一元函数微积分 (魏贵民 胡灿 著) 高等教育出版社 课后答案《一元函数微积分》习题解答第四章 12页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！4-14-4-11习题解答1、（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。2、（1）（B）是特解（C）是通解；（2）(A)是特解（B）是通解；（3）（A）是通解（B）是特解xxxx3、解：（1）y=∫xedx=xe−∫edx=e(x−)1+C，又由y)0(=1⇒C=2，故满足初始条件的特解为xy=e(x−)1+2；dx（2）y=∫=lnx+C，又由y)1(=1⇒C=1，故满足初始条件的特解为y=lnx+1。x214、解：（1）由条件得y′=x；（2）设曲线为y=y(x)，则曲线上点P(x,y)处的法线斜率为k=−，由条y′y−01件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为(−x)0,，从而有=−⇒yy′+2x=0x−(−x)y′PD注：k=DQ课后答案网4-2习题解答xx+1−11、解：（1）由由给方程得cosydy=−dx⇒∫cosydy=−∫dx⇒siny=−x+lnx+1+Cx+1x+1即x−lnx+1+siny=C；www.hackshp.cndyxdyx−y1x1x−y（2）由所给方程得=10dx⇒=10dx⇒−10=10+C⇒10+10=C；y∫y∫11010ln10ln10dydyxCex（3）由所给方程得=dx⇒∫=∫dx⇒lnlny=x+C1⇒lny=C2e⇒y=e注：ylnyylnyC=eC1,C为任意常数2cosysinx（4）由所给方程得cotydy=tanxdx⇒dy=dx⇒lnsiny=−lncosx+C⇒sinycosx=C；∫∫1sinycosxdydxdydx12、解：（1）由所给方程得−=⇒−=⇒=lnx+1+C，又由y)0(=1⇒C=1，所2∫2∫y1+xy1+xy1 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1以满足初始条件的特解为：y=；lnx+1+1dy⎛11⎞y−1y−1x（2）由所给方程得=dx⇒⎜−⎟dy=dx⇒ln=x+C⇒=Ce，又由初始条∫⎜⎟∫1y(y−)1⎝y−1y⎠yy件y)0(=1⇒C=0，故满足初始条件的特解为：y=1；2212131213（3）由所给方程得y1(+y)dy=x1(+x)dx⇒∫(y+y)dy=∫(x+x)dx⇒y+y=x+x+C232352323又由初始条件y)0(=1⇒C=，故满足初始条件的特解为：3y+2y=3x+2x+5；6cosy（4）由所给方程得tanydy=tanxdx⇒tanydy=tanxdx⇒lncosy=lncosx+C⇒=C，又∫∫1cosxπ2由初始条件得y)0(=⇒C=，故满足初始条件的特解为2cosy=cosx；421+y1+x⎛11⎞⎛11⎞11（5）由原方程得dy=dx⇒⎜+⎟dy=⎜+⎟dx⇒−+lny=−+lnx+C，即22∫⎜2⎟∫2yx⎝yy⎠⎝xx⎠yx11x11x−+ln+C=0，又由初始条件y)1(=−1⇒C=2，故满足初始条件的特解为−+ln+2=0。yxyyxyydydxdydxC3、解：由条件得微分方程y′=−⇒=−⇒=−⇒lnxy=C⇒xy=±e1=C，又由初课后答案网xyx∫y∫x12yy始条件y)2(=3⇒C=6，故所求曲线为xy=6。注：k=y′=−tanθ=−=−2xxwww.hackshp.cn图1（图２）22dv22m4、解：由牛顿第二定律知ma=−mg−kv⇒m=−mg−kv，分离变量得dv=−dt，两边22dtmg+kvmdkv()m1kv积分得=−tdt⇒arctan=−+tC，又由初始条件∫2∫k(mg+())kv2kmgmgmkvmg⎛kvkg⎞v)0(=v⇒C=arctan0⇒v=tan⎜arctan0−t⎟。