控制工程基础 (董景新 著) 清华大学出版社 课后答案 65页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com课后答案网www.hackshp.cn 自动控制原理课程教材勘误表（答案来自：www.xyfxw.com）序号页码行数误正111图2-3b）Beqθ1212式（2-9）u1ui314式（2-19）pLqL415式（2-22）ΔppL516倒2-est-e-st618表2-1（2）I（t）1（t）719表2-1（18）-Φ+Φ820倒2f(yt)f(t)式（2-37）1(−1)+1()−1+921f(0)f(0)2nkhdaw.comss倒6t01022−∫f()(τgt−τdτ)−∫f()(τgt−τdτ)0t1123式（2-43）f(s)F(s)式（2-43）1+j∞st1r+j∞st1223∫F()seds∫F()seds2πj−j∞2πjr−j∞1324倒8k1=…=1k1=…=-115()5.0.0578×.0866(.0578×.0866)1425(2)222s+5.0+.0866(s+5.0+).0866倒6••••••1526课后答案网y()t+5yt+()yt=()6y()t+5yt+()6yt=6()表2-2（6）(7)相加点前移比较点前移1633相加点后移比较点后移1737习题2-1拉氏交换拉氏变换习题2-3（3）dx()tx()0=501837www.hackshp.cn=50dtt=01937习题2-4x--i,(0)xi(0)2038习题2-7其中，B为其中，f为khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com C(t)pΔM10.9td2142图3-20.5tr允许误差范围0.1t0trtptskhdaw.com12Bf2245T=T=Kk234519e(t)→0e-t/T→02449倒9ωd决定ωn决定2555倒10x0(t)-1x0(tp)-1习题3-3超调量和ts=2s超调量和允许误差5%时2660ts=2s习题3-4Mp=0.85，试确定Mp=0.85，峰值时间2760tp=0.1s，试确定286910∠G(jω)=90º∠G(jω)=-90º8ςς2970arctanarctan22课后答案网1−ς1−2ς307117传统函数传递函数133175(−20lg1)(−20lg1)3276倒6www.hackshp.cn并且当ζ<1时并且当ζ<0.707时338014w=logspace(0,3)w=logspace(-1,3)17～21bode(…,w,’k--’)bode(…,w)3480或改为：bode(…,’k--’)3582倒6零点或极点零点和极点3687倒4∣G(jω)=∣G(jω)∣=17～18ζ=0.65,进一步…过渡ζ=0.707,进一步…调整3792过程时间ts=1.5s时间ts=6～8sλ3810551/sλ1/s39112图5-15c)Kg/dB>0Kg/dB<0表5-1：3，[zero(sys)]’[zero(sys)];401164行[pole(sys)]’[pole(sys)];khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 11∆Css1∆G()0∆Css1∆G()0≈.......≈.......41122CG()()0H0G()0C1+G()0H0()G()0ssss5K(T+1......)K(T+1......)0a0a42125Kv=limsKv=limss→0s(T+1......)s→0(T+1......)1111143126R()s=R()s=23ss6-1KK44129G()s=G()s=s(03.s+10)(.6+1)s(3.0s+16.0)(s+1)注：勘误只进行一至七章，在附录中有许多错误，在此也未一一列出。khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 控制工程基础习题解答第一章1-1．控制论的中心思想是什么？简述其发展过程。维纳（N.Wiener）在“控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学”中提出了控制论所具有的信息、反馈与控制三个要素，这就是控制论的中心思想控制论的发展经历了控制论的起步、经典控制理论发展和成熟、现代控制理论的发展、大系统理论和智能控制理论的发展等阶段。具体表现为：1．1765年瓦特（JamsWatt）发明了蒸汽机，1788年发明了蒸汽机离心式飞球调速器，2．1868年麦克斯威尔（J.C.Maxwell）发表“论调速器”文章；从理论上加以提高，并首先提出了“反馈控制”的概念；khdaw.com3．劳斯（E.J.Routh）等提出了有关线性系统稳定性的判据4．20世纪30年代奈奎斯特（H.Nyquist）的稳定性判据，伯德（H.W.Bode）的负反馈放大器；5．二次世界大仗期间不断改进的飞机、火炮及雷达等，工业生产自动化程度也得到提高；6．1948年维纳（N.Wiener）通过研究火炮自动控制系统，发表了著名的“控制论—关于在动物和机器中控制和通讯的科学”一文，奠定了控制论这门学科的基础，提出了控制论所具有的信息、反馈与控制三要素；7．1954年钱学森发表“工程控制论”8．50年代末开始由于技术的进步和发展需要，并随着计算机技术的快速发展，使得现代控制理论发展很快，并逐渐形成了一些体系和新的分支。9．当前现代控制理论正向智能化方向发展，同时正向非工程领域扩展（如生物系统、医学系统、经济系统、社会系统等），课后答案网1-2．试述控制系统的工作原理。控制系统就是使系统中的某些参量能按照要求保持恒定或按一定规律变化。它可分为人工控制系统（一般为开环控制系统）和自动控制系统（反馈控制系统）。人工控制系统就是由人来对参量进行控制和调整的系统。自动控制系统就是能根据要求自动控制和调整参量的www.hackshp.cn系统，系统在受到干扰时还能自动保持正确的输出。它们的基本工作原理就是测量输出、求出偏差、再用偏差去纠正偏差。1-3．何谓开环控制与闭环控制？开环控制：系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响。系统特点：系统简单，容易建造、一般不存在稳定性问题，精度低、抗干扰能力差。闭环控制：系统的输出端和输入端存在反馈回路，输出量对控制作用有直接影响。闭环的反馈有正反馈和负反馈两种，一般自动控制系统均采用负反馈系统，闭环控制系统的特点：精度高、抗干扰能力强、系统复杂，容易引起振荡。1-4．试述反馈控制系统的基本组成。反馈控制系统一般由以下的全部或部分组成（如图示）：1．