在点处取得极小值.（17）【解析】：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）如图设切点坐标为，斜率为，所以设切线方程为，又因为该切线过，所以，故切线方程为：切线与轴交点为（1）（2）（18）【解析】：令得，原式。（19）【解析】：1）特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。故155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2）曲线方程为，则，令得。为了说明是唯一的解，我们来讨论在和时的符号。当时，，可知；当时，，可知。可知是唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线在左右两边的凹凸性相反，可知点是曲线唯一的拐点。（20）【解析】：令，可得当时，有，，所以，故。而，即得，也即。当时，有，，所以，故。而，即得，也即。当时，显然有。可知，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（21）【解析】：(1)由题意得：令，则，再由，由零点定理得在至少存在一个零点，也即方程在区间内至少有一个实根。又由于在上是单调的，可知在内最多只有一个零点。故方程在区间内有且仅有一个实根。（2）由于，可知（ⅰ），进而有，可知（ⅱ），比较（ⅰ）式与（ⅱ）式可知，故单调。又由于，也即是有界的。则由单调有界收敛定理可知收敛，假设，可知。当时，。（22）【解析】：（Ⅰ）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（Ⅱ）可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为线性方程组存在2个不同的解，有.即：，得或-1.当时,，显然不符，故.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（23）【解析】：1）由可得，，可知。2）令矩阵解得矩阵的特征值为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：对于得对应的特征向量为：将单位化可得：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），，令可将原二次型化为。2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析选择题：CBCCABDD填空题：9.10.11.12.1314.未找到该年试题选择题及填空题解析，望见谅！解答题：15.解：16.解：没找到答案，望见谅！17.解：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(A)解：19.解：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）20.解：21.解：22.解：23.解：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析选择题答案：BACDBDAD填空题答案：I、10.y=2x11.(D)13.3cm/s14.3三解答题155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）15.列表讨论如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+极小极大极小16.17155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）.18解：S1S2yx155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）19解：20.21.22.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）23.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：（1）【答案】C【解析】则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）【答案】A【解析】为等价无穷小，则故排除.另外存在，蕴含了故排除.所以本题选A.（3）【答案】D【解析】因可得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）又在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点.（4）【答案】C【解析】的积分区域为两部分：，将其写成一块故二重积分可以表示为，故答案为C.（5）【答案】B【解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得，在上，，即单调减少，没有极值点.对于，（拉格朗日中值定理）而155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）由零点定理知，在上，有零点.故应选（B）.（6）【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减.②时，单调递增.③时，为常函数.④时，为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为.（7）【答案】B【解析】根据若分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆（8）【答案】A【解析】，即：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）二、填空题（9）【答案】【解析】所以所以切线方程为.（10）【答案】【解析】因为极限存在所以（11）【答案】0【解析】令所以即155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（12）【答案】【解析】对方程两边关于求导有，得对再次求导可得，得当时，，，代入得（13）【答案】【解析】因为，令得驻点为.又，得，故为的极小值点，此时，又当时，；时，，故在上递减，在上递增.而，，所以在区间上的最小值为.(14)【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到得特征值是而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则三、解答题（15）【解析】（16）【解析】令得而所以（17）【解析】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（18）【解析】解微分方程得其通解为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表示为于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（19）【解析】由得，.（20）【解析】由题意，当时，，即，得，又代入得，从而有当时，得的通解为令解为，则有，得，故，得的通解为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）由于是内的光滑曲线，故在处连续于是由，故时，在处连续又当时，有，得，当时，有，得由得，即故的表达式为或，又过点，所以.（21）【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且.根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）故存在，且.（22）【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得，求特解，令，得故，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得求特解故，其中为任意常数.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（Ⅱ）证明：由于故线性无关.（23）【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则1)若，则，，不符题意2)若，即，则，，符合3)若，即，则，，不符题意综上所述，故.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析(1)【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点.又中含有因子，故也是的零点，D正确.(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积．(3)【答案】【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即.故以已知函数为通解的微分方程是(4)【答案】【详解】时无定义，故是函数的间断点因为同理又所以是可去间断点，是跳跃间断点.(5)【答案】【详解】因为在内单调有界，且单调.所以单调且有界.故一定存在极限.(6)【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】用极坐标得所以(7)【答案】【详解】，故均可逆．(8)【答案】【详解】记，则，又所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确.