考试点专业课：上海交通大学819信号与系统基础课程内部讲义.pdf 39页

'上海上海交通大学交通大学819819819819信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统（基础课程内部讲义） 第一部分前言从2009年开始，国家教育部正式将硕士学位分为学术型和专业型两种类型的硕士学位，并且，在3月中旬公布的国家复试分数线中，第一次分学术型和专业型进行复试划线。这一现象深刻反映了研究生招生单位对考生专业能力的真实需求，也充分说明了专业课对每一个考研人的重大意义。从重要性角度来讲，在考研竞争中，专业课对于考生的重要性远远大于任何一门公共课，专业课在初试和最终录取时的权重：最终录取时高达51%551%1%（考数学）、72%772%2%（不考数学）；考研考试与录取规则发生根本变化：专业课统考趋势加强、复试更加看重专业课，毕竟老师所看重的一定是学生的专业知识储备和科研能力。从专业课本身特点考虑，专业课学习起来相比公共课要复杂得多。首先没有明确的学习范围，不容易确定复习的范围和重难点，也就说考生在学习的时候没有明确的学习范围，也不知道老师的命题范围和命题要求是什么，这对专业课学习来说，非常致命。每年很多同学都会遭遇专业课的黑洞效应，公共课只要多学一点，就能考好一点，只是程度不同而已，但专业课却经常会出现学的越多，却考的越差的怪现象。其次考研基本上都是跨档次考，因而专业课复习更难，几乎所有参加考研的学生都是以本校本专业为逻辑起点，要么选择更好的学校，要么选择更好的专业，要么选择更好的地区。因此，对考生来说，考研的专业课就一定比考生原来本科所学的专业课要难，哪怕他是考本校本专业，他的竞争对手也是来自全国各地，不再是同班同学的竞争，他的竞争环境变得更为复杂，专业课复习 也变得更难。最后专业课的复习资源比公共课的复习资源稀缺，如果让考生自己搜集，不一定能收集齐全，并且还不一定能收集的准确和真实，更何况还浪费了考研复习的宝贵时间。综上所述，考研专业课重要性、复杂性及在复习过程中出现的黑洞效应均增加了考研专业课复习的难度。在该基础讲义中，从第二部分到第七部分，依次深入剖析了专业课对应的专业就业、内部信息、复习资料、必考知识点和现阶段学习内容等，其目的就是帮助考生降低考研专业课的复习难度。建议考生在使用本讲义时要多动脑，通过对题目的练习、比较、思考，并发现题目设置和解答的规律性，掌握题目对应的知识点和熟悉解题的金钥匙，从而迅速提高基础阶段知识水平和为下一阶段的强化学习做好储备与铺垫。 第二部分专业与就业解析2.12.2.11上海交大专业综合介绍081000信息与通信工程01通信与信息系统光纤通信与区域通信网；无线通信、移动通信与个人通信；图象处理与图象通信、数字电视；网络攻防与安全评估；02信号与信息处理多媒体信号处理及数字通信；数字信号处理系统设计与应用；数字电视专用芯片设计；协同信号处理技术1.可以跨学科报考的专业：计算机科学与技术专业，电子科学与技术专业。2.复试时需进行笔试，内容包括通信基本电路、通信原理等基础知识和技能。080900电子科学与技术01电路与系统研究内容：模拟和数字集成电路设计；语音信号处理；自动测试系统；嵌入式系统设计与应用；多媒体交互技术1.可以跨学科报考的专业：控制科学与工程，信息与通信工程，计算机科学与应用专业；2、复试时需进行笔试，内容包括模拟电子技术、数字电子技术等基础知识和技能。 02电磁场与微波技术研究内容：高速通信集成电路系统的电特性分析；通信系统中的微波部件及微波集成电路分析；天线与电波传播研究；电磁兼容与电磁干扰抑制1、可以跨学科报考的专业：光学，光学工程，信息与通信工程，电子科学与技术；2、复试时需进行笔试，内容包括电磁场理论、微波技术、光波技术等基础知识和技能。2.222.2.2专业就业分析1专业就业分析无线通信、图像处理、移动通信、光纤通信、电路设计、天线、电磁场2专业相关的工作岗位软件研发、硬件研发、系统维护、网络构建 第三部分上海交通大学信号与系统专业内部信息深度解析3.133.1.1报考数据分析1、上海交大学校信号与系统专业报录比对考研学生的招生人数一般占总招生人数的对考研学生的招生人数一般占总招生人数的50%50%50%多一些。一些。多一些。