0⎜⎟kgmgk⎝mgm⎠2 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！y2dyxydyxydydu5、解：（1）所给方程为齐次微分方程即=⇒=，令=u⇒=u+x，代入333dxx+ydx⎛y⎞xdxdx1+⎜⎟⎝x⎠3duu1+udx⎛11⎞1前式得:u+x=⇒du=−⇒⎜+⎟du=−lnx+C⇒lnxu−=C，所以原方34∫43dx1+uux⎝uu⎠3u3x程的解为：lny−=C；33ydyyyydydudx（2）由所给方程得=sec+，令=u⇒=u+x，代入前式得cosudu=⇒sinu=lnx+C，1dxxxxdxdxxy故原方程的解为：lnx−sin=C；xyyydydu（3）由所给方程得y′=+tan，令=u⇒=u+x，代入前式得xxxdxdxysindxxycotudu=⇒lnsinu=lnx+C⇒=C⇒原方程的解为:sin=Cx；1xxxy⎛y⎞⎛y⎞ydydu（4）由所给方程得y=+⎜1+⎟ln⎜1+⎟，令=u⇒=u+x，代入前式得x⎝x⎠⎝x⎠xdxdxdudxx+y=⇒lnln(1+u)=lnx+C⇒原方程的解为:ln=Cx。11(+u)ln(1+u)x课后答案网xydydudu1dx126、解：（1）令=u⇒=u+x，代入原方程得x=⇒udu=⇒u=lnx+C，即xdxdxdxux22222y=2x(lnx+C)，又由初始条件y)1(=2⇒C=2，故满足初始条件的特解为：y=2x(lnx+)2www.hackshp.cndy2ydydu（2）由原方程得=，令=u⇒=u+x，代入原方程得dxxyxdxdx+yxdu22u1dx2yu+x=⇒(+)du=⇒−ln1−u+lnu=lnx+C⇒ln=C，即−121221dxu+u1−uuxx−yy22=C，又由初始条件y)0(=1⇒C=−1，故满足初始条件的特解为：y−y−x=0；22x−y2dy⎛y⎞yydydu（3）由原方程得=1−⎜⎟+，令=u⇒=u+x，代入原方程得dx⎝x⎠xxdxdx3 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！du2dudxyx=1−u⇒=⇒arcsinu=lnx+C⇒arcsin=lnx+C，又由初始条件dx1−u2xxπyπduy)1(=1⇒C=，故满足初始条件的特解为：arcsin=+lnx或x=y（因为中要求u≠1；即2x21−u2x≠y，但x=y仍是原方程的一个满足初始条件的特解）；y1+dyxydydu（4）由原方程得=，令=u⇒=u+x，代入原方程得dxyxdxdx1−x2du1+u1−udx12y22x=⇒du=⇒arctanu−ln(1+u)=lnx+C⇒arctan=lnx+y+C，又由2dx1−u1+ux2xy122初始条件y)1(=0⇒C=0，故满足初始条件的特解为：arctan=ln(x+y)。x2227、解：（1）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=secx,Q(x)=tanx⋅secx，所以其通解为：22−∫secxdx⎡2∫secxdx⎤−tanx2tanx−tanxy=e⎢⎣∫tanxsecx⋅edx+C⎥⎦=e[∫tanx⋅secx⋅edx+C]=tanx−1+Ce；11（２）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=−,Q(x)=，所以其通解为：xlnx11∫xdx⎡1−∫xdx⎤⎡1⎤y=e⎢∫edx+C⎥=x⎢∫dx+C⎥=x(lnlnx+C)；⎣lnx课后答案网⎦⎣xlnx⎦11x−（３）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=−,Q(x)=ex，所以其通解为：2x111111∫2dx⎡x−−∫2dx⎤−xxx−−y=exex⋅exdx+C=e[edx+C=ex+]Cex；⎢∫www.hackshp.cn⎥∫⎢⎣⎥⎦1sinx（４）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=,Q(x)=，所以其通解为：xx11−∫xdx⎡sinx∫xdx⎤1[⎛cosx−]C⎞y=e⎢∫edx+C⎥=∫sinxdx+C=−⎜⎟。