《数值计算方法》试题与答案.doc 70页

'70习题一1．设>0相对误差为2%，求，的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：得（1）时；（2）时2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）；（2）；（3）。解：由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352==0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352）==0.3456易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 70解：设该正方形的边长为，面积为，由解得==0.5%5．下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6．用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得 70解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7．计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：==即，而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）；(2)。解：（1）=（2）=9．已知三角形面积，其中。证明：。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：。得 70=（当时，），命题得证。习题二1．找出下列方程在附近的含根区间。 70（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）设，则，，由的连续性知在内，=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；；2．用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解：令，则有，，，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果列表如下：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055 70由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为3．判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而，，因此，当时，。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（B），则，，，所以当时，。又当时，，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有，所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式发散。 704．确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。（A）；（B）；（C）解：（A）方程为，设，则，，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（B）方程为，设，则，，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（C）方程为，设，则，，故有含根区间，题中，5．对下点列用埃特金方法加速。 70解：由埃特金加速公式计算，结果列下表：00.5403000.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816．令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。解：牛顿迭代法，，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.4494897427875562.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取双点弦割法双点弦割法迭代格式为：01 7013.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。双点弦割法双点弦割法迭代格式为：0113.522.1111111111111132.6071428571428642.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.4542563600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.44949437160696162.44948779773504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816 70202.44948968214143212.44948976826509222.44948973207557232.44948974728256242.44948974089252252.44948974357764262.44948974244934272.44948974292346282.44948974272423292.44948974280795302.44948974277277312.44948974278755322.44948974278134以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位7．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，，，故对于任何满足，即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。8．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，，故对于任何满足， 70即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。9．判断用Newton迭代求解方程的收敛性。解：由，当时，，，，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足，显然这样得初值是不存在的，故当时，Newton迭代法不收敛。