范里安高级微观经济分析第1章技术(含习题解答)_曹乾高级微观经济学27讲.pdf 26页

'范里安《微观经济分析》（第3版）曹乾高级微观经济学27讲第1讲：技术曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）MicroeconomicAnalysis(3e)微观经济分析（第3版）范里安（著）曹乾(译)(密歇根大学安娜堡)（东南大学南京）第1章技术（含全部习题解答）东大青椒工作室制作曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）1东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）1技术刻画厂商技术最简单和最常见方法是生产函数，中级微观经济学课程中一般已研究生产函数。然而，刻画厂商的技术还有另外一些方法，这些方法在某些场景下更一般而且更有用。本章我们将讨论几种表示厂商成产可能性的方法，以及用经济学的语言描述与厂商技术相关的问题。1.1投入与产出的衡量厂商使用各种投入的组合生产产出。为了研究厂商的选择，我们需要一种概括厂商生产可能性的简便方法，即哪种投入和产出的组合在技术上是可行的。用流量．．（flows）衡量投入和产出通常最令人满意：单位时段的一定数量的投入被用于生产单位时段的一定数量的产出。在描述投入和产出时，最好说明时间尺度。如果你这么做，你就不大可能犯诸如以下的低级错误：使用了不可比较的单位；混淆了存量和流量；等等。例如，如果我们用每周多少小时计量劳动时间，我们要保证资本运行时间也用每周多少小时衡量，产量用每周多少单位衡量。然而，当我们抽象地讨论技术选择时，比如本章，我们通常省略时间尺度。我们可能还希望按以下几个方面区分投入和产出：何时得到它们的；何地得到它们的；甚至在什么样的环境下才能得到它们。使用何时和何地修饰投入和产出，我们可以描述生产的时间或空间性质。例如，某既定年份得到的混粘土可用于建筑某幢大楼，这幢大楼将于下一年完工。类似地，在某地点购买的混凝土可用于其它地点的建筑施工。“混凝土”这种投入应被认为是某特定等级、在某特定地点和特定时间得到的混凝土。在有些情形下，我们甚至需要把上述限定条件再加上诸如“如果气候干燥”这样的条件，也就是是说，我们可能考虑混凝土是在什么样的环境或者自然状态下得到的。至于应该对投入和产出描述到什么样的细致程度，取决于我们具体研究的问题，但是我们应该意识到，如果需要，我们就能将某特定投入和产出描述得非常详尽。1.2对技术的说明i假设厂商有n种可能的商品，这n种商品可以被用作投入和/或产出。如果某厂商使用yjooi单位的商品j作为投入，生产y单位的产出，则商品j的净产出（netout）为y=y-y。j．．．jjj如果商品j的净产出为正，则表明厂商正在生产的商品j的数量多于将其用作投入品的数量；如果净产出为负，则表明厂商正在使用商品j作为投入品的数量多于他生产的该商品数量。n一个生产方案．．．．．．（Aproductionplan）就是一组不同商品的净产出数值。我们可以用R中的向量y表示某个生产方案，其中：y为负若商品j是净投入，y为正若商品j是净产出。jj所有技术上可行的生产方案组成的集合称为厂商的生产可能集．．．．．（productionpossibilitiesnset），我们用R中的子集Y表示。集合Y描述了投入和产出的所有技术上可行的模式。生曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）2东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）产可能集Y完整地描述了厂商面对的技术可行性。当我们研究处于某特定经济环境下厂商的行为时，我们希望将生产方案区分为“立即可行”的方案和“最终可行”的方案。例如，在短期（shortrun），厂商的某些投入是固定不变的，因此，只有与这些固定投入要素相容的方案才是可行的。在长期（longrun），这些固定投入是可变的，因此商场的技术可能性也可能改变。n我们一般假设上述限制可用R中的向量z表示。例如，向量z是某特定时期下的一组各种投入和产出的最大数值。受限的生产可能集或称短期生产可能集用Y(z)表示；该集合由所有满足约束条件z的可行净产出束（netoutputbundles）组成。例如，假设要素n在短期的数量固定为y，则Y(y)={Y中的y:y=y}。注意，Y(z)是Y的子集，这是因为Ynnnn包含了所有生产可行方案，这意味着Y(z)包含在Y中而且Y(z)还要满足某些额外条件。例子：必要投入集假设我们要研究的厂商只生产一种产品。在这种情形下，我们将净产出束写为(y,-x)，其中x为生产y单位产品的投入向量。这样，我们可以定义一种特殊的受限生产可能集，即必要投入集(inputrequirementset):nV(y)={R中的x(:y,-x)在Y中}+必要投入集是能至少生产y单位产出的所有投入束组成的集合。．．注意，此处定义的投入必要集中，投入用正数表示，而在生产可能集中我们用负数表示净投入。例子：等产量集根据前面的例子，我们可以定义一个等产量集：nQ(y)={R中的x:x在V(y)中但不在V(y¢)中，其中y¢>y}+等产量集由恰好生产y单位产出的所有投入束组成。例子：短期生产可能集假设某企业使用劳动以及某类机器（我们将其称为“资本”）生产某些产出。于是，生产方案为(y,-,1-k)，其中：y为产出水平，1为劳动投入两，k为资本投入量。假设在短期，劳动可以立即改变但资本固定在水平k。则Y(k)={Y中的(y,-,1-k:)k=k}就是短期生产可能的一个例子。例子：生产函数如果厂商只有一种产出，我们可以将生产函数定义为f(x)={R中的y:y是与-x关联的最大产出，其中y和-x都在Y中}.曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）3东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）例子：转换函数类比一元生产函数，我们可以定义n-维“生产函数”，这个函数在研究一般均衡理论时将非常有用。Y中的某个生产方案y是有效率的（efficient），如果我们无法在Y中找到y¢（y¢¹y）使得y¢³y成立；也即是说如果对于某生产方案来说，已无法使用相同的投入生产更多的产出，或者已无法使用更少的投入生产相同的产出，则该生产方案是有效率的。（仔细注意投入的符号规则）。