易腐品生产运输协调决策模型.pdf 14页

'中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn#易腐品生产运输协调决策模型**李清瀑，刘雅（西安交通大学管理学院，西安710049）5摘要：供应链背景下，易腐品的生产运输协调决策具有非常重要的现实意义，也是近几年研究的热点问题。本文在前人研究的基础上，通过引入安全库存和系统总库存的概念，发展了易腐品生产运输协调决策模型；并证明了最佳运输批量序列一定是单调不减的及第一次补货时一定要清空库存；进而证明了最佳运输批量序列的具体形式并提出了一种运输策略。本文10的目标是在新的运输策略下最大化单一生产商单一零售商供应链系统的利润，找到最佳运输批量、最佳生产时间以及运输次数。最后，本文进行了算例分析，用来验证本文提出的模型。关键词：易腐品；生产运输协调模型；最佳运输批量Aｎintegratedproduction-distributionmodelfor15deterioratingitemsLIQingpu,LIUYa(ManagementSchool,Xi"anjiaotongUniversity,Xi"an710049)Abstract:Theintegratedproduction-distributiondecisionshaveveryimportantpracticalsignificanceunderthebackgroundofsupplychain,isalsoahotissueforresearchersinrecentyears.Thisarticle,on20thebasisofpreviousstudies,byintroducingtheconceptofsystemsafetystockandsysteminventory,developsanintegratedproduction-distributionmodel;andprovethatthestructureoftheoptimalsequenceofshipmentsmustbemonotonenondecreasingandvendormustsendallinventoryoutatfirstreplenishmentpoint;thenproposesanewtransportstrategy.Theobjectiveofthisarticleismaximizethesupplychainprofitandtofindtheoptimalsequenceofshipments,theoptimalproductiontimeand25theoptimalnumbersofdeliveryinintegratedproduction-diAnoptimalpolicyforaintegratedproduction-distributionmodelfordeterioratingitemsstributionmodelunderthenewtransportstrategyweputforward.Numericalexamplesareprovidedtoillustratetheproposedmodel.Keywords:Deterioration;integratedproduction-distributionmodel;optimalsequenceofshipments300引言供应链上生产商和零售商的合作可使得两者成本降低，提高企业利润并使消费者得到更[1]高的满意度。生产运输协调决策模型就是实现这一目标的重要手段，但是常规的生产运[2]输协调模型往往不适于解决诸如海鲜、蔬菜、牛奶等物品的生产与运输问题。Wee(1993)35将上述物品归为易腐品并给出易腐品定义，即指容易腐败、退化、变质、挥发的商品。易腐[3]品广泛地存在于日常生活中，且数量或质量受到运输与生产决策的极大影响，此外易腐品的生产和运输涉及供应链各方利益，需要供应链各方协调制定生产和运输计划，以降低成本，[4]提高顾客满意度。因此在易腐品供应链系统中进行生产运输协调决策就显得极其重要，具有重要的现实意义。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20130201120027）作者简介：李清瀑（1993.02－），男，西安交通大学管理学院硕士研究生，主要研究方向：供应链管理通信联系人：刘雅，女，副教授，主要研究方向：供应链管理.E-mail:ya.liu@mail.xjtu.edu.cn-1- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn401文献综述Yang和Wee(2000)首先提出了易腐品生产运输协调决策模型，并提出了寻找最佳生产批量和运输批量的算法[5-6]。通过算例验证，表明协调决策对于降低易腐品二级供应链系统成本是有显著作用的。