⎣x⎦x⎝x⎠８、解：（１）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=−tanx,Q(x)=secx，所以其通解为：∫tanxdx⎡−∫tanxdx⎤y=e⎢⎣∫secx⋅edx+C⎥⎦=secx[∫dx+C=secx](x+C)，又由初始条件y)0(=0⇒C=0，故满足初始条件的特解为：y=xsecx；4 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！22−3x（２）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=,Q(x)=1，所以其通解为：3x23x223x2−2−2−∫−dx⎡∫−3dx⎤−2⎡e−x⎤−2⎛e−x⎞x3x3x3x⎜⎟y=e⎢edx+C⎥=xe⎢dx+C⎥=xe+C；又由初始条件∫∫x3⎜2⎟⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎝⎠31x−x2−1y)1(=0⇒C=−，故满足初始条件的特解为：y=(1−e；)2e212（３）此方程为一阶线性微分方程，其中P(x)=−Q(x)=(2x−)2，所以其通解为：x−211∫2dx⎡2−∫dx⎤y=ex−(2x−)2ex−2dx+C⎥=(x−)2[(2x−)2dx+C]=(x−[()2x−)22+C；又由初始条件]⎢∫∫⎣⎦32y)1(=−2⇒C=1，故满足初始条件的特解为：y=x−6x+13x−10；（４）此方程为一阶线性微分方程，其中P(t)=−,6Q(t)=−10sin2t，所以其通解为：−6t∫6dt⎡−6∫dt⎤6t[−6t]6t⎡e()⎤I=e⎢∫(−10sin2t)edt+C⎥=e−10∫e⋅sin2tdt+C=e⎢3sin2t+cos2t+C⎥；又由初⎣⎦⎣2⎦11始条件I)0(=⇒C=0，故满足初始条件的特解为：I=3(sin2t+cos2t)。22AOx−y1９、解：如图（２）因为y′=k=−tanα=−=−⇒y′−y=−1，此方程为一阶线性微分方程，BOxx课后答案网dxdx1∫x⎡−∫x⎤⎡dx⎤其中P(x)=−,Q(x)=−1，所以其通解为：y=e⎢∫(−)1edx+C⎥=x⎢−∫+C⎥=x(−lnx+C)。x⎣⎦⎣x⎦习题4-34-4-33)4(11121解：（1）由所给方程得y=−⇒y′′′=+C⇒y′′=lnx+Cx+C⇒y′=lnxdx+Cx+Cx+Cwww.hackshp.cn2112∫123xx21212=xlnx−x+Cx+Cx+C=xlnx+Cx+(C−)1x+C，所以12312322131212121312y=xlnxdx+Cx+(C−)1x+Cx+C=xlnx−x+Cx+(C−)1x+Cx+C∫123412346224621232即y=xlnx+Cx+Cx+Cx+C；123422dudu（2）令y′=u，由原方程得u′=1+u⇒=dx⇒=dx⇒u=tan(x+C)，即y′=tan(x+C)，2∫2∫111+u1+u所以y=tan(x+C)dx=−lncos(x+C)+C；∫112zdzdx2（3）令y′=z⇒y′′=z′，代入原方程得z′=⇒=⇒z=Cx，即y′=Cx⇒y=Cx+C1112xzx（4）令y′=z⇒y′′=z′，代入原方程得z′=z+x，此为一阶线性微分方程，P(x)=−,1Q(x)=x，故5 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！