高等数学课后习题答案--第七章.pdf 28页

'《高等数学》习题参考资料第三篇多元函数微积分第七章多元函数微分学§1多元函数的极限与连续习题1.当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限3222x+xyx+y（1）;（2）;x2+y222x+y+1−1x2y2+1−12(x+y)（3）;（4）;2222x+yx+y2222−(x+y)x−y（5）(x+y)e;（6）;22x+y2221−cos(x+y)x（7）;（8）.2222x+yx+y−x【答案】(1)0;(2)2;(3)0;(4)不存在;(5)0;(6)不存在;(7)0;(8)不存在.2.求出下列极限⎛11⎞y−⎜+⎟ln(x+e)11⎜x2y2⎟⎝⎠（1）lim;（2）lim(+)e;22(x,y)→(1,0)x2+y2(x,y)→(0,0)xy22222xy−yzxyz（3）lim;（4）lim.(x,y,z)→(1,2,3)xyz−1(x,y,z)→(0,0,0)x2+y2+z28【答案】(1)ln2;(2)0;(3)−;(4)0.53.讨论下列函数在原点O（0，0）处是否连续？⎧1,xy=0,（1）z=⎨⎩0,xy≠0;33⎧sin(x+y)33⎪,x+y≠0,33（2）z=⎨x+y⎪33⎩0,x+y=0;132 ⎧sin(x3+y3)22⎪,x+y≠022（3）z=⎨x+y⎪22⎩0,x+y=0.【答案】(1)不连续;(2)不连续;(3)连续.4、指出下列函数的连续范围1（1）u=;sinx⋅siny22（2）u=ln(1−x−y);1（3）u=ln.22(x−a)+(y−b)22【解】.(1)在x≠kπ且y≠kπ时函数连续;(2)x+y<1时连续;(3)除了点(a,b)外都连续.25.下列映射f:(x,y)a(u,v)在R的哪个子集上是连续的？221（1）u=x−y,v=;22x−yxy（2）u=,v=.2222x+yx+y【答案】(1)|x|≠|y|外连续;(2)x=y=0外连续.§2全微分与偏导数习题1.求下列函数的各个一阶偏导数：323yx（1）z=xy+3xy−xy；（2）z=+；xyyxy（3）z=lntan；（4）z=x。x133 23322y1【答案】(1)z′=3xy+6xy−xy,z′=x+3x−3xy;(2)z′=−+,xyx2xy1xy1z′=−,(3)z′=−,z′=,(4)y2xyyyyyxy2xcossinxsincosxxxxxyxy+1z′=xy(lnx+1),z′=xlnx.xy2.计算下列函数在指定点的偏导数：x（1）z=arcsin,在（1，2）处的zx,zy;y1（2）u=,在（1，2，-1）处的u,u,u；xyz222x+y+z3x+4y（3）u=ecos(2x+5z)在（-2，1，2）处的u,u,u；xyz2⎡x⎤⎛π⎞（4）u=sinx+sin⎢(y−1)lntan⎥在⎜,1⎟处的u′x。⎣y⎦⎝4⎠112666【解】(1),−;(2)−,−,;312361836−2−2−2(3)(3cos6−2sin6)e,(4cos6)e,(−5sin6)e,⎛x⎞2xcos⎜(y−1)lntan⎟(y−1)sec⎜y⎟y⎝⎠π(4)u"=sin2x+,u"(,1)=1.xx4xxytany3.求下列函数的全微分：22222（1）z=axy+bx;（2）z=tan(x+y);22−y−x（3）z=ln(x+x−y);（4）z=xe+ye;yyt2（5）z=arctan2;（6）z=∫edt.xx222222【答案】(1)(2axy+2bx)dx+axdy;(2)4tan(x+y)sec(x+y)(xdx+ydy);1ydy−y−x−x−y(3)dx−;(4)(e−ye)dx+(e−xe)dy;(5)222222x−yx−y(x+x−y)2−2xyxx2y2dx+dy;(6)−edx+edy.4242x+yx+y⎧122⎪z=(x+y)4.求曲线⎨4在点M0(4,2,5)处的切线关于x轴的倾角，并求该切线⎪⎩y=2的方程。134 ⎧z−2x+3=0【答案】arctan2;⎨.⎩y=25、讨论下列函数在O（0，0）处的可微性（1）z=xcosy⎧2xy22⎪,x+y≠0,（2）z=⎨x2+y2⎪22⎩0,x+y=0.【答案】(1)不可微;(2)不可微.6、用全微分求下列函数在指定点的近似值22（1）20−x−7y,(1.95,1.08);（2）ln(x−3y),(6.9,2.06).【答案】(1)2.834;(2)-3.2857、测得一矩形的长和宽分别为20cm和12cm，可能的最大测量误差为0.1cm，试用全微分估计由测量值计算出的矩形面积的最大误差.【解】S=xy，dS=ydx+xdy=12×0.1+20×0.1=3.2(cm).8、求下列函数的二阶偏导数，u′′,u′′,u′′.xxxyyyax（1）u=sin(ax−by);（2）u=ecosbx;xylny（3）u=ye;（4）u=x.22【答案】(1)asin(−ax+by),−absin(−ax+by),bsin(−ax+by);2axax2ax(2)aecos(by),−abesin(by),−becos(by);3xy2xy2xy(3)ye,(xy+2y)e,(xy+2x)e;lnylnylnyxlny(lny−1)x(lnylnx+1)xlnx(lnx−1)(4),,.22xxyy9、设函数22⎧x−y22⎪xy,x+y≠0,f(x,y)=⎨x2+y2⎪0,x2+y2=0.