我们通常假设可将技术上有效率的生产方案用某个转换函数n（transformationfunction）T:R®R表示，其中T(y)=0当且仅当y是有效率的。正如生产函数选取最大的标量产出(scalaroutput)作为投入的生产函数一样，转换函数选取的是最大的净产出向量。例子：柯布-道格拉斯技术令参数a满足0,0b>0，则里昂惕夫(Leontief)技术可用以下各种方式定义。请见图1.1B。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）4东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）3Y={R中的(y,-x,-x)：y£min{ax,bx}}12122V(y)={R中的(x,x:)y£min{ax,bx}}+12122Q(y)={R中的(x,x:)y=min{ax,bx}}+1212T(y,x,x)=y-min{ax,bx}1212f(x,x)=min{ax,bx}1212在本章，我们主要分析只生产一种产出的厂商；因此，我们通常用必要投入集或生产函数描述它们的生产技术。以后我们再使用生产集和转换函数。1.3生产技术分析描述生产或必要生产集的最简单的方法，就是列举各种可行的生产方案。例如，假设我们可用要素1和2生产一种产品。生产方法有两种不同的途径．．（activities）或技术．．（techniques）：技术A：一单位要素1和两单位要素2能产出一单位产品。技术B：两单位要素1和一单位要素2能产出一单位产品。令产出为商品1，投入要素为商品2和3，则我们可以将上述两种技术暗含的生产可能性用下列生产集表示Y={(,1-,1-2),,1(-,2-1)}或用下列必要投入集表示．．V)1(={(2,1),1,2()}.该必要投入集请见图1.2A。在生产y单位产出时，有可能出现下面的情形，即每种要素的投入量恰好是生产一单位产出所需要素的y倍，其中y=1,2…。在这种情形下，你可能会认为生产y单位产出的所有可行方法的集合为V(y)={(y2,y),2(y,y)}.但是，上述集合漏掉了部分可行生产方法。的确，若使用技术A，则(y2,y)能生产y单位的产出；若使用技术B，则2(y,y)也能生产y单位产出。但是，你忘了我们还可以同时使用这两种方法进行生产。在这种情形下，为避免混淆，我们使用y表示技术A的产量，y表示技术B的产量。AB于是V(y)可用下列集合表示V(y)={(y+2y),(y+2y:)y=y+y}.ABBAAB曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）5东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）因此，例如V)2(={(4,2),2,4(),3,3()}，如图1.2B所示。注意投入束)3,3(也能生产两单位产出：技术A生产了一单位，技术B生产了一单位。图1.2：必要投入集必要投入集。A图表示V（1）；B图表示V（2）；C图表示V（y），其中y为更大的产量。1.4单调的技术我们继续分析上一节介绍的两种生产技术的例子。假设我们有个投入向量（3,2）。它足以生产一单位产出吗？我们可能认为，既然可以去掉2单位要素1，这样只剩下（1,2），因此技术A可确保（3,2）能成产一单位产出。所以，如果允许这样的自由取舍．．．．（freedisposal）,则当然可以认为：如果投入向量x是能生产y单位产出的一种可行方法，并且投入向量x¢中的每种投入都至少和x一样多，则x¢也是生产y单位产出的可行方法。因此，必要投入集在下列意义上是单调的．．．（monotonic）:单调性（monotonicity）。若x在V(y)中且x¢³x，则x¢也在V(y)中。．．．．．．．．．．．．如果我们假设了单调性，则图1.2中的必要投入集现在变为图1.3中的相应集合。图1.3：单调性单调性。在单调性假设下，图1.2中的必要投入集就相应呈现上图的形状。单调性对于生产集来说通常是个合适的假设。在生产集中，我们通常假设如果y在Y中而且若y¢£y，则y¢必定也在Y中。提醒你注意此处的符号规则。y¢£y表示向量y¢的每个分量都小于或等于向量y的相应分量。这意味着与y代表的生产方案相比，y¢代表的生产方案使用至少一样多的所有各种投入，但生产出的产量相同或者更少。因此，自然可以曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）6东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）假设如果y可行，则y¢也可行。1.5凸的技术现在我们考虑如果生产100单位的产出，必要投入集将会呈现什么样的形状。作为第一步，我们可能认为若我们将向量（1,2）和（2,1）乘以标量100，我们应该能复制（replicate）．．前面介绍的两种技术，因此可以生产100倍得产量。显然不是所有的生产过程都能允许这样的复制，但是在很多环境下，复制似乎是合理的。如果上述复制可行，我们可以断言（100,200）和（200,100）都在V（100）中。还有没其他可能方式来生产100单位产出？有，我们可以将技术A和B各复制50次，即使用150单位要素1和150单位要素2生产100单位产出；因此，（150,150）也应该在必要投入集之中。类似地，我们可以将技术A复制25次将技术B复制75次。这意味着.025(100,200)+.075(200,100)=(175,125)应该在V（100）中。更一般地，t(100,200)+1(-t)(200,100)=(100t+2001(-t),200t+1001(-t))应该也在V（100）中，其中t=.0,001.0,02,...,.1我们不妨作出明显近似处理，令t取闭区间[0,1]内的任何小数，则可以得到图1.4A形状的生产集。下一个定义准确介绍了这个性质：凸性（Convexity）。若若若x和和和x¢都在V(y)中中中，中，，，则则则则tx+1(-t)x¢也在V(y)中中中，中，，，其中其中0£t£1。。。．．也就是说V(y)是个凸集（（（convexset）））。）图图图1.4：：：凸的必要投入集：凸的必要投入集。如果x和x¢都可以生产y单位产出，则任何加权平均tx+1(-t)x¢也能生产y单位产出。图A中的凸必要投入集是两种生产技术下的情形；图B中的凸必要投入集是很多种生产技术下的情形。生产技术可以复制驱使我们作出凸性的假设。如果我们想生产“大量的”产出，并且如果我们可以复制“小的”生产过程，那么假设技术为凸就比较合理。