一元函数微积分 (魏贵民 胡灿 著) 高等教育出版社 课后答案《一元函数微积分》习题解答第二章 36页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！习题2-12-2-111、用导数的定义求下列各函数在指定点的导数:""(1)f(x)=2x+3,求f)2(,f)0(;解:"∆yf2(+∆x)−f)2(2(2[+∆x)+]3−2(×2+)32∆xf)2(=lim=lim=lim=lim=2∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x"∆yf0(+∆x)−f)0(0(2[+∆x)+]3−32∆xf)0(=lim=lim=lim=lim=2.∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x2""⎛1⎞"⎛b⎞(2)f(x)=ax+bx+c,其中a,b,c为常数,求f)0(,f⎜⎟,f⎜−⎟.⎝2⎠⎝2a⎠解:22"∆yf0(+∆x)−f)0((a∆x+b∆x+c)−ca∆x+b∆xf)0(=lim=lim=lim=lim∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x=lim(a∆x+b)=b,∆x→011121abf(+∆x)−f()[a(+∆x)+b(+∆x)+c]−(++c)"⎛1⎞∆y222242f⎜⎟=lim=lim=lim⎝2⎠∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x2a∆x+(a+b)∆x=lim=lim(a∆x+a+b)=a+b.∆x→0∆x∆x→022课后答案网bbb2bbbf(−+∆x)−f(−)[a(−+∆x)+b(−+∆x)+c]−(−+c)"⎛b⎞∆y2a2a2a2a4a2af⎜−⎟=lim=lim=lim⎝2a⎠∆x→0∆x∆x→0∆x∆x→0∆x2a∆x=lim=lim(a∆x)=0.∆x→0∆xwww.hackshp.cn∆x→0222、解：因为s′=3t，所以瞬时速度v=s′=3×3=27。t=3注：只要题目没有要求用定义求导，就最好不用定义。3、解:因为y′=2x,所以切线的斜率k=y′|=2×3=6.x=3切线方程:y−9=(6x−)3即:y=6x−9224、解：因为切线平行，斜率相等，故k1=2x0=k2=3x0⇒x0=或x0=0。323（部分同学把x0=0去掉了，这是不对的，因为y=0是y=x和y=x的切线）k15、解:由题目知总成本的变化率为C′(x),C′(x)=.2x1 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！k1所以生产x个单位时总成本的变化率为C′(x)=.002x0f(x)−f)1(3x−1−26、解：因为f+′)1(=lim=lim=3，++x→1x−1x→1x−12f(x)−f)1(x+1−2f−′)1(=lim=lim=2，所以f−′)1(≠f+′)1(，故f(x)在x=1处不可导。−−x→1x−1x→1x−1⎧2x0,≤x<1错误的解法是：f′(x)=⎨，所以f−′)1(=2≠3=f+′)1(；这样做的错误有两个：一是⎩,3x≥1从给出的导函数的表达式上有f′)1(=3，这与不可导当然是矛盾的；二是这样解题用了f−′)1(=f′1(−)0和f+′)1(=f′1(+)0即“函数在x=1处的左（右）导数等于导函数在x=1处的左（右）极限”这一结论，但一般条件下这一结论不成立，教材也没有给出成立的条件，故不能乱用。212−7、解：(1)∵y=3x2⇒y′=(x3)′=x3;31−4−5(2)∵y=⇒y′=(x)′=−4x;4x25−2−(3)∵y=x3⇒y′=−x3;31(4)∵y=logx⇒y′=;3xln3xxxx(5)∵y=3(e)⇒y′=3(e)ln(3e)=3e(ln3+)1;x课后答案网xx⎛2⎞⎛2⎞2⎛2⎞(6)∵y=⎜⎟⇒y′=⎜⎟ln=⎜⎟(ln2−ln)3.⎝3⎠⎝3⎠3⎝3⎠⎛π⎞1⎛π⎞8.、解：∵f(x)=sinx⇒f′(x)=cosx⇒f′⎜⎟=,f′⎜⎟=0.www.hackshp.cn⎝3⎠2⎝2⎠∆x∆x9、证明:∵y=cosx,则∆y=cos(x+∆x)−cosx=−2sin(x+)sin,22∆x∆x∆x−2sin(x+)sinsin∆y22⎡∆x⎤2(cosx)′=lim==lim⎢−sin(x+)⎥lim=−sinx.∆x→0∆x∆x∆x→0⎣2⎦∆x→0∆x2(cosx′|)=(−sinx|)=0.x=0x=0习题2-22-2-222(1)y=ax+bxc+;1、解："解:y=2axb+.2 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2(2)y=x(2+x);"2153解:y=2(2x+x)+x()=4x+x.2x22(3)()fv=(v+1)(v−1);"2解：fv()=2(v+1)(v−1)(+v+1)=(v+1)(3v−1).2(4)y=xcos;x"2解:y=2cosxxx−sin.x(5)()ρϕ=ϕsin;ϕ"sinϕ解:ρϕ()=+ϕcos.ϕ2ϕx2(6)y=3a−;x"x2解:y=3alna+.2x1(7)y=;21++xx"12+x解:y=−.22(1++xx)1sin−t(8)s=;1sin+t"−cost1(+sint)−1(−sint)cost2costs==−221(+sin课后答案网t)1(+sint)2（9）因为y=2sint+tant⇒y′=2cost+sect。2、解：nn−1""(1)()fx=ax+ax+⋯+axa+,求f(0),f(1);nn−1www.hackshp.cn10"n−1n−2解：fx()=anx+a(n−1)x+⋯+a,nn−11"f(0)=a,1"f(1)=ana+(n−1)+⋯+a.nn−112"(2)y=xsin(x−2),求y(2);"2解:y=2sin(xx−2)+xcos(x−2),"y(2)=4.3 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3.