多3.233.2.2复试信息分析1复试流程与形式第一天进行体检。第二天上午进行一个小时的英语听力测试，六级水平，只有选择题，满分100分，接着是思政老师与考生谈话。下午进行专业课笔试。通信与信息系统考试通原和高频。电路与系统考试模电和数电。2个小时左右，共100分，每部分占50分。第三天上午每个考生进行专业面试。七八个老师一组进行面试。询问问题关于英文自我介绍，专业排名，竞赛奖项，毕业论文等。2建议复试参考书目通信原理：《通信原理》曹志刚，清华大学；《通信原理》樊昌信，华中科技大学高频电子电路：《高频电子电路》张肃文，高等教育出版社。模拟电路：《电子技术基础（模拟部分）》(第五版)，康华光，高等教育出版社数字电路：《数字电子技术基础（第五版）》,阎石,高等教育出版社3复试复习建议（从准备时间、准备内容及其注意事项去阐述）准备时间考完就应该开始准备内容梳理脉络，熟练习题注意事项 第四部分上海交通大学信号与系统专业初试专业课复习资料分析4.1参考书目4.1.14.4.1.11.1《信号与系统》介绍：1.所用资料：1.《信号与系统》奥本海姆著，中文版2.《信号与系统》胡光锐著。（原来为交大编的课本）3.《信号与系统解题指南》胡光锐等。（小白书）4.网上下载的奥本海姆的答案，英文版。2.大纲：�范围：奥本海姆的书，第一章第二章略看，第十一章不用看。其他几章很重要，要详细看。第五章dsp中还会详述。可以简略看。�S、z、傅立叶等变换要熟练，一些常用的要能做到熟记。�题目里面两个基本题，一个强化题要反复做，补充题不做。�本书答案与dsp答案可以从网上下到，英文版的，一定要参考答案做会每一道题。�胡光锐编的课本可以做参考，尤其是讲各种变换时对做题技巧之类有很多阐述。�小白书里面很多答案错误，但是对于其中的讲变换的章节，一些大题还是比较好的，可以多做做，但一定要计算正确。4.1.2《dsp》介绍1．所用资料：1.《离散时间信号处理》奥本海姆著（简称dsp）中文版2.网上下载的奥本海姆的答案，英文版。2.大纲�dsp里面有些章节不需要看，这里只说不看的章节。范围：第四章不要4.8，4.9�第六章只看到6.5，6.5要看，以后的都不要。�第七章只看7.1。�第八章8.8不要。�第九章9.2，9.6，9.7不要。 �第十章不要。�所有书里面只要涉及到量化噪声和误差的都不用看。�题目里面两个基本题，一个强化题要反复做，补充题不做。我当时将dsp书看了三遍，习题做了三遍，保证都会做，能做对，最后考试128分。�第一本书还是很多变换，只要记忆多练就好，但是第二本理解性强，要多下功夫。�第二本书没有什么其他参考资料，还是以答案为主，课后习题为主，多做多练。4.1.34.4.1.31.3总结：�要找到历年的真题和历年真题的答案，将真题在十一那几天做一做，对答案，找出错误然后再做，将它作为练习的一部分，换句话在暑假结束前你应该看完一遍两本书了。别把历年题放最后，就把它当作练习题，增进了解用的。�看书时每天保证效率，不要朝三暮四。4.2复习时间建议信号与dsp：暑假两个月至少看完一遍课本，做完一遍两部分基础题和深入题。9月—10月初：1.找真题，划范围。2.重新看一遍课本，dsp后面题目选择性的做，第二部分一定认真做。胡光锐的先练手。3.两本书要画出知识树。4.胡光锐的书实际上只看例题就成，后面题太多，全做无益。白书上只将例题吃透，会做。尝试记忆些变换。10月—11月初：做完题目，再做一遍所有题目，只将知识树细化，能够回想起来。11月—12月初：吃透历年题目。如果拿不到历年题，那么买恩波出版社出的历年卷纸，50块钱大家都可复印。虽然也不是特别清楚，但可以做参考。把真题当练习题。12月—1月初：细化知识树，重做dsp上的题，白书上例题，胡光锐书上一些变换记牢。信号与dsp贵精不贵多，不在于看很多东西，也不在于有多少东西要记。Dsp关键只是一些思想，加上一些常规计算方法。信号则是看变换的记忆。所以感觉复习了没多长时间的同学不必担心，完全可以搞定。 第五部分上海交大信号与系统专业初试专业课考研知识点深度分析综合来说，信号与系统专业课这几年的题型变化不大，主要有单纯计算题和应用题题型，计算题侧重于对基础知识点的掌握，考察公式和原理的熟悉，应用题考察对知识的灵活运用，在复习时，对于第一本书《信号与系统》，要着重公式的熟悉和推导记忆；第二本书《DSP》，要着重原理的理解，并能够自己推导出来，对于所给公式也应烂熟于心，对课后的典型习题要多做几遍，很多真题都出自于课后题，而最终考试的时候难题在第二本书，而且分值较大。