当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当时，Newton迭代法也不收敛。所以用Newton迭代求解方程不收敛。10．写出求解方程的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。（1）；（2）；（3）。解：牛顿迭代格式为：解之得：（1）当时，，，故迭代序列不收敛；（2）当时，，，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；（3）当时，，从而，，迭代序列 70收敛，且收敛于方程的解。11．求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。解：显然，否则没意义。易知Newton迭代格式收敛于，又（1）Newton迭代格式的收敛阶为（2）迭代格式迭代格式的收敛阶为12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？若收敛，收敛于哪一个根？（1）（2）解：由下山Newton迭代格式 70习题三1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：解：高斯消元法： 70=高斯列选主元消元法2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组解：高斯消元法=列选主元法 703.方程组Ax=b经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=,变为,其中=为(n-1)(n-1)矩阵.其元素为=-/,2,3,n.证明下面结论:（1）当A对称正定时,也对称正定;（2）当A对角占优时,也对角占优.证明:（1）因为A对称,所以;=-/==故对称;A正定,，又=其中:显然,非奇异;对任何x,有:A正定,，正定;又:=而故正定; 70(1)当A对角占优时,故对角占优4.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下)三角形矩阵;(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下)三角形矩阵.证明:(1)不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同设AB=C其中:当i112>0>1>-223>-2>-123所以13给出数表 7012324123试求Hermite多项式插值解：12>224>1>3>424>5>831214.利用差分性质证明：15设对每一个整数j,有计算,并对该函数做一个差分表解：12-34---56-----7所以 7016设函数取等距样条节点。（1）计算函数在这些节点处的函数值，并作解：取，+--17给定插值条件数据01230000和端点条件(1)，（2）试分别求满足上述条件的三次样条插值的分段表达式解：(1)易知：hi=1=1/2=1/2i=0,1,2,3.由基本方程组：和即有：解出：当时： 70当时：=当时：（2）因为j=0,1,2,3解出：由知：18证明函数，对任何含0为节点的分划都是三次样条函数19证明式(4.4.32)线性无关 70习题五1．求最小二乘拟合直线拟合如下数据。(a)-2-101212334解：由，。其中，。计算可得，，，。，，该组数据的最小二乘拟合直线为：(b)-4-20241.22.86.27.813.2解：解法同上题。用计算得，，，。，该组数据的最小二乘拟合直线为：（c）0.00.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183解：解法同上题。 70用计算得，，，。，该组数据的最小二乘拟合直线为：2．求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。(a)1.01.11.31.51.92.11.841.962.212.452.943.18解：（1）一次最小二乘拟合多项式，做法如题一，，，，=1.2196，该一次最小二乘拟合多项式为：（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组： 70，把表中的数值代入得：，解得该二次最小二乘拟合多项式为：（3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组： 70，把表中的数值代入得：，解得：该三次最小二乘拟合多项式为：(b) 704.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1102.56113.18130.11142.05167.53195.14224.87256.73299.50326.72解：（1）一次最小二乘拟合，做法如题一，，，，，该一次最小二乘拟合多项式为：（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得 70该二次最小二乘拟合多项式为：（3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得：该三次最小二乘拟合多项式为： 703．证明正弦函数组：在点集上线性无关。证明：假设存在使得，成立。由取值于，当时，上述等式显然成立。当时，由方程组：要判断函数组在点集上线性无关或线性，由线性代数知识，只需判断上面导出的线性方程组的系数矩阵的行列式是否为零即可。系数行列式为： 70=（数学归纳法）当时，，当时，假设当时，。当时，分两种情况：（1）考察行列式的第行和第行元素的关系易知，，…………..，所以我们可以把第行上元素与第行对应元素相加则行列式转化为再将第行对应元素与第行上元素的一半对应相减则行列式转化为 70最后把第列与第列交换则可把行列式转化为如下的块对角行列式，由归纳假设，所以（2）当时的处理方法类似，这里从略。所以对于任意的，成立。由我们知道前面的线性方程组有唯一的零解，即仅当时，成立，所以得证。4．求解例5.1.1。解：该问题得数据表格为：5810815022888225365687由数据做草图观察可设：令，，，于是方程转化为一次最小二乘拟合求：，数据表格转化为：4.06044.68215.01065.42934.47735.41615.89996.5323，，一次最小二乘拟合多项式为：转化为原方程得未知数得方程：，此即为所求得拟合曲线。 705．求形如的函数拟合如下数据：-3.0-1.50.01.53.0-0.1385-2.15870.83302.2774-0.5110解：，，，问题变为求，使得相应得正规方程组为：由于，，，，，正规方程组为：，其解为：，。