一元函数微积分 (魏贵民 胡灿 著) 高等教育出版社 课后答案《一元函数微积分》习题解答3-7到3-9 6页

'课后答案网您最真诚的朋友www.hackshp.cn网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：www.hackshp.cn视频教程网：www.efanjy.comPPT课件网：www.ppthouse.com 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！习题3-73-3-77121y⎛yy⎞31、解：（1）如图（1）A=∫0(e+1−y−e)dy=⎜⎜ey+y−−e⎟⎟=;⎝2⎠20111x−xx−x（2）如图（2）A=∫(e−e)dx=(e+e=e+)−2；00elnblnbyy（3）如图（3）A=∫(e−)0dy=e=b−a；lnalna1223122⎛2x⎞⎛2x⎞7（4）如图（4）A=∫02(x−x)dx+∫12(x−x)dx=⎜⎜x−⎟⎟+⎜⎜x−⎟⎟=。⎝2⎠0⎝3⎠16图(1)图(2)图(3)图(4)π122221π22、解：（1）如图（5）A=2⋅∫4acosθdθ=4a=πa2022（2）如图（6），由对称性ππ033224222462⎛31π531π⎞3π2A=4∫πasintd(acost)=12a∫0sintcostdt=12a∫0(sint−sint)dt=12a⎜−⎟=a2⎝4226422⎠8课后答案网1π222π1+cos2θ2（3）如图（7），由对称性A=2∫4a2(+cosθ)dθ=4a∫4(+4cosθ+)dθ=18πa2002www.hackshp.cn图（5）图（6）图（7）图（8）图（9）3、解：如图（8）因为y′=−2x+4⇒k=,4k=−2，所以切线方程为y=4x−,3y=−2x+6，切线的交点坐标12333323⎛3⎞2232x⎛2x⎞9为⎜3,⎟，故A=∫04(x−3+x−4x+)3dx+∫3(−2x+6+x−4x+)3dx=+⎜⎜−3x+9x+⎟⎟=。⎝2⎠230⎝3⎠342a+1314、解：如图（9）f(a)=∫(x−lnx)dx=a−(a+)1ln(a+)1+alna+，令f′(a)=0，得唯一驻点a=，a2e−111由条件得，当a=时，面积最小。(另解f′(a)=a+1−ln(a+)1−a+lna=0⇒驻点a=,这样可以不必e−1e−11 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！求出f(a)的表达式)习题3-83-3-88π2π⎛1−cos2x⎞π1、解：V=π∫1(+sinx)dx=π∫⎜1+2sinx+⎟dx=8(+3π)00⎝2⎠21462π2、解：V=π∫(x−x)dx=；03510103−6−33、解：W=ρV=8.7×10⋅π[∫10ydy−∫10(y−)1dy]×10=741π×10kg01122214121513π4、解：（1）V=π∫0((y−)(y))dy=π∫0(y−ydy)=π[y−y]0=251022（2）由198页例3的结论得V=2×5×π×π×4=160π5、解：以下底中心为原点，截锥体中心线为x轴建立坐标系（如右图）。在x轴上坐标为x的点处作垂直于x轴的截A−aB−b面，该截面A(x)为一椭圆，由三角形相似原理易得长半轴为A−x，短半轴为B−x，因而截面积为hh⎛A−a⎞⎛B−b⎞A(x)=π⎜A−x⎟⎜B−x⎟。所以截锥体的体积为ha⎝h⎠⎝h⎠hh⎛A−a⎞⎛B−b⎞1V=∫A(x)dx=π∫⎜A−x⎟⎜B−x⎟dx=πh(2[ab+AB)+aB+bA]00⎝h⎠⎝h⎠66、解：建立如图的坐标系，设过点x且垂直于x轴的截面积为A(x)。已知此截面为oA等边三角形，由于底面是半径为R的圆，所以相应于点x的截面的底边长为222222R4332R−x，高为3R−x。因而A(x)=(3R−x)⇒V=2∫(3R−x)dx=R。课后答案网03881+x2t=1+x23t21t−131327、解：因为y′=/1x，所以s=1+(y′)dx=dxdt=1+ln=1+ln。∫3∫3x=∫2t2−12t+122221x3⎛1x⎞13⎛1⎞48、解：因为y′=−，所以www.hackshp.cns=∫1+⎜⎜−⎟⎟dx=∫⎜x+⎟dx=23−2x21⎝2x2⎠21⎝x⎠32kππ−2kππ+9、解：因为函数y=cosx的定义域为[,],k∈Z，且是以π为周期的周期函数，又积分上限函数22xπ⎡ππ⎤y=∫−πcosxdx的积分下限为−，故函数y的定义区间为x∈⎢−,⎥22⎣22⎦2x又y′=cosx⇒1+(y′)=1+cosx=2cos，故有2ππxx2⎛π⎛π⎞⎞s=22cosdx=22sin=22⎜sin−sin⎜−⎟⎟=4。∫π⎜⎟−22−π⎝4⎝4⎠⎠22ππ10、解：由参数方程的弧长公式s=423[acos2t⋅(−sint)]2+3[asin2t⋅cost]2dt=12a2sintcostdt=6a。