求下列函数的导数（其中xt,是自变量，ab,是大于零的常数）：1（）1y=;22a−x"x解:y=.223(a−x)2x(2)y=;22x+a222x2xx+a−x2232"x+ax+2xa解:y==.x2+a2x2+a23()2(3)y=1ln+x;lnx"xlnx解：y==.221ln+xx1ln+xx(4)y=tan;212x2xsecsec解：y"=22=2.xx2tan4tan223x(5)y=1+e;课后答案网x"e解：y=.3(13+ex)2n2+(6)y=cosx(n∈www.hackshp.cnZn,≥2);1"2x2−12解：y=−(cosx)nsinx.n1(7)y=12+x+;21+x"1x解：y=−.12+x(1+x23)2xx(8)y=sincot;32"2xxx12x2x解：y=sincoscot−sincsc.33322324 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2(9)y=sin(2x−1);"解：y=4sin(2x−1)cos(2x−1)=2sin(4x−2).2(10)y=sin1+x;"2x解：y=cos1+x.21+x32(11)y=cot1+x;"2322x解：y=−csc1+x.3223(1+x)2x+−x2(12)y=sine;22"x+−x2x+−x2解：y=(2x+1)ecose.22(13)y=cos(cosx);"22解：y=2cos(cosx)sin(cosx)2cossinxx2=sin(2cosx)sin2.x21(14)y=xsin;x"11解：y=2sinx−cos.xx1(15)y=1tan(+x+);x121(1−)sec(x+)2课后答案网′"=xx解：y.121tan(+x+)xx(16)y=2lnx;www.hackshp.cnx"lnxlnx−1解：y=2()ln2.2lnx5 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！3t(17)y=t−3;"2t解：y=3t−3ln3.2(18)y=ln(1++x2x+x);1+x1+221"x+x解：y==.221++x2x+x2x+x3sinx(19)y=e;3"sinx2解：y=e3sinxcos.x32(20)y=ln(x);22"222x6ln(x)解：y=3ln(x)=.2xx(21)y=ln[ln(ln)];t"1解：y=.tlnln(ln)tt1(22)y=arccos;x"11解：y==.1422x−xx1−2x(23)y=arccos13;−课后答案网x"3解：y=.213−x3x(24)y=xarctan;xwww.hackshp.cn"arctanxx解：y=+.22x1+x2(25)y=xarccosx−1−x;"xx解：y=arccosx−+=arccos.x221−x1−xarcsinx(26)y=;21−xx1+arcsinx2"1−x解：y=.21−x6 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！12−x(27)y=(arccos)e;x−x"1e12−x解：y=2arccos−(arccos)e.xx4−x2x1−x(28)y=arcsin;1+x"1−1−1解：y==.1−x21−x(1+x)2(1x−x)1−(1+x)1+x1+x2(29)y=ln(arctan1+x);"x解：y=222arctan1+x(11++x)1+x"xy=.222(2+x)1+xarctan1+xarcsinx(30)y=;arccosxarccosxarcsinx+"1−x21−x2arcsinx+arccosx解：y==.(arccos)x21x2(arccos)x2−arcsinxx(32)y=e+arctane;arcsinxx解：y"=e+课后答案网e.1−x21+e2x21−sin(34)y=ex;212−sinsinex21"−sinwww.hackshp.cn111x解：y=ex(2sin−cos)(−)=.22xxxx311−（31）因为y=⇒y′=−x2；x2（33）因为axb⎛a⎞b−ay=⎜⎟x⇒ab⎝b⎠ba⎡axaax⎤axbaxb⎛ab−a⎞⎛⎞⎛⎞b−ab−a−1⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞y′=b⎢⎜⎟ln⎜⎟x+(b−a)x⎜⎟⎥=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜ln⎜⎟+⎟⎟a⎢⎣⎝b⎠⎝b⎠⎝b⎠⎥⎦⎝b⎠⎝x⎠⎝a⎠⎝⎝b⎠x⎠7 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！(35)y=chshx();"解：y=shshxchx().(36)y=th(ln);x"1解：y=.2xch(ln)xchx(37)y=shxe;"chx2chx解：y=chxe+shxe.(38)y=arctan(thx);"1解：y=.22(1+thxchx)注：在求导时，应先尽可能对所给函数进行化简，把复杂的问题变得简单一些，以便简化计算，提高计算的准确性。y0−224、解：因为y′=2x，又设切点的坐标为(x0,y0)，则k=2x0=，又y0=x0+5，解二x0−1元方程组得x0=−1或x0=3⇒k=−2或k=6，故切线方程为y−2=−(2x−)1和y−2=(6x−)1即2x+y−4=6;0x−y−4=0。错误解法：有同学把（1，2）点当成切点了。5、解：因为法线与定直线2x−2y+3=0平行，故所求的法线的斜率k=1，故切线的斜率−2−2k1=−1又y′=lnx+1,所以lnx+1=−1⇒切点坐标为(e,−2e),法线方程为−2x−y−3e=0。