给定元件：主要用于产生给定信号或输入信号khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2．反馈元件：测量被控量或输出量3．比较元件：比较输入信号和反馈信号之间的偏差4．放大元件：对偏差信号进行放大和功率放大5．执行元件：直接对控制对象进行操作6．校正元件：或称校正装置，用于改善系统的控制性能，有反馈校正和串联校正7．控制对象：控制系统所要操纵的对象，它的输出量即为系统的被控制量扰动输出比较元件给定串联校放大变执行控制信号++元件输入-正元件-换元件元件对象x0偏差信号xi信号e并联校khdaw.com正元件局部反馈主反馈信号xb反馈主反馈元件典型的反馈控制系统框图1-5．反馈控制原理是什么？反馈控制的基本原理可简单的表述为：a)测量、反馈：由传感器检测系统的输出变化，通过反馈回路将此信号的部分或全部反馈到输入端。b)求偏差：将反馈回来的信号和输入信号进行比较，可得它们之间的偏差大小，即实际输出值与给定值的偏差。课后答案网c)纠正偏差：根据偏差的大小和方向对系统进行控制，以改变系统的输出，使偏差减小的过程。经过以上三个过程，最终使系统的输出满足要求。1-6．试述自动控制系统的基本类型。www.hackshp.cn自动控制系统可按不同的分类方法，分成不同的类型，主要有：1．按控制作用的特点分：a)恒值系统：系统的输入变化很少，主要要求系统输出能保持恒定。b)程序控制系统：系统的输入是预先知道的，要求系统能在预定的输入时能使输出也能按照预定的规律变化。c)随动系统：输入信号是一种随机信号，要求系统能快速跟踪随机输入信号的变化。2．按系统反应特性分：a)连续系统：系统中的所有参量都是连续变化的。有线性系统和非线性系统。b)离散系统：亦称数字控制系统，系统中的所有参量都是数字量，数值不连续，时间上也是离散的。c)混合系统：系统中的参量既有连续量，也有离散量，一般系统的输出多为连续量，而信号的处理、控制采用数字量。3．按数学描述分：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com a)线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。另外线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数值的大小是无关的。b)非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。系统是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的。非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。1-7．试述对控制系统的基本要求。khdaw.com控制系统的基本要求可由稳、准、快三个字来描述。1．稳即稳定性：由于系统存在惯性，当系统的各个参数匹配不妥时，将会引起系统的振荡而失去工作能力。稳定性是系统工作的首要条件。2．准即准确性：输出量与给定量之间的偏差，随时间变化的程度，称动态精度偏差；调整过程结束后的偏差，称静态精度偏差。3．快即快速性：在系统稳定的前提下，消除偏差过程的快速程度。课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 控制工程基础习题解答第二章2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。(1).f()t=5(1−cos3t)55s解：L[]f()t=L[]5()1−cos3t=−2ss+9−5.0t(2).f()t=ecos10t−5.0ts+5.0解：L[]f()t=L[]ecos10t=khdaw.com()2s+5.0+100⎛π⎞(3).f()t=sin⎜5t+⎟⎝3⎠⎡⎛π⎞⎤⎡13⎤5+3s解：L[]f()t=L⎢sin⎜5t+⎟⎥=L⎢sin5t+cos5t⎥=2⎣⎝3⎠⎦⎣22⎦2()s+252-2．试求下列函数的拉氏反变换。1(1).F()s=s()s+1课后答案网−1−1⎡1⎤−1⎡k1k2⎤解：L[]F()s=L⎢()⎥=L⎢+⎥⎣ss+1⎦⎣ss+1⎦⎡1⎤k1=⎢⎥swww.hackshp.cn=1⎣s()s+1⎦s=0⎡1⎤k=⎥()s+1=−12⎢⎣s()s+1⎦s=−1−1−1⎡11⎤−tL[]F()s=L⎢−⎥=1−e⎣ss+1⎦s+1(2).F()s=()s+2(s+3)−1−1⎡s+1⎤−1⎡k1k2⎤解：L[]F()s=L⎢()()⎥=L⎢+⎥⎣s+2s+3⎦⎣s+2s+3⎦khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎡s+1⎤k=⎥()s+2=−11⎢⎣()s+2()s+3⎦s=−2⎡s+1⎤k=⎥()s+3=22⎢⎣()s+2()s+3⎦s=−3−1[]()−1⎡12⎤−3t−2tLFs=L−+=2e−e⎢⎥⎣s+2s+3⎦2s+5s+2(3).F()s=()()2s+2s+2s+22−1−1⎡s+5s+2⎤−1⎡k1k2s+k3⎤解：khdaw.comL[]F()s=L⎢2⎥=L⎢+2⎥⎣()s+2()s+2s+2⎦⎣s+2s+2s+2⎦2⎡s+5s+2⎤k=⎥()s+2=−21⎢2⎣()s+2()s+2s+2⎦s=−22⎡s+5s+2⎤2ks+k=⎥()s+2s+223⎢2s=−1−j⎣()s+2()s+2s+2⎦s=−1−j−3−3j−k+k−jk==−3j2321−jk=32k=33课后答案网−1[]()−1⎡23s+3⎤−1⎡23(s+1)⎤−2t−tLFs=L−+=L⎢−+⎥=−2e+3ecost⎢⎣s+2s2+2s+2⎥⎦s+2()s+12+1⎣⎦www.hackshp.cn2-3．用拉氏变换法解下列微分方程2()()dxtdxtdx(t)（1）+6+8x()t=1()t，其中x()0=,1=02dtdtdtt=0解：对方程两边求拉氏变换，得：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2dx()t1sX()s−sx()0−+6()sX()()s−x0+8X(s)=dtt=0s2()()()()1sXs−s+6sXs−1+8Xs=s22()s+6s+1s+6s+1k1k2k3Xs===++2s()s+6s+8s()s+2()s+4ss+2s+41k=187k=247k=−38khdaw.com()−1[]()17−2t7−4t()xt=LXs=+e−e,t≥0848dx()t（2）+10x()t=2，其中x()0=0dt解：对方程两边求拉氏变换，得：2sX()()s−x0+10X()s=s2sX()s+10X()s=s2kk()12Xs==+s()s+10ss+101k1=课后答案网51k=−25()−1[]()11−10t()xt=LXs=−e,t≥0www.hackshp.cn55dx()t（3）+100x()t=300，其中x(0)=50dt解：对方程两边求拉氏变换，得：300sX()()s−x0+100X()s=s300sX()s−50+100X()s=s50s+300kkX()s==1+2s()s+100ss+100k=31k=472()−1[]()−100t()xt=LXs=3+47e,t≥0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com dy(t)dx(t)0()i()2-4．