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'˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn莱维飞行中的轨线动力学孙兆鹏1,2，郑雨军11山东大学物理学院，济南　2501002鲁东大学物理与光电学院，烟台　264025摘要：莱维飞行是一种随机行走过程，由于在这一过程中存在非常大的跳跃事件，莱维飞行的概率密度分布表现出长尾分布的特性。相对于正常的布朗运动，莱维飞行所描述的扩散过程通常属于“反常”的范畴。但其作为记录随机活动的一种模型，已应用于物理学、化学、生物学、经济学等多种领域，来说明在这些领域中观察到的行为和过程。本文介绍一种新的理论研究方法——纠缠阶轨线方法，探讨莱维飞行特性并以自由莱维飞行和四次柯西振子势中的莱维飞行为例来展示该方法。关键词：统计物理，莱维飞行，反常扩散，纠缠轨线中图分类号：O414.2TrajectorydynamicsforLévyflightSunZhao-Peng1,2,ZhengYu-Jun11SchoolofPhysics,ShandongUniversity,Jinan2501002SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,LudongUniversity,Yantai264025Abstract:Lévyflightisarandomwalkthatischaracterizedbytheoccurrenceofextremelylongjumpsinwhichthestep-lengthhavealong-tailedprobabilitydistribution.DiffertonormalBrownianmotion,thediffusionprocessofLévyflightisanomalous.Asakindofmathematicalmodel,Lévyflighthasbeenusedtomodelvariousprocessforrandomorpseudo-randomnaturalphenomenaaswellasmanyapplicationsinphysics,chemistry,biology,economicsandotherdisciplines.Inthispaper,anewmethodwhichiscalledentangledtrajectorymethodisintroducedtounderstandtheLévyflightbehaviors.TwocaseofLévystableprocesses,thefreeflight,confinedinaCauchyquarticpotentialarepresentedanddiscussed.Keywords:StaticalPhysics,LévyFlight,AnomalousDiffusion,Entangledtrajectory0引言近年来，反常扩散现象在多个领域引起人们的广泛关注。例如：在固体表面扩散、湍流、胶体中的输运、量子光学、经济金融、蛋白质的输运、以及动物的活动等都存在反常扩散现象。通常，正常扩散可用二阶对流扩散方程来描述，其柯西边值问题下的解在空间上基金项目：博士点基金（20130131110005）作者简介：孙兆鹏（1987-），男，讲师，主要研究方向：反常扩散与反常统计，邮箱：zpsun@ldu.edu.cn。通信作者：郑雨军（1963-），男，教授，主要研究方向：反常扩散与反常统计，邮箱：yzheng@sdu.edu.cn-1- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cnVWDUW图1:蜘蛛猴在树冠之间的跳跃满足莱维飞行特征。左图为蜘蛛猴的运动轨迹，可以看到其中存在非常大的跳跃事件。表现为正态分布。正常扩散的粒子表现出布朗运动的特点，其均方位移满足爱因斯坦关系,即：⟨x2⟩=2Dt，其中D是扩散系数。对于反常扩散，也可以通过均方位移与时间的关系标定。与正常扩散不同的是，⟨x2⟩是时间的非线性函数：⟨x2⟩∼t。当0<<1称为欠扩散，而1<≤2时则称为超扩散。研究反常扩散的理论方法有多种，比如分数阶布朗运动[1]、连续时间随机行走[2]、分数阶朗之万方程[3]以及分数阶福克-普朗克方程等[4,5,6]。无独有偶，这些理论都违背了中心极限定理只遵从幂率统计。对于莱维飞行而言，通常属于超扩散的范畴。莱维飞行可以用来研究现代科学领域的很多现象，比如盐水中细胞的扩散[7]、离子在一维光晶格中的运动[8]、化学反应中的一些问题[9]等。在自然界中，莱维飞行现象也广泛存在。《自然》杂志曾经报道[10]：鱼群中的捕食者在食物富余的时候做布朗运动，而在食物稀缺的时候做莱维飞行。墨西哥尤卡坦州的丛林中有一种猴子，它们从树上跳下时能够通过改变自已的姿态来调整方向，其运动轨迹同样表现出了莱维飞行的特征（图1）[11]。一般情况下，莱维飞行是一种马尔科夫过程，发生时伴随着较大的跳跃事件，其概率密度分布在空间上表现出长尾分布的特点。这正是超扩散的典型特征。通常，可用分数阶福克-普朗克方程来描述莱维飞行。对于一维空间中，处于势场U(x)中运动的粒子，在莱维白噪声的影响下，其扩散满足@W(x;t)@[]@W(x;t)′=U(x)W(x;t)+D;(1)@t@x@|x|其中D为扩散系数，与莱维噪声的强度有关。