然而，如果生产技术的规模相对很大，而想要生产的产量却相对较小，那么这种情形下再假设技术为凸就不合理了。然而，我们还有其他的理由说明为何凸性在某些环境下是合理的假设。例如，假设我曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）7东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）们考虑的是每月的产出。如果一个投入向量x生产y单位的产生每月，另外一个向量x¢也可以生产y单位的产出每月，则我们可以用x和x¢各生产半个月。如果转换生产方法不会产生任何问题，我们有理由认为产出为y单位。我们曾将上述论断应用于必要投入集，但类似的论断也可以用于生产集。通常可以假设y和y¢都在Y中，则ty+1(-t)y¢也在Y中，其中0£t£1；换句话说，Y是一个凸集。然而，需要指出的是，与假设必要投入集为凸相比，假设生产集为凸的问题更大些。例如，凸生产集排除了“启动成本”（startupcosts）和其他形式的规模报酬。我们稍后会更详细地分析这个问题。现在我们只简单描述V(y)的凸性、生产函数的曲率和Y的凸性之间的一些关系。定理(凸生产集蕴涵着凸必要投入集集集)：：：若生产集：若生产集Y是一个凸集，，，则与其相关的，则与其相关的必要投入集V(y)，，，也是一个凸集，也是一个凸集。。。证明。若Y是个凸集，这意味着对于任何x和x¢，只要(y,-x)和(y,-x¢)都在Y中，则(ty+1(-t)y,-tx-1(-t)x¢)必然也在Y中。这只是要求(y,-(tx+1(-t)x¢))也在Y中。由此可见，若x和x¢都在V(y)中，则tx+1(-t)x¢也在V(y)中，这表明V(y)是凸集。■定理（（（凸必要投入集等价于拟凹生产函数（凸必要投入集等价于拟凹生产函数）：V(y)是一个凸集当且仅当生产集f(x)是一个拟凹函数。。。证明。V(y)={x:f(x)³y}，这正好是f(x)的上等高集上等高集（uppercontourset）。但一个函数．．．．是拟凹的当且仅当它又一个凸的上等高集；参见第27章拟凹函数和拟凸函数那一节。■1.6正则技术最后我们考虑关于V(y)的一种弱正则条件（aweakregularitycondition）。正则性。。。V(y)对于所有y³0来说是闭的非空集合。。。V(y)是非空的这个假设，要求对于任何既定的产出水平都有法生产。这个要求只是想避免每次都需要强调“假设y能够被生产出。”作出V(y)是闭的这个假设是基于技术原因，在多数情形下这个假设是合理的。假设nV(y)为闭的一种解释是：假设我们的投入束序列(x)中每一个投入束都可以生产y单位产00出，而且这个序列收敛于投入束x。也就是说，这个序列中的投入束无限接近于x。若V(y)0是一个闭集则该极限投入束x必然能成产出y。大致来说，必要投入集必定“包含自身的边界。”1.7技术的参数表示假设我们有很多种方法生产某既定产出水平。则我们自然可以将这个投入集用图1.5中的“平滑的”投入集表示。也就是说我们想用良好的曲线拟合穿过可能生产点的曲线。如果生产既定产量产出的方法的确有很多，则这样的平滑化的过程就不会带来比较大的问题。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）8东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）图1.5：将等产量线平滑化。一个必要投入集及其“平滑”近似。如果我们用这样的近似去“光滑”必要投入集，自然我们想寻求表示技术的一种简便方法，即带有若干未知参数的参数方程。例如，前面提到过的柯布-道格拉斯技术蕴涵着，ab满足xx³y的任何投入束(x,x)都能生产至少y单位的产量。1212你不应该将这些参数技术表示仅看作为生产可能性的文字描述。生产可能性是描述实际生产方案的工程数据。这些工程数据完全有可能用比较方便的函数形式比如柯布-道格拉斯函数表述。如果行得通，这样的参数描述将会非常有用。在绝大多数应用中，我们只关心是在某些特定投入和产出水平范围内，能否找到对某技术的参数化描述，而且通常用相对简单形式的函数去做参数化近似。这些参数化表示是非常简便的教学工具，因此我们通常假设我们的技术能用这样的参数表示。这样，我们就可以使用微积分和代数工具区分析企业的生产选择决策。1.8技术替代率假设我们的技术可以用一个平滑的生产函数表示，而且我们在某个特定点***y=f(x,x)进行生产。假设为维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素122的投入量。我们如何确定这两种要素之间的技术替代率．．．．．（technicalrateofsubstitution，TRS）？在二维情形下，技术替代率就是等产量线的斜率：当x微小变动时，你应该怎样调整1x才能使产量不变，如图1.6所示。在n维情形下，技术替代率是等产量面在特定方向上的2斜率。令x(x)表示隐函数，这个函数告诉我们如果我们投入x单位要素1，则还需要投入多211少x才能生产y单位产量。于是根据定义可知，函数x(x)必定满足下列不等式221f(x,x(x))ºy121*我们想要的是¶x(x/)¶x的表达式。对上式微分可得211曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）9东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）***¶x(x)¶x(x)¶x(x)2221+¶x¶x¶x111**¶x(x)¶f(x/)¶x211=-.*¶x¶f(x/)¶x12***其中x=(x,x(x))。121这样我们就得到了技术替代率的显性表达式。图图图1.6：：：技术替代率：技术替代率。技术替代率衡量当一种投入变动时，我们必须如何调整另外一种投入才能使产量不变。下面我们介绍推导技术替代率的另外一种方法。考虑投入向量的在投入水平上的（微小）变化，我们将其记为dx=(dx,dx)。相应的产出变化近似为12¶f¶fdy=dx+dx.12¶x¶x12上述表达式称为函数f(x)的全微分。考虑只有要素1和要素2变动的这种特殊情形，而且要素投入量的这种变动不会改变产量大小。也就是说，dx和dx“沿着等产量线”调整。12由于产量维持不变，可得¶f¶f0=dx+dx，12¶x¶x12从该式可以解得dx¶f/¶x21=-.dx¶f/¶x12在计算技术替代率时，我们可以使用隐函数的方法，也可以使用全微分的方法。