∫dx⎛−∫dx⎞x−xx−x−xxxz=e⎜∫xedx+C1⎟=e(∫xedx+C1)=e(−xe−e+C1)=C1e−x−1，即y′=C1e−x−1，所以⎝⎠x12原方程的通解为：y=Ce−x−x+C122dzdzdydzdz22dz1（5）令y′=z⇒y′′==⋅=z⋅，代入原方程得yz−z−yz=0⇒−z=y(z≠)0，dxdydxdydydyy111∫ydy⎛⎜−∫ydy⎞⎟2此为一阶线性微分方程，p(y)=−,q(y)=y，故z=eyedy+C=y(dy+C=y(y+C))=Cy+y，⎜∫1⎟∫111y⎝⎠2⎛11⎞y即y′=Cy+y⇒⎜−⎟dy=Cdx，所以原方程的通解为：ln=Cx；1∫⎜yC+y⎟1∫y+C2⎝1⎠1dzdzdydz3dzdy2−2−2（6）令y′=z⇒y′′==⋅=z⋅，代入原方程得yz−1=0⇒zdz=⇒z=−y+C⇒y′=C−y，311dxdydxdydyy2ydyd(C1y−)12分离变量得=dx⇒=2Cdx⇒2Cy−1=2C(x+C)，所以原方程的通解2∫21∫112Cy−1Cy−1112为：Cy−1=Cx+C。112dzdzdydzdz2dz2、解：（1）令y′=z⇒y′′==⋅=z⋅，代入原方程得z−az=0⇒=az(z≠)0，分离变dxdydxdydydy量得dzz=ady⇒z=eay+课后答案网C1⇒y′=C1eay⇒Cdyeay=dx⇒−aC1eay=x+C2，又由初始条件1111y)0(=,0y′)0(=−1⇒C=−,1C=，故满足初始条件的特解为：y=−ln(ax+)1；12www.hackshp.cnaadzdzdydzdz2dz1（2）令y′=z⇒y′′==⋅=z⋅，代入原方程得z+z=1⇒+z=(z≠)0，分离变量得dxdydxdydydyzyzdz−2yedyy2y=dy⇒y′=1−Ce⇒=dx⇒ln(e+e−C)=x+C又由初始条件21121−ze2y−C1y2yy)0(=,0y′)0(=0⇒C=,1C=0，故满足初始条件的特解为：ln(e+e−)1=x；122（3）令y′=z⇒y′′=z′，代入原方程得1(+x)z′=2xz，分离变量得3dz2xdx222x=⇒z=C1(+x)⇒y′=C1(+x)⇒dy=C1(+x)dx⇒y=C(x+)+C，又由初始条211112z1+x33件y)0(=,1y′)0(=3⇒C=,3C=1，故满足初始条件的特解为：y=x+3x+1。126 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3、解：以t=0对应的物体位置为原点，垂直向下的直线为x的正轴，建立如右图所示的坐标系，由题目条件dv22mdvdv得m=mg−kv，当t=0时，S=,0v=0，从而=dt，所以t+C=m⇒221∫22dtmg−kvmg−kvdvmkv+mgmkv+mgt+C=m=−ln，由v)0(=0得C=0，从而t=−ln，1∫1(mg−kv(mg+kv)2kg)kv−mg2kgkv−mg⎡2kg⎤⎛⎡2kg⎤⎞⎛⎡2kg⎤⎞又mg>k2v2，故kv+mg=(mg−kvexp⎢)⎥，即kv⎜1+exp⎢⎥⎟=mg⎜1−exp⎢⎥⎟，⎢⎣mt⎥⎦⎜⎝⎢⎣tm⎥⎦⎟⎠⎜⎝⎢⎣mt⎥⎦⎟⎠⎡2kg⎤1−exp⎢⎥dSmg⎢⎣mt⎥⎦dSmg⎡kg⎤也就是说=v=−⋅，整理得=th⎢t⎥，因此dtk⎡2kg⎤dtk⎢⎣m⎥⎦1+exp⎢⎥⎢⎣mt⎥⎦mgm⎛kg⎞S=lnch⎜t⎟+C，又由S)0(=0得C=0，所求的物体下落的距离与时间的函数关系为⎜⎟22kkg⎝m⎠m⎛g⎞S=lnch⎜kt⎟。k2⎜m⎟⎝⎠4-44-4-44习题21、解：（1）因为α=,0β课后答案网=1，且α±iβ=±i是特征方程r+1=0的根，所以，所给方程的特解的待定形式为y=x(acosx+bsinx)；2（2）因为α=,0β=,1P(x)=x，且α±iβ=±i是特征方程r+1=0的根，所以，所给方程的特解的待定l形式为y=x[(ax+b)cosx+www.hackshp.cn(cx+d)sinx]；2（3）因为α=,0β=,1P(x)=x，且α±iβ=±i不是特征方程r−1=0的根，所以，所给方程的特解的待n定形式为y=(ax+b)cosx+(cx+d)sinx；22（4）因为α=−1，是特征方程r−r−2=0的单根，P(x)=x是二次多项式，所以，所给方程的特解的待n−x2定形式为y=xe(ax+bx+c)；2（5）因为α=1，是特征方程r−2r+1=0的二重根，P(x)=1是零次多项式，所以，所给方程的特解的待n2x定形式为y=axe；22（6）因为α=1，不是特征方程r+2r+1=0的根，P(x)=x是二次多项式，所以，所给方程的特解的待n7 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！