高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案.doc 36页

'高三《一题多解一题多变》题目一题多解一题多变（一）原题：的定义域为R，求m的取值范围解：由题意在R上恒成立且Δ，得变1：的定义域为R，求m的取值范围解：由题意在R上恒成立且Δ，得变2：的值域为R，求m的取值范围解：令，则要求t能取到所有大于0的实数，当时，t能取到所有大于0的实数当时，且Δ变3：的定义域为R,值域为，求m,n的值解：由题意，令，得时，Δ-1和9时的两个根当时，，也符合题意一题多解--36- 解不等式解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当时，不等式可化为（2）当时，不等式可化为综上：解集为解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为解法三：利用等价命题法原不等式等价于，即解集为解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为，不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于，且小于，由图得，解集为一题多解一题多变（二）已知是等比数列的前n想项和，成等差数列，求证：成等差数列-36- 法一：用公式，因为成等差数列，所以且则所以所以成等差数列｀法二用公式，则，所以成等差数列｀证法三：（用公式）解得（下略）-36- 变题：已知且是第二象限角，求解：是第二象限角，变1：，求解：，所以是第一或第二象限角若是第一象限角，则若是第二象限角，则变2：已知求解：由条件，所以当时，是第一或第二象限角若是第一象限角时若是第二象限角当时不存在变3：已知，求解：当时，不存在当时，当时第一、第四象限角时，-36- 当是第二、第三象限角时，一题多解一题多变（三）题目：求函数的值域方法一：判别式法--设，则，由Δ-当时，-，因此当时，有最小值2，即值域为方法二：单调性法先判断函数的单调性任取，则当时，即，此时在上时减函数当时，在上是增函数由在上是减函数，在上是增函数，知时，有最小值2，即值域为方法三：配方法，当时，，此时有最小值2，即值域为方法四：基本不等式法-36- 有最小值2，即值域为变题原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且Δ变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且Δ变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围解：令能取到所有大于0的实数，则时，能取到所有大于0的实数时，且Δ综上-36- 一题多解一题多变（四）题目：求函数的值域方法一：判别式法--设，则，由Δ-当时，-，因此当时，有最小值2，即值域为方法二：单调性法先判断函数的单调性任取，则当时，即，此时在上时减函数当时，在上是增函数由在上时减函数，在上是增函数，知时，有最小值2，即值域为方法三：配方法，当时，，此时有最小值2，即值域为方法四：基本不等式法有最小值2，即值域为-36- 变题原题：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且Δ变式一：函数的定义域为R，求实数a的取值范围解：由题意得在R上恒成立，则要求且Δ变式二：函数的值域为R，求实数a的取值范围解：令能取到所有大于0的实数，则时，能取到所有大于0的实数时，且Δ综上一题多解一题多变（五）-36- 题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（）（A）P点有两个（B）P点有四个（C）P点不一定存在（D）P点一定不存在解法一：以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D解法二：由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D解法三：由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D解法四：设，由知，而-36- 无解，故选D解法五：设，假设，则，而即：，不可能。故选D解法六：，故不可能。故选D解法七：设由焦半径知：而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D解法八.-36- 设圆方程为：椭圆方程为：两者联立解方程组得：不可能故圆与椭圆无交点即不可能垂直故选D一题多解一题多变（六）一变题：课本P110写出数列的前5项：变题：已知函数，设的反函数为，，求数列的通项公式。解：由题意得，，-36- ，令，则是以为首项，为公比的等比数列，故从而，二、一题多解已知函数（1）当时，求函数的最小值；-（2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围，解：（1）当时，，当且仅当时取等号由性质可知，在上是增函数，所以在是增函数，在区间上的最小值为（2）法一：在区间上，恒成立恒成立设，在上增所以时，，于是当且仅当时，函数恒成立，-36- 故法二：当时，函数的值恒为正；当时，函数为增函数，故当时，，于是当且仅当时，函数恒成，故法三：在区间上，恒成立恒成立恒成立，故应大于，时的最大值-3，所以一题多解一题多变（七）原题：:若,则分析:用倒数换元解:令,所以将t换成x得到:变题1：设满足关系式求的解析式　　　解：　-36- 将t换成x得到:与原式联立方程组消去得到变题2：已知，其中试求的解析式解：用相反数换元令代入到原式当中得到：将t换成x得到:与原式联立方程组，得到：变题3：已知，试求的解析式解：令，则将中t换－t得到:与联立方程组得到：-36- 变题4：已知求解：设代入原式得：将t换成—t得到:与上式联立方程组得到的解析式为：一题多解题目：设二次函数满足且函数图象y轴上的截距为1，被x轴截的线段长为，求的解析式分析：设二次函数的一般形式，然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设-36- 由得：又由题意可知解之得：解法二：故函数的图象有对称轴可设函数图象与y轴上的截距为1，则又被x轴截的线段长为，则整理得：解之得：解法三：：故-36- 函数的图象有对称轴，又与x轴的交点为：故可设一题多解一题多变（八）原题设有反函数，又与互为反函数，则（《教学与测试》P77）变题设有反函数，又的图象与的图象关于对称（1）求及的值；（2）若均为整数，请用表示及解(1)因的反函数是，从而,于是有，令得；同样，得反函数为，从而，于是，．