5.155.1.1参考书目知识点分析下面我将主讲每本书的复习概要，同学可以做个标注：1、第1本书《信号与系统》：章章节节章节名称重点难点必考点第1章信号与系统√第2章线性时不变系统√第3章周期信号的傅立叶级数表示√√√第4章连续时间傅立叶变换√√√第5章离散时间傅立叶变换×第6章信号与系统时域和频域特性√第7章采样√√√第9章拉普拉斯变换√√√第10章Z变换√√√2、第2本书《DSP》：章章节节章节名称重点难点必考点第2章离散时间信号与系统√第3章Z变换√第4章连续信号的采样√√√第5章线性时不变系统的变换分析√√√第6章离散时间系统结构√√第7章滤波器设计方法√第8章离散傅立叶变换√√√第9章离散傅立叶变换的计算√√√第11章离散希尔伯特变换√√√ 第七部分上海交大信号与系统专业基础知识点框架梳理及其解析关于考试，需要我们理解考试的意义，出题思路，以此来把握自己复习方向。由于时间关系，我这里以DSP的原理讲解为主，略过一些基础的概念和运算推导。前三讲都是基础的运算推导，我不打算详细讲述。第一讲傅立叶变换和s域变换1.1.傅立叶变换：傅立傅立叶变换：叶变换：+∞−jωtF()ω=fte()dt∫−∞常用的傅立叶变换：df(n)n()~(jω)F()ωdttF(ω)f()ττd~+πF(0)()δω（注意：此时f(−∞)=0）∫−∞jω2.拉普拉斯变换：+∞−stFs()=ftedt()∫−∞(n)dft()n−L[]=sFs()−f(0)ndt3.3.例题：例题：1.《信号与系统解题指南》99页3.112.《信号与系统解题指南》165页5.4几个需要熟记的公式：1.卷积的运算2.傅立叶级数公式，及周期信号的傅立叶变换。+∞jk(2/)πTtxt()=∑aek−∞−jk(2/)πTta=1/Txte()dtk∫T +∞X(jω)=2π∑akδω(−(2/))πTk−∞3.一些典型的变换需要熟记，方便做题。−atωesinωt•ε()t~Re[s]>-a22(s+a)+ω−ats+aecosωt•ε()t~Re[s]>-a22(sa+)+ωn−atn!teε()t~n+1(s+a)n−atn!−teε(−t)~n+1(s+a)ejω0tejω0n4.和的响应第二讲：s域的一些重点概念1.脉冲响应、完全响应、自由响应、强迫响应、暂态响应、稳态响应脉冲响应是系统对δ()t的响应，即H(jω)或H(s)。完全响应是在外加的信号的作用下系统的响应。包括自由响应和强迫响应。也可以分为稳态响应和暂态响应。自由响应在s域下是H（s）的极点产生的响应，强迫响应是F（s）的极点产生的响应。暂态响应是最终趋向于0的响应，稳态响应是最终不趋于0的响应。具体见胡光锐《信号与系统》211页。2.状态流图消除环路的方法：BAA对于这个环路，H(s)=1−BA梅逊公式：胡光锐《信号与系统》245页。在这一讲里我们所说到的流图，其中的原理可以原封不动的移植到DSP的第6章。3。初值定理 +limsFs()=f(0)其中F(s)必须为真分式。s→∞真题：2(S−B)+C1、某LTI因果系统，其系统函数为HS()=A。其中A,B,C均为实的待定系数，试求:2(S+B)+C−t(1)当系统的阶跃响应中包含有包络e,角频率为ω=40π(rads/)的衰减振荡信号时，确定系统函数0H(S)中的待定系数B和C,画出系统的零级能图。+(2)如果系统阶跃响应的初值g(0)1=,确定系统函数H(S)中的待定系数A,并求出该系统的单位冲击响应h(t);(3)当输入e(t)=Smt时，求系统的稳态响应。−2t(4)对于任意的时间t,当输入e()t=e时，求系统的输出。用R、L、C等元件实现该系统，标出元件值。第三讲Z变换1.收敛域和s变换一样，每一个式子都必须明确收敛域才能判定是那一种序列。圆心在原点的一个圆盘。包括单位圆系统才能稳定，即x（n）绝对收敛。ROC内不能有任何极点。有限长序列的ROC可能包括整个z平面，除去z=0或z=∞。左边、右边、双边序列的ROC特性。ROC必须连通。Y(z)Hz()=的收敛域是RxIRyXz()2．