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  • 2022-04-22 11:30:54 发布

《数字信号处理》第三版高西全版课后习题答案.doc

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'数字信号处理课后答案高西全、丁美玉版1.2教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。解:2.给定信号:(1)画出序列的波形,标上各序列的值;(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列;(3)令,试画出波形;(4)令,试画出波形;(5)令,试画出波形。解:(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。(2)(3)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。44 (4)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。(5)画时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,波形如题2解图(四)所示。3.判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。(1),A是常数;(2)。解:(1),这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14;(2),这是无理数,因此是非周期序列。5.设系统分别用下面的差分方程描述,与分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。(1);(3),为整常数;(5);(7)。解:(1)令:输入为,输出为故该系统是时不变系统。44 故该系统是线性系统。(3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。令输入为,输出为,因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。(5)令:输入为,输出为,因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。(7)令:输入为,输出为,因为44 故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。6.给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1);(3);(5)。解:(1)只要,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果,则,因此系统是稳定系统。(3)如果,,因此系统是稳定的。系统是非因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果,则,因此系统是稳定的。7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示,要求画出输出输出的波形。解:解法(1):采用图解法44 图解法的过程如题7解图所示。解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:因为所以将x(n)的表达式代入上式,得到8.设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况,分别求出输出。(1);(2);(3)。解:(1)先确定求和域,由和确定对于m的非零区间如下:根据非零区间,将n分成四种情况求解:44 ①②③④最后结果为y(n)的波形如题8解图(一)所示。(2)y(n)的波形如题8解图(二)所示.(3)y(n)对于m的非零区间为。①②③最后写成统一表达式:44 11.设系统由下面差分方程描述:;设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。解:令:归纳起来,结果为12.有一连续信号式中,(1)求出的周期。(2)用采样间隔对进行采样,试写出采样信号的表达式。(3)画出对应的时域离散信号(序列)的波形,并求出的周期。————第二章————教材第二章习题解答44 1.设和分别是和的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换:(1);(2);(3);(4)。解:(1)令,则(2)(3)令,则(4)证明:令k=n-m,则44 2.已知求的傅里叶反变换。解:3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列,试证明输入的稳态响应为。解:假设输入信号,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。上式中是w的偶函数,相位函数是w的奇函数,44 4.设将以4为周期进行周期延拓,形成周期序列,画出和的波形,求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解:画出x(n)和的波形如题4解图所示。,以4为周期,或者,以4为周期5.设如图所示的序列的FT用表示,不直接求出,完成下列运算:(1);(2);44 (5)解:(1)(2)(5)6.试求如下序列的傅里叶变换:(2);(3)解:(2)(3)7.设:(1)是实偶函数,(2)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,的傅里叶变换性质。解:令44 (1)x(n)是实、偶函数,两边取共轭,得到因此上式说明x(n)是实序列,具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么因此该式说明是实函数,且是w的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换是实、偶函数。(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出,由于x(n)是实序列,具有共轭对称性质,即由于x(n)是奇函数,上式中是奇函数,那么因此44 这说明是纯虚数,且是w的奇函数。10.若序列是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:求序列及其傅里叶变换。解:12.设系统的单位取样响应,输入序列为,完成下面各题:(1)求出系统输出序列;(2)分别求出、和的傅里叶变换。解:(1)(2)44 13.已知,式中,以采样频率对进行采样,得到采样信号和时域离散信号,试完成下面各题:(1)写出的傅里叶变换表示式;(2)写出和的表达式;(3)分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。解:(1)上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数函数,它的傅里叶变换可以表示成:(2)(3)44 式中式中上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。14.求以下序列的Z变换及收敛域:(2);(3);(6)解:(2)(3)(6)44 16.已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。解:有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:三种收敛域对应三种不同的原序列。(1)当收敛域时,令,因为c内无极点,x(n)=0;,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有,那么(2)当收敛域时,,C内有极点0.5;44 ,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外极点只有一个,即2,最后得到(3)当收敛域时,,C内有极点0.5,2;n<0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此x(n)=0。或者这样分析,C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外无极点,所以x(n)=0。最后得到17.已知,分别求:(1)的Z变换;(2)的Z变换;(3)的z变换。解:(1)(2)44 (3)18.已知,分别求:(1)收敛域对应的原序列;(2)收敛域对应的原序列。解:(1)当收敛域时,,内有极点0.5,,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,,最后得到(2(当收敛域时,c内有极点0.5,2,44 c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此,最后得到25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为,试:(1)用卷积法求网络输出;(2)用ZT法求网络输出。解:(1)用卷积法求,,,,最后得到(2)用ZT法求令,c内有极点44 因为系统是因果系统,,,最后得到28.若序列是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:求序列及其傅里叶变换。解:求上式IZT,得到序列的共轭对称序列。因为是因果序列,必定是双边序列,收敛域取:。时,c内有极点,n=0时,c内有极点,0,所以44 又因为所以3.2教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为(2);(4);(6);(8);(10)。解:(2)44 (4)(6)(8)解法1直接计算解法2由DFT的共轭对称性求解因为所以即44 结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(10)解法1上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解X(k)。因为所以等式两边进行DFT得到故当时,可直接计算得出X(0)这样,X(k)可写成如下形式:解法2时,44 时,所以,即2.已知下列,求(1);(2)解:(1)=44 (2)3.长度为N=10的两个有限长序列作图表示、和。解:、和分别如题3解图(a)、(b)、(c)所示。14.