⎩试求fx′(0,y)及fy′(x,0)，并证明fxy′′(0,0)≠fyx′′(0,0).f(0+∆x,y)−f(0,y)⎧−y,y≠0【解】fx′(0,y)=lim=⎨,∆x→0∆x⎩0,y=0⎧x,x≠0类似)fy′(x,0=⎨.于是fxy′′(0,0)=−1,1fyx′′(0,0)=.⎩0,x=0222t∂u∂u10、设u=2cos(x−)，证明：2+=0.22∂x∂t∂t21212121【提示】u′′=sin(x−t)−cos(x−t),u′′=−2sin(x−t)+2cos(x−t).ttxt2222135 2(x−b)1−211、证明：函数u(x,t)=e4at满足热传导方程2aπt2∂u2∂u=a。2∂t∂x2(x−b)∂u(x,t)1−42222【解】=−eat(−x+2bx+2at−b)∂t8a3πt5⎛()xb−2⎞⎜⎜−⎟⎟⎜⎜2⎟⎟⎝4at⎠2∂u(x,t)1()xb−ea=−,∂x4atπt22(x−b)2∂u(x,y)1−42222a=−eat(−x+2bx+2at−b)∂x2358aπt2−n12、证明：n元函数u=(x2+x2+L+x2)2满足方程12nu′′+u′′+L+u′′=0(n>2).x1x1x2x2xnxnn22−【解】u′=(2−n)x()x+L+x2,xii1nnn222−−12−u′′=(−2+n)nx()x+L+x2+(x+x2+L+x2)2(2−n)xixii1n12n于是成立u′′+u′′+L+u′′=0.x1x1x2x2xnxnTT13、设映射f为(x,y)a(u,v)，其中的对应关系由下列函数组定义，试求出f的Jacobi矩阵及微分：⎧u=lnx2+y2,⎧u=excosy,⎪⎪（1）⎨x（2）⎨y⎪⎩v=esiny;⎪v=arctan.⎩x⎛xy⎞⎛excosy−exsiny⎞⎜2222⎟【答案】(1)J=⎜⎟;(2)J=⎜x+yx+y⎟.⎜exsinyexcosy⎟⎜yx⎟⎝⎠−⎜2222⎟⎝x+yx+y⎠14.计算下列映射的导数：⎛ucosv⎞⎛x+y⎞⎜⎟（1）f(x,y)=⎜⎟;（2）g(u,v)=⎜usinv⎟.⎜22⎟⎝x+y⎠⎜⎟⎝v⎠⎛11⎞⎛dx⎞⎛dx+dy⎞【解】(1)J=⎜⎜⎟⎟,df=J⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟;⎝2x2y⎠⎝dy⎠⎝2xdx+2ydy⎠136 ⎛cosv−usinv⎞⎛cosvdu−usinvdv⎞⎜⎟⎛du⎞⎜⎟(2)J=⎜sinvucosv⎟,dg=J⎜⎜⎟⎟=⎜sinvdu+ucosvdv⎟;⎜⎟⎝dv⎠⎜⎟⎝01⎠⎝dv⎠2215、求曲面z=2x+4y在（2，1，12）处的切平面方程。【答案】z−12=8(x−2)+8(y−1)π16、求螺旋线r(t)=2costi+sintj+tk在点(0,1,)处的切线方程。2πz−xy−12【答案】==−201tπ17、求曲线x=t−sint,y=1−cost,z=4sin在点(−1,1,22)处的切线方程。22πx−+12y−1z−22【答案】==.1122318、求曲线x=t,y=t,z=t上切线平行于平面x+2y+z=4的点。111【答案】M(−1,1,−1),M(−,,−).123927§3链式求导法则习题2x∂z∂z1.设z=ulnv，其中u=,v=3x−2y,求,.y∂x∂y222∂z2xln(3x−2y)3x∂z2xln(3x−2y)2x【解】=+,=−+2222∂xyy(3x−2y)∂yyy(3x−2y)22∂w∂w2.设w=x+y+sin(x+y),x=u+v,y=uv求,.∂u∂v【解】137 ∂w2=2u+2v+2uv+cos(u+v+uv)(1+v),∂u∂w2=2u+2v+2uv+cos(u+v+uv)(1+u).∂v22∂z∂z3.设z=xy−xy,x=rcosθ,y=rsinθ,求,.∂r∂θ【解】∂z2=3rsintcost(cost−sint),∂r∂z32323=−r(−2sintcost+cost_2costsint+sint).∂θ3dz4.设z=arccos(x+y),x=3t,y=4t,求.dt2dz3+12t【解】=−dt1−9t2−24t4−16t6xdz5.设z=arctan(xy),而y=e,求.dxxdze(1+x)【解】=.22xdx1+xeax6.esin.xaxe(y−z)du6.设u=,y=asinx,z=cosx,求.2a+1dxduax【解】=esinxdx∂u∂u7.设f具有连续一阶偏导数，求,,其中∂x∂y22xyxy（1）u=f(x−y,e);（2）u=f(,).yx∂uxy∂uxy【解】(1)=2xf"+yef",=−2yf"+xef";1212∂x∂y∂uf1"y∂ux1(2)=−f",=−f"+f".22212∂xyx∂yyx138 8、设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)=1，f(1,1)=2，f(1,1)=3。如果xyϕ(x)=f(x,f(x,x))，求ϕ′(1)。【解】ϕ"(x)=f"(x,f)+f"(x,f)(f"(x,x)+f"(x,x))xyxyϕ′(1)=f"(1,1)+f"(1,1)[f"(1,1)+f"(1,1)]=1+2×(1+2)=7.xyxy9、设f是可微函数，a,b为常数，z=f(x+at,y+bt)，证明：∂z∂z∂z=a+b.