解析几何,吕林根,课后习题解答一到五.doc 52页

'第一章矢量与坐标§1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2.设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、O、、、、、和中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝.当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：图1—3(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、.解：§1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1）（2）（3）（4）（5）解：§1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简．⑵已知，，求，和．⑶从矢量方程组，解出矢量，．解：2已知四边形中，，，对角线、的中点分别为、，求．解：3设，，，证明：、、三点共线．解：4在四边形中，，，，证明 为梯形．解：6.设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量,,可以构成一个三角形.7.设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=++.解：8.如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+++＝4.解：9在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.图1-4解 12.设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:++…+＝.解,13．在12题的条件下，设P是任意点，证明证明：§1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线求解（2）设边BC和CD的中点M和N，且求。2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。解：图1-73.设一直线上三点A,B,P满足＝l(l¹－1),O是空间任意一点，求证：＝解： 4.在中,设.(1)设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量的分解式。解6．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：7．已知矢量不共线，问与是否线性相关？解：8.证明三个矢量＝－+3+2,＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明]：9．证明三个矢量共面。证明： §1.5标架与坐标3.在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a,b,c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标.[解]：8.已知矢量,,的分量如下：(1)＝{0,－1,2}，＝{0,2,－4}，＝{1,2,－1}；(2)＝{1,2,3}，＝{2,－1,0}，＝{0,5,6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.[解]:7．已知A,B,C三点坐标如下：（1）在标架下，（2）在标架下，判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式.解：9.已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.解：10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.[证明], ,§1.6矢量在轴上的射影1．已知矢量与单位矢量的夹角为，且，求射影矢量与射影，又如果，求射影矢量与射影.解：2试证明：射影l(ll+…+ln)＝l1射影l+射影l+…+ln射影l.[证明]§1.7两矢量的数性积1．证明：（1）矢量垂直于矢量；（2）在平面上如果，且＝×(i=1,2)，则有＝.证明：2．已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算：[解]：计算下列各题（1）已知等边△的边长为且求；已知两两垂直且求的长和它与的夹角已知与垂直，求的夹角 已知问系数取何值时与垂直？解图1-114.用矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：已知平行四边形以﹛1，2，-1﹜，﹛1，-2，1﹜为两边求它的边长和内角求它的两对角线的长和夹角解：已知△的三顶点试求：△三边长△三内角三中线长角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量解：§1.8两矢量的失性1.已知,试求:解: 2.证明：（1）(´)2≤2×2，并说明在什么情形下等号成立.（2）如果++＝，那么´＝´＝´，并说明它的几何意义.如果,.那么与共线.如果那么,共面.证明:3.如果非零矢量(i＝1,2,3)满足，＝´，＝´，那么,,是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.[证明]：4.已知:,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量:为单位矢量,其中.解:5.在直角坐标系内已知三点,试求:三角形的面积三角形的三条高的长.解:6.已知:,试求:以为边的平行四边形的面积.这平行四边形的两条高的长.解:7.用矢量方法证明： （1）三角形的正弦定理＝＝.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：D2＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.[证明]：§1.9三矢量的混合积1.设,,为三个非零矢量，证明(3)(,,+l+m)=(,,);(4)(＋,＋,＋)=2(,,).[证明]：2．设径矢,,,证明＝()＋()＋()垂直于ABC平面.[证明]:3．=++,++,=++,试证明()=(,,).[证明]4.已知直角坐标系内矢量 的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.,,.,,.解:5.已知直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.⑴;⑵.解:§1.10三矢量的双重矢性积1.在直角坐标系内,已知求和解2.证明对于任意矢量下式成立:证 3.证明=证4.证明=证5.证明共面的充要条件是,,共面.证6.对于任意矢量,证明证第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程1.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解： 1.有一长度为＞0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。，为两端点，为此线段的中点。解：2.一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹.解:3.设是等轴双曲线上任意三点,求证的重心必在同一等轴双曲线上.证明:4.任何一圆交等轴双曲线于四点,,及.那么一定有.证明:8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.⑴;⑵;⑶.解: §2.2曲面的方程1、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：3.求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与解：§2.3母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1）解： §2.4空间曲线的方程1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。解：2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）；（2）；（3）；（4）解：3.