二、填空题(9)【答案】2【详解】所以(10)【答案】【详解】微分方程可变形为所以(11)【答案】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】设，则，将代入得，所以切线方程为，即(12)【答案】【详解】时，；时，不存在在左右近旁异号，在左右近旁，且故曲线的拐点为(13)【答案】【详解】设，则所以所以(14)【答案】-1【详解】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）三、解答题(15)【详解】方法一：方法二：(16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即所以方法二：由得，积分并由条件得，即所以所以(17)【详解】方法一：由于，故是反常积分.令，有，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）方法二：令，有，O0.52xD1D3D2故，原式(18)【详解】曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为O0.52xD1D3D2155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知上式两端对求导得，即由分离变量法解得，即将代入知，故，于是所求函数为(20)【详解】(I)设与是连续函数在上的最大值与最小值，即由定积分性质，有，即由连续函数介值定理，至少存在一点，使得即(II)由(I)的结论可知至少存在一点，使又由，知对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数令解方程组得故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值设令解得，代入，得故所求的最大值为72，最小值为6.(22)【详解】(I)证法一：155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以(III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．(23)【详解】(I)证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），又，整理得：则线性相关，矛盾.所以，线性无关.证法二：设存在数，使得(1)用左乘(1)的两边并由得(2)(1)—(2)得(3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II)记，则可逆，所以.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析1【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当时，，，，故用排除法可得正确选项为（B）.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）事实上，，或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.【详解】函数在均无意义，而；；.所以为函数的第一类间断点，故应选（A）.【评注】本题为基础题型.对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.段函数的定积分.3【详解】利用定积分的几何意义，可得，，.所以，故选（C）.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.4【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.5【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】，所以是曲线的水平渐近线；，所以是曲线的垂直渐近线；，，所以是曲线的斜渐近线.故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意当时的极限不同.6【分析】本题依据函数的性质，判断数列.由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）取，，，而发散，则可排除（A）；取，，，而收敛，则可排除（B）；取，，，而发散，则可排除（C）；故选（D）.事实上，若，则.对任意，因为，所以，对任意，.故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.7【分析】本题考查二元函数可微的充分条件.利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.【详解】本题也可用排除法，（A）是函数在连续的定义；（B）是函数在处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续，所以（A）（B）（D）均不能保证在点处可微.故应选（C）.事实上，由可得，即同理有从而155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）=.根据可微的判定条件可知函数在点处可微，故应选(C).【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微.8,【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，，则，故应选（B）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.9【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性.一般令，若，则线性相关；若，则线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由可知应选（A）.或者因为，而，所以线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.10.【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由可得，所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0.所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本题为未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.【详解】.【评注】本题利用了洛必达法则.本题还可用泰勒级数展开计算.因为，所以.12【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义.【详解】因为，所以曲线在对应于的点的切线斜率为，故曲线在对应于的点的法线斜率为.【评注】本题为基础题型.13【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】，则，故.【评注】本题为基础题型.14【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，则其通解为.【详解】对应齐次方程的特征方程为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），则对应齐次方程的通解为.设原方程的特解为，代入原方程可得，所以原方程的特解为，故原方程的通解为，其中为任意常数.【评注】本题为基础题型.15【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得，，所以.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.16【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.【详解】.【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型.17【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可.【详解】两边对求导得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），（）两边积分得.（1）将代入题中方程可得.因为是区间上单调、可导的函数，则的值域为，单调非负，所以.代入（1）式可得，故.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.18【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V(a)的最值即可【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）令，得.当时，，单调增加；当时，，单调减少.所以在取得极大值，即为最大值，且最大值为.【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等.19【分析】本题为不含的可降阶方程，令，然后求解方程.【详解】本题不含，则设，于是，原方程变为，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）则，解之得，将代入左式得，于是，结合得，故.【评注】本题为基础题型.20.【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意需用隐函数求导法确定..【详解】令，则.两边对求导得，又，可得在两边对求导得.所以..【评注】也可利用两边对求导得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）可得.21【分析】由所证结论可联想到构造辅助函数，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令，则在上连续，在内具有二阶导数且.