x2定形式为y=e(ax+bx+c)；xx（7）由重叠定理，原方程的特解是方程y′′−y′=e和y′′−y′=x的特解的和。对于方程y′′−y′=e，因为2xα=1，是特征方程r−r=0的单根，P(x)=1是零次多项式，所以，其特解的待定形式为y=axe；对于n12方程y′′−y′=x，因为α=0，是特征方程r−r=0的单根，P(x)=x是一次多项式，所以，其特解的待定nxx形式为y=x(bx+c)；故方程y′′−y′=e+x的特解的待定形式为y=y+y=axe+x(bx+c)；212（8）由重叠定理，原方程的特解是方程y′′+y=sinx和y′′+y=sin2x的特解的和。对于方程y′′+y=sinx，2因为α=,0β=1，且α±iβ=±i是特征方程r+1=0的根，所以，其特解的待定形式为2y=x(acosx+bsinx)；对于方程y′′+y=sin2x，因为α=,0β=2，且α±iβ=2i不是特征方程r+1=01的根，所以，其特解的待定形式为y=c⋅cos2x+dsin2x；故方程y′′+y=sinx+sin2x的特解的待定形式2为y=y+y=x(acosx+bsinx)+ccos2x+dsin2x。1222、解：（1）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r+r−2=0，特征根为r=,1r=−2，故导出组的通12x−2x2解为Y=Ce+Ce；又α=1，是特征方程r+r−2=0的单根，P(x)=3x是一次多项式，所以，所给12nxx方程的特解的待定形式为课后答案网y=xe(ax+b)，代入方程y′′+y′−2y=3xe得到一个a和b的线性方程组⎧6a=311x−2xx⎛11⎞⎨，所以a=,b=−，故原方程的通解为y=C1e+C2e+xe⎜x−⎟；⎩2a+3b=023⎝23⎠2（2）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r−3r+2=0，特征根为r=,1r=2，故导出组的通解为www.hackshp.cn12x2x2Y=Ce+Ce；又α=,0β=,1α±iβ=±i，不是特征方程r−3r+2=0的根，所以，所给方程的特解12⎧a−3b=0的待定形式为y=acosx+bsinx，代入方程y′′−3y′+2y=sinx得到一个a和b的线性方程组⎨，⎩3a+b=131x2x⎛31⎞所以a=,b=，故原方程的通解为y=C1e+C2e+⎜cosx+sinx⎟；1010⎝1010⎠2（3）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r−2r−3=0，特征根为r=,3r=−1，故导出组的通解为123x−x2Y=Ce+Ce；又α=4，不是特征方程r−2r−3=0的根，P(x)=1是零次多项式，所以，所给方程12n4x4x1的特解的待定形式为y=ae，代入方程y′′−2y′−3y=e得到5a=1，所以a=，故原方程的通解为58 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3x−x14xy=Ce+Ce+e；1252（4）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r+1=0，特征根为r=±i，故导出组的通解为2,12Y=Ccosx+Csinx；又α=1，不是特征方程r+1=0的根，P(x)=4x是一次多项式，所以，所给方12n⎧2a=4xx程的特解的待定形式为y=e(ax+b)，代入方程y′′+y=4xe得到一个a和b的线性方程组⎨，⎩2a+2b=0x所以a=,2b=−2，故原方程的通解为y=