隐函数的方法相对严格一些，但是全微分的方法可能相对直观。例子：柯布-道格拉斯的技术替代率曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）10东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）a1-a给定函数f(x,x)=xx，求导可得1212¶f(x)a-11-ax21-a=axx=a[]12¶xx11¶f(x)a-ax1a=1(-a)xx=1(-a)[].12¶xx22由此可得¶x(x)¶f/¶xax2112=-=-.¶x¶f/¶x1-ax1211.9替代弹性技术替代率衡量无差异曲线的斜率。替代弹性衡量等产量线的曲率。更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS变动百分比。如果令D(x/x)表示要素投入比率的变动，令DTRS表示技术替代率的变动，我们可以将替21代弹性表达为D(x/x)21x/x21s=DTRSTRS这是曲率的相对自然的衡量方法：它问的是当等产量线的斜率变动时，要素投入比率如何变动。如果斜率的较小变动引起要素投入比率相对较大的变动，则等产量是相对平坦的——替代弹性较大。在实践中，我们可以将变动百分比想象为非常小，并对上述表达式求当DTRS趋于0时的极限。因此，替代弹性s的表达式变为TRSd(x/x)21s=.(x/x)dTRS21用对数形式的导数计算替代弹性通常比较方便。一般来说，若y=g(x)，则y对于x的弹性是指x的（微小）变动百分比引起的y变动的百分比。dy/ydyxe==.dx/xdxy如果x和y均为正，则这个导数可以写为dlnye=，dlnx下面证明这个结论。由链式法则可知曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）11东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）dlnydlnxdlny=.dlnxdxdx将等式左右两端的项分别计算可得dlny11dy=，dlnxxydxdlnyxdy=。dlnxydx另外一种证明方法是使用全微分：1dlny=dyy1dlnx=dx,x因此dlnydyxe=º.dlnxdxy同样，第一种方法比较严格，但第二种方法比较直观。将上述表达式应用于替代弹性可得dln(x/x)21s=.dlnTRS(分母中的绝对值符号是将TRS转换为正数，从而使取对数有意义。)例子：柯布-道格拉斯生产函数的替代弹性我们已经知道ax2TRS=-121-ax1或xa2=-TRS12x1-a1由此可得x1-a2ln=ln+lnTRS.12xa1这又意味着曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）12东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）dln(x/x)21s==1.dlnTRS1.10规模报酬假设我们使用某个投入向量x生产某既定的产量y，现在我们决定将所有投入按比例同时增加或减少，使其变为原来的t倍，产量将怎样变化？在前面的情形中，我们只希望产量等比例增加（scaleup），我们通常假设只要将以前的．．生产模式复制，就能生产出t倍的产量。如果这种等比例增加总是可行，我们说生产技术呈现规模报酬不变．．．．．．(constantreturnstoscale)的现象。更正式地，定义（（（规模报酬不变（规模报酬不变）：某生产技术呈现规模报酬不变的现象，，，若它满足下列条件，若它满足下列条件：：：（（（1）））y在在在Y中蕴涵着ty也在Y中中中，中，，，其中其中t³0；；；（（（2）））x在在在V(y)中蕴涵着tx在在在V(ty)中中中，中，，，其中其中t³0；；；（（（3）））f(tx)=tf(x)，，，其中，其中t³0；；；即生产函数是；即生产函数是f(x)是一阶齐次函数。。。上述技术可以复制的论断表明，规模报酬不变通常是对技术的一种合理假设。然而，在某些情形下，再假设规模报酬不变就不合理了。例如，当我们试图“细分”（subdivide）生产过程时，规模报酬不变的假设就不再成立。即使我们能将生产过程以整数倍复制，但可能无法做到将生产过程细分n倍。例如，某种生产技术可能存在最小生产规模，如果产量低于该最小生产规模，可能需要使用不同的技术。一旦产量超过最小生产规模，我们就可以复制这种生产技术生产更多的产量。规模报酬不变假设不再合理的另外一种情形是，当生产过程复制的倍数不是整数时。当然，前面所说的整数倍的复制很简单，如果我们要复制1.5倍，应该怎么做？这两种情形下，只有当生产规模相对于最小产出规模比较小时，规模报酬不变的假设才不合理。规模报酬不变假设不合理的第三种情形是，当所有投入都翻倍，但此时出现了更有效率的生产方法。复制是说将投入翻倍产出也翻倍，但也有可能存在生产更多产量的方法。例如，某企业在两点之间铺设油管，使用的投入为劳动、及其设备和钢材。我们可以使用油管线路的运输能力作为该企业的产出。显然如果我们将所有投入翻一番，则产量将不止翻一番，（一）因为油管的表面积变为原来的2倍，则体积变为原来的4倍。在这种情形下，产量增加的倍数超过投入增加的倍数，我们说这样的技术是规模报酬递增．．．．．．的（increasingreturnstoscale）。定义（（（规模报酬递增（规模报酬递增）：若若若f(tx)>tf(x)（（（其中（其中t>1），则该技术是规模报酬递增的。。。规模报酬假设不合理的第四种情形是有些产出是不能复制的。例如，考虑某100亩农田。．．（一）当然，体积更大的油管更难制造，因此我们不需要认为产量一定恰好变为原来的4倍。但是，产量很有可能大于原来的2倍。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）13东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）如果我们希望产量变为原来的2倍，则每种要素投入量也要变为原来的2倍。但这意味着土地面积也应变为原来的2倍。在这种情形下，可能我们无法得到那么大的土地面积。尽管所所所．有有有投入增加相同比例，技术可能会呈现规模报酬不变的特征，但是这种情形下，我们通常说，．对于受限制的投入来说，技术呈现规模报酬递减（decreasingreturntoscale）的特征。更．．．．．．．．．