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4） 解：6.求空间曲线的参数方程.解:第三章平面与空间直线§3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。解：2.化一般方程为截距式与参数式：.解： 3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.证明：4.已知连接两点的线段平行于平面，求点的坐标.解：5.求下列平面的一般方程.⑴通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;⑵过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;⑶与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;⑷已知两点,求通过且垂直于的平面;⑸原点在所求平面上的正射影为;⑹求过点和且垂直于平面的平面.解:6．将下列平面的一般方程化为法式方程。 解：7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解8．已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴与上的截距之比为的平面。解：10．平面分别与三个坐标轴交于点求的面积。解 11．设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：§3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1），；（2），.解：2.求下列各点的坐标：（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。解：3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：4.求中心在且与平面相切的球面方程。解 5．求通过轴其与点相距8个单位的平面方程。解：6.求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.⑴;⑵.解:.9判别点M（2-11）和N（12-3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）与（2）与解：10试求由平面：与：所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2，-3）解： 3.3两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与。解：2.分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面。解：3.求下列两平行平面间的距离：（1），；（2），。解： 4.求下列各组平面所成的角：（1），；（2），。解：5.求下列平面的方程:(1)通过点和且与坐标面成角的平面;(2)过轴且与平面成角的平面.解§3.4空间直线的方程1.求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）通过点且平行于两相交平面：的直线；（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）通过点且与两直线和垂直的直线；（5）通过点且与平面垂直的直线。 解：２.求以下各点的坐标：（１）在直线上与原点相距２５个单位的点；（２）关于直线与点对称的点。解：３.求下列各平面的方程：（１）通过点，且又通过直线的平面；（２）通过直线且与直线平行的平面；（３）通过直线且与平面垂直的平面；（４）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。解：4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦： （1）（2）（3）解：5.一线与三坐标轴间的角分别为.证明证§3.5直线与平面的相关位置1.判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与。解：2.试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。解：3.确定的值，使：（1）直线与平面平行； （2）直线与平面垂直。解：4.决定直线和平面的相互位置。解：5.设直线与三坐标平面的交角分别为证明证明6.求下列球面的方程(1)与平面x+2y+3=0相切于点且半径r=3的球面;(2)与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点的球面.解: 3.7空间直线的相关位置1.直线方程的系数满足什么条件才能使：（1）直线与轴相交；（2）直线与轴平行；（3）直线与轴重合。解：2.确定值使下列两直线相交：（1）与轴；（2）与。解：3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。（1）与；（2）与；（3）与。解： 4.给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。解：5.求下列各对直线间的角(1)(2)解6.设和分别是坐标原点到点和的距离,证明当时,直线通过原点.证7.求通过点且与平面平行,又与直线相交的直线方程.解 8.求通过点且与两直线都相交的直线方程.解9.求与直线平行且和下列两直线相交的直线.⑴⑵解10..求过点且与直线相交的直线方程.解§3.6空间直线与点的相关位置1.直线通过原点的条件是什么？解： 2.求点到直线的距离。解§3.8平面束1.求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与轴平行；（3）与平面垂直。解：2.求平面束，在两轴上截距相等的平面。解：3.求通过直线且与平面成角的平面。解：4.求通过直线且与点的距离等于3的平面。 解：5.求与平面平行且满足下列条件之一的平面.⑴通过点;⑵轴上截距为;⑶与原点距离为.解:.6.设一平面与平面x+3y+2z=0平行,且与三坐标平面围成的四面体体积为6,求这平面的方程。解8.直线的系数满足什么条件才能使直线在坐标平面XOZ内?解 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。解：2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解3、求过三条平行直线的圆柱面方程。解：4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中的为参数。 证明：§4.2锥面1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。解：2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。解：4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。解：6、已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与 式中，为参数。证明：§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；绕旋转（2）；绕旋转（3）绕轴旋转；（4）空间曲线绕轴旋转。解2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？解： 3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，。§4.4椭球面1、做出平面与椭球面的交线的图形。解：：2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。解： 3、由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：证明：4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：证明：5、一直线分别交坐标面于三点，当直线变动时，直线上的三定点也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点，它与三点的距离分别为，当直线按照这样的规定（即保持分别在三坐标面上）变动，试求点的轨迹。解：6、已知椭球面，试求过轴并与曲面的交线是圆的平面。解： §4.5双曲面1、画出以下双曲面的图形：（1）；（2）解：图形如下：2、给定方程试问当取异于的各种数值时，它表示怎样的曲面？