∫0∫02 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！2π22aπ11、解：由参数方程的弧长公式s=∫(atcost)+(atsint)dt=。022ϕaθ2aθ22ϕaθ1+aaϕ12、解：由极坐标的弧长公式得s=∫(e)+(ae)dθ=1+a∫edθ=(e−)1。00a4224243⎛⎞1⎛1⎞31+θ32⎛⎞113、解：由极坐标的弧长公式得s=⎜⎟+−⎜⎟dθ=dθ=−1+θd⎜⎟∫32∫32∫34⎝⎠θ⎝θ⎠4θ4⎝⎠θ4⎡+2⎤31θ253=−⎢−ln(θ+1+θ)⎥=+ln⎢⎣θ⎥⎦31224ππθ2"214、解：由极坐标的弧长公式得s=2∫([(1cos)]a+θ+[(1cos)]a+θ)dθ=2∫2cosadθ=8a0022211t111⎛⎞⎛⎞215、解：由参数方程的弧长公式s=⎜⎟+⎜⎟dt=dt=ln(t+1+t)=ln(1+2)∫0⎝1+t2⎠⎝1+t2⎠∫01+t203-9习题221、解：由条件知K=pV为常数，故K=pV=10100(⋅⋅π⋅0.10.8)⋅=800π，2K800π800π设高度减少x米时压强为pxNm()/，则px()==，压力为F=pxS()=V(0.8−xS)0.8−x800π40800π故功的微元dW=dx，因此W=∫dx=800(ln2)1742()π≈J80−x080−x33224⎛x⎞2、解：因为x=ct，所以速度课后答案网v=x′(t)=3ct，阻力f=−kv=−9kct(k>)0，又t=⎜⎟，所以⎝c⎠424242⎛x⎞3f(x)=−9kc⎟=−9kc3x3，因此功的微元dW=f(x)dx=−9kc3x3dx，从而所求之功⎜⎝c⎠W=∫a−f(x)dx=∫a9kc23x43dx=www.hackshp.cn27kc23a73。oy00722xy3、解：建立如图（1）坐标系，则椭圆的方程为+=1x图（1）2⎛3⎞1⎜⎟⎝4⎠⎡⎛3⎞⎤而压力微元dP=⎢⎜+x⎟⋅1⎥⋅2y(x)dxoB)5,0(y⎣⎝4⎠⎦224⎛3⎞28⎛3⎞⎛3⎞2又y(x)=⎜⎟−x⇒dP=⎜+x⎟⎜⎟−xdx20A(20)3,图（2）3⎝4⎠3⎝4⎠⎝4⎠3 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！323232P=48⎛3+x⎞⎛3⎞⎟−x2dx=24⎛3⎞⎟−x2dx+84x⎛3⎞⎟−x2dx∫−3⎜⎟⎜∫−3⎜∫−3⎜因此43⎝4⎠⎝4⎠4⎝4⎠34⎝4⎠21⎛3⎞99=2⋅⋅π⎜⎟+0=π=πg≈17(3.kN)2⎝4⎠1616注：第一个积分的计算用了定积分的几何意义即“上半圆的面积”，第二个定积分用了“奇函数”的积分性质。x⎛x⎞4、解：建立如图（2）的直角坐标系，直线AB的方程为y=−+5，压力微元dP=1⋅x⋅2y(x)dx=2x⎜−+5⎟dx10⎝10⎠压力20⎛x⎞o3yP=∫2x⎜−+5⎟dx=1467(t)=1467⋅g=14388(kN)0⎝10⎠25、解：建立如图（3）的直角坐标系，功的微元dW=g⋅x⋅π⋅3dx，所以5m59W=9πg∫xdx=πg⋅25=3461.85x图（3）0226、解：建立如图（4）的直角坐标，腰AC的方程为y=x，压力微元(−)0,33m3⎛2⎞4dP=g(x+)3⎜2⋅x⎟dx=gx(x+)3dxoA(0,0)y⎝3⎠364故压力P=∫gx(x+)3dx=.165(N)。BC(6,4)图(4)03x7、解：下长边位于水深为h+bsinα，取[h,h+bsinα]内的小区间[x,x+dx]，压强p=ρgx，细条的面积为dxρgxh+bsinαρgabρgds=a⇒压力微元dP=pds=dx，故压力P=∫xdx=2(h+bsinα)。sinα课后答案网sinαhsinα28、解：以细棒的一端为原点，细棒为x轴建立直角坐标系如图（5）所示，区间微元[x,x+dx]对质点M的引力为mρdxmρdxxdF=G，它在x轴和y轴上的分量分别为dF=dF⋅sinα=G⋅y22x2222a+xa+xa+xdFy=−dF⋅cosα=−Gam2ρ+dxx2⋅www.hackshp.cn2a2，aα图（5）a+xlGmρx⎛11⎞lGmρaGmρl故F=dx=Gmρ⎜−⎟，F=−dx=−oxlxx∫03⎜22⎟y∫0322(a2+x2)2⎝aa+l⎠(a2+x2)2aa+lmρdsGmρGmρ9、解：建立坐标系如图（6），圆弧形细棒上一小段ds对质点M的引力dF=G=(Rdθ)=dθ，22RRRϕGρmGmρ2Gmρϕ在x轴上的分量为dF=−dFcosθ=−cosθdθ,故F=−2cosθdθ=−sin，xx∫−ϕRRR222Gmρϕ由对称性得F=0，故引力的大小为sin，方向自M点起指向圆弧中心。yR24 课后答案网：www.hackshp.cn若侵犯了您的版权利益，敬请来信告知！图（6）课后答案网www.hackshp.cn5'