Yang和Wee(2000)的供应链系统包括一个生产商一个零售商，当生产商和零售商库存都为零时，生产周期开始，生产商按固定生产率生产产品一段时间后，停45止生产直到生产周期结束；期间生产商按批次向零售商补货，保证零售商不会发生缺货；而当生产商和零售商库存均为零时，生产周期结束。Yang和Wee(2003)扩展了原先的模型，将零售商数量推广到多个；Law和Wee(2006)[7]在Yang和Wee(2000)模型基础上研究了允许延期支付的协调决策模型；Maw和Tsai(2010)[8]在Yang和Wee(2000)模型的生产商部分引入学习曲线，将生产率变成一个关于时间的函数，使模型更符合实际情况，在求解算法方50面依然沿用Yang和Wee(2000)的算法；Banerjee和Yan(2011)[9]首次将安全库存引入易腐品生产与运输协调决策模型，从而解决了零售商在生产周期开始阶段的缺货问题，但是该模型并没有将安全库存作为决策变量而是设为了一个常量，这显然是不符合实际的，因为在实际生产过程中，生产商可以决定自己的安全库存；Suughee和Daeki(2014)[10]在Yang和Wee模型的基础上同时考虑了易腐品和残次品，实质上是将零售商部分的模型变复杂了，但问题55的本质没有变化。在求解算法方面也是沿用的Yang和Wee(2000)的算法。Ghiami和Williams(2015)[11]在Yang和Wee模型的基础上考虑了一个生产商和多个零售商的情况，但是零售商的订货请求是依次进行的，其问题依然可以转化为一个生产商一个零售商的易腐品生产与运输协调决策的问题。上述文献提出的生产运输协调决策模型有以下几点缺陷;60除了Banerjee和Yan(2011)的模型，上述文献提出的生产运输协调决策模型都假定生产商、零售商库存同时为0时，生产周期开始。由于生产商的生产率是一个有限值且零售商的需求是连续的，所以必然导致零售商在生产周期开始时，会出现缺货的情况；上述研究都没有明确地区分生产商库存和系统库存的区别。系统库存等于生产商加零售商库存，其曲线是光滑连续的；而生产商库存曲线不是光滑的，因为每当生产商给零售商补65货时，生产商库存会瞬间下降。Tsai(2010)直接用系统库存替代了生产商库存；而其他模型则使用了系统库存却没有说明系统库存和生产商库存之间的关系；上述研究在运输批量问题上默认零售商采取相等策略，即生产商每次发货的数量是相等的。在只考虑零售商成本的情况下，相等策略显然是最优的，但是在二级供应链协调决策上却不一定成立。Hill(1999)[12]研究了一般商品的生产运输协调决策模型，并证明了在协调决70策条件下，相等策略并不是最优的，最优策略为先增加后相等这种运输策略。为了弥补以往研究的不足，本文介绍了总库存和安全库存的概念。首先总库存等于零售商库存加生产商库存。总库存将生产商和零售商联系在一起，解决了生产商库存变化不连续的难题。生产商库存变化确实不连续，但是总库存是连续变化的，而生产商库存等于总库存-2- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn减零售商库存，进而对生产商库存的分析就转化为对总库存的分析。安全库存可以有效地解75决缺货问题。最后，在单个生产商和单个零售商组成的二级供应链系统下，本文通过建立易腐品的生产运输协调决策模型，在Hill(1999)研究的基础上证明了生产商最佳运输批量应该满足的性质，并在该性质下，提出了一种先增后等的运输策略，并与之前普遍采取的相等策略进行了比较，进而求得了在该策略下使生产商和零售商总成本最低的生产批量和运输批量。802问题描述2.1问题描述我们考虑的易腐品供应链系统由一个生产商和一个零售商构成。首先我们将总库存定义为生产商库存和零售商的库存总和，然后假定当生产商库存降为0且零售商库存降至安全库存（本文用x表示）时，生产周期开始，重新到达该状态时，生产周期结束。在生产周期内，85生产商以固定的速率进行生产直到库存达到最高水平，这段时期称为生产阶段；随后生产商停止生产直到该生产周期结束，这段时期称为非生产阶段。在生产周期内，假定零售商的需求率是固定的且运输时间为0，生产商按批次给零售商补货；每当零售商库存降为0，生产商立即向零售商补货从而避免了零售商缺货。本文讨论了两种运输策略：一种是相等策略(EP),一种是先增后等策略(IEP).本文的目的是找到最佳的生产时间T1，安全库存x，使得总90费用最小。总库存的变动过程详见图1，两种运输策略下零售商库存。