常用的Z变换必须熟练他们的推导，熟记一些常用公式。 第四讲连续时间信号的采样连续信号到离散信号的转化为处理信号的方便，通常的情况是将连续信号转化为离散信号进行处理。1.x[]n=xnT()，T是采样周期，f=1/T是采样频率。C/D转换器。实际的意图是想利用部分cs信息来处理整个信息，并能够在处理结束后尽量少的丢失信息。下图是由连续信号变化成为离散信号的过程。课本课本上课本上4.3上4.34.3式展示了数学上离散和连续信号的关系。式展示了数学上离散和连续信号的关系。从从4.34.4.34.3式的右边看起，用傅立叶级数的变换方法，得到3式的右边看起，用傅立叶级数的变换方法，得到式的右边看起，用傅立叶级数的变换方法，得到4.64.64.6，这是在连续信号的角度看这个，这是在连续信号的角度看这个变换。变换变换。。−jnω从从4.34.4.33的左边看起，的的左边看起，左边看起，4.164.4.164.16给出了离散信号的表示，因为16给出了离散信号的表示，因为给出了离散信号的表示，因为4.34.34.3的右边的的右边的x(nT)直接可变为e，c于是可以等效为4.19式，这就是还未归一化的信号。从频从频域来看信号的变化：域来看信号的变化： 可以可以看到混叠现象的出现。于是必须看到混叠现象的出现。于是必须Ω>Ω2才能确保不出现混叠失真，这就是奈奎斯特采sN样定理。其中Ω是信号的带限频率，Ω=2π/T。Ns参见参见例题参见例题4.1例题4.14.1和和和4.24.24.2。。ω在归一化以后，我们得到了完全由离散角度来讨论信号的式子在归在归一化以后，我们得到了完全由离散角度来讨论信号的式子在归一化以后，我们得到了完全由离散角度来讨论信号的式子4.20.一化以后，我们得到了完全由离散角度来讨论信号的式子4.20.4.20.可以看到，这个可以看到，这个X(e)是以2π为周期的函数，已经成为了离散信号。离散离散信号到连续信号的转化信号到连续信号的转化基本思想是先把离散序列x[]n转化为冲击串x(t)（4.22），从频域的角度来理解，就是再通过s低通滤波器得到x()t（如下图所示）；从时域角度理解，就是采用了来对冲击串进行内插运sin(πt/)T算，使很多h(t)叠加重构x(t)（4.23、4.25、4.27）。对于ht()=的频时域互相转化，rrπtT/需要非常熟练。即是从4.24到4.27式。 用离散时间的方式处理连续信号最终得到4.37式，本节表明，采用这种方式，等效为一个连续系统对信号进行处理，系统的带限频率取决于D/C模块。这就说明了脉冲响应不变的原理：只要T的选择不发生混叠，即可以满足4.56式。而满足了4.56式，就必然有4.55式。4.55式不是从系统中得出的，而是从4.56式推出的。同理即可得到4.60式。这里要求我们对4.3和4.6的冲击串归一化的运算非常熟悉才行。 在例子4.9中我们进一步看到离散和连续信号的联系。离散信号的非整数移位可以使用连续信号来解释。采样率的改变采样率下降从x[n]的表示可以看出，x[n]的有效数据只有x[n]的1/M，就是样本数下降，有效信息下降，dd产生混叠失真的程度更大，能量降低，幅度下降。采样采样率上升率上升 从x[]n的表示可以看出，x[n]的有效数据与x[n]相等，有效信息不变，产生混叠失真的程度ee更大，能量没有降低，幅度没有下降。为了保证得到的仍是有价值的带限信号，对x[]n进行滤波，为使能量不受损失，低通滤波器e的幅度设为L。例题例题：：基本题基本题4.74.74.7（（（20042004年真题），年年真题），真题），4.4.84.8（8（（200620062006年真题）年真题）年真题）4.254.25总结：周期采样的原理（连续变离散），以及防混叠恢复信号（离散变连续）恢复恢复信号（离散变连续）信号（离散变连续）连续信号（离散）的离散（连续）处理（连续信号（离散）的离散（连续）处理（111，，，222的综合运用）的综合运用）脉冲响应不变采样率的变化 第五讲线性时不变系统的变换分析1.一般概念关于群延迟：课本199页例5.1题 2.22..系统函数2.1在这个问题里，同样的系统可以同时用在这个问题里，在这个问题里，同样的系统可以同时用在这个问题里，同样的系统可以同时用FIR同样的系统可以同时用FIRFIR和和和IIRIIRIIR来表示。此时零点与来表示。