∂t∂x∂y【提示】zx"=f1"(x+at,y+bt),zy"=f2"(x+at,y+bt),z"=af"(x+at,y+bt)+bf"(x+at,y+bt),即成立所证等式.t12y10、设f是可微函数，u=xy+xf(),证明：x∂u∂ux+y=u+xy.∂x∂y⎛y⎞⎛y⎞⎛y⎞⎛y⎞y⎛y⎞【提示】ux"=y+f⎜⎟+xf′⎜⎟⎜−2⎟=y+f⎜⎟−f"⎜⎟,⎝x⎠⎝x⎠⎝x⎠⎝x⎠x⎝x⎠⎛y⎞1⎛y⎞uy"=x+xf"⎜⎟=x+f"⎜⎟,⎝x⎠x⎝x⎠∂u∂u⎛y⎞⎛y⎞⎛y⎞x+y=xy+xf⎜⎟−yf"⎜⎟+yx+yf"⎜⎟=u+xy.∂x∂y⎝x⎠⎝x⎠⎝x⎠222∂z∂z∂z11、设f是二元函数，具有二阶连续偏导数，求下列函数的,,:22∂x∂x∂y∂yx（1）z=f(xy,y);（2）z=f(x,);y22（3）z=f(cosx,cosy);（4）z=f(xy,xy).22【解】(1)z"=f"y,"z"=xyf"+yf"+f,z"=xf"+2xf"+f";xx11xy11121yy111222139 2211⎛x⎞x2x(2)z"=f"+f"+f",z"=−⎜xf"+f"+f"⎟,z"=f"+f";xx1112222xy2⎜12222⎟yy42232yyy⎝y⎠yy22(3)"z"=−cosxf"+sinxf,"z"=sinxsinyf,z"=−cosyf"+sinyf";xx111xy12yy22234(4)"z"=2yf"+2xyf"+4xyf"+yf,xx11112223223z"=2xf"+2yf"+2xyf"+5xyf"+2xyf",xy121112224322z"=2xf"+xf"+4xyf"+4xyf"yy211122212、设f是具有二阶连续偏导数的三元函数，u=f(x+y,x−y,xy).求22∂u∂u,.2∂x∂x∂y【解】."u"=f"+f"+yf,"u"=f"−f"+xf,x123y1232u"=f""+2f""+2yf""+f""+2yf""+yf"",xx111213222333222xy−t2x∂f∂fy∂f13、设f(x,y)=edt，求−2+。∫0y∂x2∂x∂yx∂y22222222222−xy−xy3−xy−xy22−xy【解】f"=ye,f"=xe,f"=−2xyef"=e−2xye,xyxxxy2223−x2y2x∂f∂fy∂ff"=−2xye,−2+yy22y∂x∂x∂yx∂y222222222222−xy22−xy−xy22−xy−xy=−2xye+4xye−2e−2xye=−2e14、设u=f(x,y)具有各个二阶连续偏导数，11x=(s−3t),y=(3s+t).22∂u2∂u2∂u2∂u2证明：（1）()+()=()+();∂x∂y∂s∂t2222∂u∂u∂u∂u（2）+=+.2222∂x∂y∂s∂t【提示】直接计算各个导数.140 15、设有映射23TTf:R→R,(x,y)a(u,v,w),22TTg:R→R,(s,t)a(x,y),其中yu=x+y,v=xy,w=,xstx=,y=,2222s+ts+t求复合映射fog的Jacobi矩阵。【解】⎛⎞⎛−s2+t2−2st⎞⎛u′sut′⎞⎛u′xu′y⎞⎜11⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛x′x′⎞⎜⎟(s2+t2)2(s2+t2)2′′′′⎜ss⎟⎜⎟⎜vsvt⎟=⎜vxvy⎟⎜′′⎟=⎜yx⎟⎜−2sts2−t2⎟yy⎜w′w′⎟⎜w′w′⎟⎝ss⎠⎜y1⎟⎜⎟⎝st⎠⎝xy⎠⎜−2⎟(s2+t2)2(s2+t2)2⎝xx⎠⎝⎠2222⎛−s−2st+ts−2st−t⎞⎜⎟222222⎜(s+t)(s+t)⎟⎜2222⎟(−s+t)y−2xst−2yst+s−t=⎜222222⎟.(s+t)(s+t)⎜⎟2222⎜y(s−t)−2xst2yst+x(s−t)⎟⎜22222222⎟⎝x(s+t)x(s+t)⎠16、设映射f=(f,f),g=(g,g),其中12122222f(s,t)=s+t,f(s,t)=s−t,1222yg(x,y)=lnx+y,g(x,y)=arctan,12x求复合映射fog的Jacobi矩阵。⎛2(xs−ty)2(ys+tx)⎞⎛ff⎞⎜2222⎟【解】.⎜1x1y⎟=⎜x+yx+y⎟.⎜ff⎟⎜2(xs+ty)2(ys−tx)⎟⎝2x2y⎠⎜2222⎟⎝x+yx+y⎠17、设在直角坐标系(x,y)下，变量u,v满足Cauchy-Riemann方程：u′=v′,u′=−v′,xyyx141 证明在极坐标系(r,θ)下，上述方程相应地变换成11u′=v′,u′=−v′.rθθrrr222yx【解】x=rcosθ,y=rsinθ,r=x+y,θ=arctan,rr′=x,r′=,xxxryyxr′=.θ′=−,θ′=,代入表达式u′=u′r′+u′θ′,yx22y22xrxθxrx+yx+yu′=u′r′+u′θ′,v′=v′r′+v′θ′,v′=v′r′+v′θ′.即得到yryθyxrxθxyryθy11u′=v′,u′=−v′.rθθrrr18、求λ和µ，使得线性变换⎧ξ=x+λy,⎨⎩η=x+µy将微分关系式222∂u∂u∂uA+2B+C=02∂x∂y2∂x∂y化简为2∂u=0,∂ξ∂η2其中A，B，C为常数，且C≠0，B−AC>0.