6、解：设所求点的坐标为课后答案网(x0,y0)，则切线斜率k=2x0，又已知直线的斜率k1=3，所以πk−k12x0−31111=tan==⇒x1=−,1x0=，故所求点的坐标为(−1,1),(,)。41+kk11+6x044162x7、解：切线的斜率k=y′=2(e+2x)=2,切点的坐标为)1,0(，所以法线方程为www.hackshp.cnx=0x=01Ax0+By0+C2y−1=−x⇒x+2y−2=0，由点到直线的距离公式得d==。2A2+B252228、解：（1）y′=f′(x)(x)′=2fx′(x)；（2）x′f(x)xf(x)′xxf(x)xf(x)f(x)xxxy′=[f(e)e]+f(e)[e=e]f′(e)e+f(e)ef′(x)=e[ef′(e)+f(e)f′(x)]{′}（3）y′=f[f(x)]=f′[f(x)]f′(x)；[2′]2[′2]2y′=f(sinx)+f(cosx)=f′(sinx2)sinxcosx+f′(cosx)(−2cosxsinx)（4）=[′2−′2]sin2xf(sinx)f(cosx)[′]注：f(g(x))≠f′(g(x))，左边的数学运算是先复合，后求导；而右边是对外层函数先8 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！求导，再将g(x)代入导函数。习题2-32-2-331、解：（1）y′=cosx−xsinxy′′=−sinx−(sinx+xcosx)=−2sinx−xcosx11−1222−（2）y′=(a−x)⋅(−2x)=−x(a2−x2)2213−x−y′′=−(a2−x2)2+(a2−x2)2⋅(−2x)213−−2=−(a2−x2)2−x2(a2−x2)2−a=3(a2−x2)2″⎛−1⎞−52⎜2⎟−132−3（3）y′′=2(x)′′+⎜x⎟+4(x)′′=4+x+8x；4⎝⎠2y′=secx（4）2y′′=2secx⋅secx⋅tanx=2sectanx21（5）y′=2xarctan课后答案网x+1(+x)⋅2=2xarctanx+11+x2xy′′=2arctanx+21+xwww.hackshp.cnx11e1−xx==x2e（6）y′=e⋅2x2x23111−x1−x1−y′′=−x2e+x2⋅e⋅x242231−x1xx=−x2e+ee(x−)1=44x4x⋅x12（7）y′=⋅cosx=cotx，y′′=−cscxsinx9 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！11y=−[cos3x−cosx]sin3x=−[cos3xsin3x−cosxsin3x]22（8）因为1⎧1⎫1=−⎨[sin6x−sin4x−sin2x]⎬=−[sin6x−sin4x−sin2x]2⎩2⎭41所以y′=−6(cos6x−4cos4x−2cos2x),y′′=9sin6x−4sin4x−sin2x；41⎛⎜x⎞⎟1x（9）y′=1+=⇒y′′=−；x+x2−a2⎜x2−a2⎟x2−a2223⎝⎠(x−a)λx−λx2、证明：∵y′=λce−λce122λx2−λxy′′=λce+λce1222λx2−λx2λx2−λx∴y′′−λy=λce+λce−λce−λce1212=0xx3、证明：∵y′=esinx+ecosxxxxxy′′=esinx+ecosx+ecosx−esinxx=2ecosx课后答案网xxxx∴y′′−2y′+2y=2ecosx−2esinx−2ecosx+2esinx=0(20)=2x(20)2+2x(19)2′+2x(18)2′′y(e)x20(e)(x)190(e)(x)4解：（1）www.hackshp.cn202x2=2e(x+20x+95)(50)=(50)2+2x(49)2′+(48)2′′y(sin2x)x50(e)(x)1225(sin2x)(x)（2）1225502=2(−xsin2x+50xcos2x+sin2x)22′2225、解：（1）y′′=[2fx′(x)=4x]f′′(x)+2f′(x)；′2⎛f′(x)⎞f′′(x)f(x)−[f′(x)]（2）y′′=⎜⎟=。⎜⎝f(x)⎟⎠f2(x)习题2-42-2-44dyx1、解：（1）方程两边对x求导数得2x+2yy′=0，所以=−；dxy10 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！dy2x+y（2）方程两边对x求导数得2x+y+yx′+2yy′=0，所以=−；dxx+2yx+yx+ydye−y（3）方程两边对x求导数得y+yx′=e1(+y′)，所以=；dxx−ex+yyyx′（4）方程两边取对数得ylnx=xlny，两边对x求导数得y′lnx+=lny+，所以xyylny−2dyxxylny−y==；dxxxylnx−x2lnx−y注：有同学易把幂指函数的求导与幂函数或指数函数的求导搞混淆。dycosy−cos(x+y)（5）方程两边对x求导数得cosy−yx′siny=1(+y′)cos(x+y)，所以=；dxxsiny+cos(x+y)1y′x−yx+yy′y′x−yx+yy′（6）方程两边对x求导数得=⇒=⇒y′x−y=x+yy′，22222222⎛y⎞xx+yx+yx+y1+⎜⎟⎝x⎠dyx+y所以=；dxx−y2、解：（1）lny=ln2+xlnx11x⋅y′=⋅lnx+y2xxxxx课后答案网2x⋅xx−1y′=⋅lnx+=x2⋅(lnx+)2xx（2）lny=xln(lnx)1www.hackshp.cn111⋅y′=ln(lnx)+x⋅⋅=ln(lnx)+ylnxxlnxx⎡1⎤y′=(lnx)ln(lnx)+⎢⎣lnx⎥⎦111111（3）lny=lnx，⋅y′=−lnx+⋅=1(−lnx)xyx2xxx21−2xy′=x1(−lnx)11 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！