准确地说，我们有：定义（规模报酬递减）：若若若若若f(tx)1），则该技术是规模报酬递减的的的。的规模报酬递减的最自然情形是我们无法复制某些投入。因此，我们应该预期受限（restricted）生产集通常会具有规模报酬递减的特征。可以证明，规模报酬递减总是由于某些投入是固定不变而引起的。为证明这个结论，假设f(x)是k种要素的生产函数，并且具有规模报酬递减的性质。那么，我们可以引入一种新的“虚构的”投入，用z表示它的投入数量。定义一个新的生产函数F(z,x)=zf(x/z).注意，函数F具有规模报酬不变性质。如果我们将所有投入（x和z）同乘以t³0，则产量也变为原来的t倍。如果我们将z固定为1，此时的技术和以前一样（即F(x)=f(x)），因此，我们可以认为原来的规模报酬递减技术f(x)，是由对规模报酬不变的技术F(z,x)施加z=1的这个限制而得到的。最后，需要指出，前面介绍的几种规模报酬在本质上是全局（global）性质的，比如在定义域内技术为规模报酬不变的，等等。但是很有可能出现下列现象：某种技术对于某些x值来说是规模报酬递增的，但对另外一些x值来说又是规模报酬递减的。因此，在很多情形下，刻画规模报酬的局部（local）性质就比较有用。规模弹性．．．．（elasticityofscale）衡量所有投入同时增加1%（即由于规模增加）引起的产量增加百分比。．．令y=f(x)表示生产函数，t为一个正的标量。考虑函数y(t)=f(tx)。若t=1，则生产模就是我们当前的生产规模；若t>1，则我们将所有投入都增加为原来的t倍；若t<1，则所有投入都减少为原来的t倍。规模弹性的表达式为dy(t)y(t)e(x)=dtt将上式变形并计算t=1时的数值可得dy(t)tdf(tx)te(x)==.t=1t=1y(t)ydtf(tx)注意，在计算点x的规模弹性时，我们必须计算该表达式在t=1时的数值。当e(x)大于、等于或小于1时，我们说技术分别呈现规模报酬局部递增、局部不变或局部递减的性质。例子：规模报酬和柯布-道格拉斯技术曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）14东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）ababa+baba+b假设y=xx。则f(tx,tx)=(tx)(tx)=txx=tf(x,x)。因此1212121212f(tx,tx)=tf(x,x)当且仅当a+b=1时。类似地，a+b>1意味着规模报酬递增，1212a+b<1意味着规模报酬递减。事实上，柯布-道格拉斯技术的规模弹性恰好为a+b。为了证明这一点，我们应用规模弹性的定义：aba+babd(tx1)(tx2)dtx1x2a+b-1ab==(a+b)txx.12dtdtab计算t=1时的数值，再除以f(x,x)=xx即可得到我们想要的结果。12121.11齐次技术和位似技术k函数f(x)称为k次齐次的，若f(tx)=tf(x)对于所有t>0成立。经济学中最重要的齐次函数是零次齐次和一次齐次的。零次齐次函数具有f(tx)=f(x)的性质，而一次齐次函数则具有f(tx)=tf(x)的性质。将一次齐次函数的定义与规模报酬不变的定义相比较可知，某技术是规模报酬不变的当且仅当它的生产函数是一次齐次的。函数g:R®R称为正单调变换．．．．．（positivemonotonictransformation）若g是一个严格递增的函数；也就是说，对于该函数来说x>y蕴涵着g(x)>g(y)。（正单调变换还是负单调变换可从上下文判断出）。位似函数．．．．（homotheticfunction）是一次齐次函数的正单调变换。换句话说，f(x)是位似的当且仅当它可以写为f(x)=g(h(x))，其中h×)(是一次齐次函数，g×)(是个单调函数。图1.7提供了几何解释。图1.7：齐次函数和位似函数。A图中的函数为一次齐次的。若x和x¢都可以生产出y单位的产量，则2x和2x¢都可以生产出2y单位的产量；B图中的函数为位似函数。若若x和x¢都可以生产出相同水平的产量——y单位的产量，则2x和2x¢都可以生产出相同单位的产．．．．量，但未必是2y单位的产量。你可以将单调变换看成用不同单位来衡量产出的一种方法。例如，我们可以用升或毫曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）15东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）升衡量液体产量。在这种情形下，不同单位之间的转换非常简单——我们只要乘以1000或者处以1000即可。一种更奇怪的单调变换是我们用“升的平方”衡量产出。根据这种解释，．．位似技术是衡量产出的一种方法，使得这种技术“看上去类似”规模报酬不变。我们对齐次函数和位似函数感兴趣，这是因为当产量变化时它们的等产量线的变化比较简单。在齐次函数的情形下，等产量线族就象是由一条等产量线相应“扩大”（blownup）而得到的。如果f(x)是一次齐次的，则若x和x¢都可以生产出y单位的产量，那么tx和xt¢都可以生产出ty单位的产量，如图1.7A所示。位似函数具有几乎完全相同的性质：若x和x¢都可以生产出相同单位的产量，则tx和xt¢生产出的产量也相同——但未必是原来产量的t倍。位似技术的等产量线和齐次技术的等产量线非常类似，唯一区别是等产量线代表的产量水平是不同的。齐次函数和位似函数比较有趣的原因是，它们对技术替代率施加了限制——当生产规模变化时，技术替代率是如何变化的。特别地，对于这两种函数来说，技术替代率和生产规模无关。这个结论可以直接从第26章齐次函数的知识推导出，在那里我们指出若f(x)是一次齐次的，则¶f(x/)¶x是零次齐次的，这正是我们想要的结果。i例子：CES生产函数不变替代弹性（constantelasticityofsubstitution,CES）生产函数的表达式为．．．．．．．．．1rrry=[ax+ax].1122容易验证，CES函数具有规模报酬不变性质。对参数r取不同的数值，我们就可以得到几个著名的生产函数的特例。我们将这些函数介绍如下，并用图1.8描述这些函数。在我们的讨论中，令参数a=a=1将非常方便。12（1）线性生产函数（r=1）。将r=1代入CES生产函数可得y=x+x.12（2）柯布-道格拉斯生产函数（r=0）。当r=0时CES生产函数无定义，因为除数为零。然而我们可以证明当r趋近于零时，CES的等产量线看上去非常象柯布-道格拉斯生产函数的等产量线。使用技术替代率很容易看清这一点。