此时零点与来表示。此时零点与极极点重合，可以消去。 2.222.2.2稳定性、因果性2.322.3.3逆系统逆系统的收敛域必须与原系统有交集。例例55.75.7的运算方式。.7的运算方式。的运算方式。5.315.315.31题。题。题。5.325.325.32题题2.42.4有理系统幅度与相位之间的关系有理系统幅度与相位之间的关系2192219219页所说的19页所说的页所说的“““如果频率响应的幅度特性和零极点个数是已知的话，那如果频率响应的幅度特性和零极点个数是已知的话，那如果频率响应的幅度特性和零极点个数是已知的话，那么么与其有关的相位特性仅有有限种选择”，指的是利用，，指的是利用，指的是利用5.78指的是利用5.785.78式得到式得到式得到5.825.825.82式式，5.8255.825.82式就是幅度特性。而从.82式就是幅度特性。而从式就是幅度特性。而从5.825.825.82式的式的C()z再次推导出H(z)则不是唯一的H()z满足要求。2.4.122.4.1.4.1全通系统−1*z−aH()z=ap−11−az每一个极点都有一个与之配对的共轭倒数零点。如果是因果全通系统，群延迟为正，连续相位非正。**|H()|z为常数。即H()z=HzH()(1/z)为常数。apap2.4.222.4.2.4.2最小相位系统任何有理系统函数都可表示为H()z=H()zH(z)minap就是就是将将H()z的具有在单位圆外的零极点的因子，使用H(z)全部反射到单位圆内，ap构成一个幅度与H()z相同，但是相位不同的函数H()z，称为最小相位系统。反之，min 称为最大相位系统。最小相位系统因其因果稳定的特点得到很多应用，比如具有逆系最最小相位系统因其因果稳定的特点得到很多应用，比如具有逆系小相位系统因其因果稳定的特点得到很多应用，比如具有逆系统，可以带来设计的便利。最小相位系统的性质有：1.最小相位滞后性质由于全通系统的相位特点决定的。2.最小群延迟系统由于全通系统的群延迟特点决定的。3.最小能量延迟性质2*5.6655.665.66题证明（要想到.66题证明（要想到∑|[]|hm=∑hmhm[][]）可用来判断最小相位序列。可用来判断最小相位序列。5.395.395.39题证明。题证明。2.4.322.4.3.4.3广义线性相位线性系统1.广义线性相位jωjω−jαω+jβHe()=Ae()ejω其中A(e)为实函数，α和β均为常数。∞必要条件：∑h[]sin((nωn−α)+β)=0n=−∞5.40题2.因果广义线性相位系统 如5.235.23题所示。题所示。第六讲离散时间系统结构这一讲中如果我们对信号流图、梅逊公式非常熟悉这一章将会很容易。这一章的内容只需要前五节的内容即可。6.16.6.11基本概念转置定理： 对于这个图来说，和这个图等价。66.26.2IIR.2IIR系统直接型级联型 这种方式可以尽量地减少延迟单元的使用。并联型66.36.3FIR.3FIR系统直接型 级联型对于线性相位对于线性相位FFIRFIR，由于它们有IR，由于它们有h[M−n]=hn[]−h[M−n]=hn[]或的良好特性，所以可以对他们的信号流图进行简化。 题目题目66.256.25，.25，，6.366.36第7讲滤波器设计方法这一章我们只需要看这一章我们只需要看7.07.07.0，，，7.1.17.1.17.1.1，，，7.1.27.1.27.1.2即可。即可。通常意义上的设计滤波器，都是在给定指标的前提下，以一系列典型的通常意义上的设计滤波器，通常意义上的设计滤波器，都是在给定指标的前提下，以一系列典型的通常意义上的设计滤波器，都是在给定指标的前提下，以一系列典型的滤都是在给定指标的前提下，以一系列典型的滤波器去逼近要求的滤波器。实际中这些滤波器必须是因果的，否则不可波器去逼近要求的滤波器。实际中这些滤波器必须是因果的，否则不可实实现。例如现。例如sincsincsinc函数作为低通滤波器，由于它的非因果性，是不可实现的函数作为低通滤波器，由于它的非因果性，是不可实现的。77.1.1脉冲响应不变法hn[]=ThnT()在第4讲我们学习了脉冲响应不变的方程dcd。频域内的关系即为Ω=ω/T。但是这是在没有混叠的前提下，否则此式不成立。