′2ycosx（4）方程两边取对数得lny=cosxlnsinx，两边对x求导数得=−sinxlnsinx+，ysinx所以2cosxcosxcosxy′=(sinx)(−sinxlnsinx+)=(sinx)(cotxcosx−sinxlnsinx)；sinx111（5）lny=ln3x−2−ln5−2x−lnx−122213111⋅y′=⋅+−y23x−25−2x(2x−)13x−2⎡311⎤y′=⋅+−5(−2x)(x−)1⎢⎣6x−45−2x2x−2⎥⎦122（6）方程两边取对数得lny=[lnx+ln(x+)1−2ln(x−)1]，两边对x求导数得3′2y1⎛12x4x⎞1x(x+)1⎛12x4x⎞=⎜+−⎟，所以y′=3⎜+−⎟；y3⎝xx2+1x2−1⎠3(x2−)12⎝xx2+1x2−1⎠223、解：方程(x−)1+(y+)3=17两边对x求导1−x1得(2x−)1+(2y+)3⋅y′=0，故y′=，从而y′=−)1,2(y+34课后答案网1故所求切线方程为y−1=−(x−)2即x+4y−6=04cos(x+y)4、解：方程两边对x求导得y′=1(+y′)cos(x+y)⇒y′=（1）1−cos(x+y)（1）式两边对x求导得www.hackshp.cn−[1−cos(x+y)]1(+y′)sin(x+y)−1(+y′)sin(x+y)cos(x+y)y′′=2[1−cos(x+y)]（2）−1(+y′)sin(x+y)=[]21−cos(x+y)sin(x+y)将（1）代入（2）得y′′=[]3cos(x+y)−1ssssese5、解：s′=e+tes′⇒s′=，又te=s−1⇒s′=（1）1−tes2−sess′2(−s)+ess′ess′3(−s)将)1(代入e2s3(−s)所以s′′===。2232(−s)2(−s)2(−s)12 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！⎛2⎞⎛dy⎞d⎜⎟⎛dy⎞d⎜⎟⎝t⎠2d⎜⎟⎝dx⎠dy2dy⎝dx⎠dtdt16、解：=⇒====−。dxtdx2dxdx/dt2tt3⎛dy⎞d(−tant)d⎜⎟22dy3asintcostdy⎝dx⎠dt17、解：==−tant⇒===。dx−3acos2tsintdx2dx−3acos2tsint3acos4tsint⎛sinϕ⎞d⎜⎟⎜⎟⎛dy⎞⎝1−cosϕ⎠d⎜⎟2dysinϕdy⎝dx⎠dϕ18、解：=⇒===−。dx1−cosϕdx2dxa1(−cosϕ)a1(−cosϕ)2dybcosθdyba9、解：（1）因为=−⇒切线斜率k==−,法线斜率k1=，又切点的坐dxasinθdxπabθ=4⎛22⎞2b⎛2⎞2a⎛2⎞标为⎜a,b⎟，所以切线方程为y−b=−⎜x−a⎟;法线方程为y−b=⎜x−a⎟；⎜22⎟2a⎜2⎟2b⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠dy2tdy43（2）因为=⇒切线斜率k==−,法线斜率k1=，又切点的坐标为dx1−t2dx34t=2⎛612⎞124⎛6⎞123⎛6⎞⎜a,a⎟，所以切线方程为y−a=−⎜x−a⎟;法线方程为y−a=⎜x−a⎟。⎝55⎠53⎝5⎠54⎝5⎠10、解（1）因为质点出发时t=0，故质点出发时所在的位置的坐标是(x,y=)0,1(；)t=0t=0（2）水平方向的速度v=x′=2(−2t)=−2，铅直方向的速度v=y′=8(t)=16；课后答案网xtt=2t=2ytt=2t=2（3）水平方向的加速度a=x′′=(−)2=−2，铅直方向的加速度a=y′′=8=8。xtt=2t=2ytt=2t=2⎛cost−sint⎞d⎜⎟d⎛dy⎞⎝cost+sint⎠⎜⎟211、解：dycost−sinwww.hackshp.cntdy⎝dx⎠dt2=⇒===−，又dxcost+sintdx2dxet(cost+sint)et(cost+sint)32tdy222t22e(x+y)=−e(cost+sint)=−，dx2et(cost+sint)3cost+sint2⎛dy⎞⎛cost−sint⎞−2etdy⎛dy⎞2⎜x−y⎟=2⎜etsint⋅−ecost⎟=，所以(x+y)2=2⎜x−y⎟。⎝dx⎠⎝cost+sint⎠cost+sintdx2⎜⎝dx⎟⎠22222(40)t40t12、解：因为st()120=+(40)t⇒2()()stst′=2(40)t⇒st′()=，又因st()12022200s(15)=120+(40×15)=12026，所以飞机飞离观察者的速度为s′(15)=m/s。2613 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！113、解：如图，设在时刻t注入的水深为h，又条件知r=h，所以422π⎛h⎞16⎜⎟h=4t⇒h′(t)=，所以当h=5时，水的表面上升的速度为r3⎝2⎠πh216m/min。h25π22229t14解：如图可得y(t)+x(t)=y(t)+9t=25⇒y′(t)=−，x(t)=3t⇒x′(t)=3y(t)9t25⎛5⎞5（1）y′(t)==3⇒y(t)=3t⇒18t=25⇒t=，所以当下端离开墙角x⎜⎟=my(t)32⎜⎝32⎟⎠2时，梯子的上、下两端滑动的速率相同；4.19×4.1⎛4.1⎞2⎛4.1⎞3（2）3t=4.1⇒t=⇒y⎜⎟=25−)4.1(⇒y′⎜⎟=≈.0875m/min；3⎝3⎠⎝3⎠25−)4.1(229t⎛9t⎞2⎛4⎞4（3）y′(t)=4⇒y(t)=⇒⎜⎟+9t=25⇒t=3/4⇒x⎜⎟=3⋅=4m。