因此，所求的拟合函数为： 706．求拟合函数，拟合如下数据：01234200400650850950解：令，，，，则数据表格转化为：012341.38630.4055-0.6190-1.7346-2.9444问题变为求该组数据的一次最小二乘拟合：计算，，，故一次最小二乘拟合多项式为：转化为原未知数：，所求拟合函数为：7．设为内积空间中的内积，证明为中的范数。证明：要证为范数即需要证明下列范数公理：（1）齐次性：；（2）三角不等式：；（3）正定性：；；，这里应用了不等式。由得定义易见，得证。 708．证明性质5.2.3证明：必要性：设于线性无关，采用反证法。若行列式，于是，齐次方程组有非零解，即存在不全为零解使得记，于是有从而有，，故即存在不全为零的数，使当说明于线性相关，与假设矛盾，故。充分性：设，求证于线性无关。反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零数，使，对上式两边与做内积得到由于不全为零，说明齐次方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零，即，与假设矛盾。9．证明拉盖尔多项式的正交性。证明： 7010．求函数在上的一次最佳平方逼近多项式。解：取通常基函数求解。由教材对函数的最优平方逼近的分析得，正规方程组为：即：解之得：，所以该函数得一次最佳平方逼近多项式为：11．求函数在区间上的一次最佳平方逼近多项式。（1），；解：做法同10题，正规方程组为即：，解之得：,所以该函数得一次最佳平方逼近多项式为：（2），。解：正规方程组为即：解之得：， 70所以该函数得一次最佳平方逼近多项式为：12．利用正交多项式基函数求解11题中各小题。解：（a）作变量代换，则区间变为，。由于在区间上的正交多项式式勒让德多项式，故取基函数，。由；；；；所以，，，故拟合函数为（b）作变量代换，则区间变为，由于在区间上的正交多项式式勒让德多项式，故取基函数，。由；；；；所以，，故拟合函数为13．利用正交多项式基函数求解例5.2.2。解：作变量代换，则区间变为， 70由于在区间上的正交多项式式勒让德多项式，故取基函数，，；由；；；；所以，，，故拟合函数为：14．利用三项递推公式求在区间上带权正交的一次、二次和三次多项式。解：带权正交的一次多项式取，由于，带权正交的二次多项式，，带权正交的三次多项式，，所以，在区间上带权正交的一次、二次和三次多项式分别为： 7015．求在区间上带权正交的一次和二次多项式，并利用它们求在上的二次最佳平方逼近多项式。解：由正交多项式的定义求解取，，由于要求解得，故所求的正交的一次多项式为由三递推公式：，，，故所求的正交的一次多项式为设在上的二次最佳平方逼近多项式为：，，，，，，所以16．证明，定义了函数空间中的一种范数。证明：由范数的定义直接证明（1）； 70（2）；（3），；证毕。17．求函数在区间上的最优一致逼近一次多项式。解：设所求的最优一致逼近一次多项式为：由在内不变号，故单调,在内只有一个零点，记为，则根据最优一致逼近的几何意义，过的中点，做平行于过和的直线即为所求。，所求直线为：18．求函数在区间上的最优一致逼近一次多项式。解：理论分析同17题。，所求直线为：19．求下列函数在区间上的二次和三次切比雪夫插值逼近多项式。(a)；(b)；解：（a）（i）切比雪夫插值逼近多项式的二次插值节点为，其中，为的零点。计算得进行插值，表如下：0120.866030-0.86632.3780910.42050造插商表： 700.866032.37809011.59127-0.866030.420500.669150.53238可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：（ii）切比雪夫插值逼近多项式的三次插值节点为，其中，为的零点。计算得，进行插值，表如下：01230.923880.38268-0.38268-0.923882.519041.466210.682030.39698造插商表：0.923882.519040.382681.466211.94536-0.382680.682031.024590.70477-0.923880.396980.526700.381070.17518可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：（b）（i）切比雪夫插值逼近多项式的二次插值节点为，其中，为的零点。计算得进行插值，表如下：0120.866030-0.86630.761760-0.76176 70造插商表：0.866030.76176000.87960-0.86603-0.761760.879600可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：（ii）切比雪夫插值逼近多项式的三次插值节点为，其中，为的零点。计算得，进行插值，表如下：01230.923880.38268-0.38268-0.923880.797950.37341-0.373410.79795造插商表：0.923880.797950.382680.373410.78444-0.38268-0.373410.97578-0.14644-0.92388-0.797950.784440.14644-0.15851可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：20．求下列函数在区间上的二次切比雪夫插值逼近多项式。（a）;（b）.解：令则当时，。（a），为内函数，故可用切比雪夫插值多项式逼近。切比雪夫插值逼近多项式的二次插值节点为 70，其中，为的零点。计算得。进行插值，表如下：0120.866030-0.86630.348910.50.88186造插商表：0.866030.3489100.5-0.17446-0.866030.88186-0.440930.15385可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：（b）为内函数，故可用切比雪夫插值多项式逼近。切比雪夫插值逼近多项式的二次插值节点为，其中，为的零点。计算得。进行插值，表如下：0120.866030-0.86633.017721.386290.14257造插商表：0.866033.0177201.386291.88380-0.866030.142571.436120.25847可得牛顿型插值多项式，即相应的切比雪夫多项式为：21．利用切比雪夫级数截断，求在区间上的次逼近多项式。 70解：按照切比雪夫级数系数的计算公式得所以在区间上的次逼近多项式依次为22．利用缩短幂基数方法，将函数的泰勒展开逼近多项式降幂，使得其与函数的误差不超过0.005。