∂u∂u∂ξ∂u∂η∂u∂u∂u∂u∂u【解】【解】=+=+,=λ+µ,∂x∂ξ∂x∂η∂x∂ξ∂η∂y∂ξ∂η⎛∂⎞⎛∂⎞ux:=⎜⎜u,()ξη⎟⎟+⎜⎜u,()ξη⎟⎟⎝∂ξ⎠⎝∂η⎠⎛∂⎞⎛∂⎞uy:=⎜⎜u,()ξηλ⎟⎟+⎜⎜u,()ξηµ⎟⎟⎝∂ξ⎠⎝∂η⎠222⎛∂⎞⎛∂⎞⎛∂⎞uxx:=⎜u,()ξη⎟+2⎜u,()ξη⎟+⎜u,()ξη⎟⎜⎜⎝∂ξ2⎟⎟⎠⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜⎝∂η2⎟⎟⎠2222⎛⎛∂⎞⎛∂⎞⎞⎛⎛∂⎞⎛∂⎞⎞uxy:=⎜⎜u,()ξη⎟+⎜u,()ξη⎟⎟λ+⎜⎜u,()ξη⎟+⎜u,()ξη⎟⎟µ⎜⎜⎝⎜⎜⎝∂ξ2⎟⎟⎠⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜⎝∂η2⎟⎟⎠⎟⎟⎠2222⎛⎜∂⎟⎞⎛⎜∂⎞⎟2⎛⎜∂⎞⎟uyy:=λu,()ξη+2λµu,()ξη+µu,()ξη⎜⎜⎝∂ξ2⎟⎟⎠⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜⎝∂η2⎟⎟⎠142 222∂u∂u∂uA+2B+C=22∂x∂x∂y∂y2222⎛∂⎞⎛∂⎞⎛∂⎞⎛∂⎞A⎜G,()ξη⎟+2A⎜G,()ξη⎟+A⎜G,()ξη⎟+2B⎜G,()ξηλ⎟⎜⎜∂ξ2⎟⎟⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜∂η2⎟⎟⎜⎜∂ξ2⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠222⎛∂⎞⎛∂⎞⎛∂⎞+2B⎜G,()ξηλ⎟+2B⎜G,()ξηµ⎟+2B⎜G,()ξηµ⎟⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜⎝∂η2⎟⎟⎠222⎛⎜∂⎟⎞2⎛⎜∂⎞⎟⎜⎛∂⎟⎞2+CG,()ξηλ+2CλG,()ξηµ+CG,()ξηµ⎜⎜⎝∂ξ2⎟⎟⎠⎜⎝∂∂ξη⎟⎠⎜⎜⎝∂η2⎟⎟⎠2因此当λ,µ是方程A+2Br+Cr=0的两个解时.原方程变为2∂u(A+2B+C)=0.∂ξ∂η222∂z∂z∂z19、设−2+=0,且22∂x∂x∂y∂y⎧u=x+y,⎪z⎨yw=,⎪v=,x⎩x写出新的因变量的w关于新的自变量u,v所满足的微分关系式。2∂w【解】=0.事实上2∂vyz"=f+f"w"=w+xw"−w",z"=xw"+w",xxwxuvyuvx22yyyyz"=2w"+xw"−w"+w",w"=w"+xw"−w"+w"−w",xxuuuuv3vvxyuuuuvuv2vvxxxx1w"=xw"+2w"+w",于是yyuuuvvvx22222∂z∂z∂z(x+y)∂w−2+=w"=0,即当x+y≠0时原方程化为=0.223vv2∂x∂x∂y∂yx∂v§4隐函数微分法及其应用习题143 dy1.求下列隐函数的导数dxx（1）e+sin(x+y)+xy=0;xy（2）ecosy+esinx=1.【解】xxye+cos(x+y)+yecosy+ecosx.(1)−;(2).xycos(x+y)+xesiny−esinx2.求下列隐函数的一阶偏导数z,z:xy23（1）yz−xz+xy−4z=0;222（2）cosx+cosy+cosz=1.（3）x+2y+z−2xyz=0.xz（4）=ln.zy2y−zz+x【解】.(1)z"=−,z"=−;x2y22yz−x−12z2yz−x−12zcosxsinxcosysiny(2)z"=−,z"=−;xycoszsinzcoszsinz−xyz+yz−2xyz+xz(3)z"=,z"=;xyxyz−xyxyz−xy2zz(4)z",=z"=.xyx+zy(x+z)3.设F是三元可微函数，F(x,x+y,x+y+z)=0，求z′,.z′xy【解】F"+F"+F"F"+F"12323.z"=−;z"=−.xyF"F"33144 4.设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由F(x,y,z)=0所确定的具有连续编导数的函数，证明：∂x∂y∂z⋅⋅=−1.∂y∂z∂x∂x∂y∂z⎛⎜Fx′⎞⎟⎛Fy′⎞⎛Fz′⎞【解】⋅⋅=−⎜−⎟⎜−⎟=−1∂y∂z∂x⎜F′⎟⎜F′⎟⎜F′⎟⎝y⎠⎝z⎠⎝x⎠233∂z5.设z−3xyz=a，求.∂x∂y2224z(2xyz+xy−z)【解】.z"=.xy6422233−z−3xyz−3xyz+xy2z∂z6.设e−xyz=0,求.2∂x2zzyz(ze−2e+2xy)【解】z"=xyz2z22z33−e+3xye−3xye+xy⎛y⎞7.试求由下列方程组确定的映射f:xa⎜⎜⎟⎟的Jacobi阵：⎝z⎠22⎧⎪z=x+y,（1）⎨222⎪⎩x+2y+3z=20;⎧x+y+z=0,（2）⎨222⎩x+y+z=1.【解】.(1)z=2x+2yyxxx2x+4yy+6zz=0,x+2yy+3zz=0,x+z−2x+3zz=0,z=,xxxxxxx1+3z⎛−x−6xz⎞⎜⎟2yy=x−2x,y=x−2x−6xz=−x−6xz.J=⎜2y(1+3z)⎟.xx1+3z2y(1+3z)2y(1+3z)⎜x⎟⎜⎟⎝1+3z⎠145 (2)1+y+z=0,y+yy+yz=0,x+yy+zz=0,y−x+(y−z)z=0,xxxxxxx⎛x−z⎞⎜⎟z=x−yx−z⎜z−y⎟,z+zy+zz=0,y=.J=.xxxxx−yy−zz−y⎜⎟⎜⎟⎝y−z⎠TT8.