生产商库存具体变动过程如图2、图3所示：2.2基本假设（1）生产商的生产率和市场需求率恒定，生产率大于需求率；（2）不允许缺货，且不考虑订货提前期，运输时间为0；95（3）产品进入仓库后开始变质，生产商和销售商的变质率相同，都为常数；（4）变质产品不能被替换和修复；（5）只考虑一个生产周期2.3符号表示p:生产商的生产率，为固定常数100d:零售商的需求率，为固定常数x:安全库存水平n:一个生产周期内的发货次数:固定折损率，为固定常数D:一个生产周期内的折损总量105T1:生产阶段的长度T2:非生产阶段的长度T:生产周期-3- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnti:第i次补货和第(i+1)次补货时间间隔长度tx:第一次补货点110I1t:在t时刻的总库存水平，0tT1It2:在t时刻的总库存水平，0tT2Ib()t:在t时刻的零售商库存水平，0ttiIv()t：在t时刻的生产商库存水平D:一个生产周期内的总折损量115C:生产商的启动成本sC:零售商单次的运输成本oH:生产商单位时间单位数量的库存持有成本vH:零售商单位时间单位数量的库存持有成本bC:生产商的单位折损成本dv120C:零售商的单位折损成本dbTC:生产商的单位时间总成本vTC:零售商的单位时间总成本bJTC:系统单位时间总成本3模型构建125本部分主要有六小节，2.1主要分析了生产周期T和安全库存x的关系；2.2，2.3，2.4分别分析了零售商成本，生产商成本以及系统总成本，并在2.5节建立了一个初始模型；2.6证明了最佳运输批量应该满足的性质。3.1系统库存系统总库存水平变化如图3所示，在时刻t的库存水平可以由下面的方程表示：dIt1130pdIt110tT（1）dtdIt2dIt220tT（2）dtI10IT22x（3）IT11I20（4）对上式联立求解得：ttpd135It11xee10tT（5）ItxeT22tdeTt10tT（6）221pTTeln111（7）xd在生产周期T确定的情况下，因为运输过程中假定没有折损，系统库存的总折损量就等于生产量减去需求量，故:-4- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn140DpTdT（8）13.2零售商总成本零售商的总成本由订单成本、运输成本、库存持有成本和折损成本构成。我们假定运输成本只有固定成本，故可以将订单成本加入到运输成本。在一个生产周期内，零售商的订nnCoti购次数为，故零售商在一个生产周期内的运输成本为。在任意内，零售商的库存变145化可以用微分方程(9)表示：dItbdItbi0tt,1in（9）dtItbi01in（10）联立求解得：dtti150Itbie10tt,1in（11）对于第i次补货，零售商库存在t=0时取得最大值。由于第i次补货与第i+1次补货的时间间隔为ti,在这段时间内，零售商正常消耗的库存为d*ti;于是在第i次补货与第i+1次补货之间零售商的折损量可以表示成下面的形式：dtI(0)dt*(ei1)dt*,0tt,1in（12）biii155零售商的折损损失为：ndtCei1*dTdbi1故零售商的库存持有成本为：dnnddT*Hetib22i1故零售商的单位时间总成本为：n1601Hbdti（13）TCbnCOCdbe1*dTTi13.3生产商总成本生产商的总成本由启动成本、库存持有成本和折损成本构成。对于生产商来说，单位时间库存水平等于单位时间总库存水平减去单位时间零售商库存水平；单位时间折损数量等于单位时间总折损数量减去单位时间零售商折损数量。故生产商的库存持有成本为：pTdn165He1ti1v2i1生产商的折损损失为：dnCpTeti1dv1i1故生产商的单位时间总成本为：1HdnTCCvCpTeti1（14）vsdv1Ti1-5- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn1703.4系统总成本系统总成本等于零售商总成本加生产商总成本。令HvHHbvHbaCnCbCdvcCdbCdvfdCdbnso,,,系统总成本可以表示为：nJTCanbpT1cdeti1f（15）TTTi11753.5初始模型本文研究的问题可以用如下模型表示：minJTCsubjectto:n180tTi（16）i1pxdet11（17）xdii11dItteti1ifttT11xjxj（18）jj11ii11dIttTeti1ifttT2xj1xj1jj11该模型的决策变量有安全库存x，一个生产周期内的发货次数n以及第i次补货和第(i+1)次补货时间间隔长度ti。目标函数表达该模型的目的是求最小的单位总成本。约束条件(17)185表明了ti和T的关系；约束条件(18)、(19)表明了每当零售商库存降为0时，生产商总有足够的库存以满足零售商下一批次的需求。3.6最佳运输批量序列的性质在本小节，我们将给出几个最佳运输序列性质及其证明。由于在本模型中运输批量和订货批次的时间间隔长度是一一对应的，所以在对性质的说明和证明中都是使用的订货批次的190时间间隔长度。性质1给定xTn,,条件下，我们将零售商最佳运输批量序列定义为1***Ltt12,,,tn，那么L可以排列成单调不减的。**证明首先假设L不是单调不减的，那么一定存在一个最大的ti和最小的tj使得**195tijtij成立。