某系统微分方程为3+2yt=2+3xt，已知0idtdt(−)(−)y00=x0=0，其极点和零点各是多少？i解：对方程两边求拉氏变换，得：3()sY()s−y()0+2Y(s)=2(sX(s)−x(0))+3X(s)000iiiY0()s2s+3G()s==X()s3s+2i2s=−p33s=−zkhdaw.com22-5．试求图2-25所示无源网络传递函数。i1(t)R1ui(t)R1uo(t)ui(t)LRuo(t)L1uo(t)Ci2(t)CL2i5(t)C12i(t)i(t)CR2R2i3(t)课后答案网i4(t)a)b)c)解：a).⎧⎪ui=iR1+www.hackshp.cnu0⎨1u=iR+idt⎪⎩02C∫⎧⎪Ui=IR1+U0⎨IU=IR+⎪⎩02CsRCsU=()RCs+1(U−U)102i0URCs+1()02Gs==U()R+RCs+1i12b).⎧diu=iR+L+u⎪i0dt⎨1⎪u=idt0∫⎩Ckhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎧Ui=IR+LsI+U0⎪⎨IU=⎪⎩0Cs2U=()RCs+LCs+1Ui0U1()0Gs==2ULCs+RCs+1iRLs11Z=1Ls+R11c).1RLs22Z==2112RLcs+Ls+R++Cs222222RLs22RLskhdaw.com222RLcs+Ls+R22222U=U0iRLsRLs22112+RLcs+Ls+RLs+R2222211URLLs+RRL()0221122Gs==2UiR1R2C2L1L2s+()R1+R2L1L2s+R1R2(L1+L2)2-6．试求图2-26所示机械系统传递函数。xixifxixi1k1f课后答案网1k1mfx1fk1x0x0kk2f2k2x02x0f2www.hackshp.cna)b)c)d)Fik1k2f1k1x0x1k1Mmk2FiMf2k2Y0xiffMx0g)e)f)解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com a).微分方程为：f()x"−x"−fx"=mx""1i02002拉氏变换得：fs()X−X−fsX=msX1i0200f1传递函数为：G()s=ms+f+f12b).微分方程组为：⎧k1()xi−x1=f(x"1−x"0)⎨f()x"−x"=kx⎩1020拉氏变换得：k()X−X=fs(X−X)1i110fs()X−X=kXkhdaw.com1020⎛fs+k⎞2k⎜X−X⎟=kX1⎜i0⎟20⎝fs⎠kfs1传递函数为：G()s=()k+kfs+kk1212c).微分方程为：k()x−x+f()x"−x"=kx1i0i020拉氏变换得：k()X−X+fs(X−X)=kX1i0i020k+fs1传递函数为：G()s=fs+k+k课后答案网12d).微分方程为：k()x−x+f(x"−x")=kx+fx"1i01i02020拉氏变换得：k()X−X+fs(X−X)=kX+fsX1i01i02020k+fs11传递函数为：G()s=()f+fs+k+kwww.hackshp.cn1212e).微分方程为：F−()k+ky−yf"=my""i120002拉氏变换得：F()s=(ms+fs+k+k)Yi1201传递函数为：G()s=2ms+fs+k+k12f).微分方程为：k()x−x−f(x"−x")=mx""+kx+fx"2i02i0010102拉氏变换得：(fs+k)X=(ms+(f+f)s+k+k)Y22i12120fs+k22传递函数为：G()s=2()ms+f+fs+k+k1212khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com F−k()x−x=mx""i2101g).微分方程为：k()x−x=kx+xf"210100⎛fs+k+k⎞212拉氏变换得：F()s=⎜ms+fs+k⎟Xi⎜1⎟0k⎝2⎠k2传递函数为：G()s=3()2mfs+k+kms+kfs+kk122122-7．对于如图2-27所示系统，试求从作用力F1(t)F1k1到位移x2(t)的传递函数。其中B为粘性阻尼系数。mk2作用力khdaw.comF(t)到位移x(t)的传递函数又是什么？121x1(t)F2解：从作用力F1(t)到位移x2(t)fF−kx−f()x−x=mx""1111211微分方程为：m2f()x−x−kx=mx""122222x2(t)拉氏变换得：22()⎛⎜2m2s+fs+k22m2s+fs+k2⎞⎟Fs=ms+ms+k+kX1⎜1fs221fs⎟2⎝⎠传递函数为：Xfs()2Gs==1Fm课后答案网ms4+()m+mfs3+(km+km)s2+()k+kfs+kk1121212211212从作用力F2(t)到位移x1(t)系统为对称系统所以传递函数为：Xfs1G2()s==www.hackshp.cn432Fmms+()m+mfs+(km+km)s+()k+kfs+kk21212122112122-8．证明2-28a与b表Cxi示的系统是相似系统1fk2ui(t)R1u(t)2o（即证明两个系统的传C2递函数具有相同的形f1x0i(t)R2式）。k1a)b)khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 解：a).用等效阻抗法做：1+R2()()CsCRs+1CRs+121122拉氏变换得：U=U=U0ii1CRs+()CRs+1(CRs+1)R2111221Cs11++R21Cs+R21Cs1()CRs+1(CRs+1)1122传递函数为：G()s=CRs+()CRs+1(CRs+1)211122b).用等效刚度法做：khdaw.comfks11拉氏变换得：()fs+k()X−X=X22i00fs+k11⎛f⎞⎛f⎞21⎜s+1⎟⎜s+1⎟⎜⎟⎜⎟()f2s+k2()f1s+k1⎝k2⎠⎝k1⎠传递函数为：G()s==()f1s+k1()f2s+k2+f1k1s⎛⎜f1⎞⎟⎛⎜f2⎞⎟f1s+1s+1+s⎜⎟⎜⎟kkk⎝1⎠⎝2⎠211可见当：R=,R=,C=f,C=f时，两系统的数学模型完全相同。