求由下列方程组确定的映射(x,y)a(u,v)的Jacobi阵：u⎧⎪x=e+usinv,（1）⎨u⎪⎩y=e−ucosv;⎧u=f(ux,v+y)（2）⎨,其中f,g具有连续一阶偏导数。2⎩v=g(u−x,vy)u⎧⎪F1=e+usinv−x,【解】(1)⎨u⎪⎩F=e−ucosv−y;2⎛∂F1∂F1⎞⎛⎜∂F1∂F1⎞⎟⎜⎟⎛u⎞−10⎜∂u∂v⎟=⎜e+sinvucosv⎟,⎜∂x∂y⎟=⎛⎜⎞⎟⎜∂F2∂F2⎟⎜⎝eu−cosvusinv⎟⎠⎜∂F2∂F2⎟⎜⎝0−1⎟⎠⎜⎟⎜⎟⎝∂u∂v⎠⎝∂x∂y⎠−1⎛∂F1∂F1⎞⎜∂u∂v⎟1⎛sinv−cosv⎞⎜⎟=⎜⎟∂F∂Feu(sinv−cosv)+1⎜eu−cosveu+cosv⎟⎜22⎟⎝⎠⎜⎟⎝∂u∂v⎠1⎛sinv−cosv⎞⎧F1=f(ux,v+y)−u,J=⎜⎟;(2)⎨u⎜uu⎟2e(sinv−cosv)+1⎝e−cosve+cosv⎠⎩F2=g(u−x,vy)−v,⎛∂F1∂F1⎞⎛⎜∂F1∂F1⎞⎟⎜∂u∂v⎟⎛xf1"−1f2"⎞⎜∂x∂y⎟⎛uf1′f2′⎞⎜⎟=⎜⎟,=⎜⎟⎜∂F∂F⎟⎜g"2vyg"−1⎟⎜∂F∂F⎟⎜−g′v2g′⎟⎜22⎟⎝12⎠22⎝12⎠⎜⎟⎝∂u∂v⎠⎝∂x∂y⎠−1⎛∂F1∂F1⎞⎜∂u∂v⎟1⎛2vyg2′−1−f2′⎞⎜⎟=⎜⎟⎜∂F2∂F2⎟2xvyf′g′−xf′−2vyg′−f′g′+1⎜⎝−g1′xf1′−1⎟⎠121221⎜⎟⎝∂u∂v⎠146 1J=−2xvyf′g′−xf′−2vyg′−f′g′+11212212⎛2uvyf′g′−uf′+f′g′f′((2vy−v)g′−1)⎞⎜1212122⎟.⎜−′+′−−′′+2′′−2′⎟g((ux)f1)fgxvfgvg⎝1121122⎠9.设y=f(x,t)，F(x,y,t)=0，其中二元函数f和三元函数F均具有连续一阶偏导数，且F′≠0。证明zdyf′F′−f′F′xttx=。dxf′F′+F′tyt【解】由y=f(x,t),0F(x,y,t)=知,y,t均是x的函数,利用一阶微分的形式dydt不变性有dy=f",dx+fdt0F"dx+F"dy+F"dt=,或−f"=f",xtxyttxdxdxdydtdyfx′Ft′−ft′Fx′dtfx′Fy′+F"xF"+F"=−F",联立解得=,=−.ytxdxdxdxf′F′+F′dxf′F′+F′tyttytz10.求曲面e−z+xy=3在点（2，1，0）处的切平面方程。z【答案】F′(x,y,z)=y,F′(x,y,z)=x,F′(x,y,z)=e−1,代入点的坐标得平xyz面方程是x+2y−4=022211.求椭球面x+2y+z=1上平行于平面x−y+2z=0的切平面方程。2222【答案】x−y+2z−=0,x−y+2z+=0.2212.证明：曲面x+y+z=a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.111【解】设F(x,y,z)=x+y+z−a,F′=,F′=,F′=,过xyz2x2y2zxyz曲面上一点M(x,y,z)的切平面方程++=a,平面的三个截距000xyz000分别为ax,ay,az,于是截距之和为000147 ax+ay+az=aa=a.000223313.设x=u+v，y=u+v，z=u+v，求z′,z′。xy22【解】z′=z′u′+z′v′=3uu′+3vv′,而u′+v′=1,2uu′+2vv′=0,即xuxvxxxxxxx22v−u3uv−3uvuu′+vv′=0,因此u′=,v′=,代入得z′==−3uv,xxxxxv−uv−uv−u323=(y−x),同理得z"=x.y2222xyz14、已知曲面x−y−3z=0，求经过点A(0,0,−1)且与直线==平行的切212平面的方程。【解】设切点是M(x,y,z),切平面的法向量(2x,−2y,−3),切平面为000002xx−2yy−3(z+z)=0,经过点A(0,0,−1)，于是z=1,切平面与直线0000xyz⎧4x0−2y0−6=0==平行,则4x0−2y0−6=0,解⎨22,得解212⎩x0−y0−3=0x=2,y=1,z=1,切平面是04(x−2)−2(y−1)−3(z−1)=.00022215、设椭球面2x+3y+z=6上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为n，求函数226x+8yu=在点P处沿方向n的方向导数。z⎛231⎞【解】n=(4,6,2),n=⎜,,⎟,0⎝141414⎠226x8y6x+8yu′=u′=u′=−xyz26x2+8y2z6x2+8y2zz∂u6283111=⋅+⋅−14⋅=.∂n1414141414716、求由参数方程22x=ucosv,y=usinv,z=a−u给出的曲面在点A(x,y,z)处的切平面方程，其中点A在曲面上。000148 2222【解】该曲面为z=a−x−y，曲面切面方程是xx+yy+zz=a,0z>.000017、试求空间曲线222⎧x+y+z−3x=0⎨⎩2x−3y+5z−4=0在（1，1，1）处的切线方程。