我们重新构造一个序列L"t1,,,titj,,tn,令-6- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn***titj,tjti,tktkkij,我们将证明L’也是最佳运输批量序列。由于xTn,,1是给定的，那么生产周期的长度T也是确定的。根据(3-17)，我们发现在给定xTn,,1条件下，系统单位时间总成本的大小n只与eti1有关；进而可以发现系统单位时间总成本大小只与ti的取值有关而与ti的i1200排列顺序无关；因此对于L和L’来说，目标函数值没有发生变化。接下来我们会证明L’满足模型的约束条件。InventorylevelLti*t*jt0*TaTbTbL’titjtTaTbTb*图4在L和L’中零售商补货点及库存变化当运输批量序列为L时，零售商第i次和第j次的补货时刻表示如下：i1j1****205Titxtk,Tjtxtkkk11当运输批量序列为L’时，零售商第i次和第j次的补货时刻表示如下：i1j1Titxtk,Tjtxtkkk11显然我们可以得到以下关系：**TiTi,TjTj*210所以在图4中，只标注了Ti而没有标注Ti。当运输批量序列为L时，我们根据(9)可**以求出零售商在Ti时刻和Tj时刻的补货量：**ddt***t*qTei1,qTej1ij当运输批量序列为L’时，我们依然可以根据(3-9)求出零售商在Ti时刻和Tj时刻的补货量：ddtitj215qTije1,qTe1**因为tt，所以ij******qTiqTj,,qTiqTjqTiqTi要证明L’满足模型的约束条件，就需要证明每当零售商发出订货请求时，生产商有足够的库存满足零售商的需求（因为L’和L只是排列顺序发生了变化，所以生产周期长度等220于n个补货周期长度这个约束是一定满足的）。由于我们假定L是零售商的最佳运输批量-7- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn序列，那么L一定是满足约束条件的。在Ti时刻前，L和L’序列完全相同，所以下式一定成立：****ITviITviqTiqTi所以在Ti时刻L’是满足约束条件的。在Tj时刻，我们需要考虑TTj1和TTj1两225种情况。a.TTj1我们令y等于Ti时刻的系统总库存，令z等于在区间TTij,的折损总量；因为调整运输批量序列的顺序并没有改变系统总库存的变动曲线，所以两者在区间TT,的折损ij总量是相同的，都可以由下式表示：1T11TjTzItdt12ItdtTi0230pdxdTT21TTjpdxTiT1TiTjTi22eeee然后我们可以得到如下两个等式：ITvjypT1TidTjTiz*****ITvjypT1TidTjTizqTiqTj第一个式子表示的是当运输批量序列为L’时，在Tj时刻生产商的库存水平。在Tj时235刻零售商发出了补货请求，表明此时零售商库存为0，在Tj时刻生产商库存水平等于系统总库存水平；那么在Tj时刻系统总库存水平就等于Ti时刻的系统总库存加上在区间TT,内生产的产品数量减去在区间TT,内正常消耗和折损的产品数量，即第一个ijij式子。第二个式子表示的是当运输批量序列为L时，在Tj时刻生产商的库存水平。对于LT****来说，在j时刻零售商持有库存的数量为qTijqT；所以要在第一个式子的基础上****240减掉qTqT。ij*****因为qTqT,qTqT，所以ITITqTqT。ijjivjvjjiTTT时刻后就停止生产，所以*****又因为j1且生产商在1ITvjITvjqTjqTi，于是ITvjqTj；这就表明，当运输批量序列为L’是，在Tj时刻，生产商有足够的库存用以满足零售商的订货需求。245b.TTj1在TTj1情况下，对于L’和L来说，Tj时刻的生产商库存可以由以下两个式子表示：-8- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnITvjypTjTidTjTiz*****ITvjypTjTidTjTizqTiqTj*TT我们依然可以得到ITvjITvjqTjqTi。因为j1，所以在区间250TT,上，系统总库存水平是单调递增的，于是我们可以得到：ij****ITvjITviITviqTiqTj这就表明，当运输批量序列为L’是，在Tj时刻，生产商有足够的库存用以满足零售商的订货需求。综合上述两种情况，调整后的运输批量序列在在Tj时刻满足模型的约束条件；在区间255TT,上，证明过程类似，不再赘述。所以调整后的运输批量序列也是最佳运输批量序ij**列，那么在这个基础上继续寻找符合条件的ti和tj进行调整直到运输批量序列为单调不减的。故性质1得证。260性质2给定xTn,,条件下，对于零售商的最佳运输批量序列，方程(19)一定成1立：pxdte11（19）xd证明方程(19)表明在一个生产周期内，在第一次补货点上，生产商会将当前所有库存配送给零售商。