解：3、已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。解： 4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。解：5、试求单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面。解：6、设直线与为互不垂直的两条异面直线，是与的公垂线的中点，两点分别在直线，上滑动，且，试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。证明：：7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：与解： §4.6抛物面1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。解：2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为，夹角为。解：3、画出下列方程所代表的图形：（1）；（2）；（3）4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：（1）（2）（3）（4） 解：5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：与式中的为参数。解：§4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、求下列直纹面的直母线族方程：（1）（2）解：2、求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）（1）；（2）解： 3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。解：4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定是其腰圆的切线。证明：5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。解：6、求与下列三条直线，与都共面的直线所构成的曲面。解：7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明： 8、试求单叶双曲面上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。解：9、试证明双曲抛物面上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲线上。证明：10、已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。解：第五章二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A以及，及.（1）；（2）；（3）；（4）（5）.解： 2.求二次曲线与下列直线的交点.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：提示：把直线方程代入曲线方程解3.求直线与二次曲线的交点.4.试确定k的值，使得（1）直线与二次曲线交于两不同的实点；（2）直线与二次曲线交于一点；（3）与二次曲线交于两个相互重合的点；（4）与二次曲线交于两个共轭虚交点.解： §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1.求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.（1）；（2）；（3）.解：2.判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.（1）；（2）；（3）；（4）.解：3.求下列二次曲线的中心.（1）；（2）；（3）.解： 4.当满足什么条件时，二次曲线（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：5.试证如果二次曲线有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ=式中为二次曲线的中心.证明：6.求下列二次曲线的渐进线.（1）；（2）；（3）.解：7.试证二次曲线是线心曲线的充要条件是，成为无心曲线的充要条件是. 证明：8.证明以直线为渐进线的二次曲线方程总能写成.证明：9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）；（2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线为渐进线.解：利用习题8的结论§5.3二次曲线的切线1.求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.（1）曲线在点（2，1）；（2）曲线曲线在点在原点；（3）曲线经过点（-2，-1）；（4）曲线经过点；（5）曲线经过点（0，2）.解 2.求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线的切线平行于直线；（2）曲线的切线平行于两坐标轴.解：3.求下列二次曲线的奇异点.（1）；（2）；（3）.解：4.试求经过原点且切直线于点（1，-2）及切直线于点（0，-1）的二次曲线方程.解：5.设有共焦点的曲线族，这里是一个变动的参数，作平行于已知直线的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程.解： §5.4二次曲线的直径1.已知二次曲线.求它的（1）与轴平行的弦的中点轨迹；（2）与轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线平行的弦的中点轨迹.解：2.求曲线通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径.解：3.已知曲线的直径与轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.解：4.已知抛物线，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分.解： 5.求双曲线一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度.解：6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.证明：7．求下列两条曲线的公共直径.（1）与；（2）与.解：8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线与为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.解：§5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆，双曲线，抛物线的主方向与主直径. 解：1.求下列二次曲线的主方向与主直径.（1）；（2）；（3）.解：3.直线是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.解：4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明：§5.6二次曲线方程的化简与分类1.利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形.（1）；（2）；（3）；（4）.解： 2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.（1）；（2）；（3）；（4）.解：3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式.证明：1.试证二次曲线的两条主直径为，曲线的两半轴的长分别为及.证明：求出曲线的两主直径并化简即可得. §5.7应用不变量化简二次曲线的方程1.利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：1.当取何值时，方程表示两条直线.解：3.按实数的值讨论方程 表示什么曲线.解4.设表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是.证明：5.试证方程确定一个实圆必须且只须.证明：6.试证如果二次曲线的，那么.证明：7.试证如果二次曲线的，那么，而且.证明：'