（1）若在内同一点取得最大值，则，于是由罗尔定理可得，存在，使得.再利用罗尔定理，可得存在，使得，即.（2）若在内不同点取得最大值，则，于是，于是由零值定理可得，存在，使得于是由罗尔定理可得，存在，使得.再利用罗尔定理，可得，存在，使得，即.【评注】对命题为的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.22【分析】由于积分区域关于轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以，其中为在第一象限内的部分.而.所以.【评注】被积函数包含时,可考虑用极坐标，解答如下：.23【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得.【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）.显然，当时无公共解.当时，可求得公共解为,为任意常数；当时，可求得公共解为.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.（24）【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I），则是矩阵的属于－2的特征向量.同理可得，.所以的全部特征值为2，1，1设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得.即，解方程组可得的属于1的特征向量，其中为不全为零的任意常数.由前可知的属于－2的特征向量为，其中不为零.（II）令，由（Ⅰ）可得，则.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式.请记住以下结论：（1）设是方阵的特征值，则分别有特征值可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（1）（2）（3）（4）（5）当x=0时，y=1，又把方程每一项对x求导，(6)2解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.二、选择题（7）A由严格单调增加是凹的即知（8）B（9）C∵，g(1)=（10）D将函数代入答案中验证即可.（11）C（12）D今代入(1)得今故选[D](13)A本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,…,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得c1a1+c2a2+…+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+…+csAas=0,于是Aa1,Aa2,…,Aas线性相关.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.a1,a2,…,as线性无关Ûr(a1,a2,…,as)=s.2.r(AB)£r(B).矩阵(Aa1,Aa2,…,Aas)=A(a1,a2,…,as),因此r(Aa1,Aa2,…,Aas)£r(a1,a2,…,as).由此马上可判断答案应该为(A).(14)B用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10C=B010=BP-1=PAP-1.001三、解答题（15）解：泰勒公式代入已知等式得整理得比较两边同次幂函数得B+1=A①C+B+=0②③式②-③得代入①得代入②得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（16）解：原式=.（17.）解：用极坐标系.（18）证：（1）单调减少有下界根据准则1，存在在两边取极限得因此（2）原式离散型不能直接用洛必达法则155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）先考虑用洛必达法则.（19）证：令只需证明严格单调增加严格单调减少又故单调增加（严格）得证（20）证：（I）155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（II）令（21）解：（I）（II）切线方程为，设，，则得点为（2，3），切线方程为（III）设L的方程则由于（2，3）在L上，由155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(22)解:①设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1111-11111-1(A|b)=435-1-1®0–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:102-42®01-15-3.00000得同解方程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2任意.(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T,a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得QTAQ=L.解:①条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0,c¹0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2,c1,c2不都为0.②将a0单位化,得h0=(,,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T,h2=(-,,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且300QTAQ=Q-1AQ=000.0002005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：=，于是，从而=方法二：两边取对数，，对x求导，得，于是，故=（2）.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】因为a=，于是所求斜渐近线方程为（3）.【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令，则=（4）.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（5）.【分析】题设相当于已知，由此确定k即可.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】由题设，==，得（6）2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有二、选择题（7）[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).（9）[A]【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：,故应(A).（10）[D]【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有==应选(D).（11）[B]【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（12）[D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且，所以x=0为第二类间断点；，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（14）[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).三、解答题（15）【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】由于,于是====（16）【分析】利用定积分的几何意义可确定面积，再根据建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】如图，有，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），由题设，得，而，于是两边对y求导得，故所求的函数关系为：（17）【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,;f(3)=2,由分部积分，知==（18）【分析】先将转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【详解】，，代入原方程，得.解此微分方程，得，将初始条件代入，有.故满足条件的特解为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（19）【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（20）【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式.而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】由题设，知，，于是，且，从而，再由f(1,1)=2，得C=2,故令得可能极值点为x=0,y=0.且，，，，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）解得可能极值点；；；代入f(x,y)得，可见z=f(x,y)在区域内的最大值为3，最小值为-2.