一元函数微积分 (魏贵民 胡灿 著) 高等教育出版社 课后答案《一元函数微积分》习题解答第一章 19页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：1（1）y=；2x−92解：要使函数有意义，则：x−9>0即x>3或x<−3.所以函数定义域：(−∞,−)3∪,3(+∞).（2）y=logarcsinx；a解：要使函数有意义，则arcsinx>0，即00，即x≠2且x>.所以函数定义域：()2,∪,2(+∞).22x−12（5）y=arccos+log4(−x)；a2x−12解：−1≤≤1且4−x>0，则−1≤x≤3且−2−x<−x>0.121221f(x)在,0(L)上单增,则f(−x)>f(−x)，∵f(x)奇函数课后答案网12∴f(−x)=−f(x),f(−x)=−f(x)1122即−f(x)>−f(x)www.hackshp.cn12f(x)1,则0<<1.xxxx2+12+12+12+1xyy原函数的定义域:(−∞,+∞),值域:.)1,0(反解:2=,x=log.21−y1−y6 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！x得反函数:y=log21−x反函数的定义域:)1,0(,值域:(−∞,+∞).14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x是销售量,y是总价,试建立总价y和销售量x之间的函数关系式,并作出它的图形.解:由题知:当0≤x≤20时,y=5.2x;当20100时,y=219+(8.1x−100)=8.1x+39⎧5.2x0≤x≤20⎪⎪3.2x+420100图形(略)课后答案网15.设某商品的市场供应函数Q=S(p)=−80+4p,其中Q为供应量,p为市场价格.商品的单位生产成本是1.5元,试建立总利润L与市场价格p的函数关系式.解:供应函数Q=S(pwww.hackshp.cn)=−80+4p则总利润2L=(p−)5.1Q=(p−5.1)(−80+4p)=4p−86p+120.16.用p代表单价,某商品的需求函数为Q=D(p)=7000−50p,当Q超过1000时成本函数为C=20000+25Q,试确定能达到损益平衡的价格(提示:当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解:当Q>1000时Q=D(p)=7000−50p>1000则价格p<120.达到损益平衡,则pQ=C即:p7(000−50p)=20000+25Q=20000+257(000−50p)7 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2p−165p+3900=0165±107.82得p=2又因为价格p<120,故p=28.59答:当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并求此函数的定义域.222h22h解:设圆柱的半径为R,则满足R=r−()=r−24222h213圆柱的体积:V=πRh=π(r−)h=πrh−πh.44定义域:2,0(r)18.已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,在101325帕(一个标准大气压)下,水的冰点温度不32F或0℃,水的沸点温度为212F或100℃.(1)写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系;(2)画出该函数的图形;(3)摄氏20℃相当于华氏几度?解:(1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为x℃时,华氏温度为yF,则有关系式y=ax+课后答案网b其中a,b为常数.由题知:⎧32=a⋅0+b⎧a=8.1⎨⇒⎨⎩212=100a+b⎩b=32函数关系:y=8.1www.hackshp.cnx+32(其中x的度量单位是℃,y的度量单位是F)(2)函数图形(略)(3)摄氏20℃时,y=1.8×20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散1112．（1）证明：∀ε>0，要使1+−1=<ε，即n>。nnε⎡1⎤1只须取N=⎢⎥+1,则当n>N时，有1+−1<ε⎣ε⎦n1因此lim1(+)=1。n→∞n8 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！n1+(−)1242（2）证明：∀ε>0，要使−0≤<<ε，即n>。222nnnεn⎡2⎤1+(−)1只须取N=⎢⎥+1,则当n>N时，有2−0<ε⎣ε⎦nn1+(−)1因此lim=0。2n→∞n（3）证明：∀ε>0，要使x−0=x<ε，•只须取δ=ε，则当x∈U,0(δ)时，有x−0=x<δ=ε成立因此limx=0n→∞2x−4（4）证明：∀ε>0，要使−4=x−2<ε，x−2•x2−4只须取δ=ε，则当x∈U,2(δ)时，有−4=x−2<δ=ε成立x−22x−4因此lim=4n→∞x−21111（5）证明：∀ε>课后答案网0，要使−0=≤<ε(x>)1即x>+1x+1x+1x−1ε11只须取X=+1，则当x>X时，有−0<ε成立εx+11www.hackshp.cn因此lim=0n→∞x+1xxx（6）证明：∀ε>0(ε<)1，要使esinx−0=esinx≤e<ε，即x0，则当x<−X时，有esinx−0<ε成立x因此limesinx=0n→∞3．（1）略2（2）解：limf(x)=limx=1−−x→1x→1limf(x)=lim(x+)1=2x→1+x→1+（3）解：∵limf(x)≠limf(x)-+x→1x→19 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！∴当x→1时，f(x)没有极限。xx4．