4⎝4⎠⎝3⎠3习题2-51、求下列函数的微分（1）解：dy=(10x+)3dx22（2）解：dy=(2[x+2)(x−)4+(x+2x)]dx=3(x−4x−)8dx课后答案网⎧⎪−2dx,−1)4，所以742663244f(x)=−56+21(x−)4+(x−)4+(x−)4+(x−)4!2!3!4234=−56+21(x−)4+37(x−)4+11(x−)4+(x−)42、解：因为22f)0(=,1f′(x)=(3x−3x+)12(x−)3⇒f′)0(=−9222f′′(x)=(6x−3x+1)(2x−)3+(6x−3x+)1⇒f′′)0(=603f′′′(x)=2(6x−)3+2(6x−)3⇒f′′′)0(=−270)4(2)4()5()5(f(x)=362(x−)3+12⇒f)0(=720,f(x)=1442(x−)3⇒f)0(=−1280)6()6((k)f(x)=720⇒f)0(=720,f(x)=(0k≥)760227037204128057206所以f(x)=1−9x+x−x+x−x+x!2!3!4!5!6课后答案网23456=1−9x+30x−45x+30x−9x+x3、解法一：求出函数的在x0=4的零至四阶导数值，代入公式可得答案。解法二：www.hackshp.cn11⎛x−4⎞2x=4(+x−)42=2⎜1+⎟=⎝4⎠231x−411⎛1⎞⎛x−4⎞11⎛1⎞⎛1⎞⎛x−4⎞31[2+⋅+⋅⎜−1⎟⎜⎟+⎜−1⎟⎜−2⎟⎜⎟+�(x)]24!22⎝2⎠⎝4⎠!32⎝2⎠⎝2⎠⎝4⎠x−412133=2+−(x−)4+(x−)4+�(x)4432⋅44(k)kk!(k)4、解：因为f(x)=(−)1,k=,2,1,0⋯,n+.1所以f(−)1=−k,!k=,2,1,0⋯,n.k+1x(n+)1n+1(n+1)!12nn+11n+1f(ξ)=(−)1⇒=−1[+(x+)1+(x+)1+⋯+(x+)1]+(−)1(x+)1。ξn+2xξn+2如果题目对余项没有要求，就有解法二：19 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1112nn==−=−1[+(x+)1+(x+)1+⋯+(x+)1]+�((x+)1)x−1+x+11−(x+)15、解：（1）2311111⎛1⎞⎛1⎞11⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞330=327+3=3⋅31+≈1[3+⋅+⎜−1⎟⎜⎟+⎜−1⎟⎜−2⎟⎜⎟]939!23⎝3⎠⎝9⎠!33⎝3⎠⎝3⎠⎝9⎠1315=3+−+≈.31072497295904911−2401−3142401−5误差1(+θ)()≤≈.188×1081)!4(9981×24943430ππ1⎛π⎞sinξ⎛π⎞π1⎛π⎞(2)解:sin18=sin=−⎜⎟+⎜⎟≈−⎜⎟≈.03090,1010!3⎝10⎠!4⎝10⎠10!3⎝10⎠55sinξ⎛π⎞1⎛π⎞−4而误差=⎜⎟≤⎜⎟≈.203×10.!5⎝10⎠!5⎝10⎠x−⎛⎜x−1x3+(x3)⎞⎟133�x+�(x)⎝!3⎠!316、解：（1）原式=lim=lim=。（注原题中的减号应改x→0x3x→0x36为乘号）2x21⎛x2⎞⎡x21⎤1−+⎜−⎟+(x4)−⎢1−+x4+(x4)⎥⎛11⎞4422⎜2⎟�2!4�⎜−⎟x+�(x)⎝⎠⎢⎣⎥⎦⎝8!4⎠（2）原式=lim=lim=/112x→0x4x→0x4习题2-92-2-991、解：因为f′(x)=1课后答案网−sinx≥00≤x≤2π，所以f(x)在区间2,0[π]上严格单调增加。232、证明：因为y′=3x+1>,0x∈(−∞,+∞)，所以y=x+x在(−∞,+∞)内严格单调增加。13、解：因为f′(x)=−1≤0,且只有当x=1时f′(x)=0，所以在区间(−∞,+∞)内f(x)严21+x格单调减。www.hackshp.cn22x+1x−1y′=>,0x∈(−∞)0,∪,0(+∞)y=x=04、证明：因为2，所以x在不含点的任何区间x上都是单调增加的。225、解：（1）因为y′=6x−12x−18=(6x−2x−)3=(6x+1)(x−)3，令y′=0，得x1=−,1x2=3列表如下x(−∞,−)1-1(−)3,13,3(+∞)y′+0-0+y445343y′=(5x−)22(x+)1+(4x−)22(x+)1=(x−)22(x+)1(14x−)3y′=0（2）因为，令得20 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1x1=−,x2=/314,x3=22列表如下x(−∞,−)2/1-1/2（-1/2，3/14）3/14/3(14)2,2,2(+∞)y′-0+0-0+y−60(x−1)(x−)2（3）因为y′=y′=0x1=,1x2=2322,令，得4(x−9x+6x)列表如下x(−∞)1,1)2,1(2,2(+∞)y′-0+0-y2(2a−3x)2aa(4)因为y′=，令y′=0得x1=3，另外x2=,x3=a332(x−a)2(a−x)2是不可导点，列表如下x(−∞,a)2/a2/(a2,2/a)3/2a3/2(a,3/a)a(a,+∞)y′+不可导+0-不可导+y2(x+1)(2x−)111（5）因为y′=x，令y′=0得x1=−,x2=2，另外x=0为不可导点2列表如下x(−∞,−)2/1-1/2（-1/2，0）0)2/1,0(1/2,2/1(+∞)y′-0课后答案网+不可导-0+y1y′=>,0x∈(−∞,+∞)(−∞,+∞)（6）因为2www.hackshp.cn，所以在内单调增。1+x111x+1−1f(x)=1+x−1+xf′(x)=−=>,0(x>)0f(x)6证明：（1）令2，则221+x21+x，所以1,0[+∞)f)0(=0⇒f(x)>f)0(=01+x>1+x在上单调增，又,所以2.222f(x)=1+xln(x+1+x)−1+xf′(x)=ln(x+1+x)>0f(x)(−∞,+∞)(2)令,则,所以在内22f)0(=0⇒f(x)>f)0(=01+xln(x+1+x)>1+x单调增,又,所以.