（21）【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记，，于是===+=（22）【分析】向量组可由向量组线性表示，相当与方程组：.均有解，问题转化为=是否均成立？这通过初等变换化解体形讨论即可.而向量组不能由向量组线性表示，相当于至少有一个向量不能由表示，即至少有一方程组，无解.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】对矩阵作初等行变换，有=，当a=-2时，,显然不能由线性表示，因此；当a=4时，，然均不能由线性表示，因此.而当且时，秩，此时向量组可由向量组线性表示.又，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）由题设向量组不能由向量组线性表示，必有或，即a=1或.综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1.（23）【分析】AB=O,相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k,则r(B)=2,于是r(A),显然r(A),故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：为任意常数.(2)若k=9，则r(B)=1,从而1）若r(A)=2,则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一.填空题（1）0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）当时,,所以,因为故为的间断点.（2）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令.又单调增,在时,。(时，时，曲线凸.)（3.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解1】.【详解2】.（4）.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令则,,,,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而（5）.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:积分得设为非齐次方程的通解,代入方程得155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）从而,积分得,于是非齐次方程的通解为,故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.（6）.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】,,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）,.【详解2】由,得二.选择题（7）【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】,即.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.（8）【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,从而时,凹,时,凸,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.（9）【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）故选（B）.（10）【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质,,使时,有即时,，时,,故选（C）.（11）【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程的特征方程为,特征根为,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）对而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为对,因为特征根,从而其特解形式可设为从而的特解形式可设为（12）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,,,故应选（D）.（13）【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】由题意,,,从而,故选（D）.（14）【分析】将写成行矩阵,可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵,可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设,记（1）由于,所以至少有一(),从而由（1）知,,于是线性相关.又记,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）则由于,则至少存在一(),使,从而线性相关,故应选（A）.三.解答题（15）【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】原式【详解2】原式155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（16）【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】(Ⅰ)当,即时,.(Ⅱ)由题设知..令,得.即当时,在处可导.（17）【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】(Ⅰ),设,则有,故是以为周期的周期函数.(Ⅱ)因为在上连续且周期为,故只需在上讨论其值域.因为,155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）令,得,,且,,又,,的最小值是,最大值是,故的值域是.（18）【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】(Ⅰ),,.(Ⅱ),155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）（19）【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设,则,所以当时,,故单调减小,从而当时,,即当时,单调增加.因此,当时,,即故.【详证2】设,则,时,,从而当时,,时,单调增加.时,。令有155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）即.【详证3】证对函数在上应用拉格朗日定理,得,.设,则,当时,,所以单调减小,从而,即,故（20）【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时,设时刻飞机的滑行距离为,速度为.根据牛顿第二定律,得.又,,积分得,由于,,故得,从而.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）当时,.所以,飞机滑行的最长距离为.【详解2】根据牛顿第二定律,得.所以,两边积分得,代入初始条件,得,,故飞机滑行的最长距离为.【详解3】根据牛顿第二定律,得,,其特征方程为,解得,，故，由,，得，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）.当时,.所以,飞机滑行的最长距离为.（21）【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】,,.（22）【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵作初等行变换,有当时,,故方程组有非零解,其同解方程组为.由此得基础解系为,,,于是所求方程组的通解为,其中为任意常数.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）当时,当时,,故方程组也有非零解,其同解方程组为由此得基础解系为,所以所求方程组的通解为,其中为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式.当,即或时,方程组有非零解.当时,对系数矩阵作初等行变换,有故方程组的同解方程组为.其基础解系为,,,于是所求方程组的通解为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）,其中为任意常数.当时,对作初等行变换,有故方程组的同解方程组为其基础解系为,所以所求方程组的通解为,其中为任意常数（23）【分析】由矩阵特征根的定义确定的值，由线性无关特征向量的个数与秩之间的关系确定是否可对角化.【详解】的特征多项式为.若是特征方程的二重根,则有,解得.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）当时,的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而可相似对角化.若不是特征方程的二重根,则为完全平方,从而,解得.当时,的特征值为2,4,4,矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而不可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一．