121122kk122-9．如图2-29所示系统，试求（1）以Xi(s)为输入，分别以课后答案网X0(s)、Y(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。（2）以N(s)为输入，分别以X0(s)、Y(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。N(s)Xi(s)E(s)+X0(s)+G1(s)+G2(s)-www.hackshp.cnY(s)B(s)H(s)解：G(s)G(s)12（1）G(s)=x01+G(s)G(s)H(s)12G(s)1G(s)=y1+G(s)G(s)H(s)12G(s)G(s)H(s)12G(s)=b1+G(s)G(s)H(s)12khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 1G(s)=e1+G(s)G(s)H(s)12G(s)2（2）G(s)=x01+G(s)G(s)H(s)12G(s)G(s)H(s)12G(s)=−y1+G(s)G(s)H(s)12G(s)H(s)2G(s)=b1+G(s)G(s)H(s)12G(s)H(s)2G(s)=−khdaw.come1+G(s)G(s)H(s)122-10．试画出图2-30系统的框图，并求出其传递函数。其中Fi(t)为输入力，X0(t)为输出位移。x0(t)k2k1Fi(t)M2M1f2f1解：框图不是唯一的，如可画成：Fi(s)1fs+kX0(s)22++22M课后答案网2s+f2s+k2M1s+()f1+f2s+k1+k2fs+k22www.hackshp.cn1fs+k2222()Ms+fs+kMs+f+fs+k+k22211212G(s)=1fs+k22()1−fs+k22()22Ms+fs+kMs+f+fs+k+k22211212fs+k22=222()Ms+fs+k()Ms+fs+k+Ms()fs+k222111222fs+k22=4()()3()()2()MMs+f+fM+fMs+k+kM+kM+ffs+kf+kfs+kk121222112221121221122-11．化简图2-31所示各系统框图；并求其传递函数。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H2XiX0+G1+-G2+G3--H3H1G4XiX0++G1+G2G3++khdaw.com---H2H1H2Xi-X0+G1+G2G3++--H1课后答案网G4XiX0+G1+G2-www.hackshp.cn-+H1H2+H3a).khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com H2XiX0+G1+-G2G-31+GH33H1XiXGG023+G1-1+GH+GGH33232khdaw.comH1XiGGGX01231+GH+GGH+GGGH332321231GGG()123φs=1+GH+GGH+GGGH332321231b).课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com G4G2XiX0++G1+G2G3++---H2H1G+GG423XiX0++G1+G2G2khdaw.com---H2H1XiX0++G1+G4+G2G3---H2课后答案网G2H1G+GG423www.hackshp.cnXiG()G+GGX01423++--1+GH+GGH42232GH21G+GG423khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com XiGG+GGGX014123+-1+GH+GGH+GGH42232121XiGG+GGGX0141231+GH+GGH+GGH+GG+GGG4223212114123GG+GGG14123φ(s)=1+GH+GGH+GGH+GG+GGG4223212114123c).khdaw.comH2Xi-G2G3X0+G1+++1+G2H1-H1G3G4课后答案网XiG2G3X0+G1++1+GH+GGH-21232www.hackshp.cnH1G3G4XiG1G2G3X0+1+GH+GGH−GGH-21232121G4XiGGGX0123−G41+GH+GGH−GGH21232121khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com GGG()123φs=−G41+GH+GGH−GGH21232121d).XiX0+G1+G2--+H1H2+H3XiGGX0khdaw.com+12-1+G1H11+GH22H3XiGGX0121+GH+GH+GHGH+GGH11221122123GG()12φs=课后答案网1+GH+GH+GHGH+GGH11221122123www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 控制工程基础习题解答第三章2C(s)ωn3-1．已知二阶系统的闭环传递函数为=，其中ζ()22Rss+2ςωs+ωnn=0.6，ωn=5rad/s，试求在单位阶跃输入下的瞬态响应指标tr、tp、σp%、和ts。22−11−ς−11−6.0β=tan=tan=53.13°=.0927rad解：khdaw.comς6.022ω=ω1−ς=51−6.0=4rad/sdnπ−βπ−.0927t===0.55(s)rω4dππt===.079()spω4dςπ6.0π−−1−ς21−6.02σ%=e=e=5.9%p33t===1()ss课后答案网ςω6.0×5n44t===.133()ssςω6.0×5n3-2．已知某系统的框图如图3-16所示，要求系统的性能指标为σwww.hackshp.cnp%=20%，tp=1s，试确定系统的K值和A值，并计算tr和ts之值。解：KR(s)KC(s)φ()s=+s2+()AK+1s+K-s()s+1ω=KnAK+11+Asς=2Kςπ−21−ςσp%=e=2.0ς=.045khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ππt===1()spωω1−.0452dnω=.352rad/sn2K=ω=12.39n2Kς−12×12.39×.045−1A===.017K12.3922−11−ς−11−.045β=tan=tan=1.1radς.04522ω=ω1−ς=.3521−.045=.314rad/sdnπ−βπ−1.1t===0.65(s)khdaw.comrω.314d33t===.189()s，　±5%sςω.045×.352n44＝==.252()s，　±2%ςω.045×.352n2ω3-3．