Ccosx+Csinx+2e(x−1；)122（5）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r+1=0，特征根为r=±i，故导出组的通解为2,12Y=Ccosx+Csinx；又α=,0β=,1α±iβ=±i，是特征方程r+1=0的根，所以，所给方程的特解的12⎧−2a=4待定形式为y=x(acosx+bsinx)，代入方程y′′+y=4sinx得到一个a和b的线性方程组⎨，所以⎩2b=0a=−,2b=0，故原方程的通解为y=Ccosx+Csinx−2xcosx；122（6）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r−4r+8=0，特征根为r=2±2i，故导出组的通解为2,12x22Y=e(Ccos2x+Csin2x)；又α=1，不是特征方程r−4r+8=0的根，P(x)=x是二次多项式，所12nx22x以，所给方程的特解的待定形式为课后答案网y=e(ax+bx+c)，代入方程y′′−4y′+8y=xe得到一个a,b和c的⎧5a=1⎪142线性方程组⎨−4a+5b=0，所以a=,b=,c=−，故原方程的通解为⎪525125⎩2a−2b+5c=0www.hackshp.cn2xx⎛1242⎞y=e(C1cos2x+C2sin2x)+e⎜x+x−⎟；⎝525125⎠2（7）因为所给微分方程的导出组的特征方程为r−r−6=0，特征根为r=,3r=−2，故导出组的通解为123x−2x2Y=Ce+Ce；又α=,0β=,2又α±iβ=±2i，不是特征方程r−r−6=0的根，所以，所给方程的12⎧−4a−2b−6=0特解的待定形式为y=acos2x+bsin2x，代入方程y′′−y′−6y=sin2x得到⎨，所以⎩−4b+2a−6=113x−2x1a=−,b=−2，故原方程的通解为y=Ce+Ce−cos2x−2cos2x；1222−xx2（8）因为方程y−3y′+2y=e+e的导出组的特征方程为r−3r+2=0,其特征根为r=,1r=2,故导出129 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！x2x−xx组的通解为Y=Ce+Ce；由重叠定理，原方程的特解是方程y′′−3y′+2y=e和y′′−3y′+y=e的12−x2特解的和。对于方程y′′−3y′+2y=e，因为α=−1，不是特征方程r−3r+2=0的根，所以，其特解的−x1x2待定形式为y=ae,代入方程得a=；对于方程y′′−3y′+2y=e，因为α=1，是特征方程r−3r+2=016x−xx的根，所以，其特解的待定形式为y=bxe,代入方程得b=−1；故方程y′′−3y′+2y=e+e的通解为22xx1−xxy=Y+y+y=Ce+Ce+e−xe。1212623、解：因为所给微分方程的导出组的特征方程为r+1=0，特征根为r=±i，故导出组的通解为2,12Y=Ccosx+Csinx；又α=,0β=,2且α±iβ=±2i不是特征方程r+1=0的根，所以，所给方程的特121解的待定形式为y=(acos2x+bsin2x)，代入方程y′′+y=cos2x得到一个a和b的线性方程组2⎧1⎪−3a=11⎨2，所以a=−,b=0，故原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx−cos2x；将初始条件⎪⎩−3b=066771y)0(=,1y′)0(=1代入得C=,C=1，故满足初始条件的特解为y=cosx+sinx−cos2x。