直接计算可得，x1r-1TRS=-().（1.1）12x2当r趋近于零时，上式趋近于极限x2TRS=-，12x1这正是柯布-道格拉斯生产函数的TRS。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）16东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）图1.8：CES生产函数。CES生产函数的形状有多种，这取决于参数r的取值。A图中的情形为r=1；B图中的情形为r=0，C图中的情形为r=-¥。（3）里昂惕夫生产函数（r=-¥）。我们已经知道CES生产函数的TRS可由（1.1）式计算。当r®-¥时，（1.1）式趋近于x1-¥x2¥TRS=-()=-().12xx21若x>x，则TRS是（负）无穷；若x0。1.7教材中断言，如果f(x)是位似技术而且x和x¢生产的产量水平相同，则tx和xt¢生产的产量水平也相同。你能严格证明这个结论吗？1.8令f(x,x)是位似函数。证明它在(x,x)点的技术替代率等于在(tx,tx)点的技术替121212代率。rr/1r1.9考虑CES技术f(x,x)=[ax+ax]。证明我们总可以将这个式子写为121122rr/1rf(x,x)=A(r)[bx+1(-b)x]的形式。12121.10令Y为一个生产集。如果y和y¢都在Y中蕴涵y+y¢也在Y中，那么我们说技术是可加的。如果y在Y中蕴涵ty也在Y中（其中0£t£1），那么我们说该技术是可分的。证明如果某技术既是可加的又是可分的，则Y必定是凸的，而且它是规模报酬不变的。1.11对于每个必要投入集，确定它是正则的（regular）、单调的和/或凸的。假设参数a和b以及产量水平都是严格正的。（a）V(y)={x,x:ax³logy,bx³logy}1212（b）V(y)={x,x:ax+bx³y,x³}012121（c）V(y)={x,x:ax+xx+bx³y}121122（d）V(y)={x,x:ax+bx³y}1212（e）V(y)={x,x:x1(-y)³a,x1(-y)³b}1212（f）V(y)={x,x:ax-xx+bx³y}121122（g）V(y)={x,x:x+min(x,x)³3y}121121.12为简单起见，线性齐次生产函数通常用“人均”（percapita）表示，方法很简单：将函曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）18东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）数表达式中的一种生产要素作为公因子提取出来（这种要素通常为劳动，因此说人均）。例如，考虑函数y=f(x,x)，其中f(x,x)是一次齐次的。如果将x提取出来，可12122以定义如下的新函数f(X)：Y=xf((x/x)1),ºxf(X)（1）2122其中，Xºx/x，或者，(Y/x)=f(X)是以x表示的人均生产函数（percapitaproduction1222function）。（a）在产品y的价格为1的假设前提下，将利润最大化条件表达为含有w,w和f(X)的12式子。（b）证明f¢(X)[f(X)-Xf¢(X)]s=（2）Xf(X)f¢¢(X)（c）证明如果f(x,x)是一个标准的CES生产函数，即12rr/1ry=f(x,x)=(ax+1(-a)x)1212证明(b)中的表达式将为s=1/(r-)1（2¢）1.13假设有两种产品：投入品z和产出品q。生产函数为q=f(z)。假设生产函数f×)(是规模报酬递增的。（a）假设f×)(是可微的，那么f×)(规模报酬递增是否意味着平均产量随着投入增加是非递减的？边际产量的情形又是如何的？（b）假设存在一个代表性消费者，他的效用函数为u(q)-z（负号表示从他那里拿走投入品）。假设q=f(z)是个生产计划，它的目标是使代表性消费者的效用最大化。请以数学形式或经济学形式（不需要考虑边界解）说明这个最大化问题的必要条件为边际效用等于边际成本。（c）在（b）中，边际效用等于边际成本也是该最大化问题的充分条件吗？习题解答1.1．对还是错？若V(y)是一个凸集，则相应的生产集Y必定为凸。【知识回顾】生产集为凸意味着必要投入集为凸，但反过来说不成立。定理(凸生产集蕴涵着凸必要投入集)：：：若生产集：若生产集Y是一个凸集，，，则与其相关的必要投入集，则与其相关的必要投入集V(y)，，，也是一个凸集，也是一个凸集。。。证明。若Y是个凸集，这意味着对于任何x和x¢，只要(y,-x)和(y,-x¢)都在Y中，则(ty+1(-t)y,-tx-1(-t)x¢)必然也在Y中。这只是要求(y,-(tx+1(-t)x¢))也在Y中。由此可见，若x和x¢都在V(y)中，则tx+1(-t)x¢也在V(y)中，这表明V(y)是凸集。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）19东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）【参考答案】这种说法是错误的，因为生产集为凸意味着必要投入集为凸，但反过来说不成立。2我们举一个反例说明。考虑由生产函数f(x)=x生成的技术。必要投入集2V(y)={x:x³y}是一个凸集，但生产集Y={(y,-x:)y£x}显然不是凸的。1rrr1.2.当a¹a时，一般CES技术y=[ax+ax]的替代弹性为多大？121122TRSd(x/x)21【知识回顾】替代弹性的两种计算方法，一是s=；二是(x/x)dTRS21dln(x/x)21s=。dlnTRSdln(x/x)21【参考答案】我们使用第二种方法即s=计算替代弹性。dlnTRSr-1¶f/¶xax111TRS=-=-⇒lnTRS=ln(a/a)+1(-r)ln(x/x)r-a1221¶f/¶xax222dln(x/x)dln(x/x)dln(x/x)1212121s====.dlnTRSd[ln(a/a)+1(-r)ln(x/x)]1(-r)dln(x/x)1-r1221211.3.定义要素i的产出弹性为¶f(x)xie(x)=.i¶xf(x)iab如果f(x)=xx，每种要素的产出弹性为多大？12【参考答案】ab¶f(x)a-1b¶f(x)ab-1f(x)=xx⇒=axx;=bxx121212¶x¶x12¶f(x)x1a-1bx1e(x)==(axx)=a；类似地可计算出e(x)=b.112ab2¶xf(x)xx112n1.4如果e(x)是规模弹性，e(x)是要素i的产出弹性，证明e(x)=e(x)。