本质上是将时域归一化到0~2πd的范围内，s域的零极点一一对应于z平面，是线性的对应。故这个方法只适合于带限滤波器。 77.2.2双线性变化法−121−zs=()−1则T1+zd−121−zH()z=H(())c−1T1+zds=jΩ时，有1+jΩT/2dz=1−ΩjT/2因为||1z=，所以这个变换将jΩ轴映射成单位圆，每个零极点都d一一映射到z轴。但是双线性变换带来了频率轴非线性压缩。7.25题7.28题第8讲离散傅立叶变换我们讨论了离散和连续信号的傅立叶变换，但这都是对于非周期信号，或有限长信号进行的，对于周期信号，我们不能简单的用傅立叶变换，而是需要用傅立叶级数变换。我们在第一本书里已经讨论了连续信号的傅立叶级数变换。这一章我们将不但要讨论离散情况下的傅立叶级数变换，而且由于离散傅立叶级数的特殊性质，我们可以把有限长信号看作无限的周期信号的一个周期，使用傅立叶级数的优良性质来对信号进行研究。本章内容和下一章FFT变换是考试的重中之重，一些难题会在这里出现，一些要求计算量很大的题目也会出现，总之大家不能掉以轻心。从工程上来说，采取这种方式研究，结合FFT算法，大大减小了计算量，降低了工业和设计的成本。在科研和工业中都是用途很广泛的。 88.1.1离散傅立叶级数傅立叶级数实际是用基频信号来表示周期信号的方法，基频是（2π/T），于是，对于一个信号~~x[]n=xnrN[+]，则可以表示成~1~j(2/πNkn)xn[]=∑Xke[]Nk~~仍然满足周期性。此处X[]k尚未给出，只是确定了可以用傅立叶级数表示x[n]。~于是在式8.5中，进行求X[]k的运算，在式8.6中，得到在DFT和DFS的运算中非常有用的一个方法，就是交换求和的次序。在8.7中，得到在DFT中一个常用的情况讨论，即k−r=mN。于是可以~得到X[]k的计算方法8.9.−kn8.10中引入了W，这个复数量会方便接下来的计算。N88.2.2离散傅立叶级数的性质1.线性、移位、对偶、对称2.周期卷积例8.4周期卷积是DFS的一个重要性质，也是接下来要讲的循环卷积的原理。对于周期卷积，我们有：~~DFS~~∑xmxnm1[][2−]↔XkXk1[]2[]~~就是说，我们可以采取这种方式来计算∑x1[]mxnm2[−]。事实上，我们学了DFT的循环卷积以后就可以看到，这是长度为N的循环卷积。8.3周期信号的傅立叶变换本节是讲DFS和DFT的联系，即是从时域过渡到频域，探讨两者的联系。~~jω我们由x[]n的傅立叶级数变换就得到8.35式，得到X(e)的表达式。~从式8.41开始，我们用有限长信号的角度观察x[n]。这应该也是我们做题的一个思维，就是遇到周期性信号要考虑与冲击序列的联系，建立与冲击序列的卷积。~~~jωjω由8.42、8.43我们看到，比较X(e)与X[k]，X[k]就是对X(e)的采样运算。所以我们就联系连续 ~~jω信号和离散信号的变换，可以推定X(e)也可以用X[k]来表示和处理，也会出现类似混叠的情况，对它的时域状态也会有影响。8.4对傅立叶变换采样jωj(2/πNkn)8.51式到8.56式想要在数学上更加严密的证明，已知X(e)的采样Xe()做了某个信号的的~~X[]k，那么这个信号一定是x[n]。证明了一一对应的关系，为接下来的运算打下了基础。~~在得到这个关系以后，我们可以等效的说，x[]n是x[n]的一个周期，x[n]是以N为周期的周期序列。可~jωjω以看到，我们先对X(e)使用了N采样，然后才得到了x[n]。然而N是变化的，我们对X(e)用不同~~的周期采样，得到的x[n]也不相同。如果x[n]的非零长度小于等于N则x[n]在时域能够保持原来的状态，但是一旦x[]n的非零长度大于N则会产生时域混叠，这就是时域混叠的原理。所以对时域和频域来说，在其中任何一个上面采样，都会在另一个上面产生混叠的危险，原因在于采样造成了信号的丢失的原因。丢失在一定范围内可以恢复原状，原信号的特征还不会损失，一旦采样率过小，信号的损失过大，特征也就被损坏了。具体我们可以看图8.8和8.9。~最后在8.57给出了x[]n和x[n]的关系。88.5.5有限长序列的离散傅立叶变换~由8.61和8.62给出的式子我们得到了离散傅立叶变换的定义，由于X[]k的周期性，我们只取其中0~N-1~的一个周期作为研究对象。