12666xxx2x４、解：由原方程得x∫0f′(t)dt+∫0f′(t)dt−∫0ft′(t)dt=x+e−f(x)，方程两边对x求导得：xxx∫f′(t)dt+fx′(x)+f′(x)−fx′(x)=2x+e−f′(x)⇒f(x)−f)0(+2f′(x)=2x+e，又将x=0代入原0课后答案网11x1方程得f)0(=1，故得一阶线性微分方程f′(x)+f(x)=x+e+，故其通解为22211xxx−∫2dx⎡⎛1x1⎞∫2dx⎤−2⎡⎛1x1⎞2⎤1x−2y=e⎢∫⎜x+e+⎟edx+C⎥=e⎢∫⎜x+e+⎟edx+C⎥=e+2x−3+Ce⎣⎝22⎠⎦⎣⎝22⎠⎦3www.hackshp.cnx111x11−又f)0(=1,所以C=，故f(x)=e+2x−3+e2；333xxx2x解法二：由原方程得x∫0f′(t)dt+∫0f′(t)dt−∫0ft′(t)dt=x+e−f(x)，方程两边对x求导得：xxxx∫f′(t)dt+fx′(x)+f′(x)−fx′(x)=2x+e−f′(x)⇒∫f′(t)dt+2f′(x)=2x+e，两边对x再次求导得00xx1ef′(x)+2f′′(x)=2+e⇒f′′(x)+f′(x)=1+(此为不显含未知函数的二阶微分方程,也可看成二阶线22性常系数非齐次微分方程,求解可得上法相同答案)。11225、解：由二阶线性微分方程解的结构定理可知，y(x)=Y+y=Cyˆ+Cyˆ+y，y(x)=Y+y=Cyˆ+Cyˆ+y，11112222112233y(x)=Y+y=Cyˆ+Cyˆ+y；又y(x),y(x),y(x)线性无关，故方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的33112212310 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！导出组y′′+p(x)y′+q(x)y=0（*）的两个线性无关的特解为y(x)−y(x),y(x)−y(x)，所以（*）的通2131解为Y=C[y(x)−y(x)]+C[y(x)−y(x)]，又y(x)是方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的一个特解，1212311由解的结构定理知，方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解为y=Y+y=C(y−y)+C(y−y)+y；11212311x2xx−x2x−x将y(x)=xe+e,y(x)=xe+e,y(x)=xe+e−e代入方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)得：123xx2xxx2xx2x⎧2(e+xe+4e)+p(x)(e+xe+2e)+q(x)(xe+e)=f(x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯)1(⎪xx−xxx−xx−x⎨2(e+xe+e)+p(x)(e+xe−e)+q(x)(xe+e)=f(x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯)2(⎪xx2x−xxx2x−xx2x−x2(e+xe+4e−e)+p(x)(e+xe+2e+e)+q(x)(xe+e−e)=f(x)⋯⋯⋯)3(⎩（1）-（3）得1−p(x)+q(x)=0，即q(x)=p(x)−1⋯⋯)4(2x2x（3）-（2）得3e+3p(x)e=0⇒p(x)=−1，代入（4）得q(x)=−2又将p(x)=−,1q(x)=−2代入（1）xx得f(x)=(−2x+)1e，所以原微分方程为y′′−y′−2y=(−2x+)1e。2dx6、解：由牛顿第二定律得=−x+sint，且x)0(=,0x′)0(=0为初始条件；此二阶线性常系数非齐次微分2dt方程的导出组的通解为X=Ccost+Csint；对于方程x′′+x=sint，因为α=,0β=1，且α±iβ=±i是122特征方程r+1=0的根，所以，其特解的待定形式为课后答案网x=t(acost+bsint)，代入方程x′′+x=sint得−2a=2,1b=0，t所以方程x′′+x=sint的通解为x=X+x=Ccost+Csint−cost，又将初始条件x)0(=,0x′)0(=0代122t11t入x=X+x=C1cost+C2www.hackshp.cnsint−cost得C1=,0C2=，故满足初始条件的特解为x=sint−cost。222211'