（1）解：lim=lim=1++x→0xx→0xxx1（2）解：lim=lim=lim=1+2+2+x→0x+xx→0x+xx→0x+1xx1（3）解lim=lim=lim=−1−2−2−x→0x+xx→0x−xx→0x−15．（1）∵sinx是周期函数，limsinx不存在。x→+∞ππ（2）limarctanx=,limarctanx=−x→+∞2x→−∞211（3）∵cos是周期函数，limcos不存在xx→0x−x−x−x（4）∵lime=,0lime=+∞,∴lime不存在x→+∞x→−∞x→∞x−1x−1x−1（5）∵lim=,1lim=−,1∴lim不存在x→1+x−1x→1−x−1x→1x−1−n（6）lime=0n→∞习题1—31课后答案网11、（1）∵lim=,0∴在n→∞时是无穷小22n→∞nn(−)1n(−)1n（2）lim=,0∴在n→∞时是无穷小n→∞n+1n+12n+1www.hackshp.cn12n+1（3）lim=,∴在n→∞时不是无穷小n→∞n2n⎧n⎪1−cosnπ1−(−)1⎪2（4）==⎨n分别为奇数、偶数的结果nn⎪π⎪⎩01−cosnπ1−cosnπ所以lim=0，在n→∞时是无穷小n→∞nn+112、（1）x→0，xsinx是无穷小；,是无穷大2xx11−xx（2）x→+∞,,,e是无穷小；e是无穷大2xx10 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1（3）是无穷小不确切，应该当x→∞时，它是无穷小x113、证明：∀ε>(,0x≠0),xsin−0=xsin≤x<ε,∃δ=ε>0xx1当0,0总有x∈(M,+∞)，使cosx=100从而y=xcosx=x>M∴y=xcosx在(−∞,+∞)内无界000又因为∀M>,0X>,0总有x∈(X,+∞)，使cosx=0，从而y=xcosx=0(0n=,2,1⋯)。n当n=,1x=2<2，假定n=k时，,x<2，1k当n=k+1时，x=2+x<2+2<2，k+1k由归纳法知x<(2n=,2,1⋯)，则x有上界；nn22+x−x−(x−2)(x+)1nnnn又x−x=2+x−x==n+1nnn2+x+x2+x+x课后答案网nnnn由x<2知x−x>0，则x单调增加；nn+1nn根据单调有界准则知数列www.hackshp.cn,22+,22+2+,2⋯的极限存在。xxx−aa⎛x+a⎞⎛2a⎞⎛2a⎞⎛2a⎞3．解：∵lim⎜⎟=lim⎜1+⎟=lim⎜1+⎟⎜1+⎟x→∞⎝x−a⎠x→∞⎝x−a⎠x→∞⎝x−a⎠⎝x−a⎠2a2ax−ax−a⎡⎤a⎡⎤⎢⎛2a⎞2a⎥⎛2a⎞⎢⎛2a⎞2a⎥2a==lim⎜1+⎟lim⎜1+⎟=lim⎜1+⎟=ex→∞⎢⎝x−a⎠⎥x→∞⎝x−a⎠⎢x→∞⎝x−a⎠⎥⎣⎦⎣⎦2a由已知e=4解得a=ln2。4．解：5年后价值15n⎡20n⎤41⎛.005⎞⎛1⎞p=lim101+⎟=10lim1+=10e4≈12.84（万元）k⎜⎢⎜⎟⎥x→∞⎝n⎠n→∞⎢⎣⎝20n⎠⎥⎦习题1-61-1-6615 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1．证明：∵α()x~βx()β()x~γx()α()xβ()x即lim=,1lim=1β()xγ()xα()xα()xβ()xα()xβ()x∴lim=lim⋅=lim⋅lim=1γ()xβ()xγ()xβ()xγ()x即α()x~γx()。sin2x2x22．（1）lim=lim=；x→0sinx3x→0x33sin2x2x（2）lim=lim=;2x→0arctanxx→0x⎧n,1=mnnsinxx⎪（3）lim=lim=⎨n,0>m；x→0(sinxm)x→0xm⎪⎩∞n,00x→x01111∴f(x)>0，故lim==(∀x∈[a,b])则在[a,b]上连续。0x→x0f(x)limf(x)f(x)f()x0x→x0232（1）limx−2x+5=5；（2）lim(sin2x)=1x→0πx→课后答案网4x+ax−a2cossin2cos4xsinx22（3）lim=2；（4）lim=cosax→0sinxx→ax−abta(a−)1b（5）令t=x−b,limwww.hackshp.cn=alnat→0t13x33x（6）lim[ln(1+3x)]=e；（7）lim=12x→0x→0x+xx−2xe1(−e)（8）lim=1；（9）−∞x−2xx→∞e1(+e)x−21x−(2x+)211（10）lim(+)=lim[+]=++x→2x−2x+2x+2x→2x+2x+22a1xx+xx1（11）lim+=1；（12）limln[(1+)x]a=x→∞x+1(x+)12x→0aa17 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！23．（1）x+x−6≠(,0−∞,−)3∪(−)2,3∪,2(+∞)；（2）(−∞)0,∪)1,0(∪,1(+∞)04．∵f0(−)0=e=,1f0(+)0=b,f)0(=b,由f()x处处连续，则f0(−)0=f0(+)0=f)0(∴当b=1，a为任意数时f(x)处处连续习题1—941．证明：令f(x)=x+x−,1∵f)0(=−1<,0f)1(=1>0∴至少存在一点ξ∈1,0(),使f(ξ)=02．∵f(x)在[a,b]上连续，∴在[a,b]上f(x)有最大值M和最小值m，于是当x∈[a,b],m≤f(x)≤M,∵t>0∴tm≤tf(x)≤tM(i=2,1⋯n)iiiiin个式子相加得：m≤tf(x)+tf(x)+⋯+tf(x)≤M，根据介值定理至少1122nn存在一点ξ∈[a,b]使得：f(ξ)=tf(x)+⋯+tf(x)11nn3．令f(x)=(x−b)−asinx,∵f)0(=−b<;0f(a+b)=a1[−sin(a+b)]>,0∴∃ξ∈,0(a+b),使得f(ξ)=0a+b课后答案网a+bb−a4．∵a<,0B>,0∴Am≤Af(x)≤AM,Bm≤Bf(x)≤BM两式相加1212Af(x)+Bf(x)12得：m≤≤M，所以至少存在一点ξ∈[a,b]使得A+BAf(x)+Bf(x)=(A+B)f(ξ)1218'