但是不能忘记它还是一个傅立叶级数，周期是N，是研究x[]n的工具，所以它的计算应该依据傅立叶级数的特点来做。因为只取一个周期的原因，所以可以将其记为8.67、8.68式。其他数并不是为0，而是我们感兴趣的只在0~N-1周期之内。8.688.6.6离散傅立叶变换的性质1.线性、循环移位循环移位见图8.12。2.对偶性和对称性 ~只要看到虽然记作x[n]，目的是处理x[n]，但我们实际上计算的是x[n]，所以有x[((−n))]=xN[−n]。N题目8.22，见图8.13。3.循环卷积和线性卷积循环卷积的计算方法见图8.16.线性卷积的计算见8.17，长度为L+P-1，需要记住。对于一个长度为M的循环卷积，两个有限长序列是x[]n和x[n]，因为对于M进行循环，则可以理解12~~为，周期为M的周期序列x1[]n和x2[n]直接循环卷积，或者理解为线性卷积后进行周期为M的时域周期化。建议用第二种方法来理解和做题，比较容易理解。可见图8.18的描述。DFT实现线性不变系统和DCT不需要花很多精力。题目8.1，8.2，8.4，8.19，8.20，8.37，第9讲离散傅立叶变换的计算离散傅立叶变换（DFT）在日常科研与应用中用途很广的原因是由于不但在频域中研究时域信号给我们带来很大的便利，而且已有了很多计算的高效算法。通过这一章的学习，我们将集中了解其中的一种的快速傅立叶变换算法（FFT），这将给我们的今后的学习与科研带来很多的方便。9.199.19.1离散傅立叶计算的高效计算的原理.1离散傅立叶计算的高效计算的原理一个长度为N的有限长DFT序列为N−1j(2/πNkn)Xk[]=∑xne[]，k=0，1，2，。。。，N-1n=0反变换为N−1j(2/πNkn)xn[]=∑Xke[]，n=0，1，2，。。。N-1k=0由于x[]n可能是复数，则对于一个X[k]和x[n]来说，就需要N个复数乘法和（N-1）个复数加法。则计2算全部的N个值总共需要N次复数乘法和N（N-1）次复数加法。对于X[]k来说，我们有N−1knknXk[]=∑[(Re{[]}xn+jIm{[]})(Re{xnWN}+jIm{WN})]n=0则得到9.3式。可知每个复数乘法需要4次实数乘法和2次实数乘法，1次复数加法需要2次实数加法。 2所以算全部的N个值总共需要4N次复数乘法和N（4N-2）次复数加法。（2N+2（N-1）=4N-2）而我们又有2π−jknknNW=e，则得到Nk(Nn−)−knkn*1.W=W=(W)NNNk(Nn+)(kNn+)kn2.W=W=WNNNkn这样的性质可以用来做简化运算。事实上所谓快速算法就是使用了W的性质。N99.2.2按时间抽取的FFT算法ν在这个算法和下个算法里，我们只考虑N=2的情况。所谓按时间抽取，就是在时间域抽取它的奇数部分和偶数部分分别计算，从而达到减少计算，增加速率的效果。下一节的频率抽取就是在频率域抽取它的奇数部分和偶数部分，从而达到同样的效果。2π−jknknN经过变化得到9.12式。我们使用W=e的性质，得到9.14式，如下图所示的关系。N可以看到，产生G[k]序列的是x[]n的偶数部分，H[k]序列的是x[n]的奇数部分。我们可以认为，通过g[n]k和h[n]的变形得到了最终的X[]k。它们的因数是WN现在我们得到了两个新的序列g[n]和h[n]。对于它们，我们可以采取同样的方法，进行再一次的FFT变换。于是得到了图于是得到了图999.5.5 很容易可以知道，它们的因数应该是0123WWWW，等于(N/2)(N/2)(N/2)(N/2)0246WWWW。NNNN同理，对于最后的2点DFT使用时间抽取算法，得到理解算法是不难的，但怎样在理解的基础上进行记忆？我们看最后的图可以明白，在时域的排列中是有着一定规律的，即课本上的倒位序（9.22式）。但我们在做题中完全可以自己简单的自己推证出来。 证明如下：我们在开始的时候划分了时域的奇数和偶数，将它们分别各作为一个序列来进行计算，而对X[]k没有任何的改变。那么X[k]在最终的流图中保持不变。对于0，1，2，3，4，5，6，7的序列，第一次分为0，2，4，6和1，3，5，7两个。则第二次有0，4和2，6；1，5和3，7。则我们就可以确定流图左边的排列顺序。一般情况下，考试中不会有长度很大的序列给出，大家可以不必去慢慢地找它们的倒位序排列，而用这种推导就可以得到。