某系统的开环传递函数为()nGs=，为使单位反馈的闭环2s+2ςωsn系统对单位阶跃输入的瞬态响应具有σp%=5%的超调量和ts=2s的调整时间，试确定系统的ζ和ω课后答案网n的值。2ωn解：闭环传递函数：φ()s=22s+2ςωs+ωwww.hackshp.cnnnςπ−21−ςσ%=e=.005pς=7.033t===2()s，　±5%sςω7.0×ωnnω=.214rad/sn44t＝==2()s，　±2%sςω7.0×ωnnω=.286rad/sn3-4．某一带速度反馈的位置伺服系统，其框图如图3-17所示。为了使系统的最大超调量Mp=0.85，试确定增益Kr和khdaw.comKh的值，并求取在此若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com Kr和Kh数值下，系统的上升时间tr和调整时间ts。（峰值时间tp=0.1秒时）R(s)K1C(s)++r--()s+1sKh2ωKnr解：闭环传递函数：φ()s==222()khdaw.coms+2ςωns+ωns+KrKh+1s+Krω=KnrKK+1rhς=2Krςπ−21−ςM%=e=.085pς=.005KK+1rhς==.0052Krππtp=课后答案网==1.022ω1−ςK1−.005nrK=987r1.0K−1rK==.0002hKrwww.hackshp.cn2−11−.005β=tan=.152rad.005ω=K=987=314.rad/snr2ω=314.1−.005=313.rad/sdπ−βπ−.152t===0.05(s)rω313.d3t==.191()s，　±5%s.005×314.4t＝=.255()s，　±5%s.005×314.khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com .1063-5．某系统的开环传递函数为G()s=，试求单位反馈闭环s()s+1(s+2)系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应。解：用Matlab解该题M文件：num=1.06;den=conv(conv([10],[11]),[12]);g=tf(num,den);sys=feedback(g,1);g1=tf(1,[10]);syst=sys*g1;figure(1)khdaw.comStep(sys)gridfigure(2)Step(syst)grid课后答案网www.hackshp.cn用Simulink解该题khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com课后答案网www.hackshp.cn3-6．某单位反馈闭环系统，具有一个不稳定的开环传递函数10()s+1G()s=，试问闭环系统是否稳定并作出该闭环系统的单位阶跃s()s−3响应曲线。10s+10解：闭环传递函数：φ()s=2s+7s+10khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ()−1[]()−1⎡10s+101⎤−1⎡10s+101⎤ct=LCs=L⎢2⎥=L⎢()()⎥⎣s+7s+10s⎦⎣s+2s+5s⎦−1⎡15181⎤5−2t8−5tL+−=1+e−e⎢⎥⎣s3s+23s+5⎦33是一闭环稳定的系统。响应曲线：khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 控制工程基础习题解答第四章4-1．试求下列函数的幅频特性A（ω）、相频特性Φ（ω）、实频特性U（ω）和虚频特性V（ω）。5（1）.G1()jω=30jω+11（2）.G()jω=2()khdaw.comjω1.0jω+1解：5150ω（1）.G()jω=−j122900ω+1900ω+15A()ω=2900ω+1φ()ω=−arctan(30ω)5U()ω=2900ω+1150ωV()ω=−2900课后答案网ω+11.01（2）.G()jω=−−j2()2()2.001ω+1ω.001ω+11A()ω=www.hackshp.cn2ω.001ω+11φ()ω=arctan1.0ω1.0U()ω=−()2.001ω+11V()ω=−j()2ω.001ω+15a4-2．某系统传递函数G()jω=，当输入为5cos(4t−30)时，试求.025s+1系统的稳态输出。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ⎛1.025ω⎞解：G()jω=5⎜−j⎟22⎝.00625ω+1.00625ω+1⎠55A()4==2.00625×42+12()()aφ4=−arctan.025×4=−45a25a稳态输出：5A()4cos()4t−30+φ()4=2cos(4t−75)24-3．下面的各传递函数能否在图4-30中找到相应的奈氏曲线。khdaw.comImImImReReRea)b)c)ImImImReReRe课后答案网d)e)f)2.0()4s+1（1）.G()s=12()www.hackshp.cns4.0s+1()2.0149s+5s+1（2）.G()s=22()s3.0s+1K()1.0s+1（3）.G()s=3()ss+1K（4）.G()s=4()()()s+1s+2s+3K（5）.G()s=5()()ss+15.0s+1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com K（6）.G()s=6()()s+1s+2解：2.0()4s+1（1）.G()s=12()s4.0s+12⎡1+6.1ω6.3ω⎤G()jω=−2.0+j1⎢2()22()2⎥⎣ω.016ω+1ω.016ω+1⎦()22.01+6.1ω.072=−−j222ω().016ω+1ω().016ω+1()22.01+6.1ωU()ω=−khdaw.com12()2ω.016ω+1.072V()ω=−1()2ω.016ω+1+aa起点：ω→0：G()jω=∞，φ(ω)=−2×90=−180，U(ω)=−∞，V()ω=−∞；1111aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(1−3)×90=−180；11中间变化过程：幅值、实部和虚部的绝对值单调下降；实部和虚部恒小于0，位于第三象限；转角频率从小到大排列：一阶微分、惯性环节，相位先增加后减少；c)相近，但起点虚部和虚部的变化规律不符。