πf(x)=sinx+tanx−2x,f)0(=,0在,0()上(3)令则22""3‘f′(x)=cosx+secx−2，f)0(=,0f(x)=sinx2(secx−)1>0f(x),由此得在21 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！π’‘"π,0()f(x)>f)0(=0f(x)>,0故f(x)在,0()内单增2内单调增,而,所以2π0f)0(⇒sinx+tanx>2x当221xf(x)=arctanx−xf′(x)=−1=≥,0x≤0x=0f′(x)=0(4)令,则22,只有当时才有,1+x1+xf(x)(−∞]0,f)0(=0⇒f(x)>f)0(=0arctanx≥x,x≤0故在上单调增,又,所以.f(x)=sinx−xf)0(=0x=0f′(x)=cosx−1≤,07、证明：令，则由知是方程的一个根。又仅x=kπ,k∈Zf′(x)=0f(x)Rsinx=x当时所以在内单调增，故方程最多只有一个根；综上所述，结论成立。322f(x)=x−3x−9x+2f′(x)=3x−6x−9=(3x+1)(x−)3f′(x)=08、解：令，则，又令得x1=−,1x2=3，列表如下x(−∞,−)1-1(−)3,13,3(+∞)y′+0-0+y7-25limf(x)=−∞,limf(x)=+∞(−∞,−)1(−)3,1,3(+∞)又x→−∞x→+∞，所以方程有三个实根，分别在，，内。f(x)=sinx+xRf′(x)=1+cosxR9、答：不一定。如在上单调增，但在上不是单调函数。3⎛ππ⎞f(x)=x,x∈(−∞,+∞);f(x)=tanx,x∈⎜−,⎟也可以考虑课后答案网⎝22⎠等等。10、解：（1）因为y′=6x(x−)1，令y′=0得x1=,0x2=1，又y′′x=0=(12x−)6x=0=−6，y′′x=1=(12x−)6x=1=6，所以x1=0为极大值点，极大值为f)0(=0，x2=1为极小值点，极小值为f)1(=−1。www.hackshp.cn12−5xy′=y′=0x=125/（2）因为3，令得驻点,列表如下4(+5x2)2x(−∞,12)5/12/5(12,5/+∞)y′+0-y极大值点⎛12⎞41205所以极大值为f⎜⎟==⎝5⎠82010.2(x−)1y′=≥0(3)因为2,故函数单调增,所以函数无极值.1+x22 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！11−lnxy′=xx=0x=e(4)令2,得驻点列表如下xx,0(e)e(e,+∞)y′+0-y极大值点1f(e)=ee所以极大值为.−x2xy′=e2(e−)1=0x=−ln2y′′=22>0x=−ln2(5)令,得驻点,又x=−ln2,所以是极f(−ln)2=22小值点,函数的极小值为.2y′=1+secx>0(6)因为,所以函数单调增,故无极值.211、解：（1）令y′=5x(x−1)(x−)3=0，得函数在区间[-1，2]内的驻点为x1=,0x2=1，又f(−)1=−10,f)0(=,1f)1(=,2f)2(=−7，所以最大值为2，最小值为-10。2(2x−)1y′==0x=2/1∈]1,0[（2）令1(+x−x2)2，得驻点，而在区间[0，1]内无不可导点，又⎛1⎞3f)0(=,1f)1(=,1f⎜⎟=⎝2⎠5，所以最大值为1，最小值为3/5。22222(b−a)x+2ax−aa−ay′==0x=∈1,0(),x=∉)1,0(（3）令x21(−x)2，得驻点a+bb−a,又y′′=2a32+2b23⇒课后答案网y′′x=a=(2b+a)3⎛⎜1+1⎞⎟>0,所以x=a∈)1,0(为最小值点,函x1(−x)b+a⎝ab⎠a+b⎛a⎞2f⎜⎟=(b+a)数的最小值为⎝b+a⎠www.hackshp.cn.13⎛3⎞5y′=1−=0x=f(−)5=−5+,6f)1(=,1f⎜⎟=(4)令21−x,得驻点4,又⎝4⎠4,所以最小值为⎛3⎞5f(−)5=−5+6f⎜⎟=,最大值为⎝4⎠4.π⎡ππ⎤⎛π⎞πππ⎛π⎞3π(5)令y′=2cos2x−1=0,得驻点x=∈⎢−,⎥,又f⎜−⎟=,f()=−,f⎜⎟=2−6,6⎣22⎦⎝2⎠222⎝6⎠⎛π⎞πππf⎜−⎟=,f()=−所以最大值为⎝2⎠2最小值为22.1πy′=−<0f)0(=arctan1=f)1(=0(6)因为1+x2,所以函数单调减,故最大值为4,最小值为.23 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！⎧⎪−(x2−3x+2),x∈]2,1[⎧−2x+,3x∈)2,1(f(x)=⎨f′(x)=⎨(7)因为⎪⎩x2−3x+,2x∈[−10)1,∪,2(10],所以⎩2x−,3x∈[−10)1,∪,2(10],令f′(x)=0得驻点x1=2/3∈)2,1(,又x2=,1x3=2为不可导点,f(−10)=132,f(10)=72,⎛3⎞1f)1(=f)2(=,0f⎜⎟=f(−10)=132,f)1(=f)2(=0⎝2⎠4,所以最大值为最小值为.33f(x)=x+8(−x)f′(x)=48(x−)4=0x=412解：由题意可得，令得唯一的驻点，故将8平均分成两个部分的立方之和为最小。r13、解：如图，设内接圆柱体的半径为，则圆柱体的体积h2h2⎛3h2⎞v=πr2hr=R2−v=πh(R2−)v′=π⎜R2−⎟=0又4，所以4令⎜4⎟⎝⎠2R2Rh=h=得唯一驻点，即当时，圆柱体的体积最大。331414、解：设所求直线与xy(x0,),,0(y)+=1轴和轴的交点坐标为，由题目条件得xy，解得4x4x4y=z=x+z′=1−=0x=3x−1，故目标函数为x−1，令1(−x)2得满足题目条件的驻点为，xyy=6+=1，所以所求的直线方程为36。22215、证明：设f(x)=(x−x1)+(x−x2)+⋯+(x−xn)，令f′(x)=(2x−x1)+(2x−课后答案网x2)+⋯+(2x−xn)=[2nx−(x1+x2+⋯+xn)]=0得唯一的驻点x1+x2+⋯+xnx1+x2+⋯+xnx=f′′(x)=2n>0x=n，又所以n是函数的极小值点，222x1+x2+⋯+xnf(x)=(x−x1)+(x−x2)+⋯+(x−xn)在x=n时取得最小值。