@为里兹分数阶微分算子。当1<≤2时，@|x|它可用表示为[12]2∫∞@W(x;t)1@′1−′′=−|x−x|W(x;t)dx;(2)@|x|2cos(/2)(2−)@x2−∞这种表示在自由扩散中空间几率分布是左右对称的。除此之外，里兹分数阶算子也可以写成傅-2- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn里叶变换的表示形式[13]∫∞@W(x;t)1=−dkW(k;t)exp(−ikx)|k|:(3)@|x|2−∞迄今为止，人们发展了多种的数值方法求解方程（1）：向后差分[14]；有限差分方法[15]；分数阶里兹算子的有限元处理[16,17]等。然而这些方法不仅算法复杂而且在处理多维问题时效果不容乐观。我们知道，在处理多维体系时，蒙特卡洛算法不仅能够真实的模拟实际物理过程并且效率较高。但由于采用随机取样的方法，当用于数值求解微分方程时，其结果往往欠缺精确性。在本文中，我们介绍一种新的求解方程（1）的方法——纠缠轨线方法。它将蒙特卡洛算法与传统数值离散方法相结合，不仅能够高效的处理分数阶导数部分，还能通过轨线运动给出清晰的物理图像，此外还有算法简单和易于向多维度扩展的优点[18,19,20,21]。在这里，利用该方法可以把福克-普朗克方程化为朗之万方程的形式，从而实现了两种理论体系的相结合。本文将分别以自由莱维飞行和四次柯西振子势的莱维飞行为例来展示该方法。由于采用有限数量的轨线取样来代表概率密度分布，该方法很容易扩展到多维体系。1纠缠轨线理论采用纠缠轨线方法求解方程（1）时，首先需要对初始的分布函数进行取样。由于初始分布函数很难进行数值模拟，通常方法是用高斯函数做近似处理。为了用有限的点来表示概率密度函数，我们基于核密度估计原理来估计概率密度函数[22]。但该方法不利用有关数据分布的先验情况，是一种从数据样本本身出发来研究其分布特征的方法，因而，可用数据在某一时刻的分布情况来估计未知的分布函数。利用核密度估计原理，我们可以通过将所有数据点对应的核函数作线性组合来得到新的概率密度函数。对于一维的情况，概率密度函数可以表示为1∑Nx−xiW(x)=K();(4)Nhxxhxxi=1其中K为核函数，常用的核函数有，均匀核函数、三角核函数、伽马核函数以及高斯核函数等。基于初始的高斯分布，在这里我们采用高斯核函数。N为抽样点的总数量，则代表高斯核函数的半高宽度。h>0是与维度相关的窗口函数，对于一个D维系统，它可表示为[]14D+4h=;(5)N(D+2)在（4）式中，高斯核函数可以写成()1x2(x)=√exp−:(6)2h2h22xxx结合（4）式，任意时刻的分布函数就可以写成以下轨线集合的形式1∑N[]W(x;t)=x−xi(t):(7)Ni=1-3- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn在物理学中，可用连续性方程来描述守恒量的传输行为。在各自适当条件下，质量、能量、电荷等多种传输行为都可用用连续性方程来描述：@W(x;t)+∇·j=0;(8)@t其中j为几率流密度，对于一维系统它的形式为j(x)=_xW(x;t)，∇则为梯度算子。将上式与方程（1）做对比，我们就能得到@[]@W(x;t)′∇·j(x)=−U(x)W(x;t)−D:(9)@x@|x|最后将j(x)的表达式代入上式，做进一步化简可得1@−1W(x;t)′x_=−U(x)−D:(10)W(x;t)@|x|−1从方程（10）可以看到，原来的福克-普朗克方程化简为朗之万方程的形式，只不过噪声项由概率密度函数重新标定。但与求解传统的朗之万方程不同的是，在这里轨线必须要做整体的时间演化，不再独立传播。这种不独立性，使得轨线的演化相互关联，也就意味着它们之间存在相互纠缠并可以交换能量。对于单条轨线而言，所满足的方程可以写成1@−1W(x)′ix_i=−U(xi)−D:(11)W(xi)@|x|−1其中i=1;:::;N。上式中的最后一项代表轨线之间的相互作用，其分数阶导数部分可以写成@−1W(x)∑N@−1(x−x)iij=(12)@|x|−1@|x|−1j=1在应用轨线运动方程（11）处理问题时，首先要对初始的高斯分布函数取样。从（7）式可以看出所有的轨线都是平权的，这意味着可以用等概率取点的方法取样。众所周知，高斯函数的不定积分是误差函数，因此可用等间隔的反误差函数求出初始的xi(i−1;:::;N)值。对于xi的时间导数计算采用4阶龙格库塔算法，由于误差可控，其计算的精度较高。计算的核心则是求解分数阶导数部分，从定义式（2）可以看到，由于它包含无穷空间的积分，直接数值计算的难度较大。因此，我们可以变化思路从里兹算符的傅里叶变换出发。利用快速傅里叶变换算法将核密度估计得到的概率密度函数变换到k空间，然后经过（3）式作用之后，再做反傅里叶变换变回坐标空间即可。这种处理方法的优点是计算速度快，精确度高，适合进行大数据处理。接下来我们将以自由莱维飞行和四次柯西振子势的莱维飞行为例来展示一下该方法。-4- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn2两个例子2.1自由莱维飞行莱维飞行的粒子在不受任何势场作用下的扩散行为称为自由莱维飞行。