找不到对应的图形。.014课后答案网()9s2+5s+1（2）.G()s=22()s3.0s+1+aa起点：ω→0：G()jω=∞，φ(ω)=−2×90=−180；1www.hackshp.cn1aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(2−3)×90=−90；11从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。K(1.0s+1)（3）.G()s=3()ss+12⎡9.01+1.0ω⎤G3()jω=−K⎢2+j2⎥⎣()ω+1ω()ω+1⎦9.0KU()ω=−3()2ω+121+1.0ωV()ω=−K3()2ωω+1khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com +aa起点：ω→0：G(jω)=∞，φ(ω)=−1×90=−90，U(ω)=−9.0K，V()ω=−∞；3333aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(1−2)×90=−90；33中间变化过程：幅值、实部和虚部的绝对值单调下降；实部和虚部恒小于0，位于第三象限；转角频率从小到大排列：惯性环节、一阶微分，相位先减少后增加；e)相近，但实起点部和实部的变化规律不符。找不到对应的图形。K（4）.G()s=4()()()s+1s+2s+3⎡6−6ω211ω−ω3⎤G4()jω=K⎢2232−j2232⎥⎢⎣()()6−6ω+()11ω−ω()()6−6ω+()11ω−ω⎥⎦khdaw.comKG()jω=42221+ω4+ω9+ω26−6ωU()ω=K4(()22(3)2)6−6ω+11ω−ω311ω−ωV()ω=−K4(()22(3)2)6−6ω+11ω−ω+KaaK起点：ω→0：G()jω=，φ(ω)=−0×90=0，U()ω=，V()ω=0；444466aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(0−3)×90=−270；课后答案网4426−6ω中间变化过程：U()ω=K=0，得：ω=±1，取正值，则4(()22()32)6−6ω+11ω−ω311−111ω−ωV4()ω=−K()()2www.hackshp.cn=−K；V4()ω=−K2232=0，得：11−1(()6−6ω+()11ω−ω)6−6×11Kω=±11,ω=0，取正值，则U()ω=K=−幅42⎛2⎛3⎞⎞60⎜()6−6×11+⎜1111−()11⎟⎟⎝⎝⎠⎠aa值单调下降；全部为惯性环节，相位单调减少；φ(ω)=0→−2704对应的图形为a)。K（5）.G()s=5()()ss+15.0s+1+aa起点：ω→0：G()jω=∞，φ(ω)=−1×90=−90；55khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(0−3)×90=−270；55从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。K（6）.G()s=6()()s+1s+2+Kaa起点：ω→0：G()jω=，φ(ω)=−0×90=0；662aaa终点：ω→+∞：G()jω=0，φ(ω)=(m−n)×90=(0−2)×90=−180；66从起点和终点的相位变化即可知找不到对应的图形。ImImImkhdaw.comReReRe1)G()s=2.0()4s+1.014(9s2+5s+1)K()1.0s+1122)G()s=3)s()4.0s+12s2()3.0s+1G3()s=s()s+1ImImImReReReKKK4)G4()s=()()课后答案网()5)G5()s=6)G6()s=s+1s+2s+3s()s+1(5.0s+1)()s+1()s+24-4．试画出下列传递函数的伯德图。www.hackshp.cn20（1）.G()s=1()()s5.0s+11.0s+122s（2）.G()s=2()()4.0s+1.004s+150()6.0s+1（3）.G()s=32()s4s+15.7()2.0s+1(s+1)（4）.G()s=4()2ss+16s+100解：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 20（1）.G()s=1()()s5.0s+11.0s+1环节惯性惯性转角频率210斜率（dB/dec）-20-20相位0º～-90º0º～-90º对数幅频特性：起始段：-20dB/dec,过（0,20）对数相频特性：-90º～-270ºkhdaw.com课后答案网www.hackshp.cn22s（2）.G()s=2()()4.0s+1.004s+1环节惯性惯性转角频率252.5斜率（dB/dec）-20-20相位0º～-90º0º～-90º对数幅频特性：起始段：40dB/dec,过（0,0.707）对数相频特性：180º～0ºkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com50()6.0s+1（3）.G()s=32()s4s+1环节惯性一阶微分转角频率0.251.33斜率（dB/dec）课后答案网-2020相位0º～-90º0º～90º对数幅频特性：起始段：40dB/dec,过（0,7.07）对数相频特性：www.hackshp.cn-180º～-180º,先减后增。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com5.7()2.0s+1(s+1)（4）.G()s=4()2ss+16s+100.0075(2.0s+1)(s+1)G()s=4()()2s1.0s课后答案网+.016s+1环节一阶微分一阶微分振荡环节转角频率1510斜率（dB/dec）2020-40相位www.hackshp.cn0º～90º0º～90º0º～-180º对数幅频特性：起始段：-20dB/dec,过（1,-22.5）。ζ=0.8不必进行修正。对数相频特性：-90º～-90º,先增后减。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com khdaw.com4-5．某单位反馈的二阶Ⅰ型系统，其最大超调量为16.3%，峰值时间为114.6ms，试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率ωr。课后答案网ςπ−21−ς解：σp%=e=.0163ς=5.0πwww.hackshp.cnπt===.01146p22ω1−ςω1−5.0nnω=31.65rad/sn2ωn133636.55G()s===2()()s+2ςωsss+36.55s.0027s+1n11M===.115r222ς1−ς2×5.01−5.022ω=ω1−2ς=31.651−2×5.0=22.38rad/srnK4-6．