但如果给出长度很大的序列，尤其是将来大家如果选择了信号处理专业，则使用计算机编程找出倒位序是很简单的。2于是我们运算的复杂度从O（N）变为O(NlogN)。复数乘法为（N/2）logN，复数加法为NlogN。那么课本的图9.14给出了输入使用正常位序的情况下输出的位序为倒位序。这个结论有利于大家记忆流图。9.3按频域抽取的FFT算法由于X[]k也是一个以N为周期的函数，则按时间抽取的类似算法也可以用在X[k]上。由9.25，9.26式得到X[2]r的表示方法，9.33得到X[2r+1]的表示方法。于是我们得到了两个N/2长度的序列：kx[]n+xnN[+/2]和x[]n−xnN[+/2]，蝶形因子为W，于是有N 依次进行抽取，则对比时间抽取的FFT，我们看到，按时域抽取的FFT是时间抽取的FFT的转置流图。对两者的比较。总结：1.FFT算法的原理2.DFT运算的复杂度分析3.按时间抽取的FFT算法4.按频率抽取的FFT算法9.39.309.31 第1111章离散希尔伯特变换本章中讨论离散的希尔伯特变换。希尔伯特变换表述了在因果序列中，傅立叶变换的实部和虚部有唯一性关系。希尔伯特原本是解析函数中的一部分，但对于我们的考试来说，完全没有必要在理论方面讨论得十分深入。只需要抓住重点的几个关系就行。11.1因果序列的傅立叶变换实部和虚部的充分性本节实际上想表达的是，对于一个因果序列，如果已知它的傅立叶变换的实部，可以确定它的虚部，如果满足一定条件下，可以由它的虚部求出实部。等效的，如果已知它的偶部，可以确定它的奇部，如果满足一定条件下，可以由它的奇部求出偶部。x[n]+xn[−]xn[]=和e2x[n]−xn[−]xn[]=o2分别对应着傅立叶变换的实部和虚部。不过我们阅读11.4和11.5就知道，序列的奇部少了序列在n=0处的值。对于x[0]≠0的序列，无法从序列的奇部推出完整的序列，自然无法准确地确定偶部。等效地，对于x[0]≠0的序列，无法从序列的傅立叶变换的虚部推出完整的变换，自然无法准确地确定实部。虽然我们在课本中的11.26式给出了傅立叶变换的实部和虚部的关系，我们在做题中所能够实现的还是1．将序列的偶部（或奇部）求出2．将序列求出3．将序列的奇部（或偶部）求出4．再求出傅立叶变换的虚部（或实部）。例11.111.2有限长序列的充分性定理对于有限长序列我们说过除了傅立叶变换之外，还有一种研究方式就是DFT变换。在DFT变换的讨论中，我们也讲过有限长序列的性质，可以分为一个共轭对称分量和一个共轭反对称分量。这是建立在把有限长序列看做是周期序列的基础上。对于希尔伯特变换来说，必须有一个“因果性”。对于有限长序列的因果性在于把它看作周期函数后，1.N为偶数，则N/2~N-1的范围内x[]n=0 2.N为奇数，则（N/2-1）~N-1的范围内x[]n=0*xn[]+xN[−n]x[]n=ep2*x[n]−xN[−n]和x[]n=op2而我们一般讨论的情况都是是序列，所以可以将共轭符号去掉，但是不能忘记它是一个共轭对称信号。在这里，对于实信号来说，决定x[]n是否能恢复原信号的关键，要分情况来讨论。op1.如果N是偶数，则无论x[]n还是x[n]都能恢复原信号。epop2.如果N是奇数，则x[]n不能完全恢复原信号，缺少了x[N/2]一项。op解题步骤如下：1.先对X[]k的实部或虚部进行IDFT，2.选取得到的0~N/2的值，并乘以2。3.根据情况进行x[N/2]的加减。111.31.3复序列的希尔伯特变换关系本节的推证不必花太多时间，只需对11.62，11.63，11.64式记忆，这是复序列希尔伯特变换的公式。对于希尔伯特变换器，也称作90°移相器。因为它对0<ω<π有+90°的相位偏移，对−π<ω<0有着-90°的相位偏移。总结：1.因果序列希尔伯特变换2.有限长序列的希尔伯特变换3.复序列的希尔伯特变换jωjω4.注意：虚部不止是X(e)，而是jXe()。jj题目：11．811.339 第八部分结束语（祝福语）本次课程是按照章节详细给同学讲解了相关知识点，为了保证能掌握相关知识点，给同学布置了相关的作业和习题，建议在暑期之前，各位考研同学能熟练掌握本次讲课的内容和讲义的内容，并在复习过程中记录好自己复习过程中的迷茫，为专业课强化课程做好铺垫。'