(2),而,故,即,…-36- ，从而．　同理，．一题多解1．函数，则()（A）（B）（C）（D）解法1.由知的图象关于对称，得而，且，因此.解法2.由知的图象关于对称，而，而在[－1,1]上递减，易得答案为B．y-101x-36- 一题多解一题多变（九）姜忠杰变题原题：若在区间=在区间是减函数，则的取值范围是多少？变1：若函数=在上是减函数，则的取值范围是多少？变2、若函数=在上是增函数，则的取值范围是多少？变3、若函数=在上是增函数，且函数的值域为R，则的取值范围是多少？解：函数的减区间为，-变1、设，则在为减函数，且在，0所以有且（），的取值范围是变2：设，则在为减函数，且在，0-所以有且（），的取值范围是变3：设，则在减区间，在取到一切正实数-36- ，，所以或一题多解：设，，求的值。解法一（构造函数）：设，则，由于在上是单调递增函数，所以，故。解法二（图象法）因为是方程的一个根，也就是方程的一个根是方程的一个根，也就是方程的一个根令，，，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：是方程的根，即图中OA=是方程的根，即图中OB=-36- 易得OA+OB=10，所以解法三：方程，的根为，由，得，，又，，一题多解一题多变（十）（课本P102）证明：变题：1、如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的，任意恒成立”的只有（A）-36- A、B、C、D、变题2、定义在R上的函数满足：如果对于任意都有则称函数是R上的凹函数。已知二次函数（1）求证：当时，函数是凹函数；（2）如果时，，试求实数的取值范围。（1）证明：略（2）实数的取值范围是二、一题多解不查表计算：解法一：原式====解法二：原式=-36- =1-=1解法三：原式===1解法四：原式===1解法五：原式====1一题多解一题多变（十一）一题多解-1．已知（，求的值解法1先求反函数由得且-36- 故原函数的反函数是解法2从互为反函数的函数的关系看令解得即变题1．已知对于任意实数满足，当时，（1）求证（2）判断的单调性-36- 证明（1）令得-令，得（2）设，则在R上是单调函数变题1.已知函数是定义R在上的增函数，且满足（1）求的值（2）若解不等式解（1）令，得-（3）在中，令得从而又原不等式可化为，且是上的增函数，-36- 原不等式等价于又解得原不等式的解集为（0，4）一题多解一题多变（十二）考查知识点：函数的对称中心原题：函数的图象关于原点对称。解：该函数定义域为R，且+==，该函数图像关于原点对称变题1：已知函数满足则的图象的关于对称解：为奇函数，即的图象关于原点对称，故的图象关于对称。变题2：已知函数满足，则函数的图象关于对称解：由得，，－1为奇函数，即－1的图象关于（0，0）对称，的图象关于对称-36- 变题3：已知函数满足，则的图象关于（1，1）对称解：令，则，故由得，即满足，即，的图象关于原点（0，0）对称，故的图象关于（1，1）对称。结论：若函数满足，则的图象关于对称。变题4：已知求证：（1）（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。（3）求的值。（1）证明：，得证。-（2）解：该函数图象的对称中心为，由得即，的图象关于原点中心对称，故的图象关于对称。（3）解：，故，，……，=500变题5：求证：二次函数的图象没有对称中心。证明：假设是的图象的对称中心，则对任意，都有，即-36- 恒成立，即有恒成立，也就是且与矛盾所以的图象没有对称中心。一题多解一题多变（十三）题目：已知函数若对任意恒成立，试求实数a的取值范围。解法一：在区间上，恒成立恒成立，设在递增，当x=1时，于是当且仅当时，函数恒成立，故a>—3。解法二：当a的值恒为正,当a<0时,函数为增函数故当x=1时于是当且仅当3+a>)时恒成立,故a>—3。解法三：在区间上恒成立恒成立恒成立，故a应大于时的最大值—3，-36- 当x=1时，取得最大值—3题目：将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式。解：将函数中的x换成x+1，y换成y-1得变题1：作出函数的图象解：函数=，它是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到。图象为：变题2：求函数的单调递增区间解：由图象知函数的单调递增区间为：-36- 变题3：求函数的单调递增区间解：由得所以函数的单调递增区间为变题4：求函数的单调递增区间解：由，所以函数的单调递增区间为变题5函数的反函数的图象的对称中心为（-1，3），求实数a解：由知对称中心为（（a+1，-1），所以它的反函数的对称中心为（-1，a+1），由题意知：a+1=3得a=2。变题6：函数的图象关于y=x对称求a的值解：因为函数的反函数是它本身，且过点（2，0），所以其反函数的图象必过点（0，2），即函数也过点（0，2），代入得a=-1。变题7设（a，b）与（c，d）都是函数f（x）的单调区间，且则与的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）不能确定-36- 解：构造函数它在上都是增函数，但在上无单调性，故选D变题8：讨论函数在上的单调性。解：由的图象知，当时在上是增函数；当时在上为减函数一题多解一题多变（十四）已知，求证：变题1、已知数列满足，，试比较与的大小2、已知，且，求证：3、已知，求证：解：原题：证明：作差-‘，1、2、-，，又，--36- 3、作差，一题多解已知数列满足，，试比较与的大小方法一：作差-=，方法二：作商-方法三：（单调性），关于单调递增方法四：浓度法把看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着的增大（相当于向溶液中加糖），浓度当然增大，易得一题多解一题多变（十五）-36- 例、-恒成立，求的取值范围解：1、当时2、-∴变式1：已知函数的定义域为，求实数的取值范围。解：由题意得恒成立，∴1、当时2、-∴变式2、函数的定义域为的充要条件是什么解：由题意得恒成立，∴1、当时2、-36- -∴变式3、的定义域为，求实数的取值范围。解：由题意得恒成立，∴1、当时2、-∴变式4、的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题意得-无解即-或∴-36- 变式5、-的定义域为R，求的取值范围解：由题意得恒成立，∴1、当时2、-∴一题多解徐晓洲求的值域法一：常数分离法∴即-∴值域为[，1法二：反解法由-36- ∴函数的值域为[，1法三：判别式法由即：1、当时故舍去2、当时所以函数的值域为[，1-36-'