下面我们将采用反证法证明该性质。假设零售商的最佳运输批量序列不265满足方程(4-24),那么一定满足下面的不等式：pxdte110xd我们将分两种情形进行讨论：a.所有的tii1,2,n都相等*px*dt我们必定可以找到一个xxtx*tx，使e11成立。因为所有的ti都xd*dt270相等，所以零售商每次的运输批量都为e11；又因为：*pxdtIt()*e111x*xd而且I是单调递增的，所以在生产阶段，调整后的序列是满足约束条件的。1根据I是单调递减函数，我们可以得到下式：2-9- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnii11dtiIt2(xx*tjjT1)It2(tT1)e1jj11275所以在非生产阶段，调整后的序列是满足约束条件的。显然我们可以通过降低T1使上式恰好满足。根据目标函数易知此时总成本降低了，并且满足约束条件；进而表明假设中的零售商的最佳运输批量序列并不是最优的，进而推翻原假设；表明在ti全相等的情形下，最佳运输批量序列一定满足方程(4-24)。b.所有的ti1,2,n不全相等i280根据零售商的最佳运输批量序列是单调不减的这个性质，一定存在一个t使得：itit1tt0ttm这里一定存在一个正实数mm，我们令t1增加至1，ti减少至tmi且2令下式成立：pxdetm11xd285上式可以成立是因为m可以是任意小的正实数。我们令调整后的运输批量序列为L""。原序列的目标函数值与调整后的目标函数值的差可以表示成下式：ett11etietm1etmiietmeem10显然调整后的运输批量序列要优于原序列；接下来我们证明调整后的序列满足模型的约i1290束条件。如果txjtmT1，表明对于L""，零售商第i次补货发生在生产阶段。因为j1I是单调递增的，所以：1jjIt11xtkmItxtk,1ji1kk11i1i1显然在txjtmT1情况下，L""是满足约束条件的。如果txjtmT1，补j1j1货发生在生产阶段的证明与上述类似。补货发生在非生产阶段，此时已经停止生产，那么库295存水平的变化只与需求和折损有关；因为原序列是满足约束条件，那么在需求不变，折损减少的情况下，调整后的序列一定满足约束条件。所以调整后的序列满足模型的约束条件。综上所述，零售商的最佳运输批量序列一定满足方程方程(19)。性质3给定T1和n，最佳运输批量运输序列一定满足下式：t1t2tjtj1tn,j2,,n-10- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn300证明：根据性质2，我们可以用方程(19)替换掉约束条件(17)。在给定n和T1的情况下，将约束条件(19-20)代入目标函数，利用拉格朗日条件极值法求解，并将解代入剩余约束条件，验证是否是可行解。具体过程如下：pxdnt1(20)GJTC12e1tiTxdi1对（20）求关于ti的一阶偏导数：305Gt（21）de1012t1Gcdt（22）ei02in2tTi由（22）易知，在不考虑后n-1个约束条件的情况下，最优解一定满足：tt....tt23nn1然后我们检查上式求出的t是否满足约束条件。如果满足，那么tt3,,n一定满足约束2310条件，性质3得证；如果不满足，则令j2并且在第j次补货点上生产商将所有库存发送给零售商，即：p1ettjj1d*e1(24)然后将方程(24)引入模型，重新利用拉格朗日条件极值法进行求解，然后检验是否满足约束条件。如果tj不满足约束条件，我们将j加1，重复上述步骤直到找到满足约束条件的315j。通过上述步骤，我们可以得到最佳运输批量序列一定满足下列形式：t1t2tjtj1tn,j2,,n故性质3得证。4求解过程320根据性质2，我们用方程(20)代替约束条件(18)。根据性质3，最佳运输批量序列是先增后等的。于是我们提出一个全新的运输策略，定义为先增后等策略(Increasingsizefollowedbyequal-size),具体形式如下：t1t2tjtj1tn,j2,,n并将其与相等策略(equal-size)进行比较。两种运输策略下的数学模型如下：325相等策略minJTC(25)-11- 中国科技论文在线http://www.paper.edu.cnsubjectto:pxdet11(26)xdnt1ln1peT11(27)1xd330先增后等策略minJTCsubjectto:pxdet11(28)xdp1ettjj1d*e1,j2,,n(29)j1335tnj1t1ln1peT11(30)iji1xd因为相等策略是先增后等策略的一种情况，所以这里只介绍在先增后等运输策略下的求解算法:Step1:令j等于1;Step2:令n等于1；jj340Step3:求解（25），得到x和JTC最小值，分别记为x(n)，JTC(n)；Step4:令n加1；jjjjStep5:重复步骤3和步骤4，直到条件JTC(n)