x−1y−1z−1【答案】==109−1x−ay−b18、证明：曲面f(,)=0上任一点处的切平面均过一定点。z−cz−c【提示】切面都过点(a,b,c).§5方向导数梯度习题221、求函数z=x+y在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2+3)方向的方向导数。∂z【解】l=(1,3),=1+23∂l2、求函数u=xyz在点（5，1，2）处沿从该点到点（9，4，14）方向的方向导数。【解】∂z98l=(4,3,12),=∂l13n3、求函数u=∑xixj在点（1，1，…，1）处沿l=−(1,1,L,1)方向的方向导i,j=1数。n【解】−n∑xii=1149 222∂u4、已知u=x+y+z−xy+yz,点p=(1,1,1)，求u在点p处的方向导数的00∂l最大值和最小值，并指出相应的方向l。【解】gradu=(2x−y)i+(2y−x+z)j+(2z+y)k,gradu|=i+2j+3k,最大值P0∂u是13，最小值−13.由于=gradu⋅l,因此方向导数为零的方向即为与梯∂l度垂直的方向.其一般形式是(,−2s−3t)i+sj+tk其中s,t为任意常数.5、求下列数量场的梯度：22（1）u=x+y;xyz（2）u=;x+y+zn（3）u=∑xi.i=1xi+yj1【解】.(1);(2)((y+z)yzi+(x+z)xzj+(x+y)xyk);(3)22(x+y+z)2x+y(1,1,K,1).6、设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导函数，就方向l(cosα,cosβ,cosγ）写出二阶方向导数2∂u∂∂u=().2∂l∂l∂l2222∂u∂u2∂u2∂u2【解】=cosα+cosβ+cosγ2222∂l∂x∂y∂z222∂u∂u∂u+2cosαcosβ+2cosαcosγ+2cosβcosγ∂x∂y∂x∂z∂y∂z7.设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导函数，设三个方向l(cosα,cosβ,cosγ)，l(cosα,cosβ,cosγ),)l(cosα,cosβ,cosγ互相垂111122223333直，验证150 ∂u∂u2∂u2∂u2∂u2∂u2（1）()+()+()=()+()+();∂l∂l∂l∂x∂y∂z123222222∂u∂u∂u∂u∂u∂u（2）++=++.222222∂l∂l∂l∂x∂y∂z123【解】(1)u′=u′cosα+u′cosβ+u′cosγ,l1x1y1z1u′=u′cosα+u′cosβ+u′cosγ,l2x2y2z2u′=u′cosα+u′cosβ+u′cosγ,l3x3y3z3∂u∂u2∂u22222()+()+()=u′(cosα+cosα+cosα)x123∂l∂l∂l12322222222+u′(cosβ+cosβ+cosβ)+u′(cosγ+cosγ+cosγ)y123z123+2u′u′(cosαcosβ+cosαcosβ+cosαcosβ)xy112233+2u′u′(cosγcosβ+cosγcosβ+cosγcosβ)zy112233+2u′u′(cosαcosγ+cosαcosγ+cosαcosγ),xz112233222由于三个方向l,l,l是互相垂直的单位向量,因此cosα+cosα+cosα=1,123123222222cosβ+cosβ+cosβ=1,1cosγ+cosγ+cosγ=.,123123cosαcosγ+cosαcosγ+cosαcosγ=0,112233cosγcosβ+cosγcosβ+cosγcosβ=0,11223cosαcosγ+cosαcosγ+cosαcosγ=0,于是112233∂u∂u2∂u2∂u2∂u2∂u2()+()+()=()+()+();∂l∂l∂l∂x∂y∂z123(2)同理,222∂u∂u∂u222++=u′′(cosα+cosα+cosα)222xx123∂l∂l∂l123222222+u′′(cosβ+cosβ+cosβ)+u′′(cosγ+cosγ+cosγ)yy123zz123+2u′′(cosαcosβ+cosαcosβ+cosαcosβ)xy112233151 +2u′′(cosγcosβ+cosγcosβ+cosγcosβ)yz112233+2u′′(cosαcosγ+cosαcosγ+cosαcosγ).zx112233也得到222222∂u∂u∂u∂u∂u∂u++=++.222222∂l∂l∂l∂x∂y∂z123§6Taylor公式习题1.写出下列函数在原点处的2阶Taylor展开式−x（1）z=eln(1+y);（2）u=ln(1+x+y+z).12【答案】.(1)y−xy−y+R(x,y)212121222(2)x+y+z−x−y−z−xy−xz−yz+o(x+y).222ππ2.求函数f(x,y)=sinxsiny在点(,)处的2阶Taylor公式。44221πxy1⎛π⎞1⎛π⎞1⎛π⎞⎛π⎞【答案】sinxsiny=−++−⎜x−⎟−⎜y−⎟+⎜x−⎟⎜y−⎟24224⎝4⎠4⎝4⎠2⎝4⎠⎝4⎠22+o(x+y).x+y3.求函数f(x,y)=e在原点处的n阶Taylor公式。nsk⎛n⎞x+yCnkn−k⎜222⎟【答案】f(x,y)=e=∑∑xy+o⎜(x+y)⎟s==00kn!