www.hackshp.cnx59.4x5xx⋅F=49×1.0+5x⋅⇒F′(x)=−16、解：设杆长为，则杆重为，由杠杆原理有22x2，8.9令F′(x)=0得唯一的驻点x0=4.1又F′′x=4.1=3>0，故x0=4.1为极小值点，因而也是最4.1小值点。所以杆长为1.4米最省力。ϕrh17、解：设挖去做漏斗的扇形顶角为,漏斗的上顶圆半径为,高为,则它们满足关系式:⎧2πr=RϕRR22⎨r=ϕ,h=4π−ϕrh=R2−r2,因此2π2π⎩312R246V=πrh=4πϕ−ϕ,ϕ∈2,0(π)故漏斗的体积2,324π246y=4πϕ−ϕ,ϕ∈2,0(π)XyV令,由的单调增加性质,与具有相同的最大值点.24 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！235328226令y′=16πϕ−6ϕ=−6ϕ(ϕ−π)=0得y=y(ϕ)在2,0(π)内的唯一驻点ϕ0=π.而33262626当0<ϕ<π时,y′>0,当π<ϕ<2π时y′<0,所以ϕ0=π是y的极大值点,且333yV是唯一的极值点.故它是的,从而也是的最大值点.因此,当挖去作漏斗的扇形顶角为26π3时,漏斗的容积最大.习题2-1022-10-101、求下列各函数的凹凸区间及拐点：2解：（1）因为y′=3x−10x+,3y′′=6x−10，令y′′=0得x0=3/5，列表如下x(−∞)3/5,5/3,3/5(+∞)y′′-0+y∩∪拐点为,3/5(−250/27)。222222x(x+9a)6ax9(a−x)（2）因为y′=,y′′=，令y′′=0得x1=−3a,x2=,0x3=3a，列222223(x+3a)(x+3a)表如下x(−∞,−3a)−3a(−3a)0,03,0(a)3a3(a,+∞)y′′+0-0+0-y∪课后答案网∩∪∩拐点为(−3a9,a4/),0,0(),3(a9,a)4/43（3）因为y′=5x,y′′=20x，令y′′=0得x0=0，列表如下x(−∞)0,0,0(+∞www.hackshp.cn)y′′-0+y∩∪拐点为（0，0）。3x2x（4）因为y′=(4x+)1+e,y′′=12(x+)1+e>0,所以函数在(−∞,+∞)内为凹函数,无拐点.arctanx1arctanx1−2x(5)因为y′=e2,y′′=e22，令y′′=0得x0=2/1，列表如下1+x1(+x)x(−∞)2/1,1/2,2/1(+∞)y′′+0-y∪∩25 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！1arctan拐点为,2/1(e2)。22x21(−x)（6）因为y′=,y′′=，令y′′=0得x1=−,1x2=1，列表如下2221+x1(+x)x(−∞,−)1-1（-1，1）1,1(+∞)y′′-+0-y∩∪∩拐点为(−,1ln2),,1(ln)2。32（7）因为y′=4x(12lnx−4),y′′=144xlnx，令y′′=0得x1=,0x2=1，又0不在定义域内，列表如下x（0，1）1,1(+∞)y′′-0+y∩∪拐点为,1(−)7。−x−x（8）因为y′=e1(−x),y′′=e(x−)2，令y′′=0得x1=2，列表如下x(−∞)2,2,2(+∞)y′′-0+y∩∪−2拐点为2,2(e)。课后答案网22、解：因为y′=3ax+2bx,y′′=6ax+2b，又（1，3）为拐点，所以3=a+b0,=6a+2b解方39程得a=−,b=。22www.hackshp.cn′⎛1(3+t2)⎞⎜⎟1(3+t2)⎜2t⎟(6t2−)1⎝⎠3、解：y′=,y′′==3，令y′′=0得t0=−,1t1=1，又t2=0为2t2t8t不可导点，列表如下t(−∞,−)1-1（-1，0）0)1,0(1,1(+∞)y′′+0--+y∪∩∩∪拐点为（-1，4），（1，4）。224、解：因为y′=4kx(x−3),y′′=12k(x−)1，令y′′=0得x1=−,1x2=1，列表如下x(−∞,−)1-1(−)1,11,1(+∞)26 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！y′′+0-0+y∪∩∪拐点为(−4,1k),4,1(k)。切线的斜率k1=8k,k2=−8k，所以通过原点的拐点处的法线方1111程为y=−x和y=x⇒4k=⇒k=±。8k8k8k425、解：（1）因为limy=,0limy=∞,limy=∞，所以y=0是水平渐进线，x=±1是铅直渐x→∞x→−1x→1进线。（2）因为yx4⎛x4⎞−(x+3x2+3x3)limy=∞,lim=lim=,1lim(y−x)=lim⎜−x⎟=lim=−3x→−1x→∞xx→∞x1(+x)3x→∞x→∞⎜1(+x)3⎟x→∞1(+x)3⎝⎠所以x=−1是铅直渐进线，y=x−3是斜渐进线。yx⎛x2⎞（3）因为limy=∞;lim=lim=±,1lim⎜±x⎟=0，所以x=±1是铅直渐x→±1x→±∞xx→±∞2x→±∞⎜2⎟x−1⎝x−1⎠进线，y=±x是斜渐进线。x2x+arctan2xπ（4）因为lim=,2lim2(x+arctan−2x)=±，所以曲线有斜渐进线x→∞xx→±∞22πy=2x±。2课后答案网6、见29页习题2-1122-11-11y"""1.解:抛物线的顶点为(2,-1),y=2x−,4y=,2k|(,2−1=)3|x=2=2,(()"22)www.hackshp.cn1+y1曲率半径ρ=.22.解:""""y=shx,y=chx,y|=,0y|=,1x=0x=0y"k|(1,0)=3|(1,0)=.1(()"22)1+y"2"yt3asintcost3.解:y===−tgt,x"2x−3acostsintt27 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！