某单位反馈系统的开环传递函数G()s=，试求出满足khdaw.coms()s+a若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com M=.104，ω=11.55rad/s的K和a值，并计算系统取此参数时的频宽rr和调整时间。()2K解：G()s=⎛a⎞s⎜s+2K⎟⎝2K⎠aζ=2Kω=Kn1M==.104rkhdaw.com2ς1−ς242ζ−ζ+.02311=01±1−4×.023111±.0275⎧.0798ζ===⎨22⎩6.0因ζ<.0707，所以取ζ=6.022ω=ω1−2ς=ω1−2×6.0=11.55rnnω=21.83rad/sn22−2K=ω=21.83=476.55sn课后答案网−1a=2ζω=2×6.0×21.83=26.196snK476.55G()s==s()s+as()s+26.196www.hackshp.cn224ω=ω1−2ς+2−4ς+4ςbn224=ω1−2×6.0+2−4×6.0+4×6.0=25.07rad/sn频宽：ω=0?25.07()rad/sBW44允许误差为2%时的调整时间：t===.0305ssςω6.0×21.83n33允许误差为5%时的调整时间：t===.0229ssςω6.0×21.83n4-7．对于图4-31所示的最小相位系统，试写出其传递函数。khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com L(ω)L(ω)ζ=1ζ1=0.220dB-40dB/dec40dB/dec800.01-15-10dB0.04ω/rad·s0dBω/rad·sζ2=0.1a)b)L(ω)L(ω)-40dB/dec-10.040dB0.010.1ω/rad·s0.01-10dBω/rad·s-10dB-20dB/deckhdaw.comζ=120dB/decc)d)20lgKL(ω)L(ω)-40dB/dec-40dB/dec20lgK-20dB/dec1/T21/T11/τ1/T21/T11-10dB1/τ-10dBω/rad·s1ω/rad·s-40dB/dec课后答案网-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec-60dB/dece)www.hackshp.cnf)解：210000s⎛211⎞a)G()s=，⎜20lgKω=,0K===10000⎟222()()25s+50s+1⎝ω.001⎠2⎛⎛1⎞1⎞10⎜⎜s⎟+s+1⎟⎜⎝⎝80⎠400⎟⎠b)G()s=，(20lgK=20,K=10)2⎛⎛1⎞2⎞⎜⎜s⎟+s+1⎟⎜⎝⎝5⎠25⎟⎠khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 2100001.((25s)+50s+1)⎛⎜λλ2⎞⎟c)G()s=，ω=K,K=ω=.001=.00001s2⎜⎟⎝⎠31.62sd)G()s=，()100s+1(10s+1)1⎛−⎞⎜1021⎟⎜20lgKω=−10,K===1010=31.62⎟⎜ω.00110⎟⎝⎠K()τs+1e)G()s=2()()sTs+1Ts+121khdaw.com()τs+1f)G()s=2()()sTs+1Ts+121课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 控制工程基础习题解答第五章5-1．已知开环系统的传递函数如下，试用罗斯-赫尔维茨判据判别其闭环稳定性。10()s+1（1）.G()()sHs=s()s+2(s+3)2.0(s+2)（2）.G()()sHs=khdaw.coms()s+5.0()s+8.0(s+3)100（3）.G()()sHs=2()2s300s+600s+503s+1（4）.G()()sHs=2()2ss+8s+24解：32（1）.特征方程为s+5s+16s+10=03s1162s5101课后答案网s1400s10第一列全部大于零，所以闭环稳定。432（2）.特征方程为swww.hackshp.cn+3.4s+3.4s+4.1s+4.0=0s413.44.03s3.44.12s.3974.01s.0970s4.0第一列全部大于零，所以闭环稳定。432（3）.特征方程为300s+600s+50s+100=0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com s4300501003s60002s501001s−120000s1000第一列有小于零的数存在，所以闭环不稳定，符号变化了两次，有两个右极点。432（4）.特征方程为s+8s+24s+3s+1=083001241008300khdaw.com124183=1891248301241=503083830012410=503083001241课后答案网所有主子行列式全大于零，所以闭环稳定。5-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数如下KG()s=www.hackshp.cn⎛s22ζs⎞s⎜++1⎟⎜ω2ω⎟⎝nn⎠式中ω=90rad/s，ζ=2.0。试确定K取何值闭环稳定。n解：32方法1：特征方程为s+36s+8100s+8100K=0368100K0222181000=36×8100K−8100K≥00368100KK≥0K≤36khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 368100K=36×8100−8100K≥018100K≤36得当001−2aT>0K−a()1−aT>01课后答案网0a()1−aTK(s+5)(s+40)5-8．一个单位反馈系统的开环传递函数为www.hackshp.cnG()s=，3()()ss+200s+1000讨论当K变化时闭环系统的稳定性，使闭环系统持续振荡的K值等于多少？振荡频率为多少？解：用对数判据。K⎛1⎞⎛1⎞⎜s+1⎟⎜s+1⎟K()s+5()s+401000⎝5⎠⎝40⎠G()s==3s()s+200()s+10003⎛1⎞⎛1⎞s⎜s+1⎟⎜s+1⎟⎝200⎠⎝1000⎠起始段：-60dB/dec,-270º,ω=1，L(ω)=20lgK−60khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 环节一阶微分一阶微分惯性惯性转角频率5402001000斜率（dB/dec）-20-20-20-20相位0º～-90º0º～-90º0º～-90º0º～-90ºωckhdaw.comωg1ωg2开环右极点数目PR=0，如图伯德图作辅助线，可见在中有两次负穿越和一次正穿越，分别在：+ω→0时的负穿越、课后答案网5<ω<40时的正穿越、200<ω<1000时的负穿越。