⎝⎠4.利用2阶Taylor公式计算2.038.96的近似值。【答案】(2+y)81222利用(9+x)=81+18x+81yln9+y(ln9)+(9+18ln9)xy+x,得到22.03(2+0.03)8.96=(9−0.04)≈85.74,152 §7极值习题441.求函数f(x,y)=x+y−4xy+1的极值。【答案】f(1,1)=−1,f(−1,−1)=−1,1f(0,0)=.minminmax2x22.求函数f(x,y)=e(x+y+2y)的极值。e【答案】f=−.无极大值.min2223.讨论f(x,y)=y−x的极值。【答案】无极值.244.讨论函数f(x,y)=(y−x)(y−x)的极值。⎛23⎞【解】点(0,0),(1,1),(−1,1),⎜±,⎟是驻点,0f(0,0)=f(1,1)=f(−1,1)=,⎜28⎟⎝⎠4232f"=30x−12xy−2y,f"=−2x−4x,2f"=,在(0,0)处,0B−AC=,但在xxxyyy点(0,0)的邻域内f可以取正或负值,因此不取极值(如图).2⎛23⎞1在点(−1,1)(1,1),0B−AC>,可以验证f⎜±,⎟=−.这个例题也说明,min⎜28⎟64⎝⎠函数f(x,y)在过点M(x,y)的每一条直线上都取极大值，那么函数f(x,y)在00点M(x,y)不一定有极大值.00153 yy5.证明函数f(x,y)=(1+e)cosx−ye有无穷多个极大值点，但无极小值点。yy【解】f′=−(1+e)sinx=0,x=kπ,k=0,±1,±2,L,f′=e(cosx−1−y)=0,xykyyyyy=(−1)−1,f′′=−(1+e)cosx,f′′=−esinx,f′′=ecosx−(2+y)e,xxxyyy⎧−2,k=2n2B−AC=⎨−2−2,于是当x=2nπ,y=0时,函数取极大值,当⎩(1+e)e,k=2n+1x=(2n+1)π,y=−2时,函数不取极值.6.函数z=z(x,y)由下列方程确定，讨论其极值222（1）2x+2y+z+8xz−z+8=0;222yz2（2）x++−z=0.493168【答案】(1)(−2,0,1)处取极大;(,0,−)处取极小。(2)f(0,0)=6,max77f(0,0)=0min7.求函数f(x,y)=sinx+siny−sin(x+y)在闭区域D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤2π}上的最大值和最小值。⎛ππ⎞33【答案】fmin=0在边界上取得，fmax⎜,⎟=.⎝33⎠22222−x−y8.求f(x,y)=(ax+by)e的最大值与最小值(a≠b).ab【答案】f(0,0)=0,f=max(,),a,b>0.minmaxee229、证明：当x+y<1时，成立不等式22xy2|xy|−≤4−4cos|xy|≤2|xy|。6154 2222x+y2【解】当x+y<1时,xy≤<<1,于是2224222xxx|xy|xy|xy|1−+>cosx>1−,1−+>cos|xy|>1−,2242224222xy2|xy|−<4−4cos|xy|<2|xy|.2410、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为(3−αx−βy)x和(4−βx−2αy)y（α>β>0）。求使产鱼总量最大的放养数。【解】fy(x,y)=(3−αx−βy)x+(4−2αy−βx),f′=−2αx−2βy+3,x3α−2β4α−3βf′=−2βx−4αy+4,驻点是x=,y=,y22222α−β2(2α−β)222B−AC=−8α+4β<0,因此取极大值,也是最大值.11.求f(x,y)=xy(4−x−y)在x=1,y=0,x+y=6所围区域上的最大值与最小值。4464【答案】f(3,3)=−18;f(,)=.minmax3327212.要做一个体积为2m的有盖的长方体容器，当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。3【答案】当x=y=z=2时,即正方形时材料最省13.在平面Oxy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y−16=0三直线的距离平方和为最小。222(x+2y−16)⎛816⎞【答案】.令f(x,y)=x+y+,求其极值得.所求点为⎜,⎟.5⎝55⎠14.在以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形所围成的闭区域上找点，使它到三个顶点的距离的平方和取最大或最小。⎛11⎞【答案】对区域内按极值讨论,边界上按条件极值讨论,得到点⎜,⎟到三边的⎝44⎠1距离平方和最小为，)(0,1或(1,0)到三边的距离平方和最大为1.4155 15.已知n个点Pi(ai,bi)(i=1,2,L,n)，求点P`(x,y),使其到P1,P2,L,Pn的距离平方和最小。nnn22【解】令D=∑()(x−ak)+(y−bk),Dx′=2,nx−2∑akD′y=2,ny−2∑bk驻k=1k=1k=1nn⎛11⎞22点是⎜∑ak,∑bk⎟,0B−AC=−4n<,因此取极大.⎝nk=1nk=1⎠22216.已知u=ax+by+cz，其中a,b,c均为正数，求在约束条件x+y+z=1下u的最小值。