("")2"yxt−sect1y===,x"24x−3acostsint3asintcostt13asintcos4t12∴k===3()23asintcost3asin2t[1+(−tgt)2]2k|=.t=t0()3asin2t0""4.解:x=atcost,x=a(cost−tsint,)tt""()y=atsint,y=asint+tcost,tt2k|=.πt=πa2"1"15.解:y=,y=−,曲率半径2xx33(()"22()22)1+y1+xρ==,"xy1222"(1+x(2)x−1)ρ=2x"22令ρ=,0得x课后答案网1=,x2=−(舍去).22⎛2ln2⎞所以曲线在点⎜,−⎟曲率半径为最小,最小的曲率半径为⎜22⎟⎝www.hackshp.cn⎠33ρ=.2"x"1y=,y=,231+x(22)1+x"y16.解:k==,33y"222x2+12[1+()(])∴k=.1max28 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2-106、（1）1、函数的定义域为(−∞+∞,)43422、y′=(x−3x+2)=(x+2)(x−1)，由y′=0，得驻点x=−2，x=112551223、y′′=(x−1)，由y′′=0，得驻点x=−1，x=13454、列表讨论如下：课后答案网x(−∞−,2)−2(2,1)−−−1(1,1)−1(1,+∞)y′−www.hackshp.cn0+++0+y′′+++0−0+y凹减极小值凹增拐点凸增拐点凹增36(1,−−)(1,2)575、补充点(0,)，由零点定理及函数单调性不难判断函数在区间(1,0)−和(3,2)−−内5各有一个零点。函数图形：29 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！y_8_6_4_2o_-10_-5_5_10x_-2_-4_-6_-8（2）1、函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞);31(2)x−112、y′=−+8x=，由y′=0，得驻点x=;221x课后答案网x222−3、y′′=+8，由y′′=0，得驻点x=−23;x324、列表讨论如下：−2www.hackshp.cn2−2111x(−∞−,2)3−3(2,0)−30(0,)(,+∞)−2222y′−−−不存在−0+y′′+0−不存在+++y凹减拐点凸减间断凹减极小值凹增23−（−23，0）y_830_6_4_2_-10_-5_5_10_15_-2_-4_-6_- 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！函数图形：（3）1、函数的定义域为(−∞+∞,)22、因lime−(x−1)课后答案网=0，故有水平渐近线y=0。x→∞2−(x−1)3、y′=−2(x−1)e，由y′=0，得驻点x=11222−(x−1)2−(x−1)−(x−1)24、y′′=−2ewww.hackshp.cn+4(x−1)e=2e(2x−4x+1)，由y′′=0，得驻点2+22−2x=，x=13225、列表讨论如下：x2−22−22−212+22+2(1,+∞)(−∞,)(,1)(1,)22222y′+++0−−−y′′+0−−−0+y凹增拐点凸增极凸减拐点凹减31_3_2_1_-4_-2_2_4_6_-1_-2_-3_-4 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！大2−212+21(,)值(,)2e2e1函数图形：（4）课后答案网1、函数的定义域为(−∞+∞,)2、函数是偶函数，它的图形关于y轴对称2x3、y′=，由y′=0，得驻点x=0，21x+1www.hackshp.cn22(1−x)4、y′′=，由y′′=0，得驻点x=−1，x=12223(1+x)5、列表讨论如下：x(−∞−,1)−1(1,0)−0(0,1)1(1,+∞)y′−−−0+++y′′−0+++0−y凸减拐点凹减极小值凸增拐点凹增0(1,ln2)−(1,ln2)32 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！函数图形：y_10_8_6_4_2_-10_-5o_5_10x_-2_-4_-6课后答案网（5）1、函数的定义域为(−∞+∞,)；2、函数是偶函数，它的图形关于www.hackshp.cny轴对称；38a3、由lim=0，所以它由水平渐近线y=0；22x→∞x+a3−16ax4、y′=，由y′=0，得驻点x=0；2221(x+a)2233x−a335、y′′=16a，由y′′=0，得驻点x=−a，x=a；22312(x+a)336、列表讨论如下：x3330333(−∞−,a)−a(−a,0)(0,a)a(a,+∞)33333333 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！y′+++0−−−y′′+0−−−0+y凹增拐点凸增极大值凸减拐点凹减833(−aa,6)(aa,6)33函数图形：（注：图中取a=1）y_8_6_4_2_-10_-5o_5_10x_-2课后答案网-_-6（6）_-81、函数的定义域为www.hackshp.cn(−∞+∞,)；−x2、因limesinx=0，故y=0是水平渐近线。；x→+∞−xπ+3、y′=e(cosx−sin)x，由y′=0，得驻点x=kπ+，k∈Z；4−xπ+4、y′′=−2ecosx，由y′′=0，得驻点x=kπ+，k∈Z；2+5、补充点(kπ,0)k∈Z；函数图形：34 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！y_1.4_1.2_1_0.8_0.6_0.4_0.2o_0.5_1_1.5_2_2.5_3_3.5_4x_-0.2_-0.4_-0.6_-0.8_-1_-1.2_-1.4课后答案网www.hackshp.cn35'