i∑ii=1【知识回顾】令y=f(x)表示生产函数，t为一个正的标量。考虑函数y(t)=f(tx)。规模dy(t/)y(t)弹性的表达式为e(x)=。在计算点x的规模弹性时，我们必须计算该表达式在dt/tdy(t)tdf(tx)tt=1时的数值。e(x)==。t=1t=1y(t)ydtf(tx)【参考答案】曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）20东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）令y=f(x)表示生产函数，t为一个正的标量。考虑函数y(t)=f(tx)。nnndy(t)tdf(tx)t1¶f(x)¶f(x)xie(x)===x==e(x)t=1t=1∑i∑∑iy(t)ydtf(tx)f(x)i=1¶xii=1¶xif(x)i=1¶f(x)xi其中最后一个等式用到了要素i的产出弹性的定义e(x)=。i¶xf(x)irr/1r1.5CES技术f(x,x)=(x+x)的规模弹性为多大？1212【参考答案】方法一：rr/1rrr/1rf(tx,tx)=[(tx)+(tx)]=t(x+x)=tf(x,x)12121212这表明CES生产函数的规模报酬是不变的，因此规模弹性为1。dy(t)tdf(tx)t方法二：使用规模弹性的定义e(x)==计算t=1t=1y(t)ydtf(tx)rr/1rdf(tx)d[(tx)+(tx)]d[tf(x)]f(x)dt12====f(x)dtdtdtdtdy(t)tdf(tx)t1e(x)===f(x)=1。t=1t=1y(t)ydtf(tx)f(x)1.6对还是错？可微函数g(x)为严格递增的当且仅当g¢(x)>0。【参考答案】这种说法是错误的。这是因为，如果g¢(x)>0则可微函数g(x)为严格递增的，3但反过来未必成立。例如，g(x)=x是严格递增的，但g¢)0(=0。1.7教材中断言，如果f(x)是位似技术而且x和x¢生产的产量水平相同，则tx和xt¢生产的产量水平也相同。你能严格证明这个结论吗？【知识回顾】函数g:R®R称为正单调变换（positivemonotonictransformation）若g是一个严格递增的函数；也就是说，对于该函数来说x>y蕴涵着g(x)>g(y)。位似函数（homotheticfunction）是一次齐次函数的正单调变换。换句话说，f(x)是位似的当且仅当它可以写为f(x)=g(h(x))，其中h×)(是一次齐次函数，g×)(是个单调函数。【参考答案】令f(x)=g(h(x))并假设g(h(x))=g(h(x¢))。由于g×)(是个单调函数，必有h(x)=h(x¢)。由于h×)(是一次齐次的即h(tx)=th(x)，从而：g(h(tx))=g(th(x))；g(h(xt¢))=g(th(x¢))。所以有g(h(tx))=g(h(xt¢))，这表明tx和xt¢生产的产量水平是相同的。1.8令f(x,x)是位似函数。证明它在(x,x)点的技术替代率等于在(tx,tx)点的技术替121212代率。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）21东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）【知识回顾】位似函数；技术替代率；【参考答案】f(x)是位似的当且仅当它可以写为f(x)=g(h(x))，其中h×)(是一次齐次函数，g×)(是个单调函数。因此位似函数f(x,x)的技术替代率表达式为12¶f¶h¶h¶f/¶x1¶h¶x1¶x1-=-=-¶f/¶x¶f¶h¶h2¶h¶x¶x22注意在上式中我们用到了链式法则。从上式可以看出，位似函数f的替代率与相应的一次齐次函数h的替代率是相等的。而我们已经知道，一次齐次函数在(x,x)点的技术替代率12等于在(tx,tx)点的技术替代率是相等的，因此就得到了题目中的结论。12rr/1r1.9考虑CES技术f(x,x)=[ax+ax]。证明我们总可以将这个式子写为121122rr/1rf(x,x)=A(r)[bx+1(-b)x]的形式。1212【参考答案】rr/1r/1ra1ra2r/1r注意，我们可以将[ax+ax]写为(a+a)[x+x]。11221212a+aa+a1212/1ra1a2现在令A(r)=(a+a)，令b=（从而1-b=），这样f(x,x)就可以1212a+aa+a1212rr/1r写为A(r)[bx+1(-b)x]的形式。121.10令Y为一个生产集。如果y和y¢都在Y中蕴涵y+y¢也在Y中，那么我们说技术是可加的。如果y在Y中蕴涵ty也在Y中（其中0£t£1），那么我们说该技术是可分的。证明如果某技术既是可加的又是可分的，则Y必定是凸的，而且它是规模报酬不变的。【参考答案】要证明凸性，我们必须证明：对于Y中的所有y和y¢以及所有0£t£1，ty+1(-t)y¢必定在Y中。但可分性意味着ty和1(-t)y¢都在Y中，使用可加性可知ty+1(-t)y¢在Y中，这样就证明了凸性。为了证明规模报酬不变，我们必须证明如果y在Y中，则sy（其中s>0）也在Y中。给定任何s>0，令n为满足n³s³n-1的非负整数。由可加性可知，ny在Y中；由于s/n£1，根据可分性可知，(s/n)ny=sy在Y中。这样就证明了规模报酬不变。1.11对于每个必要投入集，确定它是正则的（regular）、单调的和/或凸的。假设参数a和b以及产量水平都是严格正的。（a）V(y)={x,x:ax³logy,bx³logy}1212曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）22东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）（b）V(y)={x,x:ax+bx³y,x³}012121（c）V(y)={x,x:ax+xx+bx³y}121122（d）V(y)={x,x:ax+bx³y}1212（e）V(y)={x,x:x1(-y)³a,x1(-y)³b}1212（f）V(y)={x,x:ax-xx+bx³y}121122（g）V(y)={x,x:x+min(x,x)³3y}12112【知识回顾】单调性：若x在V(y)中且x¢³x，则x¢也在V(y)中。凸性：若x和x¢都在V(y)中，则tx+1(-t)x¢也在V(y)中，其中0£t£1。