此时U(x)=0，则（1）式变为W(x;t)@W(x;t)=D:(13)@t@|x|在初始条件为W(x;0)=(x)时，上式是可以严格求解的，其解可以用Fox-H函数来表示[23]()−1/|x|W(x;t)=(Dt)L[Dt]1/[]1;1|x|(1;1/);(1;0:5)=|x|H2;2(Dt)1/;(14)(1;1);(1;0:5)根据前面所述的理论方法，方程（13）所对应的纠缠轨线方程可以写成下面的形式1@−1W(x)ix_i=−D:(15)W(xi)@|x|−1图2展示了方程（15）的纠缠轨线结果（点划线）与精确值（实线）在不同参数下的对比情况。从上到下分别取1.0、1.5和2，黑线和红线则分别代表t=1和t=10的情况。从图中可以看到纠缠轨线的结果同精确值符合的较好，随着时间的增加，概率密度函数逐渐从原来的正态分布逐渐转化为长尾分布，这与莱维粒子的长跳行为密切相关。2.2四次柯西振子势中的莱维飞行四次柯西振子势函数可以写成如下形式[24]ax4U(x)=(16)4其中a为相关系数，为方便期间在这里令a=1。所对应的福克-普朗克方程就可以写成@W(x;t)@[]@W(x;t)3=xW(x;t)+D:(17)@t@x@|x|上式的稳定解可以通过求解其傅里叶空间中的方程得到。对于柯西-莱维飞行情况下（=1），有1Wst(x)=:(18)(1−x2+x4)如图3所示，与自由莱维飞行相比，四次柯西振子势中的稳态分布有两个重要特性。在x→±∞时，W(x)有一个幂率渐进的尾巴，即W(x)∼x−4。由于它衰减较快，可以认为四次stst-5- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn图2:自由情况下纠缠轨线结果与精确值的对比图。轨线的总数量为N=200。图3:四次柯西振子势中纠缠轨线结果与精确值的对比图。轨线的总数量同为N=200。-6- ˖ڍመ੾᝶஠ڙጲhttp://www.paper.edu.cn势能够捕获莱维飞行。当然图中的纠缠轨线结果没有很好的重复幂率部分，这是由核密度估计的固有缺点决定的，其在估计边界区域时会出现边界效应。另外一个重要特性是，稳态概率密√度分布的双峰结构。Wst(x)在x=0时有一个局域极小，在x=±1/2时有两个局域极大。从图中可以看出，我们的纠缠轨线结果很好的展示双峰结构并与解析结果完美重合。3结论在本文中，针对莱维飞行满足的分数阶福克-普朗克方程，我们给出了一种基于纠缠轨线的新方法。它将蒙特卡洛算法与传统离散方法相结合，具有算法简单数值高效的优点，极易向多维度扩展。作为例子，我们模拟了自由莱维飞行与四次柯西振子势中的莱维飞行，计算结果与精确值符合的较好。该方法在复杂体系的莱维飞行动力学研究中具有广阔的运用前景。参考文献（References）[1]B.B.MandelbrotandJ.W.vanNess.FractionalBrownianmotios,fractionalnoisesandapplications[J].Soc.Ind.Appl.Math.10:422,1968.[2]J.Klafter,A.Blumen,andM.F.Shlesinger.Stochasticpathwaytoanomalousdiffusion[J].Phys.Rev.A.35:3081,1987.[3]S.Jespersen,R.Metzler,andH.C.Fogedby.Lévyflightsinexternalforcefields:LangevinandfractionalFokker-Planckequationsandtheirsolutions[J].Phys.Rev.E.59:2736,1999.[4]K.M.KolwankarandA.D.Gangal.LocalfractonalFokker-Planckequation[J].Phys.Rev.Lett.80:214,1998.[5]R.Metzler,E.Barkai,andJ.Klafter.Anomalousdiffusionandrelaxationclosetothermalequilibrium:afractionalFokker-Planckequationapproach[J].Phys.Rev.Lett.82:3563,1999.[6]E.Lutz.FractionaltransportequationsforLévystableprocesses[J].Phys.Rev.Lett.86:2208,2001.[7]A.Ott,J.P.Bouchaud,D.Langevin,andW.Urbach.Anomalousdiffusioninlivingpoly-mers:AgenuineLévyflight?[J].Phys.Rev.Lett.65:2201,1990.[8]H.Katori,S.Schlipf,andH.Walther.Anomalousdynamicsofasingleioninanopticallattice[J].Phys.Rev.Lett.79:2221,1997.[9]G.ZumofenandJ.Klafter.Absorbingboundaryinone-dimensionalanomaloustransport[J].Phys.Rev.E.51:2805,1995.-7- 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