选择题1.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.2..【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式两边直接对x求导，得，155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）将x=1,y=1代入上式，有故过点(1,1)处的切线方程为，即3..【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】因为，，，于是有，故麦克劳林公式中项的系数是【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.4..【分析】利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】所求面积为=.5..【分析】本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由=，知，于是【评注】一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有6..【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】由知，，即，易知矩阵A+E可逆，于是有再两边取行列式，得，因为,所以.二、选择题7.【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).8..【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为==，可见=【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.9..【分析】将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】将代入微分方程，得，即.令lnx=u，有，故=应选(A).【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10..【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)..11..【分析】直接计算是困难的，可应用不等式tanx>x,x>0.【详解】因为当x>0时，有tanx>x，于是，，从而有，，可见有且，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】本题没有必要去证明，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)一定为正确选项.12..【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如，则，但155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C).故正确选项为(D).三、13..【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即【详解】===令，有，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.14【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【详解】由，，得所以==当x=9时，由及t>1得t=2,故15..【分析】被积函数含有根号，典型地应作代换：x=tant,或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即x=tant.【详解】设，则==又==，故因此==155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）【评注】本题也可用分布积分法：====，移项整理得=16..【分析】将转化为比较简单，=，关键是应注意：==.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1)由反函数的求导公式知，于是有==.代入原微分方程得(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程的通解为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）设方程(*)的特解为，代入方程(*)，求得，故，从而的通解是由，得.故所求初值问题的解为17..【分析】问题等价于讨论方程有几个不同的实根.本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）.【详解】设，y则有4-k不难看出，x=1是的驻点.O1x当时，，即单调减少；当x>1时，，即单调增加，故为函数的最小值.当k<4，即4-k>0时，无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即4-k=0时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即4-k<0时，由于；，故有两个实根，分别位于(0,1)与内，即两条曲线有两个交点.【评注155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）】讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.18..【分析】(1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程.(2)将曲线y=f(x)化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可.【详解】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0，则，故Q点的坐标为由题设知，即积分得(C为任意常数).由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为(2)曲线y=sinx在[0，]上的弧长为曲线y=f(x)的参数方程为故，令，则155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）=【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到，而不是从0到19..【分析】液面的面积将以的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为,从而(2)液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得，即解此微分方程，得，其中C为任意常数，由知C=2,故所求曲线方程为【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解。20..【分析】(1)由存在知，f(a)=0,利用单调性即可证明f(x)>0.(2)要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明.(3)注意利用(2)的结论证明即可.【详解】(1)因为存在，故又155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014），于是f(x)在(a,b)内单调增加，故(2)设F(x)=,,则，故满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使，即.(3)因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2)的结论得，即有【评注】证明(3)，关键是用（2）的结论：（根据(2)结论），可见对f(x)在区间上应用拉格朗日中值定理即可.21..【分析】已知A相似于对角矩阵，应先求出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a.至于求P，则是常识问题.【详解】矩阵A的特征多项式为155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）=，故A的特征值为由于A相似于对角矩阵，故对应应有两个线性无关的特征向量，即，于是有由，知a=0.于是对应于的两个线性无关的特征向量可取为，当时，，解方程组得对应于的特征向量令，则P可逆，并有22..【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线交于一点，则线性方程组155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）(*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于=,但根据题设，故充分性：由，则从必要性的证明可知，，故秩由于=，故秩(A)=2.于是，秩(A)=秩=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点，则为Ax=0的非零解，其中155 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2014）于是.而=,但根据题设，故充分性：考虑线性方程组(*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组(**)因为=-,故方程组(**)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.祝各位考研成功！155'