也就是说V(y)是个凸集（convexset）。正则性：对于所有y³0，V(y)是闭的非空集合。【参考答案】（a）这个集合对于所有y>0是闭的和非空的（如果要素投入可为负），因此是正则的。等产量线类似里昂惕夫技术，唯一的区别是我们用logy而不是y衡量单位产量。由此可知该技术是单调的和凸的。（b）这个必要投入集是非空的但是开的，因此不是正则的；它是单调的和凸的。（c）该必要投入集为非空且为闭的，因此是正则的。函数f(x,x)的偏导数都是正的，因12此，该技术是单调的。为了使等产量线凸向原点，只要生产函数为凹函数即可（注意凹函数是等产量线凸向原点的充分但非必要条件）。为了检验这一点，使用生产函数的二阶导数构建一个矩阵，看看它是不是负半定的。Hessian矩阵的第一个主子阵的行列式必定为负，第二个主子式的行列式必定是非负的。检验可知，结果的确是这样的，因此题目中的必要投入集为凸的。（d）是正则的，单调的和凸的；（e）它是非空的，但它无法生产任何y>1的产量。它是单调的和弱凸的。（f）它是正则的。为了检验单调性，将生产函数写出来f(x,x)=ax-xx+bx，则1211221-2/12/11¶f/¶x=a-xx。只有当a>x/x式，这个偏导数才为正，因此题目中的这1122122个必要投入集并不总是单调的。现在来看f(x,x)的Hessian矩阵，它的行列式为零，第一个主子式为正，因此f不是凹的。12但这不能说明必要投入集不是凸的。但是由于f是凸的，因此所有具有下列形式的集合{x,x:ax-xx+bx£y}121122都是凸的。注意到上述凸集除了边界上的点之外，它是我们题目中必要投入集的补集。作为曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）23东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）凸集的补集，题目中的必要投入集不可能是凸的。（g）这个函数是一个线性函数加上一个里昂惕夫函数，因此它具有这两类函数的性质，当然包括正则性、单调性和凸性。1.12为简单起见，线性齐次生产函数通常用“人均”（percapita）表示，方法很简单：将函数表达式中的一种生产要素作为公因子提取出来（这种要素通常为劳动，因此说人均）。例如，考虑函数y=f(x,x)，其中f(x,x)是一次齐次的。如果将x提取出来，可12122以定义如下的新函数f(X)：Y=xf((x/x)1),ºxf(X)（1）2122其中，Xºx/x，或者，(Y/x)=f(X)是以x表示的人均生产函数（percapitaproduction1222function）。（a）在产品y的价格为1的假设前提下，将利润最大化条件表达为含有w,w和f(X)的12式子。（b）证明f¢(X)[f(X)-Xf¢(X)]s=（2）Xf(X)f¢¢(X)（c）证明如果f(x,x)是一个标准的CES生产函数，即12rr/1ry=f(x,x)=(ax+1(-a)x)1212证明(b)中的表达式将为s=1/(r-)1（2¢）【参考答案】（a）利润最大化问题为maxpf(x,x)-wx-wx，p=1，利润最大化的一阶条件为121122¶f(x1,x2)¶[x2f(X)]=¢-1=¢w==xf(X)xf(X)（3）122¶x¶x11¶f(x,x)¶[xf(X)]122=-¢=-¢w==f(x)f(X)(x/x)f(X)Xf(x)（4）212¶x¶x22-1（b）鉴于（a）中的w和w的表达式形式，先求s是方便的12曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）24东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）-1¶(w1/w2)xs=¶xw/w12(f-Xf¢)f¢¢+Xff¢¢¢X(f-Xf¢)=2(f-Xf¢)f¢Xff¢¢=f¢(f-Xf¢)f¢(X)[f(X)-Xf¢(X)]所以，s=。Xf(X)f¢¢(X)（c）对于标准的CES函数r/1rf(X)=[(aX+1(-a)]（6）从（3）和（4）可知1-rw=f¢(X)=a(f(X/)X)11-rw=f(X)-Xf¢(x)=f(X)-aX(f(X/)X)21-rw2Xr因此，=()f-X（7）wa1最后，使用（6）式，可得1-r1-rw2XrX1-a1-r=()aX+()(1-a)-X=()Xwaaa1而且，由于f-rXf¢-ff¢¢(X)=a()()2XX-rXf¢-f注意到ff¢¢X=a(f/X)()(1-r)2X由（2）式可知，f¢(f)-Xf¢1s==ff¢¢Xr-11.13假设有两种产品：投入品z和产出品q。生产函数为q=f(z)。假设生产函数f×)(是规模报酬递增的。（a）假设f×)(是可微的，那么f×)(规模报酬递增是否意味着平均产量随着投入增加是非递减的？边际产量的情形又是如何的？（b）假设存在一个代表性消费者，他的效用函数为u(q)-z（负号表示从他那里拿走投入品）。假设q=f(z)是个生产计划，它的目标是使代表性消费者的效用最大化。请以数学形曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）25东大青椒工作室制作 范里安《微观经济分析》（第3版）式或经济学形式（不需要考虑边界解）说明这个最大化问题的必要条件为边际效用等于边际成本。（c）在（b）中，边际效用等于边际成本也是该最大化问题的充分条件吗？【参考答案】（a）生产函数f×)(规模报酬递增当且仅当f(lz)³lf(z)对于所有z和所有l³1成立。因此，如果z¢³z>0，那么/1(z¢)f(z¢¢)=/1(z¢)f[(z¢/z)z]³/1(z¢)(z¢/z)f(z)=/1(z)f(z)因此平均产量是非减的。然而，边际产量可能在某个产量区间递减，如图1所示。图1:规模报酬递增不意味着边际产量递增（b）消费者的最大化问题为maxu(f(z)-zz³0-1一阶必要条件为u¢[(f(z)]f¢(z)=1，变形可得u¢[(f(z)]=[f¢(z)]。由于成本函数为-1-1z=f(q)，边际成本等于[f¢(z)]，因此边际成本等于边际效用是这个最大化问题的必要条件。（c）不是。即使在某个投入水平上边际成本和边际效用相等，也可能存在着使得消费者效用更高的另外一个投入水平。原因在于当生产函数为规模报酬递增（它产生的可行集是非凸的）时，一阶必要条件不是充分条件。请自行画下图。曹乾（东南大学caoqianseu@163.com）26东大青椒工作室制作'