两个有限长序列和的零值区间为:对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上,为什么?解:44 如前所示,记,而。长度为27,长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上,才满足所以15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率,信号最高频率为1kHZ,试确定以下各参数:(1)最小记录时间;(2)最大取样间隔;(3)最少采样点数;(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。解:(1)已知(2)(3)(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变,应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)18.我们希望利用44 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点),但相邻两段必须重叠V个点,然后计算各段与的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列,m表示第m段计算输出。最后,从中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出。(1)求V;(2)求B;(3)确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。解:为了便于叙述,规定循环卷积的输出序列的序列标号为0,1,2,…,127。先以与各段输入的线性卷积考虑,中,第0点到48点(共49个点)不正确,不能作为滤波输出,第49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列的一段,即B=51。所以,为了去除前面49个不正确点,取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的,必须重叠100-51=49个点,即V=49。下面说明,对128点的循环卷积,上述结果也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=14944 所以从n=20到127区域,,当然,第49点到第99点二者亦相等,所以,所取出的第51点为从第49到99点的。综上所述,总结所得结论V=49,B=51选取中第49~99点作为滤波输出。5.2教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述:,试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解:将上式进行Z变换(1)按照系统函数,根据Masson公式,画出直接型结构如题1解图(一)所示。(2)将的分母进行因式分解44 按照上式可以有两种级联型结构:(a)画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示(b)画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示(3)将进行部分分式展开44 根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。2.设数字滤波器的差分方程为,试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解:将差分方程进行Z变换,得到(1)按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图(一)所示。(2)将的分子和分母进行因式分解:按照上式可以有两种级联型结构:(a)画出级联型结构如题2解图(二)(a)所示。(b)画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示●。3.设系统的系统函数为44 ,试画出各种可能的级联型结构。解:由于系统函数的分子和分母各有两个因式,可以有两种级联型结构。(1),画出级联型结构如题3解图(a)所示●。(2),画出级联型结构如题3解图(b)所示。4.图中画出了四个系统,试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应,并求其总系统函数。图d解:(d)5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解:44 (d)6.写出图中流图的系统函数。图f解:(f)8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为,试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公式。解:已知频率采样结构的公式为式中,N=5它的频率采样结构如题8解图所示。6.2教材第六章习题解答44 1.设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求通带截止频率,通带最大衰减,阻带截止频率,阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。解:(1)求阶数N。将和值代入N的计算公式得所以取N=5(实际应用中,根据具体要求,也可能取N=4,指标稍微差一点,但阶数低一阶,使系统实现电路得到简化。)(2)求归一化系统函数,由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或当然,也可以按(6.12)式计算出极点:按(6.11)式写出表达式44 代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。(3)去归一化(即LP-LP频率变换),由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。由于本题中,即,因此对分母因式形式,则有如上结果中,的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2.设计一个切比雪夫低通滤波器,要求通带截止频率,通带最在衰减速,阻带截止频率,阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的。解:(1)确定滤波器技术指标:,44 (2)求阶数N和:为了满足指标要求,取N=4。(2)求归一化系统函数其中,极点由(6.2.38)式求出如下:(3)将去归一化,求得实际滤波器系统函数44 其中,因为,所以。将两对共轭极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式,其系数全为实数。4.已知模拟滤波器的传输函数为:(1);(2)。式中,a,b为常数,设因果稳定,试采用脉冲响应不变法,分别将其转换成数字滤波器。解:该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以,求解该题具有代表性,解该题的过程,就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式,设采样周期为T。(1)的极点为:44 ,将部分分式展开(用待定系数法):比较分子各项系数可知:A、B应满足方程:解之得所以按照题目要求,上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中,一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称,所以将的两项通分并化简整理,可得44 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时,直接套用上面的公式即可,且对应结构图中无复数乘法器,便于工程实际中实现。(2)的极点为:,将部分分式展开:通分并化简整理得5.已知模拟滤波器的传输函数为:(1);(2)试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器,设T=2s。解:(1)用脉冲响应不变法①方法1直接按脉冲响应不变法设计公式,的极点为:,44 代入T=2s方法2直接套用4题(2)所得公式,为了套用公式,先对的分母配方,将化成4题中的标准形式:为一常数,由于所以对比可知,,套用公式得44 ②或通分合并两项得(2)用双线性变换法①②44 7.假设某模拟滤波器是一个低通滤波器,又知,数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况?并说明原因。(1)(低通);(2)(高通);(3)除0或外的某一频率(带通)。解:按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心,由上式可知,时,对应于,故答案为(2)。9.设计低通数字滤波器,要求通带内频率低于时,容许幅度误差在1dB之内;频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB44 ;试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计,用脉冲响应不变法进行转换,采样间隔T=1ms。解:本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计,所以,由巴特沃斯滤波器的单调下降特性,数字滤波器指标描述如下:采用脉冲响应不变法转换,所以,相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为:(1)求滤波器阶数N及归一化系统函数:取N=5,查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为:44 将部分分式展开:其中,系数为:(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。我们希望阻带指标刚好,让通带指标留有富裕量,所以按(6.2.18)式求3dB截止频率。其中。(3)用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数:我们知道,脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真,设计的滤波器阻带指标变差。另外,由该题的设计过程可见,当N44 较大时,部分分式展开求解系数或相当困难,所以实际工作中用得很少,主要采用双线性变换法设计。44'