222【解】令f=ax+by+cz+λ(x+y+z−1),f′=2ax+λ=0,xλλλf′=2ay+λ=0,f′=2az+λ=0,x=−,y=−,z=−,利用约束yz2a2b2c−1⎛111⎞abcbc条件得λ=−⎜++⎟=−2,于是当x=,⎝2a2b2c⎠ab+bc+acab+bc+acacababcy=,z=时得函数的最小值.ab+bc+acab+bc+acab+bc+ac217.求原点到z=xy+x−y+4的最短距离。2222【解】F(x,y,z)=x+y+z+λ(z−xy−x+y−4),0F"=2x−λy−λ=,xF"=2y−λx+λ=0,F"=2z−2λz=0.于是由F"=0得z=0或λ=−1,由yzzF"=0,F"=0,得(x+y)(2−λ)=0.根据x+y=0,λ=−1,得到x=−1,y=1,z=1,xy2或x=−1,y=1,z=1,3d=;根据x+y=0,z=0得到x=1±5,y=−1m5,2d=3.055;根据z=0,λ=2,无实解.最后的结论是(−1,1,±1)处最短距离3.果.2218.抛物面z=x+y被平面x+y+z=1截得一个椭圆，求原点到这个椭圆的最长和最短距离。156 22222【提示】作辅助函数)F(x,y,z)=x+y+z+λ(x+y−z)+µ(x+y+z−1，µ−µ+λ其中λ,µ都是参数.由F"=0,F"=0,F"=0,得到x=y=−,z=,xyz2(λ+1)2511−1±3代入约束得到λ=−3±3,µ=−7±3,因此x=y=,z=2±3,332⎛−1+3−1+3⎞可以得到最后结论.点⎜,,2−3⎟处距离最近为9−53；点⎜22⎟⎝⎠⎛−1−3−1−3⎞⎜,,2+3⎟处距离最远为9+53.⎜22⎟⎝⎠2219.求旋转抛物面z=x+y与平面x+y−z=1之间的最短距离。1222⎛111⎞【提示】作辅助函数F(x,y,z)=(x+y−z−1)+λ(x+y−z),得点⎜,,⎟3⎝222⎠3到平面的距离最短为.622222220.求函数f(x,y,z)=x+2y+z−2xy−2yz在条件x+y+z=4下的最大值和最小值。222222【答案】【答案】)F=x+2y+z−2xy−2zy+λ(x+y+z−4,F"=2x−2y+2λx=0,0F"=4y−2x−2z+2λy=,F"=2z−2y+2λz=0,解xyz得λ=0或x+y+z=0,⎛2(1+λ)−20⎞23⎜⎟若λ=0,则x=y=z=±,D=⎜−22(2+λ)−2⎟,特征值3⎜⎟⎝0−22(1+λ)⎠λ=0,2,6,正定型,函数取极小值0;⎛(2+λ)x+z=02若x+y+z=0,则⎜,要非零解,得λ+4λ+3=0,λ=−1,⎜1⎝x+(2+λ)z=0λ=−3.2157 ⎛0−20⎞⎜⎟若λ1=−1,则D=⎜−22−2⎟,特征值λ=0,4,−2,不定型.函数不取极值;若⎜⎟⎝0−20⎠⎛−4−20⎞626⎜⎟λ=−3,x=z=±,y=m,则D=⎜−2−2−2⎟,特征值λ=0,−4,−6,负33⎜⎟⎝0−2−4⎠定型,函数取极大值12.222xyz21.在上半椭球体++≤1,z≥0内嵌入一个体积最大的长方体，求其222abc长、宽、高及体积。2323343【答案】长宽高分别为a,b,c时体积最大，为abc.333914422.求z=(x+y)在条件x+y=a下的最小值，其中x≥0，y≥0，a为常2数。并证明不等式444x+y⎛x+y⎞≥⎜⎟。2⎝2⎠14433【解】f=()x+y+l(a−x−y),f′=2x−l=0,f′=2y−l=0,得xy234llaaax+y=3+3=a,得l=,x=y=时函数z取极小值.因此,记224216x+y=a得4444x+ya⎛x+y⎞≥=⎜⎟.216⎝2⎠23.当x>0,y>0,z>0时，求函数f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz2222在球面x+y+z=6R上的最大值。并由此证明：当a,b,c为正实数时，成立不等式623⎛a+b+c⎞abc≤108⎜⎟.⎝6⎠158 22221【解】.令)L=lnx+2lny+3lnz+l(6R−x−y−z,L′=−2lx=0,xx23212123L′=−2ly=0,L′=−2lz=0,x=,y=,z=,根据约束条件得yzyz2ll2l621=6R,l=.此时x=R,y=2R,z=3R,函数取最大值22l2R6f(R,2R,3R)=ln(63R).max222若令x=a,y=b,z=c,则6222236⎛x+y+z⎞lnxyz≤ln(63R)=ln108⎜⎟,⎜⎟⎝6⎠即623⎛a+b+c⎞abc≤108⎜⎟⎝6⎠24.某公司通过电台和报纸两种方式作销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费x（万元）和报纸广告费x（万元）间12的关系是22R=15+14x+32x−xx−2x−8x。121212试求：（1）在广告费不受限制情况下的最优广告策略；（2）在广告费限制1.5（万元）时，其相应的最优广告策略。22【解】(1)R=15+14x+32x−xx−2x−8x121212则R′=14−x−4x=0,R′=32−x−16x=0x121x2126438457解得x=,x=.此时R取极大值.1221217~22(2)R=15+14x+32x−xx−2x−8x+λ(x+x−1.5)1212121215729当解得x=,x=时,R取最大值=45.5625.124416159'