解：令用作为得近似，误差为记为缩短幂级数所得到得5次多项式，同理有，缩短幂级数得到与的误差为：由于，，则得 70用作为的逼近多项式其误差为若再用代入可以求得用其作为的逼近多项式的误差为不合题意。故所求得逼近多项式为23．求函数在区间上的逼近，其中。并将结果与四阶泰勒多项式相比较。解：设所求的有理分式为，的麦克劳林级数为，令中的系数分别为零，其中。有：，：，：，：，：，：。求解得，，故得有理分式逼近 7024．求函数在区间上的切比雪夫有理分式逼近并和习题3中的结果相比较。解：由于是奇函数，故在切比雪夫级数展开中有，即其中，设可得 70故得，解之得，因此逼近函数为 70所以，函数在区间上的逼近比切比雪夫有理分式逼近效果要好. 70第六章1．已知函数在点x=1.0，1.1，1.2处的函数值（见下表），试用两点和三微分公式求在点x=1.1处的导数值，并估计误差。1.01.11.20.2500000.2267570.206612解：由二点数值微分公式可得：，其误差为：0.016，其误差为：0.015由三点数值微分公式可得：，其误差为：0.000982．已知定积分的近似值：，，，其中近似公有截断误差渐近展开式试列表外推计算解：由截断误差渐近展开式可构造外推公式：1.5707961.8961192.004561.9742321.9221571.916661.9935701.9806781.984581.985183．分析二阶数值微分公式的整体误差并依此确定最佳步长h 70解：不超过，其中，最佳步长4．计算弦长，其中（1）（2）（3）解：利用Newto-Cotes求积公式其中：，（1）弦长为：（2）弦长为：，（3）弦长为：5．计算旋转体的侧面积，其中同习题4解：利用Newto-Cotes求积公式其中：，（1）旋转体的侧面积为：（2）旋转体的侧面积为：（3）旋转体的侧面积为：6．分别用定步长和变步长梯形求积公式计算积分 70，使误差不超过（提示：利用关系估计导函数的界）解：（1）利用复化梯形求积公式计算，由误差公式知：，因此，当步长满足，也即区间个数，则由数值积分公式得：（2）利用变步长的梯形公式计算，误差估计：误差估计：误差估计：，故7．分别用定步长和变步长辛浦生求积公式计算积分使误差不超过解：（1）利用复化辛浦生求积公式计算，由误差公式知，， 70因此，当步长满足，也即，取，则由公式可得：（2）利用变步长辛浦生求积公式计算，误差估计为：，误差估计为：，8．证明梯形求积公式的代数精度为1，辛浦生求积公式的代数精度为3证明：（1）梯形求积公式，将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左≠右；从而梯形公式代数精度为1。（2）辛浦生求积公式，将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左≠右；从而梯形公式代数精度为3。9．求求积公式的代数精度并估计求积公式的截断误差。解：将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左=右；将代入公式两端，左≠右故其代数精度为5；由广义皮亚诺定理，当时，它的截断误差为： 70其分别取得：10．试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形求积公式计算积分所需的步长h，使得精度达到。解：（1）复化梯形公式故（2）复化辛浦生公式故（3）复化中矩形求积公式故11．用龙贝格求积公式计算7题和10题中的积分。解：（1）第7题由公式得下表：0.9207350.9397930.9461460.9432910.9444570.9443450.9445140.9449210.9449520.944961解为0.944961（2）第10题由公式得下表：0.41667 700.4083330.4055560.4067460.4062170.4062610.4061870.4060.4059860.405982解为0.40598212．用龙贝格求积公式计算积分。解：由公式得下表：0.118320.1115630.109310.1103380.109330.1099710.1099110.1097690.1097580.109755解为：0.10975513．分别用和的高斯型求积公式计算12题中的积分。解：（1）设求积公式为：，由于n=1，高斯形求积公式代数精度为3即对，求积公式精确成立，因此，得非线性方程组解得：或从而由可得：（2）设求积公式为：由于n=2，高斯形求积公式代数精度为5即对，求积公式精确成立，因此，得非线性方程组 70解得：；；；；；代入可得：14．计算奇异积分，，，解：利用n=10的复化梯形公式求得积分 70故原式该题目有问题利用n=10的复化梯形公式可得：可用n=3的Gauss-Laguerre求积公式计算，得： 70习题七1、取h=0.2，用欧拉法、中点法、后退欧拉法、改进欧拉法、标准龙格-库塔法求解初值问题：解：（1） 70计算结果如下：初值问题的近似解（h=0.2）x欧拉法中点法后退欧拉法改进欧拉法标准R-K法0111110.20.80.80.8113880.80720.8046360.40.61440.62880.648150.6361180.6314650.60.4613210.4852180.5137330.4950440.4891980.80.3435190.3782080.406120.3834190.37722510.2559340.2881610.3212350.2969740.291009（2）同上可得初值问题的近似解（h=0.2）x欧拉法中点法后退欧拉法改进欧拉法标准R-K法0111110.21111.054371.055910.41.108731.217461.122961.240541.245250.61.351171.540581.471381.652391.672180.81.814612.33761无2.74673.0284612.796794.85464无22.88481.0877*1026776(3)同上可得初值问题的近似解（h=0.2）x欧拉法中点法后退欧拉法改进欧拉法标准R-K法 700111110.20.80.80.8002220.8001330.8000640.40.6002660.6005320.6019480.6012740.6009820.60.4023290.404020.4075170.4054270.4047540.80.2089350.2130670.2200380.2155430.21434210.02367670.03185040.04311970.03520960.03335872、用差分法求解边值问题解：对区间(1,2)进行划分，分点数为N，h=1/N，利用差分公式可得：，代入方程可得：令h=0.25可得：解得'