闭环系统稳定，则必须N=0，即幅值穿越频率ωc应在ωg1和ωg2之间。www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ωωωω()aggggaφω=−270+arctan+arctan−arctan−arctan=−180g5402001000ωωωωggggaarctan+arctan−arctan−arctan=905402001000ωωg1g1aarctan+arctan≈905409ωg140aarctan≈902ωg11−200ω=200=102g1ωωg2g2aarctankhdaw.com+arctan≈9020010006ωg21000aarctan≈902ωg21−200×1000ω=200×1000=2005g2⎛ωg1⎞L()ω=L()ω≈20⎜lgK−3lgω−3+lg⎟=0cg1⎜g15⎟⎝⎠35ωg126K=1000=5000ω=1×10课后答案网g1ωg1⎛ωg2ωg2ωg2⎞L()ω=L()ω≈20⎜lgK−3lgω−3+lg+lg−lg⎟=0cg2⎜g2540200⎟⎝⎠35ωg240ωg228K=1000=1000ω=2×10www.hackshp.cng2ωω200g2g28即当1×100时，系统稳定，求解误差有意义。fkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com -1Ⅱ型系统。Kkhdaw.comp=∝Kv=∝Ka=KⅠ型系统。Kp=∝Kv=∝11+KfK==aK1011+Kf可见K↑，K==↑，可提高系统的稳态精度faK106-5．已知某系统的闭环传递函数为课后答案网C()sa1s+a0=()nn−1RSas+as+?+as+ann−1www.hackshp.cn10试求该系统对等速输入和等加速输入的稳态误差。C()sa1s+a0解：闭环传递函数：φ()s==()nn−1RSas+as+?+as+ann−110开环传递函数为：a⎛a⎞0⎜1⎟s+1⎜⎟()φ()sa1s+a0a2⎝a0⎠Gs===()nn−121−φsans+an−1s+?+a2s2⎛⎜ann−2an−1n−3⎞ss+s+?+1⎟⎜⎟aa⎝22⎠Ⅱ型系统。当系统稳定时则：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com K=∞pK=∞va0K=K=aa21等速输入时：e==0ssvKv1a2等加速输入e==ssaKaa05-6．试证明在单位阶跃输入下，系统的误差信号的积分等于同一系统对单位斜坡输入的稳态误差，即khdaw.com∞e()tdt=e∫ssv0式中：e()t——单位阶跃输入下的系统误差e——单位斜坡输入下的系统稳态误差ssv解：方法1由于系统的初态为零，应用拉氏变换的积分定理可得：⎡t⎤1L⎢⎣∫0e()tdt⎥⎦=sE()s课后答案网式中：E（s）为单位阶跃输入下的系统误差的拉氏变换。设误差的传递函数为Ge（S）1E()s=G()()sRs=G()sepest1www.hackshp.cn1lime()tdt=limsE()s=limE()s=limG()s∫et→∞0s→0ss→0s→0se=lime()tssvvt→∞=limsE()svs→0=limsG()()sRsevs→01=limsG()s2es→0s1=limG()ses→0st=lim∫e()tdtt→∞0∞=∫e()tdt0khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com 得证方法2设单位斜坡输入下的系统误差为e(t)v则根据定常线性系统的重要性质：对于线性定常系统，对输入信号积分的响应就等于系统对输入信号响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。由于单位斜坡输入是单位阶跃输入的积分，可得：te()t=e()tdt+Cv∫0tlime()t=lime()tdt+C=0v∫t→0t→00tC=−lim∫e()tdtt→0+0khdaw.comtte=lime()t=lime()tdt−lime()tdtssvtvt∫00+∫0→∞→∞t→∞t=∫e()tdt−lim∫e()tdt0t→0+0t∞对于阶跃或斜坡信号输入时lime()tdt=0，即可得证e()tdt=e→0+∫0∫0ssvt6-7．设开环传递函数为G()s的单位反馈系统，如果其闭环传递函数可以写成C()sG()s(Tas+1)(Tbs+1)?(Tms+1)==R()S1+G()s()Ts+1()Ts+1?(Ts+1)课后答案网12n∞试证明e()tdt=(T+T+?T)(−T+T+?T)∫12nabm0式中，e(t)为单位阶跃作用下系统的误差。解：www.hackshp.cn开环传递函数为()φ()s()Tas+1(Tbs+1)?(Tms+1)Gs==1−φ()s()Ts+1()Ts+1?()Ts+1−()Ts+1()Ts+1?(Ts+1)12nabm()Ts+1()Ts+1?(Ts+1)(−Ts+1)(Ts+1)?(Ts+1)12nabm[]nn−12()=as+as+?+as+T+T+?Ts+1nn−1212n[]mm−12()−bs+bs+?+bs+T+T+?Ts+1mm−12abmnn−12()mm−12=as+as+?+as−bs+bs+?+bsnn−12mm−12+[]()T+T+?T−()T+T+?Ts12nabm式中ai和bj为多项式展开时相应项的系数由上式可知：khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com ∞e()tdt=e∫ssv01=limsR()svs→01+G()s()Ts+1()Ts+1?()Ts+1−()Ts+1()Ts+1?()Ts+1112nabm=lims2s→0()T1s+1()T2s+1?()Tns+1snn−12mm−12)1ans+an−1s+?+a2s−()bms+bm−1s+?+b2s+[]()T1+T2+?Tn−(Ta+Tb+?Tms=lims→0s()Ts+1()Ts+1?()Ts+112nn−1n−2mm−12)as+as+?+as−()bs+bs+?+bs+[]()T+T+?T−(T+T+?Tnn−12mm−1212nabm=lims→0()Ts+1()Ts+1?()Ts+112n=()T+T+?T−()T+T+?T12nabm证毕khdaw.com课后答案网www.hackshp.cnkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com'